Пример 8
∫ |
1 |
dx = ∫ |
(lnx +1)′ dx = 2 |
+C . |
|||
lnx +1 |
|||||||
x |
lnx +1 |
lnx +1 |
I. Интегралы вида ∫ |
dx |
или ∫ |
dx |
берутся с помощью вы- |
||
ax2 +bx + c |
||||||
ax2 +bx + c |
деления полного квадрата для квадратного трехчлена и использование табличных интегралов № 8 – 11.
Пример 9
∫ |
dx |
= ∫ |
dx |
= ∫ |
dx |
= ∫ |
d(x +1) |
= |
x2 + 2x +5 |
x2 + 2x +1+ 4 |
(x +1)2 + 4 |
(x +1)2 + 22 |
= 12arctg x 2+1+C .
В случае с квадратным корнем только на последнем шаге применяется другой табличный интеграл (10-11 вместо 8-9).
Пример 10
dx |
d(x +1) |
|||||||||||||
∫ |
= ∫ |
= ln(x +1+ x |
2 |
+ 2x +5)+C . |
||||||||||
x |
2 |
+ 2x +5 |
(x +1) |
2 |
+ 4 |
|||||||||
Замечание. Так как у нас подкоренное выражение, очевидно, положительно, то выражение под знаком логарифма тоже положительно и проще избавиться в ответе от знака модуля.
II. Интегралы вида ∫ |
kx + e |
∫ |
kx + e |
||
dx или |
dx берутся с помо- |
||||
ax2 +bx + c |
|||||
ax2 +bx + c |
щью выделения в числителе производной от квадратного трехчлена в знамена-
теле (ax2 +bx +c)′ = 2ax +b: kx + e = A(2ax +b)+ B, где А и B находятся мето-
дом неопределенных коэффициентов (раскрываются скобки и после приведения подобных членов приравниваются коэффициенты при x и свободные чле-
10
ны, что дает систему двух линейных уравнений относительно А и В, определитель которой всегда отличен от нуля); подставив полученное выражение в числитель и почленно разделив, мы сводим первые слагаемые к формулам (1.6) или (1.7), а вторые будут интегралами I типа.
Пример 11
∫x24−x6−x9+5dx .
Применим, описанный выше метод:
(x2 −6x +5)′ = 2x −6, 4x −9= A(2x −6)+ B, 4x −9= 2Ax + (−6A + B),
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, выписываем систему для определения коэффициентов
2A = 4, |
A = 2, |
−6A + B = −9, |
B = 6A −9=3, |
значит,
4x −9= 2(2x −6)+3.
Отметим, что в простых случаях с целыми числами A, B можно сразу найти A и B подбором т.е. а) на что нужно умножить 2x, чтобы получить 4x, очевидно, A=2; б) подставив в первое равенство A=2, уже раскрыв скобки 4x 12 легко ответить, какое число надо добавить к 12, чтобы получить 9, это позволяет найти B=3. Тогда
4x −9 |
2(2x −6)+3 |
2x −6 |
dx |
|||||||||||||||||||||||
∫ |
dx = ∫ x2 −6x +5 dx = 2∫ |
dx |
+3∫ |
= |
||||||||||||||||||||||
x2 −6x +5 |
x2 −6x +5 |
x2 −6x +5 |
||||||||||||||||||||||||
= 2∫ |
(x2 −6x +9)′ |
dx +3∫ |
d(x −3) |
2 |
3 1 |
x −3− 2 |
||||||||||||||||||||
x2 −6x +5 |
= 2ln |
x |
−6x +5 |
+ 2 |
2ln |
+C = |
||||||||||||||||||||
(x −3)2 − 4 |
x −3+ 2 |
|||||||||||||||||||||||||
3ln |
x −5 |
|||||||||||||||||||||||||
= 2ln |
x2 −6x +5 |
+ |
+C . |
|||||||||||||||||||||||
x −1 |
||||||||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||||||||
11
Аналогичный пример с квадратным корнем отличается только применением последнего частного случая внесения под знак дифференциала и иного табличного интеграла.
Пример 12
∫ |
9 |
− 4x |
dx = ∫ |
2(6− 2x)−3 |
dx = 2∫ |
(6x − x2 −5)′ |
||||||||||||||
dx − |
||||||||||||||||||||
6x |
− x |
2 |
6x − x |
2 |
−5 |
6x − x |
2 |
|||||||||||||
−5 |
−5 |
|||||||||||||||||||
−3∫ |
d(x −3) |
4 |
−3arcsin |
x −3 |
+C . |
|||||||||||||||
= |
6x − x2 −5 |
|||||||||||||||||||
4−(x −3) |
2 |
|||||||||||||||||||
2 |
Проверьте, что из-за смены знака квадратного трехчлена и знака числителя по сравнению с предыдущим примером А не изменится, а B сменит знак.
§5. Интегрирование рациональных дробей
Определение. Правильной рациональной дробью называется отношение двух многочленов
Qm (x) |
= bm xm + +b1x +b0 |
, |
(1.8) |
Pn (x) |
an xn + + a1x + a0 |
если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то есть при m < n . Если дробь неправильная, то разделив уголком, всегда можно выделить целую часть и добавить остаток, деленный на многочлен Pn (x)
в знаменателе.
Пример 13
∫ |
x5 |
|||
dx . |
||||
x2 +9 |
||||
Так как степень числителя больше степени знаменателя, значит подынте- |
||||
гральная рациональная дробь неправильная: Q (x) = x5 |
, |
P (x) = x2 |
+9, |
|
5 |
2 |
m =5> 2= n. При делении уголком на каждом шаге степень многочлена понижается на n = 2, и, как только она станет меньше двух, процесс останавливаем.
12
−9x3
−9x3 −81x
81x
В нашем случае целая часть равна x3 −9x , а остаток 81x , поэтому
x2x+5 9 = x3 −9x + x812 +x9 .
Тогда
x5 |
81x |
||||||||||||||||||||
dx = |
x3 −9x + |
dx = |
x3dx − |
||||||||||||||||||
∫x |
2 |
+9 |
∫ |
x |
2 |
+9 |
∫ |
||||||||||||||
xdx |
x |
4 |
x |
2 |
1 |
(x |
2 |
′ |
4 |
2 |
|||||||||||
−9∫xdx + 81∫ |
= |
−9 |
+81 |
∫ |
+9) dx |
= 0,25x |
− 4,5x |
+ |
|||||||||||||
x2 +9 |
4 |
2 |
2 |
x2 +9 |
+40,5ln(x2 +9) +C .
Замечание. Первоначальный интеграл свелся к сумме трех интегралов, первые два из которых (от целой части) берутся как табличные, а последний сводится к выделению в числителе производной от знаменателя ((1.6)), но пока в сумме есть хотя бы один интеграл, произвольную постоянную С не пишут, т.к. она содержится в нем, и появляется в ответе только после взятия последнего интеграла.
Рассмотрим теперь общую схему интегрирования рациональных дробей.
1.Если дробь неправильная, то выделить целую часть (пример 13.).
2.Разложить знаменатель, если это возможно, на множители:
Pn (x) = an xn + an−1xn−1 + + a1x + a0 = an (x − x1) (x − x2)k
2 + |
p1x |
+ |
q1) |
(x2 |
+ p x + q )s |
, |
(1.9) |
|||||||
(x |
2 |
2 |
||||||||||||
где x1 является простым корнем многочлена Pn (x), x2 |
̶корнем кратности k, а |
|||||||||||||
дискриминантыD = p2 |
− 4q |
, D = p2 |
− 4q |
отрицательны, им у квадратных |
||||||||||
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
трехчленов соответствуют пары комплексно-сопряженных корней. Отметим, что по основной теореме алгебры у каждого многочлена, в области комплексных чисел, существует хотя бы один корень, отсюда вытекает, что у многочлена нечетной степени с действительными коэффициентами точно будет хотя бы один действительный корень, но нахождение корней для многочленов старших
13
степеней и соответствующее разложение (1.9) на множители на практике часто затруднительно. Например, чтобы разложить на множители многочлен четвер-
той степени P4 = x4 + 4 , у которого нет действительных корней, нужно догадаться добавить и отнять 4x2 , то есть дополнить до полного квадрата.
P4 = x4 + 4x2 + 4 − 4x2 = (x2 + 2)2 −(2x)2 = (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2),
проверьте, что оба дискриминанта отрицательны.
3.Пусть по формуле (1.9) знаменатель разложен на множители. Пра-
вильную рациональную дробь |
R(x) |
, где |
R(x) ̶остаток, полученный при деле- |
||
P |
(x) |
||||
n |
нии многочленов (или, если изначально была правильная дробь, многочлен
R(x) = Qm (x)) можно разложить на сумму простейших дробей. Кроме того,
без ограничения общности, можно считать многочлен Pn (x) приведенным, ко-
гда первый коэффициент равен единице (так как мы можем первый коэффициент an ≠ 0 перенести в числитель). Тогда разложение будет иметь вид:
R(x) |
= |
A1 |
+ + |
B1 |
+ |
B2 |
+ + |
Bk |
+ + |
Cx + D |
+ |
|||||||
P (x) |
x − x |
x − x |
(x − x |
)2 |
(x − x |
)k |
x2 + p x + q |
|||||||||||
n |
1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
||||||||||||
+ |
С1x + D1 |
+ + |
Cs x + Ds |
. |
(1.10) |
|||||||||||||
x2 + p x + q |
2 |
(x2 |
+ p x + q )s |
|||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
При разложении мы руководствовались следующими правилами:
•каждому корню соответствует столько слагаемых, какова его кратность;
•для действительных корней в числителях ставятся константы;
•для квадратных трехчленов с отрицательными дискриминантами в числителях ставятся линейные выражения, то есть многочлены первой степени.
Отметим, что все коэффициенты разложения: A1, ,Ds необходимо обо-
значать разными буквами, их можно просто нумеровать A1,A2, ,An , так как их количество совпадает со степенью многочлена знаменателя Pn (x) равной n .
4. Метод неопределенных коэффициентов, который заключается в следующем:
а) привести к общему знаменателю полученное разложение. Заметим, что дополнительные множители можно выписывать по разложению на множители (1.9) (только без an );
б) раскрыть скобки и привести подобные члены в правой части;
в) приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной xk , k = 0,1,…,n −1, при этом получится система n уравнений с n неизвестными
A1,A2, ,An ;
14
г) решить полученную в пункте в) систему n уравнений с n неизвестными и найти её единственное решение (доказано, что основной определитель этой системы отличен от нуля);
д) подставить найденные коэффициенты A1,A2, ,An в (1.10).
5. Добавив к найденному разложению на сумму простейших дробей целую часть (если она была для первоначальной неправильной дроби), почленно проинтегрировать.
Пример 14
∫ |
6x3 +10x2 + 6x +15dx . |
x4 + 2x3 +5x2 |
Решение
1) рациональная дробь правильная, поэтому начинаем с пункта 2.
2) разложим многочлен в знаменателе на множители: x4 + 2x3 +5x2 = x2(x2 + 2x +5), так как D = 4− 20= −16< 0, то квадратный мно-
гочлен на линейные множители в области действительных чисел разложить нельзя.
3) разложимисходную правильную рациональную дробьна суммупростейших:
6x3 +10x2 + 6x +15 |
= |
A |
+ |
A |
+ |
A x + A |
. |
|
x2(x2 |
+ 2x +5) |
1 |
2 |
3 |
4 |
|||
x |
x2 |
x2 + 2x +5 |
||||||
4) приведем дроби, стоящие в правой части к общему знаменателю, раскроем скобки и приведем подобные члены, тогда
6x3 +10x2 + 6x +15= A x3 |
+ 2A x2 |
+5A x + A x2 |
+ 2A x +5A + A x3 |
+ A x2 |
, |
||||
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
4 |
||
6x3 +10x2 + 6x +15= (A + A )x3 |
+ (2A + A + A )x2 |
+ (5A + 2A )x +5A , |
|||||||
1 |
3 |
1 |
2 |
4 |
1 |
2 |
2 |
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x , получим систему
A |
+ A |
= 6, |
A = 6− A , |
A = 6, |
|||
1 |
3 |
3 |
1 |
3 |
|||
2A1 + A2 |
+ A4 =10, |
A4 |
=10− 2A1 − A2, |
A4 |
= 7, |
||
+ 2A2 |
= 6, |
5A1 = 6− 2A2, |
A1 = 0, |
||||
5A1 |
|||||||
5A2 |
=15. |
A2 |
=3, |
A2 |
=3. |
||
В данном примере система, также, как и приведение её методом Гаусса к треугольному виду ( если расположить неопределенные коэффициенты в по-
15
рядке A3,A4,A1,A2 ), двигаясь снизу вверх найдем A2 , затем A1,A4 и A3 . Под- |
||||||
ставив найденные коэффициенты в разложение из п. 3), получим |
||||||
6x3 +10x2 + 6x +15 |
= |
3 |
+ |
6x + 7 |
. |
|
x2(x2 + 2x +5) |
x2 |
x2 + 2x +5 |
||||
∫ |
6x3 +10x2 +6x +15 |
3 |
6x +7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
2 |
2 |
dx = |
+ |
dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
(x |
+ 2x +5) |
2 |
x |
2 |
+ |
2x +5 |
|||||||||||||||||||||||||||
∫ x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx 3(2x + 2)+1 |
−2 |
(x |
2 |
+ |
2x |
+ |
′ |
dx |
||||||||||||||||||||||||||
=3∫x2 + ∫ x2 + 2x +5 dx = 3∫x |
dx + 3∫ |
5) |
dx + ∫ |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 2x +5 |
(x +1)2 + 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
3 |
+3ln(x2 + 2x +5)+ |
1arctg |
x +1 |
+C |
. (пример 9). |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решим пример 11 ∫ |
4x −9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
dx по общей схеме. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 −6x +5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. 1) дробь правильная; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2)x2 −6x +5= 0, по теореме Виета x =1, |
x |
= 5 и x2 −6x +5= (x −1)(x −5); |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
4x −9 |
= |
A1 |
+ |
A2 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||
(x −1)(x −5) |
x −1 |
x −5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
4) 4x −9= A1(x −5)+ A2(x −1).
Если все корни многочлена в знаменателе действительны и различны, то можно сразу найти неопределенные коэффициенты, полагая по очереди x равным найденным в пункте 2 корням. В нашем случае
а) при x =1 |
4−9= A (1−5)+ A 0, |
−4A = −5, |
A = |
5 |
; |
|
1 |
2 |
1 |
1 |
4 |
||
б) при x = 5 |
20−9 = A 0+ A (5−1) |
, 4A =11, |
A =11. |
|||
1 |
2 |
2 |
2 |
4 |
||
Поэтому, минуя остальные подпункты 4), сразу получим
4x −9 |
5 |
11 |
|||
4 |
4 |
||||
= |
+ |
. |
|||
(x −1)(x −5) |
x −1 |
x −5 |
|||
16 |
5 |
11 |
|||||||||||||||||||||
5) |
4x −9 |
dx = |
4 |
+ |
4 |
dx = 5 d(x −1) |
+11 d(x −5) = |
|||||||||||||||
∫x |
2 |
−6x +9 |
∫ |
x −5 |
4∫ x −1 |
4 ∫ x −5 |
||||||||||||||||
x −1 |
||||||||||||||||||||||
5ln |
x −1 |
+ 11ln |
x −5 |
+С . |
||||||||||||||||||
4 |
4 |
|||||||||||||||||||||
Замечание 1. Сравним данный ответ с ответом на с. 10, полученного с помощью выделения в числителе производной от знаменателя, но упростив тот первоначальный ответ с помощью свойств логарифма, можно свести его к новому ответу. Такая ситуация при взятии интеграла разными методами типична: ответы получаются часто совершенно на первый взгляд разные, но отличаются друг от друга на константу (см. лемму о первообразных).
Замечание 2. Отметим, что чем больше степень многочлена в знаменателе, тем выгоднее применение предложенного метода нахождения неопределенных коэффициентов (в случае разложения этого многочлена только на различные линейные множители). В качестве упражнения, возьмите с помощью этого ме-
тода ∫ 2x3 −3x2 +7x +5 dx (полагая по очереди x = 0, x =1, x = −1, x = 2). x(x −1)(x +1)(x − 2)
Приведем еще один метод интегрирования выражений, содержащих ко-
рень из квадратного трехчлена, а именно, |
метод неопределенных коэффициен- |
|||||||||||
тов |
для |
нахождения |
интегралов |
вида |
∫ |
Pn (x) |
dx |
или |
||||
ax |
2 |
|||||||||||
+bx + c |
||||||||||||
∫Pn (x) |
ax2 +bx + cdx , где Pn (x) |
многочлен степени n. |
Отметим, что второй |
интеграл сводится к первому умножением и делением на ax2 +bx +c , а потому остановимся на первом интеграле. Докажем, что имеет место его представление в виде
Pn (x) |
dx |
||||||||||||||
dx = Qn−1 |
(x) |
ax |
2 |
+bx + c + L |
, |
||||||||||
∫ |
∫ |
||||||||||||||
ax2 |
+bx + c |
ax2 |
+bx + c |
||||||||||||
где Qn−1(x) ̶некоторый многочлен, степени на единицу меньшей степени многочлена Pn (x), L ̶некоторая константа.
Продифференцировав обе части записанного равенства, получим
17
Pn (x) |
ax + |
b |
L |
||||||||||||
2 |
|||||||||||||||
= Qn′−1(x) |
ax2 +bx + c |
+Qn−1(x) |
+ |
, |
|||||||||||
ax2 +bx + c |
ax2 +bx |
ax2 +bx + c |
|||||||||||||
+ c |
откуда при умножении правой и левой частей на ax2 +bx +c придем к равенству двух многочленов степени n
Pn (x)=Qn′−1(x)(ax2 +bx + c)+ Qn−1(x) ax + b2 + L,
которое должно выполняться тождественно. Это условие даёт возможность определения коэффициентов многочлена Qn−1(x) и константы L обычным ме-
тодом неопределенных коэффициентов. Отметим также, что система уравнений для определения этих коэффициентов будет иметь треугольный вид.
Пример 15
2 |
2 |
4 |
3 |
2 |
||||||||||||||
∫x2 |
dx = ∫ |
x |
(x |
+ 2x + 2) |
dx = ∫ |
x |
+ 2x |
+ 2x |
dx. |
|||||||||
x2 + 2x + 2 |
||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||
x |
+ 2x + 2 |
x |
+ 2x + 2 |
В соответствии с рассмотренным методом запишем равенство
∫ |
x4 |
+ 2x3 + 2x |
2 |
+L∫ |
dx |
|||||||
dx = (Ax3 + Bx2 |
+Cx + D) x2 + 2x + 2 |
. |
||||||||||
2 |
x |
2 |
||||||||||
x + 2x + 2 |
+ 2x + 2 |
Продифференцируем это равенство:
x4 + 2x3 + 2x2 |
|||||||||||||
= (3Ax2 |
+ 2Bx +C) x2 |
+ 2x + 2 + (Ax3 + Bx2 + Cx + D) |
|||||||||||
x2 + 2x + 2 |
|||||||||||||
x +1 |
+ |
L |
|||||||||||
x2 + 2x + 2 |
x2 + 2x + 2 |
и, умножив обе его части на x2 + 2x + 2, придем к тождественному равенству двух многочленов четвертой степени:
x4 + 2x3 + 2x2 = (3Ax2 + 2Bx +C )(x2 + 2x + 2) +(Ax3 + Bx2 +Cx + D)(x +1)+ L.
18
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.
Интегрирование иррациональных функций с примерами решения
Содержание:
Интегрирование иррациональных функций.
Определение 1. Функция вида
Пример 1.
— рациональная функция переменных u и v, при этом:
п.1. Интегралы вида:
Пусть s – общий знаменатель дробей Тогда подстановка
делает подинтегральную функцию рациональной.
Пример 2.
Пример 3
п.2. Интегралы вида— интегралы от дифференциального бинома.
Интегралы вида (1) выражаются через элементарные функции в следующих случаях:
а) p∈Z — интегралы рассмотрены в п.1.
б) , тогда подстановка
, где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
в) , тогда подстановка
, где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
Во всех других случаях интегралы (1) выразить через элементарные функции нельзя (теорема Чебышева).
Пример 4.
Пример 5.
п.3. Интегралы вида Вычисление интегралов проводится аналогично интегралам
выделением полного квадрата в трехчлене
(см. § 21, примеры 1, 2).
Пример 6.
п 4. Интегралы вида , где
— многочлен степени n.
Для вычисления интегралов используют равенство:
многочлен степени n−1 . Коэффициенты многочлена
а также число λ находятся, если продифференцировать правую и левую часть равенства (2).
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример 7.
После взятия производной:
Приравниваем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях.
Решив систему (3), получим :
(сравни с примером 5).
п.5. Интегралы вида
В данных интегралах можно избавиться от иррациональности, если применить подходящую тригонометрическую или гиперболическую подстановку.
— для первого интеграла,
— для второго,
— для третьего (см. § 23).
Пример 8.
Пример 9.
Интегрирование некоторых иррациональных функций
1. Интегралы вида .
Интегралы такого типа вычисляются по следующей схеме:
В результате приведенных действий данный интеграл переходит в неопределенный интеграл от рациональной функции.
Пример:
Вычислить
Решение:
В данном примере следовательно, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 6. Таким образом.
2. Интегралы вида .
Такие интегралы путем замены приводятся к одному из интегралов вида:
1. 2.
3.
Для вычисления этих интегралов применяют следующие тригонометрические замены
1. 2.
3.
— которые позволяют избавиться от квадратного корня.
Пример:
Вычислить
Решение:
Данный интеграл соответствует интегралам типа 1., поэтому
Пример:
Вычислить
Решение:
Воспользуемся указанной выше заменой
(интеграл вычислен в п. 2а)
Пример:
Вычислить
Решение:
Пример:
Вычислить
Решение:
Воспользуемся указанной выше заменой
Понятие о неберущихся интегралах
Определение: Интегралы, первообразные которых не выражаются через элементарные функции, называются неберущимися:
- Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение
- Линии второго порядка
- Полярные координаты
- Непрерывность функции
- Формула Тейлора и ее применение
- Интегрирование рациональных дробей
- Интегрирование тригонометрических функций
- Интегрирование тригонометрических выражений
Простое объяснение принципов решения интегрирования иррациональных функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения интегрирования иррациональных функций
Интегралы, подынтегральная функция которых представляет собой иррациональное выражение, не могут быть вычислены непосредственно. С помощью тождественных преобразований подынгегральной функции такие интегралы можно свести к табличным интегралам, либо к их алгебраической сумме.
При решении задач на вычисление интегралов от иррациональных функций, применяются методы подстановки и дробно-линейной подстановки.
Отдельным методом интегрирования иррациональных функций является использование формулы:
Примеры решений интегрирования иррациональных функций
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Представим интеграл в виде:
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и
является 6.
Сделаем подстановку
Выделим целую часть в :
Сделаем обратную подстановку
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Представим интеграл в виде:
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и
является 6.
Сделаем подстановку
Выделим целую часть в :
Сделаем обратную подстановку
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Представим интеграл в виде:
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей и
является 6.
Сделаем подстановку
Преобразуем подынтегральную функцию:
Сделаем обратную подстановку
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Представим интеграл в виде:
Наименьшим общим кратным знаменателей дробей и
является 6.
Сделаем подстановку
Преобразуем подынтегральную функцию:
Сделаем обратную подстановку
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуем :
Подставим вместо :
Делаем обратную замену :
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Преобразуем :
Подставим вместо :
Делаем обратную замену :
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Применим формулу
Дифференцируя равенство по , получаем:
Сопоставим коэффициенты слагаемых с в одинаковой степени:
– коэффициент при
– коэффициент при
– коэффициент при
Находим значения и
:
Подставляем найденные значения в
Получаем
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Для вычисления данного интеграла необходимо осуществить тригонометрическую подстановку
Найдём dx:
С учётом подстановки подынтегральная функция примет следующий вид:
В результате искомый интеграл преобразуется к следующему виду:
Данный интеграл относится к табличным и равен:
Поэтому:
Перейдём к переменной , для этого из подстановки
выразим
через
:
В итоге получим:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Для вычисления данного интеграла необходимо осуществить тригонометрическую подстановку
Найдём dx:
С учётом подстановки подынтегральная функция примет следующий вид:
Делаем обратную подстановку и учитываем, что
:
Ответ
Задача
Вычислить интеграл:
Решение
Сделаем подстановку :
Сделаем подстановку :
Переходим к переменной через подстановку
:
Переходим к переменной через подстановку
:
Ответ
Интегрирование иррациональных функций
Формула
Формула на интегрирование иррациональных функций зависит от типа предлагаемого к решению интеграла, в частности от подкоренного выражения:
- Линейная функция: $$ sqrt[n]{ax+b}, (a neq 0) $$ Для решения такого интеграла удобно применить подстановку $ t = sqrt[n]{ax+b} $
- Квадратный многочлен: $$ sqrt{ax^2+bx+c} $$ В этом случае необходимо дополнить многочлен до полного квадрата, а затем по одной из формул таблицы интегрирования решить полученный интеграл вида $ int frac{dx}{sqrt{alpha^2 pm x^2}} $
- Разность квадратов: $$ sqrt{a^2-x^2} $$ Используем подстановку $ x = asin t $, затем по формуле $ 1-sin^2 t = cos^2 t $ продолжаем нахождение интеграла
Примеры решений
Пример 1 |
Найти интеграл иррациональной функции: $$ int frac{xdx}{sqrt[3]{x+1}} $$ |
Решение |
Выполняем замену: $$ t = sqrt[3]{x+1} $$ Выражаем из замены $ x $: $$ x = t^3-1 $$ Находим $ dx $: $$ dx = 3t^2 dt $$ Подставляем в интеграл полученные данные: $$ int frac{xdx}{sqrt[3]{x+1}} = int frac{(t^3-1)3t^2}{t} dt = $$ Выполняем разложение подынтегрального выражения на две дроби: $$ = int 3t^4 dt — int 3t dt = frac{3t^5}{5} — frac{3t^2}{2} + C = $$ Возвращаем замену назад: $$ = frac{3}{5}(sqrt[3]{x+1})^5 — frac{3}{2}(sqrt[3]{x+1})^2 + C = frac{3}{5}sqrt[3]{(x+1)^5}-frac{3}{2}sqrt[3]{(x+1)^2} + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ int frac{xdx}{sqrt[3]{x+1}} = frac{3}{5}sqrt[3]{(x+1)^5}-frac{3}{2}sqrt[3]{(x+1)^2} + C $$ |
Пример 2 |
Выполнить интегрирование иррациональных функций: $$ int frac{dx}{sqrt{x^2-6x+13}} $$ |
Решение |
Замечаем, что под корнем находится квадратный многочлен. Это значит, что можно выделить под корнем полный квадрат, а затем решить интеграл по таблице интегрирования основных функций. Выделяем полный квадртат: $$ x^2-6x+13 = x^2 — 2cdot 3 + 3^2 + 4 = (x — 3)^2 + 4 $$ Подставляем полученное выражение под корень в интеграле: $$ int frac{dx}{sqrt{x^2-6x+13}} = int frac{dx}{sqrt{(x-3)^2+4}} = $$ $$ = int frac{dx}{sqrt{x^2-6x+13}} = ln | x-3 + sqrt{x^2-6x+13}| + C $$ |
Ответ |
$$ int frac{dx}{sqrt{x^2-6x+13}} = ln | x-3 + sqrt{x^2-6x+13}| + C $$ |
Пример 3 |
Решить интеграл с иррациональностью: $$ int sqrt{1-x^2} dx $$ |
Решение |
Интеграл попадает под третий случай, в котором необходимо выполнить подстановку: $$ x = sin t; dx = cos t; t = arcsin x $$ Записываем решение: $$ int sqrt{1-x^2} dx = int sqrt{(1-(sin t)^2}) cos t dt = $$ Воспользовавшись тригонометрической формулой $ 1 — sin^2 t = cos^2 t $ получаем: $$ = int sqrt{cos^2 t} cos t = int cos^2 t dt = $$ С учётом формулы понижения степени косинуса $ cos^2 t = frac{1+cos 2t}{2} $ имеем: $$ = int frac{1+cos 2t}{2} dt = frac{1}{2} int (1+cos 2t) dt = $$ Воспользуемся свойством разложения интеграла: $$ frac{1}{2} int dt + frac{1}{2} int cos 2t dt = frac{1}{2} t + frac{1}{4} sin 2t + C = $$ Выполняем обратную подстановку: $$ = frac{1}{2} arcsin x + frac{1}{4} sin (2arcsin x) + C $$ |
Ответ |
$$ int sqrt{1-x^2} dx = frac{1}{2} arcsin x + frac{1}{4} sin (2arcsin x) + C $$ |