Как найти корни в тригонометрической форме

Извлечение корня из комплексного числа

30 ноября 2021

Третий урок по комплексным числам. В этом уроке вы узнаете:

1. Определение комплексного корня;
2. Основная формула — как извлекать корни;
3. Геометрическая интерпретация;
4. Почему корней всегда ровно n;
5. Краткие выводы — если лень читать урок.:)

Начнём с ключевого определения.

1. Определение комплексного корня

Определение. Корнем $n$-й степени из комплексного числа $z$, где $nin mathbb{N}$, $n gt 1$, называется такое комплексное число $omega $, что

[{{omega }^{n}}=z]

т.е. $n$-я степень числа $omega $ равна $z$.

Таких корней на множестве комплексных чисел всегда будет ровно $n$ штук. Все они обозначаются привычным знаком радикала:

[omega =sqrt[n]{z}]

Пример. Вычислить $sqrt[3]{-1}$ на множестве комплексных чисел.

Очевидно, привычная нам единица является таким корнем, потому что ${{left( -1 right)}^{3}}=-1$. Но есть ещё два корня:

[begin{align} {{left( frac{1}{2}+icdot frac{sqrt{3}}{2} right)}^{3}} &={{left( 1cdot left( cos frac{pi }{3}+icdot sin frac{pi }{3} right) right)}^{3}}= \ & =1cdot left( cos pi +isin pi right)=-1 \ {{left( frac{1}{2}-icdot frac{sqrt{3}}{2} right)}^{3}} &={{left( 1cdot left( cos left( -frac{pi }{3} right)+icdot sin left( -frac{pi }{3} right) right) right)}^{3}}= \ & =1cdot left( cos left( -pi right)+isin left( -pi right) right)=-1 end{align}]

Итого три корня. Как и предполагалось.

Теорема. Для любого комплексного числа $zne 0$ существует ровно $n$ комплексных чисел, каждое из которых является корнем $n$-й степени из числа $z.$

Все эти корни считаются по следующей формуле.

2. Формула корней

Теорема. Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме:

[z=left| z right|cdot left( cos varphi +isin varphi right)]

Тогда все корни степени $n$ из этого числа можно найти по формуле:

[begin{align} sqrt[n]{z} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi k}{n}+isin frac{varphi +2pi k}{n} right) \ k & in left{ 0,1,2,…,n-1 right} \ end{align}]

По сути, эта теорема является обратной к формуле Муавра:

[{{z}^{n}}={{left| z right|}^{n}}cdot left( cos nvarphi +isin n varphi right)]

Почему степень всегда одна, а корней несколько — об этом в конце урока. Сейчас для нас главное — алгоритм извлечения корня из комплексного числа. Он состоит из четырёх шагов:

1. Перевести комплексное число в тригонометрическую форму;
2. Записать общую формулу корня степени $n$;
3. Подставить в эту формулу $k=0$, затем $k=1$ и так до $k=n-1$.
4. Получим $n$ комплексных корней. Вместе они и будут ответом.

В ответе всегда будет набор из $n$ чисел. Потому что невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа $zne 0$.

Пример. Вычислить $sqrt[3]{-8i}$.

Представим число $-8i$ в тригонометрической форме:

[begin{align} -8i &=0+left( -8 right)cdot i= \ & =8cdot left( 0+left( -1 right)cdot i right)= \ & =8cdot left( cos left( -frac{pi }{2} right)+isin left( -frac{pi }{2} right) right) end{align}]

Запишем формулу корней в общем виде:

[begin{align} sqrt[3]{-8i} & =sqrt[3]{8cdot left( cos left( -frac{pi }{2} right)+isin left( -frac{pi }{2} right) right)}= \ & =sqrt[3]{8}cdot left( cos frac{-frac{pi }{2}+2pi k}{3}+isin frac{-frac{pi }{2}+2pi k}{3} right)= \ & =2cdot left( cos left( -frac{pi }{6}+frac{2pi k}{3} right)+isin left( -frac{pi }{6}+frac{2pi k}{3} right) right) \ end{align}]

Подставим $k=0$:

[sqrt[3]{-8i}=2cdot left( cos left( -frac{pi }{6} right)+isin left( -frac{pi }{6} right) right)=sqrt{3}-i]

Подставим $k=1$:

[sqrt[3]{-8i}=2cdot left( cos frac{pi }{2}+isin frac{pi }{2} right)=2i]

И, наконец, $k=2$:

[sqrt[3]{-8i}=2cdot left( cos frac{7pi }{6}+isin frac{7pi }{6} right)=-sqrt{3}-i]

В ответе нужно указать все три числа: $2i$; $sqrt{3}-i$; $-sqrt{3}-i$.

Ещё раз: подставляя разные $k$, мы будем получать разные корни. Всего таких корней будет ровно $n$. А если взять $k$ за пределами диапазона $left{ 0,1,…,n-1 right}$, то корни начнут повторяться, и ничего нового мы не получим.

3. Геометрическая интерпретация

Если отметить на комплексной плоскости все значения корня $n$-й степени из некоторого комплексного числа $zne 0$, то все они будут лежать на окружности с центром в начале координат и радиусом $R=sqrt[n]{left| z right|}$. Более того: эти точки образуют правильный $n$-угольник.

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $sqrt[3]{i}$.

Представим число $z=i$ в тригонометрической форме:

[begin{align} z & =1cdot left( 0+icdot 1 right)= \ & =1cdot left( cos frac{pi }{2}+isin frac{pi }{2} right) end{align}]

Формула комплексных корней:

[sqrt[3]{z}=1cdot left( cos left( frac{pi }{6}+frac{2pi k}{3} right)+isin left( frac{pi }{6}+frac{2pi k}{3} right) right)]

Это три точки ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ и ${{z}_{3}}$ на окружности радиуса $R=1$:

Получили правильный треугольник. Его первая вершина лежит на пересечении окружности радиуса 1 и начального луча, который образован поворотом оси $OX$ на угол ${pi }/{6};$.

Рассмотрим более сложный пример:

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $sqrt[4]{1+i}$.

Сразу запишем формулу корней с выделением начального луча:

[sqrt[4]{z}=sqrt[8]{2}cdot left( cos left( frac{pi }{16}+frac{pi k}{2} right)+isin left( frac{pi }{16}+frac{pi k}{2} right) right)]

Отмечаем эти точки на комплексной плоскости. Радиус окружности $R=sqrt[8]{2}$, начальный луч ${pi }/{16};$:

И вновь всё чётко: четыре точки — правильный четырёхугольник, т.е. квадрат. С отклонением начального луча ${pi }/{16};$.

Ну и ещё один пример — вновь без промежуточных вычислений. Только формулировка задачи, формула корней и окончательный чертёж:

Отметить на комплексной плоскости все числа вида $sqrt[6]{-64}$.

Формула корней с выделением начального луча:

[sqrt[6]{z}=2cdot left( cos left( frac{pi }{6}+frac{pi k}{3} right)+isin left( frac{pi }{6}+frac{pi k}{3} right) right)]

Получили правильный шестиугольник со стороной 2 и начальным лучом ${pi }/{6};$.

Таким образом, мы получаем «графический» алгоритм извлечения корня $n$-й степени из комплексного числа $zne 0$:

1. Перевести число в тригонометрическую форму;
2. Найти модуль корня: $sqrt[n]{left| z right|}$ — это будет радиусом окружности;
3. Построить начальный луч с отклонением $varphi ={arg left( z right)}/{n};$;
4. Построить все остальные лучи с шагом ${2pi }/{n};$;
5. Получим точки пересечения лучей с окружностью — это и есть искомые корни.

Такой алгоритм прекрасно работает, когда аргумент исходного числа и отклонение начального луча $varphi $ — стандартные «табличные» углы вроде ${pi }/{6};$. На практике чаще всего именно так и бывает. Поэтому берите на вооружение.:)

4. Почему корней всегда ровно n

С геометрической точки зрения, всё очевидно: если мы будем последовательно зачёркивать вершины правильного $n$-угольника, то ровно через $n$ шагов все вершины будут зачёркнуты. И для дальнейшего зачёркивания придётся выбирать вершину среди уже зачёркнутых.

Однако рассмотрим проблему с точки зрения алгебры. Ещё раз запишем формулу корня $n$-й степени:

[begin{align} sqrt[n]{z} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi k}{n}+isin frac{varphi +2pi k}{n} right) \ k & in left{ 0;1;2;…;n-1 right} \ end{align}]

Последовательно подставим в эту формулу указанные значения параметра $k$:

[begin{align} {{omega }_{0}} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi }{n}+isin frac{varphi }{n} right) \ {{omega }_{1}} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi }{n}+isin frac{varphi +2pi }{n} right) \ & … \ {{omega }_{n-1}} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi cdot left( n-1 right)}{n}+isin frac{varphi +2pi cdot left( n-1 right)}{n} right) \ end{align}]

Очевидно, последняя строка получена при $k=n-1$. Подставим теперь $k=n$:

[begin{align} {{omega }_{n}} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi n}{n}+isin frac{varphi +2pi n}{n} right)= \ & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos left( frac{varphi }{n}+2pi right)+isin left( frac{varphi }{n}+2pi right) right)= \ & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi }{n}+isin frac{varphi }{n} right)={{omega }_{0}} \ end{align}]

Поскольку синус и косинус — периодические функции с периодом $2pi $, ${{omega }_{n}}={{omega }_{0}}$, и далее корни будут повторяться. Как мы и заявляли в самом начале урока.

5. Выводы

Ключевые факты из урока.

Определение. Корень степени $n$ из комплексного числа $z$ — это такое число $omega $, что ${{omega }^{n}}=z$.

Обозначение. Для обозначения комплексных корней используется знакомый знак радикала: $omega =sqrt[n]{z}$.

Замечание. Если $zne 0$, таких чисел корней будет ровно $n$ штук.

Алгоритм нахождения корней состоит из двух шагов.

Шаг 1. Представить исходное число в тригонометрической форме:

[z=left| z right|cdot left( cos varphi +isin varphi right)]

Шаг 2. Воспользоваться формулой Муавра для вычисления корней:

[begin{align} sqrt[n]{z} & =sqrt[n]{left| z right|}cdot left( cos frac{varphi +2pi k}{n}+isin frac{varphi +2pi k}{n} right) \ k & in left{ 0;1;2;…;n-1 right} \ end{align}]

Все полученные корни лежат на окружности радиуса $sqrt[n]{left| z right|}$ с центром в начале координат и являются вершинами правильного $n$-угольника. Первая вершина лежит на т.н. «начальном луче», который отклонён от положительной полуоси $OX$ на угол ${varphi }/{n};$. Остальные вершины обычно легко находятся из соображений симметрии с помощью циркуля и линейки.

Геометрическую интерпретацию можно использовать для быстрого «графического» извлечения корней. Но это требует практики и хорошего понимания, что именно и зачем вы делаете. Технология такого извлечения корней описана выше в разделе «Геометрическая интерпретация».

Всё. В следующем уроке начнём решать уравнения в комплексных числах.:)

Смотрите также:

1. Тригонометрическая форма комплексного числа
2. Системы линейных уравнений: основные понятия
3. Радианная мера угла
4. Как представить обычную дробь в виде десятичной
5. Задача B2 на проценты: железнодорожные билеты
6. Логарифмические уравнения в задаче C1

Комплексные числа в тригонометрической
и показательной формах

Тригонометрическая форма комплексного числа

Каждому комплексному числу геометрически соответствует точка на плоскости . Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат , можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат в полярной системе (рис. 1.3,a).

Величина является неотрицательной и для данной точки определяется единственным образом, а угол может принимать бесчисленное множество значений (при этом ): если точке соответствует некоторое значение , то ей также соответствуют значения . Например, если для точки (см. рис. 1.1) выбрать , то ей соответствует любое , в частности при . Если же выбрать , то , а при получаем .

Используя связь декартовых и полярных координат точки (рис. 1.3,б), из алгебраической формы записи комплексного числа получаем тригонометрическую форму:

Показательная форма комплексного числа

Если обозначить комплексное число , у которого , а , через , то есть , то из (1.3) получим показательную форму записи комплексного числа:

Равенство называется формулой Эйлера.

Заметим, что геометрически задание комплексного числа равносильно заданию вектора , длина которого равна , то есть , а направление — под углом к оси (рис. 1.3,б).

Модуль комплексного числа

Число — длина радиуса-вектора точки называется модулем комплексного числа . Обозначение: .

Из рис. 1.3,б получаем формулу для нахождения модуля числа, заданного и алгебраической форме

Очевидно, что и только для числа .

С помощью правила вычитания запишем модуль числа , где и

А это, как известно, есть формула для расстояния между точками и .

Таким образом, число есть расстояние между точками и на комплексной плоскости.

Пример 1.13. Найти модули комплексных чисел:

Решение

Аргумент комплексного числа

Полярный угол точки называется аргументом комплексного числа . Обозначение: .

В дальнейшем, если нет специальных оговорок, под будем понимать значение , удовлетворяющее условию . Так, для точки (см. рис. 1.1) .

Формулу для нахождения аргумента комплексного числа , заданного в алгебраической форме, получаем, используя связь декартовых и полярных координат точки (см. рис. 1.3,б). Для точек, не лежащих на мнимой оси, т.е. для , у которых , получаем ; для точек мнимой положительной полуоси, т.е. для , у которых , имеем ; для точек мнимой отрицательной полуоси, т.е. для , у которых , соответственно .

Аргумент числа — величина неопределенная.

Нахождение аргумента при сводится к решению тригонометрического уравнения . При , т.е. когда — число действительное, имеем при и при . При решение уравнения зависит от четверти плоскости . Четверть, в которое расположена точка , определяется по знакам и . В результате получаем:

При решении примеров удобно пользоваться схемой, которая изображена на рис. 1.5.

Пример 1.14. Найти аргументы чисел из примера 1.13.

Решение

Пример 1.15. Найти модуль и аргумент числа .

Решение. Находим . Так как , т.е. точка расположена в четвертой четверти, то из равенства получаем (рис. 1.5).

Главное значение аргумента комплексного числа

Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Это следует из неоднозначности задания величины угла для данной точки, а также из тригонометрической формы записи комплексного числа и свойства периодичности функций и .

Всякий угол, отличающийся от на слагаемое, кратное , обозначается и записывается равенством:

где — главное значение аргумента, .

Пример 1.16. Записать и для чисел .

Решение. Числа и — действительные, расположены на действительной оси (рис. 1.6), поэтому

числа и — чисто мнимые, расположены на мнимой оси (рис. 1.6), поэтому

Пример 1.17. Записать комплексные числа из примера 1.16:

а) в тригонометрической форме;

б) в показательной форме.

Решение

Пример 1.18. Записать в тригонометрической форме числа .

Решение

Равенство комплексных чисел в тригонометрической форме

Условия равенства комплексных чисел получаем, используя геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа, заданного в тригонометрической форме. Так, для чисел из условия . очевидно, следует:

или

Аргументы равных комплексных чисел либо равны (в частности равны главные значения), либо отличаются на слагаемое, кратное .

Для пары сопряженных комплексных чисел и справедливы следующие равенства:

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме

Зададим два комплексных числа в тригонометрической форме и и перемножим их по правилу умножения двучленов:

или

Получили новое число , записанное в тригонометрической форме: , для которого .

Правило умножения. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются:

В результате умножения чисел может получиться аргумент произведения, не являющийся главным значением.

Пример 1.19. Найти модули и аргументы чисел:

Решение

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Рассмотрим частное комплексных чисел , заданных в тригонометрической форме. Из определения частного имеем и, применяя к произведению правило умножения (формулы (1.10)), получаем .

Правило деления. Модуль частного, полученного в результате деления чисел, заданных в тригонометрической форме, равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя:

В результате деления чисел по формуле (1.11) может получиться аргумент честного, не являющийся главным значением.

Пример 1.20. Записать в тригонометрической форме комплексное число .

Решение. Обозначим . Для чисел и находим модули и аргументы: (см. пример 1.19). По формуле (1.11) получаем и

Возведение в степень комплексного числа в тригонометрической форме

Из определения степени и правила умножения чисел, записанных в тригонометрической форме (формула (1.10)), получаем

, где .

Правило возведения в степень. При возведении в степень комплексного числа в эту степень возводится модуль числа, а аргумент умножается на показатель степени:

Записывая число в тригонометрической форме , получаем формулу возведения в степень:

При это равенство принимает вид и называется формула Муавра

Пример 1.21. Найти модуль и аргумент комплексного числа .

Решение. Обозначим . Находим модуль и аргумент числа . Поэтому и . Так как по определению для главного значения аргумента выполняется условие , то .

Пример 1.22. Записать в тригонометрической форме число .

Решение

Пример 1.23. Используя формулу Муавра, найти выражения для и через тригонометрические функции угла .

Решение

Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

Рассмотрим задачу извлечения корня из комплексного числа, заданного в показательной или тригонометрической форме , или . Искомое число также запишем в показательной форме: . Используя определение операции извлечения корня и условия (1.8), получаем соотношения

или

Правило извлечения корня. Чтобы извлечь корень из комплексного числа, нужно извлечь корень (арифметический) той же степени из модуля данного числа, а аргумент разделить на показатель корня:

Теперь можно записать число в показательной форме:

Если записать это соотношение в тригонометрической форме, то, учитывая периодичность тригонометрических функций, нетрудно убедиться, что выражение принимает только различных значений. Для их записи достаточно в формуле (1.15) взять последовательных значений , например . В результате получаем формулу извлечения корня из комплексного числа в тригонометрической форме, где :

Замечания 1.1

1. Рассмотренная задача извлечения корня степени из комплексного числа равносильна решению уравнения вида , где, очевидно, .

Для решения уравнения нужно найти значений , а для этого необходимо найти и использовать формулу извлечения корня.

2. Исследование формулы (1.17) показывает, что все комплексные числа (значения ) имеют равные модули, т.е. геометрически расположены на окружности радиуса . Аргументы двух последовательных чисел отличаются на , так как , т.е. каждое последующее значение может быть получено из предыдущего поворотом радиуса-вектора точки на .В этом заключается геометрический смысл формулы (1.17), что можно сформулировать следующим образом.

Точки, соответствующие значениям , расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат, радиус которой , причем аргумент одного из значений равен (рис. 1.7).

Алгоритм решения комплексных уравнений вида z^n-a=0

1. Найти модуль и аргумент числа .
2. Записать формулу (1.17) при заданном значении .
3. Выписать значения корней уравнения , придавая значения .

Пример 1.24. Решить уравнения: a) ; б) .

Решение

Пример 1.25. Найти корень уравнения , для которого .

Решение

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

1. Извлечение корня из комплексных чисел в тригонометрической форме

Определения и утверждения к 3.1.8 можно
найти в [1, с. 191-192].

Комплексное число
называется корнемn-й
степени из комплексного числаz,
если.

Утверждение. При любом натуральномn > 1 и любом
комплексномz
существует ровноnразличных чисел,
таких, что:

(1.4)

где k= 0, 1, 2, …,n– 1.

Пример 25 Вычислить.

Решение. Для того чтобы воспользоваться
формулой (1.4), необходимо представить
число, стоящее под знаком корня, в
тригонометрической форме. Для числаz
= ‑1 найдем его модуль и аргумент:,.
В итоге.

По формуле
(1.4)
.
Тогда:

Пример 26 Вычислить
.

Решение.
Для числа
найдем его модульи аргумент:,,
так как число
лежит на отрицательной части мнимой
оси. В итоге.
По формуле (1.4),

гдеk= 0, 1, 2, 3, 4. Тогда:

Для
иаргументами будути,
а неисоответственно, так как.

Пример 27 Вычислить.

Решение. Для числамодульи аргументесть:=,.

В итоге
=.
По формуле (1.4)

Тогда:

Из
формулы (1.4) видно, что аргументы корнейотличаются на одну и ту же величину,
а модули всех корней одинаковые и равны.
Значит, на комплексной плоскости всележат на окружности с центром в начале
координат и радиусомна одинаковом расстоянии друг от друга.
Для примера 27 изображения самого числаи его корней,,можно видеть на рис. 1.10.

1. Многочлены

   1. Многочлены и действия над ними

Определения и утверждения к 2.1 можно
найти в [1, с. 203-206].

Для действительной переменной x
функция вида,
гдеa иx
–действительные числа, аn
– натуральное число или 0 (по-другому
это можно записать как),
называется одночленом с действительным
коэффициентом.

Многочлен ‑ это сумма одночленов,
т.е. функция вида

.
При
этомназывается
старшим коэффициентом и,‑ свободным членом,n
‑ степенью многочлена.

Многочлен тождественно равен 0 тогда
и только тогда, когда все его коэффициенты
равны 0.

Если в записи многочлена нет какой-либо
степени неизвестного, это значит, что
коэффициент при этой степени равен 0.

На множестве многочленов определены
следующие действия:

1.
Сложение.

Пример
28.
Найти.

2.
Умножение.

Пример
29.
Найти.

3. Деление с остатком.

Разделить
на‑ значит записатьв виде,
или.
Последняя запись аналогична записи
для чисел:,
или 17 = 53 + 2.

Теорема (о делении с остатком)
[1, с. 206]. Для любых многочленовисуществуют, и притом единственные,
многочленыи,
такие, что

. (2.1)
При
этом степеньменьше
степени,‑ неполное частное,‑ остаток.
Разделитьна‑ значит записатьв виде (2.1).

Для практического нахождения частного
и остатка существует метод деления
«уголком».

Пример 30 Выполнить «уголком» деление
с остатком:

=на
=.

Решение.Запишем делимое
и делитель
как при делении многозначных чисел:

Находим
частное от деления старшего члена
делимого на старший член делителя ()
и записываем результат в графу частного:

x

Умножаем
делитель на результат деления и
записываем под делимым:

x

Вычитаем из
делимого результат умножения:

x

Проверяем
степень получившегося в результате
вычитания многочлена. Если она меньше
степени делителя, то процесс деления
закончен, и полученный многочлен
является остатком. В противном случае
деление продолжается аналогично
описанному ранее:

x ‑ 1

‑ 4x

Так как
степень полученного многочлена меньше
степени делителя, то процесс деления
закончен. В результате:
=
x– 1– неполное
частное, а

=
–4x – остаток.

Ответ:
,
или

.

Пример 31 Выполнить деление с
остатком:на.

Решение. Запишем делимое и делитель
как при делении многозначных чисел.
Если в записи многочлена отсутствует
одна или несколько степеней, то при
записи, для удобства вычислений, следует
на их места записать нули:

3x
+1

Получившиеся
в результате умножения многочлены
удобнее записывать, располагая слагаемые
в соответствии с их степенями. Так как
степень полученного многочлена меньше
степени делителя, то процесс деления
закончен. В результате:
=–
неполное частное, а=
3x + 1 – остаток.

Ответ:,
или.

Пример 32 Делится ли нацело многочленна многочлен?

Решение. Разделим один многочлен
на другой «уголком».

0
В
остатке от деления получился нуль,
значит,многочлен
делится на многочленнацелои возможны записи:

,
или.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Отбор корней в тригонометрическом уравнение

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x — cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx — 1) = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx — 1 = 0

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 — 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 — 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 — 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 — 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 — 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях

Класс: 10

Автор проекта:
Шелкова Полина,
Класс: 10

Руководитель:
Злобова Людмила Викторовна,
учитель математики

ВВЕДЕНИЕ

Слово «тригонометрия» греческое, оно переводится как «измерение треугольников» (τρίγονον — «тригон» — треугольник и μετρειν — «метрео» — измеряю).

Тригонометрия, как и всякая другая наука, выросла из практической деятельности человека. Потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил, оказали большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрией. Предполагают, что основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения, имели работы древнегреческого астронома Гиппарха Никейского (180-125 лет до н. э.) (прил. №3). Систематическое использование полной окружности в 360° установилось в основном благодаря Гиппарху и его таблице хорд (прил. №2). Т.е. таблицы, которые выражают длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса, что является аналогом современных таблиц тригонометрических функций. Впрочем, до нас не дошли оригинальные таблицы Гиппарха, как и почти все, что им написано. И мы, можем составить себе о них представление главным образом по сочинению «Великое построение» или «Альмагесту» знаменитого астронома Клавдия Птолемея, жившего в середине II века н.э.

Несмотря на то, что в работах ученых древности нет «тригонометрии» в строгом смысле этого слова, но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. Например, задачи на решение треугольников (определение всех сторон и углов треугольника по трем его известным элементам), теоремы Евклида и Архимеда представленные в геометрическом виде, эквивалентны специфическим тригонометрическим формулам. Главным достижением средневековой Индии стала замена хорд синусами. Это позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии, как учению о тригонометрических величинах.

Учёные стран Ближнего и Среднего Востока с VIII века развили тригонометрию своих предшественников. Уже в середине IX века среднеазиатский учёный аль-Хорезми написал сочинение «Об индийском счёте». После того, как трактаты мусульманских ученых были переведены на латынь, многие идеи греческих, индийских и мусульманских математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки. В дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела, способствовали развитию тригонометрии. Особенно усиленно шло ее развитие в средневековое время. Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насир ад-Дину ат-Туси (1201-1274), написавшему «Трактат о полном четырехстороннике». Творения ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела науки. Однако в их трудах еще не была введена необходимая символика. Современный вид тригонометрия получила в трудах Леонарда Эйлера (1707-1783). На основании трудов Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности (прил. №4). Тригонометрические вычисления применяются во многих областях человеческой деятельности: в геометрии, в физике, в астрономии, в архитектуре, в геодезии, инженерном деле, в акустике, в электронике и т.д.

I РАЗДЕЛ (теоретический)

Тема проекта и её актуальность: почему я выбрала тему «Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях»?

• Расширить и углубить свои знания, полученные в курсе геометрии 8-9 класса.
• Тригонометрические уравнения рассматриваются в курсе алгебры и начал математического анализа 10-11 класса.
• Тригонометрические уравнения включены в КИМы ЕГЭ по математике.

Решение тригонометрических уравнений и отбор корней, принадлежащих заданному промежутку — это одна из сложнейших тем математики, которая выносится на Единый Государственный Экзамен. По результатам анкетирования многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать тригонометрические уравнения и особенно затрудняются в отборе корней, принадлежащих промежутку. Немаловажно также знать, тригонометрические формулы, табличные значения тригонометрических функций для решения целого ряда заданий Единого Государственного Экзамена по математике.

Цель проекта: изучить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и выбрать для себя наиболее рациональные подходы для качественной подготовки к ЕГЭ.

Задачи:

• познакомиться с историческими сведениями о возникновении тригонометрии, как науки;
• изучить соответствующую литературу;
• научиться решать тригонометрические уравнения;
• найти теоретический материал и изучить методы отбора корней в тригонометрических уравнениях;
• научиться отбирать корни в тригонометрических уравнениях, принадлежащим заданному промежутку;
• подготовиться к ЕГЭ по математике.

Приёмы отбора корней тригонометрического уравнения на заданном промежутке.

При решении тригонометрических уравнений предлагается провести отбор корней из множества значений неизвестного. В тригонометрическом уравнении отбор корней можно осуществлять следующими способами: арифметическим, алгебраическим, геометрическим и функционально-графическим.

Арифметический способ отбора корней состоит в непосредственной подстановке полученных корней в уравнение, учитывая имеющиеся ограничения, при переборе значений целочисленного параметра.

Алгебраический способ предполагает составление неравенств, соответствующих дополнительным условиям, и их решение относительно целочисленного параметра.

Геометрический способ предполагает использование при отборе корней двух вариантов: тригонометрической окружности или числовой прямой. Тригонометрическая окружность более удобна, когда речь идет об отборе корней на промежутке или в случае, когда значение обратных тригонометрических функций, входящих в решения, не являются табличными. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой. Числовую прямую удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2 или требуется найти наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения.

Функционально-графический способ предполагает отбор корней осуществлять с использование графиков тригонометрических функций. Чтобы использовать данный способ отбора корней, требуется умение схематичного построения графиков тригонометрических функций.

II РАЗДЕЛ (практический)

Покажу практически три наиболее эффективных и рациональных, с моей точки зрения, метода отбора корней на примере решения следующего тригонометрического уравнения:

sinx−cos2x=0; [применили формулу двойного угла: cos2x = cos 2 x−sin 2 x]

sinx−(cos 2 x−sin 2 x)=0;

sinx−(1−sin 2 x−sin 2 x)=0;

Введем новую переменную: sinx = t, -1 ≤ t ≤1, получим

Вернемся к замене:

б) Рассмотрим три способа отбора корней, попадающих в отрезок .

1 способ: обратимся к единичной окружности. Отметим на ней дугу, соответствующую указанному отрезку, т.е. выполним отбор корней арифметическим способом и с помощью тригонометрической окружности:

2 способ: указанный отрезок соответствует неравенству: Подставим в него полученные корни:

3 способ: разместим корни уравнения на числовой прямой. Сначала отметим корни, подставив вместо n, и нуль (0), а потом добавим к каждому корню периоды.

Нам останется только выбрать корни, которые попали в нужный нам отрезок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При работе над моим проектом я изучила методы решения тригонометрических уравнений и способы отбора корней тригонометрических уравнений. Выяснила для себя положительные и отрицательные моменты. При апробации этих подходов в отборе корней тригонометрического уравнения, понимаешь, что каждый из этих способов удобен по-своему в том или ином случае. Например, алгебраический способ (решение неравенством) наиболее эффективен, когда промежуток для отбора корней достаточно большой, в тоже время он дает практически стопроцентное нахождение целочисленного параметра для вычисления корней, а применение арифметического способа приводит к громоздким вычислениям. При отборе корней уравнения, удовлетворяющих дополнительным условиям, т.е. когда корни уравнения принадлежат заданному промежутку, мне проще и нагляднее получить корни с помощью тригонометрической окружности, а проверить себя можно арифметическим способом. Замечу, что при решении тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, возрастают, если в уравнении приходится учитывать ОДЗ. Как показывает практика и анкетирование моих одноклассников, из четырёх возможных методов отбора корней тригонометрического уравнения по дополнительным условиям, наиболее предпочтительным является отбор корней по окружности. Анкетирование проходили 12 респондентов, изучающих тригонометрию (прил. №5). Большинство из них отвечали, что этот раздел математики достаточно сложный: большой объем информации, очень много формул, табличных значений, которые нужно знать и уметь применять на практике. Еще как одна из проблем — небольшое количество времени, отведенное на изучение этого сложного раздела математики. И я разделяю их мнение. При такой сложности, многие считают, что тригонометрия важный раздел математики, который находит применение в других науках и практической деятельности человека.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для общеобразоват. организаций: базовый и углубленный уровни/ [С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников и др.]-3 -е изд.- М.: Просвещение, 2016.
2. Алгебра и начала математического анализа: Учеб для 10-11 кл.общеобразоват. организаций / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др. под редакцией А.Н.Колмогорова — М. Просвещение, 2017.
3. С.В Кравцев и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных — М: Издательство: «Экзамен», 2005.
4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. — Тригонометрические уравнения: методы решения и отбор корней. — М.: Математика ЕГЭ, 2012.

Тригонометрические уравнения

Решение простейших тригонометрических уравнений

Градусы и радианы

Знакомство с тригонометрической окружностью

Повороты на тригонометрической окружности

Как много боли связано со словом тригонометрия. Эта тема появляется в 9 классе и уже никуда не исчезает. Тяжело приходится тем, кто чего-то не понял сразу. Попробуем это исправить, чтобы осветить ваше лицо улыбкой при слове тригонометрия или хотя бы добиться «poker face».

Начнем с того, что как длину можно выразить в метрах или милях, так и угол можно выразить в радианах или градусах .

1 радиан = 180/π ≈ 57,3 градусов

Но проще запомнить целые числа: 3,14 радиан = 180 градусов. Это все одно и то же значение числа π.

Вспомним, что если нас просят развернуться, то нам нужно повернуться на 180 градусов, а теперь можно так же сказать: Повернись на π!

О графиках синуса, косинуса и тангеса поговорим в другой статье.

А сейчас начем с декартовой (прямоугольной) системы координат.

Раньше она помогала строить графики, а теперь поможет с синусом и косинусом.

На пересечении оси Х и оси Y построим единичную (радиус равен 1) окружность:

Тогда ось косинусов будет совпадать с х, ось синусов с y. Оси тангенсов и котангенсов также показаны на рисунке.

А теперь отметим основные значения градусов и радиан на окружности.

Давай договоримся с тобой, как взрослые люди: на окружности мы будем отмечать угол в радианах, то есть через Пи.

Достаточно запомнить, что π = 180° (тогда π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).

А теперь давай покрутимся на окружности! За начало отчета принято брать крайнюю правую точку окружности (где 0°):

От нее задаем дальнейший поворот. Вращаться можем как в положительную сторону (против часовой), так и в отрицательную сторону (по часовой стрелке).

Повернуться на 45° можно двумя спобами: через левое плечо на 45° в (+) сторону, либо через правое плечо на 315° в (-).

Главное — направление, куда мы будем смотреть, а не угол!

Нужно направить пунктир на 100 баллов, а сколько оборотов и в какую сторону вокруг себя мы сделаем — без разницы!

Получить 100 баллов можно поворотом на 135° или 360°+135°, или -225°, или -225°-360°.

А теперь у тебя есть два пути:

Выучить всю окружность (тригонометр). Неплохой вариант, если с памятью у тебя все отлично, и ничего не вылетит из головы в ответственный момент:

А можно запомнить несколько табличных углов и соответствующие им значения, а потом использовать их.

Находите равные углы (вертикальные, соответственные) на тригонометрической окружности. Попасть в любую точку можно с помощью суммы или разности двух табличных значений.

Сразу попробуем разобрать на примере:

1) Помним, что ось cos(x) — это горизонтальная ось. На ней отмечаем значение ½ и проводим перпендикулярную (фиолетовую) прямую до пересечений с окружностью.

2) Получили две точки пересечения с окружностью, значение этих углов и будет решением уравнения.

Дело за малым — найти эти углы.

Лучше обойтись «малой кровью» и выучить значение синуса и косинуса для углов от 30° до 60°.

Или запомнить такой прием:

Пронумеруй пальцы от 0 до 4 от мизинца до большого. Угол задается между мизинцем и любым другим пальцем (от 0 до 90).

Например, требуется найти sin(π/2) : π/2 — это большой палец, n = 4 подставляем в формулу для синуса: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.

cos(π/4) — ? π/4 соответсвует среднему пальцу (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.

При значении cos(x) = ½ из таблицы или с помощью мнемонического правила находим x = 60° (первая точка x = +π/3 из-за того, что поворот происходил против часовой стерелки (+), угол показан черной дугой).

Вторая же точка соответствует точно такому же углу, только поворот будет по часовой стрелке (−). x = −π/3 (угол показан нижней черной дугой).

И последнее, прежде чем тебе, наконец, откроются тайные знания тригонометрии:

Когда требуется попасть в «100 баллов», мы можем в них попасть с помощью поворота на . =-225°=135°=495°=.

То же самое и здесь! Разные углы могут отражать одно и то же направление.

Абсолютно точно можно сказать, что нужно повернуться на требуемый угол, а дальше можно поворачиваться на 360° = 2π (синим цветом) сколько угодно раз и в любом направлении.

Таким образом, попасть в первое направление 60° можно: . 60°-360°, 60°, 60°+360°.

И как записать остальные углы, не записывать же бесконечное количество точек? (Хотел бы я на это посмотреть☻)

Поэтому правильно записать ответ: x = 60 + 360n, где n — целое число (n∈Ζ) (поворачиваемся на 60 градусов, а после кружимся сколько угодно раз, главное, чтобы направление осталось тем же). Аналогично x = −60 + 360n.

Но мы же договорились, что на окружности все записывают через π, поэтому cos(x) = ½ при x = π/3 + 2πn, n∈Ζ и x = −π/3 + 2πk, k∈Ζ.

Ответ: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Ζ.

Пример №2. 2sinx = √2

Первое, что следует сделать, это перенести 2-ку вправо => sinx=√2/2

1) sin(x) совпадает с осью Y. На оси sin(x) отмечаем √2/2 и проводим ⊥ фиолетовую прямую до пересечений с окружностью.

2) Из таблицы sinx = √2/2 при х = π/4, а вторую точку будем искать с помощью поворота до π, а затем нужно вернуться обратно на π/4.

Поэтому вторая точка будет x = π − π/4 = 3π/4, в нее также можно попасть и с помощью красных стрелочек или как-то по-другому.

И еще не забудем добавить +2πn, n∈Ζ.

Ответ: 3π/4 + 2πn и π/4 + 2πk, k и n − любые целые числа.

Пример №3. tg(x + π/4) = √3

Вроде все верно, тангенс равняется числу, но смущает π/4 в тангенсе. Тогда сделаем замену: y = x + π/4.

tg(y) = √3 выглядит уже не так страшно. Вспомним, где ось тангенсов.

1) А теперь на оси тангенсов отметим значение √3, это выше чем 1.

2) Проведем фиолетовую прямую через значение √3 и начало координат. Опять на пересечении с окружностью получается 2 точки.

По мнемоническому правилу при тангенсе √3 первое значение — это π/3.

3) Чтобы попасть во вторую точку, можно к первой точке (π/3) прибавить π => y = π/3 + π = 4π/3.

4) Но мы нашли только y , вернемся к х. y = π/3 + 2πn и y = x + π/4, тогда x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Ζ.

Второй корень: y = 4π/3 + 2πk и y = x + π/4, тогда x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.

Теперь корни на окружности будут здесь:

Ответ: π/12 + 2πn и 13π/12 + 2πk, k и n — любые целые числа.

Конечно, эти два ответа можно объединить в один. От 0 поворот на π/12, а дальше каждый корень будет повторяться через каждый π (180°).

Ответ можно записать и так: π/12 + πn, n∈Ζ.

Пример №4: −10ctg(x) = 10

Перенесем (−10) в другую часть: ctg(x) = −1. Отметим значение -1 на оси котангенсов.

1) Проведем прямую через эту точку и начало координат.

2) Придется опять вспомнить, когда деление косинуса на синус даст еденицу (это получается при π/4). Но здесь −1, поэтому одна точка будет −π/4. А вторую найдем поворотом до π, а потом назад на π/4 (π − π/4).

Можно это сделать по-другому (красным цветом), но мой вам совет: всегда отсчитывайте от целых значений пи (π, 2π, 3π. ) так намного меньше шансов запутаться.

Не забываем добавить к каждой точке 2πk.

Ответ: 3π/4 + 2πn и −π/4 + 2πk, k и n — любые целые числа.

Алгоритм решения тригонометрических уравнений (на примере cos(x) = − √ 3/2) :

1. Отмечаем значение (−√3/2) на оси тригонометрической функции (косинусов, это ось Х).
2. Проводим перпендикулярную прямую оси (косинусов) до пересечений с окружностью.
3. Точки пересечения с окружностью и будут являться корнями уравнения.
4. Значение одной точки (без разницы, как в нее попадете) +2πk.

Азов достаточно, прежде чем идти дальше закрепите полученные знания.

Извлечение корня из некоторого комплексного числа выполняется для чисел, которые представлены в тригонометрической форме.