построить график линейной функции:
a)
y=13x+1,x∈−6;3
; b)
y=13x+1,x∈−6;3
.
Составим таблицу значений функции:
| (x) | (-6) | (3) |
| (y) | (-1) | (2) |
Построим на координатной плоскости (xOy) точки ((-6;-1)) и ((3;2)) и
проведём через них прямую.
Далее выделим отрезок, соединяющий построенные точки.
Этот отрезок и есть график линейной функции
y=13x+1,x∈−6;3
.
Точки ((-6); (-1)) и ((3); (2)) на рисунке отмечены тёмными кружочками.
b) Во втором случае функция та же, только значения (x=-6) и (x=3) не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу ((-6;3)).
Поэтому точки ((-6); (-1)) и ((3); (2)) на рисунке отмечены светлыми кружочками.
По графику линейной функции, можно определить наибольшее и наименьшее значения линейной функции на заданном отрезке.
В случае
a)
y=13x+1,x∈−6;3
, имеем:
yнаиб
(= 2) и
yнаим
(= -1);
b)
y=13x+1,x∈−6;3
, концы отрезка не рассматриваются, поэтому наибольшего и наименьшего значений нет.
Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.
Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.
Число k называется угловым коэффициентом прямой.
Свойства линейной функции
- Область определения функции – множество всех действительных чисел. То есть в данную формулу мы можем подставлять любое значение х.
- Областью значений также является множество всех действительных чисел.
- Функция не имеет ни наибольших, ни наименьших значений.
- При k – положительном, угол наклона к оси х острый, другими словами – график функции возрастает.
- При k отрицательном угол наклона к оси х тупой, то есть график функции – убывает.
- При k=0 прямая параллельна оси х.
- Частный случай линейной функции: y=kx, где число b=0, эту функцию называют прямой пропорциональностью, график такой функции проходит через начало координат.
Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.
Пример №1
Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:
Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).
Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:
у=2х – 1=2×0 – 1= –1;
у=2х – 1=2×3 – 1= 5.
Вписываем в таблицу значения у:
Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5), проводим через эти две точки прямую.
Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент – положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.
Пример №2.
Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.
По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).
Пример №3
Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:
Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.
Задание OM1106o
На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
ГРАФИКИ:
КОЭФФИЦИЕНТЫ:
1) k>0, b<0 2) k>0, b>0 3) k<0, b<0
ассмотрим коэффициенты под №3. Если k<0, значит, график имеет тупой (>900) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b<0, то это говорит, что график пересекает ось ординат (Оу) ниже нуля. Эти два условия реализованы на графике В. Итак, получаем для ответа пару: В–3.
У двух других пар коэффициентов (№№ 1 и 2) зафиксировано, что k>0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом (<900). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.
В 1-й паре коэффициентов b<0. Это означает, что соответствующий им график должен пересекать ось Оу в точке ниже начала координат. Таковым является график Б, и мы получаем пару Б–1. В паре коэффициентов №2 b>0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.
Ответ: 213
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Задание OM1103o
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции:
A) y = 3x
Б) y = -3x
В) y = (1/3)x
Графики:
Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:
y = kx + b
График данной функции зависит от k и b.
- если k < 0, то функция убывает, то есть линия идет сверху вниз, как на третьем рисунке
- если k > 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
- коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b < 0, то прямая пересекает ось y ниже 0 в точке y = b, если b > 0, то выше ноля в точке y = b
- если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k <1 , то положе, как на примере рисунка №1
Следовательно, графику y = 3x соответствует рисунок 2, так как прямая идет снизу вверх и она более крутая, чем кривая на рисунке 1, которому соответствует функция y = (1/3)x.
Графику 3 соответствует функция y = -3x так как k = -3 < 0, и график идет сверху вниз.
Ответ:
A) 2
Б) 3
В) 1
Ответ: 231
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор
Даниил Романович | Просмотров: 6.1k
Прежде чем перейти к изучению функции «y = kx»
внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».
Важно!
Функцию вида «y = kx + b» называют линейной функцией.
Буквенные множители «k» и «b»
называют
числовыми коэффициентами.
Вместо «k» и «b»
могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).
Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b» — это семейство всевозможных функций, где вместо
«k» и «b» стоят числа.
Примеры функций типа «y = kx + b».
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y = x − 2
- y = 0,5x
Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты
«k» и
«b».
| Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| y = 5x + 3 | k = 5 | b = 3 | ||||
| y = −x + 1 | k = −1 | b = 1 | ||||
y =
x − 2 |
k =
|
b = −2 | ||||
| y = 0,5x | k = 0,5 | b = 0 |
Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x»
в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b».
Рассматривая
функцию «y = 0,5x», неверно утверждать, что числового коэффициента
«b» в функции нет.
Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда.
В функции «y = 0,5x»
числовый коэффициент «b» равен нулю.
Как построить график линейной функции
«y = kx + b»
Запомните!
Графиком линейной функции «y = kx + b» является прямая.
Так как графиком функции «y = kx + b»
является прямая линия, функцию называют линейной функцией.
Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств),
что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Исходя из аксиомы выше следует, что
чтобы построить график функции вида
«у = kx + b» нам достаточно будет найти всего
две точки.
Для примера построим график функции «y = −2x + 1».
Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x».
Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».
Важно!
Выбирая произвольные числовые значения вместо «x», лучше брать числа
«0» и «1».
С этими числами легко выполнять расчеты.
| x | Расчет «y = −2x + 1» |
|---|---|
| 0 | y(0) = −2 · 0 + 1 = 1 |
| 1 | y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика функции.
Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1» в таблицу.
| Точка |
Координата по оси «Оx» (абсцисса) |
Координата по оси «Оy» (ордината) |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | 1 |
| (·)B | 1 | −1 |
Отметим полученные точки на системе координат.
Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет
являться графиком функции «y = −2x + 1».
Как решать задачи на
линейную функцию «y = kx + b»
Рассмотрим задачу.
Построить график функции «y = 2x + 3». Найти по графику:
- значение «y» соответствующее значению «x» равному −1; 2; 3; 5;
- значение «x», если значение «y» равно
1; 4; 0; −1.
Вначале построим график функции «y = 2x + 3».
Используем правила, по которым мы строили график функции выше.
Для построения графика функции «y = 2x + 3» достаточно найти всего две точки.
Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа
«0» и «1».
Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.
| Точка |
Координата по оси «Оx» |
Координата по оси «Оy» |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = 2 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = 2 ·1 + 3 = 5 |
Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.
Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции
«y = 2x + 3».
Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3».
Требуется найти значение «y»,
соответствующее значению «x»,
которое равно −1; 2; 3; 5.
Тему
«Как получить координаты точки функции» с графика функции
мы уже подробно рассматривали в уроке
«Как решать задачи на функцию».
В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.
Запомните!
Чтобы найти значение «y» по известному значению «x» на графике
функции необходимо:
- провести перпендикуляр от оси «Ox»
(ось абсцисс)
из заданного числового значения «x»
до пересечения
с графиком функции; - из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести еще один перпендикуляр к оси
«Oy»
(ось ординат); - полученное числовое значение на оси «Oy» и будет искомым значением.
По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = 2x + 3»
необходимые значения функции «y» для
«x» равным −1; 2; 3; 5.
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение «x» | Полученное с графика значение «y» |
|---|---|
| −1 | 1 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 5 | 13 |
Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x»,
если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.
Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания.
Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси
«Oy».
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение «y» | Полученное с графика значение «x» |
|---|---|
| −1 | −2 |
| 0 | −1,5 |
| 1 | −1 |
| 4 | 0,5 |
Как проверить, проходит ли график через точку
Рассмотрим другое задание.
Не выполняя построения графика функции
«y = 2x −
», выяснить, проходит ли график
через точки с координатами (0;
− ) и (1; −2).
Запомните!
Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси
«Ox» вместо
«x», а координату по оси
«Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
- Если получится неверное равенство, значит, точка
не принадлежит графику функции.
Подставим в функцию
«y = 2x −
»
координаты точки (0;
− ).
− = 2 · 0
−
− =
−
(верно)
Это означает, что график функции «y = 2x −
» проходит через точку с координатами (0;
− ).
Проверим точку с координатами (1; −2).
Также подставим координаты
в функцию «y = 2x −
».
−2 = 2 · 1 −
−2 = 2 −
−2 = 1 −
−2 = 1 (неверно)
Это означает, что график функции «y = 2x −
» не проходит через точку с координатами (1; −2).
Как найти точки пересечения графика с осями
Рассмотрим задачу.
Найти координаты точек пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» с осями координат.
Для начала построим график функции «y = −1,5x + 3» и на графике отметим точки пересечения
с осями.
Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции
«y = −1,5x + 3».
Выберем два произвольных числовых значения для «x» и рассчитаем значение
«y» по формуле
функции. Например, для x = 0 и
x = 1.
| Точка |
Координата по оси «Оx» |
Координата по оси «Оy» |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5 |
Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую.
Тем самым мы построим график функции «y = −1,5x + 3».
Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.
Запомните!
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью
«Oy»
(осью ординат)
нужно:
- приравнять координату точки по оси
«Ox» к нулю
(x = 0); - подставить вместо «x» в формулу функции ноль и найти значение
«y»; - записать полученные координаты точки пересечения с осью
«Oy».
Подставим вместо «x» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.
y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3
(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Oy».
Запомните!
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью
«Ox»
(осью абсцисс)
нужно:
- приравнять координату точки по оси
«Oy» к нулю
(y = 0); - подставить вместо «y» в формулу функции ноль и найти значение
«x»; - записать полученные координаты точки пересечения с осью
«Oy».
Подставим вместо «y» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.
0 = −1,5x + 3
1,5x = 3 | :(1,5)
x = 3 : 1,5
x = 2
(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Ox».
Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните
«правило противоположности».
Важно!
Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью
«Ox», то приравниваем
«y» к нулю.
И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью
«Oy»,
то приравниваем «x» к нулю.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
19 мая 2023 в 9:06
Михаил Лысенко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Михаил Лысенко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
0
Спасибо
Ответить
19 мая 2023 в 13:04
Ответ для Михаил Лысенко
Борис Гуров
Профиль
Благодарили: 1
Сообщений: 28
Борис Гуров
Профиль
Благодарили: 1
Сообщений: 28
Добрый день!
Это квадратичная функция. Они разобраны в другом уроке
0
Спасибо
Ответить
Линейная функция — функция вида y=kx+b (для функций одной переменной).
Определение и геометрический смысл
Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными х и у:
где 
и b — заданные числа. Этому уравнению удовлетворяет бесконечное множество пар чисел х и у.
Например, уравнению
удовлетворяют следующие пары:
и т. д.
Для того чтобы найти пару чисел, удовлетворяющих уравнению ( * ), нужно придать х произвольное числовое значение и подставить в уравнение ( * ), тогда у получит определенное числовое значение. Например, если х = 27, то у = 2 x 27 — 6 = 48. Очевидно, что пара чисел х =27 и у =48 удовлетворяет уравнению (*). Так же и в случае уравнения (1) можно придать х произвольное числовое значение и получить для у соответствующее числовое значение.
Так как в данном уравнении х может принимать любое числовое значение, то его называют переменной величиной. Поскольку выбор этого числового значения ничем не ограничен, то х называют независимой переменной величиной или аргументом.
Для у получаются также различные значения, но уже в зависимости от выбранного значения х; поэтому у называют зависимым переменным или функцией.
Функцию у, определяемую уравнением (1), называют линейной функцией.
Пример:
Вычислить значения линейной функции, определяемой уравнением у = 0,5х + 3,7, при следующих значениях независимого переменного: х1 = 0, х2 = —0,5, х3 = —7,6.
Покажем, что если принять пару чисел х и у, удовлетворяющих уравнению (1), за абсциссу и ординату точки, то геометрическим местом этих точек будет прямая линия (рис. 14).
В самом деле, рассмотрим точку В(0, b) и точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2), координаты которых удовлетворяют уравнению (1), т. е.
Обозначим проекции точек М1 и М2 на ось Ох через А1 и A2, тогда ОА1 = х1, ОА2 = х2, А1М1= у1, А2М2 = у2. Проведем из точки В прямую, параллельную оси Ох. При этом получим b = ОВ = А1Р1 = А2Р2.
Предположим, что точки BМ1 и М2 не лежат народной прямой. Соединяя точку В с точками М1 и М2, получим два прямоугольных треугольника ВР1М1 и ВР2М2, из которых имеем:
Но так как х1, у1 и х2, у2 удовлетворяют уравнению (1), то
Иначе говоря,
Выражения
и 
являются отношениями противоположных катетов к прилежащим для уг лов 
Р1ВМ1 и Р2ВМ2. Следовательно, tg Р1ВМ1 = и tg Р2ВМ2 = , а поэтому и Р1ВМ1 = P2BM2 так как углы острые. Это значит, что точки М2 и В лежат на одной прямой. Но мы предположили, что эти точки не лежат на одной прямой. Таким образом, мы пришли к противоречию, а это и доказывает, что точки M1, М2 и В лежат на одной прямой. Обозначим угол Р1ВМ1 через а. Этот угол образован прямой ВМ1 с положительным направлением оси Ох.
Так как М1 и М2 — произвольные точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), то можно сделать следующее заключение: любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (1), лежит на прямой, отсекающей на оси Оу отрезок ОВ = b и образующей с положительным направлением оси Ох угол а такой, что tg a = .
Число b называется начальной ординатой, число — угловым коэффициентом прямой.
Предыдущие рассуждения позволяют сделать вывод: линейная функция y = x + b определяет на плоскости прямую, у которой начальная ордината равна Ъ, а угловой коэффициент .
Например, линейная функция 
определяет на координатной плоскости прямую, отсекающую на оси Оу отрезок —4 и наклоненную к оси Ох под углом в 60°, так как tg60° = 
.
Если имеем определенную прямую, отсекающую на оси Оу отрезок b и наклоненную к оси Ох под углом 
, тангенс которого равен то, взяв произвольную абсциссу, найдем на указанной прямой только одну точку, имеющую эту абсциссу, т. е. по заданному х найдется только одна точка, а следовательно, и одно значение у.
Очевидно, имеет место и такое предложение:
Всякой прямой, отсекающей на оси Оу отрезок b и наклоненной к оси Ох под углом, тангенс которого равен числу соответствует линейная функция y = x + b.
Координаты любой тонки, лежащей на указанной прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому уравнение у = х + b называют уравнением прямой. Таким образом, всякая линейная функция является уравнением некоторой прямой.
Отметим частные случаи.
1.Пусть b = 0, т. е. линейная функция определяется уравнением
Прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Здесь у пропорционален х, т. е. если х увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и у увеличится (уменьшится) во столько же раз.
2.Пусть = 0, т. е. tgа = 0, откуда а = 0. Линейная функция определяется уравнением
Этому уравнению соответствует прямая, параллельная оси Ох и отстоящая от нее на расстояние b.
На основании всего сказанного в этом параграфе легко решаются следующие задачи.
Задача:
Даны точки А (3, 5) и В(— 1, 4). Нужно узнать, лежат ли эти точки на прямой, уравнение которой имеет вид
Решение:
Если точка лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Поэтому для решения задачи подставим координаты точки А в уравнение (*), получим 5 = 2 x 3 — 1. Это тождество, следовательно, точка А лежит на прямой. Подставляя координаты точки В, получаем 4 = 2(— 1)—1 = —3. Отсюда видно, что точка В не лежит на прямой.
Задача:
Построить прямую, уравнение которой
Решение:
Чтобы построить прямую, надо знать, например, две ее точки. Поэтому дадим х произвольное значение, например х = 2, и найдем из уравнения (**) значение
Значит, точка A (2, 4) лежит на прямой.
Это первая точка. Теперь дадим х какое-нибудь другое значение, например х = —2, и вычислим у из уравнения (**).
Получим
Точка B ( — 2, 2) лежит на прямой. Это вторая точка. Строим точки A и B (рис. 15) и проводим через них прямую, это и есть искомая прямая.
Основное свойство линейной функции
Рассмотрим линейную функцию у = х + b. Найдем значение этой функции при
Здесь первое и второе значения х различны, они отличаются друг от друга на величину х2 — х1. Величину разности х2 — х1, на которую изменяется x при переходе от x1 к х2, назовем приращением независимого переменного х. Эту величину часто будем обозначать через h, так что h = x2 — x1. Найдем, насколько изменилось значение у при изменении х1 на h . Для этого вычтем из у2 значение у1
Таким образом,
т. е. приращение линейной функции пропорционально приращению независимого переменного.
Это и есть основное свойство линейной функции. Заметим, что х2 может быть больше, а может быть и меньше, чем х1. Поэтому h = x2 — x1 может быть как положительным, так и отрицательным числом, иначе говоря, приращение h независимого переменного может быть любого знака. То же самое относится и к приращению функции, т. е. к величине у2—у1.
Пример:
Найдем приращение функции y = 0,6x—3, если приращение независимого переменного h = 0,1.
По основному свойству у2—у1 = 0,6 x 0,1 = 0,06.
Приращение этой же функции y = 0,6x—3 , если h = —3, будет равно у2—у1 = 0,6 x (— 3) = —1,8. В этом случае приращения независимого переменного и функции отрицательны, т. е. в этом случае и независимое переменное и функция не увеличиваются, а уменьшаются.
Пример:
Найдем приращение функции у = —2x+10 при изменении х на h = —0,5. Будем иметь
Задачи на прямую
Задача:
Найти угол y между двумя прямыми, заданными уравнениями
Решение:
При пересечении прямых образуются четыре попарно равных угла. Найдя один из них, легко найти и другие. На рис. 16 прямые обозначены соответственно (1) и (2).
Угол хАВ является внешним по отношению к треугольнику ABC, поэтому он равен сумме двух внутренних углов треугольника, с ним не смежных, т. е.
откуда
Но углы а1 и а2 непосредственно неизвестны, а известны их тангенсы
Поэтому напишем
или
Пример:
Найти угол между прямыми, заданными уравнениями
Здесь
применяя формулу (1), получим;
Если же будем считать, что
Получены два ответа: сначала найден острый угол между заданными прямыми, а затем — тупой.
Если заданы две параллельные прямые, то углы а1 и а2 равны, как соответственные, следовательно, тангенсы их тоже равны
Таким образом, мы приходим к выводу: если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.
Если прямые перпендикулярны, то угол между ними равен 90°, т. е. 
. Но тангенс прямого угла не существует, поэтому формула (1) не должна давать ответа, а это может быть только в том случае, когда знаменатель равен нулю (на нуль делить нельзя):
Это и есть условие перпендикулярности двух прямых. Это условие удобно запомнить в следующей формулировке: если две прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.
Пример:
Найдем угол между прямыми, заданными уравнениями
Здесь угловые коэффициенты (первый равен 3, а второй 
обратны по величине и противоположны по знаку, следовательно, рассматриваемые прямые перпендикулярны.
Задача:
Даны две точки: M1(x1, у1) и М2(х2, у2), где 
(т. е. эти точки не лежат на одной прямой, параллельной оси Оу). Написать уравнение прямой, проходящей через точки M1 и М2.
Решение:
Искомая прямая не параллельна оси Оу, поэтому ее уравнение можно написать в виде 
Значит, для решения задачи надо определить числа и b.
Так как прямая проходит через точки М1 и М2, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению ( * ), т. е.
В уравнениях ( ** ) и (*** ) все числа, кроме и b, известны, поэтому эти уравнения можно рассматривать как систему уравнений относительно и b. Решая систему, находим:
Подставляя найденные выражения в уравнение (*), получим
Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки, не расположенные на прямой, параллельной оси Оу.
Полученному уравнению можно придать форму, удобную для запоминания, а именно:
или
Задача:
Написать уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х1,у1) и образующей с осью Ох угол а.
Решение:
Прежде всего найдем угловой коэффициент искомой прямой: он равен тангенсу угла а. Обозначим 
Значит, уравнение прямой можно написать в виде 
где пока число b неизвестно. Так как прямая должна проходить через точку M, то координаты точки М удовлетворяют этому уравнению, т. е.
Находим отсюда неизвестное b, получим 
. Подставляя найденное в уравнение (*), будем иметь
Это и есть уравнение прямой, проходящей через точку М в заданном направлении.
Если в уравнении (4) менять направление, не меняя точку M, то получим уравнение всех прямых, проходящих через заданную точку. Уравнение 
, в котором переменное, а х1 и у1 не меняются, называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку М(х1, у1).
Пример:
Напишем уравнение прямой, проходящей через точку М( — 2, 3) и образующей с осью Ох угол 45°.
Так как tg 45° = 1, то угловой коэффициент равен 1; х1 = —2; у1 = 3. Уравнение прямой запишется в виде
или
Общее уравнение прямой. Неявная линейная функция
Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными
Решим его относительно у:
т. е. мы получили линейную функцию, где 
,
Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому пара чисел х и у, удовлетворяющих уравнению (2), будет удовлетворять и уравнению (1). Так как уравнению (2) соответствует некоторая прямая, то эта же прямая будет соответствовать и уравнению (1).
Координаты любой точки, лежащей на этой прямой, удовлетворяют уравнению (1), поэтому будем называть его также уравнением прямой.
Рассмотрим особо случай, когда B = 0, так как на нуль делить нельзя.
Уравнение (1) примет вид
или
откуда
Поэтому, каков бы ни был у, х всегда равен 
Это имеет место для прямой, параллельной оси Оу; в самом деле, на ней можно найти точку с любой ординатой, но все точки этой прямой имеют одну и ту же абсциссу.
Таким образом, любому уравнению первой степени соответствует некоторая прямая. Придавая в уравнении (1) коэффициентам А, В и С различные значения, можно получить любое уравнение первой степени. Поэтому уравнение (1) называют общим уравнением прямой.
Из уравнения (1) (если 
) можно определить у, т. е. получить линейную функцию; поэтому говорят, что уравнение (1) определяет неявно линейную функцию или что уравнение (1) есть неявная линейная функция.
Система двух уравнений первой степени
Напомним, что две прямые, расположенные на плоскости, могут или пересекаться, или быть параллельными (т. е. не пересекаться), или сливаться (в этом случае можно сказать, что они пересекаются в каждой своей точке).
Рассмотрим систему двух уравнений
Каждое из этих уравнений является уравнением прямой. Решить систему — это значит найти значения х и у, которые удовлетворяют и первому и второму уравнениям. Но так как х и у определяют точку, то следовательно, решить систему—это значит найти точку, лежащую и на первой и на второй прямых, т. е. найти точку пересечения прямых.
Пример:
Найдем точку пересечения двух прямых:
Решая эту систему, получим: х = 1, у = 2, т. е. прямые пересекаются в точке (1,2) (рис. 17).
Пример:
Найдем точку пересечения двух прямых:
Решая эту систему, получим:
Последнее равенство нелепо, значит, прямые не пересекаются, Рис. 17. т. е. они параллельны.
Пример:
Найдем точку пересечения данных прямых
Решая эту систему, получим:
Полученное равенство всегда справедливо, т. е. справедливо при любом значении x. Это значит, что две прямые пересекаются в каждой своей точке, что может быть только тогда, когда они сливаются.
Заметим, что два уравнения, рассматриваемые в этом примере, являются равносильными, поэтому они и представляют одну и ту же прямую.
Примеры решения линейной функции
Линейная функция встречается в формулировках многих физических законов и технических задач. Приведем примеры.
Пример:
Если точка движется равномерно по прямой, то ее расстояние от выбранной точки (от начала координат) выражается при помощи уравнения 
где — начальное расстояние, v0 — скорость, t — время; это, как мы уже знаем, есть линейная функция.
Пример:
Закон Ома записывается в виде 
где v — напряжение, R — сопротивление и I — ток. Если не изменяется, то v является линейной функцией тока I .
Пример:
Если стоимость провоза единицы товара по железной дороге равна а руб. за километр, то стоимость v провоза N единиц товара на l км равна 
Если же стоимость товара на месте равна М руб., то после перевозки за него надо заплатить
Здесь v—линейная функция l.
Линейная функция встречается в различных областях, но, где бы она ни встречалась, ее всегда можно рассматривать как уравнение прямой. Этим обстоятельством часто пользуются при решении задач.
Задача:
Два города А и В, расстояние между которыми равно 300 км, находятся на одной железнодорожной магистрали. На этой же магистрали между городами А и В надо выбрать пункт С, в котором предполагается устроить склад нефти для снабжения указанных городов. Надо выбрать пункт С так, чтобы общая стоимость перевозок нефти для снабжения города А и города В была наименьшей. Известно, что город А потребляет 400 т нефти, а город В—200 т. Перевозка одной тонны нефти на один километр обходится в а руб.
Решение:
Обозначим расстояние от А до предполагаемого пункта С через х. Тогда расстояние от города В до С равно 300 — х. Стоимость перевозки одной тонны нефти из С в A равна ах руб., а перевозки 400 т—400аx руб. Аналогично перевозка нефти из С в В будет стоить 200а (300 — х) руб. Стоимость всех перевозок, которую обозначим через у, будет выражаться так:
или
Это линейная функция. Если примем х за абсциссу, а у за ординату точки, то полученная линейная функция определяет уравнение некоторой прямой. Угловой коэффициент ее равен 200а, т. е. положителен, следовательно, эта прямая образует с осью Ох острый угол и поэтому с увеличением независимого переменного поднимается вверх. По смыслу задачи величина х заключена между 0 и 300, т. е. 
При х = 0 величина у принимает значение 60 000а, а при x = 300— значение 120 000а. Ясно, что 60 000а есть наименьшее из возможных значений, 120 000а— наибольшее.
Так как пункт С надо выбрать так, чтобы стоимость была наименьшей, то его следует расположить в городе A, если же этого сделать нельзя по каким-либо соображениям, то, чем ближе расположить его к A, тем выгодней.
Примеры применения линейной функции
Смотрите также:
Предмет высшая математика
Решение заданий и задач по предметам:
- Математика
- Высшая математика
- Математический анализ
- Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Выпуклые множества точек
- Система координат
Линейная функция
Но сначала официальное определение «Функции» – теперь ты его поймешь. Держи в уме: деньги – зарплата, вес – круассаны, расстояние – время.
Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).
То есть, если у тебя есть функция ( y=fleft( x right)), это значит что каждому допустимому значению переменной ( x) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной ( y) (называемой «функцией»).
Что значит «допустимому»?
Все дело в понятии «область определения»: для некоторых функций не все аргументы «одинаково полезны» — не все можно подставить в зависимость.
Например, для функции ( y=sqrt{x}) отрицательные значения аргумента ( x) – недопустимы.
Ну и вернемся, наконец, к теме данной статьи.
Линейной называется функция вида ( y=kx+b), где ( k) и ( b) – любые числа (они называются коэффициентами).
Другими словами, линейная функция – это такая зависимость, что функция прямо пропорциональна аргументу.
Как думаешь, почему она называется линейной?
Все просто: потому что графиком этой функции является прямая линия. Но об этом чуть позже.
Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения ( Dleft( y right)) и область значений ( Eleft( y right)).
Область значений линейной функции
Тут тоже все просто: поскольку функция прямо пропорциональна аргументу, то чем больше аргумент ( x), тем больше значение функции ( y).
Значит, ( y) так же как и ( x) может принимать все возможные значения, то есть ( Eleft( y right)=mathbb{R}), верно?
Верно, да не всегда. Есть такие линейные функции, которые не могут принимать любые значения. Как думаешь, в каком случае возникают ограничения?
Вспомним формулу: ( y=kx+b). Какие нужно выбрать коэффициенты ( k) и ( b), чтобы значение функции y не зависело от аргумента ( x)?
А вот какие: ( b) – любое, но ( k=0). И правда, каким бы ни был аргумент ( x), при умножении на ( k=0) получится ( 0)!
Тогда функция станет равна ( y=0cdot x+b=b), то есть она принимает одно и то же значение при всех ( x):
( y = kx + b:{rm{ }}left[ begin{array}{l}Eleft( y right) = mathbb{R}{rm{ при }}k ne 0\Eleft( y right) = left{ b right}{rm{ при }}k = 0.end{array} right.)
Теперь рассмотрим несколько задач на линейную функцию.
График линейной функции
Как я уже упоминал ранее, график такой функции – прямая линия.
Как известно из геометрии, прямую можно провести через две точки (то есть, если известны две точки, принадлежащие прямой, этого достаточно, чтобы ее начертить).
Предположим, у нас есть функция линейная функция ( y=2x+1). Чтобы построить ее график, нужно вычислить координаты любых двух точек.
То есть нужно взять любые два значения аргумента ( x) и вычислить соответствующие два значения функции.
Затем для каждой пары ( left( x;y right)) найдем точку в системе координат, и проведем прямую через эти две точки.
Проще всего найти функцию, если аргумент ( x=0:yleft( 0 right)=2cdot 0+1=1).
Итак, первая точка имеет координаты ( left( 0;1 right)).
Теперь возьмем любое другое число в качестве ( x), например, ( x=1:yleft( 1 right)=2cdot 1+1=3).
Вторая точка имеет координаты ( left( 1;3 right)).
Ставим эти две точки на координатной плоскости:
Теперь прикладываем линейку, и проводим прямую через эти две точки:
Вот и все, график построен!
Давай теперь на этом же рисунке построим еще два графика: ( y={x} -1) и ( y=-x+2).
Построй их самостоятельно так же: посчитай значение y для любых двух значений ( x), отметь эти точки на рисунке и проведи через них прямую.
Должно получиться так:
Коэффициенты линейной функции
Для начала выясним, что делает коэффициент ( displaystyle b). Рассмотрим функцию ( displaystyle y=x+b), то есть ( displaystyle k=1).
Меняя ( displaystyle b) будем следить, что происходит с графиком.
Итак, начертим графики для разных значений ( displaystyle b:b=-2,text{ -}1,text{ }0,text{ }1,text{ }2):
Что ты можешь сказать о них? Чем отличаются графики?
Это сразу видно: чем больше ( displaystyle b), тем выше располагается прямая.
Более того, заметь такую вещь: график пересекает ось ( displaystyle mathbf{y}) в точке с координатой, равной ( displaystyle mathbf{b})!
И правда. Как найти точку пересечения графика с осью ( displaystyle y)? Чему равен ( displaystyle x) в такой точке?
В любой точке оси ординат (это название оси ( displaystyle y), если ты забыл) ( displaystyle x=0).
Значит достаточно подставить ( displaystyle x=0) в функцию, и получим ординату пересечения графика с осью ( displaystyle y):
( displaystyle y=kcdot 0+b=b)
Теперь по поводу ( displaystyle k). Рассмотрим функцию ( displaystyle left( b=0 right).) Будем менять ( displaystyle k) и смотреть, что происходит с графиком.
Построим графики для ( displaystyle k=-3,text{ -}1,text{ }0,text{ }1,text{ }2:)
Так, теперь ясно: ( displaystyle k) влияет на наклон графика.
Чем больше ( displaystyle k) по модулю (то есть несмотря на знак), тем «круче» (под большим углом к оси абсцисс – ( displaystyle Ox)) расположена прямая.
Если ( displaystyle k>0), график наклонен «вправо», при ( displaystyle k<0) – «влево». А когда ( displaystyle k=0), прямая располагается вдоль оси абсциссс.
Давай разбираться. Начертим новый график ( displaystyle y=kx+b):
Выберем на графике две точки ( displaystyle A) и ( displaystyle B). Для простоты выберем точку ( displaystyle A) на пересечении графика с осью ординат. Точка ( displaystyle B) – в произвольном месте прямой, пусть ее координаты равны ( displaystyle left( x;y right)).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ( displaystyle ABC), построенный на отрезке ( displaystyle AB) как на гипотенузе.
Из рисунка видно, что ( displaystyle AC=x), ( displaystyle BC=y-b).
Подставим ( displaystyle y=kx+b) в ( displaystyle BC:BC=y-b=kx+b-b=kx).
Получается, что ( BC = k cdot AC{rm{ }} Rightarrow {rm{ }}k = frac{{BC}}{{AC}} = {mathop{rm tg}nolimits} alpha ).
Итак, коэффициент ( displaystyle k) равен тангенсу угла наклона графика, то есть угла между графиком и осью абсциссс.
Именно поэтому его (коэффициент ( displaystyle k)) обычно называют угловым коэффициентом.
В случае, когда ( k < 0,{mathop{rm tg}nolimits} alpha < 0,) что соответствует тупому углу:
Если же ( displaystyle k=0), тогда и ( {mathop{rm tg}nolimits} alpha = 0,) следовательно ( displaystyle alpha =0), то есть прямая параллельна оси абсцисс.
Понимать геометрическое значение коэффициентов очень важно, оно часто используется в различных задачах на линейную функцию.