Как найти композицию множества

Операции над соответствиями на множествах

Поскольку соответствия можно считать множествами, то все операции над множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение и т.д.) можно применить и к соответствиям. Заметим, что, говоря о дополнении соответствия из в , мы имеем в виду дополнение до универсального соответствия из в , т.е. до декартова произведения Atimes B . Естественно, что и равенство соответствий можно трактовать как равенство множеств.

В то же время на соответствия можно распространить операции, определяемые для отображений. Мы рассмотрим здесь две такие операции.

Композиция соответствии. Следуя аналогии с композицией отображнений, композицией (произведением) соответствий rhosubseteq Atimes B и sigmasubseteq Btimes C называют соответствие

rhocircsigma= bigl{(x,y)colon, (exists zin B)((x,z)inrho)land ((z,y)insigma)bigr}.

(1.3)

Поясним построение композиции двух соответствий. Обратимся сначала к отображениям (как частным случаям соответствий). Пусть заданы отображения (возможно, частичные): из в и из в . Композиция fcirc g определяется как отображение из в , задаваемое формулой y=g(f(x)) . Тем самым задается график отображения fcirc g , т.е. множество упорядоченных пар (x,y) , таких, что . При этом упорядоченная пара (x,y) будет принадлежать графику отображения fcirc g , если и только если найдется элемент zin b , такой, что z=f(x) и y=g(z) . Таким образом, график композиции отображений и есть

fcirc g=bigl{(x,y)colon, (exists z)(z=f(x),, y=g(z))bigr}= bigl{(x,y)colon, y=g(f(x))bigr}.

(1.4)

Необходимо заметить, что запись gcirc f(x) означает g(f(x)) , т.е. отображения в композиции пишутся в порядке, обратном тому, в каком они применяются. Мы же будем везде использовать запись fcirc g , полагая, что fcirc g(x)=g(f(x)) и порядок записи отображений в композиции совпадает с порядком их применения. Это обусловлено тем, что композиция отображений определяется нами как частный случай композиции соответствий, при записи которой естественным оказывается именно такой порядок.

Легко видеть, что (1.4) есть частный случай (1.3). Отметим, что при построении композиции отображений обычно предполагают, что пересечение области значений отображения и области определения отображения не пусто (R(f)cap D(g)ne varnothing) , поскольку в противном случае композиция была бы пуста. Для отображений, не являющихся частичными, R(f)subseteq D(g) , так как D(g)=B . Поэтому в данном случае пересечение R(f)cap D(g) всегда не пусто.

Полезно отметить также, что если и — биекции, то и композиция их тоже будет биекцией.

Вернемся к рассмотрению композиции соответствий rhocircsigma . Полагая, что область определения D(rho) соответствия rho не пуста, возьмем произвольный элемент xin D(rho) . Пусть сечение rho(x)subseteq B соответствия rho не пусто и найдется такой элемент zinrho(x) , что сечение sigma(z)subseteq C также не пусто. Тогда непустое множество {(x,t)colon, tinsigma(z)} будет подмножеством сечения соответствия rhocircsigma в точке . Сечением соответствия в точке будет непустое в силу сделанных предположений множество всех таких упорядоченных пар (x,t)in Atimes C , что xin D(rho) , а tinsigma(z) для некоторого zinrho(x) . Говоря неформально, нужно перебрать все элементы из сечения rho(x) . Таким образом, различие в построении композиции соответствий и композиции отображений заключается в том, что «промежуточный» элемент z в общем случае не единственный и каждому такому элементу также ставится в соответствие не единственный элемент yin C .

Пример 1.8. Соответствие rho возьмем из примера 1.3. Соответствие sigma зададим как соответствие из множества программ ${n_1,n_2 ,n_3, n_4, n_5}$ в множество заказчиков программного обеспечения ${Z_1,Z_2,Z_3,Z_4}$ . Пусть

$sigma=bigl{(n_1,Z_3),, (n_1,Z_4),, (n_2,Z_1),, (n_2,Z_1),, (n_3,Z_2),, (n_4,Z_4),, (n_5,Z_3)bigr}.$

Рассмотрим процесс построения композиции соответствий rho и sigma . Начнем с элемента . Имеем

$rho(I)={n_1,n_3,n_5},quad sigma(n_1)={Z_3,Z_4},quad sigma(n_3)={Z_2},quad sigma(n_5)={Z_5}.$

Отсюда получаем сечение композиции по элементу

$sigma(n_1)cupsigma(n_3)cupsigma(n_5)= {Z_2,Z_3,Z_4}.$

Рассуждая аналогично, получим $(rhocircsigma)(P)={Z_1,Z_4}$ и $(rhocircsigma)(C)={Z_1,Z_3}$ .

Построение графа композиции rhocircsigma проиллюстрировано на рис. 1.3.

Построение графа композиции соответствий

Отметим, что область определения композиции соответствий содержится в области определения первого соответствия, а область значений композиции соответствий — в области значений второго соответствия. Из приведенных рассуждений следует, что для того, чтобы композиция соответствий была отлична от пустого соответствия, необходимо и достаточно, чтобы пересечение области значений первого соответствия и области определения второго соответствия было не пусто.

К определению композиции соответствий можно подойти с более общих позиций. Пусть rho subseteq Atimes B и sigma subseteq Ctimes D . При этом на множества A,,B,,C и априори не накладывается никаких органичений. Композиция rhocircsigma соответствий rho и sigma в этом случае также определяется соотношением (1.3). Чтобы такая композиция была отлична от пустого соответствия, необходимо и достаточно выполнение условия R(rho)cap D(sigma)ne varnothing . В частности, rhocircsigma=varnothing всякий раз, когда Bcap C=varnothing .

Пример 1.9. Рассмотрим соответствие tau={(1,a),(2,a),(3,d)} из множества A={1;2;3} в множество B={a,b,d} и соответствие varphi= {(b,e), (b,f), (c,f)} из множества C={b,c,d} в множество D={e,f} . В данном случае Bcap Cnevarnothing , но taucircvarphi=varnothing , поскольку

R(tau)={a,d},qquad D(varphi)={b,c},qquad R(tau)cap D(varphi)=varnothing.

Заметим, что композиция соответствий rho subseteq Atimes B и sigma subseteq Ctimes D не коммутативна, т.е. в общем случае rhocircsigmane sigmacircrho , поскольку rhocircsigma subseteq Atimes D , а sigmacircrho subseteq Ctimes B .

Композиция бинарного отношения на множестве

Бинарное отношение на множестве является частным случаем соответствия. Для двух бинарных отношении rho и sigma , заданных на множестве , их композиция rhocircsigma (1.3) как соответствий является бинарным отношением на том же множестве . В этом случае говорят о композиции бинарных отношений на множестве .

Композицию rhocircrho бинарного отношения rho на некотором множестве с самим собой называют квадратом бинарного отношения rho и обозначают rho^2 .

Рассмотрим пример построения композиции бинарных отношений на множестве и покажем, что в общем случае для двух бинарных отношений tau и varphi также имеет место неравенство taucircvarphine varphicirctau , хотя обе композиции, в отличие от аналогичных композиций двух произвольных соответствий, заданы на одном и том же множестве.

Построение композиции бинарных отношений

Пример 1.10. а. Зададим на множестве A={1,2,3,4} бинарные отношения tau,,varphi и найдем композицию taucircvarphi , если

tau=bigl{(x,y)colon, x+1<ybigr},quad varphi=bigl{(x,y)colon, |x-y|=2bigr}.

Имеем tau(1)={3;4},~ varphi(3)={1} и varphi(4)={2} . Следовательно, (taucircvarphi)(1)= varphi(3)cupvarphi(4)={1;2} . Далее tau(2)={4},~ varphi(4)={2} и (taucircvarphi)(2)={2} . Так как tau(3)= varphi(4)= varnothing , то в итоге получим taucircvarphi={(1;1),(1;2),(2;2)} . Построение композиции проиллюстрировано на рис. 1.4,а.

Найдем композицию varphicirctau . Поскольку varphi(1)={3} , а tau(3)=varnothing , то (varphicirctau)(1)=varnothing . Аналогично varphi(2)={4} , а tau(4)=varnothing , поэтому (varphicirc tau)(2)= varnothing . Далее varphi(3)={1},~ tau(1)={3;4} , поэтому (varphicirc tau)(3)= {3;4} , а varphi(4)={2},~ tau(2)={4} и (varphicirc tau)(4)= {4} . Построение композиции проиллюстрировано на рис. 1.4,б.

Легко видеть, что taucircvarphinevarphicirctau .

б. Пусть отношение rho на множестве действительных чисел определено как функция y=ax+b . Найдем квадрат этого отношения (линейной функции от одного переменного).

Согласно (1.4), это будет функция , такая, что h(x)=a(ax+b)+c , то есть h(x)=a^2x+(ab+c) . Это тоже линейная функция, но с другими коэффициентами.

Свойства композиции соответствий

Приведем некоторые свойства композиции соответствий:

1) rhocirc(sigmacirctau)= (rhocircsigma)circtau ;
2) для любого соответствия rho имеет место rhocirc varnothing= varnothingcirc tau= varnothing ;
3) rhocirc(sigmacuptau)= (rhocircsigma)cup (rhocirctau) ;
4) для любого бинарного отношения на множестве имеет место равенство rhocirc operatorname{id}Acirc rho= rho .

Эти свойства нетрудно доказать методом двух включений. Рассмотрим в качестве примера доказательство свойства 3. Пусть некоторая упорядоченная пара (x,y) принадлежит композиции rhocirc(sigmacuptau) . Тогда, согласно (1.3), найдется такой элемент , что (x,z)inrho и (z,y)insigmacuptau . Последнее означает, что или (z,y)intau . Таким образом, для элемента имеем и или и . Первая альтернатива имеет место при (x,y)inrhocircsigma , а вторая — при (x,y)inrhocirctau , что означает (x,y)in rhocirc sigmacup rhocirc tau . Тем самым включение rhocirc (sigmacup tau)subseteq rhocirc sigmacup rhocirctau доказано.

Доказательство включения rhocirc sigmacup rhocirctau subseteq rhocirc (sigmacup tau) запишем коротко, используя логическую символику:

$begin{aligned} (x,y)in rhocircsigmacup rhocirctau &Rightarrow (exists u)bigl(((x,u)inrho)land ((u,y)insigma)bigr)lor (exists v)bigl(((x,v)inrho)land ((v,y)intau)bigr) Rightarrow \[2pt] &Rightarrow (exists z)bigl(((x,z)inrho)land (((z,y)insigma)lor ((z,y)intau))bigr) Rightarrow\[2pt] &Rightarrow (exists z)bigl(((x,z)inrho)land ((z,y)insigmacuptau)bigr) Rightarrow\[2pt] &Rightarrow (x,y)in rhocirc (sigmacuptau). end{aligned}$

В данном случае доказательства двух включений не совсем симметричны: элементы и во второй части доказательства не обязаны совпадать.

Замечание 1.4. В тождестве, выражающем свойство 3, нельзя вместо объединения поставить пересечение, так как в этом случае тождество нарушатся. Можно доказать, что сохранится лишь включение

rhocirc (sigmacap tau)subseteq rhocirc sigmacap rhocirctau,,

а обратное включение в общем случае не имеет места.

Анализ свойств 2 и 4 показывает, что роль пустого соответствия аналогична роли нуля при умножении чисел, а диагональ множества играет роль, аналогичную роли единицы, на множестве всех бинарных отношений на .

Обратное соответствие и его свойства

Соответствие, обратное к соответствию rho subseteq Atimes B , есть соответствие из в , обозначаемое $rho^{-1}$ и равное, по определению, $rho^{-1}= {(y,x)colon, (x,y)inrho}$ .

Для соответствия tau из примера 1.3

$tau^{-1}= bigl{(n_1,I),, (n_2,P),, (n_2,C),, (n_3,I),, (n_4,P),, (n_5,I),, (n_5,C)bigr}.$

Обратное соответствие обладает следующими легко проверяемыми свойствами:

1) $(rho^{-1})^{-1}=rho$ ;
2) $(rhocircsigma)^{-1}=sigma^{-1}circrho^{-1}$ .

Для бинарного отношения rho на множестве обратное соответствие есть бинарное отношение на том же множестве. В этом случае говорят о бинарном отношении $rho^{-1}$ на множестве , обратном к rho .

Заметим, что соответствия $rhocircrho^{-1}$ и $rho^{-1}circrho$ в общем случае не совпадают. Даже для бинарного отношения rho на множестве

$Arhocircrho^{-1}ne rho^{-1}circrho$ , а также $rhocirc rho^{-1}ne operatorname{id}A$ и $rho^{-1}circ rhone operatorname{id}A$ .

Например, для бинарного отношения rho={(3;1), (4;1), (4;2)} на множестве A={1;2;3;4} графы самого отношения, обратного отношения $rho^{-1}$ , композиций $rhocircrho^{-1}$ и $rho^{-1}circrho$ представлены на рис. 1.5.

Графы бинарного отношения, обратного отношения и композиций

Если fcolon Ato B — отображение, то оно является соответствием. Обратное к соответствие из в в общем случае не является отображением. Действительно, соответствие $f^{-1}$ , обратное к , состоит из всех упорядоченных пар вида (f(x),x),, xin A . Поскольку в общем случае могут найтись такие два различных элемента и , что f(x)= f(x') , то соответствие $f^{-1}$ в общем случае не будет функционально по второй компоненте и поэтому не будет отображением. Если отображение инъективно, то обратное соответствие есть частичное отображение из в . Если отображение биективно, то обратное соответствие является отображением из в , причем имеют место равенства

$fcirc f^{-1}=operatorname{id}A,,qquad f^{-1}circ f= operatorname{id}B,.$

Отображение $f^{-1}$ в этом случае называют отображением, обратным к .

Ограничение соответствия

Пусть rho subseteq Atimes B — соответствие из в и C subseteq A,~ D subseteq B . Ограничением соответствия rho на подмножества и (или (C,D) -ограничением соответствия rho ) называется соответствие из в , обозначаемое $rhobig|_{C,D}$ , такое, что

$(x,y)in rhobig|_{C,D}~ Leftrightarrow~ bigl((x,y)inrhobigr)land (xin C)land (yin D).$

Таким образом, (C,D) -ограничение соответствия rho есть «то же самое» соответствие rho , но из последнего берутся только упорядоченные пары, первая компонента которых принадлежит подмножеству , а вторая — подмножеству . Можно записать

$rhobig|_{C,D}= rhocap (Ctimes D).$

Так, «малый» арксинус, т.е. функция y=arcsin{x} , есть ограничение «большого» арксинуса y=operatorname{Arcsin}x , который является соответствием на подмножества [-1;1] и $left[-frac{pi}{2};frac{pi}{2}right]$ .

Рассмотрим некоторые важные частные случаи ограничений соответствий (в частности, бинарных отношений и отображений).

Всякое (C,D) -ограничение соответствия rho subseteq Atimes B будем называть сужением соответствия rho на подмножество (коротко — C-сужением соответствия rho ), а всякое (C,rho(C)) -ограничение соответствия rho — строгим сужением соответствия rho на подмножество (строгим C-сужением соответствия р). C-сужения соответствия rho будем обозначать $rhobig|_{C}$ , а строгое сужение — $rhobig|_{circ C}$ соответственно.

Полезно заметить, что для любого отображения fcolon Ato B строгое сужение $fbig|_{circ A}$ есть сюръекция на f(A) . Если, сверх этого, является инъекцией, то $fbig|_{circ A}$ есть биекция на f(A) . Допуская некоторую вольность речи, можно сказать, что любое отображение сюръективно отображает свою область определения на свою область значений, в частности, любая инъекция устанавливает взаимно однозначное соответствие между областью определения и областью значений. Так, функция y=sin{x} сюръективно отображает множество mathbb{R} всех действительных чисел на отрезок [-1;1] , а любая показательная функция биективно отображает на подмножество всех положительных действительных чисел.

Для бинарного отношения rho subseteq A^2 и любого подмножества M subseteq A (M,M)-ограничение бинарного отношения называют ограничением бинарного отношения rho на подмножество и обозначают $rhobig|_{M}$ . Можно записать $rhobig|_{M}=rhocap M^2$ .

Рассмотрим, например, отношение естественного порядка leqslant на множестве действительных чисел. Тогда отношение $leqslantbig|_{mathbb{Z}}= bigl{(m,n)colon, m leqslant n;~ m,ninmathbb{Z}bigr}$ есть ограничение этого порядка на подмножество целых чисел. Но ни в коем случае нельзя путать это отношение с -сужением отношения ! Это последнее состоит из всех таких упорядоченных пар (m,x) , что minmathbb{Z},, xinmathbb{R} и mleqslant x , т.е. вторая компонента пары может быть произвольным действительным числом, не меньшим заданного целого .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

	Композиция множеств 08.06.2011, 13:44
05/01/10 483	Подскажите пожалуйста алгоритм нахождения композиции двух множеств.. Я запутался и у меня ничего не получается.. Например, для множеств и композиция должна состоять из кортежей длины 2.. а как получаются сами кортежи не пойму.. Заранее большое спасибо за помощь!

Someone

Re: Композиция множеств

08.06.2011, 14:08

Заслуженный участник

23/07/05
17973
Москва

Nogin Anton	Re: Композиция множеств 08.06.2011, 18:34
05/01/10 483	Большое спасибо за пояснения! у меня что-то не сходится с ответом..

Nogin Anton	Re: Композиция множеств 08.06.2011, 22:33
05/01/10 483	Всё получилось! Большое спасибо Посмотрите пожалуйста такое: Даны соответствия и . Нужно найти композицию $Gamma ^{-1} circ Delta ^{-1}$ Перевёл всё в буквенный вид: $Gamma ={langle x_1,y_1rangle ,langle x_2,y_5 rangle, langle x_3,y_1 rangle ,langle x_3 , y_5 rangle }$ $Delta ={ langle y_1, w_1rangle ,langle y_1,w_3 rangle ,langle y_2,w_1 rangle , langle y_2,w_2 rangle , langle y_3,w_2 rangle }$ Теперь инвертировал их: $Gamma ^{-1}={ langle y_1,x_1 rangle ,langle y_5,x_2 rangle , langle y_1,x_3 rangle ,langle y_5,x_3 rangle }$ $Delta ^{-1}={ langle w_1,y_1 rangle ,langle w_3, y_1 rangle , langle w_1, y_2 rangle , langle w_2,y_2 rangle , langle w_2, y_3 rangle }$ Беру первый кортеж из $Gamma ^{-1}$ , и ищу в $Delta ^{-1}$ кортеж в котором первый элемент совпадает со вторым элементом выбранного кортежа.. таковых вообще нет..

arseniiv

Re: Композиция множеств

08.06.2011, 22:41

Заслуженный участник

27/04/09
28128

(А зачем их назвали соответствиями, если они как-то не очень отличаются от отношений?)

Могли бы и в графической форме всё найти, раз прям так и дано.

Nogin Anton	Re: Композиция множеств 09.06.2011, 06:25
05/01/10 483	Так у меня в буквенной не получилось Можно ли правило, описанное someone, использовать для соответствий?

arseniiv

Re: Композиция множеств

09.06.2011, 11:44

Заслуженный участник

27/04/09
28128

Насколько я понял, текущие «соответствия» вообще ничем от просто отношений не отличаются. Обычно «соответствие» вроде бы однозначным должно быть, а тут этого нет.

— Чт июн 09, 2011 14:59:45 —

И вообще, даже если бы это были, например, какие-нибудь функции из узкого класса, они всё ещё остались бы отношениями, и потому

Можно ли правило, описанное Someone

, использовать для соответствий?

конечно, можно.

Nogin Anton	Re: Композиция множеств 09.06.2011, 13:36
05/01/10 483	Только скорее всего в задании опечатка, потому что получается пустое множество.. А если в композиции элементы поменять местами, то будет вроде норм..

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Источник

Определение 2.5.
Композицией
бинарных отношений

и
,
заданных на множестве,
называют отношениетакое, что

(2.4)

Примечание. В
формуле (2.4) использованы символы ««,
««,
««,
««.
Все эти символы взяты из математической
логики, которая рассматривается в главе
4. Однако многим эти символы известны
из школьного курса математики. Символназывают квантором всеобщности, он
заменяет слова «любой», «всякий»,
«каждый». Символ– квантор существования, его читают
как «существует», «найдется».
Символзаменяет слова «…тогда и только
тогда…», «…если и только если…»,
символзаменяет соединительные союзы «и»,
«а», «но» и пр. Так предложение
с этими символами в формуле (2.4) можно
прочитать следующим образом: «Для
любого элементаиз множестваи любого элементаиз этого же множества справедливо
утверждение: паратогда и только тогда, когда во множественайдется такой элемент,
чтои«.

Если во множестве
имеется элемент,
через который осуществляется связь
между элементамиив композиции отношений,
то элементбудем называтьэлементом
посредником,
а саму связь между
и–опосредованной
связью.

Пусть
={a,b,c}.
Отношения

и
заданы матрицами:

Найдем композицию
.
Для этого выполним следующую
последовательность действий:

1) используя матрицы
и,
запишем графики отношений

и
:,;

2)
построим графы отношений

и
и объединим их (рис. 2.2);

Примечание1. Графы

ипостроены в виде двудольных графов,
причем входы графа
являются выходами графа
.

Примечание 2. Пути
в объединении графов
иведут от элементов множествак их образам в отношении
,
и далее к образам в отношении
.

3) выпишем все пути,
ведущие от элементов a,
b
и c
к их образам в отношении
,
а также промежуточные элементы в этих
путях, посредством которых осуществляются
связи в отношении.
Результат представим в виде таблицы:

Пути от элементов множества к их образам в отношении	Элементы, осуществляющие опосредованную связь в композиции отношений и	Элементы графика отношения

4) запишем график
отношения
и построим его граф (рис. 2.3).

Рассмотрим вопрос
об отыскании элементов композиции
отношений

и
,
не прибегая к графам.

Пусть

,– матрицы отношений,и.
Задача состоит в том, чтобы найти способ
вычисления элементовматрицы.

1. Найдем
.

,
(см. определение 2.4). В свою очередь по
формуле (2.4), пара
тогда и только тогда, когда во множественайдется такой элемент,
чтои.
Рассмотрим эти включения для всех
возможных значений.

1)
;,
так как=1;,
так как=0.

Следовательно,
не является
элементом множества
,
который осуществляет опосредованную
связь междуив композиции отношений.
Вывод о том, чтоне является
элементом посредником в паре
,
символически можно записать так:.

2)
;,
так как=0;,
так как=0.

Следовательно,
не является
элементом посредником в паре
и.

3)
;,
так как=1;,
так как=1.

Следовательно,
осуществляет
опосредованную связь в паре
и.

Таким образом, во
множестве
найден элемент,
осуществляющий опосредованную связь
между элементами парыв композиции отношений.
Следовательно,.

Последнее равенство
можно рассматривать как результат
умножения первой строки матрицы
на первый столбец матрицы,
в которых умножение элементов матрицы
выполняется по правилу логического
умножения, а сложение произведений –
по правилу операции максимум (см. формулы
(1.8), (1.10)).

2. Найдем
,
воспользовавшись выводом, сделанным в
п. 1.

Равенство
означает, что во множествеесть элемент посредник,
осуществляющий связь между элементами
парыв композиции отношений.
Покажем, что это действительно так.

₁₎
является элементом посредником, посколькуи;

₂₎
не является элементом посредником, так
каки;

3)
также не является элементом посредником,
поскольку,
но.

Аналогично находим
все элементы матрицы
:

=1,

элемент посредник
–
;

=1,

элемент посредник
–
;

=1,

элемент посредник
–
;

=1,

элемент посредник
–
;

=0,

опосредованных
связей между
инет,;

=0,

опосредованных
связей между
инет,;

=1,

элемент посредник
–
.

Таким образом,
матрица
имеет вид

Обобщением
проделанных операций являются формулы
(2.5) и (2.6), которые позволяют вычислять
матрицы композиций бинарных отношений
на произвольном множестве
:

(2.5)

где
– число элементов множества,– матрица отношения,– матрица отношения,– матрица отношения,
элементыкоторой находят по формуле (2.6):

(2.6)

Рассмотрим
композицию
,
когда==.
В этом случае естественно обозначить=.
Учитывая формулу (2.5), получаем:.

Примеры.

1. Пусть
и– матрица бинарного отношения, заданного
на множестве.

Найдем матрицу композиции
.

Для любой строки
матрицыи соответствующей строкиматрицывыполняются неравенства(см. определение (1.5) и формулу (1.3)). Все
строки матрицыне меньше отношенующих строк матрицы.
Будем считать, что в таком случае.
Очевидно, что из неравенстваследует.

В матрице
учтены все связи между элементами
множества,
определяемые отношением,
в матрице– все дополнительные опосредованные
связи между элементами того же множества.
Неравенствоозначает, чтокаждая опосредованная
связь покрывается непосредственной
связью, т.е. в отношенииучтены все опосредованные связи.

2.
,
.

,,,– строки матрици.
Имеем неравенства:,.
Строкиинесравнимы между собой.

В матрице
записаны все непосредственные связи,
определяемые отношением,
в матрице– дополнительные опосредованные связи
в этом же отношении.

Проанализируем неравенства
истрок, соответствующих элементам.

1)
означает, что опосредованная связь(–
элемент посредник) не покрывается
непосредственной связью меду этими
элементами в отношении:,
но.

2)
говорит о том, что связьтолько непосредственная, элемент
посредник, осуществляющий эту связь в
композиции отношений, отсутствует:,
но.

3)
,
означает, что связьявляется только опосредованной (– элемент посредник):,
но.

Таким образом, если строки
иматрицинесравнимы или,
то опосредованные связи между элементами
множества покрываются непосредственными
связями лишь частично или не покрываются
совсем.

Из рассмотренных
примеров делаем вывод.

Вывод. Если
в отношении
непосредственные связи между элементами
множествапокрывают все опосредованные связи
между его элементами, тои.

Соседние файлы в папке учебник

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

In the mathematics of binary relations, the composition of relations is the forming of a new binary relation R; S from two given binary relations R and S. In the calculus of relations, the composition of relations is called relative multiplication,^[1] and its result is called a relative product.^[2]^: 40 Function composition is the special case of composition of relations where all relations involved are functions.

The word uncle indicates a compound relation: for a person to be an uncle, he must be the brother of a parent. In algebraic logic it is said that the relation of Uncle () is the composition of relations «is a brother of» () and «is a parent of» ().

Beginning with Augustus De Morgan,^[3] the traditional form of reasoning by syllogism has been subsumed by relational logical expressions and their composition.^[4]

Definition[edit]

If and are two binary relations, then
their composition is the relation

In other words, is defined by the rule that says if and only if there is an element yin Y such that (that is, and ).^[5]^: 13

Notational variations[edit]

The semicolon as an infix notation for composition of relations dates back to Ernst Schroder’s textbook of 1895.^[6] Gunther Schmidt has renewed the use of the semicolon, particularly in Relational Mathematics (2011).^[2]^: 40^[7] The use of semicolon coincides with the notation for function composition used (mostly by computer scientists) in category theory,^[8] as well as the notation for dynamic conjunction within linguistic dynamic semantics.^[9]

A small circle has been used for the infix notation of composition of relations by John M. Howie in his books considering semigroups of relations.^[10] However, the small circle is widely used to represent composition of functions which reverses the text sequence from the operation sequence. The small circle was used in the introductory pages of Graphs and Relations^[5]^: 18 until it was dropped in favor of juxtaposition (no infix notation). Juxtaposition is commonly used in algebra to signify multiplication, so too, it can signify relative multiplication.

Further with the circle notation, subscripts may be used. Some authors^[11] prefer to write $circ _{l}$ and $circ _{r}$ explicitly when necessary, depending whether the left or the right relation is the first one applied. A further variation encountered in computer science is the Z notation: circ is used to denote the traditional (right) composition, but ⨾ (U+2A3E ⨾ Z NOTATION RELATIONAL COMPOSITION) denotes left composition.^[12]^[13]

The binary relations are sometimes regarded as the morphisms in a category Rel which has the sets as objects. In Rel, composition of morphisms is exactly composition of relations as defined above. The category Set of sets is a subcategory of Rel that has the same objects but fewer morphisms.

Properties[edit]

Composition in terms of matrices[edit]

Finite binary relations are represented by logical matrices. The entries of these matrices are either zero or one, depending on whether the relation represented is false or true for the row and column corresponding to compared objects. Working with such matrices involves the Boolean arithmetic with and An entry in the matrix product of two logical matrices will be 1, then, only if the row and column multiplied have a corresponding 1. Thus the logical matrix of a composition of relations can be found by computing the matrix product of the matrices representing the factors of the composition. «Matrices constitute a method for computing the conclusions traditionally drawn by means of hypothetical syllogisms and sorites.»^[14]

Heterogeneous relations[edit]

Consider a heterogeneous relation that is, where and are distinct sets. Then using composition of relation with its converse ${displaystyle R^{textsf {T}},}$ there are homogeneous relations ${displaystyle RR^{textsf {T}}}$ (on ) and ${displaystyle R^{textsf {T}}R}$ (on ).

If for all xin A there exists some such that xRy (that is, is a (left-)total relation), then for all ${displaystyle x,xRR^{textsf {T}}x}$ so that ${displaystyle RR^{textsf {T}}}$ is a reflexive relation or ${displaystyle Isubseteq RR^{textsf {T}}}$ where I is the identity relation Similarly, if is a surjective relation then

${displaystyle R^{textsf {T}}Rsupseteq I={xIx:xin B}.}$

In this case ${displaystyle Rsubseteq RR^{textsf {T}}R.}$ The opposite inclusion occurs for a difunctional relation.

The composition ${displaystyle {bar {R}}^{textsf {T}}R}$ is used to distinguish relations of Ferrer’s type, which satisfy ${displaystyle R{bar {R}}^{textsf {T}}R=R.}$

Example[edit]

Let { France, Germany, Italy, Switzerland } and { French, German, Italian } with the relation given by aRb when is a national language of
Since both and is finite, can be represented by a logical matrix, assuming rows (top to bottom) and columns (left to right) are ordered alphabetically:

${displaystyle {begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\1&1&1end{pmatrix}}.}$

The converse relation ${displaystyle R^{textsf {T}}}$ corresponds to the transposed matrix, and the relation composition ${displaystyle R^{textsf {T}};R}$ corresponds to the matrix product ${displaystyle R^{textsf {T}}R}$ when summation is implemented by logical disjunction. It turns out that the matrix ${displaystyle R^{textsf {T}}R}$ contains a 1 at every position, while the reversed matrix product computes as:

${displaystyle RR^{textsf {T}}={begin{pmatrix}1&0&0&1\0&1&0&1\0&0&1&1\1&1&1&1end{pmatrix}}.}$

This matrix is symmetric, and represents a homogeneous relation on

Correspondingly, ${displaystyle R^{textsf {T}},;R}$ is the universal relation on hence any two languages share a nation where they both are spoken (in fact: Switzerland).
Vice versa, the question whether two given nations share a language can be answered using ${displaystyle R,;R^{textsf {T}}.}$

Schröder rules[edit]

For a given set the collection of all binary relations on forms a Boolean lattice ordered by inclusion Recall that complementation reverses inclusion:
${displaystyle Asubseteq B{text{ implies }}B^{complement }subseteq A^{complement }.}$
In the calculus of relations^[15] it is common to represent the complement of a set by an overbar: ${displaystyle {bar {A}}=A^{complement }.}$

If is a binary relation, let ${displaystyle S^{textsf {T}}}$ represent the converse relation, also called the transpose. Then the Schröder rules are

${displaystyle QRsubseteq Squad {text{ is equivalent to }}quad Q^{textsf {T}}{bar {S}}subseteq {bar {R}}quad {text{ is equivalent to }}quad {bar {S}}R^{textsf {T}}subseteq {bar {Q}}.}$

Verbally, one equivalence can be obtained from another: select the first or second factor and transpose it; then complement the other two relations and permute them.^[5]^: 15–19

Though this transformation of an inclusion of a composition of relations was detailed by Ernst Schröder, in fact Augustus De Morgan first articulated the transformation as Theorem K in 1860.^[4] He wrote^[16]

${displaystyle LMsubseteq N{text{ implies }}{bar {N}}M^{textsf {T}}subseteq {bar {L}}.}$

With Schröder rules and complementation one can solve for an unknown relation in relation inclusions such as

For instance, by Schröder rule ${displaystyle RXsubseteq S{text{ implies }}R^{textsf {T}}{bar {S}}subseteq {bar {X}},}$ and complementation gives ${displaystyle Xsubseteq {overline {R^{textsf {T}}{bar {S}}}},}$ which is called the left residual of by .

Quotients[edit]

Just as composition of relations is a type of multiplication resulting in a product, so some operations compare to division and produce quotients. Three quotients are exhibited here: left residual, right residual, and symmetric quotient. The left residual of two relations is defined presuming that they have the same domain (source), and the right residual presumes the same codomain (range, target). The symmetric quotient presumes two relations share a domain and a codomain.

Definitions:

Using Schröder’s rules, is equivalent to Thus the left residual is the greatest relation satisfying Similarly, the inclusion is equivalent to and the right residual is the greatest relation satisfying ^[2]^: 43–6

One can practice the logic of residuals with Sudoku.^{[further explanation needed]}

Join: another form of composition[edit]

A fork operator has been introduced to fuse two relations and into The construction depends on projections and understood as relations, meaning that there are converse relations ${displaystyle a^{textsf {T}}}$ and ${displaystyle b^{textsf {T}}.}$ Then the fork of and is given by^[17]

${displaystyle c,(<),d~mathrel {:=} ~c;a^{textsf {T}}cap d;b^{textsf {T}}.}$

Another form of composition of relations, which applies to general -place relations for is the join operation of relational algebra. The usual composition of two binary relations as defined here can be obtained by taking their join, leading to a ternary relation, followed by a projection that removes the middle component. For example, in the query language SQL there is the operation Join (SQL).

Notes[edit]

^ Bjarni Jónssen (1984) «Maximal Algebras of Binary Relations», in Contributions to Group Theory, K.I. Appel editor American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-5035-0
^ ^a ^b ^c Gunther Schmidt (2011) Relational Mathematics, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 132, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-76268-7
^ A. De Morgan (1860) «On the Syllogism: IV and on the Logic of Relations»
^ ^a ^b Daniel D. Merrill (1990) Augustus De Morgan and the Logic of Relations, page 121, Kluwer Academic ISBN 9789400920477
^ ^a ^b ^c Gunther Schmidt & Thomas Ströhlein (1993) Relations and Graphs, Springer books
^ Ernst Schroder (1895) Algebra und Logik der Relative
^ Paul Taylor (1999). Practical Foundations of Mathematics. Cambridge University Press. p. 24. ISBN 978-0-521-63107-5. A free HTML version of the book is available at http://www.cs.man.ac.uk/~pt/Practical_Foundations/
^ Michael Barr & Charles Wells (1998) Category Theory for Computer Scientists Archived 2016-03-04 at the Wayback Machine, page 6, from McGill University
^ Rick Nouwen and others (2016) Dynamic Semantics §2.2, from Stanford Encyclopedia of Philosophy
^ John M. Howie (1995) Fundamentals of Semigroup Theory, page 16, LMS Monograph #12, Clarendon Press ISBN 0-19-851194-9
^ Kilp, Knauer & Mikhalev, p. 7
^ ISO/IEC 13568:2002(E), p. 23
^ Unicode character: Z Notation relational composition from FileFormat.info
^ Irving Copilowish (December 1948) «Matrix development of the calculus of relations», Journal of Symbolic Logic 13(4): 193–203 Jstor link, quote from page 203
^ Vaughn Pratt The Origins of the Calculus of Relations, from Stanford University
^ De Morgan indicated contraries by lower case, conversion as M⁻¹, and inclusion with )), so his notation was ${displaystyle nM^{-1})) l.}$
^ Gunther Schmidt and Michael Winter (2018): Relational Topology, page 26, Lecture Notes in Mathematics vol. 2208, Springer books, ISBN 978-3-319-74451-3

References[edit]

M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev (2000) Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter,ISBN 3-11-015248-7.

Источник

Формальная теория моделирования использует алгебраические отношения, включая их в сигнатуры моделей алгебраических структур, которыми описывает реальные физические, технические и информационные объекты, процессы их функционирования. К числу последних я отношу, например, базы данных (реляционные базы данных (РеБД)). Не менее важной считаю область принятия решений, которая состоит из двух основных статистической и алгебраической, основанной целиком на теории отношений. Образовательный уровень специалистов в этой теории близок к нулю.

Откройте учебник по специализации и там увидите в лучшем случае об эквивалентностях, которые авторами трактуются весьма своеобразно. Одного защитившегося уже ДТН спрашиваю: Вы рассматриваете отношение эквивалентности на указывая ни носителя отношения, ни конкретного отношения, как оно у Вас выглядит в записи? Ответ: как выглядит — обыкновенно. Выясняется, что он обо всем этом имеет весьма смутное представление.

Публикаций по проектированию РеБД, кроме иностранных статей назвать затрудняюсь. В 90-х годах был оппонентом, писал отзыв на диссертацию, где рассматривались и иерархические, и сетевые, и реляционные БД. Но как-то год, полтора назад опять на отзыв пришла работа, автор пишет уже только о РеБД, о нормализации отношений БД, но теоретической новизны не показал. Во многих ВУЗах читается курс о базах данных, но не о том, как их создать, создать СУБД, а как правило, о том как эксплуатировать готовую (зарубежную) БД.

Преп. состав не готов научить специалистов IТ-шников создавать отечественные СУБД, ОS, языки программирования, я уж не говорю о БИС, СБИС, заказных БИС. Здесь, по-видимому, поезд ушел давно и надолго. Так что напрасно надуваются у некоторых щеки от гордости (читай снобизма) это видно по комментариям к чужим публикациям, покажите сами, что можете, а не балуйтесь никчемными переводами и перепевками чужого ради предмета гордости — «рейтинга» и «кармы». Сказывается не только отсутствие креатива, но простой образованности и воспитания.

Вторая предметная область неразрывно, связанная с отношениями, — принятие решений. Каждый из нас постоянно занят этим. Мы без решения осознанного или неосознанного пальцем не пошевелим. Мало кто понимает, а еще меньше пишет о решениях. В основе решения любого ЛПР (лица, принимающего решение) лежит предпочтение альтернатив. А моделью предпочтения как раз и является такой тип отношений, который назван «пространством отношений предпочтения». Но кто их изучает. Когда я пришел к «специалисту» по отношениям с вопросом о количестве отношений каждого типа, он не зная ответа, «убил» встречным вопросом, а зачем это Вам?

Понятие отношения

Думаю, что термин отношение знаком каждому читателю, но просьба дать определение поставит большинство в тупик. Причин для этого много. Они чаще всего в преподавателях, которые, если и использовали отношения в процессе преподавания, внимания на этом термине не заостряли, запоминающихся примеров, по-видимому, не приводили.

В моей памяти есть несколько на всю жизнь запомнившихся примеров. Об отображениях и об отношениях. Расскажу вначале об отображениях. Имеется два ведерка с краской. В одном белая в другом — черная. И есть коробка с кубиками (очень много). Грани имеют рельефные номера. Сколькими способами можно раскрасить грани кубиков в два цвета? Ответ неожиданный — столькими, сколько 6-разрядных двоичных чисел, или 2⁶ = 64. Поясню подробнее ф: 2→6 отображаются 2 объекта в 6. Каждая строчка таблицы- дискретное отображение фi.

Построим таблицу с 6 колонками и краскам сопоставим число белая — нуль, черная — единица, а граням кубика колонки. Начинаем с того, что все 6 граней белые — это 6-мерный нулевой вектор. Вторая строчка одна грань черная, т. е. младший разряд заполнен 1. и так до исчерпания 6-разрядных двоичных чисел. Кубики ставим в общий длинный ряд. У каждого из них как бы появился номер от 0 до 63.

Теперь отображение наоборот. Пачка листов бумаги (много) и 6 красок (фломастеры).
Фломастерами разного цвета надо пометить обе стороны бумажных листов. Сколько листов потребуется. Ответ f: 6 → 2 или 6² =36. Речь идет о произвольных отображениях.

Перейдем к отношениям. Начнем с абстрактного множества — носителя отношения
А ={a1, a2, a3, …, an}.
О нем почитать можно здесь. Для лучшего понимания сократим множество до 3 элементов, т.е. А ={a1, a2, a3}. Теперь выполним декартово умножение А×А =А²,
А×А={(a1, a1),(a1, а2),(a1, a3),(a2, а1),(a2, a2),(a2, a3),(a3, a1),(a3, a2),(a3, a3)}.

Получили 9 упорядоченных пар элементов из А×А, в паре первый элемент из первого сомножителя, второй — из второго. Теперь попробуем получить все подмножества из декартова квадрата А×А. Вначале простенький пример.

Пример 1. Задано множество А ={a,b,c,d} из 4-х элементов. Выписать все его подмножества. В(А) ={Ø};{a};{b};{c};{d};{ab};{ac};{ad};{bc};{bd};{cd};{abc};{abd};{acd};{bcd};{abcd}; 2⁴ = 16 подмножеств. Это булеан В(А) множества А и в него включено пустое подмножество.

Подмножества будут содержать из А×А разное количество элементов (пар): одну, две, три и так до всех 9 пар, включаем в этот список и пустое множество (Ø). Сколько же получилось подмножеств? Много, а именно 2⁹= 512 элементов.

Определение. Любое подмножество декартова произведения (у нас квадрата) множества называется отношением. Заметим, в произведении используется одно и то же множество. Если множества разные, возникает не отношение, а соответствие.

Если декартово произведение из двух сомножителей, то отношение бинарное, если из 3-х -тернарное, из 4-х — тетрарное, из n — n-арное. Арность — число мест в отношении. Отношениям дают имена прописных букв R,H, P, S… Остановимся подробно на бинарных отношениях (БО), так как они играют очень важную роль в теории отношений. Собственно к бинарным отношениям могут быть сведены все остальные.

Символ отношения ставится слева от элементов R(x, y) или между ними x R y; х, у є А.
Определение Множество всех подмножеств множества А называется булеаном. Наш булеан состоит из 2^|А×А| элементов, здесь|А×А| — мощность множества.

Отношения можно задавать в разном представлении над А={a1,a2,a3,a4}:

перечислением элементов; R1={(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3)(a2,a4)(a3,a2)(a3,a4}
двоичным n = 16-разрядным вектором; <0110001101010000>;
матрицей;

Рисунок 1.2. а)Матрица 4×4 бинарного отношения б) нумерация клеток Матрицы

Здесь используются номера клеток, заполненные единицами на рис. 1б)
— Векторное представление. Двоичный вектор для представления бинарного отношения формируется из элементов {0,1} следующим образом:

Рассмотренный пример задания отношения в векторной форме будет иметь следующий вид:

— Представление графом. Поставим в соответствие элементам множества
А ={x1,x2,z3,…,xn} точки на плоскости, т.е. вершины графа G = [Q, R].

Проведем в графе дугу от (xi) к (xj) тогда и только тогда, когда пара (xi,xj) є R (при i = j дуга (xi,xi) превращается в петлю при вершине (xi). Пример (рис. 1а) представления бинарного отношения A[4×4] графом изображен на рис.2.2.

Рисунок 2.2. Представление отношения ориентированным графом

Каталог бинарных отношений (n = 3)

Большое видится на расстоянии. Чтобы почувствовать отношения их разнообразие, мощность мне пришлось вручную создать каталог бинарных отношений над множеством из 3-х элементов, который включил все (боле 500 отношений) отношения. После этого «дошло» или «зашло»об отношениях.

Очевидно, что в каталог войдут 2^3×3 = 2⁹ отношений, и каждое из них снабдим набором присущих им свойств. Ниже (табл. 3) приводится полный список всех 512 отношений над множеством А, |A| = 3, из трех элементов. Приводятся также результаты подсчета количества отношений (табл. 2), представленных сочетаниями номеров клеток декартова квадрата 3×3, различных подклассов для различных значений мощности множества-носителя (n = 3). Для каждого отношения указаны его основные свойства и принадлежность типу (табл. 3). Сокращения, используемые в каталоге раскрываются таблицей 2
Таблица 2. Количественные характеристики каталога при разных n

Сущность производимых операций с отношениями и их технику удобно пояснять на примерах, которые особенно просты и понятны для бинарных отношений. В операциях могут участвовать, два и/или более отношений. Операции, выполняемые над отдельными отношениями – унарные операции. Например, операции обращения (получение обратного) отношения, взятие дополнения, сужение (ограничение) отношения. Как пользоваться каталогом поясним примером примером.

Пример 2. Рассмотрим строку Nпр =14 таблицы каталога. Она имеет вид

Первые 9 символов строки (справа от равенства) — это двоичный вектор, соответствующий сочетанию из 9 по 2, а именно, номер первой клетки (отсчет слева направо) номер 5-й клетки матрицы бинарного отношения, т.е. элементы а1а1= а2а2 =1. Это сочетание имеет порядковый номер Ncч = 4 и сквозной номер Nпр = 14 в списке всех отношений. В остальных позициях этой строки стоят либо нули, либо единицы. Нули свидетельствуют об отсутствии свойства, соответствующего названию колонки нуля, а единицы – наличие такого свойства у рассматриваемого отношения.

Свойства и количественные характеристики отношений

Рассмотрим наиболее важные свойства отношений, которые позволят в дальнейшем выделить типы (классы) отношений, применяющиеся в реляционных базах данных в теории выбора и принятия решений и других приложениях. Далее будем обозначать отношение символом [R,Ω]. R- имя отношения, Ω — множество-носитель отношения.

1. Рефлексивность. Отношение [R,Ω] называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в отношении R сам с собой (рис. 2.3). Граф рефлексивного БО имеет во всех вершинах петли (дуги), а матрица отношения содержит (Е) единичную главную диагональ.

Рисунок 2.3. Рефлексивное отношение

2. Антирефлексивность. Отношение [R,Ω] называется антирефлексивным, если ни один элемент из множества не находится в отношении R сам с собой (рис. 2.4). Антирефлексивные отношения называют строгими.

Рисунок 2.4. Антирефлексивное отношение

3. Частичная рефлексивность. Отношение [R,Ω] называется частично
рефлексивным, если один или более элементов из множества не находится в отношении R сам с собой (рис. 2.5).

4. Симметричность. Отношение [R,Ω] называется симметричным, если вместе с упорядоченной парой (х, у) отношение содержит и упорядоченную пару (у, х) (рис. 2.6).

5. Антисимметричность. Отношение [R,Ω] называется антисимметричным, если, если для всякой упорядоченной пары (х, у) є R упорядоченная пара
(у, х)єR, только в случае х = у. Для таких отношений R∩R^-1 ⊆ E (рис. 2.7).

6. Асимметричность. Отношение [R,Ω] называется асимметричным, если оно антирефлексивно и для всякой упорядоченной пары (х, у) є R упорядоченная пара (у, х) ∉ R, для отношений R ∩ R^-1 = Ø (рис. 2.8).

7. Транзитивность. Отношение [R,Ω] называется транзитивным, если для всяких упорядоченных пар (х, у),(у, z) є R, в отношении R найдется упорядоченная пара (х, z) є R или если R×R⊆R (рис. 2.9).

8. Цикличность. Отношение [R,Ω] называется циклическим, если для его элементов {x1, x2, z3,…, xn} найдется подмножество элементов {xi,xi+1,…xr,…,xj,xi}, для которого можно выписать последовательность xiRxi+1R…RxjRxi. Такая последовательность называется циклом или контуром (рис. 2.10).

9. Ацикличность. Отношения, в которых отсутствуют контуры называются, ациклическими. Для ациклических отношений выполняется соотношение R^k∩R = Ø для любого k > 1 (рис. 2.11).

10. Полнота (связность). Отношение [R,Ω] называется полным (связным), если для любых двух элементов (у, z) є Ω один из них находится в отношении с другим (рис 2.12). Линейность. Линейные отношения – это минимально полные отношения.

Рисунок 2.12. Линейное отношение

Итак, нами установлено, что отношения, как математические объекты, обладают определенными свойствами, определение которых приведены ранее. В следующем пункте рассмотрим существо и проявление некоторых свойств:

Рефлексивность х є А (хRx).
Антирефлексивность х є А ¬(хRx).
Симметричность х, у є А (хRy→yRx).
Антисимметричность (xRy & yRx→x = y).
Транзитивность; х, у, z є А(хRy & yRz →xRz).
Цикличность; х, у є А; .
Полнота x,y є А (xRy, yRx);
Связность (x ≠ y→ xRy, yRx).
Линейность x,y є А (xRy, yRx).

Анализ пространства отношений представляет сложную задачу теории и, надо отметить, далек от завершения. К основным результатам следует отнести выделение подмножеств отношений, образующих полные пространства отношений со всеми вытекающими из этого следствиями.

Количественные соотношения таких дискретных пространств представляют большой как
теоретический, так и практический интерес. Ниже рассматриваются некоторые аспекты количественных характеристик, связанных со свойствами отношений разных типов.

Операции над отношениями

Как и большинстве систем счисления с отношениями выполняются операции:

унарные;
бинарные;
n-арные.

Ниже приведены таблицы булева ⊕ сложения и умножения & двух переменных x1 и x2, сложение по mod 2 и суммирование двоичных чисел:

Выше было введено понятие бинарного отношения, как подмножества упорядоченных пар декартова произведения множеств, а также были рассмотрены свойства отношений. Кроме того, были упомянуты бинарные отношения и матричное представление отношений. Рассмотрим теперь понятие отношения более подробно, кроме того, рассмотрим основные операции бинарных отношений, наиболее важные из всего их множества для отношений.

Для них должны выполняться следующие условия:

арность операндов в операции должна совпадать;
результатом операции должно быть отношение той же арности.

Для бинарных и n-арных отношений должно быть выполнено: область прибытия первого операнда должна совпадать с областью отправления второго операнда.

Унарные операции над отношениями

Обращение отношений. Обратным к отношению R называется отношение R^-1, определяемое условием xR^-1y<=>yRx. Более корректно эту операцию следовало бы назвать псевдообращением, так как р·р^-1 ≠ Е = Δ.

Пусть отношение Р записано в форме перечисления входящих в него упорядоченных пар. Если в каждой паре поменять местами компоненты, то новые пары образуют отношение P^-1, которое называют обратным к Р.

Обратное отношение к отношению P – такое отношение, которое образовано парами (ai aj), для которых (aj ai) є P^-1. Для отношений в матричной форме обратные отношения получаются путем транспонирования матрицы Р.

9. Двойственное отношение (P^d) к отношению Р – отношение, образованное всеми теми парами, которые принадлежат универсальному отношению и не принадлежат обратному отношению (дополнение к обратному):

P^d = {(ai aj) | ((ai aj) єA×A) & (ai aj)∉

^-1)} =(A×A) P^-1.

Двойственное и обратное отношения в совокупности содержат все пары декартова произведения A×A и не имеют общих пар, они также как и отношения Р и

образуют разбиение A×A

Заметим, что ни для какого отношения Р не выполняется Р= P^d.

Сужение (РА1). Отношение [R1, A1] называется сужением отношения [R, A] на множество Ω1, если Ω1⊆ Ω и R1=R∩Ω1×Ω1. Отношение РА1 на множестве А1 ⊆ А – отношение РА1 на множестве А1, образованное всеми теми парами, которые принадлежат отношению Р и одновременно входят в состав декартова произведения А1 × А1. Другими словами, РА1 – пересечение отношений Р и А1×А1. Пусть А1 = {a1, a3, a4}, тогда для отношений Р и Q в матричной форме отношения сужения будут иметь вид:

Бинарные операции

Операции, требующие не менее двух отношений – n-арные (n-местные). В таких операциях могут участвовать отношения только одинаковой арности. Примеры таких операций: пересечение, объединение, разность, симметрическая разность отношений и некоторые другие. Если в операции используется более чем два отношения, то она выполняется последовательно для двух первых, а затем для итогового отношения и третьего и т.д.

Иначе говоря, эти операции определены для двух отношений. При операциях над отношениями предполагается, что области задания отношений (операндов и результата) совпадают, арности отношений совпадают, и результатом операции снова является отношение той же арности. В качестве примеров будем рассматривать операции над бинарными отношениями P и Q, заданными на дискретном множестве
А = {a1, a2, a3, a4} булевыми матрицами (нули в матрицу, как правило, не вписываются):

1. Пересечение (P ∩ Q) – отношение, образованное всеми теми парами элементов из А, которые входят в оба отношения, т.е. общие для P и Q,
P ∩ Q = {(ai aj) | ((ai aj) є P) & ((ai aj) є Q)}.

Матрица отношения P ∩ Q получается как булево пересечение матриц P и Q:

При отсутствии таких общих пар говорят, что пересечение отношений пусто, т.е. оно является нуль-отношением. Пересечением отношений R1 и R2 (R1∩R2 ) называется отношение, определяемое пересечением соответствующих подмножеств из А×А.

2. Объединение (PUQ). Объединением отношений R1 и R2 (R1UR2 ) называется отношение, определяемое объединением соответствующих подмножеств из А×А. Отношение, образованное всеми парами, составляющими или отношение P, или отношение Q, т.е. парами, принадлежащими хотя бы одному из отношений (связка ∨ — или объединительная)
P U Q = {(ai aj) | ((ai aj) є P) ∨ ( (ai aj) є Q)}.

Если в множестве А×А нет других пар, не вошедших в отношение PUQ, а пересечение их нулевое, то говорят, что отношения P и Q при объединении образуют полное отношение А×А, а их система – разбиение этого полного отношения. Объединение матриц отношений образуется как булева сумма матриц отношений:

3.Разность (PQ) – отношение, образованное теми парами из Р, которые не входят в отношение Q
PQ = {(ai aj) | ((ai aj) є P)&((ai aj)∉Q)}.

Разность для отношений в матричном представлении имеет вид

4. Умножение отношений. Упорядоченные пары, образующие отношения могут содержать одинаковые элементы, а могут и не содержать. Среди пар, имеющих в своем составе одинаковые элементы, выделим такие упорядоченные пары, которые назовем смежными (примыкающими) и которые имеют во второй паре 1-й элемент, а в первой паре 2-й элемент один и тот же. Определим произведение смежных пар как упорядоченную пару:
( ai ak)∙( ak aj) => (ai aj).

В терминах теории графов сказанное означает, что смежные пары образуют маршрут из точки (ai) в точку (aj) транзитом через точку (ak), состоящий из 2-х смежных дуг. Произведение этих дуг – третья дуга из точки (ai) в точку (aj), реализующая переход между крайними точками маршрута в том же направлении, минуя промежуточную точку (ak). Говорят, что дуга (ai aj) замыкает эти точки напрямую.

5. Симметрическая разность (P∆Q) – отношение, образованное теми парами, которые входят в объединение PUQ, но не входят в пересечение P∩Q. Другая форма определения объясняет название операции: P∆Q образовано теми упорядоченными парами, которые являются объединением разностей PQ и QP. Таким образом, выражение для симметрической разности записывается двумя разными способами:
P∆ Q = (PU Q)(P ∩ Q) = (PQ)U (QP).

Матрица симметрической разности имеет вид:

Из последней записи следует, что операция симметрической разности допускает перестановку операндов, т. е. коммутативна.

5. Композиция или произведение (P∙Q) – отношение, образованное всеми парами, для которых выполняется:
P∙Q = {(ai aj)|((ai ak) є P) & ((ak aj) є Q)}.

Другими словами, каждая упорядоченная пара в результирующем отношении есть результат умножения смежных пар, из которых 1-я пара принадлежит первому сомножителю-отношению, 2-я – второму сомножителю-отношению. Операция композиции не коммутативна.

Композиция (Р◦Q) на множестве М – отношение R, заданное на том же множестве М, которое содержит пару (x, y), когда существует Z є M такое, что (x, z) є P и (z, y) є Q.

При матричном представлении отношений матрица композиции отношений равна булеву произведению матриц исходных отношений:

Частный случай композиции отношений – квадрат отношения.

Можно показать, используя индукцию, что n-я степень отношения определяется рекуррентно по формуле:Pⁿ=P^n-1◦Р, это означает, что пара (x,y) є Pⁿ в том случае, когда в матрице Р существует цепочка элементов: такая, что (xi, xi+1)є P, 1<i<n–1.

Операция композиции обладает свойством ассоциативности (как произведение матриц).

Композиция отношений на множестве М – результат попарной композиции отношений при любой расстановке скобок. Область задания результата композиции при этом не меняется.

Композиция для булевых матриц отношений образуется в результате булева произведения матриц этих отношений.

Таблица 3. Каталог бинарных отношений (n = 3). Кликабельно

Литература

1. Авдошин С.М., Набебин А.А. Дискретная математика. Модулярная алгебра, криптография, кодирование. — М.: ДМК Пресс, 2017. -352 с.
2. Акимов О.Е. Дискретная математика.Логика, группы, графы- М.: Лаб.Баз. Зн., 2001. -352 с.
3. Андерсон Д.А. Дискретная математика и комбинаторика.- М.: Вильямс, 2003. -960 с.
4. Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. -М.: Мир,1971.- 478 с.
5. Ваулин А.Е. Дискретная математика в задачах компьютерной безопасности. Ч 1- СПб.: ВКА им. А.Ф. Можайского, 2015. -219 с.
6. Ваулин А.Е. Дискретная математика в задачах компьютерной безопасности. Ч 2- СПб.: ВКА им. А.Ф. Можайского, 2017. -151 с.
7. Горенстейн Д. Конечные простые группы.Введение в их классификацию.-М.: Мир,1985.- 352 с.
8. Грэхем Р., Кнут Д., Пташник О. Конкретная математика.Основание информатики.-М.: Мир,1998.-703 с.
9. Дейт К. Введение в системы баз данных. -М.: Наука,1980. -463 с.
10. Елизаров В.П. Конечные кольца.- М.: Гелиос АРВ,2006. — 304 с.
Иванов Б.Н. Дискретная математика: алгоритмы и программы-М.: Лаб.Баз. Знаний., 2001. -280 с.
11. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения-М.: Вузовская книга, 2000.-280 с.
12. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.-М.: Наука, 1973.-832 с.
13. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т.1 -М.: Мир,1988. — 430 с.
14. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т.2 -М.: Мир,1988. — 392 с.
15. Ляпин Е.С., АйзенштатА.Я., Лесохин М.М., Упражнения по теории групп.-М.: Наука,1967.-264 с.
16. Мейер Д. Теория реляционных баз данных. -М.: Мир, 1987.- 608 с.
17. Муттер В.М. Основы помехоустойчивой телепередачи информации. -Л. Энергоатомиздат,1990.- 288 с.
18. Нагао М., Катаяма Т., Уэмура С. Структуры и базы данных. — М.: Мир, 1986. — 197 с.
19. Наумов А.Н. и др. Системы управления базами данных и знаний.-М.: Финансы и статистика,1991.-352 с.
20. Набебин А.А.Дискретная математика.- М.: Лаб.Баз. Знаний., 2001. -280 с.
21. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов.- СПб.: Питер, 2000. -304 с.
22. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства.-М.: Наука,1966.-648 с.
23. Ульман Дж. Основы систем баз данных. — М.: Финансы и статистика,1983.-334 с.
24. Холл М. Теория групп.-М.: Изд. ИЛ, 1962.- 468 с.
25. Шиханович Ю.А. Группы, кольца, решётки. — СПб.: Кирцидели,2006. — 368 с.
26. Шнеперман Л.Б. Курс алгебры и теории чисел в задачах и упражнениях: В 2-х ч Ч.2.-Мн.: Выш. шк., 1987. -256 с.
27. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел.- Минск: Дизайн ПРО,2000. -240 с.

Источник

Операции над соответствиями на множествах

Композиция бинарного отношения на множестве

Свойства композиции соответствий

Обратное соответствие и его свойства

Ограничение соответствия

Definition[edit]

Notational variations[edit]

Properties[edit]

Composition in terms of matrices[edit]

Heterogeneous relations[edit]

Example[edit]

Schröder rules[edit]

Quotients[edit]

Join: another form of composition[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

Понятие отношения

Свойства и количественные характеристики отношений

Операции над отношениями

Не пропустите также: