- Формула квадрата суммы
- Формула квадрата разности
- Примеры
Формула квадрата суммы
Возведем в квадрат сумму (a+b):
$$ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) = a^2+ab+ab+b^2 = a^2+2ab+b^2 $$
Мы получили формулу квадрата суммы двух выражений:
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Формула помогает нам избавиться от лишней работы: не перемножать скобки каждый раз и не приводить постоянно подобные, получая из четырёх слагаемых три.
Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Поэтому в правиле и говорится о «выражениях», а не просто о «переменных». Например:
$$ (5x^2+7y)^2 = (5x^2 )^2+2cdot5x^2cdot7y+(7y)^2 = 25x^2+70x^2 y+49y^2 $$
Геометрическое объяснение
Рассмотрим квадрат со стороной (a+b). Он состоит из двух квадратов и двух прямоугольников. Для площади можем записать: $$ S = (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab $$
Откуда $$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$
И формула квадрата суммы замечательно подтверждается геометрическими соображениями.
Формула квадрата разности
Теперь возведём в квадрат разность:
$$ (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = a^2-ab-ab+b^2 = a^2-2ab+b^2 $$
Мы получили формулу квадрата разности двух выражений:
$$ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$$
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Геометрическое объяснение
Рассмотрим квадрат со стороной a, в один из углов которого вписан квадрат поменьше со стороной $b lt a$.
Для его площади можем записать: $$a^2 = (a-b)^2+b^2+2(a-b)b$$ Откуда $$(a-b)^2 = a^2-b^2-2(a-b)b = $$ $$a^2-b^2-2ab+2b^2 = a^2-2ab+b^2 $$
И формула квадрата разности также подтверждается геометрией.
Внимание!
Не забывайте о втором слагаемом в формулах квадрата двучленов!
Не путайте знаки «+» и «-» перед слагаемыми!
Неправильно: $(a+b)^2$ ≠ $a^2+b^2 или (a-b)^2 $≠$ a^2-b^2$
Правильно: $(a+b)^2 = a^2+$ 2ab $+b^2 и (a-b)^2 = a^2$ -2ab+$ b^2$
Примеры
Пример 1. Найдите квадрат суммы:
а) $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$
б) $(3+t)^2 = 3^2+2cdot3t+t^2 = 9+6t+t^2$
в) $(3a+4b)^2 = (3a)^2+2cdot3acdot4b+(4b)^2 = 9a^2+24ab+16b^2$
г) $(4k^2 m+5n)^2 = (4k^2 m)^2+2cdot4k^2 mcdot5n+(5n)^2 = 16k^4 m^2+40k^2 mn+25n^2$
Пример 2. Найдите квадрат разности:
а) $(m-n)^2 = m^2-2mn+n^2$
б) $(x-5)^2 = x^2-2xcdot5+5^2 = x^2-10x+25$
в) $(7y-9z)^2 = (7y)^2-2cdot7ycdot9z+(9z)^2 = 49y^2-126yz+81z^2$
г) $(3km^2-8n^2 )^2 = (3km^2 )^2-2cdot3km^2cdot8n^2+(8n^2 )^2 = 9k^2 m^4-48km^2 n^2+64n^4$
Пример 3. Выполните действия:
а) $(10m-1)^2+20m = (10m)^2-2cdot10mcdot1+1+20m =$
$= 100m^2-20m+1+20m = 100m^2+1 $
б) $36k^2-(1-6k)^2 = 36k^2-(1-2cdot6k+(6k)^2 ) = 36k^2-1+12k-36k^2 = 12k-1 $
в) $4(x-1)-(2x+1)^2 = 4x-4-((2x)^2+2cdot2x+1) = 4x-4-4x^2-4x-1 = -4x^2-5$
г) $ frac{1}{3} (3y+4)^2-8y = frac{1}{3} ((3y)^2+2cdot3ycdot4+4^2 )-8y = frac{1}{3} (9y^2+24y+16)-8y =$
$=3y^2+8y+frac{16}{3}-8y=3y^2+5 frac{1}{3}$
Пример 4. Решите уравнение:
а) $(7-x)^2-(x+8)^2 = 45$
$49-14x+x^2-(x^2+16x+64) = 45 $
49-14x-16x-64 = 45
-30x = 45-49+64
-30x = 60
x = -2
б) $(2x-15)^2-x(4x+3) = 153$
$(2x)^2-2cdot2xcdot15+15^2-4x^2-12x = 153 $
-60x+225-12x = 153
-72x = 153-225
-72x = -72
x = 1
Для успешного решения математических задач часто бывает необходимо уметь преобразовывать созданные выражения. Для этого применяют базовые знания, формулы сокращённого умножения, в том числе, квадрат суммы и квадрат разности.
Они помогают упрощать громоздкие записи, более рационально подходить к приведению дробей к одному знаменателю, решению уравнений и задач по геометрии, тригонометрии, математическому анализу, физике, химии, экономическим дисциплинам и многим другим наукам.
Поэтому среди многих разделов математики школьная алгебра занимает базовую приоритетную позицию, дающую основы вычислений для смежных предметов.
Формула квадрата разности
Для получения формулы применяют правило умножения многочлена на многочлен: нахождение суммы произведений каждого слагаемого одной скобки на каждое слагаемое второй скобки, учитывая, что квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного:
Если запомнить правило, то необходимость постоянно прописывать эту цепочку равенств исчезает.
Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов каждого из выражений без их удвоенного произведения:
Примеры задач с решением
Задача №1
Требуется возвести в квадрат разность (8x — 3y).
Решение.
При использовании формулы получается:
Ответ: 64x2 — 48xy + 9y2.
Задача №2
Упростить выражение:
b2 + 49 — (b — 7)2
Решение.
Ответ: 14b.
Формула квадрата суммы и неполного квадрата суммы
Также легко, как и в предыдущем случае, выводится эта формула:
Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов каждого из них плюс их удвоенное произведение:
Многие школьники, начинающие знакомиться с этим материалом, часто теряют двойку во втором слагаемом правой части, получая
Однако, в этом случае, возникает неполный квадрат суммы (или разности), который на множестве действительных чисел не раскладывается на множители.
Обе формулы применяются не только для раскрытия скобок, но и для разложения на множители, что в свою очередь упрощает приведение к одному знаменателю, сокращение дробей, решение уравнений высоких степеней.
Примеры задач с решением
Задача №3
Преобразовать трёхчлен в квадрат двучлена:
28xy + 49x2 + 4y2
Решение.
Поскольку квадраты находятся на втором и третьем местах, поменяем слагаемые между собой и подготовим выражение для применения формулы:
Ответ: (7x + 2y)2.
Возведение во вторую степень суммы трёх и более слагаемых выполняется аналогично: необходимо возвести в квадрат каждый элемент, записать все возможные удвоенные произведения и сложить полученные результаты.
Правила возведения в степени более высоких порядков возникают, когда выполняется умножение одинаковых многочленов несколько раз.
Возможность выполнять возведение в квадрат больших чисел, не используя калькулятор, является одним из преимуществ сокращённого умножения.
Задача №4
Выполнить раскрытие скобок и упростить:
(x2 + 3x — 4y)2 — x4 — 9x2 — 16y2
Решение.
Ответ: 6x3 — 8x2 — 24xy.
Задача №5
Вычислить:
1032 + 1972
Решение.
Для каждого слагаемого применяется одно из правил возведения в квадрат, затем производится суммирование результатов:
Решая квадратные уравнения, вместо поиска дискриминанта выделяют полный (точный) квадрат среди слагаемых, расположенных в левой части. В правую сторону собираются оставшиеся элементы.
Задача №6
Решить уравнение:
x2 — 4x — 5 = 0
Решение.
Первые два слагаемых левой части полностью удовлетворяют формуле квадрата суммы. Соотнеся их с соответствующими элементами правила, определяют, прибавляют и вычитают третье, затем сворачивают в точный квадрат, остальные члены алгебраической суммы переносят в правую сторону:
Решениями исходного уравнения являются корни уравнений
Ответ: x = 5 или x = -1.
Разность квадратов
Ещё одной формулой сокращённого умножения является разность квадратов. Она получается при умножении суммы двух выражений на их разность.
Читается справа налево.
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму:
Применение последней записи справа налево есть раскрытие скобок более удобным способом, чем простое умножение многочленов.
Разложение на множители позволяет судить о наличии целых или натуральных корней квадратного уравнения.
Пример задачи с решением
Задача №7
Сократить дробь:
Решение.
В числителе записан квадрат разности, а в знаменателе – разность квадратов двух выражений. Применяя соответствующие формулы, получается искомый результат:
Ответ:
.
В большинстве случаев разницы, как сворачивать квадрат двучлена, не существует. Однако в данной ситуации, благодаря выражению в знаменателе, на первое место лучше поставить
, чтобы избежать игры с минусом при сокращении.
Онлайн калькуляторы помогают выполнять преобразования. Однако, поскольку формулы сокращённого умножения являются базовым материалом школьного курса, то лучше не просто получить результат, но и понять, каким образом к нему пришли.
Квадрат суммы
Определение.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение первого и второго, плюс квадрат второго:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Вывод формулы квадрата суммы
Для доказательства справедливости формулы квадрата суммы достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:
(a + b)2 = (a + b)·(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
Применение формулы квадрата суммы
Формулу квадрата суммы удобно использовать:
- для раскрытия скобок
- для упрощения выражений
- для вычисления квадратов больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик
Геометрическая интерпретация
Формулу квадрата суммы двух положительных чисел a и b можно изобразить геометрически
Рассмотрим квадрат со стороной (a + b), его площадь равна (a + b)2.
В противоположных углах рассматриваемого квадрата построим квадраты со сторонами a и b.
Тогда большой начальный квадрат, будет разделен на четыре части: два квадрата с площадями a2 и b2, а также два прямоугольника с площадями равными ab. Тогда получаем, что
(a + b)2 = (a + b)·(a + b) = a2 + b2 + ab+ ab = a2 + 2ab + b2
Примеры задач на применение формулы квадрата суммы
Пример 1.
Раскрыть скобки (x + 3)2.
Решение:
(x + 3)2 = x2 + 2·3·x + 32 = x2 + 6x + 9
Пример 2.
Раскрыть скобки (2x + 3y2)2.
Решение:
(2x + 3y2)2 = (2x)2 + 2·(2x)·(3y2) + (3y2)2 = 4x2 + 12xy2 + 9y4
Пример 3.
Упростить выражение
9x2 + 6x + 1(3x + 1)
.
Решение:
Можно заметить, что выражение в числителе — это разложенный квадрат суммы
9x2 + 6x + 1(3x + 1) = (3x + 1)2(3x + 1) = 3x + 1
Заметим, что с помощью формулы квадрата суммы легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик.
Пример 4.
Вычислить 712.
Решение:
712 = (70 + 1)2 = 702 + 2·70·1 + 12 = 4900 + 140 + 1 = 5041
Квадрат суммы и разности
- Квадрат суммы
- Квадрат разности
- Разность квадратов
Квадрат суммы
Выражение (a + b)2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Многочлен a2 + 2ab + b2 называется разложением квадрата суммы.
Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.
Пример. Возвести в квадрат выражение 3x2 + 2xy.
Решение: Чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:
(3x2 + 2xy)2 = (3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2.
Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:
(3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2 = 9x4 + 12x3y + 4x2y2.
Квадрат разности
Выражение (a — b)2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a — b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a — b)(a — b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что
(a — b)2 = (a — b)(a — b) = a2 — ab — ab + b2 = a2 — 2ab + b2.
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2.
Многочлен a2 — 2ab + b2 называется разложением квадрата разности.
Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.
Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:
(2a2 — 5ab2)2.
Решение: Используя формулу квадрата разности, находим:
(2a2 — 5ab2)2 = (2a2)2 — 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2.
Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:
(2a2)2 — 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2 = 4a4 — 20a3b2 + 25a2b4.
Разность квадратов
Выражение a2 — b2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a2 — b2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:
(a + b)(a — b) = a2 + ab — ab — b2 = a2 — b2.
Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.
Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:
a2 — b2 = (a + b)(a — b).
Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.
Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:
(5a2 + 3)(5a2 — 3).
Решение:
(5a2 + 3)(5a2 — 3) = (5a2)2 — 32 = 25a4 — 9.
В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть, нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:
(a + b)(a — b) = a2 — b2.
На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо, и справа налево, в зависимости от ситуации.
Евгений Николаевич Беляев
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Определение 1
Вспомним формулу квадрата суммы двух чисел:
Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов двух выражений плюс удвоенное произведение первого на второе.
Математическая запись будет выглядеть так ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$
Алгоритм нахождения квадрата суммы двух выражений
-
Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат.
Если одно из слагаемых является одночленом, то необходимо воспользоваться формулой возведения в степень произведения $степень$
Если выражение является одночленом, степень которого больше первой так же необходимо воспользоваться и правилом возведения степени в степень: при возведении степени в степень основание остается без изменений, а показатели степени перемножаются
-
Найти удвоенное произведение первого и второго слагаемого выражения.
-
Составить сумму выражений, найденных в п. 1,2.
Пример 1
${({3а}^2+5)}^2$
Решение: воспользуемся алгоритмом нахождения квадрата суммы двух выражений
1.Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат.
[{(3а^2)}^2=3^2cdot {(a^2)}^2=9a^4][5^2=25]
2.Найти удвоенное произведение первого и второго слагаемого выражения.
[2cdot 3acdot 5=30a]
3.Составить сумму выражений, найденных в п. 1,2.
[{({3а}^2+5)}^2=9a^4+30a+25]
Переход к квадрату суммы трех чисел
Пример 2
Преобразовать $ {({2а}^2+3a+5)}^2$
Решение: Сгруппируем второе и третье слагаемое многочлена, тогда получим выражение:$ {({2а}^2+(3a+5))}^2$
Теперь для преобразования нам уже надо возвести в квадрат суммы двух выражений, а не трех, как было в исходном задании. Воспользуемся алгоритмом
1.Возвести первое и второе слагаемое в квадрат.
[{{(2а}^2)}^2=2^2cdot ({a^2)}^2=4a^4][{(3a+5)}^2=9a^2+30a+25]
2.Найти удвоенное произведение первого и второго слагаемого выражения.
$2cdot {2а}^2cdot left(3a+5right)=4а^2cdot left(3a+5right)=4а^2cdot 3a+4а^2cdot 5=12а^3+20а^2$
В данных преобразованиях был применен прием умножения одночлена на число и умножение одночлена на многочлен.
3.Составить сумму выражений, найденных в п. 1,2.
[{({2а}^2+(3a+5))}^2=4a^4+ 12а^3+20а^2+9a^2+30a+25]
Тогда в итоге получим:
[{({2а}^2+3a+5)}^2=4a^4+9a^2+25+12а^3+20а^2+30a]
Проанализируем полученный результат сопоставив каждый член полученного многочлена с исходными.
[4a^4={{(2а}^2)}^2 9a^2={(3a)}^2 25=5^2 12а^3=2* {2а}^2*3a] [20а^2=2cdot {2а}^2cdot 5 30a=2cdot 3acdot 5]
Значит полученный результат мы можем записать в виде:
[{left({2а}^2+3a+5right)}^2={{(2а}^2)}^2+{left(3aright)}^2+5^2+2cdot {2а}^2cdot 3a+2cdot {2а}^2cdot 5+2cdot 3acdot 5]
Отсюда выведем формулу для возведения в квадрат суммы трех слагаемых. Математическая запись будет выглядеть так:
${left(a+b+cright)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2textit{ac}+2 textit{bc}$
Т.е квадрат суммы трех слагаемых равен сумме квадратов данных выражений плюс удвоенные попарные произведения этих слагаемых
Сформулируем алгоритм возведения в квадрат суммы трех слагаемых:
1.Возвести в квадрат каждое слагаемое, входящее в состав исходного многочлена
2.Найти попарные произведения всех слагаемых
3.Составить сумму выражений, входящих найденных в п.1,2
«Квадрат суммы нескольких слагаемых» 👇
Пример 3
Преобразовать $ {({8x}^2+7y+5z)}^2$
Решение: Воспользуемся алгоритмом возведения в квадрат суммы трех слагаемых
Возведем в квадрат каждый одночлен, входящий в состав исходного многочлена
[{{(8x}^2)}^2={64x}^4][({7y)}^2=49y^4] [{(5z)}^2={25z}^2]
Обратите внимание, что для того чтобы возвести в квадрат мы воспользовались свойствами степеней:
1) возведением произведения в степень $при$
возведения в степень произведения $и$
переменную возводили в квадрат
2) возведение степени в степень ${{(a}^n)}^m=a^{ncdot m}$- т.е. при возведении степени в степень основание остается, а показатели перемножаются. Поэтому =$x^4$
Найдем попарные произведения всех слагаемых
Первого и второго: $2cdot {8x}^2cdot 7y=112x^2y$
Первого и третьего: $2cdot {8x}^2cdot 5z={80x}^2z$
Второго и третьего: $2cdot 7ycdot 5z= 70yz$
Составить сумму выражений, входящих найденных в п.1,2
${({8x}^2+7y+5z)}^2={{(8x}^2)}^2+({7y)}^2+{left(5zright)}^2+2cdot {8x}^2cdot 7y+2cdot {8x}^2cdot 5z+2cdot 7ycdot 5z={64x}^4+49y^4+{25z}^2+112x^2y +{80x}^2z+70yz$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме