Экспонента, е в степени х
Определение
Экспоненту обозначают так , или .
Число e
Основанием степени экспоненты является число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045.
Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:
.
Также число e можно представить в виде ряда:
.
График экспоненты
На графике представлена экспонента, е в степени х.
y ( x ) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.
Формулы
Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .
Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.
Частные значения
Пусть y ( x ) = e x . Тогда
.
Свойства экспоненты
Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .
Область определения, множество значений
Экспонента y ( x ) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
– ∞ .
Ее множество значений:
0 .
Экстремумы, возрастание, убывание
Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
| y = е х | |
| Область определения | – ∞ |
| Область значений | 0 |
| Монотонность | монотонно возрастает |
| Нули, y = 0 | нет |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 1 |
| + ∞ | |
| 0 |
Обратная функция
Производная экспоненты
Производная е в степени х равна е в степени х:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Комплексные числа
Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера:
,
где есть мнимая единица:
.
Выражения через гиперболические функции
Выражения через тригонометрические функции
Разложение в степенной ряд
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 25-02-2014 Изменено: 09-06-2018
Как решать
показательные уравнения?
Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.
Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной (х) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:
Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:
Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение (х). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.
И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:
И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.
Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.
Простейшие показательные уравнения
Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:
Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо (х) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:
Значит, если (х=3), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.
Решим что-нибудь посложнее.
Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:
Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:
Теперь наше уравнение будет выглядеть так:
Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны (3), только вот степени разные – слева степень ((4х-1)), а справа ((-2)). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:
Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.
Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.
Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что (125=5*5*5=5^3), а (25=5*5=5^2), подставим:
Воспользуемся одним из свойств степеней ((a^n)^m=a^):
И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:
И еще один пример:
Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить (2) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.
Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.
Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.
Общий метод решения показательных уравнений
Пусть у нас есть вот такой пример:
Где (a,b) какие-то положительные числа. ((a>0, ; b>0).
Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.
Слева у нас уже стоит (a^x), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число (b), которое нужно попытаться представить в виде (b=a^m). Тогда уравнение принимает вид:
Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:
Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:
Замечаем, что (16=2*2*2*2=2^4) это степень двойки:
Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:
$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 Rightarrow 5^<-x>=5^3 Rightarrow –x=3 Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 Rightarrow 3^<8x>=3^4 Rightarrow 8x=4 Rightarrow x=frac<1><2>.$$
Здесь мы заметили, что (9=3^2) и (81=3^4) являются степенями (3).
Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:
(3) и (2) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число (b>0), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице (a>0, ; a neq 1):
Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим (2) в виде (3) в какой-то степени, где (a=3), а (b=2):
Подставим данное преобразование в наш пример:
Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:
Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.
Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.
Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.
Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:
Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.
И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: (a^x=b), где (a>0; ; b>0).
Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа (a^x=b), где (a>0; ; b>0). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:
Решение показательных уравнений при помощи замены
Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.
Здесь это сделать легко, замечаем, что (9=3^2), тогда (9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2). Здесь мы воспользовались свойством степеней: ((a^n)^m=a^). Подставим:
Обратим внимание, что во всем уравнении все (х) «входят» в одинаковую функцию — (3^x). Сделаем замену (t=3^x, ; t>0), так как показательная функция всегда положительна.
Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:
Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:
И второй корень:
И еще один пример на замену:
Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание (3). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член (3=2+1) и вынести общий множитель (2):
Подставим в исходное уравнение:
Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:
Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:
И второе значение (t):
Тут у нас две показательные функции с основаниями (7) и (3), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на (3^x):
Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:
Разберем каждое слагаемое:
Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:
Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену (t=(frac<7><3>)^x):
Сделаем обратную замену:
И последний пример на замену:
Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:
Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:
Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!
И последнее слагаемое со степенью:
Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:
Теперь можно сделать замену (t=2^x) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель (2^x)):
Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.
И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут
Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании (2), (5) и (10). Очевидно, что (10=2*5). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:
Воспользуемся формулой ((a*b)^n=a^n*b^n):
И перекинем все показательные функции с основанием (2) влево, а с основанием (5) вправо:
Сокращаем и воспользуемся формулами (a^n*a^m=a^) и (frac=a^):
Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.
Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!
Показательные уравнения
О чем эта статья:
6 класс, 7 класс
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение показательного уравнения
Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.
Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:
Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.
С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a
Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.
Свойства степеней
Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.
http://sigma-center.ru/exponential_equations
http://skysmart.ru/articles/mathematic/pokazatelnye-uravneniya
При n нечетном: (-1;-1),(0,0),(1,1)
При n четном: (-1;1),(0,0),(1,1)
При n = 0 функция y=xn определяется так: x0 = 1 при x 0; при x = 0 функция не определена.
Определение:
Функцию,
заданную формулой ,
называют степенной функцией с натуральным показателем, где x —
независимая переменная, а n
—
натуральное число.
Например:
Существуют
два случая степенной функции: с чётным показателем и с нечётным показателем.
Рассмотрим
пример: найти на рисунке степенные функции с чётным показателем и с нечётным
показателем.
С
чётным показателем:
С
нечётным показателем:
Определение:
Областью
определения любой степенной функции с натуральным
показателем является множество всех действительных чисел.
Рассмотрим
случай, когда n
—
чётное число. График выглядит так:
Опишем
свойства этой функции:
1. Если
x=0,
то y=0.
2.
Если
x≠0,
то
y>0,
т.
к. чётная степень как положительного, так и
отрицательного числа положительна.
3.
Противоположным
значениям аргумента соответствуют равные значения функции.
4.
Функция
возрастает и убывает на промежутке:
5.
При
любых значения аргумента функция принимает неотрицательные значения. Областью значений
является:
Рассмотрим
случай, когда n
—
нечётное число (n>1).
График
выглядит так:
Опишем
свойства этой функции:
1.
Если
x=0,
то y=0.
Ноль в любой степени равен нулю.
Если x>0,
то y>0.
Если x<0,
то y<0.
2.
Нечётная
степень отрицательного числа отрицательна.
3.
Противоположным
значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.
4.
Функция
возрастает на всей области определения, принимая любые значения.
5.
Областью
значений является:
Рассмотрим
пример: сравнить значения выражений:
Показатель
степени у обоих выражений одинаковые. Рассмотрим график степенной функции с
нечётным показателем:
На
рисунке изображен график степенной функции с нечётным показателем, функция
возрастает на всей области определения. В данном случае при любых значениях
аргумента из множества всех действительных чисел, т.е. большему значению
аргумента соответствует большее значение функции.
Рассмотрим
пример: сравнить значения выражений:
Показатель
степени у обоих выражений нечётный, т.е
большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Рассмотрим
пример: сравнить значения выражений:
Рассмотрим
график:
Показатель
степени у обоих выражений чётный, т.е. большему значению аргумента
соответствует меньшее значение функции.
Пример.
Сравнить
значения выражений:
Данные
значения принадлежат промежутку возрастания, то есть большему значению
аргумента соответствует большее значение функции.
Пример.
Определить,
принадлежат ли графику функции точки А(2,16), В(3,9), С(-1,1).
Точка
А.
Значит,
точка А принадлежит графику функции.
Точка
Б.
Значит,
точка Б не принадлежит графику функции.
Точка
С.
Значит,
точка С принадлежит графику функции.
Предыдущий урок 8
Построение графика квадратичной функции
Следующий урок 10
Корень n-й степени
Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций
Алгебра 9 класс ФГОС
Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт
Мэтуэй | Популярные задачи
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | ||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | ||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | |
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
92)
9(3x) по отношению к x
92+1
Степени, экспоненты и логарифмы
Степени, экспоненты и логарифмы
Степенные, экспоненциальные и логарифмические функции
Основная силовая функция
где n — целое положительное число.
Вы знаете, как это можно расширить с помощью алгебры, чтобы определить
когда b представляет собой дробь или отрицательное целое число.
Откройте окно Maple и начертите функции
y = x 4 , y = x 1/4 = корень четвертой степени из x, y = x -4 .
Держите Maple открытым и используйте его, пока вы работаете с остальной частью этого руководства.
документ. (Но не забывайте часто убивать свои старые сюжетные окна
если вы используете версию 3.)
Можно (пока опустим логические подробности) «заполнить
в» определение, чтобы иметь смысл x b для любого действительного числа b
(по крайней мере, если x положителен).
Участок
y = x 3,9 , y = x ,24 , y = x -4,1 ,
каждая на тех же осях, что и соответствующая функция выше.
Поэкспериментируйте с другими значениями показателя степени.
Уравнение
определяет несколько функций, в зависимости от того, какая из 3-х величин
является зависимой переменной, которая независимая переменная, и
что просто константа.
( Примечание: Чтобы избежать осложнений, мы предполагаем, что для остальных
это обсуждение, что a> 0 и a 1.)
Мы уже говорили о случаях y = x b ( степенных функций ) и
у б = х =>
y = x 1/b = b корень x
( корневые функции , которые являются просто дополнительными мощными функциями).
Сегодня нас в первую очередь интересуют более экзотические случаи:
Экспоненциальные функции: y = a x
График
y = 3 x , y = (0,5) x , y = 1 x .
Поэкспериментируйте с другими значениями основания (а).
Логарифмические функции:
Участок
у = логарифм 3 (x), y = log (0,5) (x).
(Не путайте журнал 3 (x) с
журнал (3x).
Синтаксис Maple: log[3](x) .)
Поэкспериментируйте с другими значениями базы.
(Почему случай a = 1 патологический?)
Самый важный факт, который нужно запомнить об экспоненциальном и
логарифмических функций состоит в том, что большинство этих функций
ненужно запоминать!
Теорема: Существует число e 2,718 такое
что
| a x = e x ln(a) и log a (x) = |
пер(х)
пер(а) |
, |
где ln определяется
Следовательно, экспоненциальные и логарифмические функции относительно
произвольное основание a может быть исключено в пользу тех,
в отношении специальной базы, т.
е.
9х .)
Обозначения: e x также пишется как exp x.
Тогда exp и ln рассматриваются как новые трансцендентные
такие функции, как sin и cos.
Как и в случае с триггерными функциями, скобки часто опускаются.
аргументы этих функций при отсутствии неоднозначности:
exp x , log 10 3, ln x 2 .
(Наконец, чистые математики пишут ln x как log x,
но инженерам и ученым это не нравится.)
Свойства графиков
Функция e x увеличивается быстрее на бесконечности, чем любая степень
функция.
График y = e x и y = x 3 на тех же осях.
Затем постройте y = e x и y = x 8 на тех же осях.
Вы все еще верите этому утверждению?
Сделайте масштаб x большим, а масштаб y огромным!
Функция e -x убывает на бесконечности быстрее, чем
любую отрицательную силу.
График y = e -x и y = x -2 на одних и тех же осях.
Затем постройте y = e -x и y = x -20 на тех же осях;
поэкспериментируйте с весами, чтобы найти точку пересечения.
Функция ln x растет медленнее на бесконечности
чем любая положительная (дробная) степень.
Постройте y = ln x и y = x 1/5 на тех же осях.
Увеличивайте масштаб x, пока не найдете точку пересечения.
Когда x приближается к 0, функция — ln x увеличивается
медленнее, чем любая отрицательная сила.
Постройте y = — ln x и y = x -1/5 на тех же осях.
Вы верите заявлению?
Алгебраические свойства экспонент («законы
степени»)
За исключением того, что указано в последней строке, эти законы также выполняются
для х .
Алгебраические свойства логарифмов
ln x определяется только для x>0.
Как выразить степень экспоненты
Содержание
- Определение
- Число e
- График экспоненты
- Формулы
- Частные значения
- Свойства экспоненты
- Область определения, множество значений
- Экстремумы, возрастание, убывание
- Обратная функция
- Производная экспоненты
- Интеграл
- Комплексные числа
- Выражения через гиперболические функции
- Выражения через тригонометрические функции
- Разложение в степенной ряд
Определение
Экспоненту обозначают так , или .
Число e
Основанием степени экспоненты является число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045.
Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:
.
Также число e можно представить в виде ряда:
.
График экспоненты
На графике представлена экспонента, е в степени х.
y ( x ) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.
Формулы
Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .
Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.
Частные значения
Пусть y ( x ) = e x . Тогда
.
Свойства экспоненты
Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .
Область определения, множество значений
Экспонента y ( x ) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
– ∞ .
Ее множество значений:
0 .
Экстремумы, возрастание, убывание
Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
| y = е х | |
| Область определения | – ∞ |
| Область значений | |
| Монотонность | монотонно возрастает |
| Нули, y = 0 | нет |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 1 |
| + ∞ | |
Обратная функция
Производная экспоненты
Производная е в степени х равна е в степени х:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Комплексные числа
Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера:
,
где есть мнимая единица:
.
Выражения через гиперболические функции
Выражения через тригонометрические функции
Разложение в степенной ряд
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 25-02-2014 Изменено: 09-06-2018
Число е является важной математической константой, которая является основой натурального логарифма. Число е примерно равно 2,71828 с пределом (1 + 1/n) n при n , стремящемся к бесконечности.
Также данное число называют как число Эйлера или число Непера.
Экспонента — показательная функция f(x) = exp (x) = e x , где е — число Эйлера.
Введите значение х, чтобы найти значение экспоненциальной функции e x
Расчет значения экспоненциальной функции онлайн.
При возведении числа Эйлера (е) в нулевую степень ответ будет равняться 1. При возведении в степень, которая будет больше единицы, ответ будет больше первоначального. Если степень будет больше нуля, но меньше 1 (например, 0,5), то ответ будет больше 1, но меньше первоначального (числа е). При возведении экспоненты в отрицательную степень нужно 1 делить на число е в заданной степени, но со знаком плюс.
Теорию функций e z , sin z, cos z комплексного аргумента построил Л.Эйлер и систематически изложил ее в своем классическом труде «Введение в анализ бесконечно малых» в 1748 г. В следующем году он опубликовал теорию логарифма комплексного аргумента.
1. Начнем с показательной функции, которую Эйлер определил как сумму степенного ряда
Ряд сходится, причем абсолютно, при любом zeC. Действительно, составьте ряд из модулей членов ряда (6.1) и примените к нему признак Далам- бера. Такое определение показательной функции комплексного переменного положило начало анализа в комплексной области — ТФКП.
В литературе можно найти определение функции (6.1) тем же предельным соотношением, что и в действительном анализе:
но здесь исключительно используется представление (6.1). Важно, что для комплексных значений аргумента остается верной теорема сложения:
Проверим это свойство. Имеем
Раскроем скобки и будем располагать слагаемые по группам, в которых сумма показателей степеней при а и b одна и та же. Получим
При чисто мнимом z — yi согласно (6.1) имеем 
Или, отделяя вещественную часть от мнимой,
Суммы рядов в скобках равны соответственно cos^,sin>>, и мы приходим к замечательной формуле Эйлера
Заметим, что этой формулой, в которой левая часть называлась символом Эйлера, мы неоднократно пользовались с целью компактификации вычислений с комплексными числами. До сих пор символ е ул употреблялся для сокращенного обозначения правой части формулы, а теперь можем его понимать как мнимую степень числа е. Например, равенство е я = -1 всегда вызывало восторг у математиков — ведь вроде бы несложной зависимостью оно увязывает между собой две знаменитые константы.
Из теоремы сложения при z = х + yi получим е : = е х • е у> , или
Заметим, что в учебной литературе это равенство часто берется за определение показательной функции комплексного переменного. Оно очень удобное, с его помощью можно, например, доказать голоморфность экспоненты во всей комплексной плоскости. В самом деле, полагая е г = t/ + /v, из (6.2) находим, что и = е х cosy,v = е х sin у. Эти функции везде дифференцируемы в смысле действительного анализа и для них выполняются условия Коши-Римана:
Сохраняется формула дифференцирования, знакомая из действительного анализа. Воспользуемся одной из записей комплексной производной:
При действительных значениях аргумента показательная функция положительная и, следовательно, в ноль не обращается. Из (6.2) заключаем, что е : ф 0 Vz е С (ведь не могут косинус и синус одновременно обратиться в ноль).
Из теоремы сложения и формулы Эйлера вытекает периодичность экспоненты с мнимым основным периодом 2 я7. Действительно,
е г * 2я> =е : ? е 2т =е : 1 = е ; , т.е. число 2я7 является периодом. Проверим, что он основной: ему кратен любой другой период Т. Пусть е г+ =е : . Умножая обе части на е
: , получим е г =. Полагая T = Ty+iT2, получим е 7| (cosТ2 +/sin Т2) = 1. Отсюда е 7 ‘ cosТ2 = 1, sin Т2= 0 согласно равенству двух комплексных чисел. Из полученных соотношений следует
2. Тригонометрические функции комплексного переменного. Следуя Эйлеру, положим
Нетрудно проверить, что эти ряды сходятся во всей комплексной плоскости.
Запишем равенство (6.1), заменяя в нем z на iz. Под ним выпишем (6.1) с заменой z на -iz. Складывая и вычитая полученные равенства, придем к соотношениям е ,: +е
а = 2cos z, е а -е
Эти формулы целиком сводят изучение тригонометрического синуса и косинуса к изучению показательной функции. Например, дифференцируя почленно вторую из них, придем к известному из анализа правилу дифференцирования (sin z)’ = cosz.
Основное тригонометрическое тождество оказывается справедливым. Возведите в квадраты обе части в (6.4) и затем сложите их; увидите единицу.
В комплексной области сохраняются теоремы сложения, знакомые еще со школы. Например, sin(a + 6) = sintf-cos6 + cosa*sin&. Для доказательства достаточно проверить, что
Выполнив операции, указанные в правой части, придем к рассматриваемой теореме сложения.
Обратим внимание на то, что синус и косинус в комплексной плоскости не являются ограниченными функциями. Например, положим z = it (/ > 0), тогда
что вовсе не согласуется с ограниченностью.
Как известно, в действительной области нули синуса исчерпываются числами, кратными /г, а нули косинуса содержатся в формуле
г = — + кл (к gZ). Возникает вопрос: нс появятся ли у этих функций, кроме
указанных, еще другие, комплексные нули при выходе на комплексную плоскость? Ниже мы увидим, других нулей нет.
Подводя итоги, мы видим, что рассмотренные выше функции можно определить и для комплексного аргумента и что известные из школьного курса формулы остаются справедливыми. Но обнаружился новый факт: показательная функция периодическая, хотя период мнимый. Такая периодичность в школьном курсе и нс могла быть обнаружена, так как в нем изучались только функции действительного аргумента.
3. Гиперболические функции комплексного переменного. В духе равенств (6.3) положим
Это — соответственно косинус гиперболический и синус гиперболический комплексного числа z. Ряды (6.5) сходятся, как и выше, при любых значениях Z.
Заменим в (6.1) z на —z и к исходному равенству прибавим полученное. По аналогии с (6.4) получим следующие выражения рассматриваемых функций через экспоненту:
При действительных z- х эти равенства чаще всего и берутся в качестве определений. Соответствующие графики представлены на рис. 12.
Из равенств (6.6) и устанавливаются основные свойства гиперболических функций. Исторически они были известны и до Эйлера. Возникая из ряда задач математической физики, обыкновенных дифференциальных уравнений, они широко использовались в приложениях, например, в электротехни- В литературе встречаются обозначения этих функций, когда аргумент заключается в скобки.
ке, сопротивлении материалов и т.д. Важную роль эти функции играют в геометрии Лобачевского.
Формулы (6.4) и (6.6) позволяют установить связи между тригонометрическими и гиперболическими функциями:
При мер. Вычислить приближенно с 4D sin(l -2/).
Решение. Искомое выражение равно sin 1 cos2/-cosl sin2/. Или, в свете предыдущих равенств, получим sin 1 c/?2-/cosl shl. Ответ: 3.1659-1.9595/.
Пример. Доказать, что нули функции sinz исчерпываются формулой z — 7Гк (k^Z).
Решение. Пусть sin z = sin(.v + yi) = 0 sin * • cosyi + cos*• sinyi = 0. Ho здесь cosyi=chyy sin yi = ishy, поэтому sin x • chy+/cos* • shy = 0. Отсюда заключаем, что sin*c/?y = 0, cos*-shy = 0. Так как гиперболический косинус при действительном значении аргумента в нуль не обращается (рис. 12), то sin* = 0=>* = як <к eZ).Тогда из второго уравнения
cosxk s/jy = 0 =>shy = 0 у = 0. Итак, все корни уравнения sinz = 0 заключаются в формуле z = x + iy = 7rk. К такому же результату привела бы вторая формула в (6.4). Советуем читателю проделать более краткие выкладки.
4. Логарифмы и общая степенная функция.
В области действительных чисел ноль и отрицательные числа логарифмов не имеют. Выясним, как обстоит дело при переходе в область комплексных чисел. Определим понятие натурального логарифма комплексного числа так же, как в действительном анализе.
Число w называется натуральным логарифмом данного комплексного числа z, если е» = z.
Исторически первая удовлетворительная теория логарифма была дана Л.Эйлером в 1749 г., который исходил из следующего определения:
Поскольку показательная функция нс принимает нулевого значения, то ноль не имеет логарифмов в комплексной области. В силу периодичности экспоненты у числа z логарифм не единственный. Например, для z = l в качестве логарифмов можно взять числа -w—2nki (keZ). Множество всех натуральных логарифмов данного числа z^O обозначается символом Lnz.
В равенстве e w = z положим w=u + iv. Обозначим через г модуль данного комплексного числа z^O, через (р — его главное значение аргумента. Получим
Так как модули левой и правой частей одинаковы, то отсюда е и =/* и = In г. Здесь под правой частью последнего равенства следует понимать обычный натуральный логарифм положительного числа г. Далее из равенства (*) заключаем, что аргументы чисел справа и слева могут отличаться друг от друга только на кратное 2л: v = (р + 2кл (к eZ). Поэтому множество всех логарифмов описывается формулой
Значение логарифма, равное In | z|+/argz, называют главным значением логарифма и обозначают символом In z. Поэтому вес значения Lnz получаются из главного добавлением кратных 2лi.
Пример, а). Найти Lnz при r = l + i. б). Чему равен Ln(-1) ?
Решение, а). Имеем: | z I = Jl, argz = —. Ответ: In л/2 н—/’ + +2&я/.
Для чисел w,zeC <0>по правилам «в действительной области логарифм произведения равен сумме логарифмов», «в комплексном анализе аргумент произведения равен сумме аргументов» запишем следующие равенства:
Получается, что первое правило распространяется и на комплексную область: Ln(wz) = Lnw+ Lnz. Это равенство надо понимать в следующем смысле: множество, составленное из всевозможных сумм двух слагаемых, одно из которых принадлежит Lnw, а другое Lnz, совпадает с множеством значений Ln(wz).
Итак, мы видим, что логарифмы можно находить не только положительных чисел, как это делается в школе, но и для комплексных чисел. Обнаруживается, что логарифмическая функция (6.7) не однозначная, как это имеет место в действительном анализе, а многозначная: каждое комплексное число, отличное от нуля, имеет бесконечное множество логарифмов. В частности, имеют логарифмы и отрицательные числа, но при этом все они комплексные. Положительные же числа, кроме действительного значения логарифма, рассматриваемого в школьном курсе, имеет еще счетное множество комплексных логарифмов.
Обратимся к дифференцированию комплексного логарифма. Ясно, что достаточно уметь находить производную главного значения (ибо производные от констант — нули). Дифференцируя (по z ) равенство е и = z, получим
е* -м/ = 1 => w = —. Пришли к знакомой формуле из действительного анализа
Заметим, что эта формула верна всюду, где главное значение логарифма непрерывно. Разрывы происходят лишь в точках отрицательной действительной полуоси, ибо в них, как мы видели ранее, разрывно главное значение аргумента вследствие определения его на оговоренном промежутке (-тг,тг].
В действительном анализе имеет место равенство а ь =е Ша . В комплексном анализе пользуются аналогичной формулой, но она выполняет уже роль определения а ь . А именно, полагают
I
Так, при ненулевых а,Ь определена степень с произвольным показателем. Так как логарифм имеет бесконечное множество значений, то и выражение а ь в общем случае — также, но в частных случаях они могут все совпадать (если b — целое число) или среди них может быть только конечное число различных значений (если степень b является рациональным числом).
Рассмотрим, например, V. Согласно (6.8) получим е =е 2 , где п
— целое число. Неискушенному этот пример покажется очень удивительным: мнимое число возводится в мнимую степень и получается бесконечно много значений, да еще все они — действительные числа!
Другой пример: найти согласно (6.8) величину / 3 . Ответ
согласуется с перемножением мнимой единицы самой на себя три раза.
J 1 ж. « „ • v, 1, „ 2кт
Вычислим w=8 3 . Имеем: w = e 3 =е 3 •е 3 . Здесь первый
множитель равен 2, а второй принимает лишь три различные значения (например, при к = 0,1,2. Далее начнется повтор).
5. Аркфункции и ареафункции комплексного аргумента.
Аркфункцня (от лат. arcus — дуга) — то же, что обратная тригонометрическая функция, т.е. одна из функций: арксинус, арккосинус, арктангенс, . ; соответствующие обозначения Arc sin z, Arccosz, Arctgz, .
Ареафункция (от лат. area — площадь) — то же, что обратная гиперболическая функция, т.е. одна из функций: ареасинус гиперболический (Arshz)y ареакосинус гиперболический (Arch-), аретангенс гиперболический (Arthz) и т.д.
Эти обозначения, как и предыдущие, не являются общепринятыми, возможны и другие написания рассматриваемых функций. Они, будучи обратными к многолистным функциям (синус, косинус, . ), являются многозначными и выражаются через корни и логарифмы. Найдем такое выражение, например, для арккосинуса — решим при заданном z уравнение cosw=z.
Или, что то же, уравнение — (е ,и +е — ‘») = z как квадратное относительно e ,w .
(мы нс пишем здесь перед корнем обычный знак ± f ибо в комплексном анализе квадратный корень и так имеет два значения). Из последнего равенства получим
Подобным же способом получаются выражения для ареафункций:
Укажем еще группу формул, выражающих ареафункции через арк- функции:
В заключение рассмотрим следующий пример.
При мер. Решить уравнение sinw=2.
Решение. Согласно (6.9) имеем w= Arcsin2 = -iLn <2i + у1 1 -2 2 ). Здесь радикал принимает два значения ± л/З /. Находим логарифм. Так как числа 2 ± -Уз оба положительные, то он равен
Следовательно, w = — + 2лк + i 1п(2 + v’3 , так как (2 ± л/З) ‘=2 + л/3. Читателю рекомендуем сделать проверку. Использовать теорему сложения в виде
и равенство cos iz = chz.
Задачи к главе 6
6.1. Доказать, что число п является основным периодом функции sinz
6.2. Докажите теорему сложения для гиперболического косинуса:
Каков аналог теоремы для гиперболического синуса?
- 6.3. Верна ли формула ln( zw) = In z + In w ? А формула Ln(z 2 ) = 2Lnz ?
- 6.4. Доказать, что при возведении комплексного числа а* 0 в иррациональную степень а получается бесконечно много значений и все они лежат на окружности с уравнением | z |=| а а .
- 6.5. Решить уравнение cosz = 8.
Возведение экспоненты в степень
Число е является важной математической константой, которая является основой натурального логарифма.
Число е примерно равно 2.71828 с пределом (1 + 1/n)n при n, стремящемся к бесконечности.
Иногда число е называют числом Эйлера или числом Непера.
Возведение числа е в степень означает возведение в степень числа Эйлера еx = exp (x)
Число е в 1-й степени, как и любое число в этой степени, будет равно самому себе, т.е. 2.71828182845905.
При возведении числа Эйлера (е) в нулевую степень ответ будет равняться 1.
При возведении в степень, которая будет больше единицы, ответ будет больше первоначального.
Если степень будет больше нуля, но меньше 1 (например, 0,5), то ответ будет больше 1, но меньше первоначального (числа е).
При возведении экспоненты в отрицательную степень нужно 1 делить на число е в заданной степени, но со знаком плюс.
Онлайн калькулятор возведения экспоненты в степень поможет найти значение экспоненциальной функции ex, а также проверить на правильность самостоятельное решение.
Поделиться страницей в социальных сетях:
Онлайн калькулятор возведения экспоненты в степень позволяет быстро и точно вычислить значение. Подходит для решения учебных и практических задач в разных отраслях.
- Онлайн калькулятор возведения экспоненты в степень
- Как рассчитать
Онлайн калькулятор возведения экспоненты в степень
Для использования калькулятора введите нужный показатель в первое поле, укажите требуемый уровень точности. Результат вычислений будет отображен на экране. Для выполнения нового расчета нажмите кнопку Очистить.
Округлить до разряда после запятой:
Как рассчитать
Экспонента — это показательная функция f(x) = exp(x) = ex, где e ≈ 2,71828182845904523536 — число Эйлера (также называют числом Непера). Целая степень определяется как произведение множителей величиной e, взятых n раз подряд:
en, где
- e — экспонента;
- n — показатель степени.
Число e является также основой натурального логарифма.
- Решить e3.
Как посчитать: e3 равно e * e * e = 20,086. Проверьте ответ на калькуляторе.
- Найти e1/2.
Решение: возведение экспоненты в дробную степень представляет собой нахождение квадратного корня из e. Ответ: 1,65.
- Напишите вычисление e-2.
Расчет: чтобы возвести экспоненту в отрицательную степень, нужно единицу разделить на данное число в положительной степени, т.е. e-2 = 1 / e2 = 0,14.