Координатный луч с положительными числами дополним противоположным ему лучом и нанесём на него такие же деления. Получим координатную прямую.
Координатная прямая — это прямая с указанными на ней началом отсчёта (O )((0)), направлением и единичным отрезком.
Точка (O)( (0)) — начало отсчёта. Справа от неё отмечают положительные числа, а слева — отрицательные числа. Стрелочка указывает положительное направление отсчёта на координатной прямой.
Около стрелочки часто ставят букву (x), (y), (z) или другую букву латинского алфавита. В таких случаях говорят: ось (x), ось (y), ось (z) соответственно.
На координатной прямой важно расположение точек.
Говорят: «Точка (P) расположена слева от точки (O)». «Точка (P) расположена справа от точки (K)».
Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой точки.
Обрати внимание!
Единичный отрезок может быть разным на двух координатных прямых.
В данном случае единичный отрезок равен (4) клеточкам, и одной клеточке соответствует (0,25) единичного отрезка.
Запишем координаты точек (M), (K), (P), (T), (F).
M−1,5;K−1;P12;T2;F2,25.
Утверждать, что вы знаете математику, невозможно, если вы не умеете строить графики, изображать неравенства на координатной прямой, работать с осями координат. Визуальная составляющая в науке жизненно необходима, ведь без наглядных примеров в формулах и вычислениях порой можно сильно запутаться. В данной статье мы посмотрим, как работать с осями координат, и научимся строить простейшие графики функций.
Применение
Координатная прямая – это основа простейших видов графиков, с которыми сталкивается школьник на своем учебном пути. Она используется практически в каждой математической теме: при расчёте скорости и времени, проецировании размеров объектов и вычислении их площади, в тригонометрии при работе с синусами и косинусами.
Главная ценность такой прямой – это наглядность. Поскольку математика – это наука, в которой требуется высокий уровень абстрактности мышления, графики помогают в представлении объекта в реальном мире. Как он себя ведет? В какой точке пространства будет находиться через несколько секунд, минут, часов? Что можно сказать о нём в сопоставлении с другими объектами? Какой скоростью он обладает в случайно выбранный момент времени? Как охарактеризовать его движение?
А про скорость речь идёт неспроста – именно её зачастую отображают графики функции. А ещё они могут отображать изменение температуры или давления внутри объекта, его размеров, ориентации относительно горизонта. Таким образом, построить координатную прямую зачастую требуется и в физике.
Одномерный график
Существует понятие многомерности. В одномерном пространстве достаточно всего одного числа, чтобы определить местоположение точки. Это как раз и есть случай с применением координатной прямой. Если пространство двухмерное, то потребуется два числа. Графики такого типа используются гораздо чаще, и чуть дальше в статье мы их обязательно рассмотрим.
Что можно увидеть с помощью точек на оси, если она всего одна? Можно увидеть размер объекта, его положение в пространстве относительно некоторого «нуля», т. е. точки, выбранной в качестве начала отсчёта.
Изменение параметров с течением времени увидеть не удастся, так как все показания будут отображаться для одного конкретного момента. Однако с чего-то надо начинать! Итак, приступим.
Как построить координатную ось
Для начала требуется провести горизонтальную линию — это и будет наша ось. С правой стороны «заострим» её, чтобы она была похожа на стрелку. Таким образом мы обозначим направление, в котором числа будут увеличиваться. В сторону уменьшения стрелка обычно не ставится. Традиционно ось направлена вправо, поэтому мы просто последуем данному правилу.
Поставим нулевую отметку, которая будет отображать начало координат. Это то самое место, от которого ведется отсчёт, будь то размер, вес, скорость или что угодно другое. Кроме нуля, мы обязательно должны обозначить так называемую цену деления, т. е. ввести стандарт единицы, в соответствии с которой будем откладывать на оси те или иные величины. Это обязательно нужно делать, чтобы уметь находить длину отрезка на координатной прямой.
Через равное расстояние друг от друга поставим точки или «зарубки» на линии, а под ними напишем соответственно 1,2,3 и так далее. И вот, всё готово. Но с получившимся графиком надо ещё научиться работать.
Виды точек на координатной прямой
С первого взгляда на предложенные в учебниках рисунки становится понятно: точки на оси могут быть закрашенные или не закрашенные. Вы думаете, это случайность? Вовсе нет! «Сплошная» точка используется при нестрогом неравенстве – том, которое читается как «больше или равно». Если же нужно строго ограничить интервал (например, «икс» может принимать значения от нуля до единицы, но не включает её), мы воспользуемся «полой» точкой, то есть, по сути, маленьким кружком на оси. Надо заметить, что ученики не очень любят строгие неравенства, потому что с ними сложнее работать.
В зависимости от того, какие точки вы используете на графике, будут называться и построенные интервалы. Если неравенство с двух сторон нестрогое, то мы получим отрезок. Если с одной стороны он окажется «открыт», то называться будет полуинтервалом. Наконец, если часть прямой ограничена с двух сторон полыми точками, она будет называться интервалом.
Плоскость
При построении двух прямых на координатной плоскости мы уже можем рассматривать графики функций. Скажем, горизонтальная линия будет осью времени, а вертикальная – расстоянием. И вот уже мы в состоянии определить, какое расстояние преодолеет объект через минуту или час пути. Таким образом, работа с плоскостью даёт возможность следить за изменением состояния объекта. Это гораздо интереснее, чем исследование статичного состояния.
Простейший график на такой плоскости – прямая, она отражает функцию Y(X) = aX + b. Линия изгибается? Это означает, что объект меняет свои характеристики в процессе исследования.
Представьте, вы стоите на крыше здания и держите в вытянутой руке камень. Когда вы отпустите его, он полетит вниз, начав своё движение с нулевой скорости. Но уже через секунду он будет преодолевать 36 километров в час. Камень продолжит ускоряться и дальше, и чтобы нарисовать его движение на графике, вам потребуется замерить его скорость в несколько моментов времени, выставив точки на оси в соответствующих местах.
Отметки на горизонтальной координатной прямой по умолчанию получают название X1, X2,X3, а на вертикальной – Y1, Y2,Y3 соответственно. Проецируя их на плоскость и находя пересечения, мы находим фрагменты результирующего рисунка. Соединив их одной линией, мы получим график функции. В случае с падающим камнем квадратичная функция будет иметь вид: Y(X) = aX * X + bX + c.
Масштаб
Конечно, не обязательно выставлять рядом с делениями на прямой целочисленные значения. Если вы рассматриваете движение улитки, которая ползет со скоростью 0,03 метра в минуту, выставьте в качестве значений на координатной прямой дроби. В данном случае задайте цену деления как 0,01 метра.
Особенно удобно выполнять такие чертежи в тетради в клетку – здесь сразу видно, хватит ли места на листе для вашего графика, не выйдете ли вы за поля. Свои силы рассчитать несложно, ведь ширина клетки в такой тетради – 0,5 сантиметра. Понадобилось – уменьшили рисунок. От изменения масштаба графика он не потеряет и не изменит своих свойств.
Координаты точки и отрезка
Когда на уроке дается математическая задача, в ней могут содержаться параметры различных геометрических фигур как в виде длин сторон, периметра, площади, так и в виде координат. В этом случае может потребоваться как построить фигуру, так и получить какие-то данные, связанные с ней. Возникает вопрос: как найти на координатной прямой требуемую информацию? И как построить фигуру?
Например, речь идёт о точке. Тогда в условии задачи будет фигурировать заглавная буква, а в скобках будут стоять несколько цифр, чаще всего две (это значит, считать мы будем в двухмерном пространстве). Если в скобках три числа, записанные через точку с запятой или через запятую, то это трехмерное пространство. Каждое из значений – это координата на соответствующей оси: сначала по горизонтальной (X), затем – по вертикальной (Y).
Помните, как построить отрезок? Вы проходили это на геометрии. Если есть две точки, то между ними можно провести прямую. Их-то координаты и указываются в скобках, если в задаче фигурирует отрезок. Например: A(15, 13) – B(1, 4). Чтобы построить такую прямую, нужно на координатной плоскости найти и отметить точки, а затем их соединить. Вот и всё!
А любые многоугольники, как вы знаете, можно нарисовать с помощью отрезков. Задача решена.
Расчёты
Допустим, есть некоторый объект, положение которого по оси X характеризуется двумя числами: начинается он в точке с координатой (-3) и заканчивается в (+2). Если мы хотим узнать длину этого предмета, то должны вычесть из большего числа меньшее. Обратите внимание, что отрицательное число поглощает знак вычитания, потому что «минус на минус даёт плюс». Итак, мы складываем (2+3) и получаем 5. Это и есть требуемый результат.
Другой пример: нам дана конечная точка и длина объекта, но не дана начальная (и требуется её найти). Пусть положение известной точки будет (6), а размер изучаемого предмета – (4). Вычитая длину из конечной координаты, мы получим ответ. Итого: (6 – 4) = 2.
Отрицательные числа
Нередко требуется на практике работать с отрицательными значениями. В этом случае мы будем уходить по оси координат влево. Например, объект высотой 3 сантиметра плавает в воде. На треть он погружен в жидкость, на две трети находится на воздухе. Тогда, выбрав в качестве оси поверхность воды, мы с помощью простейших арифметических вычислений получаем два числа: верхняя точка объекта имеет координату (+2), а нижняя – (-1) сантиметр.
Нетрудно заметить, что в случае с плоскостью у нас образуется четыре четверти координатной прямой. Каждая из них имеет свой номер. В первой (верхней правой) части будут располагаться точки, имеющие две положительные координаты, во второй – слева сверху – значения по оси «икс» будут отрицательные, а по «игрек» — положительные. Третья и четвертая отсчитываются дальше против часовой стрелки.
Важное свойство
Вы знаете, что прямую можно представить как бесконечное множество точек. Мы можем просмотреть сколь угодно внимательно любое количество значений в каждую сторону оси, но не встретим повторяющихся. Это кажется наивным и понятным, но проистекает то утверждение из важного факта: каждому числу соответствует одна и только одна точка на координатной прямой.
Заключение
Помните, что любые оси, фигуры и по возможности графики необходимо строить по линейке. Единицы измерений были придуманы человеком не случайно – допустив погрешность при черчении, вы рискуете увидеть уже не то изображение, которое должно было получиться.
Будьте внимательны и аккуратны в построении графиков и вычислениях. Как и любая наука, изучаемая в школе, математика любит точность. Приложите немного старания, и хорошие оценки не заставят себя долго ждать.
На чтение 2 мин. Просмотров 22.9k.
- Луч Ох с началом отсчета в точке О, на котором указаны единичный отрезок и направление, называют координатным лучом.
- Число, соответствующее точке координатного луча, называется координатой этой точки. Например, А(3). Читают: точка А с координатой 3.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Отметить на координатном луче точки А(4), В(8), С(12).
Выбираем единичный отрезок — одну клетку.
- Тогда 1 клетка будет соответствовать числу 1;
- 4 клетки от начала отсчета будут соответствовать числу 4;
- 8 клеток — числу 8, а 12 клеток — числу 12.
Читают: точка А с координатой 4. Точка В с координатой 8. Точка С с координатой 12.
Пример 2
Изобразить на координатном луче все правильные дроби со знаменателем, равным 12.
Выбираем единичный отрезок — 12 клеток. Тогда одна клетка будет равна одной двенадцатой доли единичного отрезка, равного 12 клеткам.
Любому числу координатного луча соответствует единственная точка. И если под и над точкой стоят два числа, то это означает, что эти два числа равны между собой (смотрите тему: «Сокращение обыкновенных дробей»).
Пример 3
Начертить координатный луч, выбрать единичный отрезок, равный 6 клеткам и отметить точки: А( 1/6), В(2/3), С(1½), D (21/3).
За единичный отрезок мы взяли 6 клеток.
- 1 клетка — это одна шестая часть единичного отрезка, т. е дробь 1/6.
- 2 клетки — две шестые части единичного отрезка или дробь 1/3 (2/6=1/3).
- 3 клетки — три шестые части единичного отрезка или дробь ½ (3/6=½).
- 4 клетки — четыре шестые части единичного отрезка или дробь 2/3 (4/6=2/3).
- 5 клеток — пять шестых частей единичного отрезка или несократимая дробь 5/6.
- 6 клеток — шесть шестых или один единичный отрезок (6/6=1).
Число 1½ означает, что ½ единичного отрезка (3 клетки) следует откладывать не от нуля, а от 1 целой.
Число 21/3 изображаем так: отсчитываем 2 целые единицы (2·6=12 клеток) и еще 2 клетки.
Пример 4
На координатном луче отметить точки: А(5/8), В(1¾), С(2½).
Смотреть видео в хорошем разрешении.
( 6 оценок, среднее 4.5 из 5 )
Введение в координатную геометрию
Система геометрии, в которой положение точек на плоскости описывается упорядоченной парой чисел.
Определение 1
Плоскость — это поверхность, бесконечно простирающаяся в обоих направлениях. Если бы мы поместили точку на плоскости, координатная геометрия дала бы нам способ точно описать, где она находится, с помощью двух чисел.
Что такое координаты?
Чтобы показать концепцию, изучим сетку выше. Столбцы помечены A, B, C и т. д. Строки сгруппированы 1, 2, 3 и т.д. сверху. Мы видим, что X располагается в ячейке D3; то есть столбик D, строчка 3.
D и 3 именуются координатами. Она состоит из двух частей: строчки и столбика. В каждой строке много полей, и в каждом столбце много полей. Номы можем найти одно безальтернативное поле, где пересекаются столбец и строка.
Координатная плоскость
В координатной геометрии точки располагаются на «координатной плоскости», как продемонстрировано ниже. Он имеет две шкалы, одна проходит вдоль плоскости, именуемой «осью x», а другая перпендикулярна ей, называемой «осью y». (Их можно изучать как подобные столбцу и строке в абзаце выше.) Точка, в которой оси пересекаются, зовётся началом координат, где x и y равны нулю.
Определение прямой в координатной геометрии
Определение 2
Прямая — геометрический объект, который является прямым, бесконечно длинным и бесконечно тонким. Его местоположение определяется двумя или более точками на прямой, координаты которых известны.
Прямая проходит через обе и бесконечно продолжается в обоих направлениях.
Это то же самое, что и определение прямой в обычной планиметрии, с той лишь разницей, что мы знаем координаты задействованных точек.
Определение луча в координатной геометрии
Определение 3
Луч — это прямая,начинающаяся в точке с заданными координатами и бесконечно уходящая в каком-то направлении. При этом он может проходить через другую точку. Это то же самое, что и определение луча в обычной плоской геометрии, с той лишь разницей, что мы знаем координаты.
Координаты
Каждой точке пространства можно присвоить три числа относительно начальной точки. Эти три числа позволяют нам отличить любую точку от любой другой в пространстве. К счастью для вас, мы имеем дело не с тремя измерениями, а только с двумя.
Определения 4 — 6
Упорядоченные пары: каждая точка на координатной плоскости называется парой чисел, порядок которых важен; эти числа записываются в круглых скобках и разделяются запятой.
Координата x: число слева от запятой в упорядоченной паре является координатой x и указывает величину перемещения по оси x от начала координат. Движение происходит вправо, если число положительное, и влево, если число отрицательное.
y- координата: число справа от запятой в упорядоченной паре является y — координатой и указывает количество движения перпендикулярно оси x. Движение выше оси x, если число положительное, и ниже оси x, если число отрицательное.
- В квадранте I x всегда положителен, а y всегда положителен.
- В квадранте II x всегда отрицателен, а y всегда положителен.
- В квадранте III x всегда отрицателен, а y всегда отрицателен.
- В квадранте IV x всегда положителен, а y всегда отрицателен.
Точка, связанная с упорядоченной парой действительных чисел, называется графом упорядоченной пары.
Пример 1
Определите A, B, C, D, E и F на графике координат на рисунке.
Нахождение координат конкретных точек на плоскости.
A (3;2), В (-4;3), C (2; -5), D (-1; -5), Е (6,0) и F (-4;0)
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Расстояние между двумя точками
Формула
Учитывая координаты двух точек, расстояние D определяется как:
[D=sqrt{d x^{2}+d y^{2}}]
Где:
dx — разница между x-координатами точек
dy — разница между y-координатами точек
Соответствие между точками и действительными числами
Прямая может содержать много точек. Они непосредственно связаны с действительными числами. Это можно обозначить как взаимно очевидное соответствие.
Правило
Любая точка на прямой координат соответствует одному действительному числу, а каждое любое число соответствует одной точке на прямой.
Чтобы лучше уяснить это правило, нужно обозначить точку на прямой координат и посмотреть, какому числу соответствует знак. Если эта точка соотносится с началом координат, она будет помечена нулем. Если не совпадает с началом, откладываем нужное число единичных отрезков до достижения заданного знака. Этой точке будет соответствовать число. В изложенном ниже примере воочию продемонстрируем этот постулат.
Если мы не можем отыскать точку, откладывая единичные отрезки, нам также нужно обозначить точки, составляющие десятую, сотую или тысячную часть его. Подробно это правило можно увидеть на образце.
Отложив несколько таких промежутков, мы можем получить не только целое число, но и дробное — как отрицательное, так и положительное. Помеченные промежутки помогут нам найти необходимую точку на прямой координат. Это могут быть как целые числа, так и дробные. Впрочем, на прямой есть точки, которые чрезвычайно сложно найти с помощью отдельных отрезков. Они соответствуют десятичным дробям. Чтобы найти аналогичную точку, нужно отложить один отрезок, десятую, сотую, тысячную, десятитысячную и другие части.
Множество действительных чисел включает в себя все, которые возможно записать в виде дроби.
Каждой точке на прямой координат соответствует конкретное действительное число.
Различные точки обозначают разные числа.
Если число не является целым, мы должны обозначить несколько отрезков (единичных), а также десятые, сотые доли в заданном направлении. К примеру, 400350 соответствует точке на прямой координат, в которую возможно попасть из начала координат, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 десятичных, и 5 тысячных.
Каждая точка на прямой соответствует действительному числу, которое помечается на координатной прямой. Из-за данного суждения прямая иногда определяется как числовая прямая.
Математика
Тестирование онлайн
Координатная прямая
Это прямая с выбранными на ней началом отсчета, направлением и единичным отрезком.
Направление вправо от нуля считают положительным, влево — отрицательным.
Каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой и наоборот, каждая точка — единственное число.
Координата точки А на прямой — это число этой точки.
Сравнение чисел
Число a может совпасть с числом b, тогда получим равенство 
, иначе 
Обозначение: 
Из двух чисел то больше, которое на координатной прямой расположено правее.
1) Всякое положительное число больше нуля и отрицательного числа;
2) Всякое отрицательное число меньше нуля;
3) Из двух отрицательных чисел больше то, которое без учета знака меньше. Например, -3,8>-5,1
Координатная плоскость
Положение точки на плоскости можно указать с помощью прямоугольной системы координат. Проводят перпендикулярные прямые — оси координат. Точка пересечения — начало координат.
Одну из осей координат называют осью абсцисс (ось Ох). Другую ось называют осью ординат (ось Оу).
Координатная плоскость имеет координатные четверти I, II, III и IV.
Пару чисел (x; y) называют координатами точки. Например, координаты точки А (-3; 4).
