Как найти корень у обычного уравнения

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а; если а равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
Раскрываем скобки, если они есть. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую. Приводим подобные члены в каждой части уравнения. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Уравнение и его корни: определения, примеры

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6 : x = 3 .

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · ( x − 1 ) = 19 , x + 6 · ( x + 6 · ( x − 8 ) ) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · ( 8 + 1 ) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · ( x + 17 ) .

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + ( y − 6 ) 2 + ( z + 0 , 6 ) 2 = 26 .

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня ­­– три и минус три, в x · ( x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня — 2 , 1 и 5 , то пишем — 2 , 1 , 5 или < — 2 , 1 , 5 >.

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых ­– Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как ( 3 , 4 ) .

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?

Уравнения бывают разные. Вы изучите их многие виды в курсе математике, но все они решаются по одним правилам, эти правила мы сейчас рассмотрим подробно.

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Узнаем сначала все понятия, связанные с уравнением.

Определение:
Уравнение – это равенство, содержащее переменные и числовые значения.

Переменные (аргументы уравнения) или неизвестные уравнения – их обозначают в основном латинскими буквами (x, y, z, f и т.д.). При подстановки числового значения переменной в уравнение получаем верное равенство – это корень уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.

Корни уравнения – это значение переменной при котором уравнение превращается в верное равенство.

Рассмотрим теперь, все термины на простом примере:
x+1=3

В данном случае x – переменная или неизвестное значение уравнения.

Можно устно решить данное уравнение. Какое надо число прибавить к 1, чтобы получить 3? Конечно, число 2. То есть наша переменная x =2. Корень уравнения равен 2. Проверим правильно ли мы решили уравнение? Чтобы проверить уравнение, нужно вместо переменной подставить полученный корень уравнения.

Получили верное равенство. Значит, правильно нашли корни уравнения.

Но бывают более сложные уравнения, которые устно не решить. Нужно прибегать к правилам решения уравнений. Рассмотрим правила решения уравнений ниже, которые объяснят нам как решать уравнения.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно левую и правую часть уменьшить на 2. Это нужно сделать для того, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е. числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это значит отнять от левой части двойку и одновременно от правой части отнять двойку. Если мы делаем какое-то действие, например, вычитание применяя его одновременно к левой части уравнения и к правой, то уравнение не меняет смысл.

Нужно остановиться на этом моменте подробно. Другими словами, мы +2 перенесли с левой части на правую и знак поменяли стало число -2.

Как проверить правильно ли вы нашли корень уравнения? Ведь не все уравнения будут простыми как данное. Чтобы проверить корень уравнения его значение нужно поставить в само уравнение.

Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.

x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.

Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 4, чтобы переменная x осталось в левой стороне, а известные (т.е. числа) в правой стороне. Прибавим к левой и правой части число 4. Получим:

Другими словами, мы -4 перенесли из левой части уравнения в правую и получили +4. При переносе через равно знаки меняются на противоположные.

Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16

Очень важно понять правила переноса частей уравнения через знак равно. Не всегда нужно переносить числа, иногда нужно перенести переменные или даже целые выражения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5

Решение:
Чтобы решить уравнение необходимо неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. То есть переменные с x будут в левой части, а числа в правой части.
Сначала перенесем 2x с правой стороны в левую сторону уравнения и получим -2x.

4+3x= 2x -5
4+3x -2x =-5

Далее 4 с левой стороны уравнения перенесем на правую сторону и получим -4
4 +3x-2x=-5
3x-2x=-5 -4

Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9

Сделаем проверку, правильно ли решено уравнение? Для этого вместо переменной x в уравнение подставим -9.
4+3x=2x-5
4+3⋅ (-9) =2⋅ (-9) -5
4-27=-18-5
-23=-23

Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.

5x=20
5x :5 =20 :5
5:5x=4
1x=4 или x=4

Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅ 4 =20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.

Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения .

Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.

Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.

7=7 получено верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Решение:
Сначала перенесем -1 в правую сторону уравнения относительно знака равно, а в левую сторону и знаки у них поменяются на противоположные.
Теперь нужно все уравнение умножить на 5, чтобы в коэффициенте перед переменной x убрать из знаменателя 5.

Далее делим все уравнение на 3.

3x :3 =45 :3
(3:3)x=15

Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:

1. Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
2. Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
3. Избавиться от коэффициента при переменной если нужно.
4. В итоге всех действий получаем корень уравнение. Выполняем проверку.

Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды). Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться.

Основные понятия уравнения

К примеру: 3+4=7 это числовое равенство, при вычислении которого с левой стороны получается 7=7.

Уравнением же будет называться следующее равенство: 3+х=7, поскольку есть неизвестная переменная х, её значение можно найти.

Из этого уравнения следует, что переменная х=4, только при таком его значении равенство 3+х=7, будет верным.

Неизвестные переменные принято писать в виде маленьких латинских букв, можно любыми, но чаще используют x,y,z.

Получается, чтобы равенство сделать уравнением необходимо, чтобы в нем была буква, значение которой неизвестно.

Как мы понимаем существует множество примеров уравнений с разными арифметическими действиями.

Пример: х + 5 = 1= 9; z — 2 = 7; 9 * y = 18, 6 :  f = 2

Помимо этого существуют уравнения со скобками. К таким уравнениям относится 8 : (х — 4) = 2 * (8 — х), неизвестных может быть несколько, они могут быть, как слева уравнения, так и справа или в обеих частях.

Помимо таких простых уравнений они могут быть с корнями, логарифмами, степенями и тд. 

Уравнение может содержать несколько переменными, тогда их принято называть, соответственно уравнениями с двумя, тремя и более переменными.

Пример:

3 * а = 15 : х — уравнение с двумя переменными:

8 — а = 5 * х — z — уравнение с тремя переменными.

Корень уравнения

Мы часто слышим фразу на уроках математики, «найдите корень уравнения», давайте разберёмся, что же это значит.

Пример:

В примере 3+х=7, можно представить вместо буквы число, и уравнение тогда станет равенством, оно может быть либо верным, либо неверным, если поставить х=3, то первичное равенство примет вид 3+3 = 7 и станет неверным, а если х= 4 то равенство 3+4=7 будет верным, а значит х = 4 будет называться корнем или по другому решением уравнения 3+х=7.

Определение.

Отсюда можно выделить следующее определение: корень уравнения — это такое значение неизвестной переменной, при котором числовое равенство будет верным.

Стоит отметить, что корней может быть несколько или не быть вовсе.

Рассмотрим подробнее пример который не будет иметь корней. Таким примером станет 0 * х = 7, сколько бы чисел мы сюда не подставляли равенство не будет верным, так как умножая на ноль будет ноль, а не 7.

Но существуют и уравнения с множественным числом корней, к примеру, х — 3 = 6, в таком уравнении только один корень 9, а в уравнении квадратного вида х2 = 16, два корня 4 и -4,  можно привести пример и с тремя корнями х * (х — 1) * (х — 2) = 0,  в данном случае три решения ноль, два и один.

Для того чтобы верно записать результат уравнения мы пишем так:

• Если корня нет, пишем уравнение корней не имеет;
• Если есть и их несколько, они либо прописываются через запятые, либо в фигурных скобках, например, так: {-2, 3, 5};
• Еще одним вариантом написания корней, считается запись в виде простого равенства, к примеру неизвестная х а корни 3,5 тогда результат прописывается так: х=3, х=5. 
• или прибавляя индекс снизух1 =3 , х2 = 5. данным способом указывается номер корня;
• Если решений уравнения бесконечное множество, то запись будет либо в виде числового промежутка от и до, или общепринятыми обозначениями. множество натуральных чисел N, целых –  Z, действительных — R.

Стоит отметить, что если уравнение имеет два и более корней, то чаще употребляется понятие решение уравнения.  Рассмотрим определение уравнения с несколькими переменными.

Решение уравнения с двумя и более переменными, означает, что эти несколько значений превращают уравнение в верное равенство.

Примеры:

Представим, что мы имеем следующее уравнение х + а = 5, такое уравнение имеет две переменные. Если мы поставим вместо них числа 3 и 6 то равенство не будет верным, соответственно и данные числа не являются решением для данного примера.  А если взять числа 2 и 3 то равенство превратится в верное, а числа 2 и 3 будут решением уравнения. Представленные уравнения с несколькими переменными, тоже могут или не иметь корня вообще или наоборот иметь множество решений.

Правила нахождения корней

Таких правил существует несколько рассмотрим их ниже.

Пример 1 

Допустим мы имеем уравнение 4 + х = 10, чтобы найти корень уравнения или значение  х в данном случае необходимо  найти неизвестное слагаемое, для этого есть следующее правило или формула. Для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное значение.

Решение:

х = 10 — 4

х = 6

Чтобы проверить является ли 6 решением, мы ставим его на место неизвестной переменной х в исходное уравнение, получаем следующее равенство 4 + 6 = 10, такое равенство является верным, что означает число корня уравнения, равно 6.

Пример 2

Возьмём уравнение вида х — 5 = 3, в данном примере х это неизвестное уменьшаемое, для того чтобы его найти необходимо следовать следующему правилу:

Для нахождения уменьшаемого необходимо сложить разность и вычитаемое.

Решение:

х = 3 + 5

х = 8

Проверяем правильность нахождения корня уравнения, подставляем, вместо переменной неизвестной, найденное число 8, получаем равенство 8 — 5 = 3, так как оно верное, то и корень уравнения найден правильно.

Пример 3

Берём уравнение, в котором неизвестное х будет вычитаемое к примеру: 8 — х = 4. для того чтобы найти х необходимо воспользоваться правилом:

Для нахождения вычитаемого, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Решение:

х = 8 — 4

х = 4

Проверяем правильность нахождения корня уравнения, для этого полученное значение ставим вместо неизвестного вычитаемого в исходный пример, и получаем следующее равенство 8 — 4 = 4, равенство верно, значит и корень найден правильно.

Пример 4

Возьмём уравнение вида х * 3 = 9, в данном уравнении неизвестна переменная х, является множимым. Для того, чтобы найти корень такого уравнения необходимо использовать следующее правило.

Для нахождения неизвестного множимого, нужно произведение разделить на множитель.

Решение:

х = 9 : 3

х = 3

Для проверки подставим найденное значение х в исходное уравнение, получим равенство 3 * 3 =9, так как равенство является верным, то и решение уравнения верное.

Такое же правило действует и для множителя, чтобы его найти необходимо произведение разделить на множимое.

Пример 5

Возьмём уравнение следующего вида: х : 2 = 10 , в данном уравнении х- это неизвестное делимое, 2 — делитель, а 10 — частное. Для нахождения неизвестного значения х, воспользуемся правилом:

Чтобы найти делимое, необходимо частное умножить на делитель.

Решение:

х = 10 * 2

х = 20

Проверим, вместо неизвестного х, поставим его значение 20, получим следующее равенство 20: 2 = 10. Равенство верное, значит и решение было верным.

Пример 6

Теперь рассмотрим пример с делителем.

Возьмём уравнение 22: х = 11, где х неизвестный делитель. Для того чтобы его найти существует правило:

При нахождении неизвестного делителя нужно делимое разделить на частное.

Решение:

х = 22 : 11

х = 2

Проверяем, 2 ставим на место неизвестного х в исходное уравнение, получаем равенство 22 : 2 = 11. Так как равенство верно, то мы нашли верный корень уравнения.

Пример применения правил в более сложном уравнении: 2х — 5 =5

Решение:

2х = 5 + 5

2х = 10

х = 10 : 2

х = 5

Проверяем, для этого полученное значение х = 5, ставим в исходное уравнение, получаем равенство 2 * 5 — 5 = 5, так как равенство верно, корень найден правильно.

Квадратные уравнения

Существует также уравнения квадратного вида, например: 2х² = 32, для того, чтобы найти неизвестное или корень квадратного уравнения, в таком уравнении необходимо:

Решение:

х² = 32 : 2

х² = 16

х = √16

х = 4

Проверим, для этого полученное значение подставим в исходное уравнение, и получим равенство 24² = 32. так как равенство верное, то и решение уравнения верно.

Как мы видим нахождение корня уравнения не такой сложный процесс, главное запомнить правила. Стоит отметить, что помимо решения различного вида задач, уравнения применяются в других различных науках. Применение уравнений можно найти в экономике, в физике, химии, биологии и других. При их помощи можно вычислить и описать процессы, происходящие вокруг нас.

Калькулятор квадратных корней

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике 5-9 класс
4. Натуральные числа и действия над ними
5. Уравнения

Советуем посмотреть:

Понятие о натуральном числе

Сложение натуральных чисел

Вычитание натуральных чисел

Умножение натуральных чисел

Деление натуральных чисел

Порядок выполнения действий

Степень числа. Квадрат и куб числа

Меньше или больше

Меньше или больше на сколько? во сколько раз?

Формулы

Натуральные числа и действия над ними

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 1254,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1381,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 489,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 627,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 765,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1052,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1130,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1207,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1208,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 638,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 660,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 890,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1160,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 598,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 601,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 812,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1312,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1327,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1518,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 35,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 51,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 71,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 72,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 102,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 105,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 255,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 376,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 425,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 856,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 58,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 201,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 203,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 214,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 219,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 338,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 374,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 402,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 403,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 518,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

Содержание:

Линейное уравнение с одной переменной

Уравнение — одно из важнейших понятий не только математики, но и многих прикладных наук. Это наиболее удобная математическая модель, наилучшее средство для решения сложнейших задач. Образно говоря, уравнение — это ключ, которым можно отворять тысячи дверей в неизвестное. Основные темы главы:

• общие сведения об уравнениях;
• равносильные уравнения;
• линейные уравнения;
• решение задач с помощью уравнений.

Общие сведения об уравнении

Алгебра в течение многих столетий развивалась как наука об уравнениях.

Уравнение — это равенство, содержащее не-известные числа, обозначенные буквами.

Неизвестные числа в уравнении называют переменными. Переменные чаще всего обозначают буквами х, у, z (икс, игрек, зет), хотя их можно обозначить и другими буквами.

Примеры уравнений:

Например:

Рассмотрим уравнение . Если в нём вместо переменной х написать число 5, то будем иметь правильное числовое равенство . Говорят, что «число 5 удовлетворяет данное уравнение».

Число, удовлетворяющее уравнение, называется его корнем.

Уравнение имеет только один корень:

Уравнение имеет три корня:

Уравнение не имеет ни одного корня, так как при каждом значении переменной х число х + 7 на 7 больше, чем х.

Уравнение имеет бесконечное множество корней.

Решить уравнение — это означает, что надо найти все его корни или показать, что их не существует.

Простейшие уравнения можно решать, пользуясь известными зависимостями между слагаемыми и суммой, между множителями и произведением и т. п.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

В данном случае неизвестно вычитаемое. Чтобы найти его, следует от уменьшаемого отнять разность:

Здесь неизвестный множитель х. Чтобы найти его, надо произведение разделить на известный множитель:

Ответ. х = 4.

Уравнение — это своеобразный кроссворд. Только в клеточки кроссворда вписывают буквы, чтобы получить нужные слова, а в уравнение вместо переменных подставляют числа, чтобы получались правильные равенства.

Например, уравнение можно записать в форме числового кроссворда:

Какое число надо поставить в квадратики, чтобы получилось верное равенство?

Уравнения бывают разных видов, в частности — содержащие неизвестную переменную в квадрате, в кубе, под знаком модуля и т. п. Решим, например, уравнения:

1) Ответим на вопрос: какое число надо возвести в квадрат, чтобы получить 9? Это числа 3 и -3. Это и есть корни данного уравнения.

2) Разделим обе части уравнения Какое число, возведённое в куб, равно 8? Таковым является число 2. Значит, решение данного уравнения х = 2.

3) Если модуль числа x — 2, то это число равно 5 или -5. Имеем: x — 2 = 5, отсюда х = 7, или x — 2 = -5, отсюда х = -3. Значит, уравнение имеет два корня: x = 7 и x = -3.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пример:

Я задумал число. Если его умножить на 3, от результата отнять 4, то получим 5. Какое число я задумал?

Решение:

Обозначим искомое число буквой х. Если умножить его на 3, то получим Зх. Отняв от результата 4, получим Зх — 4. Имеем уравнение:

Решим это уравнение: Ответ. 3.

Пример:

При каком значении а уравнение будет иметь корень х = 3?

Решение:

Первый способ. Найдём неизвестный множитель х как частное от деления произведения 12 и известного множителя а + 5:

По условию x + 3, поэтому отсюда а = -1.

Второй способ. Подставим в уравнение вместо переменной х число 3:

Решим полученное уравнение относительно переменной а. Имеем:

Ответ. Если а = -1, то уравнение имеет корень х = 3.

Равносильные уравнения

Рассмотрим два уравнения: . Каждое из них имеет один и тот же корень: х = 5.

Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое. Равносильными считают и такие уравнения, которые не имеют корней.

Например:

Чтобы решать более сложные уравнения, нужно уметь заменять их более простыми и равносильными данным. Покажем, как это делается.

Из распределительного закона умножения следует, что при любом значении х числа 2x + 5x = 7x. Поэтому равносильными будут такие, например, уравнения:

Из распределительного закона следует, что при каждом значении х числа . Поэтому равносильны и уравнения:

Вообще, если в любой части уравнения свести подобные слагаемые или раскрыть скобки, то получим уравнение, равносильное данному.

Прибавив к обеим частям верного числового равенства одно и то же число, получим также верное равенство. Подобно этому тела с равными массами, положенные на чаши уравновешенных весов, не нарушают равновесия (рис. 4).

Отсюда следует, что когда, например, к обеим частям уравнения (1) прибавить по -10y, то получим уравнение , равносильное данному. А прибавить к левой и правой частям уравнения (1) по -10y — это то же самое, что перенести 10y из правой части уравнения в левую с противоположным знаком. Вообще, если из одной части уравнения в другую перенести любой его член с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное данному.

Вспомним также, что обе части числового равенства можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Поэтому если обе части уравнения умножить иди разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному. Например, умножив обе части уравнения получим уравнение имеющее такой же корень, как и данное. А если обе части уравнения разделим на 20, то будем иметь более простое уравнение , равносильное данному.

Всегда справедливы такие основные свойства уравнений.

1. В любой части уравнения можно свести подобные слагаемые или раскрыть скобки, если они есть.
2. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то число, отличное от нуля.

В результате таких преобразований всегда получаем уравнение, равносильное данному.

Сформулированные свойства часто используют для решения уравнений. Для примера решим уравнение:

Решение:

Умножим обе части уравнения на 6:

Перенесём 4х в правую часть, а -1 — в левую с противоположными знаками:

Сведём подобные члены:

Разделим обе части уравнения на 2:

Ответ.

Откуда произошло название науки — алгебра? От названия книги об уравнениях узбекского математика IX в. Мухаммеда аль-Хо-резми (Мухаммеда из Хорезма). В те далёкие времена отрицательные числа не считались настоящими. Поэтому когда в результате перенесения отрицательного члена уравнения из одной его части в другую этот член становился положительным, считалось, что Qh восстанавливался, переходил из ненастоящего в настоящий. Такое преобразование уравнений Мухаммед аль-Хорезми назвал восстановлением (аль-джебр). Свойство об уничтожении одинаковых членов уравнения в обеих частях он назвал противопоставлением (аль-мукабала). Книга об этих преобразованиях называлась «Китаб мухтасар аль-джебр ва-л-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении»). Со временем её перевели на латинский Язык, взяв для названия только одно слово, которое стали писать Algebr. Отсюда и пошло название науки — алгебра. Преобразование «аль,-джебр» стало важным шагом в развитии алгебры, так как упростило решение уравнений.

Алгебра, арифметика, геометрия, математический анализ — основные составляющие математики (рис. 5). Арифметику — науку о числах и вычислениях — вы уже изучали на уроках математики. В 7-9 классах будете изучать алгебру и геометрию, с математическим анализом ознакомитесь в старших классах.

Пример:

Равносильны ли уравнения:

а)

б)

Решение:

а) Если раскрыть скобки в первом уравнении, то получим второе. Значит, уравнения равносильны.

б) Решим первое уравнение:

отсюда х = 1. Итак, данные уравнения не равносильны.

Ответ. а) Равносильны; б) не равносильны.

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: Перенесём слагаемое 3 в правую часть, а Зх — в левую, изменив их знаки на противоположные:

Разделим обе части уравнения на 2. Получим: х = 6. Ответ. х = 6.

Пример:

Найдите корни уравнения:

Решение:

Умножим обе части уравнения на 3. Получим:

Линейные уравнения

Уравнение вида ax = b, где a и b — данные числа, называется линейным уравнением с переменной х.

Числа a и b — коэффициенты уравнения ax = b , a— коэффициент при переменной х,b — свободный член уравнения.

Если то уравнение ах = b называют уравнением первой степени с одной переменной. Его корень

Каждое уравнение первой степени с одной переменной имеет один корень. Линейное уравнение может не иметь корней, иметь один или бесконечное множество корней.

Линейное уравнение ах = b:

Например, уравнение 0x = 5 не имеет ни одного корня, так как не существует числа, которое при умножении на 0 в произведении давало бы 5.

Уравнение 0x = 0 имеет бесконечное множество корней, так как его удовлетворяет любое значение переменной х.

Решая уравнение, его сначала стараются упростить, свести к линейному. Делают это преимущественно в такой последовательности.

1. Избавляются от знаменателей (если они есть).
2. Раскрывают скобки (если они есть).
3. Переносят члены, содержащие переменные, в левую часть уравнения, а не содержащие — в правую.
4. Приводят подобные слагаемые.

В результате такого преобразования получают уравнение, равносильное данному; его корни являются также корнями данного уравнения.

Пример 1. Решите уравнение:

Решение. Умножим обе части уравнения на 12 — наименьшее общее кратное знаменателей 2, 3, 4 и 12:

Ответ. -11.

Если коэффициенты уравнения многозначные, его удобно решать, пользуясь калькулятором. Пример 2. Решите уравнение

Ответ.

Найденное значение корня — приближённое. Точное значение пришлось бы записать в виде смешанной дроби, а именно Решая прикладные задачи, ответ обычно округляют и записывают, например, так:

Уравнение первой степени — это отдельный вид линейных уравнений. Соотношение между этими двумя видами уравнений наглядно проиллюстрировано на рисунке 7.

Ниже приведём примеры линейных уравнений, которые не являются уравнениями первой степени.

Уравнения первой степени

Уравнения не линейные,но сводящиеся к линейным.

Почему уравнение вида ах = b называют линейными, станет понятно, когда вы ознакомитесь с линейными функциями.

Пример:

Решите уравнения:

а) б)

Решение:

а)

— уравнение корней не имеет.

б)

— любое число удовлетворяет уравнение.

Ответ. а) Уравнение корней не имеет;

б) уравнение имеет бесконечное множество корней.

Пример:

Найдите два числа, полусумма которых вдвое больше их полуразности, которая равна 35.

Решение:

Если полуразность чисел равна 35, то разность будет вдвое больше, а именно — 70. Обозначим меньшее число буквой х, тогда большее будет равно

70 + х. По условию задачи или , отсюда х = 35 — меньшее число, 70 + 35 = 105 — большее число. Ответ. 35 и 105.

Решение задач с помощью уравнений

Чтобы решить задачу с помощью уравнения, сначала надо составить соответствующее этой задаче уравнение. Образно говоря, надо перевести задачу с обычного языка на язык алгебры, то есть составить математическую модель данной задачи. Как это можно сделать, покажем на нескольких примерах.

Пример:

На двух токах 1000т зерна. Сколько зерна на каждом току, если на первом его на 200т меньше, чем на втором?

Решение:

Пусть на первом току зерна. Тогда на втором — а на обоих — Имеем уравнение:

отсюда

Ответ.

Уравнение составленное по условию задачи, — это математическая модель данной задачи.

Составить уравнения часто помогает рисунок или схема (рис. 10)

Данную задачу можно решить и другими способами.

Если на втором току есть у т зерна, то на первом . Так как на втором току зерна на 200 т больше, то отсюда

Ответ тот же.

Рисунок 10, рисунок 11., уравнение — это три разные математические модели прикладной задачи 1. В математике прикладными называют задачи, условия которых содержат не математические понятия.

Модель всегда подобна оригиналу. В ней отображаются те или иные важные свойства исследуемого объекта. Такими являются уменьшенные модели автомобиля, самолёта, строения. Глобус — модель Земли, кукла — модель человека. Если модель создана на основе уравнений, формул или других математических понятий, её называют математической моделью.

Для решения задач на движение также используют разные модели. Надо помнить, что при равномерном движении пройденное телом расстояние равно произведению скорости на время При этом все значения величин следует выражать в соответствующих единицах измерения. Например, если время дано в часах, а расстояние — в километрах, то скорость надо выражать в километрах в час. Если тело движется при наличии течения, то его скорость движения по течению (против течения) равна сумме (разности) его собственной скорости и скорости течения. С помощью схем многие задачи на движение можно решить устно (№ 124). Для решения некоторых сложных задач требуется построение нескольких моделей.

Рассмотрим задачу, составить уравнение к которой помогает таблица — ещё один вид математических моделей.

Пример:

Катер должен был пройти расстояние между городами со скоростью 15 км/ч, а на самом деле шёл со скоростью 12 км/ч и потому опоздал на 3 ч. Найдите расстояние между городами.

Ответ. Построим таблицу и заполним её в соответствии с условием задачи.

Катер шёл на 3 ч дольше, чем должен был идти. Этому условию соответствует уравнение:

Решим уравнение:

Ответ. 180 км.

Решив задачу с помощью уравнения, нужно всегда анализировать полученное значение неизвестного. Может получиться, что найденный корень уравнения не соответствует условию задачи.

Пример:

Периметр треугольника равен 17 см. Найдите его стороны, если одна из них короче другой на 2 см, а третьей — на б см.

Решение:

Пусть длина самой короткой стороны треугольника равна х см. Тогда длины других сторон соответственно будут равны .Получим уравнение:

Решим его:

Если длина первой стороны 3 см, то вторая и третья соответственно будут равны 5 и 9 см.

Существует ли треугольник с такими сторонами? Нет, так как каждая сторона треугольника короче суммы двух других, а

Ответ. Задача не имеет решения.

Решение прикладных задач методом математического моделирования состоит из трёх этапов:

1. создание математической модели данной задачи;
2. решение соответствующей математической задачи;
3. анализ ответа.

Иногда с помощью уравнения решают не всю задачу, а только её часть.

Покажем, например, как можно заполнять пустые клеточки магического квадрата — таблицы чисел с одинаковым количеством строк столбцов, с одинаковой суммой чисел во всех строках, столбцах и по диагоналям.

Пример:

Перерисуйте в тетрадь рисунок 12 и в его пустые клеточки впишите такие числа, чтобы получился магический квадрат.

Решение:

Обозначим буквой х число в правой верхней клеточке Тогда сумма всех чисел первой строки будет равна 5+6+x, или 11 + x Такими же должны быть суммы и в каждой диагонали, и в среднем столбце поэтому в нижней строке следует написать 4, x — 2 , x — 1 (рис. 13). Та как сумма чисел должна быть равна 11 + х, то составим уравнение:

Подставим вместо х его значение 10, после чего пустые клеточки рисунка 14 заполнить нетрудно. В данном случае уравнение — модель части сформулированной задачи, дающая возможность вычислит только значение х.

Пример:

Катер прошёл расстояние между пристанями по течению реки за 2 ч, а обратно — за 2,5 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 2 км/ч.

Решение:

Пусть собственная скорость катера равна x км/ч. Тогда:

— его скорость по течению;

— скорость катера против течения;

— такое расстояние катер прошёл по течению;

— такое расстояние катер прошёл против течения.

Расстояния равны. Итак, получим уравнение

Ответ. 18 км/ч.

Пример:

Решите математический кроссворд (рис. 15).

Решение:

В кружки следует вписать два числа так, чтобы их сумма была равна 200, а разность — 10. Если второе число обозначим буквой х, то первое будет равно 200 — х. Их разность равна 10, следовательно, , отсюда 2 Ответ на рисунке 16.

Исторические сведения:

Уравнения первой степени с одной переменной люди научились решать очень давно. Египетские учёные почти четыре тысячи лет тому назад искомое неизвестное число называли «аха» (в переводе — «куча») и обозначали специальным знаком. В папирусе, дошедшем до нас, есть такая задача: «Куча и её седьмая часть составляют 19. Найдите кучу». Теперь бы мы сформулировали её так: «Сумма неизвестного числа и его седьмой части равна 19. Найдите неизвестное число».

Задача сводится к уравнению

Подобные задачи умели решать учёные Древней Греции, древних Индии, Китая. Древнегреческий математик Диофант (III в.) решал и более сложные уравнения, в частности такие, которые в современных символах имеют вид У Диофанта уравнение записывалось таким способом:

Аль-Хорезми и многие его преемники все уравнения записывали словами, не используя математических знаков.

От фамилии аль-Хорезми происходит ещё один важный для современной науки термин — алгоритм. Так называют совокупность правил, пользуясь которыми можно решить любую задачу из определённого класса задач. Например, известный вам способ умножения чисел «столбиком», способ определения наибольшего общего делителя двух или нескольких чисел — это алгоритмы. В современной науке понятие «алгоритм» играет огромную роль, существует даже специальная область математики — теория алгоритмов. Подробнее с алгоритмами вы ознакомитесь в старших классах.

Сначала алгеброй называли науку, изучающую различные способы решения уравнений. Со временем она значительно расширилась, обогатилась новыми идеями. Теперь уравнение — только одна из составляющих алгебры.

Напомню:

Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами.

Числа, удовлетворяющие уравнение, — его корни. Решить уравнение — это значит найти все его корни или показать, что их не существует.

Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое. Уравнения, которые не имеют корней, также считают равносильными друг другу.

Основные свойства уравнений.

1. В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые или раскрыть скобки, если они есть.
2. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Уравнение вида ах = b, где а и b — произвольные числа, называют линейным уравнением с переменной х. Если , то уравнение ах = b называют уравнением первой степени с одной переменной.

Каждое уравнение первой степени ах = b имеет один корень . Линейное уравнение может иметь один корень, бесконечно много корней или не иметь ни одного корня.

Решение прикладных задач методом математического I моделирования состоит из трёх этапов:

1. создание математической модели данной задачи;
2. решение соответствующей математической задачи;
3. анализ ответа.

Линейное уравнение с одной переменной

Рассмотрим три уравнения:

Очевидно, что число -1,5 является единственным корнем первого уравнения.

Поскольку произведение любого числа на нуль равно нулю, то корнем второго уравнения является любое число.

Понятно, что третье уравнение корней не имеет.

Несмотря на существенное различие полученных ответов, приведенные уравнения внешне похожи: все они имеют вид где — переменная, — некоторые числа.

Уравнение вида где — переменная, — некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Вот еще примеры линейных уравнений:

Текст, выделенный жирным шрифтом, разъясняет смысл термина «линейное уравнение». В математике предложение, раскрывающее суть нового термина (слова, понятия, объекта), называют определением.

Итак, мы сформулировали (или говорят: «дали») определение линейного уравнения.

Заметим, что, например, уравнения линейными не являются.

Если то, разделив обе части уравнения на получим . Отсюда следует: если то уравнение имеет единственный корень, равный

Если же то линейное уравнение приобретает такой вид: Здесь возможны два случая:

В первом случае получаем уравнение Тогда, если то уравнение имеет бесконечно много корней: любое число является его корнем.

Во втором случае, когда при любом значении получим неверное равенство Отсюда, если и то уравнение корней не имеет.

Следующая таблица подытоживает приведенные рассуждения.

Пример:

Решите уравнение:

1)

Решение:

1) Так как произведение нескольких множителей равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, получаем:

Ответ: -0,7; 4.

2) Учитывая, что модуль только чисел 4 и -4 равен числу 4, имеем:

Ответ: 2; 0,4.

Обратим ваше внимание на то, что рассмотренные уравнения не являются линейными, однако решение каждого из них сводится к решению линейных уравнений.

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) При уравнение принимает вид В этом случае корней нет. При имеем

Ответ: если , то уравнение не имеет корней; если , то

2) При уравнение принимает вид В этом случае корнем уравнения является любое число. При имеем

Ответ: если , то — любое число; если , то

Решение задач с помощью уравнений

Вам много раз приходилось решать задачи с помощью составления уравнений (текстовые задачи). И разнообразие решенных задач является лучшим подтверждением эффективности и универсальности этого метода. В чем же заключается секрет его силы?

Дело в том, что условия непохожих друг на друга задач удается записать математическим языком. Полученное уравнение — это результат перевода условия задачи с русского языка на математический.

Часто условие задачи представляет собой описание какой-то реальной ситуации. Составленное по этому условию уравнение называют математической моделью этой ситуации.

Конечно, чтобы получить ответ, уравнение надо еще решить. Для этого в алгебре разработаны различные методы и приемы. С некоторыми из них вы уже знакомы, многие другие вам еще предстоит изучить.

Найденный корень — это еще не ответ задачи. Следует выяснить, не противоречит ли полученный результат реальной ситуации, описанной в условии.

Рассмотрим, например, такие задачи:

1. За 4 ч собрали 6 кг ягод. Сколько ягод собирали за каждый час?
2. Несколько мальчиков собрали 6 кг ягод. Каждый из них собрал по 4 кг. Сколько мальчиков собирали ягоды?

Обе задачи приводят к одному и тому же уравнению , корнем которого является число 1,5. Но в первой задаче решение «полтора килограмма ягод за час» является приемлемым, а во второй — «ягоды собирали полтора мальчика» — нет.

При решении задач на составление уравнений удобно пользоваться следующей схемой:

1. по условию задачи составить уравнение (сконструировать математическую модель задачи);
2. решить уравнение, полученное на первом шаге;
3. выяснить, соответствует ли найденный корень смыслу задачи, и дать ответ.

Эту последовательность действий, состоящую из трех шагов, можно назвать алгоритмом решения текстовых задач.

Пример:

Рабочий должен был выполнить заказ за 8 дней. Однако, изготавливая ежедневно 12 деталей сверх нормы, он уже за 6 дней работы не только выполнил заказ, но и изготовил дополнительно 22 детали. Сколько деталей ежедневно изготавливал рабочий?

Решение:

Пусть рабочий изготавливал ежедневно деталей. Тогда по плану он должен был изготавливать ежедневно деталей, а всего их должно было быть изготовлено На самом деле он изготовил деталей. Так как по условию задачи значение выражения на 22 больше значения выражения то

Тогда

Ответ: 37 деталей.

Пример:

Велосипедист проехал 65 км за 5 ч. Часть пути он проехал со скоростью 10 км/ч, а оставшийся путь — со скоростью 15 км/ч. Сколько времени он ехал со скоростью 10 км/ч и сколько — со скоростью 15 км/ч?

Решение:

Пусть велосипедист ехал ч со скоростью 10 км/ч. Тогда со скоростью 15 км/ч он ехал ч. Первая часть пути составляет км, а вторая — км. Имеем:

Следовательно, со скоростью 10 км/ч велосипедист ехал 2 ч, а со скоростью 15 км/ч — 3 ч.

Ответ: 2 ч, 3 ч.

——

Что такое уравнение, линейное уравнение, что значит решить уравнение

Алгебра длительное время была частью арифметики — одной из древнейших математических дисциплин. Слово «арифметика» в переводе с греческого означает «искусство чисел». Алгебру же после выделения ее в отдельную науку рассматривали как искусство решать уравнения.

В данном разделе мы выясним, что такое уравнение, линейное уравнение, что значит решить уравнение, как решать задачи с помощью уравнений.

Что такое уравнение

Рассмотрим задачу:

Масса 4 больших и 15 малых деталей равна 270 г. Масса большой детали в три раза больше массы малой. Какова масса малой детали?

Пусть масса малой детали равна г, тогда масса большой — г. Масса 15 малых деталей равна г, а 4 больших — (г). По условию задачи сумма этих масс равна 270 г:

.

Мы пришли к равенству, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой (еще говорят: равенство содержит переменную ). Чтобы решить задачу, нужно найти значение , при котором равенство является верным числовым равенством.

Равенство с неизвестным значением переменной называют уравнением с одной переменной (или уравнением с одним неизвестным).

Корень уравнения

Рассмотрим уравнение . Подставляя вместо переменной некоторые числа, будем получать числовые равенства, которые могут быть верными или неверными. Например:

Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называют корнем, или решением уравнения.

Итак, число 3 является корнем уравнения , а число 4 — нет.

Количество корней уравнения

Уравнения могут иметь разное количество корней. Например:

уравнению удовлетворяет любое число ; говорят, что это уравнение имеет бесконечно много корней.

Уравнение может и не иметь корней. Рассмотрим, например, уравнение . Для любого числа значение левой части уравнения на 1 больше значения правой части. Следовательно, какое бы число мы не взяли, равенство будет неверным. Поэтому это уравнение не имеет корней.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Решим уравнение, составленное выше по условию задачи о больших и малых деталях:

Таким образом, масса малой детали равна 10 г.

Примеры решения уравнений:

Пример №86

Является ли число 2,5 корнем уравнения ?

Решение:

Если , то:

значение левой части уравнения равно: ; значение правой части равно: . Значения обеих частей уравнения равны, поэтому — корень данного уравнения.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №87

Решить уравнение:

а) ; б) ; в) .

а) ; ; ; ; . Ответ. 11.

б) Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, или ; или . Ответ.-0,5; 2.

в) ; ; . Квадрат числа не может быть равен отрицательному числу. Поэтому данное уравнение корней не имеет. Ответ. Уравнение корней не имеет.

Решение уравнений. Свойства уравнений

Решение любого уравнения сводится к выполнению определенных преобразований, в результате которых данное уравнение заменяют более простым.

Решим, например, уравнение:

. (1)

1. Раскроем скобки:

. (2)

2. Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

. (3)

3. Перенесем слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной — в правую, изменив их знаки на противоположные:

. (4)

4. Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

. (5)

5. Разделим обе части уравнения на 2:

.

Таким образом, уравнение (1) имеет единственный корень — число 4.

При решении уравнения (1) мы выполняли некоторые преобразования: раскрывали скобки, приводили подобные слагаемые, переносили слагаемые из одной части уравнения в другую, делили обе части уравнения на число. С этими преобразованиями связаны следующие основные свойства уравнений:

Свойство 1. В любой части уравнения можно раскрыть скобки или привести подобные слагаемые.

Свойство 2. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный.

Свойство 3. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Если в некотором уравнении выполнить одно из преобразований, указанных в свойствах 1, 2 или 3, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и начальное уравнение.

Решая уравнение (1), мы последовательно получали уравнения (2), (3), (4), (5). Все они вместе с уравнением (1) имеют один и тот же корень — число 4.

Для тех, кто хочет знать больше

Свойства уравнений можно обосновать, используя следующие свойства числовых равенств:

Если а — b — верное числовое равенство и с — некоторое число, то:

Если к обеим частям верного числового равенства прибавить одно и то же число, то получим верное числовое равенство.

Если обе части верного числового равенства умножить на одно и то же число, то получим верное числовое равенство.

Если обе части верного числового равенства разделить на одно и то же число. отличное от нуля то получим верное числовое равенство.

Из первого свойства числовых равенств можно получить такое следствие: если из одной части верного числового равенства перенести в другую часть слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получим верное числовое равенство.

Используя свойства числовых равенств, докажем, например, что уравнение

(6)

имеет тс же корни, что и уравнение

. (7)

(Это свойство 2 для уравнения .)

• Пусть — произвольный корень уравнения (6). Тогда — верное числовое равенство. Перенесем слагаемое в левую часть равенства, изменив его знак на противоположный. Получим верное числовое равенство , из которого следует, что является корнем уравнения (7). Мы доказали, что произвольный корень уравнения (6) является корнем уравнения (7).

Наоборот, пусть — произвольный корень уравнения (7). Тогда числовое равенство является верным. Перенесем слагаемое в правую часть равенства, изменив его знак на противоположный. Получим верное числовое равенство , из которого следует, что является корнем уравнения (6). Мы доказали, что произвольный корень уравнения (7) является корнем уравнения (6). Таким образом, уравнения (6) и (7) имеют одни и тс же корни. • Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Следовательно, уравнения (6) и (7) являются равносильными.

Примеры решения уравнений:

Пример №88

Решить уравнение .

Решение:

Умножив обе части уравнения на 14, получим:

; ; ;

Ответ. 15.

Пример №89

Решить уравнение .

Решение:

Разделив обе части уравнения на 25, получим:

Ответ. 1,6.

Линейные уравнения с одной переменной

Линейные уравнения с одной переменной

Рассмотрим уравнения:

Левая часть каждого из этих уравнений является произведением некоторого числа и переменной, а права часть — некоторым числом. Такие уравнения называют линейными уравнениями с одной переменной.

Определение:

Уравнение вида , где — некоторые известные числа, а — переменная, называют линейным уравнением с одной переменной.

Числа а и b называют коэффициентами линейного уравнения.

Когда при решении уравнения выполняют некоторые преобразования, приводя данное уравнение к более простому, то во многих случаях этим «простым» уравнением является именно линейное уравнение.

Выясним, сколько корней может иметь линейное уравнение. Для этого рассмотрим сначала три следующих уравнения:

1) ; 2) ; 3) .

1. Чтобы решить уравнение , достаточно обе его части разделить на 3. Получим один корень:
2. В уравнении значение левой части равно 0 для любого числа . Правая же часть уравнения не равна нулю. Следовательно, данное уравнение корней не имеет.
3. Равенство является верным для любого числа . Поэтому корнем уравнения является любое число (уравнение имеет бесконечно много корней).

В общем случае для линейного уравнения получим:

Итог: количество корней линейного уравнения

— линейное уравнение	Коэффициенты	Корни
	— единственный корень
и	корней нет
и	корнем является любое число (уравнение имеет бесконечно много корней)

Уравнения с модулями

Напомним, что модулем положительного числа и числа 0 является это же число, модулем отрицательного числа является противоположное ему число:

Так, . Модуль любого числа является неотрицательным числом, то есть .

Уравнения содержат переменную под знаком модуля. Такие уравнения называют уравнениями с модулем.

Уравнение вида . Решая уравнение вида , где а — некоторое известное число, можно использовать геометрический смысл модуля числа: модуль числа — это расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число на координатной прямой.

Рассмотрим уравнение . На координатной прямой существуют две точки, расположенные на расстоянии 2 единицы от начала отсчета. Это точки, соответствующие числам 2 и -2 (рис. I). Поэтому уравнение имеет два корня: 2 и -2.

Рис. 1

Уравнение имеет один корень — число 0, а уравнение не имеет корней (модуль любого числа является неотрицательным числом и не может быть равен -2).

В общем случае уравнение :

Решение уравнений с модулями, исходя из определения модуля числа

Решим уравнение

(1)

Это уравнение нельзя привести к виду , где а — некоторое число. Для его решения рассмотрим два случая.

1. Если — неотрицательное число (), то и уравнение (1) принимает вид , откуда . Число 1 — неотрицательное (удовлетворяет неравенству ), поэтому оно является корнем уравнения (1).

2. Если — отрицательное число (), то и уравнение (1) принимает вид , откуда . Число 2 не является отрицательным (не удовлетворяет неравенству ), поэтому оно не является корнем уравнения (1).

Таким образом, уравнение имеет один корень .

Примеры выполнения заданий:

Пример №90

Решить уравнение .

Решение:

Ответ. -3.

Пример №91

Решить уравнение .

Решение:

Ответ. Уравнение корней не имеет.

Пример №92

Решить уравнение

Решение:

Ответ. Корнем уравнения является любое число.

Пример №93

Решить уравнение .

Решение:

Умножив обе части уравнения на 36 (36 — наименьшее общее кратное знаменателей дробей), получим:

Ответ. 6.

Итог. При решении уравнения нужно придерживаться следующей схемы:

1. Если в уравнении есть выражения с дробными коэффициентами, то умножить обе его части на наименьший общий знаменатель дробей.
2. Раскрыть скобки.
3. Перенести все слагаемые, содержащие переменную, в одну часть уравнения (как правило, в левую), а слагаемые, не содержащие переменной, — в другую часть (в правую).
4. Привести подобные слагаемые.
5. Разделить обе части уравнения на коэффициент при переменной, если он не равен нулю. Если же он равен 0, то уравнение или не имеет корней, или его корнем является любое число.

Пример №94

Решить уравнение .

Решение:

Если модуль числа равен 3, то этим числом является 3 или -3. Поэтому возможны два случая:

1) 2)

Ответ. 3; 0.

Пример №95

Решить уравнение .

Решение:

Ответ. -4; 4.

Решение задач с помощью уравнений

При решении задач с помощью уравнений в большинстве случаев придерживаются следующей схемы:

1. выбирают неизвестное и обозначают его буквой (или какой-нибудь другой буквой);
2. используя условие задачи, составляют уравнение;
3. решают уравнение и отвечают на вопросы, поставленные в задаче.

Рассмотрим примеры.

Пример №96

В двух цистернах находится 66 т бензина, причем в первой бензина в 1,2 раза больше, чем во второй. Сколько бензина в каждой цистерне?

Решение:

Пусть во второй цистерне т бензина, тогда в первой — т. В двух цистернах вместе находится т бензина, что по условию равно 66 т. Получаем уравнение:

Решим это уравнение: .

Таким образом, во второй цистерне 30 т бензина, а в первой — 1,2 • 30 = 36 (т).

Ответ. 36 т, 30 т.

Примечание. Чтобы решить задачу 1, можно рассуждать и так. Пусть во второй цистерне т бензина, тогда в первой — т. В первой цистерне бензина в 1,2 раза больше, чем во второй, поэтому . Остается решить это уравнение и записать ответ задачи.

Пример №97

Из. города А в город В выехал грузовой автомобиль. Через 30 мин навстречу ему из города В выехал легковой автомобиль, скорость которого на 25 км/ч больше скорости грузового. Автомобили встретились через 1,3 ч после выезда грузового автомобиля из города А. Найти расстояние между городами, если за все время движения грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой.

Решение:

Пусть скорость грузового автомобиля км/ч, тогда скорость легкового — км/ч.

До момента встречи грузовой автомобиль был в пути 1,3 ч, а легковой на 30 мин = 0,5 ч меньше: 1,3 ч — 0,5 ч = 0,8 ч. За 1,3 ч грузо&ой автомобиль проехал 1,3 км, а легковой за 0,8 ч — 0,8 км. Поскольку грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой, то разность расстояний 1,3 км и 0,8 км равна 10 км.

	Скорость, км/ч	Время, ч	Путь, км
Грузовой автомобиль		1,3	1,3
Легковой автомобиль		0,8

Получили уравнение:

Решим это уравнение:

Итак, скорость грузового автомобиля равна 60 км/ч.

Расстояние между городами равно сумме расстояний, которые проехали оба автомобиля, то есть км. Поскольку = 60, то получим:

Ответ. 146 км. •

Примечание. Опираясь на решение задач 1 и 2, проанализируем первые два шага приведенной выше схемы решения задач с помощью уравнений.

1) Выбор неизвестного, которое мы обозначали буквой, в решениях этих задач был разным. В задаче 1 мы обозначили через т одну из искомых величин (массу бензина во второй цистерне). В задаче 2 искомой величиной является расстояние между городами. Если эту величину обозначить через км, то при составлении уравнения рассуждения будут довольно сложными. Мы же через км/ч обозначили неизвестную скорость грузового автомобиля, выразили через расстояния, пройденные автомобилями, и составили уравнение, зная, что разность расстояний равна 10 км.

Таким образом, обозначать через (или какую-нибудь другую букву) желательно ту неизвестную величину, через которую легче выражаются величины, значения которых можно приравнять.

2) Чтобы составить уравнение, сначала выражаем через те величины, значения которых будем приравнивать. После этого записываем уравнение.

Математическая модель:

Вам, наверное, уже приходилось видеть модели корабля, самолета, автомобиля, изготавливать модели куба, прямоугольного параллелепипеда. Каждая модель, в зависимости от ее предназначения, отображает некоторые свойства оригинала.

Математическая модель — это описание некоторого реального объекта или процесса на языке математики.

Опишем на языке математики задачу 2. Определяя скорость грузового автомобиля в этой задаче, мы обозначили ее через км/ч. Скорость легкового автомобиля на 25 км/ч больше, чем скорость грузового, что на языке математики записывают так: скорость легкового автомобиля равна км/ч.

На языке математики расстояние, пройденное грузовым автомобилем, записывают: 1,3 км, а расстояние, пройденное легковым автомобилем, — км.

По условию задачи грузовой автомобиль проехал на 10 км больше, чем легковой, что на языке математики можно выразить так: разность расстояний, пройденных грузовым и легковым автомобилями, равна 10 км, и записать: .

Полученное уравнение и является математической моделью задачи на движение автомобилей. Построив математическую модель, мы свели задачу на движение к математической задаче — решить уравнение.

Кроме уравнений, есть и другие виды математических моделей, с которыми ми познакомимся в процессе изучения алгебры.

Интересно знать. История науки знает немало примеров, когда в рамках удачно построенной математической модели с помощью вычислений, как говорят, «на кончике пера», удавалось предвидеть существование новых физических объектов и явлений. Так, опираясь на математические модели, астрономы Дж. Адамс (Англия) в 1845 году и У. Леверье (Франция) в 1846 году независимо друг от друга пришли к выводу о существовании неизвестной тогда еще планеты и указали ее расположение на небе. По расчетам Леверье астроном Г. Галле (Германия) нашел эту планету. Ее назвали Нептуном.

Интересно знать

На протяжении многих столетий алгебра была наукой об уравнениях и способах их решения. Линейные уравнения умели решать еще древние египтяне и вавилоняне (1 тысячелетие до н. э.).

О состоянии математики в Древнем Египте свидетельствуют математические тексты, написанные на особой бумаге — папирусе, изготовленном из стеблей растения, которое имеет такое же название. Написание некоторых папирусов относят к XVIII в. до н. э., хотя описанные в них математические факты были известны древним египтянам задолго до их изложения.

Один из таких папирусов был найден в 1872 году в одной из египетских пирамид. Его приобрел английский коллекционер древностей Райнд, и сейчас >тот папирус — папирус Райнда — хранится в Лондоне.

В папирусе Райнда особое место занимают задачи на «аха» («хау»).

Это задачи, которые решаются с помощью линейных уравнений с одним нечестным. «Аха» («хау») означает «совокупность», «куча» (неизвестная величина). Пример такой задачи: «Куча. Ее, ее , ее и ее целое. Это 33». Если обозначить «кучу» — неизвестную величину — через , то получим уравнение: .

Более заметные успехи в создании начал алгебры были достигнуты в Древнем Вавилоне. До нашего времени сохранились вавилонские глиняные плитки с комбинациями клиновидных черточек — клинописью. Такие плитки имели в Вавилоне то же значение, что и папирусы в Египте. На плитках встречаются и и клинописные математические тексты, которые свидетельствуют, что уже более 4000 лет гому назад в Вавилоне могли решать уравнения, содержащие квадрат неизвестного.

Начиная с VII в. до н. э., древние греки после знакомства с достижениями египтян и вавилонян в сфере математики продолжили их науку. При этом достаточно мало греческих ученых при решении задач использовали уравнения. Одним из тех, кто использовал уравнения, был древнегреческий математик Диофант.

О Диофанте известно мало, даже точно не установлены годы его жизни. Кое-что о жизни Диофанта и о том, сколько он прожил лет, можно узнать из надписи на его могильной плите.

Надпись на плите	Языком алгебры
Путник! Здесь погребен Диофант. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла его жизни — покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рождением прекрасного первенца-сына,	5
коему рок дал половину лишь жизни прекрасной и светлой на земле по сравнению с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился.	4
Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?

Греческую науку в Средневековье заимствовали ученые Востока — индийцы и арабы. Именно на Востоке в IX в. алгебра становится самостоятельной математической наукой.

Происхождение слова «алгебра» также связано с Востоком.

Город Багдад в VII-IX в. был столицей могущественного Арабского халифата. Багдадские халифы оказывали содействие развитию природоведения и математических наук. За годы правления халифа Гаруна аль-Рашида в Багдаде была оборудована большая библиотека, а халиф аль-Мамун организовал своеобразную академию — «Дом мудрости» и построил хорошо оборудованную обсерваторию.

При дворе аль-Мамуна жил и работал ученый Мухаммед бен Муса аль-Хорезми (около 780 — около 850). Он собрал и систематизировал способы решения уравнений и описал их в работе «Китаб аль-джебр аль-мукабала», что дословно означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». В то время отрицательные числа считались «ненастоящими», и, когда в процессе решения уравнения в какой-то его части появлялось отрицательное число, его нужно было перенести в другую часть. Эту операцию называли восстановлением (аль-джебр), то есть переведением «ненастоящих» (отрицательных) чисел в «настоящие» (положительные). С помощью противопоставления (аль-мукабала) отбрасывали одинаковые слагаемые в обеих частях уравнения.

В XII в. сочинение аль-Хорезми перевели на латинский язык, сохранив в его названии только слово «аль-джебр», которое вскоре стали произносить как алгебра.

Постепенно сформировалась современная алгебра, которая охватывает не только теорию решения уравнений, а и способы проведения операций (действий) с разнообразными объектами (в частности, с числами).