Как найти класс вычетов - AvtoShod.ru - решение различных проблем

Z /nZ

факторизации базируются многие современные криптографические системы. Более подробно об этом мы будем вести речь в третьей главе первой части данного пособия.


Пусть	n 1 фиксированное	натуральное	число.	Множество

Z/nZ 0,1,…,n 1 всевозможных остатков от деления целых чисел на n называется кольцом классов вычетов по модулю n. На множестве опреде-

лены операции сложения и умножения	по правилам: суммой (произведе-
нием)	классов a, b Z /nZ называется	класс, равный остатку от деления
a b	(a b) на n. Ввиду такой специфики операций элементы Z /nZ будем

обозначать символами a вместо a. Оказывается, операции такого остаточного сложения и умножения наследуют основные свойства сложения и умножения целых чисел. Ввиду конечности количества элементов остаточное сложение и умножение можно задавать в виде таблиц.

Пример 1.2.1. Запишем таблицы сложения и умножения элементов в кольце классов вычетов Z /3Z :


0		1		2

0		0
					1		2

	1			1			2	0

						0
	2		2				1

0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

Таблицы ярко демонстрируют экзотичность операций в кольце классов вычетов. Здесь, как видим, сумма ненулевых классов может равняться нулю, а «дважды два» далеко не четыре, а 1. Это означает, что класс 2 является обрат-

ным самому себе.
	Определение 1.2.1. Элемент			Z / mZ	называется обратимым,	если най-
k
дется такой класс		Z / mZ,
		что k	l	l k		1	. Тогда класс вычетов					на-
l	l
зывают обратным к классу вычетов						и его обозначают символом		1.
	k	k
	Пример 1.2.2. Приведем таблицу умножения в кольце Z /8Z
			0				1			2					3					4			5			6				7

0	0			0	0			0			0	0	0			0

		1				0				1			2					3					4		5	6		7

						0					6			0			6
2			2	4					2	4

		3			0						3			6													7				5
															1				4			2

		4				0				4		0			4			0	4		0			4


		5			0			5			7						6			3
											2								4	1

6	0			6					0	6
													4			2			4			2


		7				0			7			6			5			3
																					4						2		1

В данном примере, как видим из таблицы умножения, обратимыми явля-

ются 4 класса вычетов (половина элементов кольца): 1, 3, 5, 7. Классы

0, 2, 4, 6 не являются обратимыми. В кольце Z мы наблюдали однозначность разложения на множители и существование простых чисел. Здесь эти свойства теряются: 2 3 6 2 5 6 7; 4 2 2 2 6 4 7 4 3; 6 2 3 2 7 5 6.

Неоднозначность разложения на множители налицо, при этом ни один из необ-

ратимых классов нельзя отнести к разряду простых: 2 делится и на себя и на

6, 4 делится и на 2 и на 6, 6 делится и на себя и на 2.

Эмпирически определить наличие обратных элементов у данного класса k можно по таблице умножения: если в k -й строке этой таблицы найдется элемент 1, то первый элемент столбца, в котором находится найденный класс 1, и

есть обратный к классу k.

Разумеется, реально построить таблицу умножения можно лишь для небольших значений m. Отметим свойства строк таблиц умножения в общем случае.

Лемма 1.2.1. Пусть k такой класс кольца Z / mZ, что НОД (k, m) 1. То-

гда: 1) для каждого l 0 произведение k l 0, 2) k l k s , если l s; 3) отображение k :Z /mZ Z /mZ, действующее по правилу k (x) k x,

является взаимно однозначным; 4) k – обратимый класс в кольце Z / mZ. Лемма 1.2.2. Пусть k Z / mZ, такой, что НОД(k,m) d 1. Тогда:

1) существует такой ненулевой класс l Z / mZ, что k l 0;

2) найдутся ненулевые классы l1, l2 Z / mZ, такие, что k l1 k l2;

3) k l 1 для всех классов l Z / mZ, следовательно, класс k необратим в кольце Z / mZ.

Из лемм 1.2.1 и 1.2.2 вытекает

Критерий обратимости классов вычетов. Класс k Z / mZ обратим в этом кольце тогда и только тогда, когда НОД(k,m) 1. Если обратный к дан-

ному классу k Z / mZ существует, то он также обратим. Произведение обратимых классов кольца Z / mZ есть также обратимый класс. В частности, если m p простое число, то в кольце Z / mZ каждый ненулевой класс обратим.

Определение 1.2.2. Множество Z /mZ всех обратимых элементов кольца Z /mZ называется мультипликативной группой этого кольца.

Из критерия вытекает следующий алгоритм нахождения обратного класса к данному классу k Z / mZ. Вычисляем по алгоритму Евклида НОД(k,m).

Если НОД(k,m) d 1, то класс k необратим. Пусть НОД(k,m) 1. Для чисел k и m с помощью расширенного алгоритма Евклида строим соотношение Безу ku mv 1. Это равенство влечет соответствующее равенство классов

вычетов: k u m v 1 . Мы знаем, что m 0. Следовательно, имеем ра-

венство k u 1, которое и означает, что k 1 u. При этом часто оказывает-

ся, что u 0,1,…, m 1 . Поэтому формальная запись

требует дора-

ботки. Если

u m, то

следует подобрать

такое

целое t 1, что

u tm 0,1,…,m 1 . Тогда

Если же u 0,

то следует подобрать

u tm

такое целое t 1, что u tm 0,1,…, m 1 . Тогда

u tm

Пример 1.2.3. В кольце Z / 201Z найдем

НОД(37, 201).

Решение.

С помощью

алгоритма

Евклида

найдем

201 37 5 16;

37 16 2 5;

16 5 3 1.

Таким образом, НОД(37, 201) 1 и

37 1 существует. Из полученных равенств алгоритма Евклида построим соот-

ношение Безу для чисел	201 и 37:	1 201 7 37 ( 38). Следовательно,
		1			Проверка:	163 37 6031 201 30 1 1(mod201).
	37	38	201 38	163.

Значит, действительно 37 163 1.

Малая теорема Ферма. Пусть p простое число и целое число a не де-

лится на p. Тогда ap 1 1 в кольце Z / pZ.

Определение 1.2.3. Функция Эйлера – функция (m) натурального аргумента m, которая каждому натуральному числу m 1 ставит в соответствие количество натуральных чисел, меньших m и взаимно простых c m.

Функция Эйлера определяет количество обратимых элементов в кольце

Z /mZ, т. е. порядок группы Z /mZ . Эта функция обладает рядом мультипликативных свойств, облегчающих вычисление ее значений.

Свойство 1. (p) p 1 для каждого простого числа p. Для каждого составного n значение (n) n 1.

Свойство 2. (pn) pn pn 1 для каждого простого числа p и произ-

вольного натурального n 1.

Свойство 3. Если НОД(n,m) 1, то (n m) (n) (m).

Свойство 4. Если n ps1	ps2	…pst	– каноническое разложение числа n, то
1	2		t
		1	1			1
(n) 1		1			… 1		.
		pt
		p1		p2
Пример 1.2.4. Вычислим (48).	Поскольку 48 3 24, то согласно свой-

ству 4 (48) 48 (1 1/3) (1 1/ 2) 16.

Пример 1.2.5. Из критерия обратимости классов вычетов следует, что в кольце Z / mZ имеется в точности (m) обратимых классов. Например, (12) 4. Значит, в кольце Z /12Z имеется именно 4 обратимых элемента. Непосредствен-

ная проверка показывает, что этими классами являются 1, 5, 7,11.

Источник

Все вычеты из (4) и только они
удовлетворяют сравнению (3) и равносильному ему сравнению . По модулю все
числа из (4) принадлежат одному классу. По модулю они
принадлежат различным классам:

Следовательно, сравнение имеет решений:

, ,…, .

Пример. . Так как , , то сравнение имеет 3 решения. Делим обе
части и модуль на 3, получаем: . Решениями сравнения будут: , , .

Пример. . Т.к. , , то сравнение имеет 3 решения. После
деления обеих частей и модуля на 3 получим сравнение:

.
Решение этого сравнения: .

Решения заданного сравнения: , , .

Порядок класса вычетов. Первообразные корни. Индексы.

1. Порядок класса вычетов.

Изучим подробнее строение группы
, состоящей из обратимых элементов в кольце
вычетов . Эта группа состоит из классов вычетов
взаимно простых с модулем и содержит классов вычетов.

Так как умножение в кольце коммутативно, то —
коммутативная группа, состоящая из элементов. Поэтому все
элементы группы (т.е.
все классы вычетов по модулю , взаимно простые с ) имеют конечный порядок и этот порядок –
делитель (это следует из теоремы Лагранжа). Учитывая
определение порядка элемента в группе, получаем следующее определение
порядка класса вычетов:

Определение 1. Порядком
класса вычетов , взаимно простого с модулем , называется наименьшее натуральное число , такое, что .

Число называют
также порядком всех чисел , входящих в класс
вычетов . Если , то из
равенства следует, что . Итак,
получаем следующее:

Определение 2.
Пусть число взаимно просто с ,
.

Порядком числа по модулю называется
наименьшее натуральное число , такое, что .

Если порядок класса вычетов (соответственно числа ) по модулю равен , то называется
показателем (числа )
по модулю , или что () принадлежит показателю по модулю .

Если порядок класса вычетов по модулю равен , то циклическая подгруппа, порождённая
классом вычетов в группе ,
состоит из элементов. И можно применить к этой
подгруппе все результаты о циклических подгруппах (см…..).

В частности, имеет место:

Теорема 1. Если и порядок по
модулю равен , то тогда и только тогда, когда делится на .

Следствие 1. Если
порядок класса вычетов по модулю равен , то тогда и только тогда, когда , т.е делится
на .

Следствие 2. Если
порядок класса вычетов по модулю равен , то все
классы вычетов различны.

Теорема 2. Если
порядок класса вычетов по модулю равен , то
порядок класса вычетов равен .

Следствие. Если
порядок класса вычетов по модулю равен , то
среди классов вычетов порядок имеют
классов.

Доказательство. По
следствию 2 из теоремы 1 все классы вычетов различны.
Порядок имеют те из этих классов, для которых . Число таких классов равно .

Пример. Найдём
порядок класса вычетов по модулю , а также все классы вычетов по этому
модулю, порядок которых равен порядку класса вычетов

Порядок любого класса вычетов
является делителем числа , следовательно порядок
класса вычетов по модулю — это делитель числа . Натуральные делители числа — числа . Будем
возводить число в степени с показателями до тех пор, пока не получим число,
сравнимое с по модулю . Имеем:
, , , . Итак,
порядок числа 7 по модулю 43 равен 6

Чтобы найти остальные классы
вычетов по модулю 43, имеющие порядок 6, рассмотрим числа 0,1,2,3,4,5. Выбираем
из них взаимно простые с , т.е 1 и 5. Значит,
искомые классы вычетов: и . Но .
Получили: искомые классы вычетов и .

2. Первообразные корни по простому модулю.

Пусть — простое число. Группа
обратимых элементов кольца состоит из классов вычетов . По теореме 1 порядок каждого из этих
классов вычетов является делителем числа .

Определение 3. Первообразным корнем по
простому модулю называется класс вычетов по этому модулю, порядок которого равен .

По следствию 2 из теоремы 1 получаем: если — первообразный корень по простому модулю , то все степени различны
(в этом случае ).

[1]
Интересные (и важные для приложений) примеры задания на одном множестве
одновременно нескольких операций доставляет криптография.

Уважаемый посетитель!

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на скачивание — внизу страницы.

Источник

Вычеты и их применение

Определение вычета

Пусть $z_0in overline{mathbb{C}}$ — изолированная особая точка функции f(z) . По определению изолированной особой точки существует некоторая окрестность этой точки, в которой f(z) — аналитическая. Напомним, что для $z_0in mathbb{C}$ эта окрестность имеет вид 0<|z-z_0|<R , а для z_0=infty — R<|z|<infty .

Рассмотрим произвольный контур gamma , принадлежащий такой окрестности и являющийся границей некоторой области, содержащей z_0 (рис 4.2,а).

По следствию из основной теоремы Коши интеграл $textstyle{ointlimits_{gamma} f(z),dz}$ имеет одно и то же значение, независимо от вида кривой gamma , т.е. интеграл характеризует поведение функции f(z) в особой точке z_0 и, следовательно, может быть использован для исследования функции как некоторая числовая характеристика.

Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке $z_0~(z_0in overline{mathbb{C}})$ называется интеграл $frac{1}{2pi i}ointlimits_{gamma} f(z),dz$ , где gamma — контур, принадлежащий окрестности точки z_0 и охватывающий ее. Обход контура — положительный, т.е. область им ограниченная и принадлежащая окрестности z_0 при обходе расположена слева: для $z_0in mathbb{C}$ — обход против часовой стрелки (рис. 4.2,а), для z_0=infty — по часовой стрелке (рис. 4.2,б). Обозначается вычет $mathop{operatorname{res}}limits_{z_0} f(z)$ (res — residu (фр.) — вычитать):

$begin{gathered} mathop{operatorname{res}}limits_{z_0}f(z)= frac{1}{2pi i} ointlimits_{gamma} f(z),dz,quad gammain O(z_0)setminus z_0colon 0<|z-z_0|<R,\[2pt] mathop{operatorname{res}}limits_{infty}f(z)= frac{1}{2pi i} ointlimits_{gamma} f(z),dz,quad gammain O(infty)setminus inftycolon R<|z|<infty. end{gathered}$

(4.16)

Так как в окрестности изолированной особой точки функция разлагается в ряд Лорана, то, используя формулы для коэффициентов ряда Лорана и сравнивая их с (4.16), замечаем, что можно сделать следующее заключение.

Рис. 4.2.

Утверждение 4.5. Вычет функции в изолированной особой точке равен коэффициенту $c_{-1}$ при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при $frac{1}{z-z_0}$ для $z_0in mathbb{C}$ , и этому коэффициенту, взятому с противоположным знаком, для z_0=inftycolon

$mathop{operatorname{res}}limits_{z_0}f(z)=c_{-1},quad z_0in mathbb{C},$

(4.17)

$mathop{operatorname{res}}limits_{infty} f(z)=-c_{-1},quad z_0=infty.$

(4.18)

С помощью вычетов можно записать в другой форме основную теорему Коши для сложного контура.

Действительно, пусть функция в области имеет особых точек z_k,~ k=1,2,ldots,n . Можно рассмотреть контуры gamma_kin D , которые являются границами непересекающихся областей D_k , таких, что каждая из особых точек z_k (изолированных особых точек) принадлежит одной из D_k (рис. 4.3,а), а интеграл по gamma_k согласно определению (см. формулу (4.16)) есть $2pi i mathop{operatorname{res}}limits_{z_k}f(z)$ .

Кроме того, для любого контура , ограничивающего область , которой принадлежат все особые точки функции f(z) , и контура gamma — границы окрестности бесконечно удаленной точки справедливо равенство $ointlimits_{gamma}f(z),dz=-ointlimits_{C}f(z),dz$ (обход на gamma по часовой стрелке (рис. 4.3,б)). Из этих рассуждений и формулы (4.16) получаем следующие утверждения.

Рис. 4.3.

Основная теорема о вычетах

Утверждение 4.6 (основная теорема о вычетах). Если функция f(z) -аналитическая в overline{D} за исключением конечного числа особых точек z_kin D , то справедливо равенство (где — граница области ):

$ointlimits_{C}f(z),dz= 2pi i sum_{k=1}^{n} mathop{operatorname{res}}limits_{z_k} f(z),quad z_kin D.$

(4.19)

Обобщенная теорема о вычетах

Утверждение 4.7 (обобщенная теорема о вычетах). Сумма вычетов функции f(z) во всех ее особых точках, включая бесконечно удаленную точку, равна нулю:

$sum_{k=1}^{n} mathop{operatorname{res}}limits_{z_k}f(z)+ mathop{operatorname{res}}limits_{infty}f(z)=0.$

(4.20)

Пример 4.22. Найти вычеты следующих функций в их особых точках: а) $f(z)= frac{z+2}{z^2-2z-3}$ ; б) $f(z)=frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}$ .

Решение

Особыми точками функций являются точки z_1=-1,~ z_2=3,~ z_3=infty . Записываем разложения функций в ряд Лорана в окрестности этих точек (см. примеры 3.31, 3.33 и 3.34):

а)

$begin{aligned}f(z)&= frac{-1}{4}cdot frac{1}{z+1}-sum_{n=0}^{infty} frac{5(z+1)^n}{4^{n+2}},quad 0<|z+1|<4;\ f(z)&= frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}-sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}}{4^{n+2}}(z+1)^n,quad 0<|z-3|<4;\ f(z)&= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n+5cdot3^{n-1}}{4}cdot frac{1}{z^n},quad |z|<3. end{aligned}$

Из этих разложений находим:

$mathop{operatorname{res}}limits_{-1}f(z)=c_{-1}=frac{-1}{4},;quad mathop{operatorname{res}}limits_{3}f(z)=c_{-1}= frac{5}{4},;quad mathop{operatorname{res}}limits_{infty}f(z)=-c_{-1}=-left(frac{-1+5cdot3^0}{4}right)=-1.$

Полученный результат иллюстрирует обобщенную теорему о вычетах:

$mathop{operatorname{res}}limits_{-1}f(z)+ mathop{operatorname{res}}limits_{3}f(z)+ mathop{operatorname{res}}limits_{infty}f(z)=0.$

Заметим также, что здесь точки z_1 и z_2 — простые полюсы, а z=infty — устранимая особая точка.

б)

$begin{aligned}f(z)&= frac{-5}{16}cdot frac{1}{z+1}+ frac{-1}{4}cdotfrac{1}{(z+ 1)^2}-sum_{n=0}^{infty} frac{5(z+1)^n}{16cdot4^{n+1}},,quad 0<|z+1|<4;\ f(z)&= frac{5}{16}cdot frac{1}{z-3}+ sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}(n+6)}{4^{n+3}}(z-3)^n,quad 0<|z-3|<4.end{aligned}$

Из этих разложений имеем:

$mathop{operatorname{res}}limits_{-1}f(z)=c_{-1}=-frac{5}{16},;qquad mathop{operatorname{res}}limits_{3}f(z)=c_{-1}=frac{5}{16},.$

Вычет в бесконечно удаленной точке z=infty можно найти, используя обобщенную теорию о вычетах: $mathop{operatorname{res}}limits_{infty}f(z)=-left(mathop{operatorname{res}}limits_{3}f(z)+ mathop{operatorname{res}}limits_{-1}f(z)right)=0$ . Этот же результат получим, если запишем разложение функции в области |z|>3 -окрестности z=infty

Заметим, что для этой функции z_1 — Pi(2) , z_2 — Pi(1) , а z=infty — устранимая особая точка.

Пример 4.23. Найти вычеты следующих функций в особых точках: а) $f(z)=z^3exp frac{1}{z}$ ; б) $f(z)=frac{1-cos z}{z^2}$ .

Решение

Пример 4.24. Найти вычеты следующих функций в их особых точках: a) $sin! left(1+frac{1}{z}right)$ ; б) $(z-1)expfrac{1}{z-2}$ .

Решение

Конечные особые точки функций являются существенно особыми точками. Это z=0 для первой функции и z=2 для второй. Разложим функции в ряды в окрестностях этих точек и найдем вычеты по формуле (4.17):

а)

$begin{aligned}sin! left(1+frac{1}{z}right)&= sin1cdotcos frac{1}{z}+cos1cdotsin frac{1}{z}= sin1cdot left(1-frac{1}{2!z^2}+ldotsright)+ cos1cdot left(frac{1}{z}-frac{1}{z^33!}+ ldotsright)=\ &=sin1+cos1cdot frac{1}{z}-frac{sin1}{2!}cdot frac{1}{z^2}-ldots end{aligned}$

Следовательно, $mathop{operatorname{res}}limits_{z=0}f(z)= c_{-1}=cos1$ .

Так как у рассматриваемой функции другах конечных особых точек нет, то по формуле (4.20) $mathop{operatorname{res}}limits_{infty}f(z)=-cos1$ . Заметим, что z=infty — устранимая особая точка для данной функции f(z) ;

б)

$begin{aligned}(z-1)exp frac{1}{z-2}&= (z-2+1)exp frac{1}{z-2}= (z-2)exp frac{1}{z-2}+exp frac{1}{z-2}=\ &=(z-2)! left(1+frac{1}{z-2}+frac{1}{2!(z-2)^2}+ldotsright)+ left(1+frac{1}{z-2}+frac{1}{2!(z-2)^2}+ldots right)=\ &=2+(z-2)+ frac{1}{z-2}! left(1+frac{1}{2!}right)+ frac{1}{(z-2)^2}! left(frac{1}{2!}+ frac{1}{3!}right)+ldots,end{aligned}$

поэтому $mathop{operatorname{res}}limits_{z=2}f(z)= 1+frac{1}{2!}= frac{3}{2}$ . Поскольку нет другах конечных особых точек, то по формуле (4.20) $mathop{operatorname{res}}limits_{z=infty}f(z)=-frac{3}{2}$ . Точка z=infty является полюсом первого порядка данной f(z) .

Вычисление вычетов в полюсе и устранимой особой точке

В рассмотренных выше примерах при нахождении вычетов использовались формулы (4.17),(4.18) , т.е. функции раскладывались в ряды Лорана. При этом знание типа особой точки, в которой вычисляется вычет функции, не является обязательным. Таким методом всегда определяется вычет в тех случаях, когда заранее предполагается, что особая точка — существенно особая точка для функции. В случае устранимой особой точки и полюсов задачу вычисления вычета по формуле (4.17) можно заменить некоторыми практически более удобными формулами и правилами. Вывод этих формул и правил в общем виде, очевидно, связан с исследованием разложения функции в ряд в окрестности особой точки, а тип особой точки определяется по поведению функции, т.е. вычислением предела.

Так, если $limlimits_{zto z_0}f(z)neinfty$ и z_0 — конечная особая точка, то в разложении функции в ряд Лорана в окрестности z_0 , согласно утверждению 4.1, отсутствует главная часть. Следовательно, $c_{-1}=0$ и $mathop{operatorname{res}}limits_{z=z_0}f(z)=0$ .

Если $limlimits_{zto z_0}f(z)=infty$ и z_0 — полюс функции f(z) , то можно определить порядок полюса, также не прибегая к разложению функции в ряд, используя утверждение 4.3. Пусть z_0 — Pi(n) функции f(z) , тогда разложение функции в ряд в окрестности z_0 имеет вид (4.6). Умножив обе части равенства на (z-z_0)^n и продифференцировав результат (n-1) раз, получим выражение

$frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}bigl[f(z)cdot (z-z_0)^nbigr]= (n-1)!c_{-1}+ n! c_0(z-z_0)+ldots,$

из которого определяем $c_{-1}= frac{1}{(n-1)!} limlimits_{zto z_0}frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} bigl[f(z)cdot (z-z_0)^nbigr]$ .

В частности, при n=1 имеем $c_{-1}= limlimits_{zto z_0}bigl[f(z)cdot (z-z_0)bigr]$ . Последнее равенство принимает наиболее удобную форму для функции вида $f(z)= frac{varphi(z)}{psi(z)}$ , где varphi(z),,psi(z) — аналитические вточке z_0 функции и varphi(z_0)ne0,~ psi(z_0)=0,~ psi'(z_0)ne0 . А именно:

$c_{-1}= limlimits_{zto z_0} frac{varphi(z)(z-z_0)}{psi(z)}= limlimits_{zto z_0} frac{varphi(z)}{dfrac{psi(z)-psi(z_0)}{z-z_0}}= frac{varphi(z_0)}{psi'(z_0)},.$

Результат приведенных рассуждений запишем в виде утверждения.
Утверждение 4.8

1. Если конечная особая точка z_0 является устранимой особой точкой функции f(z) , то (где z_0 — устранимая особая точка)

$mathop{operatorname{res}}limits_{z=z_0}f(z)=0,quad z_0in mathbb{C}.$

(4.21)

2. Если z_0 полюс порядка п функции $f(z),~ z_0in mathbb{C}$ , то

$mathop{operatorname{res}}limits_{z_0}f(z)= frac{1}{(n-1)!} limlimits_{zto z_0} frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} bigl[f(z)cdot (z-z_0)^nbigr],quad z_0-Pi(n);$

(4.22)

$mathop{operatorname{res}}limits_{z_0}f(z)= limlimits_{zto z_0} bigl[f(z)cdot (z-z_0)bigr],quad z_0-Pi(1).$

(4.23)

3. Если z_0 — Pi(1) функции $f(z)=frac{varphi(z)}{psi(z)}$ , где varphi(z),,psi(z) — аналитические в точке z_0 функции и varphi(z_0)ne0,~ psi(z_0)=0,~ psi'(z_0)ne0 , то

$mathop{operatorname{res}}limits_{z_0}frac{varphi(z)}{psi(z)}= frac{varphi(z_0)}{psi'(z_0)},.$

(4.24)

Алгоритм вычисления вычета функции

Замечание 4.6. Формула (4.22) дает следующий алгоритм вычисления вычета функции в полюсе порядка .

1. Умножить f(z) на (z-z_0)^n , где — порядок полюса z_0 , и получить функцию varphi(z)=f(z)cdot (z-z_0)^n .

2. Найти производную функции varphi(z) порядка $(n-1)colon, psi(z)= varphi^{(n-1)}(z)$ .

3. В соответствии с (4.22) найти $mathop{operatorname{res}}limits_{z_0}f(z)= frac{1}{(n-1)!} limlimits_{zto z_0}psi(z)$ .

Пример 4.25. Найти вычеты в конечных особых точках функций:

$f_1(z)= frac{z+2}{z^2-2z-3},,qquad f_2(z)= frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)},,qquad f_3(z)= frac{1-cos z}{z^2},.$

Решение

Конечными особыми точками f_1(z) являются z_1=-1 и z_2=3 — полюсы первого порядка, причем в каждом случае функцию можно представить в виде, допускающем применение формулы (4.24). Используя эту формулу, находим

$mathop{operatorname{res}}limits_{z=-1} frac{z+2}{z^2-2z-3}= left.{frac{z+2}{(z^2-2z-3)'}}right|_{z=-1}= left.{frac{z+2}{2z-2}}right|_{z=-1}= -frac{1}{4},;quad mathop{operatorname{res}}limits_{z=3}frac{z+2}{z^2-2z-3}= left.{frac{z+2}{2z-2}}right|_{z=3}= frac{5}{4},.$

Для функции f_2(z) точка z=3 также является Pi(1) и выполняются условия применимости формулы (4.24) . При этом функцию удобно представить в виде $f_2(z)= frac{z+2}{(z+1)^2}frac{1}{z-3}$ . Применяя формулу (4.24), находим

$mathop{operatorname{res}}limits_{z=3}f_2(z)= frac{z+2}{(z+1)^2}frac{1}{z-3}= left.{ frac{z+2}{(z+1)^2}frac{1}{(z-3)'}}right|_{z=3}= left.{frac{z+2}{(z+1)^2}}right|_{z=3}= frac{5}{16},.$

Точка z=-1 для f_2(z) — полюс второго порядка. Применяем формулу (4.22) при n=2 . Запишем решение согласно алгоритму.

1. Умножаем f_2(z) на (z+1)^2 и записываем функцию $varphi(z)= f_2(z)cdot(z+1)^2= frac{z+2}{z-3}$ .

2. Находим производную функции varphi(z)colon

$varphi'(z)= left(right)'= frac{z-3-(z+2)}{(z-3)^2}= frac{-5}{(z-3)^2}= psi(z).$

3. Используя (4.22), получаем $mathop{operatorname{res}}limits_{z=-1} f_2(z)= frac{1}{1!} limlimits_{zto-1} frac{-5}{(z-3)^2}=-frac{5}{16}$ .

Для функции $f_3(z)= frac{1-cos z}{z^2}$ единственная конечная особая точка z=0 является устранимой особой точкой, поэтому $mathop{operatorname{res}}limits_{z=0}f_3(z)=0$ (согласно (4.21)).

Все полученные результаты соответствуют результатам примеров 4.22 и 4.23.

Пример 4.26. Найти вычеты следующих функций в особых точках: а) $frac{z+2i}{z^3+8i}$ ; б) $frac{z-2i}{z^3+8i}$ ;

Решение

В заключение раздела рассмотрим бесконечно удаленную точку в случае, когда она является устранимой особой точкой для f(z) . Разложение функции в ряд Лорана имеет вид (4.5). Коэффициент $c_{-1}$ можно определить из этого равенства следующим образом: $c_{-1}= limlimits_{ztoinfty} bigl[(f(z)-c_0)cdot zbigr]$ . Так как, очевидно, $c_0= limlimits_{ztoinfty}f(z)$ , то, доопределяя функцию, положим $f(infty)= limlimits_{ztoinfty}f(z)=c_0$ . Получаем формулу для вычисления вычета в z=infty — устранимой особой точке функции f(z)colon

$mathop{operatorname{res}}limits_{z=infty} f(z)=-c_{-1}= limlimits_{ztoinfty}bigl[f(infty)-f(z)bigr]z.$

(4.25)

В частности, если z=infty является нулем функции f(z) , то есть $limlimits_{ztoinfty}f(z)=0$ , то формула принимает вид

$mathop{operatorname{res}}limits_{z=infty}f(z)= limlimits_{ztoinfty}bigl(-zcdot f(z)bigr).$

(4.26)

Пример 4.27. Найти вычеты в бесконечно удаленной точке z=infty функций:

а) $f_1(z)=frac{z+2}{z^2-2z+3},~~ f_2(z)= frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}$ ; б) $f_3(z)= frac{3z^2+z}{z^2+z-4}$ .

Решение

а) Точка z=infty — устранимая особая точка для этих функций и $f(infty)= limlimits_{ztoinfty}f(z)=0$ . Поэтому вычеты этих функций находим по формуле (4.26):

$mathop{operatorname{res}}limits_{z=infty}f_1(z)=-limlimits_{ztoinfty} frac{z(z+2)}{z^2-2z-3}=-1,qquad mathop{operatorname{res}}limits_{z=infty}f_2(z)=-limlimits_{ztoinfty} frac{(z+2)z}{(z+1)^2(z-3)}=0.$

Результат совпадает с полученным в примере 4.22.

б) Точка z=infty — устранимая особая точка для f(z) , так как $limlimits_{ztoinfty}f(z)=3$ . Вычет находим по формуле (4.25):

$mathop{operatorname{res}}limits_{z=infty}f(z)= limlimits_{ztoinfty}! left(3-frac{3z^2+z}{z^2+z-4}right)cdot z= limlimits_{ztoinfty} frac{(2z-12)z}{z^2+z-4} =2.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Сравнение по модулю натурального числа — отношение эквивалентности на множестве целых чисел, связанное с делимостью. Оно даёт возможность работать с системой чисел, более простой чем целые числа, в которой значения «зацикливаются» (повторяются) после достижения определенного значения.

В дискретной математике, для сравнений по модулю используется также термин модульная (или модулярная) арифметика.

Содержание

1 Определения
2 Свойства
3 Классы вычетов
4 Решение сравнений
- 4.1 Сравнения первой степени
- 4.2 Сравнения второй степени
5 История
6 Ссылки

Определения

Говорят, что два целых числа a и b сравнимы по модулю натурального числа n, если при делении на n они дают одинаковые остатки.

Эквивалентные формулировки: a и b сравнимы по модулю n, если их разность a — b делится на n, или если a может быть представлено в виде a = b + kn, где k — некоторое целое число.

Пример: 32 и −10 сравнимы по модулю 7, так как 32 = 7∙4 + 4, −10 = 7∙(-2) + 4.

Утверждение «a и b сравнимы по модулю n» записывается в виде:

Свойства

Отношение сравнения является отношением эквивалентности и обладает многими свойствами обычных равенств. Например, их можно складывать и перемножать: если

a_1 equiv b_1 pmod n; qquad a_2 equiv b_2 pmod n,

то

a_1a_2 equiv b_1b_2 pmod n; qquad a_1+a_2 equiv b_1+b_2 pmod n.

Сравнения, однако, нельзя, вообще говоря, делить друг на друга или на другие числа. Пример: , однако, сократив на 2, мы получаем ошибочное сравнение: . Правила сокращения для сравнений следующие.

Нельзя также выполнять операции со сравнениями, если их модули не совпадают.

Другие свойства:

Классы вычетов

Множество всех чисел, сравнимых с a по модулю n называется классом вычетов a по модулю n, и обычно обозначается [a]_n или bar a_n . Таким образом, сравнение равносильно равенству классов вычетов [a]_n = [b]_n.

Поскольку сравнение по модулю n является отношением эквивалентности на множестве целых чисел , то классы вычетов по модулю n представляют собой классы эквивалентности; их количество равно n. Множество всех классов вычетов по модулю n обозначается $mathbb{Z}_n$ или .

Операции сложения и умножения на индуцируют соответствующие операции на множестве $mathbb{Z}_n$ :

[a]_n + [b]_n = [a + b]_n

Относительно этих операций множество $mathbb{Z}_n$ является конечным кольцом, а если n простое — конечным полем.

Решение сравнений

Сравнения первой степени

В теории чисел, криптографии и других областях науки часто возникает задача отыскания решений сравнения первой степени вида:

Решение такого сравнения начинается с вычисления НОД(a, m)=d. При этом возможны 2 случая:

Если b не кратно d, то у сравнения нет решений.
Если b кратно d, то у сравнения существует единственное решение по модулю m / d, или, что то же самое, d решений по модулю m. В этом случае в результате сокращения исходного сравнения на d получается сравнение:

$a_1 x equiv b_1pmod {m_1}$

где a₁ = a / d, b₁ = b / d и m₁ = m / d являются целыми числами, причем a₁ и m₁ взаимно просты. Поэтому число a₁ можно обратить по модулю m₁, то есть найти такое число c, что $ccdot a_1equiv 1pmod{m_1}$ (другими словами, $c equiv a_1^{-1}pmod{m_1}$ ). Теперь решение находится умножением полученного сравнения на c:

$x equiv c a_1 xequiv c b_1equiv a_1^{-1} b_1pmod {m_1}.$

Практическое вычисление значения c можно осуществить разными способами: с помощью теоремы Эйлера, алгоритма Евклида, теории цепных дробей (см. алгоритм) и др. В частности, теорема Эйлера позволяет записать значение c в виде:

$c equiv a_1^{-1}equiv a_1^{varphi(m_1)-1}pmod {m_1}.$

Пример: решим уравнение . Здесь d = 2, поэтому по модулю 22 сравнение имеет два решения. Заменим 26 на 4, сравнимое с ним по модулю 22, и затем сократим все 3 числа на 2:

Поскольку 2 взаимно просто с модулем 11, можно сократить левую и правую части на 2. В итоге получаем одно решение по модулю 11: , эквивалентное двум решениям по модулю 22: .

Сравнения второй степени

Решение сравнений второй степени сводится к выяснению, является ли данное число квадратичным вычетом (с помощью квадратичного закона взаимности) и последующему вычислению квадратного корня по данному модулю.

История

В значительной степени теория делимости и вычетов была создана Эйлером. Сравнения по модулю впервые использовались Гауссом в его книге «Арифметические исследования», 1801 год. Он же предложил утвердившуюся в математике символику для сравнений.

Ссылки

Вейль А., Основы теории чисел, М.:Мир, 1972.
Виленкин Н. Я., Сравнения и классы вычетов, Квант, № 10, 1978.
Виноградов И. М., Основы теории чисел, М.: ГИТТЛ, 1952.

Wikimedia Foundation.
2010.

Источник

Порядок класса вычетов. Первообразные корни. Индексы.

1. Порядок класса вычетов.

2. Первообразные корни по простому модулю.

Вычеты и их применение

Определение вычета

Основная теорема о вычетах

Обобщенная теорема о вычетах

Вычисление вычетов в полюсе и устранимой особой точке

Алгоритм вычисления вычета функции

Содержание

Определения

Свойства

Классы вычетов

Решение сравнений

Сравнения первой степени

Сравнения второй степени

История

Ссылки

Не пропустите также: