Как найти линейно независимые строки матрицы

Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы

В предыдущем разделе были введены операции умножения матриц на число и сложения матриц, в частности, для матриц-столбцов (ntimes1) и матриц-строк (1times n). Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой главе прописными буквами. При помощи этих операций можно составлять некоторые алгебраические выражения. Напомним, что равными считаются столбцы одинаковых размеров с равными соответствующими элементами.

Столбец A называется линейной комбинацией столбцов A_1,A_2,ldots,A_k одинаковых размеров, если

A=alpha_1cdot A_1+alpha_2cdot A_2+ldots+alpha_kcdot A_k,

(3.1)

где alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_k — некоторые числа. В этом случае говорят, что столбец A разложен по столбцам A_1,A_2,ldots,A_k, а числа alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_k называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация A=0cdot A_1+0cdot A_2+ldots+0cdot A_k с нулевыми коэффициентами называется тривиальной.

Если столбцы в (3.1) имеют вид

A=begin{pmatrix}a_1\vdots\a_nend{pmatrix}!,quad A_1=begin{pmatrix}a_{11}\vdots\a_{n1}end{pmatrix}!,~ldots,~ A_k=begin{pmatrix}a_{1k}\vdots\a_{nk}end{pmatrix}!,

то матричному равенству (3.1) соответствуют поэлементные равенства

a_i=alpha_1cdot a_{i1}+alpha_2cdot a_{i2}+ldots+ alpha_{k}cdot a_{ik},quad i=1,2,ldots,n.

Аналогично формулируется определение линейной комбинации строк одинаковых размеров.

Набор столбцов A_1,A_2,ldots,A_k одинаковых размеров называется системой столбцов.

Система из k столбцов A_1,A_2,ldots,A_k называется линейно зависимой, если существуют такие числа alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_k, не все равные нулю одновременно, что

alpha_1cdot A_1+alpha_2cdot A_2+ldots+alpha_kcdot A_k=o.

(3.2)

Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.

Система из k столбцов A_1,A_2,ldots,A_k называется линейно независимой, если равенство (3.2) возможно только при alpha_1=alpha_2=ldots=alpha_k=0, т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.2) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).

Замечания 3.1

1. Один столбец A_1 тоже образует систему: при A_1=o — линейно зависимую, а при A_1ne o линейно независимую.

2. Любая часть системы столбцов называется подсистемой.


Пример 3.1. Используя определение, установить линейную зависимость или линейную независимость систем столбцов

mathsf{1)}~ A_1=begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}!,~A_2=begin{pmatrix}2\0end{pmatrix}!;quad mathsf{2)}~ A_1=begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}!,~ A_2=begin{pmatrix}0\2end{pmatrix}!.

Решение. 1) Столбцы A_1=begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}!,~A_2=begin{pmatrix}2\0end{pmatrix} линейно зависимы, так как можно составить нетривиальную линейную комбинацию, например, с коэффициентами alpha_1=2,,alpha_2=-1, которая равна нулевому столбцу: 2cdot! begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}-1cdot! begin{pmatrix}2\0end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0end{pmatrix}.

2) Столбцы A_1=begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}!,~ A_2=begin{pmatrix}0\2end{pmatrix} линейно независимы, так как равенство

alpha_1cdot! begin{pmatrix}1\0end{pmatrix}+ alpha_2cdot begin{pmatrix}0\2end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0end{pmatrix}!, равносильное системе begin{cases}1cdotalpha_1=0,\2cdotalpha_2=0,end{cases}

оказывается верным только при alpha_1=alpha_2=0.


Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц

Понятия линейной зависимости и линейной независимости определяются для строк и столбцов одинаково. Поэтому свойства, связанные с этими понятиями, сформулированные для столбцов, разумеется, справедливы и для строк.

1. Если в систему столбцов входит нулевой столбец, то она линейно зависима.

2. Если в системе столбцов имеется два равных столбца, то она линейно зависима.

3. Если в системе столбцов имеется два пропорциональных столбца (A_i=lambda A_j), то она линейно зависима.

4. Система из k>1 столбцов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые столбцы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система столбцов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система столбцов A_1,A_2,ldots,A_k — линейно независима, а после присоединения к ней столбца A — оказывается линейно зависимой, то столбец A можно разложить по столбцам A_1,A_2,ldots,A_k, и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Докажем, например, последнее свойство. Так как система столбцов A_1,A_2,ldots,A_k,A линейно зависима, то существуют числа alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_k,alpha не все равные 0, что

alpha_1cdot A+alpha_2cdot A_2+ldots+alpha_kcdot A_k+alphacdot A=o.

В этом равенстве alphane o. В самом деле, если alpha=0, то

alpha_1cdot A+alpha_2cdot A_2+ldots+alpha_kcdot A_k=o.

Значит, нетривиальная линейная комбинация столбцов A_1,A_2,ldots,A_k равна нулевому столбцу, что противоречит линейной независимости системы A_1,A_2,ldots,A_k. Следовательно, alphane0 и тогда A=-frac{alpha_1}{alpha}A_1-ldots-frac{alpha_k}{alpha}A_k, т.е. столбец A есть линейная комбинация столбцов A_1,A_2,ldots,A_k. Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения A=alpha_1 A+ldots+alpha_k A_k и A=beta_1 A_1+ldots+beta_k A_k, причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, alpha_1=beta_1). Тогда из равенства

alpha_1 A+ldots+alpha_k A_k=beta_1 A_1+ldots+beta_k A_k получаем (alpha_1-beta_1)A_1+ldots+(alpha_k-beta_k)A_k=o

последовательно, линейная комбинация столбцов A_1,A_2,ldots,A_k равна нулевому столбцу. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере alpha_1-beta_1ne0), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости столбцов A_1,A_2,ldots,A_k. Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.


Пример 3.2. Доказать, что два ненулевых столбца A_1 и A_2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. A_1=lambda A_2.

Решение. В самом деле, если столбцы A_1 и A_2 линейно зависимы, то существуют такие числа alpha_1,,alpha_2, не равные нулю одновременно, что alpha_1A_1+alpha_2A_2=o. Причем в этом равенстве alpha_1ne0. Действительно, предположив, что alpha_1=0, получим противоречие alpha_2A_2=o, поскольку alpha_2ne0 и столбец A_2 — ненулевой. Значит, alpha_1ne0. Поэтому найдется число lambda=-frac{alpha_1}{alpha_2} такое, что A_1=lambda A_2. Необходимость доказана.

Наоборот, если A_1=lambda A_2, то 1cdot A_1+(-lambda)A_2=o. Получили нетривиальную линейную комбинацию столбцов, равную нулевому столбцу. Значит, столбцы линейно зависимы.


Пример 3.3. Рассмотреть всевозможные системы, образованные из столбцов

A_1=begin{pmatrix}0\0\0end{pmatrix}!,quad A_2=begin{pmatrix}1\1\1end{pmatrix}!,quad A_3=begin{pmatrix}2\2\2end{pmatrix}!,quad A_4=begin{pmatrix}1\2\3end{pmatrix}!,quad A_5=begin{pmatrix}3\4\5end{pmatrix}!.

Исследовать каждую систему на линейную зависимость.

Решение. Рассмотрим пять систем, содержащих по одному столбцу. Согласно пункту 1 замечаний 3.1: системы A_2,,A_3,,A_4,,A_5, линейно независимы, а система, состоящая из одного нулевого столбца A_1, линейно зависима.

Рассмотрим системы, содержащие по два столбца:

– каждая из четырех систем A_1,A_2;~A_1,A_3;~A_1,A_4 и A_1,A_5 линейно зависима, так как содержит нулевой столбец A_1 (свойство 1);

– система A_2,,A_3 линейно зависима, так как столбцы пропорциональны (свойство 3): A_3=2A_2;

– каждая из пяти систем A_2,A_4;~A_2,A_5;~A_3,A_4;~A_3,A_5 и A_4,A_5 линейно независима, так как столбцы непропорциональные (см. утверждение примера 3.2).

Рассмотрим системы, содержащие три столбца:

– каждая из шести систем A_1,A_2,A_3;~A_1,A_2,A_4;~A_1,A_2,A_5;~A_1,A_3,A_4;~A_1,A_3,A_5 и A_1,A_4,A_5 линейно зависима, так как содержит нулевой столбец A_1 (свойство 1);

– системы A_2,A_3,A_4;~A_2,A_3,A_5 линейно зависимы, так как содержат линейно зависимую подсистему A_2,A_3 (свойство 6);

– системы A_2,A_4,A_5 и A_3,A_4,A_5 линейно зависимы, так как последний столбец линейно выражается через остальные (свойство 4): A_5=2A_2+A_4 и A_5=A_3+A_4 соответственно.

Наконец, системы из четырех или из пяти столбцов линейно зависимы (по свойству 6).

См. также Ранг системы столбцов (строк) матрицы

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Понятие ранга матрицы тесно связано с
понятием линейной зависимости и линейной
независимости строк (столбцов) матрицы.

В матрице
рассмотрим отдельные строки.

Обозначим строки
;;
…;.

Определение 1.16 Строка
называется линейной комбинацией
строк,
если ее можно представить в виде

,
где
числовые коэффициенты;

,

В этом случае, говорят, что строка
линейно выражается через строки.

Определение 1.17 Система, состоящая
из строк матрицы,
называетсялинейно зависимой,
если хотя бы одна из этих строк является
линейной комбинацией других строк этой
системы, например,

.

В противном случае, если ни одна из строк

не может быть представлена в виде
линейной комбинации других строк этой
системы, строкиназываютсялинейно независимыми.

Замечание. Следует отметить,
что определение 1.17 не является строгим.
Строгое определение линейно зависимой
и линейно независимой системы будет
дано ниже.

Примеры.

  1. Рассмотрим строки
    и.
    Нетрудно, заметить, чтот.
    е. строкалинейно выражается через строку,
    следовательно, строки
    линейно зависимы.

Две пропорциональные строки –
линейно зависимы.

Соответственно, две непропорциональные
строки – линейно независимы.

  1. Рассмотрим три строки
    ,,Нетрудно заметить, что строкаможет быть представлена в виде суммы
    строки,
    т.е..
    Следовательно, строки— линейно зависимые.

Если отбросить строку
,
то строкии
линейно независимые, так как
непропорциональные. Следовательно,
максимальное число линейно независимых
строк в данной системе равно двум.

Теорема о ранге матрицы

Ранг матрицы равен максимальному
числу линейно независимых строк
(столбцов) матрицы, через которые линейно
выражаются все остальные строки матрицы.

Пример.

Найти максимальное число линейно
независимых строк матрицы

.

Решение.

Задача сводится к отысканию ранга
матрицы
.
Найдем ранг матрицы, приведя ее к
ступенчатому виду с помощью элементарных
преобразований.

̴̴.

В ступенчатой матрице две ненулевые
строки, следовательно,
,
а значит, максимальное число линейно
независимых строк матрицы равно 2.
Первая и вторая строки матрицы – линейно
независимые.

Теорема о ранге матрицы имеет принципиальное
значение при изучении систем линейных
алгебраических уравнений.

Соседние файлы в папке Теория ЛА (первый семестр)

  • #

    25.03.2016583.68 Кб5~WRL3348.tmp

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Линейно зависимые и независимые строки.

Навигация по странице:

  • Линейная комбинация строк
  • Тривиальная линейная комбинация строк
  • Нетривиальная линейная комбинация строк
  • Линейно зависимые строки
  • Линейно независимые строки
  • Примеры линейно зависимых и линейно независимых строк

Определение.

Линейной комбинацией строк s1, s2, …, sl матрицы A называется выражение

α1s1 + α2s2 + … + αlsl

Определение.

Линейная комбинация строк называется тривиальной, если все коэффициенты αi одновременно равны нулю.

Замечание.

Тривиальная линейная комбинация строк равна нулевой строке.

Определение.

Линейная комбинация строк называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов αi не равен нулю.

Определение.

Система строк называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевой строке.

Определение.

Система строк называется линейно независимой (ЛНЗ), если только тривиальная линейная комбинация равна нулевой строке (не существует их нетривиальной линейной комбинации, равной нулевой строке).

Пример 1.

Показать, что система строк {s1 = {2   5}; s2 = {4   10}} является линейно зависимой.

Решение. Составим линейную комбинацию этих строк

α1{2   5} + α2{4   10}

Найдем при каких значениях α1, α2 эта линейная комбинация равна нулевой строке

α1{2   5} + α2{4   10} = {0   0}

Данное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

{ 2α1 + 4α2 = 0
5α1 + 10α2 = 0

Разделим первое уравнение на 2, а второе уравнение на 5:

{ α1 + 2α2 = 0
α1 + 2α2 = 0

Решением этой системы могут быть любые числа α1 и α2 такие что: α1 = -2α2, например, α2 = 1, α1 = -2, а это означает что строки s1 и s2 линейно зависимые.

Пример 2.

Показать, что система строк {s1 = {2   5   1}; s2 = {4   10   0}} является линейно независимой.

Решение. Составим линейную комбинацию этих строк

α1{2   5   1} + α2{4   10   0}

Найдем при каких значениях α1, α2 эта линейная комбинация равна нулевой строке

α1{2   5   1} + α2{4   10   0} = {0   0   0}

Данное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

{ 2α1 + 4α2 = 0
5α1 + 10α2 = 0
α1 + 0α2 = 0

Из 3-тего уравнения получаем α1 = 0, подставим это значение в 1-ое и 2-ое уравнения:

2·0+4α2=0
5·0+10α2=0
α1=0

=>

4α2=0
10α2=0
α1=0

=>

α2 = 0
α2 = 0
α1 = 0

Так как линейная комбинация строк равна нулю только когда α1 = 0 и α2 = 0, то строки линейно независимые.

В данной публикации мы рассмотрим, что такое линейная комбинация строк, линейно зависимые и независимые строки. Также приведем примеры для лучшего понимания теоретического материала.

  • Определение линейной комбинации строк

  • Линейно зависимые и независимые строки

  • Пример задачи

Определение линейной комбинации строк

Линейной комбинацией (ЛК) строк s1, s2, …, sn матрицы A называется выражение следующего вида:

αs1 + αs2 + … + αsn

Если все коэффициенты αi равны нулю, значит ЛК является тривиальной. Другими словами, тривиальная линейная комбинация равняется нулевой строке.

Например: 0 · s1 + 0 · s2 + 0 · s3

Соответственно, если хотя бы один из коэффициентов αi не равен нулю, то ЛК является нетривиальной.

Например: 0 · s1 + 2 · s2 + 0 · s3

Линейно зависимые и независимые строки

Система строк является линейно зависимой (ЛЗ), если есть их нетривиальная линейная комбинация, которая равна нулевой строке.

Отсюда следует, что нетривиальная ЛК в некоторых случаях может равняться нулевой строке.

Система строк является линейно независимой (ЛНЗ), если только тривиальная ЛК равняется нулевой строке.

Примечания:

  • В квадратной матрице система строк является ЛЗ только в том случае, если определитель этой матрицы равняется нулю (det = 0).
  • В квадратной матрице система строк является ЛНЗ только в том случае, если определитель этой матрицы не равен нулю (det ≠ 0).

Пример задачи

Давайте выясним, является ли система строк {s1 = {3 4};s2 = {9 12}} линейно зависимой.

Решение:

1. Для начала составим ЛК.

α1{3 4} + α2{9 12}.

2. Теперь выясним, какие значения должны принимать α1 и α2, чтобы линейная комбинация равнялась нулевой строке.

α1{3 4} + α2{9 12} = {0 0}.

3. Составим систему уравнений:

Система линейных уравнений

4. Первой уравнение разделим на три, второе – на четыре:

Система линейных уравнений

5. Решением данной системы являются любые α1 и α2, при этом α1 = -3α2.
Например, если α2 = 2, то α1 = -6. Подставляем эти значения в систему уравнений выше и получаем:

Проверка системы линейных уравнений

Ответ: таким образом, строки s1 и s2 линейно зависимы.

Содержание:

  • Линейная комбинация строк
  • Линейно зависимые и независимые строки

Понятие линейно зависимых и линейно независимых строк необходимо для
определения ранга матрицы в следующей теме.

Линейная комбинация строк

Определение

Линейной комбинацией (ЛК) строк $s_{1}, s_{2} ldots ldots s_{m}$ матрицы $A$ называется выражение $lambda_{1} cdot s_{1}+lambda_{2} cdot s_{2}+ldots+lambda_{m} cdot s_{m}$

ЛК называется тривиальной, если все коэффициенты $lambda_{i}$
равны нулю одновременно.

Пример

Определение

ЛК называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов $lambda_{i}$ отличен от нуля.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

$0 cdot s_{1}+0 cdot s_{2}+1 cdot s_{m}$

Замечание

Нетривиальная ЛК тоже может быть равной нулевой строке.

Пример

$1 cdot (-2 2) + 2 cdot (1 -1) = (0 0)$

Линейно зависимые и независимые строки

Определение

Система строк называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует их нетривиальная ЛК, равная нулевой строке.

Пример

Система строк $left{s_{1}=left(begin{array}{cc}
-2 & 2
end{array}right), s_{2}=left(begin{array}{cc}
1 & -1
end{array}right)right}$ , линейно зависима,
так как ЛК этих строк $1 cdot s_{1} + 2 cdot s_{2}$ равна нулевой строке.

Определение

Система строк называется линейно независимой (ЛНЗ), если только тривиальная ЛК равна нулевой строке.

Пример

Задание. Показать, что система строк $left{s_{1}=left(begin{array}{cc}
1 & 0
end{array}right), s_{2}=left(begin{array}{cc}
1 & 1
end{array}right)right}$ является ЛНЗ.

Решение. Составим ЛК заданных строк:

$$lambda_{1} s_{1}+lambda_{2} s_{2}=left(begin{array}{cc}
lambda_{1} & 0
end{array}right)+left(begin{array}{cc}
lambda_{2} & lambda_{2}
end{array}right)=left(begin{array}{c}
lambda_{1}+lambda_{2} & lambda_{2}
end{array}right)=$$

$$=left(begin{array}{ll}
0 & 0
end{array}right) Longrightarrowleft{begin{array}{l}
lambda_{1}+lambda_{2}=0 \
lambda_{2}=0
end{array} Rightarrowleft{begin{array}{l}
lambda_{1}=0 \
lambda_{2}=0
end{array}right.right.$$

То есть ЛК данных строк равна нулевой строке, только если коэффициенты равны нулю одновременно.

Читать дальше: ранг матрицы.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти эксцентриситет орбиты формулы
  • Как найти киностудию в гта 5
  • Как исправить осанку шеи у взрослого
  • Хранилище айфон как найти в телефоне
  • Как составить матрицу расстояний графа

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии