Как найти коммутанты групп - AvtoShod.ru - решение различных проблем

Прежде всего, надо иметь в виду тот факт, что нормальная подгруппа N<=G тогда и только тогда содержит коммутант G, когда факторгруппа G/N абелева.

Центральная симметрия r в D4 перестановочна со всеми элементами. Подгруппа N=< r > ={e,r} нормальна, фактор по ней имеет порядок 4 и потому абелев. Поэтому D4′ содержится в N. При этом коммутант не единичен, так как D4 неабелева. Итого коммутант равен N.

В A4 есть подгруппа V4={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}. Она нормальна (даже в S4). Фактор по ней имеет порядок 3, то есть абелев. Значит, V4 содержит коммутант. С другой стороны, [(123),(124)]=(132)(142)(123)(124)=(12)(34) принадлежит коммутанту. По симметрии, остальные элементы тоже принадлежат. Итого A4’=V4.

Любые элементы Q8 либо коммутируют (ab=ba), либо антикоммутируют (ab=-ba). Значит, коммутант лежит в {1,-1}. Он не равен {1}, так как группа неабелева.

То, что Sn’=An, верно для любого n>=3. Факторгруппа Sn/An имеет порядок 2, то есть абелева. С другой стороны, An порождается тройными циклами (известный и простой факт), а [(xz),(xy)]=(xz)(xy)(xz)(xy)=(xyz) есть тройной цикл, то есть все тройные циклы суть коммутаторы.

Источник

Коммутант группы

Слово «коммутант» в математике может означать два разных понятия: коммутант группы или коммутант алгебры.

Содержание

1 Коммутант группы
- 1.1 Определение
- 1.2 Свойства
2 Коммутант алгебры
- 2.1 Определение

Коммутант группы

Определение

Коммутант группы G (производная группа или второй член нижнего центрального ряда группы) — подгруппа группы G, порождаемая всевозможными коммутаторами элементов группы G. Обычно коммутант группы G обозначается [G,G], или G‘, или T₂(G).

Свойства

Коммутант группы является вполне характеристической подгруппой, а любая подгруппа, содержащая коммутант, является нормальной.
Факторгруппа по некоторому нормальному делителю абелева тогда и только тогда, когда этот нормальный делитель содержит коммутант группы. Факторизация группы по её коммутанту называется абелианизацией.

Коммутант алгебры

Определение

Пусть A — некоторая алгебра. Её коммутантом называется идеал, порождённый коммутаторами её элементов. Это — наименьший идеал, фактор по которому коммутативен.

Wikimedia Foundation.
2010.

Полезное

Смотреть что такое «Коммутант группы» в других словарях:

Коммутант — Слово «коммутант» в алгебре может означать два разных, но родственных понятия: коммутант группы или коммутант алгебры. Коммутант это некоторая подструктура (подгруппа, подалгебра), равная нулю тогда и только тогда, когда умножение в данной… … Википедия
КОММУТАНТ — группы, производная группа, второй член нижнего центрального ряда групп ы, подгруппа, порождаемая в группе Gвсевозможными коммутаторами элементов группы G. Обычно К. группы Gобозначается [G, G], или G , или Г 2(G). К. группы является вполне… … Математическая энциклопедия
Изоморфные группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Кручение группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Норма группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Порядок группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Порядок элемента группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Расширение группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Центр группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия
Экспонента группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Источник

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

	коммутант группы An 03.01.2012, 00:16
11/04/08 632 Марс

Sonic86

Re: коммутант группы An

03.01.2012, 08:04

Заслуженный участник

08/04/08
8549

spyphy	Re: коммутант группы An 03.01.2012, 10:51
11/04/08 632 Марс	Да точно, у Винберга есть ответ на 1-ый вопрос. Спасибо за наводку. А вторую часть вопроса значит получаем по теореме Лагранжа: , . Надеюсь это так, а то я немного не уверен…