Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности
Этот калькулятор проверяет, является ли введенное уравнение общим уравнением окружности, и вычисляет координаты центра и радиуса окружности, если это возможно. Описание способа решения подобных задач находится под калькулятором
Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности
Уравнение НЕ является общим уравнением окружности
Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду
Калькулятор выше можно применять для решения задач на уравнение окружности. Чаще всего вы имеете дело с уравнением окружности, выраженном в так называемом стандартном виде
Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности — это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности — это будет квадратный корень из правой части уравнения.
Однако, если возвести в квадрат выражения в скобках и перенести правую часть налево, то уравнение станет выглядеть примерно так:
Это — уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.
Способ решения такого рода задач следующий:
Перегруппируем слагаемые уравнения
Как видим, выражение в конце это уравнение окружности в стандартном виде, из которого уже легко получить и координаты центра окружности и ее радиус. Если же справа получилось отрицательное число — значит заданное вначале уравнение не является уравнением окружности (бывают задачи и на такую проверку). Калькулятор тоже проверяет это условие.
Для решения обратной задачи — нахождения общего уравнения окружности по координатам центра и радиусу — можно использовать калькулятор Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах
Найти радиус сферы
Сфера — геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на равном расстоянии от центра. Это расстояние называется радиусом сферы. Формула радиуса сферы:
где V — объем сферы
где S — площадь сферы
Решили сегодня: раз, всего раз
Другие онлайн калькуляторы
Вы поняли, как решать? Нет?
Теоретический материал
Рассчитайте цену решения ваших задач
Калькулятор
стоимости
Решение контрольной
300-600 рублей —> от 300 рублей *
* Точная стоимость будет определена после загрузки задания для исполнителя
Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.
«Сегодня от своего лица хочу поблагодарить этот сайт за помощь мне с учебой. Здесь я пользовалась не только материалами, но и нашла преподавателей которые решали мне задачи.
Если тебе нужно что-то сделать в универе, я сама рекомендую. А также пользуйся моей ссылкой и получай 300 руб. на счёт при регистрации.»
Найдите координаты центра и радиус сферы. ГДЗ, задача 578, Геометрия, 10-11 класс, Атанасян Л.С.
Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) х 2 + у 2 + z 2 = 49; б) (х — 3) 2 + (у + 2) 2 + z 2 = 2.
а) х 2 +у 2 + z 2 = 49.
(х-х0) 2 +(у-y0) 2 +(z-z0) 2 = R 2 , где R — радиус сферы, (х0;у0;z0)
— координаты точки С, центра сферы. В нашем случае
х-х0 =х; у-у0 =у: z-z0 =z, поэтому х0 = 0; у0 = 0, z0=0. a R = √49 = 7. Координаты центра (0;0;0), радиус: 7.
б)(x-x0) 2 +(y-y0) 2 +x 2 =2
(x-x0) 2 +(y-y0) 2 +(z-z0) 2 = R 2 , х-3 = х-х0, х0 =3;
у+2. = у-у0, у0 = -2; z-z0=z, zо=0; 2 = R 2 , R = √2
Координаты центра: (3;-2;0), радиус: √2.
http://www.webmath.ru/web/radius-sfery.php
http://class.rambler.ru/temy-gdz/naydite-koordinaty-centra-i-radius-sfery-gdz-zadacha-578-geometriya-10-11-klass-atanasyan-l-s-25461.htm
Сфера, Уравнение сферы
уравнение поверхности второго порядка
Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени.
[x^2+y^2+z^2=R^2]
(R — радиус сферы)
Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.
[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2]
(R — радиус сферы; a, b, c — смещение центра сферы относительно центра координат)
Построить поверхность сферы в 3D
Оформление поверхности Цвет поверхности Толщина Цвет |
||||
|
Добавить ячейку |
Расположение
На одном
На разных
Число Колонок
1
1
2
3
4
Позиция камеры
Азимут °
40
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
Подъем °
40
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
Расстояние
10
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Офрмление
Цветовую шкалу
Спрятать
Показать
Спрятать
Построить
нажмите кнопку для расчета
Сфера, Уравнение сферы |
стр. 154 |
|---|
Урок «Сфера. Уравнение сферы»
Краткое описание документа:
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Продолжаем изучение сферы.
На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.
Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка — центр сферы.
Заданное расстояние — радиус сферы.
Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.
Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.
Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.
1.Рассмотрим сферу радиуса R и с центром С(x0; y0; z0).
2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С( x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.
3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть
4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.
5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром
С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:
Применим полученные знания при решении задач.
Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).
1.Запишем уравнение сферы с центром
А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:
2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в данное уравнение:
Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:
3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:
Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:
Сфера задана уравнением:
1) Найти координаты центра и радиус сферы;
2) Найти значение m, при котором точки
А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.
1. Уравнение данной сферы имеет вид:
x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4
Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:
x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4
Уравнение примет вид:
x2+( y+1)2+( z-2)2-5=4 или
Таким образом, центр сферы имеет координаты:
О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3
2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:
Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:
Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:
Таким образом, мы получили 4 значения m:
Несложно проверить, что при m=-4 и m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.
Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением
x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке
О (0;-1;2) и радиусом R=3.
—> —>
| Инфоурок |
| 07.11.2014 |
| Геометрия |
| Видеоурок |
| 51611 |
| 1003 |
АвторДата добавленияРазделПодразделПросмотровНомер материала
© 2022 Проект «Уроки математики»
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.
Сфера, шар, сегмент и сектор. Формулы и свойства сферы
Формула. Объём шара:
| V = | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
| 3 | 6 |
S = 4 π R 2 = π D 2
Уравнение сферы
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
( x — x 0) 2 + ( y — y 0) 2 + ( z — z 0) 2 = R 2
Основные свойства сферы и шара
Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
d m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:
m r такого круга можно найти по формуле:
где R — радиус сферы (шара), m — расстояние от центра шара до секущей плоскости.
Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
Формула. Объём сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:
S = π R(2 h + √ 2 h R — h 2 )
Формула. Объём сектора V с высотой O1H (h) через радиус шара OH (R):
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Геометрия. 11 класс
Конспект урока
Геометрия, 11 класс
Урок №8. Сфера и шар
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
- что такое шар и его элементы;
- уравнение сферы;
- формула для нахождения площади поверхности сферы;
- взаимное расположение сферы и плоскости;
- теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.
Глоссарий по теме:
Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.
Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.
– уравнение сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0).
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.
Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.
Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.
Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Основные теоретические факты
По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.
Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R
Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.
Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.
Сферу можно получить ещё одним способом — вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.
2. Уравнение сферы
Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.
Пусть сфера имеет центром точку С (x0; y0; z0) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:
МС=
Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС 2 =R 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:
.
Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x0; y0; z0).
3. Взаимное расположение сферы и плоскости
Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.
1. Пусть d
R. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.
2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.
3. Пусть d
R. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.
Рассмотрим случай касания более подробно.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.
Теорема (свойство касательной плоскости).
Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Теорема (признак касательной плоскости):
Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
4. Основные формулы
Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:
Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:
S=4πR 2 – площадь сферы.
S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.
– площадь поверхности сектора с высотой h.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.
Площадь круга вычисляется по формуле: Sкр=πR 2 .
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: Sсф=4πR 2 . Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.
2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.
Площадь сферы равна Sсф=4πR 2 . То есть Sсф=100π.
По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r 2 =100, то есть r=10.
3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15
Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.
Найдем ее радиус.
Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:
С другой стороны, S=p·r.
Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.
4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.
Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.
Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.
источники:
http://ru.onlinemschool.com/math/formula/sphere/
http://resh.edu.ru/subject/lesson/4034/conspect/
Сфера в геометрии — элементы, формулы, свойства с примерами
Сферой называется поверхность, полученная вращением окружности вокруг какого-либо ее диаметра (рис. 180). Центр этой окружности называется центром сферы.
Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы, отрезок, соединяющий две точки сферы, — хордой сферы, а хорда, которой принадлежит центр сферы, — диаметром сферы (рис. 181).
Из определения сферы следует, что все ее точки равноудалены от центра сферы. Поэтому все радиусы сферы равны друг другу.
Теоремы
Теорема 1.
Сечение сферы плоскостью есть окружность, центр которой совпадает с основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы на секущую плоскость.
Доказательство:
Пусть сфера с центром 
Пусть 
и 
— произвольные точки линии пересечения сферы с плоскостью 
. Треугольники 
и 
оба прямоугольные, так как отрезок 
перпендикулярен плоскости , а значит, и отрезкам 
и 
лежащим в этой плоскости.
Отрезок 
является общим катетом, а гипотенузы этих треугольников равны как радиусы сферы. Поэтому треугольники 
и 
равны друг другу, а значит, 
Получили, что любые две точки линии пересечения сферы плоскостью 
равноудалены от основания 
перпендикуляра, опущенного из центра сферы на эту плоскость. Значит, эта линия является окружностью с центром 
.
Следствие. Радиус 
сечения сферы плоскостью удовлетворяет условию 
где 
— радиус сферы.
Сечение имеет наибольший радиус 
если секущая плоскость проходит через центр сферы, это сечение называют большой окружностью, а ограниченный ею круг — большим кругом.
Плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку, называется касательной плоскостью сферы. Общая точка сферы и касательной плоскости называется точкой касания.
Прямая касательной плоскости сферы, проходящая через точку касания, имеет со сферой единственную общую точку. Такая прямая называется касательной прямой сферы.
Теорема 2.
Касательная плоскость сферы перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Доказательство:
Пусть плоскость 
касается сферы с центром 
в точке 
(рис. 183). Пусть 
— произвольная точка плоскости , отличная от точки . Через точки , , проведем плоскость 
, она по теореме 1 пересекает сферу по окружности. По отношению к этой окружности прямая 
является касательной, так как точка — их единственная общая точка. По свойству касательной к окружности радиус 
перпендикулярен прямой . Таким образом, радиус перпендикулярен любой прямой , проведенной в плоскости а через ее точку . Значит, радиус перпендикулярен плоскости .
Теорема 3.
Если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то она является касательной плоскостью сферы.
Доказательство:
Пусть плоскость 
проходит через точку 
сферы и перпендикулярна радиусу 
(рис. 184). Пусть 
— произвольная точка плоскости , отличная от точки . Треугольник 
прямоугольный с гипотенузой 
, и она длиннее катета. Поэтому точка расположена вне сферы. Получается, что любая точка плоскости , кроме точки , не принадлежит сфере. Значит, точка — единственная общая точка плоскости и сферы, а поэтому плоскость является касательной плоскостью сферы.
Теоремы 2 и 3 выражают соответственно свойство и признак касательной плоскости сферы.
Теорема 4.
Две сферы пересекаются по окружности, плоскость которой перпендикулярна прямой, проходящей через центры сфер.
Доказательство:
Пусть имеются две пересекающиеся сферы с центрами 
и 
, и 
— какая-либо их общая точка (рис. 185). Через точку 
проведем плоскость 
, перпендикулярную прямой 
. Пусть эта плоскость пересекает прямую 
в точке 
. В соответствии с теоремой 1 плоскость пересекает одну и другую сферы по окружности с центром . Получили, что окружность с центром является общей окружностью данных сфер.
Других общих точек данные окружности не имеют. Допустим, что это не так. Пусть 
— какая-либо общая точка сфер, не принадлежащая окружности с центром . Через точки , и проведем плоскость, которая пересечет сферы по окружностям с центрами и . Эти окружности пересекаются в двух точках, которые принадлежат окружности с центром , и вместе с этим им обеим принадлежит точка .
Но это противоречит утверждению о том, что две окружности имеют не более двух общих точек.
Прежде чем доказывать утверждение о поверхности сферы, обобщим утверждения о боковых поверхностях конуса, усеченного конуса и цилиндра.
Теорема 5.
Боковая поверхность конуса, усеченного конуса, цилиндра равна боковой поверхности цилиндра с той же высотой и радиусом основания, равным длине перпендикуляра, соединяющего середину образующей с точкой на оси этого тела.
Доказательство:
Пусть есть конус с вершиной 
, основанием которого является круг с центром 
. Пусть 
— осевое сечение конуса (рис. 186). В плоскости 
к образующей 
из ее середины 
возведем перпендикуляр, который пересечет ось 
в некоторой точке 
. Прямоугольные треугольники и 
подобны, так как у них угол при вершине общий. Поэтому 
или 
или 
Отсюда 
С учетом этого для боковой поверхности 
конуса будем иметь:
Пусть есть усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции 
со средней линией 
вокруг боковой стороны 
которая перпендикулярна основаниям 
и 
, отрезок 
— проекция 
на основание 
(рис. 187).
В плоскости 
к образующей 
усеченного конуса из ее середины 
возведем перпендикуляр, который пересечет ось 
в некоторой точке 
. Прямоугольные треугольники 
и 
подобны, так как их стороны попарно перпендикулярны. Поэтому 
Отсюда 
С учетом этого для боковой поверхности усеченного конуса будем иметь:
Для цилиндра утверждение очевидно (рис. 188).
Теорема 6.
Поверхность сферы равна учетверенной площади большого круга:
Доказательство:
Пусть есть сфера, образованная вращением полуокружности 
вокруг своего диаметра (рис. 189). Впишем в эту дугу ломаную 
с равными звеньями и из точек 
опустим перпендикуляры 
на диаметр . Пусть 
— середины звеньев ломаной. Тогда 
— серединные перпендикуляры к этим звеньям. При вращении вокруг звенья ломаной будут описывать или конусы, или усеченные конусы, или цилиндр. Поэтому, в соответствии с теоремой 5, для образовавшейся поверхности 
получим
Учтем, что отрезки 
все равны друг другу:
Пусть радиус сферы равен 
. Тогда 
. Будем неограниченно увеличивать количество звеньев ломаной. Тогда отрезок 
будет стремиться к радиусу сферы, а выражение 
— к выражению 
т. е. к выражению 
Этот предел и принимается в качестве площади поверхности сферы.
Учитывая, что 
выражает площадь большого круга, получим, что поверхность сферы равна учетверенной площади большого круга.
Уравнение сферы
Определение: Сферой радиуса R называется множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки (центра) равно R.
Выведем уравнение сферы. Пусть 
— центр сферы радиуса 
— произвольная точка, лежащая на этой сфере (рис. 204). Тогда СМ = R. По формуле расстояния между двумя точками имеем
Приравнивая это выражение R, получим уравнение сферы
Если центр сферы совпадает с началом координат, то х0 = 0, у0 = 0, 
= 0 и уравнение сферы принимает вид
Пример:
Определить координаты центра и радиус сферы
Решение:
Объединяя члены, содержащие одноименные текущие координаты, и дополняя их до полных квадратов, будем иметь
Следовательно, центр сферы находится в точке 
и радиус ее
Заметим, что совокупность
уравнений сферы и плоскости определяет окружность, по которой пересекаются плоскость и сфера (если это множество не пусто). В частности, если 
, то совокупность этих уравнений изображает окружность большого круга.
Уравнение окружности можно также писать в параметрическом виде.
Пример:
Написать параметрические уравнения меридиана сферы
проходящего через полюсы 
и 
, если плоскость меридиана образует угол а с координатной плоскостью Охг (рис. 205).
Решение:
За параметр текущей точки 
меридиана примем угол 
— широту этой точки, где 
— проекция точки М на координатную плоскость Оху . Так как 
, то из рис. 205 имеем
где 
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Уравнение сферы
Определение. Сферой называется множество всех точек, расположенных на расстоянии 
от заданной точки 
. Точка 
называется центром сферы, — радиусом сферы.
Если точка 
— произвольная точка сферы, то по формуле расстояния между двумя точками имеем:
Это уравнение сферы с центром в точке и радиусом .
Если центр сферы находится в начале координат, то уравнение сферы радиуса имеет вид: 
Как видно из рисунка, пересечение этой сферы с координатной плоскостью 
является ее большой окружностью.
Задача пример №47
Запишите уравнение сферы, радиус которой равен 
, а центр расположен в точке 
.
Решение:
Задача пример №48
Представьте фигуру, которая получается при пересечении сферы 
с плоскостью 
.
Решение:
радиус сферы 
. Учитывая в уравнении сферы, что получим : 
; 
Пересечение плоскости и данной сферы является окружность с центром в точке (0; 0; 12) и радиусом .
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется плоскостью, касательной к сфере.
Например, плоскость 
касается сферы 
в точке (0;0;13). Плоскость, касательная к сфере, в точке касания перпендикулярна радиусу сферы.
Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:
Математика: полный курс решений задач в виде лекций
Другие темы которые вам помогут понять математику:
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Координаты на сфере
Положение точки на сфере удобнее всего задавать так, как это делается в географии. На данной сфере радиуса R выберем какие-нибудь две диаметрально противоположные точки, одну из них N назовем условно северным полюсом, другую S — южным. Какой-нибудь из «меридианов» (кратчайший путь по сфере из S в N) назовем начальным меридианом; проходящую через центр О сферы и перпендикулярную оси SN плоскость назовем экваториальной, а пересечение ее со сферой — экватором, на экваторе изберем направление, скажем против часовой стрелки, если смотреть из N. Положение любой точки М на сфере определяется двумя координатами, одна из них, назовем ее долготой,—угол φ между плоскостью начального меридиана и плоскостью, проходящей через М и ось SN (угол должен отсчитываться в направлении, соответствующем выбранному на экваторе). Широтой точки М будем называть угол θ между радиусом ОМ и плоскостью экватора ( θ считается положительным для точек северного полушария и отрицательным для южного). Будем писать: М < φ ; θ >, ставя на первое место долготу, на второе — широту.
Пример. Проверьте правильность координатного обозначения точек на рис. 21.
Все точки с одинаковой долготой φ 0 заполняют меридиан, уравнение которого поэтому φ = φ 0. Все точки с одинаковой широтой θ 0 заполняют параллель θ = θ 0. Уравнение, связывающее текущие координаты φ и θ , определяет, как и в плоской геометрии, кривую; неравенство, соответствующее этому уравнению, определяет одну или несколько областей, на которые эта кривая разделяет сферу. Так, неравенство θ < 0 определяет южную полусферу, θ >0—северную; θ =0 есть уравнение экватора. Если сферу отнести к декартовым координатам в пространстве, приняв центр О сферы за начало, ось SN — за ось z, ось х направив через точку <0; 0>, ось у — через<90°; 0>, то декартовы координаты х, y, z любой точки М сферы легко выразить через долготу и широту этой точки. Для этого выразим сначала координаты ее проекции М1на плоскость Оху, где обычным образом расположим полярную систему координат. Из рис. 21 видно, что для М1(х; у; 0) полярный радиус r=Rcos θ , а полярный угол φ совпадает с долготой точки М. Кроме того,
z=Rsin θ . Приняв во внимание формулы (11), получим:
По этим формулам вычисляют декартовы координаты точки М (х; у; z), если известны ее координаты φ и θ на сфере.
На эти же формулы можно взглянуть и с другой точки зрения. Будем считать со и 6 переменными, придавая им всевозможные значения в естественных пределах 0 ≤ φ <360°, -90° ≤ θ≤ +90°; тогда точка М< φ ; θ > будет перемещаться по сфере, занимая всевозможные положения. Это напоминает параметрические уравнения линии, в которых декартовы координаты х, y, z выражены через один переменный параметр t. Разница лишь в том, что теперь х, у, z выражены через два параметра, поэтому получается не линия (одномерное образование), а поверхность (образование двумерное). Подобные уравнения называют параметрическими уравнениями поверхности; переменные параметры чаще всего здесь обозначают буквами и и v. Итак, уравнения сферы запишем в виде:
Если из этих уравнений исключить параметры и, v (для этого проще всего возвести (13) в квадрат и сложить; к сожалению, исключение переменных не всегда так просто), получим обычное ее уравнение x 2 + y 2 +z 2 =R 2 .
Недавние калькуляторы
Что уникального в наших калькуляторах?
- Расчет с разными единицами измерения для каждой переменной: теперь вы можете рассчитать объем сферы с радиусом в дюймах и высотой в сантиметрах и рассчитывать рассчитанный объем в кубических метрах.
- Поддерживает огромный набор измерений и единиц измерения: мы поддерживаем 100 измерений, таких как длина, вес, площадь, ускорение, давление, скорость, время и т. Д., И тысячи единиц измерения.
- Широчайший охват калькуляторов и рост: в настоящее время мы поддерживаем огромное количество калькуляторов и добавляем еще больше. Нужен новый калькулятор? Просто дайте нам знать, и мы доставим его вам как можно скорее.
- Изучите другие способы вычисления одного и того же результата: может быть несколько способов получить результат. В нашей общей структуре калькулятора они перечислены для вас. Например, площадь круга может быть измерена его радиусом, диаметром, периметром, площадью сектора и т. Д.
- ERROR:WebsiteFeatures5Plese use a COLON(‘:’) in between the feature name.