Как найти координаты центра полуоси

Эллипс — определение и вычисление с примерами решения

Эллипс:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Согласно определению эллипса имеем Из треугольников и по теореме Пифагора найдем

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Раскроем разность квадратов Подставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Вновь возведем обе части равенства в квадрат Раскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Соберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Введем обозначение для разности, стоящей в скобках Уравнение принимает вид Разделив все члены уравнения на получаем каноническое уравнение эллипса: Если то эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенства — вдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки следовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Определение: Если то параметр а называется большой, а параметр b — малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Кроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси

Если и эллипс вырождается в окружность. Если и эллипс вырождается в отрезок

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет

Решение:

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Зная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Следовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид:

Пример:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса а третья вершина — в центре окружности

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс:

Следовательно, большая полуось эллипса а малая полуось Так как то эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Итак, Окружность: Выделим полные квадраты по переменным Следовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Построим в декартовой системе координат треугольник Согласно школьной формуле площадь треугольника равна Высота а основание Следовательно, площадь треугольника равна:

Эллипс в высшей математике

где и —заданные положительные числа. Решая его относительно , получим:

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное по абсолютной величине меньше , подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению , удовлетворяющему неравенству соответствуют два значения , равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси . Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси . Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При , при . Кроме того, заметим, что если увеличивается, то разность уменьшается; стало быть, точка будет перемещаться от точки вправо вниз и попадет в точку . Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Полученная линия называется эллипсом. Число является длиной отрезка , число —длиной отрезка . Числа и называются полуосями эллипса. Число эксцентриситетом.

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом (рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось примем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось будет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости возьмем окружность радиуса с центром в начале координат, ее уравнение .

Пусть точка лежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению .

Обозначим проекцию точки на плоскость буквой , а координаты ее—через и . Опустим перпендикуляры из и на ось , это будут отрезки и . Треугольник прямоугольный, в нем , ,, следовательно, . Абсциссы точек и равны, т. е. . Подставим в уравнение значение , тогда cos

а это есть уравнение эллипса с полуосями и .

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Уравнение эллипсоида

Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей с коэффициентами деформации, равными

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам (х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

Иными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в раз, если , и увеличиваются в раз, если и т. д.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

где Уравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины называются полуосями эллипсоида; удвоенные величины называются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

• Гипербола
• Парабола
• Многогранник
• Решение задач на вычисление площадей
• Шар в геометрии
• Правильные многогранники в геометрии
• Многогранники
• Окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home

Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Эллипс.

Эллипс с каноническим уравнением $frac+frac=1, ageq b>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно). Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0), $ $B_1(0, -b), $ и $B_2(0, b), $ его вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — главными осями а центр симметрии $O -$ центром эллипса.

Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrtgeq 0,$ называются фокусами эллипса векторы $overline$ и $overline -$ фокальными радиус-векторами, а числа $r_1=|overline|$ и $r_2=|overline| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей эллипсу. В частном случае $a=b$ фокусы $F_1$ и $F_2$ совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид $frac+frac=1,$ или $x^2+y^2=a^2,$ т.е. описывает окружность радиуса $a$ с центром в начале координат.

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами эллипса.

Теорема. ( Директориальное свойство эллипса)

Эллипс является множеством точек, отноше ние расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.246. Построить эллипс $9x^2+25y^2=225.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

а) Находим полуоси $a=5,$ $b=3.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrt:$

$c=sqrt<5^2-3^2>=sqrt<16>=4Rightarrow F_1(-4, 0),qquad F_2(4, 0).$

г) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Ответ: а) $a=5,$ $b=3;$ б) $ F_1(-4, 0),qquad F_2(4, 0);$ в) $e=frac<4><5>;$ г) $D_1: x=-frac<25><4>$ и $D_2: x=frac<25><4>.$

2.249 (a). Установить, что уравнение $5x^2+9y^2-30x+18y+9=0$ определяет эллипс, найти его центр $C,$ полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:

Это уравнение эллипса. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ полуоси $a=3,$ $b=sqrt 5.$

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-frac<3><2/3>=-frac<9> <2>$ и $D_2: x=frac<3><2/3>=frac<9><2>.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

Ответ: $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ $a=3,$ $b=sqrt 5;$ $ e=frac<2><3>.$ $D_1:2x+3=0, $ $D_2: 2x-15=0.$

2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осми, проходят через точки $M_1(2, sqrt 3)$ и $M_2(0, 2).$ Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки $M_1$ и расстояния этой точки до директрис.

Решение.

Поскольку оси эллипса совпадают с координатными осями, то центр эллипса совпадает с началом координат. Следовательно, из того, что точка $(0, 2)$ принадлежит эллипсу, можно сделать вывод, что $b=2.$

Далее, чтобы найти $a,$ подставим найденное значение $b$ и координаты точки $M_1(2, sqrt 3)$ в каноническое уравнение эллипса $frac+frac=1:$

Таким образом, уравнение эллипса $frac<16>+frac<4>=1.$

Далее найдем координаты фокусов:

$c=sqrt=sqrt<16-4>=2sqrt 3Rightarrow F_1(-2sqrt 3, 0),,,, F_2(2sqrt 3, 0).$

Отсюда находим $overline =(2+2sqrt 3, sqrt 3),$ $overline=(2-2sqrt 3, sqrt 3).$

Чтобы найти расстояния от точки $M_1$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=left|frac<sqrt>right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M_1(2, sqrt 3)$ до прямой $D_1: sqrt 3 x+8=0$

расстояние от точки $M_1(2, sqrt 3)$ до прямой $D_2: sqrt 3 x-8=0$

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями гиперболы. Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0) — $ ее вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — действительной и мнимой осями а центр симметрии $O -$ центром гиперболы.

Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrtgeq 0,$ называются фокусами гиперболы, векторы $overline$ и $overline -$ фокальными радиус-векторами, а числа $r_1=|overline|$ и $r_2=|overline| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей гиперболе.

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2:x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами гиперболы.

Теорема. (Директориальное свойство гиперболы).

Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей дирек трисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.265. Построить гиперболу $16x^2-9y^2=144.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:

а) Находим полуоси $a=3,$ $b=4.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrt:$

$c=sqrt<3^2+4^2>=sqrt<25>=5Rightarrow F_1(-5, 0),qquad F_2(5, 0).$

г) Асимптоты гиперболы находим по формулам $y=pmfracx:$

Эллипс.

Эллипс с каноническим уравнением $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1, ageq b>0,$ имеет форму изображенную на рисунке.

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно). Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0), $ $B_1(0, -b), $ и $B_2(0, b), $ его вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — главными осями а центр симметрии $O -$ центром эллипса.

Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrt{a^2-b^2}geq 0,$ называются фокусами эллипса векторы $overline{F_1M}$ и $overline{F_2M} -$ фокальными радиус-векторами,  а числа $r_1=|overline{F_1M}|$ и $r_2=|overline{F_2M}| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей эллипсу. В частном случае $a=b$ фокусы $F_1$ и $F_2$ совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{a^2}=1,$ или $x^2+y^2=a^2,$ т.е. описывает окружность радиуса $a$ с центром в начале координат. 

Число $e=frac{c}{a}=sqrt{1-frac{b^2}{a^2}} ,, (0leq e<1)$ называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его «сплюснутости» (при $e=0$ эллипс является окружностью.)

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами эллипса.

Теорема. (Директориальное свойство эллипса)

Эллипс является множеством точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.246. Построить эллипс $9x^2+25y^2=225.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет;  г) уравнения директрис.

Решение.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

$$ 9x^2+25y^2=225 |:225Rightarrowfrac{9x^2}{225}+frac{25y^2}{225}=1Rightarrow$$

$$Rightarrowfrac{x^2}{25}+frac{y^2}{9}=1Rightarrowfrac{x^2}{5^2}+frac{y^2}{3^2}=1.$$

а) Находим полуоси $a=5,$ $b=3.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrt{a^2-b^2}:$

$c=sqrt{5^2-3^2}=sqrt{16}=4Rightarrow F_1(-4, 0),qquad F_2(4, 0).$

в) Эксцентриситет $e=frac{c}{a}=frac{4}{5}.$

г) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

 $D_1: x=-frac{5}{4/5}=-frac{25}{4}$ и $D_2: x=frac{5}{4/5}=frac{25}{4}.$

Сделаем рисунок:

Ответ: а)  $a=5,$ $b=3;$ б) $ F_1(-4, 0),qquad F_2(4, 0);$ в) $e=frac{4}{5};$ г) $D_1: x=-frac{25}{4}$ и $D_2: x=frac{25}{4}.$

  {jumi[*3]}

2.249 (a). Установить, что уравнение $5x^2+9y^2-30x+18y+9=0$ определяет эллипс, найти его центр $C,$ полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Решение.

 Приведем уравнение эллипса к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты: 

$$5x^2+9y^2-30x+18y+9=(5x^2-30x)+(9y^2+18y)+9=$$

$$5(x^2+6x+9-9)+9(y^2+2y+1-1)+9=5(x+3)^2-45+9(y+1)^2-9+9=$$

$$5(x+3)^2+9(y+1)^2-45=0Rightarrow5(x+3)^2+9(y+1)^2=45|:45Rightarrow$$

$$ frac{(x+3)^2}{9}+frac{(y+1)^2}{5}=1Rightarrowfrac{(x+3)^2}{3^2}+frac{(y+1)^2}{(sqrt 5)^2}=1.$$

Это уравнение эллипса. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ полуоси $a=3,$ $b=sqrt 5.$

$c=sqrt{a^2-b^2}Rightarrow c=sqrt{9-5}=sqrt 4=2Rightarrow e=frac{c}{a}=frac{2}{3}.$

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

 $D_1: x=-frac{3}{2/3}=-frac{9}{2} $ и $D_2: x=frac{3}{2/3}=frac{9}{2}.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

$$D_1: x=3-frac{9}{2}=frac{6-9}{2}=-frac{3}{2}Rightarrow 2x+3=0 $$  $$D_2: x=3+frac{9}{2}=frac{6+9}{2}=frac{15}{2}Rightarrow2x-15=0.$$

Ответ: $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$  $a=3,$ $b=sqrt 5;$ $ e=frac{2}{3}.$ $D_1:2x+3=0, $ $D_2: 2x-15=0.$

2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осми, проходят через точки $M_1(2, sqrt 3)$ и $M_2(0, 2).$ Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки $M_1$ и расстояния этой точки до директрис.

Решение.

Поскольку оси эллипса совпадают с координатными осями, то центр эллипса совпадает с началом координат. Следовательно, из того, что точка $(0, 2)$ принадлежит эллипсу, можно сделать вывод, что $b=2.$

Далее, чтобы найти $a,$ подставим найденное значение $b$ и координаты точки $M_1(2, sqrt 3)$ в каноническое уравнение эллипса $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1:$

$$frac{2^2}{a^2}+frac{(sqrt 3)^2}{2^2}=1Rightarrow frac{4}{a^2}+frac{3}{4}=1Rightarrow frac{4}{a^2}=frac{1}{4}Rightarrow a^2=16Rightarrow a=4.$$

Таким образом, уравнение эллипса $frac{x^2}{16}+frac{y^2}{4}=1.$

Далее найдем координаты фокусов:

$c=sqrt{a^2-b^2}=sqrt{16-4}=2sqrt 3Rightarrow F_1(-2sqrt 3, 0),,,, F_2(2sqrt 3, 0).$

Отсюда находим $overline {F_1M_1}=(2+2sqrt 3, sqrt 3),$ $overline{F_2M_1}=(2-2sqrt 3, sqrt 3).$ 

Соответственно, $r_1=|overline {F_1M_1}|=sqrt{(2+2sqrt 3)^2+ (sqrt 3)^2}=sqrt{4+8sqrt 3+12+3}=$ $=sqrt{16+8sqrt 3+3}=sqrt{(4+sqrt 3)^2}=4+sqrt 3,$

$r_2=|overline {F_2M_1}|=sqrt{(2-2sqrt 3)^2+ (sqrt 3)^2}=sqrt{4-8sqrt 3+12+3}=$ $=sqrt{16-8sqrt 3+3}=sqrt{(4-sqrt 3)^2}=4-sqrt 3.$

Чтобы найти расстояния от точки $M_1$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$e=frac{c}{a}=frac{2sqrt 3}{4}=frac{sqrt 3}{2};$

$D_1: x=-frac{4}{frac{sqrt 3}{2}}=-frac{8}{sqrt 3}Rightarrow sqrt 3 x+8=0;$

$D_2: x=frac{4}{frac{sqrt 3}{2}}=frac{8}{sqrt 3}Rightarrow sqrt 3 x-8=0.$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=left|frac{Ax_0+By_0+C}{sqrt{A^2+B^2}}right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M_1(2, sqrt 3)$ до прямой $D_1: sqrt 3 x+8=0$

$$d_1=left|frac{2sqrt 3+8}{sqrt{(sqrt 3)^2}}right|=frac{2sqrt 3+8}{sqrt 3};$$

расстояние от точки $M_1(2, sqrt 3)$ до прямой $D_2: sqrt 3 x-8=0$

$$d_2=left|frac{2sqrt 3-8}{sqrt{(sqrt 3)^2}}right|=frac{8-2sqrt 3}{sqrt 3}.$$

Ответ: $frac{x^2}{16}+frac{y^2}{4}=1,$ $r_1=4+sqrt 3,$ $r_2=4-sqrt 3,$ $d_1=frac{8+2sqrt 3}{sqrt 3},$ $d_2=frac{8-2sqrt 3}{sqrt 3}.$

Гипербола.

Гипербола с каноническим уравнением $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1, a,b>0,$ имеет форму изображенную на рисунке.

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями гиперболы. Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0) — $ ее вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — действительной и мнимой осями а центр симметрии $O -$ центром гиперболы.

Прямые $y=pmfrac{b}{a}x$ являются асимптотами гиперболы.

Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrt{a^2+b^2}geq 0,$ называются фокусами гиперболы, векторы $overline{F_1M}$ и $overline{F_2M} -$ фокальными радиус-векторами,  а числа $r_1=|overline{F_1M}|$ и $r_2=|overline{F_2M}| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей гиперболе. 

Число $e=frac{c}{a}=sqrt{1+frac{b^2}{a^2}} ,, (1<e<+infty)$ называется эксцентриситетом гиперболы и является мерой ее «сплюснутости». В частном случае $a=b$ гипербола называется равносторонней; ее эксцентриситет равен $e=sqrt{2},$ а угол между асимптотами равен $pi/2.$

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2:x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами гиперболы. 

Теорема. (Директориальное свойство гиперболы).

Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.265. Построить гиперболу $16x^2-9y^2=144.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет;  г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Решение.

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:

$$ 16x^2-9y^2=144 |:144Rightarrowfrac{16x^2}{144}-frac{9y^2}{144}=1Rightarrow$$

$$Rightarrowfrac{x^2}{9}-frac{y^2}{16}=1Rightarrowfrac{x^2}{3^2}+frac{y^2}{4^2}=1.$$

а) Находим полуоси $a=3,$ $b=4.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrt{a^2+b^2}:$

$c=sqrt{3^2+4^2}=sqrt{25}=5Rightarrow F_1(-5, 0),qquad F_2(5, 0).$

в) Эксцентриситет $e=frac{c}{a}=frac{5}{3}.$

г) Асимптоты гиперболы находим по формулам $y=pmfrac{b}{a}x:$ 

$$y=pmfrac{4}{3}x.$$

д) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

 $D_1: x=-frac{3}{5/3}=-frac{9}{5}$ и $D_2: x=frac{3}{5/3}=frac{9}{5}.$

Сделаем рисунок:

Ответ: а)  $a=3,$ $b=4;$ б) $ F_1(-5, 0),qquad F_2(5, 0);$ в) $e=frac{5}{3};$ г) $y=pmfrac{4}{3}x;$ д) $D_1: x=-frac{9}{5}$ и $D_2: x=frac{9}{5}.$

2.269 (a). Установить, что уравнение $16x^2-9y^2-64x-54y-161=0$ определяет гиперболу, найти ее центр $C,$ полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.

Решение.

 Приведем заданное уравнение к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты: 

$$16x^2-9y^2-64x-54y-161=(16x^2-64x)-(9y^2+54y)-161=$$

$$16(x^2-4x+4-4)-9(y^2+6y+9-9)-161=16(x-2)^2-64-9(y+3)^2+81-161=$$

$$16(x-2)^2-9(y+3)^2-144=0Rightarrow16(x-2)^2-9(y+3)^2=144|:144Rightarrow$$

$$ frac{(x-2)^2}{9}-frac{(y+3)^2}{16}=1Rightarrowfrac{(x-2)^2}{9}-frac{(y+3)^2}{16}=1.$$

Это уравнение гиперболы. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(2,-3);$ полуоси $a=3,$ $b=4.$

$c=sqrt{a^2+b^2}Rightarrow c=sqrt{9+16}=sqrt {25}=5Rightarrow e=frac{c}{a}=frac{5}{3}.$

Асимптоты гиперболы c центром в начале координат, находим по формулам $y=pmfrac{b}{a}x,$ а с центром в точке $C=(x_0, y_0) -$ по формуле $y-y_0=pmfrac{b}{a}(x-x_0),$

 $$y+3=frac{4}{3}(x-2)Rightarrow 3y+9=4x-8Rightarrow 4x-3y-17=0.$$

 $$y+3=-frac{4}{3}(x-2)Rightarrow 3y+9=-4x+8Rightarrow 4x+3y+1=0.$$

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

 $D_1: x=-frac{3}{5/3}=-frac{9}{5} $ и $D_2: x=frac{3}{5/3}=frac{9}{5}.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

 $$D_1: x=2-frac{9}{5}=frac{10-9}{5}=frac{1}{5}Rightarrow 5x-1=0 $$  

$$D_2: x=2+frac{9}{5}=frac{10+9}{5}=frac{19}{5}Rightarrow 5x-19=0 $$

Ответ: $C=(2, -3);$  $a=3,$ $b=4;$ $ e=frac{5}{3},$ $4x-3y-17=0,$ $4x+3y+1=0,$ $D_1:5x-1=0, $ $D_2: 5x-19=0.$

2.272. Убедившись, что точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $frac{x^2}{16}-frac{y^2}{9}=1,$ найти фокальные радиусы этой точки и расстояния этой точки до директрис.

Решение. 

Проверим, что заданная точка лежит на гиперболе:

$$frac{x^2}{16}-frac{y^2}{9}=1Rightarrow frac{(-5)^2}{16}-frac{(9/4)^2}{9}=frac{25}{16}-frac{81}{16cdot 9}=frac{25cdot 9-81}{144}=frac{144}{144}=1.$$

Следовательно, точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $frac{x^2}{16}-frac{y^2}{9}=1.$

Для того, чтобы найти фокальные радиусы, найдем фокусы гиперболы:

$c=sqrt{a^2+b^2}Rightarrow c=sqrt{16+9}=sqrt {25}=5$ Следовательно, фокусы имеют координаты $F_1(-5, 0), F_2(5, 0).$

Фокальные радиусы точки, можно найти по формулам $r_1=|overline{F_1M}|$ и $r_2=|overline{F_2M}|.$ 

$$overline{F_1M}=(-5-(-5), 9/4)=(0, 9/4)Rightarrow |overline{F_1M}=sqrt{(9/4)^2}|=9/4.$$

$$overline{F_2M}=(-5-5, 9/4)=(-10, 9/4)Rightarrow |overline{F_1M}=sqrt{10^2+(9/4)^2}|=$$ $$=sqrt{100+81/16}=sqrtfrac{1681}{16}=frac{41}{4}.$$

Чтобы найти расстояния от точки $M$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$e=frac{c}{a}=frac{5}{4};$

$D_1: x=-frac{4}{5/4}Rightarrow x=-frac{16}{5}Rightarrow 5x+16=0;$

$D_2: x=frac{4}{5/4}Rightarrow x=frac{16}{5}Rightarrow 5x-16=0;$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=left|frac{Ax_0+By_0+C}{sqrt{A^2+B^2}}right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_1: sqrt 5x+16=0$

$$d_1=left|frac{5cdot 5+16}{sqrt{5^2}}right|=frac{41}{5};$$

расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_2: sqrt 5x-16=0$

$$d_2=left|frac{5cdot 5-16}{sqrt{5^2}}right|=frac{9}{5}.$$

Ответ: $r_1=9/4,$ $r_2=frac{41}{4};$ $d_1=frac{41}{5};$ $d_2=frac{9}{5}.$ 

2.273. Найти точки гиперболы $frac{x^2}{9}-frac{y^2}{16}=1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1.$

Решение.

Из уравнения гиперболы находим полуоси: $a=3, , b=4.$ Следовательно, $c=sqrt{a^2+b^2}Rightarrow c=sqrt{9+16}=sqrt {25}=5.$

Отсюда находим $F_1=(-5, 0).$

Геометрическое место точек, расположенных на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ это окружность с центром в точке $F_1=(-5, 0)$ и радиусом $r=7:$

$$(x+5)^2+y^2=7^2.$$

Чтобы найти точки гиперболы $frac{x^2}{9}-frac{y^2}{16}=1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ решим систему уравнений

$$left{begin{array}{lcl}frac{x^2}{9}-frac{y^2}{16}=1\(x+5)^2+y^2=7^2end{array}right.$$ 

$$Rightarrowleft{begin{array}{lcl}frac{x^2}{9}-frac{y^2}{16}=1\y^2=7^2-(x+5)^2end{array}right.Rightarrowleft{begin{array}{lcl}frac{x^2}{9}-frac{7^2-(x+5)^2}{16}=1\y^2=7^2-(x+5)^2end{array}right.$$ 

$$Rightarrowleft{begin{array}{lcl}16x^2-9(49-x^2-10x-25)=144\y^2=7^2-(x+5)^2end{array}right.Rightarrow$$ $$Rightarrowleft{begin{array}{lcl}16x^2-216+9x^2+90x=144\y^2=7^2-(x+5)^2end{array}right.Rightarrow$$ 

$$Rightarrowleft{begin{array}{lcl}25x^2+90x-360=0\y^2=7^2-(x+5)^2end{array}right.Rightarrowleft{begin{array}{lcl}5x^2+18x-72=0\y^2=7^2-(x+5)^2end{array}right.$$

Решим уравнение $5x^2+18x-72=0:$

$D=18^2+4cdot5cdot72=324+1440=1764=42^2.$

$x_1=frac{-18+42}{10}=frac{24}{10}=2,4;$   $x_2=frac{-18-42}{10}=-6.$

Находим соответствующие координаты $y:$ $y_1=pmsqrt{24-2,4^2-10cdot 2,4}=sqrt{-5,76}$ — нет корней.  

$y_2=pmsqrt{24-6^2+10cdot5}=pm4sqrt{3}.$

Ответ: $(-6, pm4sqrt 3).$

Парабола.

Парабола с каноническим уравнением $y^2=2px, p>0,$ имеет форму изображенную на рисунке.

Число $p$ называется параметром параболы. Точка $O -$ ее вершиной, а ось $Ox$   — осью параболы.

Точка $Fleft(frac{p}{2}, 0right)$ называется фокусом параболы, вектор $overline{FM} -$  фокальным радиус-векторам,  а число $r=|overline{FM}| -$  фокальным радиусом точки $M,$ принадлежащей параболе. 

Прямая $D: x=-p/2$ перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии $p/2$ от вершины параболы, называется ее директрисой. 

Примеры.

2.285 (а). Построить параболу $y^2=6x$ и найти ее параметры.

Решение.

Параметр $p$ параболы можно найти из канонического уравнения $y^2=2px: $

$$y^2=6xRightarrow y^2=2cdot 3xRightarrow p=2.$$

Сделаем рисунок:

Ответ: $p=3.$

  {jumi[*4]}

2.286 (а). Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox$ и $p=1/2.$

Решение.

Поскольку парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox,$ то уравнение параболы будет иметь вид $y^2=-2px.$ Подставляя заданное значение параметра, находим уравнение параболы:

$$y^2=-2cdotfrac{1}{2}x=-x.$$

Ответ: $y^2=-x.$

2.288 (а). Установить, что уравнение $y^2=4x-8$ определяет параболу, найти координаты ее вершины $A$ и величину параметра $p.$

Решение.

Уравнение параболы, центр которой сдвинут в точку  $(x_0, y_0),$ имеет вид $(y-y_0)^2=2p(x-x_0)^2.$ 

Приведем заданное уравнние к такому виду:

$y^2=4(x-2).$

Таким образом, $y^2=4(x^2-2)$ — парабола с центром в точке $(0, 2).$ Параметр $p=2.$

Ответ: $C(0, 2),$ $p=2.$  

2.290. Вычислить фокальный параметр точки $M$ параболы $y^2=12x,$ если $y(M)=6.$

Решение.

Чтобы найти фокальный параметр точки $M,$ найдем ее координаты. Для этого подставим в уравнение параболы координату $y:$ $$6^2=12xRightarrow 36=12xRightarrow x=3.$$ 

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(3, 6).$

Из уравнения параболы $y^2=12x$ находим параметр параболы: $y^2=2cdot 6xRightarrow p=6.$ Следовательно фокус параболы имеет координаты $F(3, 0).$

Далее находим фокальный параметр точки:

$r=|FM|=sqrt{(3-3)^2+(6-0)^2}=6.$

Ответ: $6.$

2.298. Из фокуса параболы $y^2=12x$ под острым углом $alpha$ к оси $Ox$ направлен луч света,  причем $tgalpha=frac{3}{4}.$ Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.

Решение.

Найдем координаты фокуса. Из канонического уравнения параболы $y^2=2px$ находим параметр: $y^2=12x=2cdot 6xRightarrow p=6.$

Координаты фокуса $F(p/2, 0)Rightarrow F(3,0).$

Далее находим уравнение прямой, которая проходит через точку $(3, 0)$ под углом $alpha: tgalpha=frac{3}{4}$ к оси $OX.$ Уравнение ищем в виде $y=kx+b,$ где $k=tgalpha=frac{3}{4}.$

$y=frac{3}{4}x+b$

Чтобы найти $b,$ в уравнение прямой подставим координаты точки $(3, 0):$

$0=frac{3}{4}cdot 3+bRightarrow b=-frac{9}{4}.$ Таким образом, уравнение луча, направленного из фокуса $y=frac{3}{4}x-frac{9}{4}.$

Далее, найдем точку пересечения найденной прямой с параболой:

$$left{begin{array}{lcl}y=frac{3}{4}x-frac{9}{4}\y^2=12xend{array}right.Rightarrowleft{begin{array}{lcl}3x-4y-9=0\x=frac{y^2}{12}end{array}right.Rightarrowleft{begin{array}{lcl}frac{3y^2}{12}-4y-9=0\x=frac{y^2}{12}end{array}right.Rightarrow$$ $$left{begin{array}{lcl}y^2-16y-36=0\x=frac{y^2}{12}end{array}right.$$

$$y^2-16y-36=0$$

$$D=256+4cdot1cdot36=256+144=400.$$

$$y_1=frac{16+20}{2}=18qquad y_2=frac{16-20}{2}=-2.$$

Поскольку по условию луч падает под острым углом, то мы рассматриваем только положительную координату $y=18.$ Соответствующее значение $x=frac{18^2}{12}=frac{324}{12}=27.$

Таким образом, луч пересекает параболу в точке $(27, 18).$

Далее найдем уравнение касательной к параболе в найденной точке $(27, 18)$ по  формуле $(y-y_0)=y'(x_0)(x-x_0):$

$$y=sqrt{12x}Rightarrow y’=sqrt {12}frac{1}{2sqrt x}=frac{sqrt 3}{sqrt{x}}Rightarrow$$

$$Rightarrow y'(27)=frac{sqrt 3}{sqrt{ 27}}=frac{1}{3}.$$

$$y(27)=18.$$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-18=frac{1}{3}(x-27)Rightarrow 3y-54=x-27Rightarrow x-3y+27=0.$

Далее, найдем угол $beta$ между лучем $y=frac{3}{4}x-frac{9}{4}$  и касательной $x-3y+27=0.$ Для этого оба уравнения запишем в виде $y=k_1x+b_1$  и $y=k_2+b_2$ угол вычислим по формуле $tg(L_1, L_2)=frac{k_1-k_2}{1+k_1cdot k_2}$

$$L_1: y=frac{3}{4}x-frac{9}{4}Rightarrow k_1=frac{3}{4};$$

$$L_2: x-3y+27=0Rightarrow y=frac{1}{3}x+9Rightarrow k_2=frac{1}{3}.$$

$$tg beta=tg(L_1, L_2)=frac{frac{3}{4}-frac{1}{3}}{1+frac{3}{4}frac{1}{3}}=frac{frac{5}{12}}{frac{5}{4}}=frac{1}{3}.$$

Легко увидеть, что угол между лучем $L_1,$ направленным из фокуса и его отражением равен $pi-2beta,$ а угол между отраженным лучем и осью $Ox$ $pi-(pi-2beta)-alpha=2beta-alpha.$ 

Зная $tgbeta=frac{1}{3}$ и $tgalpha=k_1=frac{3}{4}$ и вспоминая формулы для двойного угла тангенса и тангенс разности, находим $tg(2beta-alpha):$

$$tg 2beta=frac{2tgbeta}{1-tg^2beta}=frac{frac{2}{3}}{1-frac{1}{9}}=frac{frac{2}{3}}{frac{8}{9}}=frac{3}{4}.$$

$$tg(2beta-alpha)=frac{tg2beta-tgalpha}{1+tg2beta tgalpha}=frac{frac{3}{4}-frac{3}{4}}{1+frac{3}{4}frac{3}{4}}=0.$$ Следовательно, прямая, содержащая отраженный луч параллельна оси $Ox.$ Так как она проходит через точку $(27, 18),$ то можно записать ее уравнение $y=18.$

Ответ: $y=18.$ 

Эллипсом
называется геометрическое место точек
плоскости, координаты которых удовлетворяют
уравнению

(9.7)

где

(9.8)

Уравнение (9.7)
называется
каноническим
уравнением эллипса.

Параметры эллипса

Точки F₁(–c,
0) и F₂(c,
0), где
называютсяфокусами
эллипса,
при этом величина 2c
определяет междуфокусное
расстояние.

Точки А₁(–а,
0), А₂(а,
0), В₁(0,
–b),
B₂(0,
b)
называются вершинами
эллипса
(рис. 9.2), при этом А₁А₂
= 2а
образует большую ось эллипса, а В₁В₂
– малую,
– центр эллипса.

Основные параметры
эллипса, характеризующие его форму:

ε
= с/a
– эксцентриситет
эллипса;

–фокальные
радиусы эллипса
(точка М
принадлежит эллипсу), причем r₁
= a
+ εx,
r₂
= a
– εx;

–директрисы
эллипса.

Рис. 9.2

Для эллипса
справедливо:
директрисы не пересекают границу и
внутреннюю область эллипса, а также
обладают свойством

Эксцентриситет
эллипса выражает его меру «сжатости».

Если b
> a
> 0, то
эллипс задается уравнением (9.7), для
которого вместо условия (9.8) выполняется
условие

.
(9.9)

Тогда 2а
– малая ось, 2b
– большая ось,
– фокусы (рис. 9.3). При этомr₁
+ r₂
= 2b,

ε
= c/b,
директрисы определяются уравнениями:

Рис. 9.3

При
условии
имеем (в виде частного случая эллипса)окружность
радиуса R
= a.
При этом с
= 0, а значит, ε = 0.

Точки эллипса
обладают характеристическим
свойством:
сумма расстояний от каждой из них до
фокусов есть величина постоянная, равная
2а
(рис. 9.2).

Для параметрического
задания эллипса
(формула (9.7)) в случаях выполнения условий
(9.8) и (9.9) в качестве параметра t
может быть взята величина угла между
радиус-вектором точки, лежащей на
эллипсе, и положительным направлением
оси Ox:

где

Если центр эллипса
с полуосями
находится в точкето его уравнение имеет вид:

(9.10)

Пример 1.
Привести уравнение эллипса x²
+ 4y²
= 16 к каноническому виду и определить
его параметры. Изобразить эллипс.

Решение.
Разделим уравнение x² + 4y² = 16
на 16, после чего получим:

По виду полученного
уравнения заключаем, что это каноническое
уравнение эллипса (формула (9.7)), где а
= 4 – большая полуось, b
= 2 – малая полуось. Значит, вершинами
эллипса являются точки A₁(–4, 0),
A₂(4, 0),
B₁(0, –2),
B₂(0, 2).
Так как
– половина междуфокусного расстояния,
то точкиявляются фокусами эллипса. Вычислим
эксцентриситет:

Директрисы D₁,
D₂
описываются уравнениями:

Изображаем эллипс
(рис. 9.4).

Рис. 9.4

Пример 2.
Определить параметры эллипса

Решение.
Сравним данное уравнение с каноническим
уравнением эллипса
со смещенным центром. Находим центр
эллипсаС:
Большая полуосьмалая полуосьпрямые– главные оси. Половина междуфокусного
расстоянияа значит, фокусыЭксцентриситетДиректрисыD₁
и D₂
могут быть описаны с помощью уравнений:
(рис. 9.5).

Рис. 9.5

Пример 3.
Определить, какая кривая задается
уравнением, изобразить ее:

1) x²
+ y²
+ 4x
– 2y
+ 4 = 0; 2) x²
+ y²
+ 4x
– 2y
+ 6 = 0;

3) x²
+ 4y²
– 2x
+ 16y
+ 1 = 0; 4) x²
+ 4y²
– 2x
+ 16y
+ 17 = 0;

5)

Решение.
1) Приведем уравнение к каноническому
виду методом выделения полного квадрата
двучлена:

x²
+ y²
+ 4x
– 2y
+ 4 = 0;

(x²
+ 4x)
+ (y²
– 2y)
+ 4 = 0;

(x²
+ 4x
+ 4) – 4 + (y²
– 2y
+ 1) – 1 + 4 = 0;

(x
+ 2)²
+ (y
– 1)²
= 1.

Таким образом,
уравнение может быть приведено к виду

(x
+ 2)²
+ (y
– 1)²
= 1.

Это уравнение
окружности с центром в точке (–2, 1) и
радиусом R = 1
(рис. 9.6).

Рис. 9.6

2)
Выделяем полные квадраты двучленов в
левой части уравнения и получаем:

(x
+ 2)²
+ (y
– 1)²
= –1.

Это уравнение не
имеет смысла на множестве действительных
чисел, так как левая часть неотрицательна
при любых действительных значениях
переменных x
и y,
а правая – отрицательна. Поэтому говорят,
что это уравнение «мнимой окружности»
или оно задает пустое множество точек
плоскости.

3) Выделяем полные
квадраты:

x²
+ 4y²
– 2x
+ 16y
+ 1 = 0;

(x²
– 2x
+ 1) – 1 + 4(y²
+ 4y
+ 4) – 16 + 1 = 0;

(x
– 1)²
+ 4(y
+ 2)²
– 16 = 0;

(x
– 1)²
+ 4(y
+ 2)²
= 16.

Значит, уравнение
имеет вид:

или

Полученное
уравнение, а следовательно, и исходное
задают эллипс. Центр эллипса находится
в точке О₁(1,
–2), главные оси задаются уравнениями
y
= –2, x
= 1, причем большая полуось а
= 4, малая полуось b
= 2 (рис. 9.7).

Рис. 9.7

4) После выделения
полных квадратов имеем:

(x
– 1)²
+ 4(y
+ 2)²
– 17 + 17 = 0 или (x
– 1)²
+ 4(y
+ 2)²
= 0.

Полученное уравнение
задает единственную точку плоскости с
координатами (1, –2).

5) Приведем уравнение
к каноническому виду:

Очевидно, оно
задает эллипс, центр которого находится
в точке
главные оси задаются уравнениямипричем большая полуосьмалая полуось(рис. 9.8).

Рис. 9.8

Пример 4.
Записать уравнение касательной к
окружности радиуса 2 с центром в
правом фокусе эллипса x²
+ 4y²
= 4 в точке пересечения с осью ординат.

Решение.
Уравнение эллипса приведем к каноническому
виду (9.7):

Значит,
и правый фокус –Поэтому, искомое уравнение окружности
радиуса 2 имеет вид (рис. 9.9):

Окружность
пересекает ось ординат в точках,
координаты которых определяются из
системы уравнений:

Получаем:

Пусть это точки N
(0; –1) и М
(0; 1). Значит, можно построить две
касательные, обозначим их Т₁
и Т₂.
По известному свойству касательная
перпендикулярна радиусу, проведенному
в точку касания.

Пусть
Тогда
уравнение касательнойТ₁
примет вид:

значит,
илиТ₁:

Тогда уравнение
касательной Т₂
примет вид:

значит,
илиТ₂:

Рис. 9.9

Пример 5.
Записать уравнение окружности, проходящей
через точку М(1,
–2) и точки пересечения прямой x
– 7y
+ 10 = 0 с окружностью x²
+ y²
– 2x
+ 4y
– 20 = 0.

Решение.
Найдем точки пересечения прямой x
– 7y
+ 10 = 0 с окружностью x²
+ y²
– 2x
+ 4y
– 20 = 0, решив систему уравнений:

Выразим х
из первого уравнения системы:

x
= 7y
– 10.

Затем подставим
во второе:

(7y
– 10)²
+ y²
– 2(7y
– 10) + 4y
– 20 = 0.

Оно равносильно
уравнению

y²
– 3y
+ 2 = 0.

Используя формулы
корней квадратного уравнения, найдем
y₁
= 1, y₂
= 2, откуда x₁
= –3, x₂
= 4.

Итак, имеем три
точки, лежащие на окружности: M(1,
–2), M₁(4,
2) и M₂(–3,
1). Пусть О₁(x₀,
y₀)
– центр окружности. Тогда
гдеR
– радиус окружности.

Найдем координаты
векторов:

Значит,

что равносильно
системе

Упрощаем ее:

Решая последнюю
систему, получаем ответ:

Таким образом,
центр окружности находится в точке
(0,5; 1,5), ее радиус

Тогда каноническое
уравнение искомой окружности имеет
вид:

Задания

Соседние файлы в папке Часть 2

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Эллипс – это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки до двух точек равняется постоянной величине.

Для нахождения координат точки эллипса по углу существует простое и элегантное решение. Понимаю, что для маститого математика это решение является очевидным. Однако, для меня в то далекое время, когда инет был диким, связь модемной, а я сильно молодым, это таковым не являлось.

ВНИМАНИЕ! Если Вы искали как найти координаты точки по углу от произвольной прямой и совсем не подразумевали эллипс, то Вам сюда.

Калькулятор точки на эллипсе

Давайте посмотрим, как это выглядит на практике. Потом теория. Оранжевый маркер отвечает за угол, на основании которого считаем координаты. Красный — параметрический угол, о котором ниже.

Параметрическое уравнение эллипса

Обратимся, как обычно, к Википедии. Находим там следующее:

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

Очевидно, что t — это угол, и это не «наш» угол. Это какой-то другой угол, который функционально связан с «нашим». «Нашим» называю угол, от которого требуется посчитать координаты.

Таким образом, задача нахождения координат точки эллипса по углу сводится к задаче нахождения угла t, зависящим от требуемого. Нахождением этой зависимости и займемся.

Подготовка

У нас есть эллипс, описанный двумя полуосями a и b. Представим две окружности, имеющих общий центр. Меньшая окружность (зеленая) имеет радиус b. Большая окружность (синяя) имеет радиус a.

Проведем прямую из общего центра [X₀;Y₀] в произвольную точку плоскости [X;Y]. В результате пересечения с этими окружностями получаются две точки [X₁;Y₁]  и [X₂;Y₂].

α – угол между прямой и осью X.

Нахождение зависимости

Используя уравнение (1) посчитаем координаты точки на эллипсе [X’;Y’] для угла α. Проведем прямую из центра [X₀;Y₀] в точку [X’;Y’]. Угол β – угол между этой прямой и осью X.

Задача сводится к тому, чтобы найти такой α, при котором β был бы равен интересующему нас углу. Таким образом, угол α будет являться параметром в уравнении (1) для требуемого угла β.

Найдем зависимость между получившимся углом β и углом α. На рисунке видно, что прилегающий к углу катет (синий) равен ранее рассчитанному X2, а противолежащий (зеленый) равен Y1:

X’ = X₂ = a × cos α

Y’ = Y₁ = b × sin α

Опыт показывает, что тут зачастую возникает легкий ступор. Возможно, рисунок вводит в некое заблуждение. Видим треугольник, и если с синим катетом вопросов нет, то с зеленым — масса. Почему синус от α? Угол «вона где», тут синус вообще не от того угла и т.д.

Смотрим на пересечение прямой и малой (зеленой) окружности. Зеленый катет прилетает именно оттуда. Именно так координату Y’ и рассчитывали, согласно уравнению(1). Рисунок — это иллюстрация, не метод решения.

Тангенс угла β в этом случае равен:

(3) Тангенс угла β

Используя формулу тангенса произведем дальнейшие преобразования:

(4) Зависимость тангенса α от тангенса β

Таким образом, видим прямую зависимость угла α, который нужен нам в качестве параметра в уравнении(1), от угла β, координаты точки от которого хотим получить.

Нахождение координат

Угол α находим через арктангенс. В Delphi (и не только) для этих целей используется функция ArcTan2 из модуля math. Она корректно возвращает знак ± угла в зависимости от квадранта, а также предусмотрительно нечувствительна к возможным коллизиям, типа деления на 0.

Находим синус и косинус от требуемого угла β и подставляем в параметры функции ArcTan2, согласно последней формуле (4):

Получившийся в результате вызова ArcTan2 угол есть ничто иное, как параметр t в параметрическом уравнении (1). Подставив его в уравнение, находим координаты точки на эллипсе, отстоящей на заданный угол от оси X.

О параметре

Практический смысл параметра t состоит в том, что это угол окружности до «сплющивания». Этот тот угол окружности, который будет соответствовать точке эллипса при заданном угле. Попытаюсь на практике показать.

В JavaScript’е нет понятия эллипс. Тем более нет понятия дуги эллипса. Но можно нарисовать окружность (через дугу) и «сплющить». Может быть такой номер пройдет и с дугой?

На рисунке слева видим, что дуга расположена совершенно неправильно. Очевидно, что надо использовать какие-то другие углы. Вот тут на помощь приходит параметр эллипса. Это как раз тот самый угол, который обеспечивает «попадание» в нужный нам угол при «сплющивании» окружности.

Перепишем функцию с учетом нахождения параметра:

На рисунке справа видим, что все встало на свои места. Идеальная дуга )

Координаты точки наклонного эллипса

Перенесено в отдельную статью.

Практика

Две функции. Первая находит параметр t по углу. Вторая производит расчет координат. Из второй не вызываю первую, т.к. получится двойное вычисление полуосей. Код не настолько велик, чтобы его нельзя было продублировать.

Скачать исходник + исполнямый файл

Друзья, спасибо за внимание!

Надеюсь, материал после правок стал понятней.

Подписывайтесь на телегу.

Если есть вопросы, с удовольствием отвечу )