- Построение графика функции $y = frac{x+1}{x-1}$ последовательными преобразованиями гиперболы $y = frac{1}{x}$
- Анализ асимптот
- Алгоритм построения графика дробно-линейной функции
- Примеры
Построение графика функции $y = frac{x+1}{x-1}$ последовательными преобразованиями гиперболы $y = frac{1}{x}$
Начнём исследование с построения графика для $y = frac{x+1}{x-1}$.
Выделим целую часть в дроби: $y = frac{x+1}{x-1} = frac{(x-1)+2}{x-1} = 1+ frac{2}{x-1}$
Согласно §47-48 данного справочника, эта функция последовательно получается из гиперболы
$$ y = frac{1}{x} xrightarrow{2f(x)} y = frac{2}{x} xrightarrow{2f(x-1)} y = frac{2}{x-1} xrightarrow{2f(x-1)+1} y = frac{2}{x-1} +1 $$
Шаг 1. 2f(x) – функция $y = frac{1}{x}$ растягивается в 2 раза по оси OY, получаем $y = frac{2}{x}$
Шаг 2. 2f(x-1) – функция $y = frac{2}{x}$ сдвигается вправо на 1 по оси OX, получаем $y = frac{2}{x-1}$
Шаг 3. 2f(x-1)+1 — функция $ y = frac{2}{x-1}$ сдвигается вверх на 1 по оси OY, получаем $y = frac{2}{x-1}+1$.
Анализ асимптот
Итоговым графиком $y = frac{x+1}{x-1}$ является гипербола.
Ветки гиперболы ограничены двумя прямыми, которые называют асимптотами.
Ветки на бесконечности стремятся к этим прямым, но никогда их не достигают.
Рассмотрим смещение асимптот при построении.
Для исходного графика $y = frac{1}{x}$ асимптотами являются оси координат, x=0,y=0
Для графика $y = frac{2}{x}$ оси координат остаются асимптотами.
Для графика $y = frac{2}{x-1}$ происходит сдвиг вправо, асимптоты x=1,y=0
Для графика $y = frac{2}{x-1}+1$ происходит сдвиг вверх, конечные асимптоты x = 1, y = 1
Асимптоты служат хорошим ориентиром для построения графика гиперболы.
В данном случае, достаточно построить гиперболу $y = frac{2}{x}$ и переместить её параллельным переносом, заданным переносом точки пересечения асимптот из (0;0) в (1;1).
Алгоритм построения графика дробно-линейной функции
На входе
$$ y = frac{ax+b}{cx+d}, c neq 0, ad-bc neq 0 $$
Шаг 1. Выделить целую часть из дроби и представить её в виде $y = frac{A}{x+B}+C$
Шаг 2. Построить график $y = frac{A}{x}$.
Шаг 3. Построить горизонтальную асимптоту x = -B.
Шаг 4. Построить вертикальную асимптоту y = C.
Шаг 5. Переместить исходный график $y = frac{A}{x}$ параллельным переносом точки пересечения асимптот из (0;0) в (-B;C).
Если необходимо, отметить дополнительные точки, соединить кривой.
Гипербола $y = frac{A}{x+B}+C$ построена.
Примеры
Пример 1. Постройте график функции $y = frac{x+1}{x-3}$
Выделяем целую часть: $y = frac{x+1}{x-3} = frac{(x-3)+4}{x-3} = frac{4}{x-3} +1$
Исходная гипербола $y = frac{4}{x}$.
Асимптоты: x = 3, y = 1.
Получаем:
Пример 2. Постройте график функции $y = frac{x}{x+2}$
Выделяем целую часть: $y = frac{x}{x+2} = frac{(x+2)-2}{x+2} = frac{2}{x+2} +1$
Исходная гипербола $y = -frac{2}{x}$.
Асимптоты: x = -2, y = 1.
Получаем:
Пример 3*. Постройте график функции $y = frac{2x^2-8x}{x^2-7x+12}$
Преобразуем дробь:
$$ y = frac{2x^2-8x}{x^2-7x+12} = frac{2x(x-4)}{(x-3)(x-4)} = {left{ begin{array}{c} frac{2x}{x-3} \ x neq 4 end{array} right.} $$
$x neq 4$ — исключенная точка.
Выделим целую часть:
$$ y = frac{2x}{x-3} = frac{2x-6+6}{x-3} = frac{2(x-3)+3}{x-3} = frac{3}{x-3} +2 $$
Исходная гипербола $y = frac{3}{x}$.
Асимптоты: x = 3, y = 2.
Учитывая исключенную точку, получаем:
1. Дробно-линейная функция и ее график
Функция вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, называется дробно-рациональной функцией.
С понятием рациональных чисел вы уже наверняка знакомы. Аналогично рациональные функции – это функции, которые можно представить как частное двух многочленов.
Если дробно-рациональная функция представляет собой частное двух линейных функций – многочленов первой степени, т.е. функцию вида
y = (ax + b) / (cx + d), то ее называют дробно-линейной.
Заметим, что в функции y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (иначе функция становится линейной y = ax/d + b/d) и что a/c ≠ b/d (иначе функция константа). Дробно-линейная функция определена при всех действительных числах, кроме x = -d/c. Графики дробно-линейных функций по форме не отличаются от известного вам графика y = 1/x. Кривая, являющаяся графиком функции y = 1/x, называется гиперболой. При неограниченном увеличении x по абсолютной величине функция y = 1/x неограниченно уменьшается по абсолютной величине и обе ветки графика приближаются к оси абсцисс: правая приближается сверху, а левая – снизу. Прямые, к которым приближаются ветки гиперболы, называются ее асимптотами.
Пример 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Решение.
Выделим целую часть: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 3 единичных отрезка вправо, растяжением вдоль оси Oy в 7 раз и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх.
Любую дробь y = (ax + b) / (cx + d) можно записать аналогичным образом, выделив «целую часть». Следовательно, графики всех дробно-линейных функций есть гиперболы, различным образом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по оси Oy.
Для построения графика какой-нибудь произвольной дробно-линейной функции совсем не обязательно дробь, задающую эту функцию, преобразовывать. Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, будет достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветки – асимптоты гиперболы x = -d/c и y = a/c.
Пример 2.
Найти асимптоты графика функции y = (3x + 5)/(2x + 2).
Решение.
Функция не определена, при x = -1. Значит, прямая x = -1 служит вертикальной асимптотой. Для нахождения горизонтальной асимптоты, выясним, к чему приближаются значения функции y(x), когда аргумент x возрастает по абсолютной величине.
Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
При x → ∞ дробь будет стремиться к 3/2. Значит, горизонтальная асимптота – это прямая y = 3/2.
Пример 3.
Построить график функции y = (2x + 1)/(x + 1).
Решение.
Выделим у дроби «целую часть»:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
= 2 – 1/(x + 1).
Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 1 единицу влево, симметричным отображением относительно Ox и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх по оси Oy.
Область определения D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Область значений E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Точки пересечения с осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функция возрастает на каждом из промежутков области определения.
Ответ: рисунок 1.
2. Дробно-рациональная функция
Рассмотрим дробно-рациональную функцию вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, степени выше первой.
Примеры таких рациональных функций:
y = (x3 – 5x + 6) / (x7 – 6) или y = (x – 2)2(x + 1) / (x2 + 3).
Если функция y = P(x) / Q(x) представляет собой частное двух многочленов степени выше первой, то ее график будет, как правило, сложнее, и построить его точно, со всеми деталями бывает иногда трудно. Однако, часто достаточно применить приемы, аналогичные тем, с которыми мы уже познакомились выше.
Пусть дробь – правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A1/(x – K1)m1 + A2/(x – K1)m1-1 + … + Am1/(x – K1) + …+
+ L1/(x – Ks)ms + L2/(x – Ks)ms-1 + … + Lms/(x – Ks) + …+
+ (B1x + C1) / (x2 +p1x + q1)m1 + … + (Bm1x + Cm1) / (x2 +p1x + q1) + …+
+ (M1x + N1) / (x2 +ptx + qt)m1 + … + (Mm1x + Nm1) / (x2 +ptx + qt).
Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей.
Построение графиков дробно-рациональных функций
Рассмотрим несколько способов построения графиков дробно-рациональной функции.
Пример 4.
Построить график функции y = 1/x2.
Решение.
Используем график функции y = x2 для построения графика y = 1/x2 и воспользуемся приемом «деления» графиков.
Область определения D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Область значений E(y) = (0; +∞).
Точек пересечения с осями нет. Функция четная. Возрастает при все х из интервала (-∞; 0), убывает при x от 0 до +∞.
Ответ: рисунок 2.
Пример 5.
Построить график функции y = (x2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Решение.
Область определения D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/3 + 1/3.
Здесь мы использовали прием разложения на множители, сокращения и приведения к линейной функции.
Ответ: рисунок 3.
Пример 6.
Построить график функции y = (x2 – 1)/(x2 + 1).
Решение.
Область определения D(y) = R. Так как функция четная, то график симметричен относительно оси ординат. Прежде чем строить график, опять преобразуем выражение, выделив целую часть:
y = (x2 – 1)/(x2 + 1) = 1 – 2/(x2 + 1).
Заметим, что выделение целой части в формуле дробно-рациональной функции является одним из основных при построении графиков.
Если x → ±∞, то y → 1, т.е. прямая y = 1 является горизонтальной асимптотой.
Ответ: рисунок 4.
Пример 7.
Рассмотрим функцию y = x/(x2 + 1) и попробуем точно найти наибольшее ее значение, т.е. самую высокую точку правой половины графика. Чтобы точно построить этот график, сегодняшних знаний недостаточно. Очевидно, что наша кривая не может «подняться» очень высоко, т.к. знаменатель довольно быстро начинает «обгонять» числитель. Посмотрим, может ли значение функции равняться 1. Для этого нужно решить уравнение x2 + 1 = x, x2 – x + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней. Значит, наше предположение не верно. Чтобы найти самое большое значение функции, надо узнать, при каком самом большом А уравнение А = x/(x2 + 1) будет иметь решение. Заменим исходное уравнение квадратным: Аx2 – x + А = 0. Это уравнение имеет решение, когда 1 – 4А2 ≥ 0. Отсюда находим наибольшее значение А = 1/2.
Ответ: рисунок 5, max y(x) = ½.
Остались вопросы? Не знаете, как строить графики функций?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
Зарегистрироваться
© devblog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Функция у = 
и её график.
ЦЕЛИ:
1) ввести определение функции у = 
;
2) научить строить график функции у = , используя
программу Agrapher;
3) сформировать умение строить эскизы графиков
функции у = ,
используя свойства преобразования графиков
функций;
4) научить читать графики функций у =.
I. Новый материал – развёрнутая беседа.
У: Рассмотрим функции, заданные формулами у = 
; у = 
; у = 
.
Что представляют собой выражения, записанные в
правых частях этих формул?
Д: Правые части этих формул имеют вид
рациональной дроби, у которой числитель-двучлен
первой степени или число, отличное от нуля, а
знаменатель-двучлен первой степени.
У: Такие функции принято задавать формулой
вида
у = (1).
Рассмотрите случаи когда а) с = 0 или в) 
= 
.
(Если во втором случае учащиеся будут
испытывать затруднения, то нужно попросить их
выра зить с из заданной пропорции и затем
подставить полученное выражение в формулу (1)).
Д1: Если с = 0, то у = 
х + в – линейная функция.
Д2: Если 
= 
, то с = 
. Подставив
значение с в формулу (1) получим:
= 
= 
= , то есть у = — линейная функция.
У: Функция, которую можно задать формулой
вида у =, где
буквой х обозначена незави-
симая переменная, а буквами а, в, с и d –
произвольные числа, причём с
0 и аd – вс 
0, называется дробно-линейной
функцией.
Покажем, что графиком дробно-линейной функции
является гипербола.
Пример 1. Построим график функции у = 
. Выделим из дроби 
целую часть.
Имеем: = 
= 
= 1 + 
.
График функции у = 
+1 можно получить из графика функции у = 
с помощью двух
параллельных переносов: сдвига на 2 единицы
вправо вдоль оси Х и сдвига на 1 единицу вверх в
направлении оси У. При этих сдвигах переместятся
асимптоты гиперболы у = 
: прямая х = 0 (т. е. ось У) – на 2 единицы
вправо, а прямая у = 0 (т. е. ось Х) – на одну единицу
вверх. Прежде чем строить график, проведём на
координатной плоскости пунктиром асимптоты:
прямые х = 2 и у = 1 (рис. 1а). Учитывая,
что гипербола состоит из двух ветвей, для
построения каждой из них составим, используя
программу Agrapher, две таблицы: одну для х>2, а
другую для х<2.
| х | 1 | 0 | -1 | -2 | -4 | -10 |
| у | -5 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 |
| х | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 |
| у | 7 | 4 | 3 | 2,5 | 2 | 1,6 |
Отметим (с помощью программы Agrapher) в
координатной плоскости точки, координаты
которых записаны в первой таблице, и соединим их
плавной непрерывной линией. Получим одну ветвь
гиперболы. Аналогично, воспользовавшись второй
таблицей, получим вторую ветвь гиперболы (рис. 1б).
Пример 2. Построим график функции у = —
.Выделим из дроби 
целую часть,
разделив двучлен 2х + 10 на двучлен х + 3. Получим = 2 + 
. Следовательно, у = —
-2.
График функции у = —-2 можно получить из графика функции у = —
с помощью двух
параллельных переносов: сдвига на 3 единицы влево
и сдвига на 2 единицы вниз. Асимптоты гиперболы –
прямые х = -3 и у = -2. Составим (с помощью программы
Agrapher) таблицы для х<-3 и для х>-3.
| х | -2 | -1 | 1 | 2 | 7 |
| у | -6 | -4 | -3 | -2,8 | -2,4 |
| х | -4 | -5 | -7 | -8 | -11 |
| у | 2 | 0 | -1 | -1,2 | -1,5 |
Построив (с помощью программы Agrapher) точки в
координатной плоскости и проведя через них ветви
гиперболы, получим график функции у = — (рис. 2).
У: Что является графиком
дробно-линейной функции?
Д: Графиком любой дробно-линейной функции
является гипербола.
У: Как построить график дробно-линейной
функции?
Д: График дробно-линейной функции получается
из графика функции у = 
с помощью параллельных переносов вдоль
осей координат, ветви гиперболы дробно-линейной
функции симметричны относительно точки (-
. Прямая х = —
называется
вертикальной асимптотой гиперболы. Прямая у = 
называется
горизонтальной асимптотой.
У: Какова область определения
дробно-линейной функции?
Д: D(y) =
У: Какова область значений дробно-линейной
функции?
Д: Е(у) = 
.
У: Есть ли у функции нули?
Д: Если х = 0, то f(0) = 
, d
. То
есть у функции есть нули – точка А
.
У: Есть ли у графика дробно-линейной функции
точки пересечения с осью Х?
Д: Если у = 0, то х = —
. Значит, если а 
, то точка пересечения с осью Х имеет
координаты 
.
Если же а = 0, в , то точек
пересечения с осью абсцисс график
дробно-линейной функции не имеет.
У: Функция убывает на промежутках всей
области определения, если bc-ad > 0 и возрастает на
промежутках всей области определения, если bc-ad <
0. Но это немонотонная функция.
У: Можно ли указать наибольшее и наименьшее
значения функции?
Д: Наибольшего и наименьшего значений
функция не имеет.
У: Какие прямые являются асимптотами графика
дробно-линейной функции?
Д: Вертикальной асимптотой является прямая х
= —
; а
горизонтальной асимптотой – прямая y = 
.
(Все обобщающие выводы-определения и свойства
дробно-линейной функции учащиеся записывают в
тетрадь)
II. Закрепление.
При построении и “чтении” графиков
дробно-линейных функций применяются свойства
программы Agrapher
- Постройте график функции: а) у =
(рис. 3а); б) у = (рис.
3б). - Найдите область определения и область значений
функции f, если: a) f(x) =
(рис. 3в), б) f(x) = (рис. 3г). - Укажите асимптоты гиперболы – графика функции:
а) у = (рис. 4а); 
б) у =
— (рис.
4б); в) у =
.
(рис. 3а); б) у = 
(рис.
(рис. 3в), б) f(x) = 
(рис. 3г).
(рис. 4а); 
б) у =
(рис.
.
III. Обучающая самостоятельная работа.
- Найдите центр гиперболы, асимптоты и постройте
график функции:
а) у =
б) у =
; д) у =
; е) у =
ж) у =
б) у = 
в) у = 
; г) у = 
; д) у = 
; е) у = 
;
з) у = —
Каждый учащийся работает в своём темпе. При
необходимости учитель оказывает помощь, задавая
вопросы, ответы на которые помогут ученику
правильно выполнить задание.
Лабораторно-практическая работа по
исследованию свойств функций у = 
и у = и особенностей графиков этих
функций.
ЦЕЛИ: 1) продолжить формирование умений
строить графики функций у = 
и у = , используя программу Agrapher;
2) закрепить навыки “чтения графиков” функций
и способностей “предсказывать” изменения
графиков при различных преобразованиях дробно –
линейных функций.
I. Дифференцированное повторение свойств
дробно–линейной функции.
Каждому учащемуся выдаётся карточка –
распечатка c заданиями. Все построения
выполняются с помощью программы Agrapher. Результаты
выполнения каждого задания обсуждаются сразу же.
Каждый ученик с помощью самоконтроля может
скорректировать результаты, полученные при
выполнении задания и попросить помощи у учителя
или ученика – консультанта.
- Постройте график функции у = —
Используя график, найдите
значение У, соответствующее значению Х. равному
1,5; 8; -1,5; -2,5. - Постройте график функции f(x) =
Используя график, найдите
Найдите значение аргумента Х, при котором f(x) =6 ;
f(x) =-2.5.
3. Постройте график функции у =
Определите, принадлежит ли
графику данной функции точка: а) А(20;0.5); б) В(-30;-
); в) С(-4;2.5); г)
Д(25;0,4)?
4. Постройте график функции у =
Найдите промежутки в
которых у>0 и в которых у<0.
5. Постройте график функции у = 
. Найдите область
определения и область значений функции.
6. Укажите асимптоты гиперболы – графика
функции у = —
.
Выполните построение графика.
7. Постройте график функции у = 
. Найдите нули функции.
II.Лабораторно-практическая работа.
Каждому ученику выдаются 2 карточки: карточка
№1 “Инструкция” с планом, по которому выполняется
работа, и текстом с заданием и карточка №2 “Результаты
исследования функции”.
Примерное содержание карточки “Инструкции”:
- Постройте график указанной функции.
- Найдите область определения функции.
- Найдите область значения функции.
- Укажите асимптоты гиперболы.
- Найдите нули функции (f(x) = 0).
- Найдите точку пересечения гиперболы с осью Х (у =
0).
7. Найдите промежутки в которых : а) у<0; б) y>0.
8. Укажите промежутки возрастания (убывания)
функции.
I вариант.
Постройте, используя программу Agrapher, график
функции и исследуйте ей свойства:
а) у = 
б) у = —
в) у = 
г) у = 
д) у = 
е) у = 
.
-5-
Дополнительное задание.
Найдите точки пересечения графиков, выполнив
построение с помощью программы Agrapher.
Координаты, полученных точек, запишите в
тетрадь:
а) у = —
и у = х-7;
б) у = 
и у = х
+2х+3.
I I вариант.
Постройте, используя программу Agrapher, график
функции и исследуйте ей свойства:
а) у = 
б) у = —
в) у = 
г) у = 
д) у = 
е) у = 
.
Дополнительное задание.
Найдите точки пересечения графиков, выполнив
построение с помощью программы Agrapher.
Координаты, полученных точек, запишите в
тетрадь:
а) у = 
и у = х+2;
б) у = 
и у = х
-2х+3.
I I I вариант.
Постройте, используя программу Agrapher, график
функции и исследуйте ей свойства:
а) у = 
б) у = —
в) у = 
г) у = 
д) у = —
е) у = 
.
Дополнительное задание.
Найдите точки пересечения графиков, выполнив
построение с помощью программы Agrapher.
Координаты, полученных точек, запишите в
тетрадь:
а) у = —
и у = -х-1;
б) у = —
-2 и у = -х-2х-3.
I V вариант.
1. Постройте, используя программу Agrapher, график
функции и исследуйте ей свойства:
а) у = 
б) у = —
в) у = 
г) у = —
д) у = —
е) у = 
.
Дополнительное задание.
Найдите точки пересечения графиков, выполнив
построение с помощью программы Agrapher.
Координаты, полученных точек, запишите в
тетрадь:
а) у = 
и у = х+1;
б) у = —
и у = — х-2х-5.
Примерное содержание карточки “Результаты
исследования функции» см. “Приложение
1”.
Список литературы.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Алгебра 8
класс: Учебник для школ и классов с углубленным
изучением математики.- М.: Мнемозина, 2001г. - Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические
материалы по алгебре для 8 класса с углубленным
изучением математики.- М.: Просвещение, 2001г. - Звавич Л. И., Рязановский А. Р. Алгебра 8 класс:
Задачник для класса с углубленным изучением
математики. – М. Мнемозина,2002 г. - Виленкин Н. Я., Сурвилло Г. С., Симонов А.С.,
Кудрявцев А. И. Алгебра для 9 класса : Учебное
пособие для учащихся школ и классов с
углубленным изучением математики. – М.:
Просвещение, 1996г. - Зив Б. Г., Гольдич В. А. Дидактические материалы
по алгебре для 9 класса. С. – П. Черо – на – Неве,
2001г.
Дробно-рациональная функция — это функция вида 
, где f(x) и g(x) — некоторые функции.
График дробно-рациональной функции представляет собой гиперболу.
Функция имеет две асимптоты — вертикальную и горизонтальную.
Определение.Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность:
x=a уравнение вертикальной асимптоты
y=b уравнение горизонтальной асимптоты
y=kx+b уравнение наклонной асимптоты
Дробно-линейная функция представляет собой частный случай дробно-рациональной функции.
Дробно-линейная функция – это такая алгебраическая дробь 
, у которой числитель и знаменатель представляют собой линейные функции.
Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую часть.
Построим график функции y=1/x:
D(y): х≠0
E(y): у≠0
y = k/x — нечетная
Построим график функции y=k/x:
При k=2 y=-2/x:
ООФ: х≠0
МЗФ: у≠0
y=k/x – нечетная
Пример1 . Построим график функции 
, т.е. представим ее в виде 
: выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель, мы получим:
.
Итак, 
. Мы видим, что график этой функции может быть получен из графика функции у=5/х с помощью двух последовательных сдвигов: сдвига гиперболы у=5/х вправо на 3 единицы, а затем сдвига полученной гиперболы 
вверх на 2 единицы.
При этих сдвигах асимптоты гиперболы у=5/х также переместятся: ось х на 2 единицы вверх, а ось у на 3 единицы вправо.
Для построения графика проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямую у=2 и прямую х=3. Так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения каждой из них составим две таблицы: одну для х3 (т. е. первую слева от точки пересечения асимптот, а вторую справа от нее):
|
x |
-7 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
2,5 |
|
y |
1,5 |
1 |
0,75 |
0,33 |
-0,5 |
-3 |
-8 |
|
x |
3,5 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
13 |
|
y |
12 |
7 |
4,5 |
3,33 |
3,25 |
3 |
2,52 |
Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично (используя вторую таблицу) получим вторую ветвь гиперболы. График функции изображен на рисунке 3.
Любую дробь 
можно записать аналогичным образом, выделив ее целую часть. Следовательно, графики всех дробно-линейных функций являются гиперболами, различным образом сдвинутыми параллельно координатным осям и растянутыми по оси Оу.
Пример 2.
Построим график функции 
.
Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветви (асимптоты), и еще несколько точек.
Найдем сначала вертикальную асимптоту. Функция не определена там, где 2х+2=0, т.е. при х=-1. Стало быть, вертикальной асимптотой служит прямая х=-1.
Чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо посмотреть, к чему приближаются значения функций, когда аргумент возрастает (по абсолютной величине), вторые слагаемые в числителе и знаменателе дроби 
относительно малы. Поэтому
.
Стало быть, горизонтальная асимптота – прямая у=3/2.
Определим точки пересечения нашей гиперболы с осями координат. При х=0 имеем у=5/2. Функция равна нулю, когда 3х+5=0, т.е. при х=-5/3.
Отметив на чертеже точки (-5/3;0) и (0;5/2) и проведя найденные горизонтальную и вертикальную асимптоты, построим график (рис.4).
Вообще, чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо разделить числитель на знаменатель, тогда y=3/2+1/(x+1), y=3/2 – горизонтальная асимптота.
Алгоритм построения графика дробно-рациональной функции, содержащей квадратный трехчлен.
-
Найти область определения функции.
-
Разложить на множители квадратный трехчлен.
-
Сократить дробь.
-
Построить график (параболу, гиперболу, кубическую параболу).
-
Исключить из графика точки, не входящие в область определения («выколотые» точки).
-
Найти значение функции в «выколотых» точках.
-
Определить, при каких значениях b прямая y=b имеет с графиком ровно одну общую точку.
ЗАДАНИЕ
Построить график функции (D(y), на графике – выколотые точки):
Конспект
Функция обратной пропорциональности
Графиком этой функции является гипербола.
Областью определения данной функции является всё множество чисел отличных от нуля.
Возьмём функцию 
, х > 0, k = 2
Обратим внимание, что при неограниченном возрастании положительных значений аргумента, сами значения функции убывают и стремятся к нулю.
Такая же ситуация происходит при неограниченном уменьшении аргумента функции, значения функции возрастают и стремятся к нулю.
| x | 0,25 | 0,4 | 1 | 2 | 4 | 8 |
| y | 8 | 5 | 2 | 1 | 0,5 | 0,25 |
| х | –0,25 | –0,4 | –1 | –2 | –4 | –8 |
| y | –8 | –5 | –2 | –1 | –0,5 | –0,25 |
При x > 0 и x → +∞, то y → 0; при x < 0 и x → –∞, то y → 0.
Обратим внимание на график.
При возрастании положительных значений аргумента x (x → +∞), значения функции y остаются положительными, но убывают и стремятся к нулю. График неограниченно приближается к оси x.
В этом случае говорят, что ось x является асимптотой графика функции.
Для функции при k > 0 ось абсцисс является асимптотой функции.
Асимптотой графика функции называется прямая линия, к которой приближаются бесконечно близко точки графика функции по мере их удаления в бесконечность.
Гипербола имеет еще одну асимптоту – ось ординат.
Ось ординат является асимптотой функции при k > 0.
Функция при k < 0 также будет иметь две асимптоты в виде осей х и y.
Дробно-линейная функция
Функция, в правой части которой представлена дробь с числителем в виде многочлена первой степени или числа отличного от нуля, а знаменатель является многочленом первой степени, называется дробно-линейной функцией.
Пример функции: 
.
Общий вид дробно-линейной функции
, где
х – переменная; a, b, c, d – произвольные числа.
Важно! с ≠ 0, ad – bc ≠ 0
Пояснение ограничений.
-
• с = 0
. Получили линейную функцию.
• ad – bc ≠ 0
Рассмотрим на примере функции 
. 3 • 4 – 6 • 2 = 0.
– константа (число).
Правила параллельного переноса графиков функций
График функции y = f(x) + n → y = f(x), при n > 0 – вверх по оси y, n < 0 – вниз по оси y.
График функции y = f(x – m) → y = f(x – m), при m > 0 – вправо по оси x, m < 0 – влево по оси x.
График гиперболы можно переносить вдоль осей по схожему принципу.
Рассмотрим пример №1.
.
Произведём преобразования, приведём функцию к виду
.
.
Данный вид соответствует тому к которому надо было привести функцию: k = 9, m = 1, n = 3.
График, полученной нами функции можно получить с помощью двух параллельных переносов в соответствии со значениями m = 1 по оси x вправо и n = 3 по оси y вверх графика функции 
.
Функция 
. Т. к. это гипербола, т. е. имеет две ветви, то составим две таблицы значений.
| x | 1 | 1,5 | 3 | 5 | 8 |
| y | 9 | 6 | 3 | 1,8 | 1,1 |
| x | –1 | –1,5 | –3 | –5 | –8 |
| y | –9 | –6 | –3 | –1,8 | –1,1 |
Построим красным пунктиром асимптоты к нашей целевой функции, так как они тоже сдвинутся на значения m и n.
Т. е., выделив из дроби целую часть, мы нашли асимптоты будущего графика.
Выполним построение гиперболы по указанным значениям.
График функции 
| x | 0 | –0,5 | –2 | –4 | –9 |
| y | –6 | –3 | 0 | 1,2 | 2,1 |
| x | 2 | 2,5 | 4 | 6 | 9 |
| y | 12 | 9 | 6 | 4,8 | 4 |
Рассмотрим пример №2.
Построить график функции 
.
Найдём асимптоты будущего графика функции.
.
k = 5; m = –1; n = –4.
Асимптоты будущего графика функции нужно сместить на 1 единицу влево по оси x и на 4 единицы вниз по оси y.
Определена «родительская» функция 
.
Выполним построение гиперболы по указанным значениям.
График функции 
| x | –0,5 | 0 | 1,5 | 4 | 9 |
| y | 6 | 1 | –2 | –3 | –3,5 |
| x | –11 | –6 | –3 | –2 | –1,5 |
| y | –4,5 | –5 | –6,5 | –9 | –14 |
Выводы.
-
• Любую дробно-линейную функцию вида
можно представить в виде 
.
• Графиком дробно-линейной функции является гипербола, которую можно построить из гиперболы функции 
с помощью двух параллельных переносов.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.