Как найти концентрацию электронов в кремнии

Уважаемый посетитель!

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на скачивание — внизу страницы.

СЕМИНАР 1
Статистика
электронов и дырок

Единицы
измерения в системе СИ:

Основные: м кг с А К

Производные: Дж Вт Кл В Ом Ф

Дж = м*кг/с = A*B*c
= 1 Вт*с

1 Вт = 1 Дж/с 1 эВ = 1.6*10^-19
Дж

φ_t
= k*T/e
= 25.8 мВ (при 300 К) = 4.14*10^-21
Дж

1 мкм = 10^-4
см = 10^-6
м 1 нм = 10^-7
см = 10^-9
м

Приближенные
вычисления:

— ln
10 = 2.3 ln
10¹⁵
= 15*ln
10 = 15*2.3 = 34.5

— exp 1 = 2.718, exp 10 =
2.2*10⁴,
exp 20 = 4.85*10⁸

Физические
постоянные:

h
= 6.62*10^-34
Дж*с k
= 1.38*10^-23
Дж/К e
= 1.6*10^-19 Кл
m
= 9.1*10^-31
кг

ε₀
= 8.86*10^-14
Ф/см εε₀
= 1.1 пФ/см (для Si)
ε_dε₀
= 0.4 пФ/см (для SiO₂)

Свойства полупроводников

Теоретические сведения

Зонная диаграмма полупроводника

Функция распределения Ферми-Дирака

g
– фактор вырождения примесного уровня;

g
=1 для собственного полупроводника,

g
= 2 для донорного примесного уровня
(электрон на одном уровне может иметь
два значения спина)

В полупроводнике выделяют следующие
концентрации:

— N_d
– полная концентрация донорной примеси,
N_d⁺
— концентрация ионизированных доноров

— N_a
– полная концентрация
акцепторной примеси, N_а⁺
— концентрация ионизированных акцепторов

— n
– концентрация электронов,

— р – концентрация дырок

Справедливо уравнение
электронейтральности и формулы для
концентраций:

n₀
+ N_a^—
= p₀
+ N_d⁺

,

=
2.83*10¹⁹
см^-3
(для Si,
300 К)

,

=
1.02*10¹⁹
см^-3
(для Si,
300 К)

m_c
= 1.08*m,
m_v
= 0.56*m

— Закон действия масс для невырожденных
п/п

ЗАДАЧА 1

Для собственного полупроводника
найти вероятность заполнения электроном
уровня на дне Ес при T=0
и 300 К. Считать что при 300 К уровень Ферми
(E_f)
расположен по середине Е_g
(E-E_f
= E_g/2)

Решение:

Используем функцию распределения
Ферми-Дирака

При расчете можно считать,
что энергия выражается в вольтах, а
вместо kT
использовать φ_t
= 25.8 мВ

=
1.86*10^-10

ЗАДАЧА 2

Вычислить
положение уровня Ферми (E_f)
в собственном Si
при T=300K

Решение: В
собственном полупроводнике нет примесей.
Из уравнения электронейтральности
следует, что n
= p.
Используя формулы для концентраций:

ЗАДАЧА 3

Найти
концентрацию электронов и дырок в
кремнии при Т=300К, если концентрация
донорной примеси N_d
= 10¹⁶
cм^-3,
N_а
= 0. Считать примесь полностью ионизованной.

Решение: Уравнение электронейтральности
при полной ионизации примеси имеет вид:

n₀
+ N_a
= p₀
+ N_d

Из закона действия масс: p₀
= n_i²/n₀

Составляем квадратное
уравнение: n₀²-(N_d-N_a)*n₀-n_i²=0

Решение:
=10¹⁶
см^-3 p₀
= 2.25*10⁴
см^-3

МОЖНО СЧИТАТЬ, ЧТО ПРИ N_а
= 0: n₀
= N_d,
p₀
= n_i²/N_d

ЗАДАЧА 4

Рассчитать концентрацию
электронов и дырок в кремнии с концентрацией
примеси N_а
= 10¹⁶
см^-3,
N_d
= 3*10¹⁵
см^-3,
Т=300 К

Решение:

=7*10¹⁵
см^-3

n₀
= n_i²/N_a
= 3.2*10⁴
см^-3

МОЖНО СЧИТАТЬ ЧТО:

ЗАДАЧА 5

Образец кремния n-типа
находится в состоянии термодинамического
равновесия при T=300K.
Параметры образца:

• ρ = 5 Ом*см

• μ_n
  = 1600 μ_p
  = 600 [см²/(В*с)]

• n_i
  =
  1.4*10¹⁰
  см^-3,
  N_c
  = 10¹⁹
  см^-3

• E_c
  —
  E_d
  = 0.05 эВ

Найти:

1. Концентрацию электронов и дырок

2. Положение уровня Ферми

3. Вероятность того, что донорный уровень
   занят или свободен

Решение:

1. ρ = 1/σ

2. σ = e(μ_n
   n
   + μ_p
   p)

3. n*p
   = n_i²

4. σ
   = e( μ_n
   n +
   μ_p
   n_i²/n
   )

=7.81*10¹⁴
см^-3

р = 2.5*10⁵
см^-3

2.
,
находим E_c-E_f
= 0.244 эВ

3. Так как E_c
— E_d
= 0.05 эВ, то E_d
— E_f
= 0.194 эВ и вероятность заполнения донорного
уровня определяется функцией распределения
Ферми-Дирака

8.5*10^-4

ЗАДАЧА 6

Найти удельное сопротивление
(ρ) собственного Si
при 300 К.

Решение:

ρ
= 1/σ

σ
= e(μ_n
n +
μ_p
p) = e
μ_p
n_i
(B+1)

B=μ_n
/ μ_p
=2.5

ρ
= 1.2 *10⁶
Ом*см

Соседние файлы в папке SemTE

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Определить концентрацию свободных электронов и дырок в чистом кремнии и указать положение уровня Ферми.

1.16, б). И для валентных электронов, чтобы переместится в зону проводимости, энергетические уровни вблизи нижней границы недоступны. Следовательно, электронам валентной зоны труднее перейти в зону проводимости и в результате в материале существует меньшее число дырок. И уровень Ферми у тт-полупроводника (уровень с вероятностью заполнения 1/2) сдвинут к зоне проводимости, показывая, что много энергетических уровней уже занято (заполнено) электронами доноров, и меньшее число дырок образовано в валентной зоне. Точно так же и в случае р-полупроводника электроны из валентной зоны заполняют акцепторные уровни. И в результате в материале мало электронов в зоне проводимости. Следовательно, в р-полупроводннках уровень Ферми сдвинут к валентной зоне (см.

рнс. 1.12, б). Как уровень Ферми зависит от температуры в и- и р-полупроводниках? Когда температура полупроводника увеличивается, число пар электрон — дырка, образованных за счет тепловой энергии, будет расти. При дальнейшем повышении температуры, число таких электронно-дырочных пар еще более увеличится и мажоритарная сущность электронов (в и-полупроводнике) и дырок (в р-полупроводнике) начнет исчезать, т. е. легированный полупроводник начнет смещаться в сторону собственного полупроводника. Следовательно, при повышении температуры уровень Ферми будет сдвигаться к середине запрещенной зоны (к положению уровня Ферми в собственном полупроводнике).

Это справедливо как для и-, так и для Р-полупроводников. Разумеется, температура не имеет значительного влияния на уровень Ферми в чистом (собственном) полупроводнике и он будет оставаться в середине запрещенной зоны. 1.9.

Заключение Квантованные энергетические уровни изолированных атомов приводят к зонной структуре в твердых телах. Зонная структура — ключ к пониманию электрических свойств вещества, и именно разница в зонных структурах металлов, полупроводников и диэлектриков обусловливает различные величины злектропроводности. Зонная структура полупроводников определяется существованием двух типов носителей заряда — дырок и электронов. Легируя полупроводники, можно управлять концентрацией электронов и дырок. Легирование — — это добавление рассчитанного количества известной примеси (легирующей добавки) в кристалл чистого полупроводника.

Легируя трехвалентными атомами (например, бора), можно создать дополнительные дырки в кремнии или германии, которые имеют по четыре валентных электрона. Атомы примеси внедряются в кристаллическую решетку, становятся отрицательными ионами и остаются в узлах кристаллической решетки исходного материала. Легирование не нарушает электрической нейтральности кристалла. Аналогично, при легировании кремния атомами с пятью электронами валентности (например бор) создаются дополнительные электроны.

Атомы примеси заменяют некоторые атомы кремния, каждый атом примеси отдает один дополнительный электрон и остается в виде положительного иона в узле кристаллической решетки полупроводника. Уровень Ферми является важным параметром и характеризует концентрацию носителей заряда в кристалле.

В чистом (собственном) полупроводнике уровень Ферми лежит в середине запрещенной зоны. Он смещается, оставаясь в запрещенной зоне при обычном легировании (не выРождающем полупроводник). Вод влиянием слабого и среднего электрического поля в полупроводнике свободные носители движутся с постоянной скоростью дрейфа. движение носителей под воздействием электрического поля выражается термином «подвижность», обозначаемой и и определяемой как скорость на единицу электрического поля.

На подвижность влияет рассеивание подвижных ~арядов при их взаимодействии с кристаллической решеткой. 2 — 2890 ~~~34 Глава 1. Введение в полупроводники Примеры Пример 1.1. Собственное удельное сопротивление германия при 300 К равно 50 Ом . см. Найти концентрацию собственных носителей в полупроводнике.

Подвижности электрона и дырки соответственно равны р„ = 3900 смэ/(В с), рр — — 1900 смэ/(В с). Решение. Удельная проводимость (о) или удельное сопротивление (р) полупроводника выражаются как и = 1/Р = упРо + ДРРр. В собственном полупроводнике и = р = пь Следовательно, = 1/Ре = упе(Р + Рв) или 1 и;— 2,1 1013 3, р; х д х (и„+рр) 50 х 1,6 х 10-1в(3900+1900) Пример 1.2. Чему равна концентрация доноров в и-германии с сопротивлением 2 Ом см? Подвижность электронов равна 4000 смэ/В с. Решение. Для и-полупроводника удельное сопротивление р найдем из равенства 1 — =о = упр„. Р Так как концентрация электронов и равна концентрации доноров Мо, имеем о 1 д?о— др„рдр„(2 х 1,6 х 10 — 1е х 4000) ‘ Мо = 7,8 х 10ы атомов/смв. Пример 1.3.

Найти концентрацию дырок и электронов в р-кремнии с удельным сопротивлением 120 Ом см. Подвижность дырок и электронов кремния рр — — 500 смэ/В с и р„= 1300 смэ/В с, а концентрация собственных носителей пв = 1 5 ‘ 1010 см-3 Решение.

Для р-Я! удельное сопротивление выражается как 1 — = опрр. Р Отсюда 1 1 р (рдр ) (120 х 1,6 х 10 — 1в х 500) или р~и10м см э пр .р зи) Концентрация электронов в р-о1 2 и = — ‘ = (1,5 х 10’е)~/10’~ = 2,2 х 10е см з; р п=22х10 см з. Пример 1.4. В кристалле и-Я (ширина запрещенной зоны = 1,1 эВ) уровень Ферми должен быть на 0,1 эВ ниже дна зоны проводимости. Концентрация собственных носителей пл = 1,5 10~с см з.

Найти концентрацию донора. Эффективные массы дырки и электрона принять равными. Решение. Для и-полупроводника положение уровня Ферми (Еу„) выражается как Еу„= ‘ » + (3/4) ЙТ 1п — ~ + — 1п Если т„= тр, имеем /Уп’1 Еу„= уровень Ферми собственного полупроводника+ яТ1п ~ — ( ~,( (в середине запрещенной зоны, Еу,). И далее имеем: Еу„— Еу; = МТ1п | — ), (Ел/2 — 0,1 эВ) = МТ1п ~ — ) . и, Так как ширина запрещенной зоны кремния равна 1,1 эВ, имеем 0,45 = яТ1п Подставляя МТ = с эВ при 300 К, получаем Мп =6,5 х10т х 1,5 х10’е = 9,7х10’7 10гз см з.

ПРимеР 1.5. Показать, что если для полупроводника при данной температуре концентрация электронов п будет равна и;(рр/р„)’~~, то его проводимость будет минимальна. Здесь п; — плотность собственных носителей, пр и р„— соответственно подвижность дырок и электронов. Решение. В общем виде проводимость полупроводника выражается как о = д(пр„+ ррт). Подставляя р = п~/и, полу ~аем ( 36 Глава 1. Введение в полупроводники Дифференцируя это равенство, получаем до/ди = о(рг + поир( — 1/и~)).

Проводимость будет минимальна при условии до/дп = О. Приравнивая выражение нулю, получаем искомый результат: и = и;(рр/и„) 7 . Пример 1.6. В кремнии концентрация собственных носителей и; = 10’в см з и концентрация донорной примеси АР~> = 10го см з.

Посредством инжекции в полупроводнике образованы дополнительные носители. Вычислить отношение концентрации дырок (р) к концентрации электронов (и) в точке, в которой плотность концентрации дополнительных носителей равна 10гв см з. Также оценить вызванное инжекцией увеличение р и п в процентах. Решение. Для и-полупроводника с АРр = 10го см з равновесная концентрация электронов по = 10го см з (потому что Агп = и). Равновесная концентрация дырок равна ро = пг/по = 10зг/10го = 10гг см з.

В условии задачи дано, что концентрация дополнительных носителей (как электронов, так и дырок) в результате инжекции стала равной 101в см з. Следовательно, в точке инжекции суммарная концентрация электронов становится п = 10го + 10зз = ПП х 10зз см — з Аналогично для концентрации дырок, 10гг + 101в 10гв см — з Получим отношение р/п = 0,01. Процент увеличения концентрации дырок (неосновных носителей) х100=, х100= —, х100=10з%, а процент увеличения концентрации электронов (основных носителей) ! — ~(101 х 10гз — 10″) 1 ~ х100= х100=0,01х100=1%.

по ~ ~ 10го Дополнительная литература по теме 1. Яее8ег В,. Яеппсопг(цсФог РЬув)св, Ярг)п8ег, 1982. 2. Яге Я.М. РЬувкв оГ Яеш(сопе1пс$ог 1)еч)сев, Ж11еу, 1981. 3. ВачЫ К. Реггу аш1 ЛопаФЬап Р. В1ге), Е1ес1гошс Ма$ег(а( апе( 11еч)сев, Асас1еппс Ргевв, 2001. 4. Япп1Ь В.А. Яеш(сове)пс1огв, СазпЬгЫ8е, 1978. Зд 373 ВОПРОСЫ 1.1. Как дырка проводит электрический ток? 1,2.

Какие свойства полупроводников ставят их в класс важнейших материалов для производства электронных приборов? 1.3. Какие различия в зонных структурах металлов, диэлектриков и полупроводников? 1.4. Чем объясняется уменыпение удельной проводимости полупроводника и удельного сопротивления металла с ростом температуры? 1.5. Как обосновать, что донорные уровни в полупроводнике и-типа расположены на доли электронвольта ниже зоны проводимости? 1.6. Нарисуйте график зависимости уровня Ферми в полупроводнике р-типа от температуры. Проанализируйте график. 1.?.

Концентрация неосновных носителей в р-полупроводнике падает ниже концентрации собственных носителей при той же температуре. Обсудите. 1.8. Характеристики р- или и-полупроводников при повышенных температу- рах (скажем, около 400К) близки к характеристикам нелегированного по- лупроводника. Объясните, почему. Задачи 1.1. На 10в атомов исходного материала — германия — добавили один атом мышьяка.

Сколько дырок и электронов стало доступно для проводимости при 300К? Концентрация собственных носителей германия при 300 К равна 2,5 х 101в см в (у Ое — 4,41 х 10ээ атомов в см з). Ответ: и = 4,41 х 10м см в, р = 1,42 х 10м см 1.2. Чему равна концентрация доноров в и-Ое с удельным сопротивлением 4 Ом см при 300 К? Подвижности носителей заряда р„= 4000 смэ/В с, рр = 2000 см~/В с.

Отвеин Яп = 3,9 х 10’~ см в. 1.3. Найдите концентрации дырок и электронов в р-кремнии с удельным сопротивлением 240 Ом см. Концентрации носителей заряда р .=- 500 смэ/В . с и рв = 1300 смэ/В с, концентрация собственных носителей и; = 1,5 х х101в см в. Ответ:р=бх10’всм вии=4,5х10 см в. 14 Удельное сопротивление образца кремния 50 Ом. см при 300 К. Рассчи таите концентрацию дырок, если кремний р-типа, и концентрацию электронов, если кремний и-типа. рр — — 500 смэ/В с и рв = 1300 смэ/В . с. Ошввт: концентрадая дырок = 2,5 х 10м см в; кояпентрвлия электронов = 10м см в. ~~( 38 Глава 1.

Введение е полупроводники 1.5. Покажите, что при заданной температуре, если концентрация дырок равна 1!э р=и; то проводимость полупроводника будет минимальна. 1.6. Требуется, чтобы в кристалле р-кремния уровень Ферми был расположен на 0,2 эВ выше валентной зоны. Рассчитайте требуемую концентрацию акцептора в материале.

Концентрация собственных носителей и; = 1,5 х х 10’о см э и ширина запрещенной зоны Яд — — 1,1 эВ. Примите эффективные массы электрона и дырки равными. Ответ: Хл = 1,8 х 10’в см в. 1.7. Кристалл германия имеет концентрацию собственных носителей и; = 10’э см е и концентрацию акцепторов ДРл = 101е см э. Процессом ннжекции в полупроводнике образованы дополнительные носители. Определить отношение концентрации электронов (и) к концентрации дырок (р) в точке, в которой плотность дополнительных носителей равна 101в см е.

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Задачи по полупроводникам

1. Вычислить собственную концентрацию носителей заряда в кремнии при T=300K, если ширина его запрещенной зоны Eg=1,12еВ, а эффективные массы носителей заряда mn=1,05m0, mp=0,56m0, где m0 – масса свободного электрона.

Решение.

Концентрация собственных носителей заряда рассчитывается по формуле:

где Nc – эффективная плотность состояний в зоне проводимости,

      Nv – эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Рассчитаем эффективные плотности: Nc=2,69·1019 см-3, Nv=1,05·1019 см-3.

Подставим эти значения в формулу концентрации собственных носителей заряда.

Ответ: ni=6.45·109 см-3, Nc=2,69·1019 см-3, Nv=1,05·1019 см-3.

2. Уровень Ферми в кремнии при 300 К расположен на 0,2 еВ ниже дна зоны проводимости. Рассчитайте равновесную концентрацию электронов и дырок в этом полупроводнике, если ширина его запрещенной зоны = 1,12 еВ, а эффективные массы носителей заряда mn=1,05m0, mp=0,56m0, где m0 – масса свободного электрона.

Решение.

Равновесная концентрация электронов в зоне проводимости:

По условию задачи Ec – EF = 0,2 эВ.

При помощи соотношения действующих масс ni2= np найдем равновесную концентрацию неосновных носителей заряда:

p= ni2/n

Произведем вычисления.

Ответ: Nc=2,69·1019 см-3, n = 1,17·1016 см-3, p = 3,55·103 см-3.

3. При исследовании температурной зависимости концентрации носителей заряда для чистого кремния в области собственной электропроводности получены следующие результаты: T1=463 К собственная концентрация ni1=1020 м-3, а при T2=781 К  ni2=1023 м-3. Н основании этих данных рассчитать ширину запрещенной зоны при T=300 К, если коэффициент ее температурного изменения b=-2.84·10-4 эВ/К.

Решение.

Отношение концентраций при температурах T1 и T2 равна:

Eg = Δ — bT

Отсюда

Ответ: Δ = 2,0227 эВ, Eg = 2,1 эВ.

4. На сколько процентов изменится коэффициент диффузии электронов в невырожденном полупроводнике при повышении температуры на 10%, если подвижность электронов изменяется пропорционально Т-1,5.

Решение.

Коэффициент диффузии электронов вычисляется по формуле:

Преобразуем второе выражение с учетом соотношений:

T2 = 1,1T1

Найдем отношение второго коэффициента диффузии к первому и получим результат:

5. Образец собственного кремния имеет удельное сопротивление 2000 Омм при комнатной температуре и концентрацию электронов проводимости ni=1,4·1016 м-3. Определить удельное сопротивление образца легированного акцепторной примесью с концентрацией 1021 и 1023 м-3. Предположите, что подвижность дырок остается одинаковой как для собственного, так и для примесного кремния и равной μp= 0,25μn.

Решение.

Удельное сопротивление полупроводника обратно пропорционально электропроводности:

Из этой формулы найдем подвижность электронов.

μn= 0,178

μp= 0,25μn= 0,0445

Теперь найдем удельное сопротивление данного образца:

Ответ: μn= 0,178,  μp= 0,0445, ρ1= 13,5 Ом·м.

6. Определить при какой концентрации примесей удельная проводимость при температуре 300 К имеет наименьшее значение. Найти отношение собственной удельной проводимости к минимальной при той же температуре. Собственная концентрация носителей при этой температуре ni= 2,1·1019 м-3, подвижность электронов μn= 0,39 м2/(В·с), подвижность дырок μp=0,19 м2/(В·с).

Решение.

Удельная проводимость выражается формулой:

Так как np = ni2 , следовательно,

Продифференцируем это выражение:

Это выражение имеет минимум при:

т.е. когда

или

тогда

Удельная проводимость у собственного полупроводника:

Минимальная удельная проводимость полупроводника:

Отношение собственной удельной проводимости к минимальной:

Концентрация дырок:

Ответ: σi =1,95 См/м, σ =1,83 См/м, σi /σ =1,07, p =3·1019 м-3.

7. Вычислить время жизни неосновных носителей заряда в полупроводнике, если их установившаяся концентрация при воздействии источника возбуждения составляет 1020 м-3, а начальная скорость уменьшения избыточной концентрации при отключении источника 7,1·1023 м-3 с-1. Найти избыточную концентрацию Δn через время t=2мс после выключения источника возбуждения.

Решение.

Зависимость концентрации избыточных носителей заряда от времени выражается соотношением:

Δn0 – избыточная концентрация носителей заряда в момент выключения источника возбуждения,

τ – время жизни носителей.

Продифференцируем по t:

где τn — время жизни неосновных носителей заряда. Начальная скорость при  t=0 равна 7,1·1023 м-3 с-1:

Отсюда:

Избыточная концентрация через  t=2с:

Ответ: τn = 140 мкс, Δn = 8,7·1019 м-3.

8. В толстом образце германия равномерно по объему генерируются электронно-дырочные пары. Найти скорость поверхностной рекомбинации, если концентрация неравновесных дырок на поверхности образца в 4 раза меньше, чем в объеме; Lp=0,2 см, τp=10-3 с.

Решение.

Запишем уравнение непрерывности:

Граничные условия таковы:

Решение уравнения имеет вид:

Из граничных условий C2 = 0.

Так что:

Найдем отношение полученных величин:

Откуда выведем скорость поверхностной рекомбинации:

Ответ: s = 600 см/с.