Как найти комплексные корни квадратного уравнения онлайн

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор вычислит любой тип квадратного уравнения, включая неполные квадратные уравнения, найдет действительные и комплексные корни, а также построит график и найдет точки пересечения параболы с осью x.

Квадратное уравнение

Дискриминант квадратного уравнения D определяет количество корней и их тип: вещественные либо комплексно-сопряженные.
Дискриминант вычисляется по формуле:
D = b2-4⁢ac

Если

D

=

0

, уравнение имеет единственный корень.

x

=

− b 2a

Например, уравнение

⁢x2+2⁢x+1

=

0

Значения коэффициентов

a

=

1
b

=

2
c

=

1

Дискриминант

D

=

b2-4⁢ac
D

=

2 2 — 4  ·  1  ·  1

=

0
x

=

− b 2a
x

=

− 22 · 1

=

-1
x

=

-1

График

y

=

x2+2 · x+1

Решением квадратного уравнения является пересечение параболы с осью x. Так как уравнение имеет один корень, то парабола на графике пересекает ось x только в одной точке.

Если

D
>
0

, уравнение имеет два различных корня.

x1

=

— b — D 2 ⁢ a
x2

=

— b + D 2 ⁢ a

Например, уравнение

2⁢x2+5⁢x+3

=

0

Значения коэффициентов

a

=

2
b

=

5
c

=

3

Дискриминант

D

=

b2-4⁢ac
D

=

5 2 — 4  ·  2  ·  3

=

1 > 0
x1

=

— 5 — 1 2  ·  2

=

-32
x2

=

— 5 + 1 2  ·  2

=

-1
x1

=

-32

=

-1.5
x2

=

-1

График

y

=

2⁢x2+5⁢x+3

Решением квадратного уравнения является пересечение параболы с осью x. Так как уравнение имеет два корня, то парабола на графике пересекает ось x в двух точках.

Если

D
<
0

, уравнение имеет два комплексно-сопряжённых корня, выражающихся той же формулой, что и для положительного дискриминанта.

x1

=

— b — D 2 ⁢ a
x2

=

— b + D 2 ⁢ a

Например, уравнение

3⁢x2-x+7

=

0

Значения коэффициентов

a

=

3
b

=

-1
c

=

7

Дискриминант

D

=

b2-4⁢ac
D

=

-1 2 — 4  ·  3  ·  7

=

-83 < 0
x1

=

— b — D 2 ⁢ a
x2

=

— b + D 2 ⁢ a
x1

=

— -1 — -83 2  ·  3

=

16-83 · i6
x2

=

— -1 + -83 2  ·  3

=

16+83 · i6

График

y

=

3⁢x2-x+7

Обратите внимание на параболу графика, она не пересекает ось x, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Неполные квадратные уравнения

Неполное квадратное уравнение характеризуется тем, что хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Уравнение ax² + bx = 0

Разберем на примере уравнения

2⁢x2+6⁢x

=

0

Значения коэффициентов

a

=

2
b

=

6

Неполное квадратное уравнение вида ax² + bx = 0, где b≠0 имеет два действительных корня:

x1

=

0

и

x2

=

− ba

Решение

x1

=

0
x2

=

− 62

=

-3

График

y

=

2⁢x2+6⁢x

Уравнение ax² + c = 0

Разберем на примере уравнения

x22-5

=

0

Значения коэффициентов

a

=

12
c

=

-5

Неполное квадратное уравнение вида ax² + c = 0 и имеет два действительных корня в том случае, если

c a < 0

и два комплексных корня если

c a > 0

.

ca

=

-512

=

-10

Решение

c a < 0

, уравнение имеет два различных корня:

x1

=

— — c a
x2

=

— c a
x1

=

— — -5 12

=

-10
x2

=

— -5 12

=

10
x1

=

-10

=

-3.16227766016838
x2

=

10

=

3.16227766016838

График

y

=

x22-5

Что такое квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0 называется квадратным.

Решить квадратное уравнение означает найти его корни, а именно x₁ и x₂, либо установить, что корней нет.

Числа a, b, c — называются коэфициентами квадратного уравнения, где a ≠ 0.

Если коэфициент b или c или оба этих коэфициента равны нулю, то такое уравнение называется неполным.

Дискриминант квадратного уравнения D выражается следующей формулой D = b² — 4ac.

Как решить квадратное уравнение

Прежде всего при решении квадратного уравнения необходимо найти его дискрименант.

Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня, которые можно найти по формуле:

Приведем пример, решим уравнение 5x² + 67x + 7 = 0

Найдем дискриминант D квадратного уравнения 5x² + 67x + 7 = 0. В данном уравнении a = 5; b = 67; c = 7, тогда

D = b² — 4ac = 67² — 4 · 5 · 7 = 4349

Дискриминант уравнения больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня.
Подставим значения дискриминанта D, b и a в уравнения и найдем x₁ и x₂

Если D = 0, то корни квадратного уравнения равны, по сути уравнение имеет один корень, например 9x²=0. При D = 0 необходимо воспользоваться формулой:

Приведем пример, решим уравнение x² + 2x + 1 = 0

Найдем дискриминант D квадратного уравнения 1x² + 2x + 1 = 0. В данном уравнении a = 1; b = 2; c = 1, тогда

D = b² — 4ac = 2² — 4 · 1 · 1 = 0

Дискриминант уравнения равен нулю, следовательно, уравнение имеет один корень.

Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней и корнями уравнения могут быть только комплексные числа, например, 5x² + 6x + 7 = 0, 20x² + 2x + 3 = 0.
При D < 0 необходимо воспользоваться формулой:

Приведем пример, решим уравнение 3x² — 2x + 7 = 0

Найдем дискриминант D квадратного уравнения 3x² — 2x + 7 = 0.
В данном уравнении a = 3; b = -2; c = 7, тогда

D = b² — 4ac = (-2)² — 4 · 3 · 7 = -80

Дискриминант меньше нуля, следовательно, уравнение не имеет действительных корней. Корнями уравнения могут быть только комплексные числа.
Подставим значения дискриминанта D, b и a в уравнения и найдем x₁ и x₂

Комплексные корни являются результатом решения квадратных уравнений с комплексными коэффициентами вида: а х X2 + b х X + c = 0. Онлайн калькулятор осуществляет решение в два последовательных шага.

На первом шаге по формуле D = b2 – 4 х a х c высчитывается дискриминанта. Затем по формуле
X 1,2 = (- b +- (корень (D)) / 2 х a
вычисляются корни, которые, как и коэффициенты a,b, c, а также дискриминанта D, являются комплексными числами.

Потребность в вычислении квадратных уравнений с получением комплексных корней является востребованной задачей не только в математике, но и во многих прикладных направлениях. В физике при решении различных задач, и электротехнике при изучении переменного однофазного и трехфазного тока методика решения квадратных уравнений помогает получать быстрые достаточно точные результаты.

Комплексные числа по-шагам

Примеры комплексных выражений

Что умеет?

• Простые операции с комплексными числами
• Выполнять деление с подробным решением
• Находить разные формы комплексных чисел:
  1. Алгебраическую
  2. Тригонометрическую
  3. Показательную
• Модуль и аргумент комплексного числа
• Комплексно-сопряжённое к данному
• Геометрическую интерпретацию комплексного числа

Подробнее про Комплексное число.

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
  арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
  гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
  гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
  арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
  гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
  гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
  функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x),
  Ci(x),
  Shi(x),
  Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^2

— возведение в квадрат

x^3

— возведение в куб

x^5

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi

— число Пи

e

— основание натурального логарифма

i

— комплексное число

oo

— символ бесконечности