Угол между прямыми онлайн
С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
1. Угол между прямыми на плоскости
Прямые заданы каноническими уравнениями
1.1. Определение угла между прямыми
Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
 , |
(1.1) |
 , |
(1.2) |
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).
,
 , |
(1.3) |
Из выражения (1.3) получим:
Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
 . |
(1.5) |
 . |
(1.6) |
.
Упростим и решим:
.
Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:
Угол между прямыми равен:
1.2. Условие параллельности прямых
Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
 . |
(1.7) |
Сделаем преобразования с выражением (1.7):
,
,
,
,
 . |
(1.8) |
Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:
 . |
(1.9) |
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
 . |
(1.10) |
 . |
(1.11) |
Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
1.3. Условие перпендикулярности прямых
Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
 . |
(1.12) |
Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
 . |
(1.13) |
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
 |
(1.14) |
 . |
(1.15) |
 . |
(16) |
Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Прямые заданы общими уравнениями
1.4. Определение угла между прямыми
Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
 |
(1.17) |
 . |
(1.18) |
Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).
.
Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:
 . |
(1.19) |
Из уравнения (19) получим
Пример 4. Найти угол между прямыми
 |
(23) |
Упростим и решим:
Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:
1.5. Условие параллельности прямых
Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:
 . |
(1.24) |
С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:
 . |
(1.25) |
Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).
Пример 5. Определить, параллельны ли прямые
Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.
Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.
1.6. Условие перпендикулярности прямых
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда
Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).
Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые
Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.
2. Угол между прямыми в пространстве
2.1. Определение угла между прямыми
Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
 , |
(2.1) |
 , |
(2.2) |
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .
| , |
(2.3) |
Из выражения (2.3) получим:
Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
 . |
(2.5) |
 |
(2.6) |
.
Упростим и решим:
.
Угол между прямыми равен:
2.2. Условие параллельности прямых
Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть
| m1=αm2, p1=αp2, l1=αl2 | (2.7) |
где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.
Условие параллельности прямых можно представить и так:
 |
(2.8) |
Отметим, что любую пропорцию 
нужно понимать как равенство ad=bc.
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
 . |
(2.9) |
 . |
(2.10) |
Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.
Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.
Пример 3. Определить, параллельны ли прямые
 . |
(2.11) |
 . |
(2.12) |
 . |
(2.13) |
Выражение (2.13) нужно понимать так:
Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
2.3. Условие перпендикулярности прямых
Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:
 . |
(2.15) |
Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
 . |
(2.16) |
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
 |
(2.17) |
 . |
(2.18) |
Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.
Угол между прямыми
Определение угла между прямыми
Угол между прямыми на плоскости
Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом
то угол между ними можно найти, используя формулу:
Если знаменатель равен нулю (1 + k 1· k 2 = 0), то прямые перпендикулярны.
Соответственно легко найти угол между прямыми
tg γ = tg ( α — β ) = tg α — tg β 1 + tg α ·tg β = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2
Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых
cos φ = | a · b | | a | · | b |
Если уравнение прямой задано параметрически
x = l t + a y = m t + b
то вектор направляющей имеет вид
Если уравнение прямой задано как
то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = — C B значит точка на прямой имеет координаты K(0, — C B ), при y = 0 => x = — C A значит точка на прямой имеет координаты M(- C A , 0). Вектор направляющей KM = .
Если дано каноническое уравнение прямой
то вектор направляющей имеет вид
Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом
то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b ), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b ). Вектор направляющей KM =
Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых
cos φ = | a · b | | a | · | b |
Если уравнение прямой задано как
то вектор нормали имеет вид
Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом
то вектор нормали имеет вид
Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых
sin φ = | a · b | | a | · | b |
Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости
Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:
tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = 2 — (-3) 1 + 2·(-3) = 5 -5 = 1
Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.
Для первой прямой направляющий вектор <1; 2>, для второй прямой направляющий вектор
cos φ = |1 · 2 + 2 · 1| 1 2 + 2 2 · 2 2 + 1 2 = 4 5 · 5 = 0.8
Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.
Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.
2 x + 3 y = 0 => y = — 2 3 x ( k 1 = — 2 3 )
x — 2 3 = y 4 => y = 4 3 x — 8 3 ( k 2 = 4 3 )
tg γ = k 1 — k 2 1 + k 1· k 2 = — 2 3 — 4 3 1 + (- 2 3 )· 4 3 = — 6 3 1 — 8 9 = 18
Угол между прямыми в пространстве
cos φ = | a · b | | a | · | b |
Если дано каноническое уравнение прямой
то направляющий вектор имеет вид
Если уравнение прямой задано параметрически
x = l t + a y = m t + b z = n t + c
то направляющий вектор имеет вид
Решение: Так как прямые заданы параметрически, то <2; 1; -1>- направляющий вектор первой прямой, <1; -2; 0>направляющий вектор второй прямой.
cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0| 2 2 + 1 2 + (-1) 2 · 1 2 + (-2) 2 + 0 2 = 0 6 · 5 = 0
Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.
Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор <3; 4; 5>.
Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.
1 — 3 y = 1 + y -1/3 = y — 1/3 -1/3
3 z — 5 2 = z — 5/3 2/3
Получено уравнение второй прямой в канонической форме
x — 2 -2 = y — 1/3 -1/3 = z — 5/3 2/3
<-2; — 1 3 ; 2 3 >- направляющий вектор второй прямой.
cos φ = 3·(-2) + 4·(- 1 3 ) + 5· 2 3 3 2 + 4 2 + 5 2 · (-2) 2 + (- 1 3 ) 2 + ( 2 3 ) 2 = -6 — 4 3 + 10 3 9 + 16 + 25 · 4 + 1 9 + 4 9 = -4 50 · 41/9 = 12 5 82 = 6 82 205
Угол между пересекающимися прямыми – определение, примеры нахождения.
Начнем с краткого обзора материала статьи.
Сначала дано определение угла между пересекающимися прямыми с поясняющим рисунком. Далее показаны методы, позволяющие найти синус угла, косинус угла и сам угол между двумя пересекающимися прямыми на плоскости и в пространстве по известным уравнениям этих прямых в фиксированной прямоугольной системе координат, получены соответствующие формулы и приведены подробные решения примеров и задач.
Навигация по странице.
Угол между пересекающимися прямыми — определение.
Чтобы определить угол между двумя пересекающимися прямыми нам потребуются определения, данные в статье геометрическая фигура угол и некоторые вспомогательные определения.
Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну единственную общую точку. Эта общая точка двух прямых называется точкой пересечения прямых. Точка пересечения разбивает каждую из пересекающихся прямых на два луча. Очевидно, эти лучи образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Таким образом, если нам известна мера одного из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, то мы можем определить меры трех остальных углов. Действительно, пусть один из углов равен углу . Тогда вертикальный с ним угол также равен , а смежные с ним углы равны . Если , то все четыре угла являются прямыми. В этом случае пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (им посвящена статья перпендикулярные прямые).
Теперь можно переходить к определению угла между пересекающимися прямыми.
Угол между двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из четырех углов, образованных этими прямыми.
Из приведенного определения следует, что градусная мера угла между двумя пересекающимися прямыми выражается действительным числом из интервала . Угол между перпендикулярными прямыми по определению равен девяноста градусам.
Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми на плоскости.
Существует множество разнообразных задач, в которых приходится находить угол между пересекающимися прямыми. В зависимости от условий этих задач подбирается подходящий метод решения.
Можно использовать методы геометрии. К примеру, если известны какие-либо дополнительные углы, то можно пробовать связать их с искомым углом между пересекающимися прямыми, отталкиваясь от равенства или подобия фигур. Если известны стороны треугольника и требуется найти угол между пересекающимися прямыми, на которых лежат стороны треугольника, то можно использовать теорему косинусов. При наличии прямоугольных треугольников отыскать угол между пересекающимися прямыми помогают определения синуса, косинуса и тангенса угла. Много подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе.
Для нахождения углов между пересекающимися прямыми также прекрасно подходит метод координат. Давайте детально разберем его.
Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy , заданы две прямые a и b уравнениями прямых некоторого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости), которые пересекаются в точке М , и требуется определить угол между пересекающимися прямыми a и b . Обозначим искомый угол между пересекающимися прямыми как .
Решим поставленную задачу.
Для начала опишем принцип нахождения угла между пересекающимися прямыми на плоскости в заданной системе координат Oxy .
Мы знаем, что от прямой линии на плоскости в прямоугольной системе координат неотделим направляющий вектор прямой и нормальный вектор прямой, и мы можем по заданному уравнению прямой на плоскости определить координаты ее направляющего и нормального вектора. Таким образом, у нас есть возможность получить координаты направляющих и нормальных векторов заданных пересекающихся прямых.
Угол между заданными пересекающимися прямыми может быть найден через
- угол между направляющими векторами этих прямых;
- угол между нормальными векторами прямых;
- угол между направляющим вектором одной прямой и нормальным вектором другой прямой.
Разберем каждый случай.
Пусть — направляющий вектор прямой a , — направляющий вектор прямой b . Если отложить векторы и от точки пересечения прямых, то они будут лежать на прямых a и b соответственно, и возможны четыре варианта их расположения относительно пересекающихся прямых a и b , изображенные на рисунке ниже.
Очевидно, если угол между векторами и не тупой, то он равен углу между пересекающимися прямыми a и b . Если же угол между направляющими векторами прямых a и b тупой, то угол между пересекающимися прямыми a и b равен углу, смежному с углом . То есть, , если , а , если .
Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать в виде: , если , а (в последнем переходе мы использовали формулы приведения), если . Следовательно, , то есть, косинус угла между пересекающимися прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами пересекающихся прямых.
Формула для вычисления косинуса угла между векторами и имеет вид .
Тогда косинус угла между двумя пересекающимися прямыми a и b мы можем найти по формуле ,
а сам угол между пересекающимися прямыми — по формуле ,
где и — направляющие векторы прямых а и b соответственно.
Разберем решение примера.
Пересекающиеся прямые a и b определены на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy уравнениями и . Требуется найти угол между пересекающимися прямыми a и b .
Параметрические уравнения прямой на плоскости позволяют сразу записать координаты направляющего вектора этой прямой – их дают соответствующие коэффициенты при параметре, то есть, — направляющий вектор прямой . Прямой b по условию соответствует каноническое уравнение прямой на плоскости вида . Числа в знаменателях этого равенства дают координаты направляющего вектора прямой b , то есть, . Чтобы найти угол между пересекающимися прямыми a и b нам осталось подставить полученные координаты направляющих векторов прямых в формулу :
угол между указанными пересекающимися прямыми равен 45 градусам.
Аналогично угол между пересекающимися прямыми a и b может быть найден через угол между нормальными векторами этих прямых. Если — нормальный вектор прямой a , — нормальный вектор прямой b , то угол между пересекающимися прямыми а и b равен углу между векторами и , или углу, смежному с углом . Приведем чертеж, иллюстрирующий эти ситуации.
Формулы для нахождения косинуса угла и самого угла между пересекающимися прямыми а и b через координаты нормальных векторов этих прямых имеют вид и соответственно, где и — нормальные векторы прямых а и b .
Вычислите синус угла, косинус угла и сам угол между пересекающимися прямыми a и b , которым в прямоугольной системе координат Oxy соответствуют уравнения
3x+5y-30=0 и x+4y-17=0 .
Мы знаем, что общее уравнение прямой вида Ax+By+C=0 определяет на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, нормальным вектором которой является вектор . Таким образом, — нормальный вектор прямой 3x+5y-30=0 , а — прямой x+4y-17=0 . Подставляем координаты нормальных векторов в формулу для определения косинуса угла между пересекающимися прямыми:
Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла при известном косинусе этого угла. Так как угол между двумя пересекающимися прямыми не тупой, то .
Тогда .
Осталось разобраться, как найти угол между пересекающимися прямыми, если известен направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор другой прямой.
Пусть — направляющий вектор прямой a , — нормальный вектор прямой b . Отложим векторы и от точки пересечения прямых и рассмотрим возможные варианты расположения этих векторов относительно пересекающихся прямых a и b .
Если угол между векторами и не превосходит 90 градусов, то он дополняет угол между пересекающимися прямыми a и b до прямого угла, то есть, , если . Если же , то .
Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать в виде , если , и , если . Следовательно,
Таким образом, синус угла между пересекающимися прямыми a и b равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой a и нормальным вектором прямой b .
Следовательно, формулы для нахождения синуса угла и самого угла между двумя пересекающимися прямыми a и b имеют вид и , где — направляющий вектор прямой a , — нормальный вектор прямой b .
Найдите угол между пересекающимися прямыми и x+4y-17=0 .
(Обратите внимание: заданные прямые совпадают с прямыми из предыдущего примера).
Мы можем легко определить координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора прямой x+4y-17=0 . Имеем: и . Осталось воспользоваться формулой для нахождения угла между пересекающимися прямыми:
Очевидно, получили такой же угол между пересекающимися прямыми, как и в предыдущем примере.
Дадим еще формулу для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми a и b через угловые коэффициенты этих прямых.
Пусть прямую a на плоскости в заданной прямоугольной системе координат Oxy определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямую b — . Тогда угол между пересекающимися прямыми может быть вычислен по формуле , где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых a и b соответственно. Эту формулу легко получить на основании формулы для определения угла между пересекающимися прямыми через координаты нормальных векторов прямых.
Определите угол между пересекающимися прямыми и .
(В условии даны все те же пересекающиеся прямые из предыдущих примеров).
Заданные прямые имеют угловые коэффициенты и . Подставляем эти значения в формулу для нахождения угла между пересекающимися прямыми по угловым коэффициентам:
В заключении этого пункта отметим, что совсем не обязательно запоминать все выведенные формулы для нахождения угла между пересекающимися прямыми на плоскости. Достаточно понимать, что угол между пересекающимися прямыми может быть найден с помощью угла между направляющими или нормальными векторами прямых, уметь определять координаты этих векторов по известным уравнениям прямых, а также помнить формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами.
Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве.
Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве методом координат сводится к нахождению координат направляющих векторов этих прямых и последующему определению угла между ними. При этом все рассуждения из предыдущего пункта, касающиеся определения угла между пересекающимися прямыми через угол между их направляющими векторами, остаются справедливыми.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , и заданы две пересекающиеся прямые a и b уравнениями прямой некоторого вида (смотрите статью виды уравнений прямой в пространстве). По уравнениям прямых мы можем определить координаты их направляющих векторов. Итак, и — направляющие векторы заданных пересекающихся прямых a и b соответственно. Тогда косинус угла между пересекающимися прямыми a и b в пространстве вычисляется по формуле ,
а сам угол – по формуле .
Прямая в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства определена уравнением и пересекает ось аппликат. Найдите косинус угла и угол между заданной прямой и координатной прямой Oz .
Пусть искомый угол между пересекающимися прямыми равен . Направляющим вектором прямой является вектор , а в качестве направляющего вектора оси аппликат можно принять координатный вектор . Теперь у нас есть все данные, чтобы применить формулу для нахождения косинуса угла между пересекающимися прямыми:
Тогда искомый угол между пересекающимися прямыми равен .
http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/lines_angle/
http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/angle_between_intersecting_lines.html
Угол между прямыми на плоскости
Определение.
Углом между прямыми называется наименьший
из двух смежных углов, образованных
этими прямыми.
Для
решения вопроса о нахождении угла между
прямыми достаточно заменить прямые их
направляющими векторами и находить
острый угол между векторами.
Пусть
прямые ℓ1
и ℓ2
заданы общими уравнениями в прямоугольной
декартовой системе координат О
:
ℓ1:
= 0,
ℓ2:
= 0.
Направляющие
векторы этих прямых имеют координаты
1(В1,
– А1)
и
2(В2,
– А2).
Пусть угол между прямыми равен .
Тогда
cos
=
или
cos
=
.
(7)
При
решении задач часто сталкиваемся с
нахождением угла между прямыми, когда
прямые ℓ1
и ℓ2
задаются
уравнениями с угловым коэффициентом
(не забываем, что прямые ℓ1
и ℓ2
не параллельны оси Оу):
ℓ1:
,
ℓ2:
.
Если
переписать эти уравнения в общем виде,
то получим
ℓ1:
= 0,
ℓ2:
= 0.
Соответственно,
их направляющие векторы
1(1,
k1)
и
2(1,
k2),
и формула (7) принимает вид:
cos
=
.
Более
интересна формула для угла между прямыми
ℓ1
и ℓ2
:
=
.
Действительно,
,
(см. рисунок). Тогда
один из углов между прямыми ℓ1
и ℓ2
:
= |
|.
Так как
=
|
|
= |
|,
то
=
.
Замечание.
Если ℓ1
ℓ2,
то
– не существует и
= –1.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости
Пусть
прямые ℓ1
и ℓ2
заданы общими уравнениями в О
:
ℓ1:
= 0,
ℓ2:
= 0.
Вопрос
о взаимном расположении двух прямых
можно решить алгебраическим путем, а
именно, исследуя решение системы линейных
уравнений
Как
известно, система имеет единственное
решение только в единственно случае,
когда коэффициенты при неизвестных не
пропорциональны
.
Следовательно,
1.
ℓ1
ℓ2
ℓ1
ℓ2
.
2.
ℓ1||ℓ2
ℓ1
ℓ2
(
).
3.
ℓ1
=
ℓ2
=
( прямые совпадают).
Расстояние от точки до прямой
Пусть
прямая ℓ задана общим уравнением в О
:
ℓ:
= 0.
Нормальный
вектор прямой имеет координаты:
.
Выберем произвольно точку М0(
)
и найдем расстояние от точки М0
до прямой ℓ.
Из
точки М0
опустим
перпендикуляр на прямую ℓ
и обозначим
основание
перпендикуляра
М1(
).
Так как М1
ℓ, то
= 0 и
С
= – (
).
(8)
Искомое
расстояние равно |М1М0|.
С другой стороны
||
и, следовательно, угол
между ними равен или 0, или .
Поэтому:
(
,
)
= |
|
|
|cos
=
|
|
|
|
=
|
|
.
Запишем
полученное равенство в координатной
форме.
Имеем:
(
.
Поэтому,
учитывая (8) получим:
(
,
)
=
=
=
.
Учитывая,
что скалярное произведение векторов
может быть отрицательным, будем
рассматривать его по абсолютной величине
и находим
|
|
= |
|,
|М1М0|
=
.
(9)
Знак
трехчлена Ах
+ Ву + С
Пусть
прямая ℓ задана общим уравнением в О
:
ℓ:
= 0.
Нормальный
вектор прямой имеет координаты:
.
От произвольной точки
прямой
ℓ откладываем представитель
вектора
.
Как
известно прямая ℓ разбивает плоскость
на две открытые полуплоскости, которые
обозначим
и ,
причем полуплоскость
содержит отрезок
.
Тогда,
как нетрудно заметить, если точка М(
)
расположена в полуплоскости ,
то угол между векторами
и
будет острый. Если точка М
расположена в полуплоскости ,
то угол между векторами
и
будет тупой. Рассматривая скалярные
произведения этих векторов, получим:
-
Если
точка М
расположена в полуплоскости ,
то (
,
)
> 0. -
Если
точка М
расположена
в полуплоскости ,
то (
,)
< 0.
Записывая
1 и 2 в координатной форме, получим:
М
>
0,
М
<
0.
Учитывая,
что точка
ℓ, (см (8)) получим:
М
> 0, (10)
М
< 0. (11)
Таким
образом, строгие неравенства (10), (11)
являются уравнениями открытых
полуплоскостей. Если неравенства
нестрогие, т.е.
≥ 0,
(12)
0.
(13),
то
они являются уравнениями полуплоскостей
(вместе с граничной прямой ℓ).
Пример.
В прямоугольной декартовой системе
координат на плоскости заданы точки:
А(2; −1), В(−1;
3), С(4; −5).
1)
Составить уравнения прямой АВ
в канонической,
параметрической и общей формах. Определить
координаты ее нормального вектора.
2)
Определить угловой коэффициент прямой
(АС)
и отрезки, отсекаемые ею на осях координат.
3)
Найти косинус угла между прямыми (АВ)
и (АС).
4)
Найти длину высоты треугольника АВС,
проведенной из вершины С и составить
уравнение прямой, содержащей этот
отрезок.
Решение.
1. Прямую (АВ)
можно задать точкой А(2;
−1) и вектором
,
тогда каноническое и параметрическое
задания данной прямой будут выглядеть
следующим образом:
(1)
и
где
R.
(2)
Из
канонического уравнения (1) равносильными
переходами получим ее общее уравнение:
,
.
(3)
Из
уравнения (3) найдем координаты нормального
вектора этой прямой:
.
2.
Аналогично пункту (1) можно получить
общее уравнение прямой (АС):
2x
+ y
− 3 = 0.
Откуда
y
= −2x
+ 3.
Следовательно,
угловой коэффициент этой прямой k
= − 2.
Уравнение
прямой (АС)
запишем в виде: 2x
+ y
= 3 и, разделив
обе части уравнения на 3, получим
.
Мы
получили уравнение прямой в отрезках.
Отсюда находим точки пересечения прямой
с осями координат:
,
B(0;3)
3.
Для нахождения косинуса угла между
прямыми (АВ)
и (АС)
используем следующую формулу:
,
где
–угл между прямыми,
k1,
k2
– угловые коэффициенты данных прямых.
Во второй части задания мы нашли k2
= −2.
Общее
уравнение прямой (АВ)
получено в первой части задания:
4x
+ 3y
− 5 = 0, откуда
и k1=
.
Следовательно,
.
Итак,
.
4
.
Длину
высоты
можно рассматривать как расстояние от
точки С(4;−5).до прямой (АВ):
.
Т
H
аким образом,
.
Формула расстояния от точки до прямой
известна:
.
Следовательно,
.
Итак,
|CH|=0,8.
Прямую
(CH)
можно задать точкой С(4;
-5) и нормальным
вектором
.
Поэтому −3
∙(x
− 4) + 4 ∙(y
+5)=0,
3x
— 4y
– 32 = 0 –
уравнение прямой (CH).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Угол между двумя прямыми
30 мая 2011
Буду кратким. Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:
Посмотрим, как эта формула работает на конкретных примерах:
Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 отмечены точки E и F — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.
Поскольку ребро куба не указано, положим AB = 1. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x, y, z направим вдоль AB, AD и AA1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющих векторов для наших прямых.
Найдем координаты вектора AE. Для этого нам потребуются точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Поскольку точка E — середина отрезка A1B1, ее координаты равны среднему арифметическому координат концов. Заметим, что начало вектора AE совпадает с началом координат, поэтому AE = (0,5; 0; 1).
Теперь разберемся с вектором BF. Аналогично, разбираем точки B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), т.к. F — середина отрезка B1C1. Имеем:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).
Итак, направляющие векторы готовы. Косинус угла между прямыми — это косинус угла между направляющими векторами, поэтому имеем:
Задача. В правильной трехгранной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE.
Введем стандартную систему координат: начало координат в точке A, ось x направим вдоль AB, z — вдоль AA1. Ось y направим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью ABC. Единичный отрезок равен AB = 1. Найдем координаты направляющих векторов для искомых прямых.
Для начала найдем координаты вектора AD. Рассмотрим точки: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), т.к. D — середина отрезка A1B1. Поскольку начало вектора AD совпадает с началом координат, получаем AD = (0,5; 0; 1).
Теперь найдем координаты вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) считается легко. С точкой E — серединой отрезка C1B1 — чуть сложнее. Имеем:
Осталось найти косинус угла:
Задача. В правильной шестигранной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, отмечены точки K и L — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AK и BL.
Введем стандартную для призмы систему координат: начало координат поместим в центр нижнего основания, ось x направим вдоль FC, ось y — через середины отрезков AB и DE, а ось z — вертикально вверх. Единичный отрезок снова равен AB = 1. Выпишем координаты интересующих нас точек:
Точки K и L — середины отрезков A1B1 и B1C1 соответственно, поэтому их координаты находятся через среднее арифметическое. Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AK и BL:
Теперь найдем косинус угла:
Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки E и F — середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.
Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x и y направим вдоль AB и AD соответственно, а ось z направим вертикально вверх. Единичный отрезок равен AB = 1.
Точки E и F — середины отрезков SB и SC соответственно, поэтому их координаты находятся как среднее арифметическое концов. Выпишем координаты интересующих нас точек:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AE и BF:
Координаты вектора AE совпадают с координатами точки E, поскольку точка A — начало координат. Осталось найти косинус угла:
Смотрите также:
- Задача 14: Угол между плоскостями сечения
- Видеоурок по задачам C2: расстояние от точки до плоскости
- Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
- Решение задач B12: №440—447
- Текстовые задачи про рельсы
- Задача B4: Семья из трех человек едет из Москвы в Нижний Новгород
Даны координаты точек: A (-1;0); B (5;-2); C (2;3); D (3;6).
Находим векторы:
АС = (2-(-1); 3-0) =(3; 3), модуль равен √(3² + 3²) = √18 =3√2.
BD = (3-5); 6-(-2)) =(-2; 8), модуль равен √((-2)² + 8²) = √68 = 2√17.
Находим косинус угла между этими прямыми:
cos (AC_BD) = (3*(-2) + 3*8)/(3√2*2√17) = 3√34/34.
То, что найден косинус острого угла(пусть А), проверяем по его величине.
A = arc cos(3√34/34) = 59,03624 градуса.
Угол между прямыми онлайн
С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямыми. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямыми, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), выберите вид уравнения (канонический, параметрический, общий (для двухмерного пространства)), введите данные в ячейки и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
1. Угол между прямыми на плоскости
Прямые заданы каноническими уравнениями
1.1. Определение угла между прямыми
Пусть в двухмерном пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
и
где q1=(m1, p1) направляющий вектор прямой L1, а q2=(m2, p2) направляющий вектор прямой L2.
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 (рис.1).
Из определения скалярного произведения:
где |q1| и |q2| модули направляющих векторов q1 и q2 соответственно, φ -угол между векторами q1 и q2.
Из выражения (1.3) получим:
Таким образом, из формулы (1.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Как видно из Рис.1 пересекающиеся прямые образуют смежные углы φ и φ1. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (1.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
и
Решение. Прямая (1.5) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 4), а прямая (1.6) − q2=(m2, p2)=(− 3, 1). Для определения угла между прямыми (1.5) и (1.6) подставим значения m1, p1, m2, p2 в (1.4):
Упростим и решим:
Найдем угол φ
Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:
Ответ.
Угол между прямыми равен:
1.2. Условие параллельности прямых
Пусть φ=0. Тогда cosφ=1. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
Сделаем преобразования с выражением (1.7):
Таким образом условие параллельности прямых L1 и L2 имеет вид (1.8). Если m2≠0 и p2≠0, то (1.8) можно записать так:
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.10) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 3), а прямая (1.11) − q2=(m2, p2)=(−2, −2). Тогда
Удовлетворяется равенство (1.9), следовательно прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
Ответ. Прямые (1.10) и (1.11) параллельны.
1.3. Условие перпендикулярности прямых
Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (1.4) примет следующий вид:
Правая часть выражения (1.12) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.14) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1)=(3, 1), а прямая (1.15) − q2=(m2, p2)=(−2, 6). Тогда
Удовлетворяется условие (1.13), следовательно прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.14) и (1.15) перпендикулярны.
Прямые заданы общими уравнениями
1.4. Определение угла между прямыми
Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
и
Так как нормальным вектором прямой L1 является n1=(A1, B1), а нормальным вектором прямой L2 является n2=(A2, B2), то задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла φ между векторами n1 и n2 (Рис.2).
Из определения скалярного произведения двух векторов, имеем:
где |n1| и |n2| модули нормальных векторов n1 и n2 соответственно, φ -угол между векторами n1 и n2.
Из уравнения (19) получим
Пример 4. Найти угол между прямыми
и
Решение. Прямая (1.21) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(5, −2), а прямая (1.22) − n2=(A2, B2)=(1, 3). Задача определения угла между прямыми L1 и L2 сводится к определению угла между векторами n1 и n2. Из определения скалярного произведения векторов имеем: (n1,n2)=|n1||n2|cosφ. Тогда
Подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (1.23), получим:
Упростим и решим:
Найдем угол φ:
Данный угол больше 90°. Найдем минимальный угол между прямыми. Для этого вычтем этот угол из 180:
1.5. Условие параллельности прямых
Так как угол между паралленьными прямыми равен нулю, то φ=0, cos(φ)=1. Тогда сделав преобразования, представленные выше для канонических уравнений прямых получим условие параллельности:
С другой стороны условие параллельности прямых L1 и L2 эквивалентно условию коллинеарности векторов n1 и n2 и можно представить так:
Как видим уравнения (1.24) и (1.25) эквивалентны при A2≠0 и B2≠0. Если в координатах нормальных векторов существует нулевой коэффициент, то нужно использовать уравнение (1.24).
Пример 5. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.26) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(4, 2), а прямая (1.27) − n2=(A2, B2)=(2, 1). Тогда подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (1.24), получим
Удовлетворяется равенство (1.24), следовательно прямые (1.26) и (1.27) параллельны.
Ответ. Прямые (1.26) и (1.27) параллельны.
1.6. Условие перпендикулярности прямых
Условие перпендикулярности прямых L1 и L2 можно извлекать из формулы (1.20), подставляя cos(φ)=0. Тогда скалярное произведение (n1,n2)=0. Откуда
Таким образом условие перпендикулярности прямых определяется равенством (1.28).
Пример 6. Определить, перпендикулярны ли прямые
и
Решение. Прямая (1.29) имеет нормальный вектор n1=(A1, B1)=(4, −1), а прямая (1.30) − n2=(A2, B2)=(2, 8). Тогда подставляя значения A1, B1, A2, B2 в (28), получим
Удовлетворяется равенство (1.28), следовательно прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (1.29) и (1.30) перпендикулярны.
2. Угол между прямыми в пространстве
2.1. Определение угла между прямыми
Пусть в пространстве прямые L1 и L2 заданы каноническими уравнениями
и
где q1=(m1, p1, l1) направляющий вектор прямой L1, а q2=(m2, p2, l2) направляющий вектор прямой L2.
Задача об определении угла между прямыми L1 и L2 сводится к задаче об определении угла между направляющими векторами q1 и q2 .
Из определения скалярного произведения:
где |q1| и |q2| модули направляющих векторов q1 и q2 соответственно, φ -угол между векторами q1 и q2.
Из выражения (2.3) получим:
Таким образом, из формулы (2.4) можно найти угол между прямыми L1 и L2. Если найденный угол больше 90°, то можно найти минимальный угол между прямыми L1 и L2: φ1=180-φ.
Из формулы (2.4) можно вывести условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Пример 1. Определить угол между прямыми
и
Решение. Прямая (2.5) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(1, 1, 3), а прямая (2.6) − q2=(m2, p2, l2)=(− 3, 1, 2). Для определения угла между прямыми (2.5) и (2.6) подставим значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.4):
Упростим и решим:
Найдем угол φ
Ответ.
Угол между прямыми равен:
2.2. Условие параллельности прямых
Условие параллельности прямых эквивалентно условию коллинеарности направляющих векторов q1 и q2, т.е. соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть
где α − некоторое число. Тогда соответствующие координаты векторов q1 и q2 пропорциональны, и, следовательно прямые L1 и L2 параллельны.
Условие параллельности прямых можно представить и так:
Отметим, что любую пропорцию нужно понимать как равенство ad=bc.
Пример 2. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(3, 2, 4), а прямая (2.10) − q2=(m2, p2, l2)=(6, 4, 8). Тогда
Удовлетворяется равенство (2.8) (или (2.7)), следовательно прямые (2.9) и (2.10) параллельны.
Ответ. Прямые (2,9) и (2,10) параллельны.
Пример 3. Определить, параллельны ли прямые
и
Решение. Прямая (2.9) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(1, 2, 0), а прямая (2.10) − q2=(m2, p2, l2)=(2, 4, 0). Подставляя значения m1, p1, l1, m2, p2, l2 в (2.8), получим
Выражение (2.13) нужно понимать так:
Как мы видим из (2.14) условия (2.13) выполняются. Следовательно прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
Ответ. Прямые (2.11) и (2.12) параллельны.
2.3. Условие перпендикулярности прямых
Пусть φ=90°. Тогда cosφ=0. При этом выражение (2.4) примет следующий вид:
Правая часть выражения (2.15) равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю. Следовательно, для того, чтобы прямые L1 и L2 были перпендикулярны , должно выполняться условие
Пример 3. Определить, перпендикулярны ли прямые
и
Решение. Прямая (2.16) имеет направляющий вектор q1=(m1, p1, l1)=(3, 2, 1), а прямая (2.17) − q2=(m2, p2, l2)=(4, −6, 0). Тогда
Удовлетворяется условие (2.16), следовательно прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.
Ответ. Прямые (2.17) и (2.18) перпендикулярны.