Как найти координаты точек пересечения заданных прямых - AvtoShod.ru

Загрузить PDF

В двумерном пространстве две прямые пересекаются только в одной точке,^[1] задаваемой координатами (х,y). Так как обе прямые проходят через точку их пересечения, то координаты (х,y) должны удовлетворять обоим уравнениям, которые описывают эти прямые. Воспользовавшись некоторыми дополнительными навыками, вы сможете находить точки пересечения парабол и других квадратичных кривых.

1

Запишите уравнение каждой прямой, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения. Возможно, данное вам уравнение вместо «у» будет содержать переменную f(x) или g(x); в этом случае обособьте такую переменную. Для обособления переменной выполните соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения.
2

Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Наша задача — найти точку пересечения обеих прямых, то есть точку, координаты (х,у) которой удовлетворяют обоим уравнениям. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять. Запишите новое уравнение.
3

Найдите значение переменной «х». Новое уравнение содержит только одну переменную «х». Для нахождения «х» обособьте эту переменную на левой стороне уравнения, выполнив соответствующие математические операции на обеих сторонах уравнения. Вы должны получить уравнение вида х = __ (если это невозможно, перейдите в конец этого раздела).
4

Используйте найденное значение переменной «х» для вычисления значения переменной «у». Для этого подставьте найденное значение «х» в уравнение (любое) прямой.
5

Проверьте ответ. Для этого подставьте значение «х» в другое уравнение прямой и найдите значение «у». Если вы получите разные значение «у», проверьте правильность ваших вычислений.
6

Запишите координаты (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух прямых. Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у).
7

Вычисления в особых случаях. В некоторых случаях значение переменной «х» найти нельзя. Но это не значит, что вы допустили ошибку. Особый случай имеет место при выполнении одного из следующих условий:

Реклама

1
Определение квадратичной функции. В квадратичной функции одна или несколько переменных имеют вторую степень (но не выше), например, $x^{2}$ или $y^{2}$ . Графиками квадратичных функций являются кривые, которые могут не пересекаться или пересекаться в одной или двух точках. В этом разделе мы расскажем вам, как найти точку или точки пересечения квадратичных кривых.
- Если уравнение включает выражение в скобках, раскройте их, чтобы удостовериться, что функция является квадратичной. Например, функция является квадратичной, так как, раскрыв скобки, вы получите $y=x^{2}+3x.$
- Функция, описывающая окружность, включает как $x^{2}$ , так и $y^{2}$ .^[2]^[3] Если у вас возникли проблемы при решении задач с такой функцией, перейдите в раздел «Советы».
2

Перепишите каждое уравнение, обособив переменную «у» на левой стороне уравнения. Другие члены уравнения должны размещаться на правой стороне уравнения.
3

Приравняйте выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения. Так как на левой стороне каждого уравнения находится переменная «у», то выражения, расположенные с правой стороны каждого уравнения, можно приравнять.
4

Перенесите все члены полученного уравнения на его левую сторону, а на правой стороне запишите 0. Для этого выполните базовые математические операции. Это позволит вам решить полученное уравнение.
5
6

Не забудьте про вторую точку пересечения двух графиков. В спешке можно забыть про вторую точку пересечения. Вот как найти координаты «х» двух точек пересечения:
7

Графики пересекаются в одной точке или вообще не пересекаются. Такие ситуации имеют место при соблюдении следующих условий:
8

Подставьте найденное значение переменной «х» в уравнение (любое) кривой. Так вы найдете значение переменной «у». Если у вас есть два значения переменной «х», проделайте описанный процесс с обоими значениями «х».
9

Запишите координаты точки пересечения в виде (х,у). Вычислив значения «х» и «у», вы нашли координаты точки пересечения двух графиков. Если вы определили по два значения «х» и «у», запишите две пары координат, не перепутав соответствующие значения «х» и «у».

Реклама

Советы

Функция, описывающая окружность, включает как $x^{2}$ , так и $y^{2}$ . Для нахождения точки (точек) пересечения окружности и прямой вычислите «х», используя линейное уравнение.^[4] Затем подставьте найденное значение «х» в функцию, описывающую окружность, и вы получите простое квадратное уравнение, которое может не иметь решения или иметь одно или два решения.
Окружность и кривая (квадратичная или иная) могут не пересекаться или пересекаться в одной, двух, трех, четырех точках. В этом случае необходимо найти значение x² (а не «х»), а затем подставить его во вторую функцию. Вычислив «у», вы получите одно или два решения или вообще не получите решений. Теперь подставьте найденное значение «у» в одну из двух функций и найдите значение «х». В этом случае вы получите одно или два решения или вообще не получите решений.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 94 840 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Не такая тривиальная задача, скажу я вам. Всякий раз, когда возникает необходимость посчитать координату пересечения пары прямых, каждая из которых задана парой точек, снова беру блокнот и вывожу пару формул. И всякий раз – блин, ну это уже когда-то было, опять надо что-то делать с параллельными прямыми, опять появляется пакостная строго вертикальна линия, когда на (x₁-x₂) никак не разделить и т.д.

Поэтому – в подборку теории и практики, пригодится, сэкономим блокнот, спасем дерево.

Коэффициенты А, B, C

Все помним со школы формулу:

Тоже самое, но с претензией на образование (некоторые индивидуумы утверждают, что существует такая, и только такая, и никакая другая, формулировка):

Те же фаберже, только сбоку.

В теории надо составить и решить систему уравнений для первой и второй линии, где переменными будут X и Y точки пересечения.

Загвоздка в том, что мы не знаем коэффициенты для обеих линий.

В нашем случае известны координаты двух точек, по которым проходит линия. Поэтому мне, как последователю геометрического агностицизма, более привлекательная следующая формула:

Путем несложных операций приходим к следующей записи:

Глядя на вариант в исполнении высшего образования, получаем следующие формулы для нахождения коэффициентов:

Пока все идет отлично, нигде вероятного деления на ноль не встретилось.

Итак, мы можем легко найти два набора коэффициентов для первой и второй прямых. Переходим к системе уравнений.

Система уравнений

Как правило, подобная система уравнений решается путем выражения одной переменной через другую, подстановкой во второе уравнение, получая таким образом уравнение одной переменной. Далее переменная находится, подставляется, решается. Или определяется, что система решения не имеет.

Но нас интересует метод Крамера. Потому что с помощью этого метода можно получить сразу значения для обеих переменных, без дополнительных телодвижений.

Сразу же запишем метод под нашу систему.

Имеем следующую систему:

Определители будут такими:

Исходя из метода, решение выглядит так:

Ага! Вот и возможное деление на ноль, скажете вы. И правильно! В этой, в высшей степени непозволительной ситуации, когда знаменатель равен нулю, решения нет, прямые либо параллельны, либо совпадают (что, впрочем, частный случай параллельности). В коде, естественно, этот момент надо учитывать.

Практика 1

//*******************************************************

// Нахождение точки пересечения прямых (p1,p2) и (p3,p4)

// Результат — факт пересечения

//*******************************************************

function CrossLines(const p1,p2,p3,p4: TxPoint;

var res: TxPoint): Boolean;

const

Prec = 0.0001;

var

a1, a2: Extended;

b1, b2: Extended;

c1, c2: Extended;

v: Extended;

begin

a1 := p2.y — p1.y;

a2 := p4.y — p3.y;

b1 := p1.x — p2.x;

b2 := p3.x — p4.x;

v := a1*b2 — a2*b1;

Result := (abs(v) > Prec);

if Result then

begin

c1 := p2.x*p1.y — p1.x*p2.y;

c2 := p4.x*p3.y — p3.x*p4.y;

res.X := —(c1*b2 — c2*b1)/v;

res.Y := —(a1*c2 — a2*c1)/v;

end;

Рис.1. Пересечение прямых

Частные случаи

Прямые параллельны: ∆_ab = 0
- (A₁B₂ – B₁A₂ = 0);
Прямые совпадают: ∆_ab = ∆_X = ∆_Y = 0
- (A₁B₂ – B₁A₂ = 0) И (A₁C₂ — A₂C₁ = 0) И (C₁B₂ -B₁C₂ = 0);
Прямые перпендикулярны:
- (A₁ A₂ + B₁ B₂ = 0).

Рис.2. Пересечение перпендикулярных прямых

Рис.3. Параллельные прямые не пересекаются

Принадлежность точки отрезку

В общем случае, чтобы определить принадлежность точки отрезку, надо установить две вещи:

Точка принадлежит прямой, проходящей через конечные точки отрезка. Для этого достаточно подставить значение X и Y в уравнение прямой и проверить получившееся равенство. В нашем случае, этот пункт уже выполнен, т.к. точка пересечения априори принадлежит обеим прямым.
Проверить факт нахождения точки между концами отрезка.

Займемся пунктом 2. Данный факт можно установить двумя способами:

Логически, т.е. (x₁ <= x <= x₂) ИЛИ (x₁ >= x >= x₂). На случай «вертикальности» линии добавить проверку на Y:
- (y₁ <= y <= y₂) ИЛИ (y₁ >= y >= y₂).
Арифметически. Сумма отрезков |x-x₁| + |x-x₂| должна быть равна длине отрезка |x₁-x₂|. Аналогично, на случай «вертикальности» , добавить проверку:
- |y-y₁| + |y-y₂| = |y₁-y₂|

//*****************************************************

// Проверка факта нахождения точки res между

// концами отрезка (p1,p2).

// Решение с помощью условных операторов и

// коэффициентов A=(y2-y1) B=(x1-x2).

// Выступают в качестве параметров, чтобы не тратить

// время на их подсчет, т.к. в вызывающей стороне

// они уже посчитаны

//*****************************************************

function CheckCrossPoint(const p1, p2, res: TxPoint;

const A,B: Extended): Boolean;

begin

Result :=

(((B<0) and (p1.X < res.X) and (p2.X > res.X)) or

((B>0) and (p1.X > res.X) and (p2.X < res.X)) or

((A<0) and (p1.y > res.Y) and (p2.Y < res.Y)) or

((A>0) and (p1.y < res.Y) and (p2.Y > res.Y)));

end;

//*****************************************************

// Проверить факт нахождения точки res между

// концами отрезка (p1,p2)

// Арифметическое решение без коэффициентов

//*****************************************************

function CheckCrossPoint(const p1, p2, res: TxPoint): Boolean;

begin

Result :=

(abs(p2.x—p1.x)>= abs(p2.x—res.x) + abs(p1.x—res.x)) and

(abs(p2.y—p1.y)>= abs(p2.y—res.y) + abs(p1.y—res.y));

end;

Практика показывает, что арифметический способ быстрее примерно в 3 раза. Когда-то я считал, что операции сравнения самые быстрые. Это давно уже не так.

Задача нахождения принадлежности точки P(x,y) отрезку, заданного двумя точками с координатами P1(x1, y1) и P2(x2, y2) подробно рассмотрена в отдельной статье.

Угол пересечения прямых

Угол пересечения прямых — это угол пересечения направляющих векторов. Т.е., взяв уже знакомые ранее точки p₁ и p₂, получим направляющий вектор V(p₁,p₂), и аналогично второй вектор M(p₃,p₄). В теории мы должны вычислить достаточно «затратную» функцию, с корнями, квадратами, дробями и арккосинусом.

Давайте не будем останавливаться на ней, она долгая, нудная и в нашем случае ненужная. Рассмотрим вектор:

Рис.4. Вектор V(p₁,p₂)

α — угол наклона вектора к оси X, который можно найти, как:

α = arctan (A₁ / B₁)

Где расстояния:

A₁ = (y₁ — y₂)

B₁ = (x₂ — x₁)

Что-то знакомое? Да это ни что иное, как коэффициенты в уравнении прямой от образованных фанатов. Может они и правы в своем испепеляющем фанатизме…

Одним словом, коэффициенты (расстояния) у нас уже есть по обеим прямым.

Рис.5. Пересекающиеся вектор V(p₁,p₂) и вектор M(p₃,p₄)

Судя по рисунку, угол между векторами, это сумма углов наклона векторов к оси X. Ммм… не совсем так, на самом деле это разность.

Рис.6. Пересекающиеся векторы в положительной Y

По рисунку явно видно, что угол между векторам это γ = (β — α).

В предыдущем примере все правильно, просто знаки углов разные, т.к. находятся по разные стороны от оси X, а формула работает та же.

От теории к практике

Теперь в плане практического применения. Мне нужно точно знать, откуда, куда и в каком направлении этот угол. В теории, углом между прямыми считается наименьший из пары γ и (180-γ). Так вот, нам это не надо. Какой угол получится – такой нам и нужен.

Поэтому, под углом между векторами понимаем угол от вектора V(p1,p2) к вектору M(p3,p4). Если знак угла – отрицательный, понимаем, что он против часовой стрелки, иначе – по часовой стрелке.

Следует заметить, что, зная коэффициенты, для нахождения угла пересечения, координаты уже не нужны. Листинг таков:

//**********************************************************

// Посчитать угол пересечения векторов по коэфф-ам А и B

//**********************************************************

function CalcCrossAngle(const a1,b1: Extended;

const a2,b2: Extended): Extended;

var

c1, c2: Extended;

begin

c1 := ArcTan2(a1,b1);

c2 := ArcTan2(a2,b2);

Result := c2—c1;

if Result < —pi then

Result := 2*pi + Result;

if Result > pi then

Result := Result — 2*pi;

end;

Тут ситуация с вертикальной прямой, т.е. когда теоретически происходит деление на ноль, явно не обрабатывается. Она корректно обрабатывается функцией ArcTan2, которая вернет в этом случае и знак, и 90 градусов.

Рис.7. Пересечение перпендикулярных векторов

Практика 2

В дополнение к функции нахождения точки пересечения, напишем «продвинутую» функцию, которая находит эту точку, определяет нахождение на каждом из отрезков, и определяет угол между направляющими векторами. Или же определяет, что прямые параллельны/совпадают.

//**********************************************************

// Тип пересечения прямых (p1,p2) и (p3,p4)

//**********************************************************

type

TxCrossLineResult = (

xclrEqual = —32// эквивалентны

,xclrParallel = —16// параллельны

,xclrOk = 0 // как минимум пересечение есть

,xclrFirst = 1 // попадает в первый отрезок

,xclrSecond = 2 // попадает во второй отрезок

,xclrBoth = 3 // попадает в оба

,xclrPerpend = 4 // перпендикулярны

// можно найти по маске через AND, но для полноты картины

,xclrFirstP = 5 // перпендикулярны и попадает в первый

,xclrSecondP = 6 // перпендикулярны и попадает в второй

,xclrBothP = 7 // перпендикулярны и попадает в оба

);

//**********************************************************

// Нахождение точки пересечения прямых (p1,p2) и (p3,p4)

// Определяет параллельность, совпадение,

// перпендикулярность, пересечение.

// Определяет, каким отрезкам принадлежит.

// Находит угол(рад.) от (p1,p2) к (p3,p4):

// отрицательное значение — против часовой

// положительное — по часовой

//**********************************************************

function CrossLines(const p1,p2,p3,p4: TxPoint;

var res: TxPoint; var Angle: Extended): TxCrossLineResult;

const

Prec = 0.0001;

var

a1, a2: Extended;

b1, b2: Extended;

c1, c2: Extended;

v: Extended;

begin

Angle := 0;

a1 := p2.y — p1.y;

a2 := p4.y — p3.y;

b1 := p1.x — p2.x;

b2 := p3.x — p4.x;

c1 := p2.x*p1.y — p1.x*p2.y;

c2 := p4.x*p3.y — p3.x*p4.y;

v := a1*b2 — a2*b1;

if abs(v) > Prec then

begin

Result := xclrOk;

res.X := —(c1*b2 — c2*b1)/v;

res.Y := —(a1*c2 — a2*c1)/v;

if CheckCrossPoint(p1,p2,res) then

Result := TxCrossLineResult(Integer(Result) +

Integer(xclrFirst));

if CheckCrossPoint(p3,p4,res) then

Result := TxCrossLineResult(Integer(Result) +

Integer(xclrSecond));

if (abs(a1*a2 + b1*b2) < Prec) then

Result := TxCrossLineResult(Integer(Result) +

Integer(xclrPerpend));

Angle := CalcCrossAngle(a1,b1,a2,b2);

end else

begin

Result := xclrParallel;

if ((abs(c1*b2 — c2*b1) < Prec) and

(abs(a1*c2 — a2*c1) < Prec))

then

Result := xclrEqual;

end;

Исходники

Небольшие комментарии по интерфейсу.

Рис.8. Интерфейс программы

Скачать (219 Кб): Исходники (Delphi XE 7-10)

Скачать (1.14 Мб): Исполняемый файл

При запуске генерируется случайным образом 4 точки, по две на прямую. Точки и отрезки можно перетаскивать мышкой. Также, слева присутствует панель, на которой можно ввести координаты точек или коэффициенты уравнения прямой. При нажатии «Enter» или когда элемент ввода теряет фокус, происходит перерасчет и перерисовка.

Внизу есть 4 кнопки переключения режимов отображения. Начиная со второй, помимо координат точки пересечений в верхнем левом углу будет отображаться текущий угол пересечения между направляющими векторами.

Если точка пересечений попадает в какой-либо из отрезков, соответствующий заголовок линии отрезка станет жирным. На рисунке это зеленая линия 2.

По умолчанию, рабочее поле системы координат имеет размерность [-10..10], которую можно изменить ползунком в нижнем правом углу.

Источник

Привет, сегодня поговорим про координаты точки пересечения двух прямых — ы нахождения , обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое
координаты точки пересечения двух прямых — ы нахождения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Стереометрия.

При решении некоторых геометрических задач методом координат приходится находить координаты точки пересечения прямых. Наиболее часто приходится искать координаты точки пересечения двух прямых на плоскости, однако иногда возникает необходимость в определении координат точки пересечения двух прямых в пространстве. В этой статье мы как раз разберемся с нахождением координат точки, в которой пересекаются две прямые.

Навигация по странице.

Точка пересечения двух прямых – определение.
Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости.
Нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Точка пересечения двух прямых – определение.

Давайте для начала дадим определение точки пересечения двух прямых.

В разделе взаимное расположение прямых на плоскости показано, что две прямые на плоскости могут либо совпадать (при этом они имеют бесконечно много общих точек), либо быть параллельными (при этом две прямые не имеют общих точек), либо пересекаться, имея одну общую точку. Вариантов взаимного расположения двух прямых в пространстве больше – они могут совпадать (иметь бесконечно много общих точек), могут быть параллельными (то есть, лежать в одной плоскости и не пересекаться), могут быть скрещивающимися (не лежащими в одной плоскости), а также могут иметь одну общую точку, то есть, пересекаться. Итак, две прямые и на плоскости и в пространстве называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Из определения пересекающихся прямых следует определение точки пересечения прямых: точка, в которой пересекаются две прямые, называется точкой пересечения этих прямых. Другими словами, единственная общая точка двух пересекающихся прямых есть точка пересечения этих прямых.

Приведем для наглядности графическую иллюстрацию точки пересечения двух прямых на плоскости и в пространстве.

К началу страницы

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости.

Прежде чем находить координаты точки пересечения двух прямых на плоскости по их известным уравнениям, рассмотрим вспомогательную задачу.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы две пересекающиеся прямые a и b. Будем считать, что прямой a соответствует общее уравнение прямой вида , а прямой b – вида . Пусть – некоторая точка плоскости, и требуется выяснить, является ли точка М₀ точкой пересечения заданных прямых.

Решим поставленную задачу.

Если M₀ является точкой пересечения прямых a и b, то по определению она принадлежит и прямой a и прямой b, то есть, ее координаты должны удовлетворять одновременно и уравнению и уравнению . Следовательно, нам нужно подставить координаты точки М₀ в уравнения заданных прямых и посмотреть, получаются ли при этом два верных равенства. Если координаты точки М₀ удовлетворяют обоим уравнениям и , то – точка пересечения прямых a и b, в противном случае М₀ не является точкой пересечения прямых.

Пример.

Является ли точка М₀ с координатами (2, -3) точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и2x-5y-19=0?

Решение.

Если М₀ действительно точка пересечения заданных прямых, то ее координаты удовлетворяют уравнениям прямых. Проверим это, подставив координаты точки М₀ в заданные уравнения:

Получили два верных равенства, следовательно, М₀ (2, -3) — точка пересечения прямых5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0.

Для наглядности приведем чертеж, на котором изображены прямые и видны координаты точки их пересечения.

Ответ:

да, точка М₀ (2, -3) является точкой пересечения прямых 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0.

Пример.

Пересекаются ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M₀ (2, -3)?

Решение.

Подставим координаты точки М₀ в уравнения прямых, этим действием будем осуществлена проверка принадлежности точки М₀ обеим прямым одновременно:

Так как второе уравнение при подстановке в него координат точки М₀ не обратилось в верное равенство, то точка М₀ не принадлежит прямой 7x-2y+11=0. Из этого факта можно сделать вывод о том, что точка М₀ не является точкой пересечения заданных прямых.

На чертеже также хорошо видно, что точка М₀ не является точкой пересечения прямых5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0. Очевидно, заданные прямые пересекаются в точке с координатами (-1, 2).

Ответ:

М₀ (2, -3) не является точкой пересечения прямых 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0.

Теперь можно переходить к задаче нахождения координат точки пересечения двух прямых по заданным уравнениям прямых на плоскости.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы две пересекающиеся прямые a и b уравнениями и соответственно. Обозначим точку пересечения заданных прямых как М₀ и решим следующую задачу: найти координаты точки пересечения двух прямых a и b по известным уравнениям этих прямых и .

Точка M₀ принадлежит каждой из пересекающихся прямых a и b по определению. Тогда координаты точки пересечения прямых a и b удовлетворяют одновременно и уравнению и уравнению . Следовательно, координаты точки пересечения двух прямых a и b являются решением системы уравнений (смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений).

Таким образом, чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, определенных на плоскости общими уравнениями, нужно решить систему, составленную из уравнений заданных прямых.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите точку пересечения двух прямых, определенных в прямоугольной системе координат на плоскости уравнениями x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.

Решение.

Нам даны два общих уравнения прямых, составим из них систему: . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Решения полученной системы уравнений легко находятся, если разрешить ее первое уравнение относительно переменной x и подставить это выражение во второе уравнение:

Найденное решение системы уравнений дает нам искомые координаты точки пересечения двух прямых.

Ответ:

M₀ (4, 2) – точка пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.

Итак, нахождение координат точки пересечения двух прямых, определенных общими уравнениями на плоскости, сводится к решению системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными переменными. А как же быть, если прямые на плоскости заданы не общими уравнениями, а уравнениями другого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости)? В этих случаях можно сначала привести уравнения прямых к общему виду, а уже после этого находить координаты точки пересечения.

Пример.

Определите координаты точки пересечения прямых и .

Решение.

Перед нахождением координат точки пересечения заданных прямых приведем их уравнения к общему виду. Переход от параметрических уравнений прямой к общему уравнению этой прямой выглядит следующим образом:

Теперь проведем необходимые действия с каноническим уравнением прямой :

Таким образом, искомые координаты точки пересечения прямых являются решением системы уравнений вида . Используем для ее решения метод Крамера:

Ответ:

M₀ (-5, 1)

Существует еще один способ нахождения координат точки пересечения двух прямых на плоскости. Его удобно применять, когда одна из прямых задана параметрическими уравнениями вида , а другая – уравнением прямой иного вида. В этом случае в другое уравнение вместо переменных x и y можно подставить выражения и , откуда можно будет получить значение , которое соответствует точке пересечения заданных прямых. При этом точка пересечения прямых имеет координаты .

Найдем координаты точки пересечения прямых из предыдущего примера этим способом.

Пример.

Определите координаты точки пересечения прямых и .

Решение.

Ответ:

M₀ (-5, 1).

Для полноты картины следует обговорить еще один момент.

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых на плоскости полезно убедиться в том, что заданные прямые действительно пересекаются. Если выяснится, что исходные прямые совпадают или параллельны, то о нахождении координат точки пересечения таких прямых не может быть и речи.

Можно, конечно, обойтись и без такой проверки, а сразу составить систему уравнений вида и решить ее. Если система уравнений имеет единственное решение, то оно дает координаты точки, в которой исходные прямые пересекаются. Если система уравнений решений не имеет, то можно делать вывод о параллельности исходных прямых (так как не существует такой пары действительных чисел x и y, которая бы удовлетворяла одновременно обоим уравнениям заданных прямых). Из наличия бесконечного множества решений системы уравнений следует, что исходные прямые имеют бесконечно много общих точек, то есть, совпадают.

Рассмотрим примеры, подходящие под эти ситуации.

Пример.

Выясните, пересекаются ли прямые и , и если пересекаются, то найдите координаты точки пересечения.

Решение.

Ответ:

уравнения и определяют в прямоугольной системе координатOxy одну и ту же прямую, поэтому мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения прямых и , если это возможно.

Решение.

Условие задачи допускает, что прямые могут быть не пересекающимися. Составим систему из данных уравнений. Применим для ее решения метод Гаусса, так как он позволяет установить совместность или несовместность системы уравнений, а в случае ее совместности найти решение:

Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса обратилось в неверное равенство, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда можно сделать вывод, что исходные прямые параллельны, и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения этих прямых.

Второй способ решения.

Давайте выясним, пересекаются ли заданные прямые.

— нормальный вектор прямой , а вектор является нормальным вектором прямой . Проверим выполнение условия коллинеарности векторов и : равенство верно, так как , следовательно, нормальные векторы заданных прямых коллинеарны. Тогда, эти прямые параллельны или совпадают. Таким образом, мы не можем найти координаты точки пересечения исходных прямых.

Ответ:

координаты точки пересечения заданных прямых найти невозможно, так как эти прямые параллельны.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения прямых 2x-1=0 и , если они пересекаются.

Решение.

Составим систему из уравнений, которые являются общими уравнениями заданных прямых: . Определитель основной матрицы этой системы уравнений отличен от нуля , поэтому система уравнений имеет единственное решение, что свидетельствует о пересечении заданных прямых.

Для нахождения координат точки пересечения прямых нам нужно решить систему:

Полученное решение дает нам координаты точки пересечения прямых, то есть, — точка пересечения прямых 2x-1=0 и .

Ответ:

К началу страницы

Нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Координаты точки пересечения двух прямых в трехмерном пространстве находятся аналогично.

Пусть пересекающиеся прямые a и b заданы в прямоугольной системе координат Oxyzуравнениями двух пересекающихся плоскостей, то есть, прямая a определяется системой вида , а прямая b — . Пусть М₀ – точка пересечения прямых a и b. Тогда точка М₀ по определению принадлежит и прямой a и прямойb, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Таким образом, координаты точки пересечения прямых a и b представляют собой решение системы линейных уравнений вида . Здесь нам пригодится информация из разделарешение систем линейных уравнений, в которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных переменных.

Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Найдите координаты точки пересечения двух прямых, заданных в пространстве уравнениями и .

Решение.

Составим систему уравнений из уравнений заданных прямых: . Решение этой системы даст нам искомые координаты точки пересечения прямых в пространстве. Найдем решение записанной системы уравнений.

Основная матрица системы имеет вид , а расширенная — .

Определим ранг матрицы А и ранг матрицы T. Используем метод окаймляющих миноров, при этом не будем подробно описывать вычисление определителей (при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы):

Таким образом, ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен трем.

Следовательно, система уравнений имеет единственное решение.

Базисным минором примем определитель , поэтому из системы уравнений следует исключить последнее уравнение, так как оно не участвует в образовании базисного минора. Итак,

Решение полученной системы легко находится:

Таким образом, точка пересечения прямых и имеет координаты (1, -3, 0).

Ответ:

(1, -3, 0).

Следует отметить, что система уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда прямые a и b пересекаются. Если же прямые а и bпараллельные или скрещивающиеся, то последняя система уравнений решений не имеет, так как в этом случае прямые не имеют общих точек. Если прямые a и b совпадают, то они имеют бесконечное множество общих точек, следовательно, указанная система уравнений имеет бесконечное множество решений. Однако в этих случаях мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения прямых, так как прямые не являются пересекающимися.

Таким образом, если мы заранее не знаем, пересекаются заданные прямые a и b или нет, то разумно составить систему уравнений вида и решить ее методом Гаусса. Если получим единственное решение, то оно будет соответствовать координатам точки пересечения прямых a и b. Если система окажется несовместной, то прямые a и b не пересекаются. Если же система будет иметь бесконечное множество решений, то прямые a и bсовпадают.

Можно обойтись и без использования метода Гаусса. Как вариант, можно вычислить ранги основной и расширенной матриц этой системы, и на основании полученных данных и теоремы Кронекера-Капелли сделать вывод или о существовании единственного решения, или о существовании множества решений, или об отсутствии решений. Это дело вкуса.

Пример.

Если прямые и пересекаются, то определите координаты точки пересечения.

Решение.

Составим систему из заданных уравнений: . Решим ее методом Гаусса в матричной форме:

Стало видно, что система уравнений не имеет решений, следовательно, заданные прямые не пересекаются, и не может быть и речи о поиске координат точки пересечения этих прямых.

Ответ:

мы не можем найти координаты точки пересечения заданных прямых, так как эти прямые не пересекаются.

Когда пересекающиеся прямые заданы каноническими уравнениями прямой в пространствеили параметрическими уравнениями прямой в пространстве, то следует сначала получить их уравнения в виде двух пересекающихся плоскостей, а уже после этого находить координаты точки пересечения.

Пример.

Две пересекающиеся прямые заданы в прямоугольной системе координат Oxyzуравнениями и . Найдите координаты точки пересечения этих прямых.

Решение.

Ответ:

(-2, 3, -5).

Понравилась статья про координаты точки пересечения двух прямых — ы нахождения ? Откомментируйте её Надеюсь, что теперь ты понял что такое координаты точки пересечения двух прямых — ы нахождения
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Стереометрия

Источник

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Методы решения. Существует два метода решения плоских задач на определение координат точки пересечения прямых:

графический
аналитический

Графический метод решения. Используя уравнения, начертить графики прямых и с помощью линейки найти координаты точки пересечения.

Аналитический метод решения. Необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

Если система уравнений:

имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)

Пример 1. Найти точку пересечения прямых y = 2x — 1 и y = -3x + 1.

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2x — 1
y = -3x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2x — 1 — (-3x + 1)
y = -3x + 1
=>

0 = 5x — 2
y = -3x + 1

Из первого уравнения найдем значение x

5x = 2
y = -3x + 1
=>

x = 25 = 0.4
y = -3x + 1

Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

x = 0.4
y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)

Пример 2. Найти точку пересечения прямых y = 2x — 1 и x = 2t + 1y = t.

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2x — 1
x = 2t + 1
y = t

В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

t = 2·(2t + 1) — 1
x = 2t + 1
y = t
=>

t = 4t + 1
x = 2t + 1
y = t
=>

-3t = 1
x = 2t + 1
y = t
=>

t = -13
x = 2t + 1
y = t

Подставим значение t во второе и третье уравнение

t = -13
x = 2·(-13) + 1 = -23 + 1 = 13
y = -13

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (13, -13)

Пример 3 Найти точку пересечения прямых 2x + 3y = 0 и x — 23 = y4.

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

2x + 3y = 0
x — 23 = y4

Из второго уравнения выразим y через x

2x + 3y = 0
y = 4·x — 23

Подставим y в первое уравнение

2x + 3·4·x — 23 = 0
y = 4·x — 23
=>

2x + 4·(x — 2) = 0
y = 4·x — 23
=>

2x + 4x — 8 = 0
y = 4·x — 23
=>

6x = 8
y = 4·x — 23
=>

x = 86 = 43
y = 4·x — 23
=>

x = 86 = 43
y = 4·4/3 — 23 = 4·-2/3 3 = -89

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (43, -89)

Пример 4. Найти точку пересечения прямых y = 2x — 1 и y = 2x + 1.

Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k₁ = k₂ = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

Решим также эту задачу используя систему уравнений:

y = 2x — 1
y = 2x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2x — 1 — (2x + 1)
y = -3x + 1
=>

0 = -2
y = -3x + 1

В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений — отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).

Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

Пример 5. Проверить является ли точка N(1, 1) точкой пересечения прямых y = x и y = 3x — 2.

Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

1 = 1

1 = 3·1 — 2 = 1

Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Метод решения. Для определение координат точки пересечения прямых в пространстве, необходимо объединить уравнения прямых в систему, решение которой, позволит определить точные координаты точки пересечения прямых.

Если система уравнений:

имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)

Пример 6. Найти точку пересечения прямых x — 1 = y — 1 = z — 1 и x — 3-2 = 2 — y = z.

Решение: Составим систему уравнений

x — 1 = a
y — 1 = a
z — 1 = a
x — 3-2 = b
2 — y = b
z = b

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
x — 3-2 = b
2 — y = b
z = b

Подставим значения x, y, z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a + 1 — 3-2 = b
2 — (a + 1) = b
a + 1 = b

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a — 2-2 = b
1 — a = b
a + 1 = b

К шестому уравнению добавим пятое уравнение

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a — 2-2 = b
1 — a = b
a + 1 + (1 — a) = b + b

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a — 2-2 = b
1 — a = b
b = 1

Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a — 2-2 = 1
1 — a = 1
b = 1

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a — 2 = -2
a = 0
b = 1

x = a + 1
y = a + 1
z = a + 1
a = 0
a = 0
b = 1

x = 0 + 1 = 1
y = 0 + 1 = 1
z = 0 + 1 = 1
a = 0
a = 0
b = 1

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

Замечание. Если уравнения прямых заданы параметрически, и в обоих уравнениях параметр задан одной и той же буквой, то при составлении системы в одном из уравнений необходимо заменить букву отвечающую за параметр.

Пример 7. Найти точку пересечения прямых
x = 2t — 3
y = t
z = —t + 2
и
x = t + 1
y = 3t — 2
z = 3
.

Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

x = 2t — 3
y = t
z = —t + 2
x = a + 1
y = 3a — 2
z = 3

Подставим значения x, y, z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = 2t — 3
y = t
z = —t + 2
2t — 3 = a + 1
t = 3a — 2
—t + 2 = 3

x = 2t — 3
y = t
z = —t + 2
2t = a + 4
t = 3a — 2
t = -1

Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

x = 2·(-1) — 3
y = (-1)
z = -(-1) + 2
2·(-1) = a + 4
-1 = 3a — 2
t = -1

x = -5
y = -1
z = 3
a = -6
a = 13
t = -1

Ответ. Так как -6 ≠ 13, то прямые не пересекаются.

Источник

5.5.5. Пересекающиеся прямые в пространстве

Пересекающиеся прямые пространства обязательно лежат в одной плоскости, причём их направляющие векторы неколлинеарны:

Первая мысль – всеми силами навалиться на точку пересечения .

И тут сразу же подумалось, зачем себе отказывать в правильных желаниях?! Давайте навалимся на неё прямо сейчас!

Как найти точку пересечения пространственных прямых?

Собственно:

Задача 156

Найти точку пересечения прямых

Решение: Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:

Приём решения стандартен и уже встречался, когда мы вымучивали уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся

прямых.

Точка пересечения прямых принадлежит прямой , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение

параметра :

Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно, существует значение , такое, что:

Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения:

Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными, которую опять же решим «школьным» способом. Из 1-го уравнения выразим – подставим в два нижних уравнения: