Как найти координаты линейной комбинации векторов - AvtoShod.ru

Понятие
вектора

Определение
1. Вектором называется направленный
отрезок ( или, что то же, упорядоченная
пара точек).

Обозначают:
(точка А-начало вектора), точка В – конец
вектора) или одной буквой —.

Определение
2. Длиной вектора (модулем)называется
расстояние между началом и концом
вектора. Длина вектора обозначаетсяили.

Определение
3. Нулевым вектором называется
вектор, у которого начало и конец
совпадают. Обозначают:

Определение
4. Единичным векторомназывается
вектор, длина которого равна единице.

Единичный
вектор, имеющий одинаковое направление
с данным вектором
,
называется ортом вектораи обозначается символом.

Определение
5. Векторы называютсяколлинеарными,
если они расположены на одной прямой
или на параллельных прямых. Нулевой
вектор считается коллинеарным любому
вектору.

Определение
6. Векторы называютсяравными,
если они коллинеарны, имеют одинаковые
длины и одинаковое направление.

Линейные
операции над векторами

Определение
7. Линейными операциями над вектораминазываются сложение векторов и умножение
вектора на число.

Определение
8. Суммой
двух векторовиназывается
вектор,
который идет из начала векторав конец векторапри условии, что векторприложен к концу вектора(правило треугольника). В случае
неколлинеарных векторовиможно
вместо правила треугольника использовать
правило параллелограмма: если векторыиотложены от общего начала и на них
построен параллелограмм, то суммаесть вектор, совпадающий с диагональю
этого параллелограмма, идущего из общего
началаи.

Определение
9. Разностью
двух
векторовиназывается вектор,
который в сумме с векторомсоставляет вектор.
Если два вектораиотложены от общего начала, то их разность
есть вектор, исходящий из конца вектора(«вычитаемого») к концу вектора(«уменьшаемого»).

Определение
10. Два коллинеарных вектора равной
длины, направленные в противоположные
стороны, называются противоположными.
Вектор, противоположный вектору, обозначается.

Произведение
вектора
на числообозначают α.

Некоторые
свойства линейных операций

1)
+()=(+)+;

2)
=;

3)+=;

4)
+()=;

5)=();

7)
;

1·=.

Теорема
1. (О коллинеарных векторах). Еслии– два коллинеарных вектора, причем
вектор-ненулевой,
то существует единственное число х
такое, что=х

В
частности, ненулевой вектор
и его ортсвязаны равенством:=·.

Сформулированные
свойства линейных операций позволяют
преобразовать выражения, составленные
из векторов, по обычным правилам алгебры:
можно раскрыть скобки, приводить подобные
члены, переносить некоторые члены в
другую часть равенства с противоположным
знаком и т.д.

Пример
1.

Доказать
равенства:

а)
+()=();

б)—()=().

и
выяснить, каков их геометрический смысл.

Решение.
а) В левой части равенства раскроем
скобки, приведем подобные члены, получим
вектор в правой части. Поясним это
равенство геометрически. Пусть даны
два вектораи,
отложим их от общего начала и посмотрим
параллелограмм и его диагонали, получим:

§2 Линейная комбинация векторов

Векторный
базис на плоскости и в пространстве.

Определение
1. Линейной комбинацией векторов
,,называется сумма произведений этих
векторов на какие-нибудь числа,,:++.

Определение
2. Векторным базисом в данной
плоскости называется любая пара
неколлинеарных векторовиэтой плоскости.

Вектор
называют
при этом первым базисным вектором,
вектор-вторым.

Справедлива
следующая теорема.

Теорема
1.Если базис,–векторный базис в плоскости, тогда
любой векторэтой плоскости может быть представлен,
и притом единственным образом, в виде
линейной комбинации базисных векторов:= х+у.
(*)

Определение
3. Равенство(*) называютразложением
вектора
по базису,,
а числа х и у –координатами вектора
в базисе,(
илиотносительно базиса
,).Если заранее ясно, о каком базисе идет
речь, то пишут кратко:={x,y}. Из
определения координат вектора относительно
базиса следует, что равные векторы имеют
соответственно равные координаты.

Два
и более векторов в пространстве называются
компланарными, если они параллельны
одной и той же плоскости или лежат в
этой плоскости.

Определение
4. Векторным базисом в пространстве
называют любые три вектора,,.

Вектор
называют при этом первым базисным
вектором,— вторым,-третьим.

Замечание.
1. Три вектора=
{},=
{}
и= {}
образуют базис пространства, если
определитель, составленный из их
координат, отличен от нуля :

2.
Основные положения теории определителей
и способы их вычисления рассмотрены в
модуле 1 «линейная алгебра».

Теорема
2. Пусть,,— векторный базис в пространстве. Тогда
любой векторв пространстве может быть представлен,
и притом единственным образом, в виде
линейной комбинации базисных векторов,и:

=
х+у+z.
(**)

Определение
5. Равенство (**) называютразложением
вектора
по базису,,,
а числаx,y,z–координатами
(компонентами) векторав базисе,,.

Если
заранее ясно, о каком базисе идет речь,
то пишут кратко:
= {x,y,z}.

Определение
6. Базис,,называетсяортонормированным, если
векторы,,попарно перпендикулярны и имеют единичную
длину. В этом случае приняты обозначения,,.

Действия
над векторами, заданными своими
координатами.

Теорема
3. Пусть на плоскости выбран векторный
базис,и относительно его векторыизаданы
своими координатами:= {},=
{}.

Тогда
={},={},
т.е. при сложении или вычитании векторов
складываются или вычитаются их одноименные
координаты;= {·;},
т.е. при умножении вектора на число его
координаты умножаются на это число.

Условие
коллинеарности двух векторов

Теорема
4. Векторколлинеарен ненулевому векторув том и только том случае, когда координаты
векторапропорциональны соответственным
координатам векторат.е.

Линейные
операции над векторами, заданными своими
координатами в пространстве, производятся
аналогично.

Пример
1. Пусть даны векторы= {1;2;-1} ,= {3;2;1},
= {1;0;1} в некотором векторном базисе,,.
Найти координаты линейной комбинации
2+3-4.

Решение.
Введем обозначение для линейной
комбинации=2+3+(-4).

Коэффициенты
линейной комбинации
=2,=3,=-4.
Запишем данное векторное равенство в
координатной форме=
{x,y,z}=:

Очевидно,
что каждая координата линейной комбинации
векторов равна такой же линейной
комбинации одноименных координат, т.е.

х
= 2·1+3·3+(-4)·1=7,

у
= 2·2+3·2+(-4)·0=10,

z= 2·(-1)+3·1+(-4)·0=-3.

Координаты
вектора

в базисе
,,будут:

=
{7,10,-3}

Ответ:=
{7,10,-3}.

Общая
(аффинная) декартова система координат

Определение
7. Пусть О- некоторая фиксированная
точка, которую будем называтьначалом.

Если
М- произвольная точка, то вектор
называетсярадиус-векторомточки
М по отношению к началу, коротко,
радиус-вектор точки М.

Декартовы
(аффинные) координаты на прямой

Пусть
дана в пространстве некоторая прямая
l.Выберем начало
О лежащим на этой прямой. Кроме того,
выберем на прямойl
ненулевой вектор,
который будем называть базисным.

Определение
8. Пусть точка М лежит на прямойl.
Так как векторыиколлинеарны, то=х,
где х- некоторое число. Это число назовемкоординатой точки М на прямой.

Начало
О имеет положительные или отрицательные
координаты, в зависимости от того,
совпадают ли направления векторов
иили они противоположны. Прямуюl,
на которой координаты, будем называть
осью координат или осью ОХ.

Введение
координат на прямой соответствует
единственное число х, и наоборот,
существует единственная точка М, для
которой это число является координатой.

Декартовы
(аффинные) координаты на плоскости.

Выберем
на плоскости О два неколлинеарных
вектора
и,
образующих некоторый базис . Очевидно,
что длины векторовимогут быть различны.

Определение
9. Совокупность {0;;}
точки О и векторного базиса,называют
декартовой (аффинной) системой на
плоскости.

Две
прямые, проходящие через О и параллельные
соответственно векторам
,называют
осями координат. Первую из них обычно
называют осью абсцисс и обозначают Ох,
вторую- осью ординат и обозначают Оу.

Будем
всегда изображать
илежащими на соответствующих осях
координат.

Определение
10. Координатами точки М на плоскости
относительно декартовой (аффинной)
системы координат {0;;}
называют координаты ее радиус-векторапо базису,:

=
х+у,
тогда числа х и у будет координатами М
относительно декартовой(аффинной)
системы координат {0;;}.
Координату х называютабсциссой точки
М, координату у-ординатой точки М.

Итак,
если выбрана система координат, {0;;}
на плоскости, то каждой точке М плоскости
соответствует единственная точка М на
плоскости: эта точка является концом
вектора

=
х+у.

Введение
системы координат лежит в основе метода
аналитической геометрии, сущность
которой состоит в том, чтобы уметь
сводить любую геометрическую задачу к
задачам арифметики или алгебры.

Определение
11. Координатами вектора
на
плоскости относительно декартовой
системы координат {0;;}
называют координаты этого вектора в
базисе,.

Чтобы
найти координаты вектора
,
надо разложить его по базису
,:

=
х+у,
где коэффициенты х,у и будут координатами
вектора
относительно декартовой системы {0;;}.

Декартова
(аффинная) система координат в пространстве.

Пусть
в пространстве зафиксирована некоторая
точка О(начало) и выбран векторный базис

,,.

Определение
12. Совокупность {0;;;}называютдекартовой системой координат в
пространстве.

Определение
13. Три прямые проходящие через О и
параллельные соответственно векторам,,,
называютосями координат и обозначают
соответственно Оz,Oy,Oz.Мы
будем всегда изображать векторы,,лежащими на соответственных осях.

Определение
14. Координатами точки М в пространстве
относительно декартовой системы
координат {0;;;}
называют координаты ее радиус-векторав этой системе.

Иначе
говоря, координаты точки М – это такие
три числа х,у,zсоответственно
абсцисса и ордината точки М; третью
координатуzназывают
аппликатой точки М.

Введение
в пространстве декартовой системы
координат позволяет установить
взаимно-однозначное соответствие между
точками М пространства и упорядоченными
тройками чисел x,y,z.

Определение
15. Координатами вектора
в пространстве относительно декартовой
системы координат {0;;;}называют
координаты этого вектора в базисе;;.

Пример
2.

Даны
три последовательные вершины
параллелограмма А(-2;1),В(1;3),С(4;0). Найти
четвертую его координату D.
Система координат аффинная.

Решение.

Векторы
иравны, значит, равны их координаты (
коэффициенты линейной комбинации):

=
{3;2},
={4-x;-y};.
Значит,D(1;-2).

Ответ:D(1;-2).

Линейная
зависимость. Понятие базиса

Определение
16. Векторы
,
называют
линейно зависимыми, если
существуют числа
,

(***)

Это
определение линейной зависимости
векторов
,эквивалентно
такому: векторы,линейно зависимы, если один из них можно
представить в виде линейной комбинации
остальных (или разложить по остальным).

Векторы
,называются линейно зависимыми, если
равенство (***) возможно в единственном
случае, когда

Понятие
линейной зависимости играет большую
роль в линейной алгебре. В векторной
алгебре линейная зависимость имеет
простой геометрический смысл.

Любые
два коллинеарных вектора линейно
зависимы, и наоборот, два неколлинеарных
вектора линейно независимы.
Три
компланарных вектора линейно зависимы,
и наоборот, три некомпланарных вектора
линейно независимы.
Каждые
четыре вектора линейно зависимы.

Определение
17. Три линейно
независимых вектора
называютсябазисом
пространства, т.е.
любой векторможет быть представлен в виде некоторой.

Определение
18. Два лежащих
в плоскости линейно независимых вектора
называютбазисом
плоскости, т.е.
любой лежащий в этой плоскости вектор
может быть представлен в виде линейной
комбинации векторов.

Задания
для самостоятельного решения.

Даны
три вектора
Найти
разложение векторапо
базису
Даны
векторы
Вектор–медиана
треугольникаOAB.
Разложить вектор
по
базису
В
тетраэдре OABC
точки K,
L,
M,
N,
P,
Q
– середины рёбер OA,
OB,
OC,
AB,
AC,
BC
соответственно, S
– точка пересечения медиан треугольника
ABC.
Принимая за базисные

векторы
найти в этом базисе координаты:

векторов
векторов
векторов
и

Точки
Mи
N
– середины сторон BCи
CDпараллелограмма
ABCD.
Разложить вектор
по
векторами
Дан
куб ABCDEFGH.
Разложить вектор
,
гдеK–
центр грани DHGC,
по векторам
,
На
плоскости даны вектора
Найти
разложение векторапо
базису,
На
плоскости даны три вектора
иОпределить разложение каждого из этих
трёх векторов, принимая в качестве
базиса два других.
Принимая
в качестве базиса векторы
и,
совпадающие со сторонами треугольникаABC,
определить разложение векторов,
приложенных в вершинах треугольника
и совпадающих с его медианами.
Даны
четыре вектора
Найти координаты векторов – линейных
комбинаций:
Даны
четыре вектора
,Найти числа α, β, γ такие, что α
Проверить,
что векторы
образуют базис в пространстве. Найти
координаты векторов,в
этом базисе.
(Задача
об отрезке, разделённом в заданном
отношении.) Пусть точка C,
лежащая на отрезкеAB,
делит этот отрезок в отношении λ, т.е.
Выразить векторчерез векторыи
Даны
две точки A(1;2;3).
B(7;2;5).
На прямой ABнайти
такую точку M,
чтобы точки Bи
Mбыли
расположены по разные стороны от точки
A и чтобы отрезок AMбыл
вдове длиннее отрезка AB.
Система координат аффинная.
Вершина
Aпараллелепипеда
ABCD
принята за начало координат, а векторы

– за базисные векторы. Найти в этой
системе координаты всех вершин
параллелепипеда.
Вершина
Oтетраэдра
OABCDпринята
за начало координат, а векторы
– за базисные векторы. Найти на этой
(аффинной) системе координаты точек
пересечения медиан граней тэтраэдра.

Источник

Содержание

Линейные комбинации векторов в пространстве

Линейные комбинации векторов

Определение 1. Линейной комбинацией¹⁾ $n$ векторов $mathbf{a}_1,ldots,mathbf{a}_n$ называется сумма произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, то есть выражения вида

$alpha_1mathbf{a}_1+ldots+alpha_nmathbf{a}_n$ ,

где — любые вещественные числа.

Определение 2. Векторы $mathbf{a}_1,ldots,mathbf{a}_n$ называются линейно зависимыми²⁾, если найдутся такие вещественные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов $mathbf{a}_1,ldots,mathbf{a}_n$ с этими числами обращается в нуль³⁾, то есть имеет место равенство:

$alpha_1mathbf{a}_1+ldots+alpha_nmathbf{a}_n=mathbf{0}$ .

Определение 3. Векторы $mathbf{a}_1,ldots,mathbf{a}_n$ называются линейно независимыми⁴⁾, если равенство нулю их линейной комбинации $alpha_1mathbf{a}_1+ldots+alpha_nmathbf{a}_n$ возможно лишь в случае, когда все числа равны нулю.

Предложение 1. Если хотя бы один из векторов $mathbf{a}_1,ldots,mathbf{a}_n$ нулевой, то эти векторы являются линейно зависимыми.

Предложение 2. Если среди $n$ векторов какие-либо $k$ ⁵⁾ векторов являются линейно зависимыми, то и все $n$ векторов являются линейно зависимыми.

Предложение 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них представим в виде линейной комбинации остальных.

Обобщение понятия «линейная зависимость» можно посмотреть в соответствующей статье.

Линейная зависимость двух векторов

Предложение 4. Два вектора являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Линейная зависимость трех векторов

Предложение 5. Три вектора являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они компланарны.

Линейная зависимость четырех векторов

Предложение 6. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Базис в пространстве, на плоскости и на прямой

Определение 4. Базисом в пространстве⁶⁾ называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Определение 5. Базисом на плоскости⁷⁾ называется пара неколлинеарных векторов, взятых в определенном порядке.

Определение 6. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.

Определение 7. Пусть $mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,mathbf{e}_3$ — базис в пространстве. Если

$mathbf{a}=alpha_1mathbf{e}_1+alpha_2mathbf{e}_2+alpha_3mathbf{e}_3$ ,

то говорят, что вектор разложен по базису. Числа называются координатами⁹⁾ вектора в этом базисе. Аналогично определяются координаты на плоскости и на прямой.

Предложение 7.

Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой.
Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой плоскости.
Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве.

Координаты вектора в каждом случае определяются однозначно.

Предложение 8. При сложении векторов складываются их соответствующие координаты. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

См. также

Литература

Наверх

Источник

Содержание:

Векторная алгебра

Векторная алгебра — это раздел векторного исчисления, изучающий линейные операции с векторами и их геометрические свойства; часть линейной алгебры, занимающаяся векторными пространствами; различные векторные алгебры XIX века (например, кватернионов, бикватернионов, сплит-кватернионов).

Векторы и линейные операции над ними

Займемся теперь таким важным как в самой математике, так и в ее многочисленных приложениях, понятием вектора.

Определение: Вектором, на плоскости или в пространстве называется отрезок прямой с заданным на нем направлением, т. е. одна из его граничных точек считается начальной, а вторая — конечной.

Обозначать векторы мы будем строчными латинскими буквами

Длина отрезка, изображающего вектор называется его длиной и обозначается через Вектор с совпадающими начальной и конечной точками называется нуль-вектором. Для него используется обозначение

По определению, два вектора считаются равными, если один из них можно преобразовать в другой с помощью параллельного переноса.

Учитывая приведенное определение, всюду в дальнейшем мы без специальных оговорок будем перемещать вектор параллельным переносом в любую удобную для нас точку.

Два вектора называются коллинеарными (обозначение ), если отрезки их изображающие параллельны.

Аналогично, векторы а и b называются ортогональными (обозначение ), если соответствующие отрезки перпендикулярны.

Три вектора называются компланарными, если после приведения их общему началу, они будут расположены в одной плоскости.

Углом между векторами приведенными к общему началу, называется меньший из двух углов между соответствующими отрезками. Обозначать угол мы будем строчными греческими буквами … или через

Два ненулевых вектора мы будем считать одинаково направленными, если и противоположно направленными, если

Введем теперь линейные операции над векторами.

а) Умножение числа на вектор.

Произведением действительного числа на векторназывается вектор длина которого равна а направление его совпадает с направлением вектора если и имеет противоположное с ним направление, если Если или

В частности, вектор обозначается через и называется вектором, противоположным вектору

Если то произведение мы будем иногда записывать в виде

Из приведенного определения сразу же следует, что коллинеарные векторы линейно связаны, т. е. существует константа такая,что В качестве такой константы следует

взять число Если то В частности, если то вектором единичной длины с направлением данного вектора является вектор

b) Сложение векторов.

Суммой двух векторов называется вектор который находится по правилу треугольника

или по равносильному ему правилу параллелограмма

Вектор называется разностью векторов

Свойства линейных операций над векторами аналогичны соответствующим свойствам действительных чисел.

Проекцией вектора на вектор называется число

Геометрически очевидны следующие свойства проекции:

Пример №1

Пусть Е и F — середины сторон AD и ВС соответственно выпуклого четырехугольника ABCD. Доказать, что

Доказательство. Из четырехугольников EDCF и EABF по правил}’ сложения векторов получим:

Сложив данные равенства и учитывая, что будем иметь:

что и требовалось.

Базис и декартова система координат

Определение: Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов. Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Обозначение: — базис на плоскости, — базис в пространстве. Всюду в дальнейшем, не оговаривая это особо, будем рассматривать только положительно ориентированные базисы, т. е. базисы, у которых кратчайший поворот от вектора к вектору совершается против часовой стрелки, если наблюдение ведется со стороны вектораСформулируем теперь фундаментальное свойство базиса.

Теорема. Любой вектор единственным образом разлагается по базису, т. е. представляется в виде где действительные числа — координаты вектора в базисе

Приведем геометрическое доказательство этого утверждения.

Вектор можно единственным образом представить как большую диагональ параллелепипеда, ребра которого, параллельны базисным векторам. Тогда по правилу сложения векторов В виду коллинеарности векторов соответствующим базисным векторам, мы можем записать, что — некоторые действительные числа. Отсюда и следует искомое разложение.

Если базис зафиксирован, то факт, что вектор а в этом базисе имеет координаты коротко записывается как

Из доказанной теоремы следует, что при выполнении линейных операций над векторами точно также преобразуются и их координаты, т. е. если если Отсюда, в частности, следует, что два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, т. е.

Рассмотрим теперь ортонормированный базис т.е. базис, в котором все векторы имеют единичную длин}’ и попарно ортогональны. Векторы этого базиса мы будем называть ортами. Пусть в этом базисе

Как видно из чертежа, координаты вектора в ортонормированном базисе представляют собой проекции этого вектора на соответствующие орты. т. е.

Величины т. е. косинусы углов, которые образует данный вектор с ортами к соответственно, называются направляющими косинусами вектора Единичный вектор имеет координаты

Очевидно также, что

Свяжем теперь с ортонормированным базисом декартову (прямоугольную) систему координат. Для этого поместим начала ортов в некоторую точку О, ось Ох (абсцисс) направим вдоль орта ось (ординат) — вдоль орта наконец, ось (аппликат) направим вдоль орта

В выбранной системе координат координаты радиуса-вектора мы будем называть координатами точки М и записывать

Если известны координаты начальной и конечной точек вектора, то из равенства слезет, что его координаты равны

и, значит, расстояние между точками вычисляется по формуле

Найдем теперь координаты точки М, делящей отрезок с концами в точках в данном

отношении Так как Отсюда, переходя к координатам получим:

Следовательно, координаты искомой точки вычисляются по формулам:

Найдем, в частности, координаты середины отрезка. Здесь А = 1, поэтому

Пример №2

Треугольник задан координатами своих вершин Найти координаты точки пересечения его медиан. Решение.

Пусть — середина отрезка — точка пересечения медиан. Тогда

По известному свойству точки пересечения медиан и потому

Подставив сюда найденные координаты точки ползучим:

Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника равны средним арифметическим соответствующих координат его вершин.

Замечание. Базисом n-мерного пространства называется упорядоченная совокупность n векторов

обладающая тем свойством, что любой вектор единственным образом представляется в виде линейной комбинации базисных векторов (1), т.е. существуют действительные числа (координаты векторав базисе (1)) такие, что

В качестве базиса в мы можем взять, например, векторы

так как, очевидно, любой вектор однозначно представляется в виде (2).

Скалярное произведение векторов

Определение: Скалярным произведением векторов называется число

Из этого определения сразу же следует, что

и таким образом, если один из векторов имеет единичную длину, то их скалярное произведение равно проекции второго вектора на единичный.

Отметим основные свойства скалярного произведения.

Первые два и последнее свойства немедленно следуют из определения скалярного произведения, а третье и четвертое — из сформулированных в §1 свойств проекции.

Найдем теперь представление скалярного произведения в координатах. Пусть в орто-нормированном базисе векторы имеют координаты Заметив, что по свойствам 1) и 5) скалярного произведения

перемножим векторыскалярно, используя свойства 2) — 4):

Таким образом, скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Пример №3

Разложить вектор на две ортогональные составляющие, одна из которых коллинеарна вектору

Решение.

Из чертежа следует, что — искомое разложение. Найдем векторы Составляющая коллинеарная вектору равна, очевидно, вектору проекции и, следовательно,

Тогда вторая ортогональная составляющая вектора равна

В заключение параграфа рассмотрим одно простое приложение скалярного произведения в механике. Пусть под действием постоянной силы материальная тотп<а переместилась по прямой из положения В в положение С.

Найдем работу этой силы. Для этого разложим вектор силы на две ортогональные составляющие. одна из которых коллинеарна вектору перемещения Тогда

Составляющая работы не совершает, следовательно, работа силы равна работе составляющей и, таким образом,

Окончательно, работа силы, под действием которой материальная точка перемещается по отрезку прямой из положения В в положение С, вычисляется по формуле:

Замечание. Скалярным произведением векторов n-мерного пространстваназывается число равное произведению первого вектора, записанного строкой, на второй вектор, записанный столбцом. Таким образом, если

то

Несложной проверкой мы можем убедиться в том, что таким образом определенное скалярное произведение в обладает свойствами 2) — 4) скалярного произведения векторов на плоскости или в пространстве.

Длиной вектора называется число

Векторы называются ортогональными, если Векторы

составляют ортонормированный базис пространства , так как каждый из этих векторов имеет единичную длину и все они попарно ортогональны.

Любой вектор мы можем рассматривать как точку

n-мерного пространства с координатами

Взяв еще одну точку соответствующую вектору мы под расстоянием между точками М и N будем понимать длину вектора т. е. число

Таким образом переопределенное пространство с расстоянием (2) между точками мы будем называть евклидовым пространством, сохранив для него то же обозначение.

Совокупность точки О(0.0,…, 0) и ортонормированного базиса (1) называется декартовой системой координат евклидова пространства R». Точка 0(0,0,… ,0) называется, естественно, началом координат.

Векторное произведение векторов

Определение: Векторным произведением некоялинеарных векторов называется вектор такой, что

Из этого определения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна длине векторного произведения , т. е.

Сформулируем основные свойства векторного произведения.

Первые два свойства очевидным образом следуют из определения векторного произведения. Доказательство третьего ввиду его громоздкости мы приводить не будем.

Найдем формулу для вычисления векторного произведения в координатах. Пусть векторы и в ортонормированном базисе имеют координаты Учитывая, tito по определению векторного произведения

раскроем скобки в векторном произведении принимая во внимание свойства 1) — 3):

Полученный вектор мы можем записать в виде следующего символического определителя.

вычислять который удобно разложением по первой строке.

Пример №4

Найти составляющую вектора , ортогональную плоскости векторов .

Решение.

Из чертежа видно, что искомая составляющая представляет собой вектор проекции данного вектора на векторное произведение и, следовательно.

Переходим к вычислениям:

Тогда

Среди многочисленных приложений векторного произведения отметим его применение в механике при вычислении момента силы.

Итак, пусть сила приложена к материальной точке В. Моментом этой силы относительно неподвижной точки С называется вектор

Смешанное произведение векторов

Определение: Смешанным произведением трех векторов называется число

Выясним геометрический смысл смешанного произведения для тройки некомпланарных векторов.

По определению смешанного произведения

Поскольку — площадь параллелограмма, построенного на векторах (§4)

-высота параллелепипеда построенного на векторах то

— объем параллелепипеда. Таким образом, абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе , т.е. то учитывая формулы для вычисления скалярного и векторного произведений (§3, §4), получим:

Следовательно (глава I. §2, пункт 3, свойство 7)), в координатах смешанное произведение вычисляется по формуле:

Докажем, пользуясь этой формулой, некоторые свойства смешанного произведения.

что следует из свойства 4) определителя (глава I. §2, пункт 3). Таким образом, в смешанном произведении можно менять местами знаки скалярного и векторного произведения, и поэтому для него используется более короткое обозначение . которым мы и будем пользоваться в дальнейшем.

Эти свойства смешанного произведения также являются прямыми следствиями соответствующих свойств определителя.

Докажем еще одно, геометрическое свойство смешанного произведения.

Теорема. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. Докажем необходимость условия теоремы. Пусть векторы компланарны. Очевидно, что, если хотя бы один из них равен нулю, то и их смешанное произведение равно нулю. Если же все они ненулевые, то, ввиду их компланарности, векторное произведение ортогонально вектору с и, следовательно, . Аналогично проверяется достаточность условия теоремы.

Следствие. Три вектора образуют базис в том и только в том случае, когда их смешанное произведение отлично от нуля.

Заметим, кроме того, что, если , то угол между векторами -острый (тупой) и, следовательно, базис является положительно (отрицательно) ориентированным.

Пример №5

Доказать, что пять точек

расположены в одной плоскости.

Решение. Рассмотрим векторы Так как

то по доказанной выше теореме эти векторы компланарны и, стало быть. точки находятся в одной плоскости Аналогично покажем, что и точки также принадлежат одной плоскости . Действительно,

так как первая и третья строки в определителе пропорциональны. Плоскости имеют три общие точки , следовательно, они совпадают и, таким образом, все пять точек расположены в одной плоскости.

Векторы и линейные операции над ними

Определение: Вектором называется направленный отрезок (рис. 1).
А – начало, В – конец вектора
Рис. 1
Так как вектор определяется его началом и концом, то можно сформулировать эквивалентное данному определение.

Определение: Вектором называется упорядоченная пара точек.

Определение: Длина вектора – расстояние между его началом и концом.

Определение: Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаково направлены. При этом одинаково направленными называются векторы, лежащие на параллельных прямых и имеющие одинаковые направления.
Из этого определения следует, что точка приложения вектора значения не имеет, то есть вектор не изменяется, если его перемещать параллельно самому себе, сохраняя длину. Такие векторы называются свободными.
Если начало и конец вектора совпадают, он называется нулевым:
– нулевой вектор: его направление не определено, а длина .

Определение: Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых:
Так как направление нулевого вектора не определено, то он коллинеарен любому другому.

Определение: Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Нулевой вектор компланарен любой системе компланарных векторов.

Линейные операции над векторами

Линейными называются операции сложения векторов и умножения на число.

Сложение

а) Правило параллелограмма (рис.2): начала совмещаются в одной точке, и – диагональ параллелограмма, построенного на .

б) Правило треугольника (рис. 3): начало совмещается с концом направлен от начала к концу .

в) Правило сложения нескольких векторов (рис. 4).

Вектор замыкает ломаную линию, построенную таким образом: конец предыдущего вектора совмещается с началом последующего и направлен от начала к концу .

Умножение на число

Определение: Произведением вектора на число называется вектор , aудовлетворяющий условиям:
а)
б)

в) , если ,a если , если .

Произведение называется вектором, противоположным вектору . Очевидно,  .

Определение: Разностью называется сумма вектора и вектора, противоположного (рис. 5).

Начала совмещаются в одной точке, и направлен от конца к концу .

Свойства линейных операций

Определение: Результат конечного числа линейных операций над векторами называется их линейной комбинацией: – линейная комбинация векторов с коэффициентами

Пример №6

Пусть М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О – произвольная точка пространства. Представить как линейную комбинацию
(рис. 6).

. Так как точка пересечения медиан треугольника делит их в отношении 2:1, считая от вершины, то из правила параллелограмма следует, что
По правилу треугольника , то есть – линейная комбинация с коэффициентами

Теорема: Пусть – неколлинеарные векторы. Тогда любой компланарный с ними вектор c может быть представлен в виде

где коэффициенты (2.1) определяются единственным образом.
Представление вектора в виде (2.1) называется разложением его по двум неколлинеарным векторам.

Доказательство:

Пусть среди есть два коллинеарных, например:
Пусть среди коллинеарных нет, тогда совместим начала всех трех векторов в одной точке. Построим параллелограмм, диагональ которого совпадает с , а стороны параллельны прямым, на которых лежат (рис. 7).

Тогда c но Поэтому

Докажем единственность разложения. Предположим, что и Тогда, вычитая одно равенство из другого, получим:

Если , что противоречит условию. Теорема доказана.

Теорема: Пусть – некомпланарные векторы. Тогда любой вектор может быть представлен в виде

причем единственным образом.
Представление вектора в виде (2.2) называется разложением его по трем некомпланарным.
Доказать самостоятельно.

Проекция вектора на ось

Проекция вектора на ось — это скалярная величина (число), равная длине геометрической проекции вектора, если направление оси и геометрической проекции совпадают; или число, противоположное длине геометрической проекции вектора, если направления геометрической проекции и оси — противоположные.

Координаты вектора

Осью называется направленная прямая.

Определение: Ортом оси называется единичный вектор
направление которого совпадает с направлением оси.

Определение: Ортогональной проекцией точки М на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из М на .

Определение: Ортогональной проекцией вектора на ось называется длина отрезка этой оси, заключенного между ортогональными проекциями его начала и конца, взятая со знаком «+», если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком «–», если эти направления противоположны (рис. 8).

Определение: Углом между вектором и осью называется угол, на который нужно повернуть в положительном направлении ось до совпадения ее направления с направлением вектора (положительным считается поворот против часовой стрелки).

Очевидно, проекцию вектора на ось можно найти по формуле

Можно показать, что проекция линейной комбинации векторов равна та-
кой же линейной комбинации их проекций:

В частности, проекция суммы векторов равна сумме их проекций:

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат ХОY. Обозначим – орт оси ОХ, – орт оси OY. Выберем точку A , и пусть x, y – проекции ее на ОХ и OY,то есть координаты этой точки (рис. 9).

Аналогично в пространственной системе OXYZ – орты координатных осей) (рис. 10):

– разложение по ортам координатных осей (единственно по теореме 2).

Таким образом, если задана прямоугольная декартова система координат (пдск), то со всяким пространственным вектором можно связать три числа x,y,z (или два числа x, y, если вектор плоский), которые являются коэффициентами разложения этого вектора по ортам координатных осей, а также являются проекциями этого вектора на координатные оси.

Определение: Координатами вектора в любой пдск называются коэффициенты в разложении этого вектора по ортам координатных осей.

Таким образом, можно дать еще одно определение вектора.

Определение: Вектором называется упорядоченная тройка чисел (упорядоченная пара, если вектор плоский).

Пример №7

Если и наоборот, если

Так как, с одной стороны, вектор – объект, имеющий длину и направление, а с другой, – упорядоченная тройка чисел, то, зная длину и направление, можно определить его координаты и наоборот. Направление вектора в заданной системе координат характеризуется его направляющими косинусами (рис. 11):

Из этих формул очевидно следует основное свойство направляющих косинусов:

Если известны длина и направляющие косинусы вектора, то его координаты вычисляются по формулам:

Пусть AB – произвольный вектор в системе OXYZ, OA,OB – радиус-векторы его начала и конца,

Тогда

(см. свойства линейных операций над векторами). Таким образом,, то есть для определения координат вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Определение: Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (рис. 13).

Если – базис, то – другой базис, так как изменился порядок следования векторов.

Определение: Базис называется прямоугольным декартовым, если базисные векторы взаимно перпендикулярны и длина каждого равна 1.
Такой базис принято обозначать
Из теоремы 2 следует, что всякий вектор может быть разложен по базису , то есть представлен в виде: . Числа x,y,z называются координатами в базисе .

Определение: Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Если – базис, то представление вектора в виде называется разложением по базису и x, y – координаты в этом базисе.

Определение: Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор этой прямой.

Деление отрезка в данном отношении

Рассмотрим задачу: дан отрезок AB . Найти точку D , которая делит AB в заданном отношении (рис. 14).

Введем прямоугольную декартову систему координат (пдск) OXYZ, тогда

Обозначим

Так как (лежат на одной прямой) и то

Переходя от этого векторного равенства к равенству соответствующих координат, получим:

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если D – середина отрезка AB , то k 1, поэтому

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если k < 0, , то точка D лежит за пределами AB : так как , то при

В этом случае

Скалярное произведение векторов

Определение: Скалярным произведением векторов называется скаляр (число), равный

Скалярное произведение обозначается так: или

Так как (рис. 16) или то

Свойства скалярного произведения

1. – очевидно из определения.
2.

Доказательство:

а) – очевидно.

б)

в) В этом случае

4.
Отсюда следует, что
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

Доказательство:
а) пусть
б) пусть
В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор. Его направление не определено, поэтому можно считать, что . В третьем случае
Используя свойства 4 и 5, составим таблицу вычисления скалярного произведения базисных векторов

Пусть в некоторой пдск . Найдем скалярное произведение этих векторов:

Таким образом,

Пример №8

Найти, при каком значении x векторы перпендикулярны.
Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (свойство 5), поэтому найдем скалярное произведение по формуле (2.5):

Пример №9

Найти угол между биссектрисой AD и медианой если
Так как
то
Найдем координаты векторов . Точка M – середина BC , поэтому по формулам (2.4)
По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника
Чтобы найти k , вычислим длины AC и AB :

Разделим отрезок CB в данном отношении по формулам (2.3):

отсюда
Заметим, что . Это замечание позволит нам не иметь дело с дробями, так как

Пример №10

Найти
Воспользуемся свойствами 1–4 скалярного произведения:

Отсюда

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как работа силы по перемещению материальной точки вдоль вектора вычисляется по формуле

Определение векторного произведения векторов

Определение: Тройка некомпланарных векторов , имеющих общее начало, называется правой (левой), если конца третьего вектора c вращение первого вектора ко второму вектору по кратчайшему пути наблюдается против (по) часовой стрелки (рис. 17).

Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, удовлетворяющий условиям:

( перпендикулярен плоскости векторов и ).
Направление таково, что тройка– правая.

Векторное произведение обозначается так:

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Геометрический смысл векторного произведения: длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Это следует из того, что площадь параллелограмма равна произведению длин смежных сторон на синус угла между ними.
Заметим, что

Таким образом, длину вектора векторного произведения можно вычислить с помощью скалярного произведения по формуле

Пример №11

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

По формуле (2.7):

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Направление вектора можно также (кроме п.2) определить по правилу винта: направление вектора совпадает с направлением поступательного движения винта в правой резьбой при вращении его в сторону поворота первого вектора ко второму вектору по кратчайшему пути (рис. 19).

Свойства векторного произведения

Доказательство:
а)пусть или . В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор.
Его направление не определено, поэтому можно считать, что . Если
б)пусть

Доказательство: По определению направления векторов и противоположны, а модули равны, значит, векторы отличаются лишь знаком.

3. – свойство линейности векторного произведения по первому сомножителю (без доказательства).
Векторное произведение также линейно и по второму сомножителю.

Используя определение и свойства 1 и 2, составим таблицу вычисления векторного произведения базисных векторов : векторы, стоящие в левом столбце, умножаются на соответствующие векторы верхней строки (рис. 20).

Пусть в некоторой пдск . Найдем векторное произведение этих векторов:

Заметим, что это выражение можно получить, вычислив символический определитель (сделать это можно по-разному, но лучше разложить по первой строке):

Таким образом,

Пример №12

Вычислить векторное произведение векторов
По формуле (2.8):
Заметим, что площадь треугольника, построенного на векторах , можно вычислить двумя способами: как половину длины найденного вектора или используя формулу (2.7). Заметим, что

или

Пример №13

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
Так как , то вычислим векторное произведение, используя его свойства:
Отсюда

Определение смешанного произведения векторов

Определение: Смешанным произведением векторов называется число – скалярное произведение a на векторное произведение
Смешанное произведение обозначается так:

Пусть в некоторой пдск
Обозначим

Тогда

по 7 свойству определителей.
Таким образом,


По определению скалярного произведения
Совместим начала всех трех векторов в одной точке. Тогда (рис. 21)
– площадь параллелограмма,
– высота параллелепипеда,
– объем параллелепипеда.

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях, при этом – правая тройка, и – левая тройка.

Свойства смешанного произведения

1. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения: компланарны

Доказательство: а) компланарны
Если компланарны, то на них нельзя построить параллелепипед, а потому
б)компланарны.

Во всех трех случаях компланарны: в частности, если параллелен плоскости векторов , что означает их компланарность.

2. Круговая перестановка сомножителей в смешанном произведении не изменяет его величины. Перестановка соседних сомножителей изменяет его знак, не изменяя абсолютной величины:

Доказательство следует из формулы (2.9) и свойства 3 определителей, при этом круговая перестановка сомножителей соответствует двойной перемене строк в определителе, а потому оставляет его неизменным.

3. В смешанном произведении векторное и скалярное произведения можно менять местами:

Доказательство: из свойства 2 смешанного произведения и свойства 1 скалярного получим:

4. Смешанное произведение линейно по каждому из трех сомножителей.
– линейность по первому сомножителю.

Доказательство следует из формулы (2.9) и свойств определителей.

Пример №14

Найти объем тетраэдра, построенного на векторах
, и его высоту, перпендикулярную плоскости векторов .
Объем тетраэдра в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на этих векторах, поэтому

Отсюда (заметим, что – левая тройка, так как смешанное произведение отрицательно).
Чтобы найти высоту, воспользуемся формулой

По формуле (2.7)

Лекции по предметам:

Математика
Алгебра
Линейная алгебра
Геометрия
Аналитическая геометрия
Высшая математика
Дискретная математика
Математический анализ
Теория вероятностей
Математическая статистика
Математическая логика

Источник

Линейные операции над векторами в координатной форме

Равенство векторов и линейные операции (сложение векторов и умножение вектора на число) удобно представлять в координатной форме. При этом справедливы следующие свойства.

1. Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том же базисе).

2. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на соответствующую координату вектора.

4. Каждая координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации соответствующих координат векторов.

Докажем, например, последнее свойство. Проекция линейной комбинации векторов на прямую, содержащую базисный вектор $vec{e}_1$ , равна линейной комбинации проекций векторов (составляющих линейную комбинацию) на эту прямую. Поэтому абсцисса линейной комбинации векторов равна линейной комбинации абсцисс этих векторов. Аналогичное рассуждение справедливо для ординат и аппликат.

Замечания 1.7

1. Основные теоремы 1.3-1.5 о разложении вектора по базису устанавливают взаимно однозначное соответствие между множеством векторов пространства и множеством их координат в данном базисе. А именно, между векторами на прямой и действительными числами, между векторами на плоскости и упорядоченными парами чисел, между векторами пространства и упорядоченными тройками чисел. Например, при фиксированном базисе $(vec{e})=(vec{e}_1,vec{e}_2,vec{e}_3)$ вектору $vec{a}=x_1vec{e}_1+x_2vec{e}_2+x_3vec{e}_3$ однозначно соответствует упорядоченная тройка чисел x_1,x_2,x_3 , и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует вектор $vec{a}=x_1vec{e}_1+x_2vec{e}_2+x_3vec{e}_3$ , т.е. $vec{a}mathop{leftrightarrow}_{(vec{e})}(x_1,x_2,x_3)$ . В частности, если вектор vec{a} в базисе $(vec{e})=(vec{e}_1,vec{e}_2,vec{e}_3)$ имеет разложение $vec{a}=2vec{e}_1-3vec{e}_2+4vec{e}_3$ , то этому вектору соответствует тройка чисел (2;-3;4) и наоборот. Нулевому вектору в любом базисе в пространстве соответствует нулевая тройка (0;0;0) .

2. Взаимно однозначное соответствие

(вектор) leftrightarrow (его координаты)

сохраняет линейные операции: сумме векторов соответствует сумма их одноименных координат, произведению вектора на число соответствует произведение его координат на это число. Такое взаимно однозначное соответствие называется изоморфизмом.

3. На практике координаты векторов удобно представлять в виде матриц-столбцов (или матриц-строк), которые называются координатными столбцами (координатными строками).

В базисе $(vec{e})=(vec{e}_1,vec{e}_2,vec{e}_3)$ вектору $vec{a}=x_1vec{e}_1+x_2vec{e}_2+x_3vec{e}_3$ соответствует координатный столбец $mathop{a}_{(vec{e})}=begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3end{pmatrix}$ .

Обозначение базиса (vec{e}) можно не указывать, если не может возникнуть неоднозначности. Линейным операциям над векторами соответствуют линейные операции над их координатными столбцами. Например, если в одном и том же базисе (vec{e}) векторам vec{a} и vec{b} соответствуют координатные столбцы и , то их линейной комбинации vec{c}=alphacdotvec{a}+betacdotvec{b} соответствует координатный столбец c=alphacdot a+betacdot b , т.е. координатный столбец линейной комбинации векторов равен линейной комбинации координатных столбцов.

Пример 1.10. Векторы vec{a} и vec{b} относительно базиса $vec{e}_1,vec{e}_2,vec{e}_3$ имеют координаты: 2;0;-3 и 4;2;-1 . Требуется найти координаты векторов vec{a}+vec{b},,vec{a}-vec{b},,3cdotvec{a}+2cdotvec{b} относительно того же базиса.

Решение. Запишем разложения по базису заданных векторов:

$vec{a}=2cdotvec{e}_1+0cdotvec{e}_2-3cdotvec{e}_3;qquad vec{a}=4cdotvec{e}_1+2cdotvec{e}_2-1cdotvec{e}_3$

Используя свойства линейных операций, находим разложения по базису $vec{e}_1,vec{e}_2,vec{e}_3$ искомых векторов:

$begin{aligned} vec{a}+vec{b}&=(2+4)cdotvec{e}_1+(0+2)cdotvec{e}_2+(-3-1)cdotvec{e}_3=6cdotvec{e}_1+2cdotvec{e}_2-4cdotvec{e}_3;\[4pt] vec{a}-vec{b}&=(2-4)cdotvec{e}_1+(0-2)cdotvec{e}_2+(-3+1)cdotvec{e}_3=-2cdotvec{e}_1-2cdotvec{e}_2-2cdotvec{e}_3;\[4pt] 3cdotvec{a}+2cdotvec{b}&=3cdotbigl(2cdotvec{e}_1+0cdotvec{e}_2-3cdotvec{e}_3bigl)+2cdotbigl(4cdotvec{e}_1+2cdotvec{e}_2-1cdotvec{e}_3bigl)=\[2pt] &=14cdotvec{e}_1+4cdotvec{e}_2-11cdotvec{e}_3. end{aligned}$

Следовательно, векторы vec{a}+vec{b},,vec{a}-vec{b},,3cdotvec{a}+2cdotvec{b} имеют координаты: (6;2;-4),~(-2;-2;-2),~(14;4;-11) соответственно.

Вычислим искомые координаты, используя матричную форму записи (см. пункт З замечаний 1.7). Векторам vec{a} и vec{b} (в заданном базисе) соответствуют координатные столбцы

$a=begin{pmatrix}2\0\-3end{pmatrix}!,qquad b=begin{pmatrix}4\2\-1end{pmatrix}$

Находим координатные столбцы векторов vec{a}+vec{b},,vec{a}-vec{b},,3cdotvec{a}+2cdotvec{b}

$begin{gathered}a+b=begin{pmatrix}2\0\-3end{pmatrix}+begin{pmatrix}4\2\-1end{pmatrix}=begin{pmatrix}6\2\-4end{pmatrix}!;qquad a+b=begin{pmatrix}2\0\-3end{pmatrix}-begin{pmatrix}4\2\-1end{pmatrix}=begin{pmatrix}-2\-2\-2end{pmatrix}!;\[4pt]3a+2b=3!begin{pmatrix}2\0\-3end{pmatrix}+2!begin{pmatrix}4\2\-1end{pmatrix}=begin{pmatrix}14\4\-11end{pmatrix}!.end{gathered}$

Как видим, результаты совпадают.

Пример 1.11. Известны разложения векторов $vec{a}=2vec{e}_1-vec{e}_2$ ; $vec{b}=vec{e}_1+2vec{e}_2$ ; $vec{c}=-4vec{e}_1+2vec{e}_2$ относительно базиса $vec{e}_1,,vec{e}_2$ на плоскости.

Разложить вектор vec{d} : а) по векторам vec{a} и vec{b} ; б) по векторам vec{a} и vec{c} .

Решение. а) Требуется представить вектор vec{d} в виде линейной комбинации векторов vec{a} и vec{b} : vec{d}=alphavec{a}+betavec{b} . Подставим в это равенство заданные разложения векторов: $7vec{e}_1+4vec{e}_2=alphabigl(2vec{e}_1-vec{e}_2bigl)+betabigl(vec{e}_1+2vec{e}_2bigl).$ . Приводя подобные члены в правой части, имеем $7vec{e}_1+4vec{e}_2=bigl(2alpha+betabigl)+bigl(-alpha+2beta)vec{e}_2.$ . Так как обе части равенства это разложения равных векторов по одному и тому же базису, то можно приравнять соответствующие координаты.

Получим систему уравнений $begin{cases} 7=2alpha+beta,\ 4=-alpha+2beta. end{cases}$

Решая систему, находим alpha=2,~beta=3 , т.е. vec{d}=2vec{a}+3vec{b} — искомое разложение.

б) Требуется представить вектор vec{d} в виде линейной комбинации векторов vec{a} и vec{c} : vec{d}=alphavec{a}+betavec{c} . Запишем это равенство в матричной форме d=alpha,a+beta,c , заменив векторы их координатными столбцами:

$begin{pmatrix}7\4end{pmatrix}=alpha!begin{pmatrix}2\-1end{pmatrix}+beta!begin{pmatrix}-4\2end{pmatrix},$ которое равносильно системе уравнений $begin{cases}7=2alpha-4beta,\4=-alpha+2beta.end{cases}$ .

Эта система не имеет решения (прибавив к первому уравнению удвоенное второе, получим неверное равенство 15=0 ). Следовательно, вектор vec{d} нельзя разложить по векторам vec{a} и vec{c} (заметим, что векторы vec{a} и vec{c} коллинеарны (vec{c}=-2vec{a}) , а вектор vec{d} не коллинеарен им).

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

§2 Линейная комбинация векторов

Содержание

Линейные комбинации векторов в пространстве

Линейные комбинации векторов

Линейная зависимость двух векторов

Линейная зависимость трех векторов

Линейная зависимость четырех векторов

Базис в пространстве, на плоскости и на прямой

См. также

Литература

Векторная алгебра

Векторы и линейные операции над ними

Базис и декартова система координат

Скалярное произведение векторов

Векторное произведение векторов

Смешанное произведение векторов

Векторы и линейные операции над ними

Линейные операции над векторами

Сложение

Умножение на число

Свойства линейных операций

Проекция вектора на ось

Координаты вектора

Деление отрезка в данном отношении

Скалярное произведение векторов

Свойства скалярного произведения

Определение векторного произведения векторов

Свойства векторного произведения

Определение смешанного произведения векторов

Свойства смешанного произведения

Линейные операции над векторами в координатной форме

Не пропустите также: