Как решать пределы для чайников?
Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.
Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Вычислить а) $ lim_{x to 0} frac{1}{x} $; б)$ lim_{x to infty} frac{1}{x} $ |
| Решение |
|
а) $$ lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty $$ б)$$ lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$ Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ text{a)} lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty text{ б)}lim limits_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$ |
| Пример 2 |
| $$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} $$ |
| Решение |
|
Внимание «чайникам» $$ lim limits_{x to 1} frac{x^2+2 cdot x+1}{x+1}=frac{1^2+2 cdot 1+1}{1+1} = $$ $$ = frac{4}{2}=2 $$ Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними — это не так страшно как кажется |
| Ответ |
| $$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = 2 $$ |
Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:Что делать с неопределенностью вида: $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $
| Пример 3 |
| Решить $ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} $ |
| Решение |
|
Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела. $$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = frac{(-1)^2-1}{-1+1}=frac{0}{0} $$ Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование: $$ lim limits_{x to -1}frac{x^2-1}{x+1} = lim limits_{x to -1}frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$ $$ = lim limits_{x to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Ответ |
| $$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$ |
| Пример 4 |
| $$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$ |
| Решение |
|
$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{0}{0} = $$ $$ = lim limits_{x to 2}frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2} = $$ $$ = lim limits_{x to 2}frac{x+2}{x-2} = frac{2+2}{2-2} = frac{4}{0} = infty $$ Бесконечность получилась в результате — это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность. |
| Ответ |
| $$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = infty $$ |
Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $
| Пример 5 |
| Вычислить $ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} $ |
| Решение |
|
$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = frac{infty}{infty} $ Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное — возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем… $$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} =lim limits_{x to infty} frac{x^2(1-frac{1}{x^2})}{x(1+frac{1}{x})} = $$ $$ = lim limits_{x to infty} frac{x(1-frac{1}{x^2})}{(1+frac{1}{x})} = $$ Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем: $$ = frac{infty(1-frac{1}{infty})}{(1+frac{1}{infty})} = frac{infty cdot 1}{1+0} = frac{infty}{1} = infty $$ |
| Ответ |
| $$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = infty $$ |
| Пример 6 |
| $$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$ |
| Решение |
|
$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} $$ Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем… $$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} = $$ $$ lim limits_{x to infty}frac{x^2(1-frac{4}{x^2})}{x^2(1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2})} = $$ $$ lim limits_{x to infty}frac{1-frac{4}{x^2}}{1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2}} = frac{1}{1} = 1 $$ |
| Ответ |
| $$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = 1 $$ |
Алгоритм вычисления лимитов
Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:
- Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: «ноль делить на ноль» или «бесконечность делить на бесконечность» и переходим к следующим пунктам инструкции.
- Чтобы устранить неопределенность «ноль делить на ноль» нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
- Если неопределенность «бесконечность делить на бесконечность», тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.
В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.
Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!
Вычисление пределов. Пределы с неопределенностью
Прежде чем рассказать о вычислении пределов с неопределенностью, хочется верить, что у вас уже есть понимание того, что такое предел и как вычислить элементарные пределы. Если такого понимания нет, то сначала прочитайте статью «Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов».
Теперь перейдем к рассмотрению пределов с неопределенностью.
Существует группа пределов, когда x , а функция представляет собой дробь, подставив в которую значение х = получим неопределенность вида .
Необходимо вычислить предел
Воспользуемся нашим правилом №1 и подставим в функцию. Как видно мы получаем неопределенность .
В числителе находим х в старшей степени, которая в нашем случае = 2:
То же самое проделаем со знаменателем:
Здесь также старшая степень = 2.
Далее надо из двух найденных степеней выбрать самую старшую. В нашем случае степень числителя и знаменателя совпадают и =2.
Итак, для раскрытия неопределенности нам потребуется разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени, т.е. на x 2 :
Существуют также пределы с другой неопределенностью — вида . Отличие от предыдущего случая лишь в том, что х стремится уже не к , а к конечному числу.
Необходимо вычислить предел .
Снова воспользуемся правилом №1 и подставим в место х число -1:
Мы получили неопределенность , для раскрытия которой необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, для чего в свою очередь обычно решается квадратное уравнение или используются формулы сокращенного умножения.
В нашем случае решаем уравнение:
.
Если корень не извлекается целый вероятней всего D вычислен неправильно.
Теперь находим корни уравнения:
В знаменателе у нас х + 1, что итак является простейшим множителем.
Тогда наш предел примет вид:
х + 1 красиво сокращается:
Теперь подставим вместо х значение -1 в функцию и получаем:
Рассмотрим основные положения, применяемые при решении различного рода задач с пределами:
-
Предел суммы 2-х или более функций равен сумме пределов этих функций:
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
За знак предела можно выносить постоянный коэффициент:
Предел произведения 2-х и более функций равен произведению пределов этих функций ( последние должны существовать):
Предел отношения 2-х функций равен отношению пределов этих функций (в том случае, если предел знаменателя 0:
Степень функции, находящейся под знаком предела, применима к самому пределу этой функции (степень должна быть действительным числом):
На этом с вычислением пределов с неопределенностью всё. Еще в статье «Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел» мы отдельно рассматриваем интересную группу пределов. Статья вставит еще один блок для решения большинства пределов, встречающихся не просторах обучения.
Если у вас появились какие то вопросы по вычислению пределов с неопределенностью, то задавайте их в комментариях. Будем рады ответить.
Заметка: Если не хватает времени на учебу, вы можете заказать контрольную работу (http://forstuds.ru/kontrolnaya-rabota-na-zakaz), учтите правда наличие знаний по теме у вас после этого.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Вот с фразы «Воспользуемся нашим правилом №1» поподробнее пожалуйста. У вас есть отдельный список таких правил? Хочу себе сделать как бы карманный мини справочник, чтобы всегда был под рукой.
Я так и не понял как вы числитель разложили, будто колоду карт раскидали и все)
Что такое предел функции
В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.
Определение предела функции
Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.
Запись предела:
- предел обозначается значком lim;
- под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x , но не обязательно, например: “ x →1″;
Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):
Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.
x →1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).
Решение пределов
С заданным числом
Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x →1):
Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).
С бесконечностью
В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:
Если x →∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:
- 3 – 1 = 2
- 3 – 10 = -7
- 3 – 100 = -97
- 3 – 1000 – 997 и т.д.
Другой более сложный пример
Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.
Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция неограниченно растет.
С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.
Пример: давайте вычислим предел ниже.
Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:
Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:
1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).
2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).
3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.
4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.
С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)
И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.
В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.
Пример: Найдем предел функции ниже.
1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.
2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.
В нашем случаем корнями выражения в числителе () являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: .
Знаменатель () изначально является простым.
3. Получаем вот такой видоизмененный предел:
4. Дробь можно сократить на ():
5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:
Предел по-шагам
Результат
Примеры пределов
- Пределы от рациональных дробей на бесконечности
- Пределы от рациональных дробей в конечной точке
- Пределы от дроби в нуле
- Первый замечательный предел
- Второй замечательный предел
- Пределы с квадратными корнями
- Правило Лопиталя
Указанные выше примеры содержат также:
- квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) - тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
- обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x) - натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) - гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) - обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x) - число Пи pi
- комплексное число i
Правила ввода
Можно делать следующие операции
2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5
Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:
http://mrexam.ru/limit
Онлайн калькулятор. Вычисление пределов функций.
Онлайн-калькулятор позволяет решать математические выражения любой сложности с выводом подробного результата решения по шагам. 
Также универсальный калькулятор умеет вычислять пределы функций.
Онлайн калькулятор пределов
Перенос?
lim _{xto 0}left(frac{sin left(11xright)}{2x}right)
$$textbf{Поиск предела функции:} newline lim (x_n) = {{11}over{2}} =newline 5.5$$
Пояснения к калькулятору
- Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵.
- Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и →.
- ⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
- C — очистить поле ввода.
- При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
- Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
- Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками ab и √ соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей →.
Вычисление пределов функций
Предел функции задается последовательным нажатием групповой кнопки f(x) и функциональной кнопки lim.
Калькулятор для решения пределов
Данный онлайн калькулятор вычисляет предел функции. Программа не просто даёт ответ, она приводит пошаговое
и подробное решение.
Как пользоваться калькулятором для решения пределов онлайн:
- Введите математическое выражение с переменной $ x $ в выражении используйте стандартные
операции: + сложение, — вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а
также математические
функции. - Введите значение, к которому стремится переменная икс.
- Нажмите кнопку — Вычислить предел.
- Через несколько секунд внизу отобразится пошаговое решение с подробными комментариями.
В качестве тренировки, можете нажать на любой из 3-х примеров внизу и все поля заполнятся автоматически, затем
нажмите на
«Найти предел» и вы получите подробное решение и ответ.
Также внизу страницы вы можете прочитать полные правила ввода данных, ответы на часто задаваемые вопросы и оставить
свой комментарий.
Другие онлайн калькуляторы
- Правило Лопиталя
- Теория про
пределы - Решение
производных - Решение
интегралов
Вы поняли, как решать? Нет?
- Правила
- Комментарии
- Ответы на вопросы
Последовательность ввода данных
- вводите функцию, предел которой хотите найти. Вот ссылка на правила
ввода функций; - нводите значение, к которому стремится переменная икс;
- нажимаете кнопку — Вычислить предел;
- смотрите решение, радуетесь, ставите лайки и рассказываете друзьям!
Что можно вводить
Простейшие математические операции: Сумма: + ; Вычитание: — ; Умножение: * ; Деление или дроби: / и
пробел.
Элементарные функции: x^n степень, sqrt(x) квадратный корень, log(a,x) логарифм, ln(x) натуральный
логарифм, exp() экспонента, sin(x) синус, cos(x) косинус, tg(x) тангенс и др.
Десятичные дроби можно вводить только через точку, то есть, пишем 0.7, а не 0,7 — полные правила
ввода функций.
Как вводить переменную икс
- выберите — вводить значение переменной самому или минус/плюс бесконечность;
- введите число, если выбрали вариант «Ввести самому»
Вопросов пока не поступало =))
Вопросы можете задавать в комментариях, мы обязательно на них ответим!
Рассчитайте цену решения ваших задач
Калькулятор
стоимости
Решение контрольной
от 300 рублей
*
* Точная стоимость будет определена после загрузки задания для исполнителя
+Загрузить файл
Файлы doc, pdf, xls, jpg, png не более 5 МБ.
Предел по-шагам
Примеры пределов
- Пределы от рациональных дробей на бесконечности
-
(x - 1)/(x + 1)
-
(x^3 + 2*x - 1)/(-7*x^3 - 4*x^2)
- Пределы от рациональных дробей в конечной точке
-
(x - 1)/(sqrt(x) - 1)
- Пределы от дроби в нуле
-
log(x)/x
- Первый замечательный предел
-
sin(7*x)/x
-
(1 - cos(x)^2)/x^2
- Второй замечательный предел
-
(1 - 7/x)^x
-
(1 + x/2)^((5*x + 3)/x)
- Пределы с квадратными корнями
-
sqrt(x + 5) - sqrt(x + 2)
-
x - sqrt(x^2 - 7)
- Правило Лопиталя
-
(e^(x) - x^e)/(x - e)
-
log(1+2*x^2)/x
Что умеет калькулятор пределов?
- Детальное решение для указанных методов:
- Правило Лопиталя
- Теорема о двух милиционерах
- Второй замечательный предел
- Разложение функции на множители
- Использование замены
- Первый замечательный предел
- Типы пределов:
- От одной переменной
- На бесконечности
- Односторонние пределы
- Строит график функции и её предела
- Предлагает другие пределы
Подробнее про Предел функции
.
Указанные выше примеры содержат также:
- модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
-
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) -
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
-
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x) -
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) -
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) -
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x) -
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x) -
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x) -
знак числа:
sign(x) -
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x) -
Факториал от x:
x! или factorial(x) - Гамма-функция gamma(x)
- Функция Ламберта LambertW(x)
-
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)
Правила ввода
Можно делать следующие операции
- 2*x
- — умножение
- 3/x
- — деление
- x^2
- — возведение в квадрат
- x^3
- — возведение в куб
- x^5
- — возведение в степень
- x + 7
- — сложение
- x — 6
- — вычитание
- Действительные числа
- вводить в виде 7.5, не 7,5
Постоянные
- pi
- — число Пи
- e
- — основание натурального логарифма
- i
- — комплексное число
- oo
- — символ бесконечности