Как найти координаты в полярной системе координат - AvtoShod.ru

Полярная система координат (полярные координаты)

Полярная система координат на плоскости — это совокупность точки , называемой полюсом, и полупрямой , называемой полярной осью. Кроме того, задается масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса. Как правило, на полярной оси выбирается вектор vec{i} , приложенный к точке , длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление на полярной оси (рис.2.28,а).

Положение точки в полярной системе координат, полярные радиус и угол

Положение точки в полярной системе координат определяется расстоянием (полярным радиусом) от точки до полюса (т.е. r=vertoverrightarrow{OM}vert ) и углом varphi (полярным углом) между полярной осью и вектором . Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки , что записывается в виде M(r,varphi) . Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

— в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;

— в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Полярный радиус определен для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения rgeqslant0 . Полярный угол varphi определен для любой точки плоскости, за исключением полюса , и принимает значения -pi<varphileqslantpi , называемыми главными значениями полярного угла. В некоторых случаях целесообразно считать, что полярный угол определен с точностью до слагаемых 2pi n , где ninmathbb{Z} . В этом случае значениям varphi+2pi n полярного угла для всех соответствует одно и то же направление радиус-вектора.

С полярной системой координат Orvarphi можно связать прямоугольную систему координат Ovec{i}vec{j} , начало которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс (точнее положительная полуось абсцисс) — с полярной осью. Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат (рис.2.28,б). Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.

Наоборот, если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную систему координат {связанную с данной прямоугольной).

Выведем формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты x,y точки , отличной от точки , и ее полярные координаты r,varphi . По рис.2.28,б получаем

$begin{cases}x=rcdotcosvarphi,\[2pt]y=rcdotsinvarphi.end{cases}$

(2.17)

Эти формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным полярным координатам. Обратный переход выполняется по формулам:

$left{begin{aligned}r&= sqrt{x^2+y^2},\ cosvarphi&= frac{x}{r}=frac{x}{sqrt{x^2+y^2}},\ sinvarphi&= frac{y}{r}=frac{y}{sqrt{x^2+y^2}}.end{aligned}right.$

(2.18)

Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых 2pi n , где ninmathbb{Z} . При xne0 из них следует, что $operatorname{tg}frac{y}{x}$ . Главное значение полярного угла varphi~(-pi<varphileqslantpi) находится по формулам (рис.2.29):

Главное значение полярного угла

$varphi=left{begin{aligned}operatorname{arctg}frac{y}{x},quad&x>0,\pi+operatorname{arctg}frac{y}{x},quad&x<0,,ygeqslant0,\-pi+operatorname{arctg}frac{y}{x},quad&x<0,,y<0,\frac{pi}{2},quad&x=0,,y>0,\-frac{pi}{2},quad&x=0,,y<0.end{aligned}right.$

Пример 2.9. В полярной системе координат Orvarphi :

а) изобразить координатные линии $r=1,~r=2,~r=3,~varphi=frac{pi}{4},~varphi=frac{pi}{2}$ ;

б) изобразить точки M_1,~M_2 с полярными координатами $r_1=3,~varphi_1=frac{9pi}{4},~r_2=3,~varphi=-frac{7pi}{4}$ . Найти главные значения полярных углов этих точек;

в) найти прямоугольные координаты точек M_1,~M_2 .

Решение. а) Координатные линии r=1,~r=2,~r=3 представляют собой окружности соответствующих радиусов, а линии $varphi=frac{pi}{4},$ $varphi=frac{pi}{2}$ и $varphi=frac{3pi}{4}$ — полупрямые (рис.2.30,а).

б) Построим точки $M_1!left(3,frac{9pi}{4}right)$ и $M_2!left(3,-frac{7pi}{4}right)$ (рис.2.30,б,в). Их координаты отличаются полярным углом, однако, имеют одно и то же главное значение $varphi=frac{pi}{4}$ . Следовательно, это одна и та же точка, которая совпадает с точкой $M!left(3,frac{pi}{4}right)$ , изображенной на рис.2.30,а.

в) Учитывая пункт «б», найдем прямоугольные координаты точки . По формулам (2.17) получаем:

$x=rcdotcosvarphi=3cdotcosfrac{pi}{4}=frac{3sqrt{2}}{2};~y=rcdotsinfrac{pi}{4}=frac{3sqrt{2}}{2},$ то есть $M!left(frac{3sqrt{2}}{2},frac{3sqrt{2}}{2}right).$

Построение линии в полярной системе координат

Замечания 2.8

1. Главное значение полярного угла можно выбрать иначе, например, 0leqslantvarphi<2pi .

2. Расстояние между двумя точками M_1(r_1,varphi_1) и M_2(r_2,varphi_2) (длина отрезка M_1M_2 ) вычисляется по формуле

Ориентированная площадь параллелограмма, построенного на радиус-векторах

$M_1M_2=sqrt{r_1^2+r_2^2-2cdot r_1cdot r_2cdotcos(varphi_2-varphi_1)},$

что следует из теоремы косинусов (рис.2.31).

3. Ориентированная площадь $S_{ast}^{land}$ параллелограмма (рис.2.31), построенного на радиус-векторах $overrightarrow{OM_1}$ и $overrightarrow{OM_2}$ , находится по формуле

$S_{astoverrightarrow{OM_1},overrightarrow{OM_2}}^{land}=overrightarrow{OM_1}landoverrightarrow{OM_2}=r_1cdot r_2cdotsin(varphi_2-varphi_1).$

Она положительна, если varphi_1<varphi_2 (при этом ориентация пары радиус- векторов $overrightarrow{OM_1}$ и $overrightarrow{OM_2}$ правая), и отрицательна, если varphi_1>varphi_2 (ориентация пары радиус-векторов $overrightarrow{OM_1}$ и $overrightarrow{OM_2}$ левая).

Пример 2.10. Даны полярные координаты $varphi_A=frac{pi}{3},~r_A=4$ и $varphi_B=frac{2pi}{3},~r_B=2$ точек и (рис.2.32). Требуется найти:

Чертёж точек в полярных координатах

а) скалярное произведение bigllangleoverrightarrow{OA},overrightarrow{OB}biglrangle ;

б) длину отрезка ;

в) внешнее произведение overrightarrow{OA}landoverrightarrow{OB} ;

г) площадь $S_{OAB}$ треугольника OAB ;

д) координаты середины отрезка в прямоугольной системе координат, связанной с данной полярной.

Решение. а) По определению скалярного произведения находим

$leftlangleoverrightarrow{OA},overrightarrow{OB}rightrangle=left|overrightarrow{OA}right|{cdot}left|overrightarrow{OB}right|!cdotcospsi=r_Acdot r_Bcdotcos(varphi_B-varphi_A)=4cdot2cdotcosfrac{pi}{3}=4.$

б) Находим длину отрезка (см. пункт 2 замечаний 2.8):

$AB=sqrt{r_A^2+r_B^2-2cdot r_Acdot r_Bcdotcos(varphi_B-varphi_A)}=sqrt{4^2+2^2-2cdot4cdot2cdotfrac{1}{2}}=2sqrt{3}.$

в) Внешнее произведение находим как ориентированную площадь параллелограмма, построенного на векторах overrightarrow{OA} и overrightarrow{OB} :

$overrightarrow{OA}landoverrightarrow{OB}=r_Acdot r_Bcdotsin(varphi_B-varphi_A)=2cdot4cdotsinfrac{pi}{3}=4sqrt{3}.$

Площадь положительная, так как векторы overrightarrow{OA} и overrightarrow{OB} образуют правую пару (varphi_A<varphi_B) .

г) Площадь треугольника OAB находим как половину площади параллелограмма, построенного на радиус-векторах overrightarrow{OA} и overrightarrow{OB} .

Так как $S_{astoverrightarrow{OA},overrightarrow{OB}}=left|overrightarrow{OA}landoverrightarrow{OB}right|=4sqrt{3}$ (см. пункт «в»), то $S_{OAB}=frac{1}{2}cdot4sqrt{3}=2sqrt{3}$ .

д) По формулам (2.17) находим прямоугольные координаты точек и :

$begin{gathered}x_A=r_Acdotcosvarphi_A=4cdotfrac{1}{2}=2,quad y_A=r_Acdotsinvarphi_A=4cdotfrac{sqrt{3}}{2}=2sqrt{3};\[3pt] x_B=r_Bcdotcosvarphi_B=2cdotfrac{-1}{2}=-1,quad y_B=r_Bcdotsinvarphi_B=2cdotfrac{sqrt{3}}{2}=sqrt{3}.end{gathered}$

а затем координаты середины отрезка (см. пункт 3 замечаний 2.1):

$x_C=frac{x_A+x_b}{2}=frac{2+(-1)}{2}=frac{1}{2};quad y_C=frac{y_A+y_B}{2}=frac{2sqrt{3}+sqrt{3}}{2}=frac{3sqrt{3}}{2}.$

Пример 2.11. На координатной плоскости Oxy отмечена точка A(4,-3) . Найти:

Полярные координаты точки и её образа, поворот радиус-вектора на угол вокруг начала координат

а) полярные координаты точки , образа точки при повороте радиус-вектора overrightarrow{OA} на угол $frac{pi}{3}$ вокруг начала координат (рис.2.33);

б) полярные координаты точки A_1 , образа точки при инверсии плоскости относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат (см. пример б преобразований плоскости в разд. 2.2.4).

Решение. а) Найдем полярные координаты точки . По формулам (2.17), учитывая рис.2.29, получаем:

$r_A=sqrt{x_A^2+y_A^2}=sqrt{4^2+(-3)^2}=5;quadvarphi_A=operatorname{arctg}frac{y_A}{x_A}=operatorname{arctg}frac{-3}{4}=-operatorname{arctg}frac{3}{4},$

так как точка лежит в text{IV} четверти.

При повороте радиус-вектора overrightarrow{OA} вокруг полюса на угол $frac{pi}{3}$ полярный радиус не изменяется, а полярный угол увеличивается. Следовательно, полярные координаты точки : $r_{A'}=r_{A}=5$ , $varphi_{A'}=varphi_{A}+frac{pi}{3}=frac{pi}{3}-operatorname{arctg}frac{3}{4}$ , причем $varphi_{A'}$ — главное значение полярного угла $(-pi<varphi_{A'}leqslantpi)$ .

б) При инверсии относительно окружности радиуса полярные координаты r',varphi' образа выражаются через полярные координаты r,varphi прообраза следующими формулами:

$r'=frac{R^2}{r},quadvarphi'=varphi.$

Поэтому, учитывая пункт «а», находим (для R=1 ):

$r_{A_1}=frac{1}{r_A}=frac{1}{5},quadvarphi_{A_1}=varphi_{A}=-operatorname{arctg}frac{3}{4}.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Содержание:

Полярные координаты. параметрические уравнения линии

Полярные координаты

Основная идея метода координат состоит в том, что положение точки на плоскости однозначно определяется с помощью двух чисел. Конкретный геометрический смысл этих чисел дает ту или иную систему координат. Наиболее важной после прямоугольной системы, исключительно употреблявшейся нами до сих пор, является полярная система координат, к рассмотрению которой мы и переходим.

Возьмем на плоскости точку О, которую назовем полюсом. Проведем из полюса О направленную полупрямую Ох, называемую полярной осью (рис. 41).

Пусть М — произвольная точка плоскости. Соединим точку М с полюсом О отрезком ОМ. Длина отрезка ОМ = р называется полярным радиусом точки М, а угол

Точка М с полярными координатами риф записывается следующим образом: М (р, ф), причем на первом месте ставится полярный радиус р, а на втором — полярный угол ф.

Что касается значений, принимаемых полярными координатами, то достаточно, очевидно, рассматривать значения р от 0 до и значения ф от 0 до , при этом, как мы условились, угол ф отсчитывается от полярной оси против хода часовой стрелки. Однако в некоторых вопросах приходится рассматривать углы, большие , а также отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по направлению движения часовой стрелки.

Связь между прямоугольными и полярными координатами

Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.

Предположим, что полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат Оху, а полярная ось является положительной полуосью Ох (рис. 42).

Тогда для произвольной точки М имеем

Считая угол ф острым, из прямоугольного треугольника АОМ находим

Полученные формулы справедливы для любого угла ф. Так выражаются прямоугольные координаты точки М через ее полярные координаты. Далее, из этого же прямоугольного треугольника АОМ получаем

Так выражаются полярные координаты точки через ее прямоугольные координаты.

Заметим, что при определении полярного угла ф по tg ф нужно учитывать знаки координат х и у.

Ранее мы видели, что линии могут быть заданы с помощью уравнений, связывающих их текущие прямоугольные координаты. Покажем теперь на простейшем примере, что линии могут определяться и уравнениями относительно полярных координат.

Пример:

Рассмотрим кривую , где а — некоторое положительное число. Эта кривая называется спиралью Архимеда. Для ее построения составляем таблицу соответственных значений ф и р:

По этой таблице наносим точки и соединяем их линией, уточняя, если в этом есть необходимость, положение промежуточных точек (рис. 43).

Параметрические уравнения линии

Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты , рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат х и у в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра). Параметрические уравнения играют важную роль, например, в механике, где координаты х и у движущейся точки М (х, у) рассматриваются как функции времени (уравнения движения).

Пример:

Выведем параметрические уравнения окружности.

Пусть М — произвольная точка окружности радиуса R с центром в начале координат (рис. 44). В определяемом ею прямоугольном треугольнике АОМ обозначим угол хОМ через t. Тогда, очевидно, будут иметь место равенства

Это и есть параметрические уравнения окружности.

Чтобы получить обычное уравнение окружности, нужно исключить параметр t. Для этого возводим уравнения (1) в квадрат и складываем их:

Пример:

Выведем параметрические уравнения эллипса.

Эллипс с полуосями а и b можно рассматривать как равномерно сжатую вдоль вертикального диаметра окружность радиуса а, где коэффициент сжатия k = b/a. Пусть М (х, у) — точка эллипса, N (X, У) — соответствующая точка окружности (рис. 45), где

За параметр t примем угол, образованный радиусом ON окружности с положительным направлением оси Ох: . Используя формулы (2), имеем

Таким образом, параметрические уравнения эллипса с полуосями а и b есть

Исключив из уравнений (3) параметр получим каноническое уравнение эллипса

Имея параметрические уравнения линии, можно по точкам построить ее.

Пример:

Построить кривую

Решение:

Составляем таблицу значений:

Нанося точки с соответствующими координатами (х, у) на плоскость Оху и соединяя их линией, получим искомую кривую (рис. 46).

Эта кривая— парабола. В самом деле, исключив параметр t из уравнений (4), получим т. е. каноническое уравнение параболы.

Параметрические уравнения циклоиды

Определение: Циклоидой называется кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии (рис. 47).

Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв прямую за ось Ох, предполагая, что радиус катящейся окружности равен айв начальном положении движущаяся точка М совпадает с началом координат. За параметр t примем угол поворота (в радианах) подвижного радиуса МС окружности относительно вертикального радиуса КС, где К — точка касания окружности с осью Ох (рис. 47). Так как качение окружности происходит без скольжения, то, очевидно, имеем

Отсюда на основании рис. 47 для координат текущей точки М циклоиды получаем следующие выражения:

Таким образом, параметрические уравнения циклоиды есть

——-

Полярная система координат

Определение 1. Рассмотрим плоскость с прямоугольной декартовой системой координат Оху . Пусть М(х, у) – точка на плоскости, M ≠ 0. Полярными координатами точки М называются числа r − длина ее радиус-вектора (полярный
радиус) и ϕ − угол, образованный радиус-вектором с положительным направлением оси Ох (полярный угол), . Точка О при этом называется
полюсом, а полуось Ох – полярной осью.
Замечание. Зависимость между прямоугольными (х, у) и полярными ( , ) r ϕ
координатами точки М задается в виде: (1)

Рис.1. Полярные координаты точки.
Полярный полюс О и полярную ось можно выбрать на плоскости и не вводя
прямоугольную систему координат:

Пример 1.

Построим на плоскости линию, заданную уравнением:
− лемниската.
Решение.

Вычислим значения r при различных значениях ϕ :

Проводим лучи из начала координат под углами ϕ к оси Ох и на них откладываем
отрезки длины r , получим :

Рис.3. Лемниската

Заказать решение задач по высшей математике

Пример 2.

а) Построим кривую − кардиоида. Рассуждая, как в примере 1 получим:

Замечание. Если в определении 1 отбросить требование 0 ≤ ϕ < 2π и не требовать r > 0, то формулы (1) будут задавать непрерывное отображение точек плоскости (O, r, ϕ) на точки плоскости (x, O, y).

При этом, если r > 0, то векторы сонаправлены, если r<0, то – противоположно направлены:

Тогда, с учетом (1), кривую r= r(ϕ) можно рассматривать как заданную параметрически в виде:
ϕ — параметр.
В этом случае на кривой получаются два дополнительных
лепестка, когда соответствующие случаю r < 0 (см.пример 10 § 17). Фактически, такая кривая – это параметрическая кривая:
(см.пример 9 § 30).
На кривой каждый из лепестков проходится дважды и
задается параметрически формулами:
(см.пример 10 § 30).

Пусть r = r(ϕ) – кривая в полярной системе координат, r (ϕ) – непрерывна при . Рассмотрим на плоскости ( x, O, y) криволинейный сектор
Найдем его площадь. Заметим, что сектору Ф
соответствует обычная криволинейная трапеция на плоскости (O, r, ϕ)

Разобьем фигуру Ф на n частичных фигур лучами На плоскости (O, r, ϕ) получаем обычное разбиение
трапеции:

Рассмотрим, например, нижние суммы Дарбу:

Каждое слагаемое в нижней сумме равно площади  обычного кругового
сектора радиуса
таким образом,
(2) для нижних сумм и (3) для верхних сумм Дарбу, где  Суммы (2) и (3) – суммы Дарбу для функции  (см.формулы (5) § 24), поэтому (4)
Пример 3.

Найти площадь ограниченную лемнискатой (см.пример 1).
Решение.

По формуле (4):
площадь одного лепестка.
Поэтому
Пример 4.

Найти площадь фигуры ограниченной линиями: и (вне круга).

Решение. Найдем точки пересечения кривых: По формуле (4):

Пример 3.

r=2cosϕ. Вычислим

− окружность радиуса 1 с центром в точке (1; 0).

При изменении ϕ от 0 до 2 π окружность проходится дважды и оба раза против
часовой стрелки, поэтому (см. § 30) найденное значение интеграла задает
удвоенную площадь круга.

Непрерывность функции
Уравнения поверхности и линии в пространстве
Общее уравнение плоскости
Угол между плоскостями
Интегрирование тригонометрических выражений
Интегрирование иррациональных функций
Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
Линии второго порядка

Источник

Полярная система
координат на плоскости определяется
заданием некоторой точки О, луча ОР,
исходящего из этой точки, и единицы
масштаба. Точка О называется полюсом,
а луч ОР – полярной осью.

Пусть M
– произвольная точка плоскости. Обозначим
через r
и
ее расстояние от полюса и угол,
отсчитываемый от полярной оси против
часовой стрелки до направления ОМ. Эти
числа называются полярными координатами
точки М, причем величинаr
называется полярным радиусом, а
— полярным углом точки М. По определению
величинаЗадание пары чиселоднозначно
определяет точку М на плоскости.

Если ограничить
изменение угла
пределами
то и обратно каждой точке плоскости
однозначно соответствует пара чисел
(r,).Исключение
составляет только полюс О, для которого
r
= 0, а угол неопределенный.

На практике обычно
обобщают понятие полярных координат.
Для этого углы ,отсчитываемые от
полярной оси по часовой стрелке, считают
отрицательными и допускают, что —
При этом, правда,
различным парам чисел
будут
соответствовать одни и те же точки
плоскости (здесьn
– любое целое число). Однако это не
приводит к каким-либо противоречиям.

Если выбрать
декартову систему координат так, чтобы
ее начало О совпадало с полюсом полярной
системы, а ось ox
шла по полярной оси ОР, то между полярными
координатами (r,
)
и декартовыми координатами (x,y)
для каждой точки М будет осуществляться
следующая связь:

(6.1.1)

(6.1.2)

Из этих формул
следует, что

(6.1.3)

Замечание:
Формула
определяет два угла
(в пределах от 0 доФормулы (6.1.3) уточняют, какой из этих
углов следует выбрать. Из формулы
вытекает, что надо брать тот угол
для которогоимеет тот же знак, что иx.

Пример 1.
Построить точки, заданные своими
полярными координатами:

A(3;

—

D(2;0).

Решение:
Для построения точек A,
B
и С из полюса О проведем лучи под углом
—и на них откладываем отрезки длины 3, 2,
1 соответственно. ТочкуD
откладываем на полярной оси на расстоянии
2 от полюса.

Пример 2.
Построить линию
в полярной системе координат.

Решение:
Построим
эту линию по точкам, задавая углу
определенные значения и получая значенияr
из уравнения .

Если

Если далее
рассматривать углы из промежутка
то значенияr
будут отрицательными, так как в этом
промежутке
Это означает, что в области нет точек
данной линии.

Если

Запишем полученные
данные в таблицу

Заметим,
что последние четыре значенияr
в таблице можно было получить, если
рассмотреть отрицательные значения
угла
,
соответственно,—;———.
Далее из полюса проводим лучи и откладываем
на них соответствующие значенияr.
Соединяя полученные точки плавной
линией, строим заданную кривую. Построенная
кривая является окружностью радиуса 1
с центром в точке (1,0), лежащей на полярной
оси.

Пример 3.
Построить
линию, заданную уравнением
перейдя в полярную систему координат.

Решение:
Преобразуем данное уравнение, используя
формулы (6.1.1):

,получим:

Построим эту линию
по точкам. Так как
то

Для вычисления
значений r
составляем таблицу:

Далее из полюса
проводим лучи и откладываем на них
соответствующие значения r.
Соединим полученные точки плавной
линией. Построенная кривая (см. рис.40)
также является окружностью радиуса 2 с
центром в точке