Как найти иксы через теорему виета

После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью
формулы для корней
можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.

Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в
определении коэффициентов
«a», «b» и «с» в квадратных уравнениях.
Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.

Когда можно применить теорему Виета

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему.
Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Обратите внимание, что разница с обычным общим видом
квадратного уравнения «ax² + bx + c = 0» в том, что в
приведённом уравнении «x² + px + q = 0» коэффициент
«а = 1».

Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x² + px + q = 0» с обычным общим видом квадратного
уравнения «ax² + bx + c = 0», то становится видно,
что
«p = b», а «q = c».

Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.

Как использовать теорему Виета

Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.

Чтобы было проще запомнить формулу Виета, следует запомнить:
«Коэффициент «p» —
значит плохой, поэтому он берется со знаком минус».

Рассмотрим пример.

x² + 4x − 5 = 0

Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение
считается приведённым, значит, можно
использовать метод Виета.
Выпишем коэффициенты «p» и «q».

• p = 4
• q = −5

Запишем теорему Виета для квадратного уравнения.

Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения
«x₁ = −5» и «x₂ = 1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −5; x₂ = 1

Рассмотрим другой пример.

x² + x − 6 = 0

Старший коэффициент «a = 1» поэтому можно применять теорему Виета.

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

Деление уравнение на первый коэффициент

Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.

2x² − 16x − 18 = 0

Сейчас в уравнении «a = 2»,
поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».

Для этого достаточно разделить все уравнение на «2».
Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.

2x² − 16x − 18 = 0            | (:2)
2x²(:2) − 16x(:2) − 18(:2) = 0
x² − 8x − 9 = 0

Теперь «a = 1» и можно смело записывать формулу Виета и находить корни методом подбора.

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = 9» и «x₂ = −1». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = 9; x₂ = −1

Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.

Корни «x₁» и
«x₂» квадратного уравнения
«x² + px + 3 = 0» удовлетворяют
условию «x₂ = 3x₁».
Найти «p», «x₁»,
«x₂».

Запишем теорему Виета для этого уравнения.

По условию дано, что
«x₂ = 3x₁».
Подставим это выражение в систему вместо «x₂».

Решим полученное квадратное уравнение «x₁² = 1»
методом подбора и найдем «x₁».

   x₁² = 1

• (Первый корень) x₁ = 1
• (Второй корень) x₁ = −1

Мы получили два значения «x₁».
Для каждого из полученных значений найдем «p» и запишем все полученные результаты в ответ.

(Первый корень) x₁ = 1

Найдем
«x₂»

x₁ · x₂ = 3
1 · x₂ = 3
x₂ = 3

Найдем «p»

x₁ + x₂ = −p
1 + 3 = −p
4 = −p
p = −4;
(Второй корень) x₁ = −1

Найдем «x₂»

x₁ · x₂ = 3
−1 · x₂ = 3
                 −x₂ = 3         | ·(−1)
x₂ = −3

Найдем «p»

x₁ + x₂ = −p
−1 + −3 = −p
−4 = −p
p = 4

Ответ: (x₁ = 1; x₂ = 3; p = −4)     и    
(x₁ = −1; x₂ = −3; p = 4)

Теорема Виета в общем виде

В школьном курсе математики теорему Виета используют только для приведённых уравнений,
где старший коэффициент «a = 1», но, на самом деле, теорему Виета можно применить к любому квадратному уравнению.

В общем виде теорема Виета для квадратного уравнения выглядит так:

Убедимся в правильности этой теоремы на примере. Рассмотрим неприведённое квадратное уравнение.

3x² + 3x − 18 = 0

Используем для него теорему Виета в общем виде.

Методом подбора получим, что корни уравнения
«x₁ = −3» и «x₂ = 2». Запишем ответ.

Ответ: x₁ = −3; x₂ = 2

В заданиях школьной математики мы не рекомендуем использовать теорему Виета в общем виде.

Другими словами, реальную пользу теорема Виета приносит только для приведённых квадратных уравнений, в
которых «a = 1».
Именно в таких случаях она не усложняет жизнь, а позволят без дополнительных расчетов быстро найти корни.

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

         Теорема Виета в квадратных уравнениях — штука простая и очень-очень важная. Позволяет делать массу полезных вещей буквально в уме. Имеет смысл познакомиться и освоить, правда? Тем более это совсем просто. Сомневаетесь? Напрасно.) Сами увидите. Читаем дальше.

Что такое приведённое квадратное уравнение? Складываем и перемножаем корни…

        Знакомство наше начнём с безобидного уравнения:

        Обычное квадратное уравнение, ничего выдающегося. Коэффициенты a, b и c здесь следующие:

        a = 1; b = -4; c = 3

        Решаем тоже как обычно, безо всяких фокусов, через дискриминант и получаем два корня:

        Уравнение как уравнение — и что с того? Ничего, сейчас интересно будет!)

        Первым делом я возьму корни нашего уравнения и… сложу их.) Зачем? Так надо!

        Итак:

        Теперь проделаю ещё одну бесполезную (казалось бы!) штуку. Перемножу корни:

        Ну сложил, ну перемножил — и что? Спокойствие и терпение!

        Выпишем ещё разок само уравнение, а прямо под ним напишем сумму и произведение корней:

        И посмотрим на нашу запись. Внимательно посмотрим… Ничего не бросается в глаза? Ведь многие важные открытия в математике совершались на основе хорошей наблюдательности, между прочим! Не видите…

        А вот так?)

        Да! Сумма корней нашего квадратного уравнения равна коэффициенту b. Но, обратите внимание, не просто b, а с противоположным знаком! В уравнении коэффициент при икс (а это и есть буковка b) равен минус четыре. Сумма же корней даёт плюс четыре. То есть, –b.

        А произведение корней даёт нам свободный член! Т.е. буковку c. Даёт со своим знаком! Как была в уравнении тройка (с=3), так в произведении корней тройкой же и осталась.)

        Теперь я немного изменю уравнение. Поменяю в нём свободный член с тройки на четвёрку. Вот такое уравнение теперь решим:

        Решаем точно так же, через дискриминант (здесь он равен нулю), и получаем единственное решение x=2.

        Но мы с вами люди уже достаточно взрослые и понимаем, что это не один корень, а два одинаковых:

        x_1,2 = 2

        Поэтому снова сосчитаем сумму и произведение корней:

        И опять в сумме мы получили –b (-b=+4), а в произведении с (c=+4)!

        А вот это уже крайне важно! Оказывается, такая забавная штука будет получаться всегда для любого квадратного уравнения! Если оно имеет корни, разумеется.) Правда, уравнения не какого попало, а такого, где квадрат икса чистый (т.е. коэффициент a=1). В математике такие квадратные уравнения имеют своё особое название — приведённые квадратные уравнения.

        Запоминаем:

        Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х² равен единице (а=1), называется приведённым квадратным уравнением. Весьма важная штука!    

        Как оно выглядит в общем виде? Очень просто. Подставим в общий вид квадратного уравнения

        единичку вместо а и получим общий вид приведённого квадратного уравнения:

        В некоторых учебниках коэффициенты b и с переобозначают другими буквами (чаще всего p и q) и получают вот такой общий вид

        Но суть та же самая. Как говорится, хоть горшком назови… Лично я предпочитаю использовать традиционные буквы b и с. Для универсальности.)

        Ну и что из этого? — спросите вы. Чем приведённые квадратные уравнения так выделяются на фоне остальных квадратных, неприведённых? А дело вот в чём.

Что такое теорема Виета?

        Итак, мы выяснили, что в приведённом квадратном уравнении (любом!) сумма коэффициентов равна –b, а произведение равно с. Всегда. Ясное дело, если дискриминант неотрицательный и корни у уравнения имеются.

        Математически эта фишка записывается вот так:

        Этот любопытный факт — и есть теорема Виета! Собственной персоной.

        А словами она звучит вот как:

        Теорема Виета:

        Если ПРИВЕДЁННОЕ квадратное уравнение имеет корни, то их сумма равна коэффициенту при икс, взятому с противоположным знаком (—b), а их произведение равно свободному члену (c).

        Вот и всё, никаких премудростей.)

        Хотите строгое доказательство? Пожалуйста! Флаг вам в руки!) Распишите общую формулу корней квадратного уравнения для a=1, составьте сумму и произведение корней в общем виде. Т.е. через буквы. И упростите. Попробуйте! Весьма полезно и познавательно, между прочим.)

        Верна также и обратная теорема:

        Если числа х₁ и х₂ таковы, что их сумма равна –b, а произведение равно c, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0.

        А по секрету скажу вам, что, на самом деле, именно обратной теоремой вы и пользуетесь, так умело подбирая в уме корни уравнения по сумме и произведению! Об этом подборе как раз дальше будет.)

Зачем нужна теорема Виета?

        Полезная вещь первая — подбираем корни в уме!

        Теорема Виета (обратная форма) позволяет искать корни многих квадратных уравнений гораздо быстрее и проще, чем традиционным путём через дискриминант. В буквальном смысле устно!

        Вернёмся к нашему уравнению:

        Теперь, вооружившись глубокими познаниями, прямо по теореме Виета, записываем системку для наших искомых корней:

        Вопрос на сообразительность: какие же такие два числа в сумме дают четвёрку, а в произведении — тройку? Немного подумав головой, можно довольно быстро догадаться, что это чиселки 1 и 3.

        Значит, можно смело записать:

        x₁ = 1

        x₂ = 3

        Вот и всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят.) Здорово, правда? И не нужно считать никаких дискриминантов, возиться с общей формулой корней. В которой, между прочим, можно и ошибок наляпать… Сразу, в уме, получен верный ответ!

        Возможно, кто-то уже приготовил мне вопрос. Очень грамотный вопрос, кстати. А всегда ли в случае приведённого квадратного уравнения можно вот так красиво и легко подобрать корни?

        К сожалению, нет. Далеко не всегда. Например, я снова изменю в исходном уравнении свободный член, только вместо четвёрки напишу двойку. Вот такое уравнение пусть будет:

        Уравнение приведённое, коэффициент а равен единичке, вроде бы, всё нормально. Пишем теорему Виета:

        И снова пробуем подобрать иксы так, чтобы оба равенства сработали!

        Гм… Что-то не подбирается, правда? Какие бы целые числа вы бы ни подбирали, ничего не выйдет.

        Тут выход только один — решать через дискриминант. Ибо дискриминант — штука универсальная. Спасает всегда — и в приведённых уравнениях, и в обычных. Попробуйте. И вы убедитесь, что корни этого уравнения получаются иррациональными. Естественно, такие корни подобрать в уме несколько затруднительно, да…

        Догадываюсь, что вы сейчас спросите: Зачем же нам тогда городить огород, пробовать подобрать корни, если дискриминант всё равно надёжнее и с ним-то уж точно всё решится?

        Да, надёжнее, но… Не всё так просто, как кажется!

        Дело всё в том, что квадратные уравнения изучаются в 8-м классе, где народ тренируется на простых (иногда — совсем примитивных) задачках. И… привыкает к простоте.) Затем, в старших классах и особенно в институте, при изучении высшей математики, квадратные уравнения представляются как нечто само собой разумеющееся. Но при этом в коэффициентах зачастую возникают такие большие числа, что работать с ними большинство учеников… просто не готовы!

        Попадётся вам, к примеру, такая задачка:

        Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 82 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 3 часа 25 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

        Это не моя разыгравшаяся фантазия, а вполне реальная задачка из ЕГЭ, между прочим.)

        Кто в курсе, как решать текстовые задачи на движение, тот без труда составит вот такое уравнение:

        Классическое дробно-рациональное уравнение. Здесь х — скорость велосипедиста. Немного повозившись с ним (избавившись от дробей и упростив всё до упора), получим вот такое квадратное уравнение:

        Если начать решать это уравнение по-рабочекрестьянски, то получим, что дискриминант у него равен аж 13924! И… что? Как нам из такого здоровенного числа корень извлекать? Без калькулятора! Слабо? То-то…

        Зато через теорему Виета это злое уравнение решается практически устно! Не верите? Что ж, смотрите сами…

        Записываем сумму и произведение корней:

        Осталось лишь догадаться, какие же числа дают в сумме минус 82, а в произведении минус 1800. Совсем чуточку подумав, довольно быстро получим, что:

        Минус сто, ясное дело, нас не интересует (скорость не бывает отрицательной), а вот 18 км/ч — вполне себе правдоподобная велосипедная скорость.)

        Вот и все дела.) И без долгих и утомительных вычислений, связанных с извлечением корня из пятизначного числа! Здорово, правда?

        Посему, первые практические советы:    

        1. Если перед вами квадратное уравнение приведённого вида, то первым делом пробуем найти корни подбором. По теореме, ОБРАТНОЙ теореме Виета. В подавляющем большинстве заданий это срабатывает.

        2. Не боимся уравнений с большими коэффициентами! Самое главное — не бросаемся считать дискриминант! Как правило, корни таких уравнений также довольно легко ищутся подбором.

        Может, конечно, и не повезти, но зачем же такой шанс упускать, правда?)

        Но есть у меня для вас хорошая новость.) Составители большинства заданий — люди гуманные.) И стараются составить уравнение так, чтобы корни являлись целыми числами и их легко можно было бы подобрать. Пробуем делать это!

        Переходим к следующей полезной вещи.

        Полезная вещь вторая — проверяем корни!

        Теорему Виета можно применять не только для подбора корней, но и для проверки корней, найденных другим способом (через дискриминант, например). Решили уравнение — проверьте сумму и произведение корней! Всё срослось — значит, верно. Нет — значит, где-то накосячили. Ищите ошибку.)

        Например, такое уравнение:

        Дело нехитрое. Решаем себе через дискриминант, всё чин-чином, получаем корни:

        x₁ = -7

        x₂ = -3

        Не бросаемся сразу же радостно писать ответ! Знаете поговорку доверяй, но проверяй?) Вот и не ленимся. Первым делом сложим наши корни:

        Получили -10. Обратите внимание, не десять, а минус десять! Коэффициент b с противоположным знаком. Так уж теорема Виета устроена.)

        Последняя (и окончательная) проверка — перемножим корни. Должен получиться свободный член:

        Вот теперь всё хорошо.)

        Более того, с этой благородной целью (проверка корней) теорему Виета можно применять и для неприведённых квадратных уравнений. Для любых. Да-да, я не шучу! Но эту фишку я оставлю на конец урока. На десерт.)

        И что, думаете, только для подбора и проверки корней теорема Виета и нужна? Вовсе нет!

        Полезная вещь третья — когда корни считать… не надо!

        Вы спросите, а разве можно обойтись и вовсе без вычисления корней? Можно! Ещё как!)

        Дискриминант — штука, безусловно, удобная, простая и понятная. С ним, как правило, всё легко и предсказуемо. Но… Может получиться какой-нибудь дурацкий дискриминант: 17 там, скажем, или 20. Что неизбежно приводит к появлению иррациональных корней, да…) А уж если в задании надо ещё что-то делать с корнями, то выражения с радикалами, даже для опытного ученика, могут перерасти в большую проблему. А для неопытного — вообще превратиться в полный ахтунг.

        Но теорема Виета иногда способна на настоящие чудеса!

        Например, такое задание:

        Дано квадратное уравнение:

        Найдите сумму квадратов корней, не находя самих корней.

        Если сейчас начать решать это задание «в лоб» — считать дискриминант и искать корни уравнения по общей формуле, то получим вот таких двух красавцев:

        Нам нужна сумма их квадратов. И что нам теперь с такими лохматыми числами делать?! Возводить в квадрат, складывать… Нет, возвести и сложить можно, конечно, но… не каждый ученик дорешает до конца это задание без ошибок!

        Не отчаиваемся и читаем ещё раз условие. Обратите внимание, нам вообще НЕ сказано «решать уравнение», НЕ сказано «находить корни». Более того, нам прямым текстом говорится: «Найти сумму квадратов корней, не находя самих корней«.

        Что делать? Как выкручиваться без поиска корней?

        Посмотрим ещё раз на уравнение. Приведённое, между прочим.) Раз так, то, стало быть, для него справедлива теорема Виета!

        Можно смело записать:

        Вот так. Сумма корней — тройка, а произведение — единичка. Мы не знаем, чему равны сами эти корни, но у нас это и не спрашивают. Нас просят найти только сумму их квадратов.)

        А вот теперь ключевой вопрос: А можно ли как-то расписать нужную нам сумму квадратов корней через сумму и произведение корней?

        Да, можно! Кто на «ты» с формулами сокращённого умножения (а именно — с формулой квадрата суммы), тот, скорее всего, даже не заметит проблем.

        Пишем:

        Как я додумался до этого равенства? Очень просто. Вспомнил, что в формуле квадрата суммы сидят сумма квадратов и удвоенное произведение:

        И выразил нужную величину (сумму квадратов) через остальные — сумму (т.е. квадрат суммы) и произведение (удвоенное).

        Вот и всё, практически. Осталось лишь подставить тройку вместо суммы и единицу вместо произведения корней, да и посчитать, что получится:

        Ответ: 7  

        И все дела.) И корни не понадобились! Вообще.) Мощная штука — теорема Виета! Ну и формулы сокращённого умножения, само собой.)

        Этот приём — выражение какой-то сложной конструкции через сумму и произведение корней — очень популярен в заданиях на теорему Виета! Я уж молчу про более серьёзные задания. Например, задачи с параметрами, там этот финт ушами используется на полную катушку.)

        Запоминаем:

        В серьёзных заданиях на сумму и произведение корней пользуемся формулами сокращённого умножения и алгеброй 7-го класса! Здорово помогает.)

        Как работать с неприведёнными уравнениями?

        Как известно, самое сладкое — в конце трапезы. Обещанный десерт.)

        Во всех примерах этого урока мы работали лишь с приведёнными квадратными уравнениями. Такими, у которых коэффициент при квадрате икса — единичка. А если уравнение не является приведённым? Т.е. а≠1? Что тогда? Про теорему Виета можно забыть?

        Нет, забывать мы не будем. Мы поступим мудро и красиво. Раз уравнение не является приведённым, то мы его… сделаем! Как? Очень просто! Берём квадратное уравнение в общем виде:

        и… делим обе части на «а»! Очищаем квадрат икса от коэффициента. Можно ли так делать? Конечно! Мы ведь с вами уже в курсе, что a никогда не бывает равно нулю (а≠0). Иначе уравнение будет не квадратным, а линейным. Вот и делим смело. Это совершенно безопасно. Естественно, все остальные слагаемые тоже придётся поделить на а, от этого никак не отвертишься.

        Получим:

        Вот и всё. Уравнение стало приведённым. Коэффициенты, правда, дробными стали, но тут уж ничего не поделать, да…) В этом новом уравнении в роли нового «b« выступает дробь b/a, а в роли нового свободного члена — дробь c/a. Можно записывать теорему Виета:

        Вот так. Такая модифицированная запись теоремы Виета — более общая. Для любых квадратных уравнений годится — как приведённых (а=1), так и обычных (а≠1). С той лишь разницей, что при а=1 знаменатели исчезают — и теорема обретает свой привычный вид.

        Имеет смысл запомнить эту общую форму записи: и для банальной проверки корней пригодится, и, опять же, для более солидных заданий на квадратные уравнения.

        Например, надо решить уравнение:

        Решаем, получаем корни:

        Предположим, вам захотелось проверить, правильно ли вы нашли ваши иксы. Для этого, знамо дело, их надо подставить в исходное уравнение и посчитать результат. Но корни — дробные. Подставлять да считать долго и муторно…

        Как проверить корни быстро и с минимумом вычислений? Не проблема! Записываем обобщённую теорему Виета для а=6:

        И работаем. Складываем корни:

        Так, по сумме всё проходит. Осталось перемножить:

        И тут полный порядок! Значит, всё правильно.)

        Очередной практический совет:

        Найденные корни стараемся проверять! По сумме и произведению. Это здорово уменьшает количество ошибок при решении квадратных уравнений. Если уравнение не является приведённым, то для проверки пользуемся соответствующей модифицированной теоремой Виета.

        Итак, мы с вами выяснили, что теорема Виета — штука простая. И очень полезная. И это не только трафаретное решение квадратных уравнений! В ВУЗе, при работе со всякими там пределами, интегралами, дифференциальными уравнениями и прочими прелестями высшей математики, вы ещё не раз вспомните добрым словом знаменитого французского математика с его теоремой.)

        Ну что, порешаем?

        1. Найдите подбором корни уравнений:

        Ответы (в беспорядке):

        2. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 23 см, а гипотенуза равна 17 см. Найдите больший катет треугольника.

        3. Разность корней уравнения 2х² — 5х + с = 0  равна 1,5. Найдите с.

        4. Дано уравнение: x² — 6x + 4 = 0. Не решая уравнения, найдите сумму кубов его корней.

        5. Известно, что х₁ и х₂ — корни уравнения х²-18х+11 = 0.

        Найдите значение выражения:

        Ответы (в беспорядке):

        144; 15; -1; 1

        Всё сошлось? Рад за вас! Значит, отныне теорема Виета — не ваша очередная головная боль, а новый надёжный друг и помощник при решении уравнений (и не только квадратных, между прочим!).

        Задания 4 и 5 не идут? Корни иррациональные получаются? Это специально.) Да и не нужны они вам… Да, есть там одна загвоздочка. Но алгебра седьмого класса и действия с дробями вам помогут! И этот урок, само собой. И всё получится.)

В курсе алгебры 8 класса изучается теорема Виета. Основное применение этой теоремы — упрощение вычисления корней приведенного квадратного уравнения.

В этой статье мы дадим определение теоремы Виета, докажем ее, покажем применение теоремы при решении квадратных уравнений, а также рассмотрим теорему обратную теореме Виета.

Квадратное уравнение и его корни

Давайте вспомним, как решается обычное квадратное уравнение. Сначала мы определяем его дискриминант по формуле: , затем мы сравниваем дискриминант с нулем:

1. Если , то уравнение имеет два разных корня, которые определяются по формулам: и
2. Если , то имеем два, совпадающих друг с другом корня: .
3. Если , то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте запишем уравнение и решим его.

Разделим левую и правую части на 2, получим приведенное квадратное уравнение:

Определим дискриминант: . Дискриминант больше нуля, значит, решением будут два корня:

и .

Сумма этих корней , а произведение . То есть сумма этих корней равна второму коэффициенту приведенного уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Проанализировав множество приведенных уравнений и сумм и произведений их корней, французский математик Франсуа Виет (1540—1603) открыл эту закономерность и доказал, что она справедлива для всех приведенных уравнений. Эту закономерность он назвал теоремой, которую мы теперь знаем, как теорему Виета. Она была доказана в 1591 году.

Теорема Виета и ее доказательство

Теорема. Если и корни уравнения , то , а .

Доказательство:

Используя формулу корней приведенного квадратного уравнения, запишем их сумму и произведение:

Что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теореме Виета)

Если числа и такие, что их сумма равна , а их произведение равно , то они являются корнями уравнения .

Доказательство.

Если , а , то заменим и в уравнении:

Если ,   — корни уравнения, то, подставив в уравнение сначала , потом , мы должны получить верное равенство.

То есть, мы доказали, что  — корень уравнения.

Подставим теперь :

Итак, доказано, что  — корень уравнения .

Теорема доказана.

Примеры применения теоремы Виета

Рассмотрим примеры, в которых целесообразно применение теоремы Виета.

Пример 1

Напишите приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 25 и 2.

Решение:

Приведенное квадратное уравнение имеет вид:

По теореме Виета имеем:

Тогда:

Искомое уравнение будет иметь вид:

Ответ: .

Пример 2

Решите уравнение, применяя теорему Виета.

Решение:

По теореме корни уравнения удовлетворяют системе:

Подбирая, получим:

, .

Действительно, подставим данные корни по очереди в исходное уравнение, и проверим правильность решения.

Корни уравнения найдены верно.

Ответ: , .

Пример 3

Требуется найти корни уравнения .

Решение:

Решать будем через теорему Виета, так как уравнение приведенное — старший коэффициент .

.

Корнями уравнения будут числа и . Они удовлетворяют системе. Сделаем проверку:

Ответ: и .

Совет 1. Если вы делаете выбор в пользу применения теоремы Виета, то обязательно делайте проверку, так как на этапе подбора корней очень часто совершаются ошибки.

Совет 2. Если вы не можете подобрать корни, используя теорему Виета, то вы всегда можете решить уравнение, используя формулы для корней квадратного уравнения.

Пример 4

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

Решение:

Сумму и произведение корней найдем по формулам Виета , .

Ответ: , .

Пример 5

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .

Решение:

Связь между корнями уравнения и его коэффициентами устанавливает теорема Виета.

, тогда .

Определим :

Тогда уравнение будет иметь вид: .

Ответ: .

Теорема Виета

7 ноября 2011

В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».

К сожалению, в современном курсе школьной математики подобные технологии почти не изучаются. А знать надо! И сегодня мы рассмотрим один из таких приемов — теорему Виета. Для начала введем новое определение.

Квадратное уравнение вида x² + bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при x² равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не накладывается.

Примеры:

1. x² + 7x + 12 = 0 — это приведенное квадратное уравнение;
2. x² − 5x + 6 = 0 — тоже приведенное;
3. 2x² − 6x + 8 = 0 — а вот это нифига не приведенное, поскольку коэффициент при x² равен 2.

Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 можно сделать приведенным — достаточно разделить все коэффициенты на число a. Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0.

Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим простейшие примеры:

Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:

1. 3x² − 12x + 18 = 0;
2. −4x² + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x² + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x² + 7x − 11 = 0.

Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x². Получим:

1. 3x² − 12x + 18 = 0 ⇒ x² − 4x + 6 = 0 — разделили все на 3;
2. −4x² + 32x + 16 = 0 ⇒ x² − 8x − 4 = 0 — разделили на −4;
3. 1,5x² + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x² + 5x + 2 = 0 — разделили на 1,5, все коэффициенты стали целочисленными;
4. 2x² + 7x − 11 = 0 ⇒ x² + 3,5x − 5,5 = 0 — разделили на 2. При этом возникли дробные коэффициенты.

Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение содержало дроби.

Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:

Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x² + bx + c = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x₁ и x₂. В этом случае верны следующие утверждения:

1. x₁ + x₂ = −b. Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком;
2. x₁ · x₂ = c. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований:

1. x² − 9x + 20 = 0 ⇒ x₁ + x₂ = − (−9) = 9; x₁ · x₂ = 20; корни: x₁ = 4; x₂ = 5;
2. x² + 2x − 15 = 0 ⇒ x₁ + x₂ = −2; x₁ · x₂ = −15; корни: x₁ = 3; x₂ = −5;
3. x² + 5x + 4 = 0 ⇒ x₁ + x₂ = −5; x₁ · x₂ = 4; корни: x₁ = −1; x₂ = −4.

Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.

Задача. Решите квадратное уравнение:

1. x² − 9x + 14 = 0;
2. x² − 12x + 27 = 0;
3. 3x² + 33x + 30 = 0;
4. −7x² + 77x − 210 = 0.

Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни:

1. x² − 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение.
   По теореме Виета имеем: x₁ + x₂ = −(−9) = 9; x₁ · x₂ = 14. Несложно заметить, что корни — числа 2 и 7;
2. x² − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное.
   По теореме Виета: x₁ + x₂ = −(−12) = 12; x₁ · x₂ = 27. Отсюда корни: 3 и 9;
3. 3x² + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Но мы это сейчас исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим: x² + 11x + 10 = 0.
   Решаем по теореме Виета: x₁ + x₂ = −11; x₁ · x₂ = 10 ⇒ корни: −10 и −1;
4. −7x² + 77x − 210 = 0 — снова коэффициент при x² не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x² − 11x + 30 = 0.
   По теореме Виета: x₁ + x₂ = −(−11) = 11; x₁ · x₂ = 30; из этих уравнений легко угадать корни: 5 и 6.

Из приведенных рассуждений видно, как теорема Виета упрощает решение квадратных уравнений. Никаких сложных вычислений, никаких арифметических корней и дробей. И даже дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений») нам не потребовался.

Разумеется, во всех размышлениях мы исходили из двух важных предположений, которые, вообще говоря, не всегда выполняются в реальных задачах:

1. Квадратное уравнение является приведенным, т.е. коэффициент при x² равен 1;
2. Уравнение имеет два различных корня. С точки зрения алгебры, в этом случае дискриминант D > 0 — по сути, мы изначально предполагаем, что это неравенство верно.

Однако в типичных математических задачах эти условия выполняются. Если же в результате вычислений получилось «плохое» квадратное уравнение (коэффициент при x² отличен от 1), это легко исправить — взгляните на примеры в самом начале урока. Про корни вообще молчу: что это за задача, в которой нет ответа? Конечно, корни будут.

Таким образом, общая схема решения квадратных уравнений по теореме Виета выглядит следующим образом:

1. Свести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не сделано в условии задачи;
2. Если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении получились дробными, решаем через дискриминант. Можно даже вернуться к исходному уравнению, чтобы работать с более «удобными» числами;
3. В случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение по теореме Виета;
4. Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни, забиваем на теорему Виета и решаем через дискриминант.

Задача. Решите уравнение: 5x² − 35x + 50 = 0.

Итак, перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x² − 7x + 10 = 0.

Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные — попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x₁ + x₂ = −(−7) = 7; x₁ · x₂ = 10. В данном случае корни угадываются легко — это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.

Задача. Решите уравнение: −5x² + 8x − 2,4 = 0.

Смотрим: −5x² + 8x − 2,4 = 0 — это уравнение не является приведенным, разделим обе стороны на коэффициент a = −5. Получим: x² − 1,6x + 0,48 = 0 — уравнение с дробными коэффициентами.

Лучше вернуться к исходному уравнению и считать через дискриминант: −5x² + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8² − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ … ⇒ x₁ = 1,2; x₂ = 0,4.

Задача. Решите уравнение: 2x² + 10x − 600 = 0.

Для начала разделим все на коэффициент a = 2. Получится уравнение x² + 5x − 300 = 0.

Это приведенное уравнение, по теореме Виета имеем: x₁ + x₂ = −5; x₁ · x₂ = −300. Угадать корни квадратного уравнения в данном случае затруднительно — лично я серьезно «завис», когда решал эту задачу.

Придется искать корни через дискриминант: D = 5² − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35². Если вы не помните корень из дискриминанта, просто отмечу, что 1225 : 25 = 49. Следовательно, 1225 = 25 · 49 = 5² · 7² = 35².

Теперь, когда корень из дискриминанта известен, решить уравнение не составит труда. Получим: x₁ = 15; x₂ = −20.

Смотрите также:

1. Следствия из теоремы Виета
2. Как решать квадратные уравнения
3. Тест к уроку «Округление с избытком и недостатком» (1 вариант)
4. Что такое ЕГЭ по математике 2011 и как его сдавать
5. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
6. Тест по задачам B14: легкий уровень, 1 вариант

Теорема Виета помогает решать квадратные уравнения путём подбора. В этой статье даны определения, доказательства, формулы и примеры решений квадратных уравнений для чайников.