Как найти х по данному его логарифму

Как решать логарифмические уравнения

Уравнения, содержащие в том или ином виде логарифмы от некоторого выражения, зависящего от (х), называются логарифмическими.

Давайте сразу же рассмотрим пример, так будет легче всего разобраться.

Пример 1
$$ log_{2}(x)=log_{2}(5)$$

Мы видим слева и справа логарифмы с одинаковыми основаниями, равными (2). Вполне логично предположить, что логарифмы будут равны, если будут равны выражения, стоящие под логарифмом (их называют аргументами) — то есть (х=5). Мы только что решили логарифмическое уравнение!

На самом деле, абсолютно такая же логика применима при решении почти всех логарифмических уравнений — если у нас сравниваются два логарифма с одинаковыми основаниями, то мы можем избавиться от логарифмов, приравнять их аргументы и решить получившееся уравнение.

Пример 2
$$ log_{3}(2x+5)=log_{3}(11) $$

Опять имеем два логарифма с одинаковым основанием (3). Избавляемся от логарифмов, приравнивая аргументы:

$$ 2x+5=11,$$
$$ 2x=6,$$
$$ x=3.$$

Кажется, что все очень просто. Но есть несколько непростых нюансов, которые необходимо обсудить. Давайте посмотрим еще один пример:

Пример 3
$$ log_{2}(1+3x)=log_{2}(2x-3) $$

Смотрим на основания — они одинаковые, значит убираем логарифмы и решаем уравнение:

$$1+3x=2x-3,$$
$$3x-2x=-3-1,$$
$$x=-4.$$

Мы решили уравнение, но я хочу позанудствовать и проверить, действительно ли получившийся корень является корнем исходного уравнения. Для этого подставим его в логарифмическое уравнение:

$$ log_{2}(1+3*(-4))=log_{2}(2*(-4)-3),$$
$$log_{2}(-11)=log_{2}(-11).$$

Мы получили слева и справа два одинаковых логарифма, вот только эти логарифмы НЕ СУЩЕСТВУЮТ, потому что нельзя взять логарифм от отрицательного числа.

Действительно, давайте вспомним определение логарифма (log_{a}b) — это в какую степень нужно возвести (a), чтобы получить (b). При этом определение справедливо не для всех (a) и (b), а только для (a>0), (b>0), (a neq 1). Подробнее про логарифм и его свойства можно почитать здесь.

Значит, с нашим решением что-то не так — мы нашли корень, подставили его в уравнение, но получили логарифм от отрицательного числа, который не существует!

Тут самое время вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ). В логарифмах нужно всегда внимательно следить за тем, чтобы не нарушались ограничения, которые вытекают из определения логарифма. Рассмотрим логарифм от некоторой функции:

$$log_{a}f(x)$$

Область допустимых значений (ОДЗ) для него будет задаваться системой неравенств:

$$ begin{cases}
f(x)>0, \
a>0, \
a neq 1.
end{cases}$$

И при решении любых логарифмических уравнений или неравенств всегда первым делом записываем ОДЗ для каждого логарифма в уравнении.
В нашем примере 3, ОДЗ будет выглядеть вот так:

$$ begin{cases}
1+3x>0, \
2x-3>0. \
end{cases}$$

Решаем получившуюся систему

$$ begin{cases}
x>-frac{1}{3}, \
x>frac{3}{2}. \
end{cases}$$

Находим (х), удовлетворяющие одновременно обоим неравенствам, и получаем в итоге ОДЗ:
$$x>frac{3}{2}.$$

Вспоминаем, что решая это уравнение мы получили корень (x=-4), который нашему ОДЗ не удовлетворяет. Поэтому в примере 3 корней нет.

И так, всегда пишем ОДЗ!

Следующая трудность при решении логарифмических уравнений возникает, когда у нас сравниваются логарифмы с разными основаниями:

Пример 4
$$ log_{2}(x)=log_{4}(9).$$

Запишем ОДЗ: (x>0).

У логарифма слева основание (2), а у логарифма справа основание (4). Чтобы воспользоваться способом решения, аналогичным первым трем примерам, необходимо привести логарифмы к одинаковому основанию.

$$ log_{2}(x)=log_{2}(3).$$

Ого, как я такое получил?
Просто воспользовался формулой возведения в степень основания и аргумента логарифма — если возвести в одинаковую степень, то логарифм от этого не поменяется:

$$ log_{a}(b)=log_{a^n}(b^n).$$

В нашем примере возведем основание и аргумент в степень (frac{1}{2}):

$$ log_{4}(9)=log_{4^{frac{1}{2}}}(9^{frac{1}{2}})=log_{2}(3).$$

$$ log_{2}(x)=log_{2}(3).$$

Ну теперь основании у логарифмов одинаковые и можно с чистым сердцем приравнять аргументы, как мы делали до этого.
$$x=3.$$

Кстати, решить уравнение (log_{2}(x)=log_{4}(9))
можно было и по-другому — привести к основанию (4) логарифм, стоящий слева в уравнении:

Опять воспользуемся свойством логарифма:
$$ log_{a}(b)=log_{a^n}(b^n);$$
$$log_{2}(x)=log_{2^2}(x^2)=log_{4}(x^2);$$
Подставим в исходное уравнение наши преобразования:
$$ log_{4}(x^2)=log_{4}(9);$$
Ура, у нас слева и справа логарифмы с одинаковым основанием — вычеркиваем логарифмы:
$$x^2=9;$$
Решаем аккуратно простейшее квадратное уравнение. Не забываем, что у него будет 2 корня!
$$x=pm3;$$

Опа, у нас получилось два корня. А когда мы решали первым способом был один корень! Что за дела?

Вспоминаем, что в самом начале к уравнению мы записывали ОДЗ (х>0). Тогда корень (x=-3) не удовлетворяет ОДЗ. Обратите внимание, что без учета ОДЗ в этом случае, мы бы получили неправильный ответ.

Ответ: (x=3.)

Подробнее про свойства логарифмов можно посмотреть тут. Логарифмические уравнения с разными основаниями встречаются в ЕГЭ регулярно, поэтому важно уметь применять все свойства логарифмов.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 5
$$log_{5}(x)=2$$

Как видим, в примере есть только логарифм в левой части равенства, а справа стоит просто число 2. Давайте постараемся привести к такому же виду, как и в прошлых примерах. То есть сделаем так, чтобы справа появился логарифм с основанием 5.

Оказывается, любое число (a) можно представить в виде логарифма с нужным вам основанием (b) по формуле:
$$a=log_{b}(b^a);$$
Эту формулу можно просто запомнить. А въедливым читателям, я бы рекомендовал посидеть и подумать откуда берется данное выражение. Подсказка — оно напрямую вытекает из определения логарифма. Задайте себе вопрос — «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент?»

И так, воспользуемся формулой и распишем 2-ку:
$$2=log_{5}(5^2);$$
Подставим в уравнение:
$$log_{5}(x)=log_{5}(5^2);$$
Ура, у нас два логарифма с одинаковыми основаниями, теперь можно приравнять подлогарифмические выражения.
$$x=5^2;$$
$$x=25.$$

Пример 6
$$log_{3}(x+2)=0$$

Начинаем с ОДЗ:
$$x+2>0;$$
$$x>-2.$$

Приступаем к решению уравнения. Что делать в случае, когда справа стоит (0)? Ничего страшного в этом нет, действуем по прежнему плану — представим (0) в виде логарифма по нашей формуле:
$$a=log_{b}(b^a);$$
$$log_{3}(x+2)=log_{3}(3^0);$$
Вспоминаем, что любое число в нулевой степени это единица.
$$log_{3}(x+2)=log_{3}(1);$$
$$x+2=1;$$
$$x=-1.$$
Корень удовлетворяет ОДЗ — записываем ответ.
Ответ: (x=-1).

Подведем итоги. В большинстве случаев, для того, чтобы решить простейшее логарифмическое уравнение, необходимо привести логарифмы слева и справа к одинаковому основанию. Затем приравнять подлогарифмические выражения и решить получившееся уравнения. При этом ни в коем случае не забываем про ОДЗ. На ЕГЭ, если вы вдруг запишите в ответ хотя бы один корень, не удовлетворяющий ОДЗ, то вам поставят за это задание 0 баллов.

В общем виде формула для решения логарифмов выглядит так:
$$ log_{a}(f(x))=log_{a}(g(x)) qquad (*)$$
где (a>0) — основание логарифмов, а (f(x)) и (g(x)) — какие-то выражения, зависящие от (x).
$$ begin{cases}
f(x)>0, или \
g(x)>0. \
end{cases}$$
$$f(x)=g(x).$$

Обратите внимание на «или» в ОДЗ. Оказывается можно накладывать условие больше нуля только на одную функцию: либо на f(x), либо на g(x) — смотря какое неравенство вам кажется легче для решения. Дело в том, что если одна из функций будет больше нуля, то и другая автоматически тоже будет будет больше, ведь мы ищем корни, при которых (f(x)=g(x)).

Для того, чтобы закрепить материал, решим еще одно логарифмическое уравнение:

Пример 7
$$2*log_{4}(4+x)=4-log_{2}(x-2);$$

Здесь все несколько сложнее, чем в предыдущих примерах. Для того чтобы представить наше уравнение в виде (*), нужно избавиться от множителя (2) перед первым логарифмом, кроме этого, нам мешается отдельное слагаемое (4), и в придачу ко всем этим неприятностям у логарифмов разные основания!

Но перед тем как решать, запишем ОДЗ:
$$ begin{cases}
4+x>0, \
x-2>0. \
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x>-4, \
x>2. \
end{cases}$$

Находим пересечение и в итоге ОДЗ получается:
$$ x>2.$$

Приступаем непосредственно к решению уравнения. Самое главное, нам необходимо привести все логарифмы к одинаковому основанию, и, по возможности, привести к виду (log_{a}f(x)=log_{a}g(x)).
Здесь не обойтись без свойств логарифмов.
Воспользуемся формулой вынесения степени из основания логарифма:
$$log_{a^n}(b)=frac{1}{n}*log_{a}(b)$$
$$log_{4}(4+x)=log_{2^2}(4+x)=frac{1}{2}*log_{2}(4+x)$$

Подставим в уравнение
$$2*frac{1}{2}*log_{2}(4+x)=4-log_{2}(x-2);$$
$$log_{2}(4+x)=4-log_{2}(x-2);$$
Теперь у нас хотя бы логарифмы с одинаковым основанием. Далее преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись формулами:
$$ a=log_{b}(b^a);$$
$$log_{a}(b)-log_{a}(c)=log_{a}(frac{b}{c})$$
$$4-log_{2}(x-2)=log_{2}(2^4)-log_{2}(2-x)=log_{2}(16)-log_{2}(2-x)=log_{2}(frac{16}{2-x});$$
Подставим получившееся выражение в уравнение:
$$log_{2}(4+x)=log_{2}(frac{16}{2-x});$$

Ура, теперь у нас слева и справа в уравнении логарифмы с одинаковым основанием (2).
Избавляемся от логарифмов и решаем:
$$4+x=frac{16}{x-2};$$
Перекинем все налево и приведем к общему знаменателю
$$4+x-frac{16}{x-2}=0;$$
$$frac{(4+x)(x-2)}{x-2}—frac{16}{x-2}=0;$$
$$frac{4x-8+x^2-2x–16}{x-2}=0;$$
$$frac{x^2+2x-24}{x-2}=0;$$
Дробь равна 0, когда числитель равен 0
$$x^2+2x-24=0;$$
$$D=(2^2-4*(-24)=4+96=100;$$
$${x}_{1,2}=frac{-2pm 10}{2};$$
$${x}_{1}=4;$$
$${x}_{2}=-6;$$
Мы получили два корня. Но не забываем про ОДЗ. Выше мы его посчитали и получилось, что (x>2). Значит второй корень не подходит.
Ответ: (x=4).

Логарифмические уравнения с переменным основанием

Рассмотри теперь уравнение, в котором есть, так называемый, логарифм с переменным основанием. То есть логарифм, у которого в основании стоит какое-то выражение, зависящее от (х).

Пример 8
$$log_{1-x}(x^2+3x+1)=1;$$

В основании логарифма стоит ((1-х)), это переменное основание, потому что я могу подставлять различные значения (х) и каждый раз основание логарифма будет разным. Ничего страшного в этом нет, начинаем решать, руководствуясь тем же принципом, что и в предыдущих примерах — стараемся привести обе части уравнения к виду двух логарифмов с одинаковым основанием. Для этого нужно представить (1) справа в виде логарифма с основанием ((1-х)).

Но первым делом выпишем ОДЗ, не забывая накладывать условия и на основание логарифма, так как оно зависит от (х):
$$ begin{cases}
x^2+3x+1>0, \
1-x>0, \
1-xneq1.\
end{cases} qquad (**)$$

Теперь приступаем к решению самого уравнения. Выпишем еще раз формулу, по которой преобразуем правую часть:

$$a=log_{b}(b^a);$$
Где (а=1), а (b=1-x):
$$1=log_{1-x}(1-x)^1=log_{1-x}(1-x);$$
Подставим в уравнение
$$log_{1-x}(x^2+3x+1)=log_{1-x}(1-x);$$

Два логарифма с одинаковым основанием — можем приравнять аргументы:
$$x^2+3x+1=1-x;$$
$$x^2+4x=0;$$
$$x(x+4)=0;$$
$$x=0;$$
$$x=-4.$$
Получили два корня, проверим удовлетворяют ли они ОДЗ, подставив их в (**). Корень (0) не удовлетворяет последнему неравенству в ОДЗ, а ((-4)) удовлетворяет всем условиям.
Ответ: x=-4.

Замена переменной в уравнениях с логарифмами

Разберем еще один частый тип логарифмических уравнений — это уравнения с заменой переменной. Общий принцип заключается в том, чтобы привести все логарифмы в уравнении к одинаковому основанию и одинаковому аргументу, а потом сделать замену.

Проще разобрать на примерах:

Пример 9

$$log^2_{2}(x)+6=5*log_{2}(x)$$

Как и любой пример на логарифмы, начинаем с ОДЗ:

$$x>0.$$

В уравнении один из логарифмов в квадрате, поэтому представить в виде равенства двух логарифмов, как мы делали в предыдущих примерах, не получится. Кроме этого, замечаем, что у нас оба логарифма абсолютно одинаковые (у них одинаковые основания, и одинаковые аргументы).

Попробуем сделать замену:
$$t=log_{2}(x)$$
Тогда наше уравнение после замены примет вид:
$$t^2-5t+6=0;$$
$$D=25-24=1;$$
$$t_{1}=frac{5+1}{2}=3;$$
$$t_{2}=frac{5-1}{2}=1;$$
И сделаем обратную замену, получив два простых логарифмических уравнения:
$$t_{1}=log_{2}(x)=3;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}(2^3);$$
$$x=8.$$
$$t_{2}=log_{2}(x)=1;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}(2^1);$$
$$x=2.$$
Обязательно, не забываем проверить, удовлетворяют ли корни ОДЗ ((x>0)). Оба корня подходят, записываем ответ.
Ответ: (x=8; , x=2.)

Пример 10
$$ log_{2}left(frac{8}{x}right)-frac{10}{log_{2}(16x)} = 0;$$

Как обычно, начинаем с ОДЗ:
$$ begin{cases}
frac{8}{x}>0, \
log_{2}(16x)neq0,\
16x>0.\
end{cases}$$

Решаем каждое из получившихся неравенств в системе:
$$ begin{cases}
x>0, \
xneqfrac{1}{16},\
x>0.\
end{cases}$$
В итоге ОДЗ будет: (xin(0;frac{1}{16})cup(frac{1}{16};infty)).

Посмотрим теперь на сам пример. Видим два логарифма, у них одинаковые основания, что хорошо. Но функции, стоящие под логарифмами, разные. Постараемся при помощи свойств логарифма сделать одинаковые аргументы, чтобы потом сделать замену.

Воспользуемся формулами суммы и разности логарифмов с одинаковыми основаниями:
$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+log_{a}(c);$$
$$log_{a}(frac{b}{c})=log_{a}(b)-log_{a}(c);$$
$$log_{2}left(frac{8}{x}right)=log_{2}(8)-log_{2}(x)=3-log_{2}(x);$$
$$log_{2}(16x)=log_{2}(16)+log_{2}(x)=4+log_{2}(x);$$
Подставим наши преобразования в исходное уравнение
$$3-log_{2}(x)-frac{10}{4+log_{2}(x)}=0;$$
Теперь в уравнении все логарифмы одинаковые, модем сделать замену. Пусть (t=log_{2}(x)).
$$3-t-frac{10}{4+t}=0;$$
Приводим к общему знаменателю
$$frac{(3-t)(4+t)-10}{4+t}=0;$$
$$frac{-t^2-t+2}{4+t}=0;$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$-t^2-t+2=0;$$
$$t_{1}=1;$$
$$t_{2}=-2;$$
Делаем обратную замену:
$$t_{1}=log_{2}(x)=1;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}(2^1);$$
$$x=2.$$
$$t_{2}=log_{2}(x)=-2;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}({2}^{-2});$$
$$x=frac{1}{4}.$$
Сверяем с ОДЗ, видим, что оба корня подходят, записываем ответ.
Ответ: (x=2; , x=frac{1}{4}.)

Пример 11
$$log_{2}(x^2+4x)+log_{0,5}(frac{x}{4})+2=log_{2}(x^2+3x-4)$$

Область допустимых значений:
$$ begin{cases}
x^2+4x>0, \
x^2+3x-4>0,\
x>0.\
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x(x+4)>0, \
x>0,\
(x-1)(x+4)>0.\
end{cases}$$

Зеденым цветом показано решение первого неравенства в системе, синим — второго и фиолетовым третьего. Область, которая находится на пересечении сразу всех трех промежутков заштрихована бордовым.

Решаем методом интервалов, и находим пересечение решений всех неравенств в системе:

В итоге получаем ОДЗ: (x>1).

Приступаем к решению самого уравнения. Первым делом приведем все логарифмы к одинаковому основанию (2). Для этого нужно преобразовать только второе слагаемое в уравнении:
$$0,5=frac{1}{2}=2^{-1};$$
$$log_{2}(x^2+4x)+log_{2^{-1}}(frac{x}{4})+2=log_{2}(x^2+3x-4);$$
Вынесем степень из основания, воспользовавшись формулой (log_{a^n}(b)=frac{1}{n}log_{a}(b)).
$$log_{2}(x^2+4x)-log_{2}(frac{x}{4})+2=log_{2}(x^2+3x-4);$$
В первом слагаемом под логарифмом вынесем общий множитель (х). А квадратный многочлен под логарифмом справа разложим на множители при помощи дискриминанта:
$$log_{2}(x(x+4))-log_{2}(frac{x}{4})+2=log_{2}((x-1)(x+4));$$
И опять воспользуемся формулами суммыразности логарифмов:

$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+log_{a}(c);$$
$$log_{a}left(frac{b}{c}right)=log_{a}(b)-log_{a}(c);$$
$$log_{2}(x)+log_{2}(x+4)-log_{2}(x)+log_{2}(4)+2=log_{2}(x-1)+log_{2}(x+4);$$
Сократим подобные слагаемые и посчитаем (log_{2}(4)=2):
$$4=log_{2}(x-1);$$
$$log_{2}(x-1)=4;$$
$$log_{2}(x-1)=log_{2}(2^4);$$
$$x-1=16;$$
$$x=17.$$
Сверяем корень с ОДЗ — подходит. Записываем ответ.
Ответ: (x=17).

Была ли эта статья полезной?

Содержание:

В этой лекции рассмотрим некоторые уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится под знаком логарифма. Уравнения такого вида принято называть логарифмическими.

Решение логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений часто будет использоваться следующее утверждение.

Следствие. Пусть

Доказательство:

Воспользовавшись данными условия и основным логарифмическим тождеством, получим: При решении уравнений часто используются утверждения, вытекающие из доказанного следствия:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

По определению логарифма имеем равносильное данному уравнение

Решим это уравнение:

Ответ: -1; 1.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно системе

Уравнение (2) равносильно уравнению (поясните почему). Решая его, получаем: х = -2 или х = 2.

С учетом неравенства (1) оставляем х = 2.

Ответ: 2.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Обозначив получим уравнение откуда

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

или

Решая уравнение (3), получаем откуда х = 1,5.

Решая уравнение (4), получаем откуда х = 65.

Ответ:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Используя формулу перехода к логарифму с другим основанием, получаем равносильное данному уравнение

Решим его:

Ответ:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Поскольку при любых значениях х, то можно прологарифмировать обе части данного уравнения, например, по основанию 10; в результате получим:

Ответ:

В примере 5 уравнение можно прологарифмировать и по другому основанию, например по основанию 2 (сделайте это). А можно решить его и так:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Способ 1 (сохранение равносильности).

Ответ: 2,5

Способ 2 (использование уравнения-следствия). Из данного уравнения следует, что

Откуда получим:

Проверка полученных значений по исходному уравнению (5) показывает, что число 7 не является его корнем. Действительно, при этом значении х выражения не имеют смысла. Значение — корень (убедитесь в этом).

Пример:

Решить уравнение:

Решение:

а) По определению логарифма для уравнения Решая последнее уравнение, находим

а поскольку х > 0, то получаем х = 4.

б) Уравнение равносильно системе

которая не имеет решении.

Можно рассуждать иначе. Так как при верно равенство то уравнение не имеет решений.

в) Любое положительное и отличное от 1 число х является корнем уравнения (поясните почему).

Ответ:

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Ответ: 6.

Пример:

Решить уравнение с неизвестным х:

Решение:

а) Если или то выражение не имеет смысла.

Если то уравнение имеет единственное решение

б) При любом действительном значении а уравнение имеет единственное решение

Ответ:

Вычисление логарифмических неравенства

В этом пункте рассмотрим некоторые неравенства, в которых переменная (неизвестное) находится под знаком логарифма. Неравенства такого вида принято называть логарифмическими.

При решении логарифмических неравенств часто будет использоваться утверждение, которое следует из свойств логарифмической функции.

Следствие

Доказательство:

Пусть а> 1. Поскольку по условию то, воспользовавшись основным логарифмическим тождеством и следствием из пункта 2.4, имеем

Доказательство утверждения при 0 < а < 1 аналогично доказательству при а > 1. Проведите его самостоятельно.

При решении неравенств часто используются утверждения, вытекающие из доказанного следствия:

Пример №1

Решить неравенство:

a)

б)

в)

r)

Решение:

а) Заметим, что в неравенстве

выражение принимает положительные значения при любых значениях переменной х.

Поскольку из двух логарифмов с одинаковым основанием 0,29 больше тот, который берется от меньшего числа, то получим неравенство равносильное данному. Решая его, имеем т. е.

б) Поскольку из двух логарифмов с одинаковым основанием 5,7 меньше тот, который берется от меньшего числа, то из неравенства

следует неравенство

Кроме того, должны выполняться неравенства и (объясните, почему неравенство можно и не записывать).

Таким образом, данное неравенство равносильно системе

Решив эту систему, получим

Решение системы проиллюстрировано на рисунке 41.

Решение этого примера можно оформить так:

Сравните решения примеров а) и б). Почему в примере а) достаточно решить одно неравенство а не систему неравенств, как в примере б)?

в) Отметим, что для любых значений х выполняется неравенство Поскольку из двух логарифмов с одинаковым основанием 0 < а < 1 больше тот, который берется от меньшего числа, то получим неравенство

которое равносильно данному. Решим его:

г) Неравенство равносильно неравенству

Так как и, учитывая область определения логарифмической функции, имеем равносильную данному неравенству систему

Решив ее, получим

Ответ:

Пример №2

Решить неравенство

Решение:

Ответ:

Пример №3

Решить неравенство

Решение:

Способ 1. Пусть тогда имеем откуда находим

Таким образом, с учетом обозначения имеем:

Поскольку из двух логарифмов с основанием 0,5 больше тот, который берется от меньшего числа, то получим:

Ответ:

Способ 2 (метод интервалов). Пусть левая часть неравенства обозначена Найдем промежутки, где функция принимает неположительные значения. Для этого в области определения функции найдем ее нули: (убедитесь в правильности вычислений самостоятельно).

Затем на каждом из промежутков определим знаки значений функции например, в точках

Пример №4

Решить неравенство

Решение:

Данное неравенство равносильно неравенству

Решив его:

Поскольку из двух логарифмов с основанием 2 больше тот, который берется от большего числа, то

Ответ:

Пример №5

Решить неравенство

Решение:

Способ 1.

Ответ: (0; 1).

Способ 2.

так как функция возрастающая, то числитель дроби в левой части последнего неравенства принимает только положительные значения, значит, знаменатель этой дроби должен быть отрицательным

Способ 3.

Решим последнее неравенство методом интервалов. Пусть

Итак,

Найдем нули функции Так как при любом значении х верно неравенство (поясните почему), то функция нулей не имеет.

Определим и отметим над координатной прямой (рис. 42) знаки значений функции на ее области определения. ▲

Логарифмические уравнения, неравенства и их системы

Рассмотрим логарифмические уравнения, т. е. уравнения, в которых переменная содержится под знаком логарифма.

Теорема 11.

Логарифмы при одном и том же положительном и не равном единице основании равны тогда и только тогда, когда положительны и равны подлогарифмические выражения:

Доказательство:

Пусть Из равенства следует, что Кроме того, Получили, что из равенства следует система

А если истинна последняя система, то для любого положительного и не равного единице числа существуют и равны значения выражений Это означает, что из системы условий следует равенство

Для завершения доказательства остается заметить, что системы и равносильны. Действительно, последняя система является следствием предыдущей, и, в свою очередь, неравенство следует из равенства и неравенства (соответственно ).

В соответствии с доказанной теоремой при решении уравнения можно решить уравнение и из полученных корней выбрать те, которые удовлетворяют какому-либо из неравенств или

Пример №6

Решим уравнение

Здесь мы для проверки выбрали более простое неравенство

Ответ. = 4.

Теорема 12.

Если то а если то

Доказательство:

Пусть В этом случае функция возрастает. Потому из неравенства следует, что существуют значения выражений Из возрастания показательной функции получаем, что из неравенства следует, что Кроме того, истинно неравенство Значит, из условия следует условие Таким образом, первое утверждение теоремы доказано.

Если то функции обе являются убывающими. В этом случае из неравенства получаем, что значения выражений существуют и В свою очередь, из неравенства следует, что Этим обоснована равносильность условий и

Пример №7

Решим неравенство

Преобразуем правую часть неравенства:

С учетом теорем 11 и 12 данное неравенство равносильно системе

Опустив первое неравенство, которое является следствием третьего и второго неравенств, и упростив третье неравенство, получим систему

Изобразим полученные решения на координатной прямой (рис. 176) и запишем ответ.

Ответ.

При решении логарифмических неравенств и уравнений важно обеспечивать равносильность проводимых преобразований.

Пример №8

Решим неравенство

Выражения имеют значения только при положительных значениях . С учетом этого имеем:

Ответ. (0; 1].

Пример №9

Решим неравенство

Учтем, что

Это позволяет ввести замену и привести исходное неравенство к виду Решим полученное дробно-рациональное неравенство:

Если то:

Если то:

Таким образом, решениями исходного неравенства являются все числа из промежутков

Ответ.

Разобранные примеры демонстрируют два пути решения логарифмических уравнений и неравенств. На первом пути используется потенцирование для сведения исходного условия к отношению между логарифмами некоторых выражений. Так решался пример 3. На втором пути, как при решении примера 4, используется новая переменная для сведения исходного условия к другому, более простому.

Пример №10

Решим систему уравнений

Решение системы должно удовлетворять условиям При этих условиях первое уравнение дает а второе — или

Таким образом, исходная система равносильна системе которая равносильна системе Решением этой системы является пара чисел = 9, = 6.

Ответ. (; ) = (6; 9).

Пример №11

Решим неравенство где — определенное число.

Значения переменных должны удовлетворять системе условий

которой на координатной плоскости соответствует множество точек, лежащих ниже прямой правее оси ординат и не принадлежащих прямой = 1 (рис. 177).

Если то исходное неравенство равносильно неравенству а если то неравенству Прямая = 1 и парабола разделяют область на четыре части (рис. 178), в которых знаки каждого из выражений постоянны.

Если то должно выполняться неравенство т. е. должны быть выбраны те точки области , которые расположены на параболе или ниже ее, т. е. точки фигуры .

Если то должно выполняться неравенство т. е. должны быть выбраны точки области определения, расположенные на параболе или выше ее, т. е. точки фигуры .

Чтобы записать ответ, нужно для каждого значения переменной найти те точки фигур и , ординаты которых равны , и установить, какими могут быть их абсциссы. Например, для значения , показанного на рисунке 179, ответ составляют абсциссы внутренних точек отрезка и луча .

Для выписывания ответа найдем абсциссы точек пересечения прямой и параболы которые являются корнями уравнения Получим:

Видно, что прямая пересекает параболу если

Ответ. Если то или

если

если

если

если

Как решать показательные и логарифмические уравнения

Некоторые показательные и логарифмические уравнения можно решить, используя свойства соответствующих функций. Напомним основные приемы, которые применяются при решении уравнений с помощью свойств функций, и приведем примеры решения уравнений и неравенств, содержащих показательные, логарифмические и другие функции.

1. Конечная ОДЗ

Ориентир:

Если область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.

Пример:

Итак, ОДЗ:

Проверка. — корень

Других корней нет, поскольку ОДЗ входит только одно число. Ответ: 1.

2. Оценка значений левой и правой частей уравнения

Если требуется решить уравнение вида f (x) = g (x) и выяснилось, что m a, то равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда f (x) и g (x) одновременно будут равны а.

Пример:

Оценим значения левой и правой частей данного уравнения: (поскольку ); если то . Итак, Тогда данное уравнение равносильно системе . Из первого уравнения получаем = 0, то есть x = 0, что удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ: 0.

3. Использование монотонности функций

Схема решения уравнения:

1. Подбираем один или несколько корней уравнения.
2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения или оценку значений левой и правой частей уравнения).

Теоремы о корнях уравнения:

1. Если в уравнении f (x) = a функция f (x) возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример

Уравнение имеет единственный корень , то есть 5 = 5), поскольку функция возрастает (на всей области определения R) как сумма двух возрастающих функций.

2. Если в уравнении f (x) = g (x) функция f (x) на некотором промежутке возрастает, а функция g (x) — убывает (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.

Пример:

Уравнение = 27 – x имеет единственный корень х = 2 = 27 – 2, то есть 25 = 25), так как f (x) = возрастает, а g (x) = 27 – х убывает (при всех х ∈ R).

4. «Ищи квадратный трехчлен»

Ориентир:

Попытайтесь рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно некоторой переменной (или некоторой функции).

Пример:

Запишем и введем замену = t.

Получаем

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно t. Его дискриминант

Тогдато есть

Обратная замена дает = 4 (отсюда x = 2) или = 3 – x. Последнее уравнение имеет единственный корень x = 1, так как f (x) = возрастает, а g (x) = 3 – x убывает (при всех x ∈ R).

Ответ: 1; 2

Пример №12

Решите уравнение

Решение:

Если то Получаем ОтсюдаТогда Обратная замена дает (отсюда x = 2) или (отсюда x = –2).

Ответ: –2; 2.

Комментарий:

Замечаем, что

Таким образом, если то то есть данное уравнение имеет вид Его можно решить с помощью замены Но теперь эту замену можно непосредственно применить для данного уравнения, не вводя промежуточные обозначения. После обратной замены учитываем, что

Пример №13

Решите уравнение

Комментарий:

Если привести все степени к одному основанию 2 и обозначить то получим уравнение (1) (см. решение), в котором можно ввести замену (тогда , отсюда). На ОДЗ данного уравнения (x ∈ R) все замены и обратные замены являются равносильными преобразованиями этого уравнения. Таким образом, решив уравнения, полученные в результате замен, и выполнив обратные замены, мы получим корни данного уравнения.

Решение:

Замена = t дает уравнение

. (1)

Обозначим, тогда, таким образом, из уравнения (1) получаем уравнение , которое имеет корни: = 1, = –2.

Обратная замена дает

Тогда – t – 1 = 0 или t2 + 2t – 1 = 0.

Получаем или

Тогд(отсюда или (корней нет, поскольку, или (отсюда) или (корней нет, так как

Ответ:

Пример №14

Решите уравнение

І способ

Комментарий:

Поскольку > 0, получаем, что в левой части уравнения стоит сумма двух взаимно обратных положительных чисел, которая всегда больше или равна 2. (Действительно, если a > 0, то

следовательно, при всех a > 0 )

Для оценки значений правой части достаточно вспомнить, что областью значений функции cos 2x является промежуток [–1; 1], таким образом,

Решение:

Оценим значения левой и правой частей уравнения.как сумма двух взаимно обратных положительных чисел. ЕслиТаким образом,

тогда данное уравнение равносильно системе

Из первого уравнения, используя замену получаем

то есть – 2t + 1 = 0. Отсюда t = 1.

Тогда = 1, отсюда x = 0, что удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ: 0.

ІІ способ

Комментарий:

Если обозначить = t, то данное уравнение приводится к уравнению (2) (см. решение), которое можно рассматривать как квадратное относительно переменной t. Заметим, что t = ≠ 0, поэтому при таких значениях t уравнения (1) и (2) равносильны. Далее используем условие существования корней квадратного уравнения.

Решение:

После замены = t (t > 0) из данного уравнения получаем равносильное уравнение

которое, в свою очередь, равносильно уравнению

Рассмотрим уравнение (2) как квадратное относительно переменной t. Тогда его дискриминант Уравнение (2) может иметь корни только тогда, когда то есть когда

Отсюда

(3)

У этого неравенства знак «больше» не может выполняться всегда), таким образом, неравенство (3) равносильно уравнению Тогда cos 2x = 1 или cos 2x = –1. Подставляя эти значения в уравнение (2), получаем две системы: илиВо второй системе из второго уравнения имеем t = –1, что не удовлетворяет условию t > 0. Таким образом, данное уравнение равносильно только первой системе. Из второго уравнения первой системы имеем t = 1, тогда = 1, то есть x = 0, что удовлетворяет и первому уравнению этой системы.

Ответ: 0.

Пример №15

Решите уравнение

Комментарий:

Для решения уравнения с несколькими модулями можем применить общую схему, рассмотренную в 10 классе (см. также табл. 43 на с. 391):

• 1) найти ОДЗ;
• 2) найти нули всех подмодульных функций;
• 3) отметить нули на ОДЗ и разбить ОДЗ на промежутки;
• 4) найти решения уравнения в каждом из промежутков.

Решение:

ОДЗ: R.

Нули подмодульных функций: x = 0 и

Этот нуль (x = 0) разбивает ОДЗ на два промежутка, в каждом из которых каждая подмодульная функция имеет постоянный знак (рис. 20.1).

Промежуток І. При x ∈ имеем уравнение . Тогда = 2, таким образом,

Промежуток ІІ. При имеем уравнение . Тогда отсюда Но таким образом, в промежутке ІІ данное уравнение корней не имеет.

Ответ: –1.

Пример №16

Решите уравнение

Решение:

ОДЗ: то есть x > 1.

Поскольку x = 2 не является корнем данного уравнения, то при делении обеих частей уравнения на получаем равносильное (на ОДЗ при x ≠ 2) уравнение

После замены имеем уравнение корни которого:

Выполнив обратную замену, получаем

Тогда на ОДЗ (при x ≠ 2) имеем равносильные уравнения:

Учитывая ОДЗ, получаем x = или x = 3.

Ответ:; 3.

Комментарий:

Если выполнить замену lg (x + 1) = = u, lg (x – 1) = v, то получим уравнение все члены которого имеют одинаковую суммарную степень — два. Напомним, что такое уравнение называется однородным и решается делением обеих частей на наибольшую степень одной из переменных. Разделим, например, обе части на (то есть на

Чтобы не потерять корни уравнения при делении на выражение с переменной, необходимо значения переменной, при которых это выражение равно нулю, рассмотреть отдельно. Значение x, при котором lg (x – 1) = 0 (тогда x – 1 = 1), то есть x = 2, подставляем в данное уравнение.

Для реализации полученного плана решения не обязательно вводить переменные u и v, достаточно заметить, что данное уравнение однородное, разделить обе части на а затем ввести новую переменную t.

В конце учитываем, что все преобразования были равносильными на ОДЗ, следовательно, необходимо выбирать только те из найденных корней, которые входят в ОДЗ.

Пример №17

Решите уравнение

Комментарий:

Логарифмические функции, стоящие в левой части данного уравнения, принимают только неотрицательные значения.

Действительно, на всей области определения таким образом, аналогично, поскольку на своей области определения В этом случае сумма двух неотрицательных функций может равняться нулю тогда и только тогда, когда каждая из этих функций равна нулю.

Заметим, что при переходе от данного уравнения к системе уравнений ОДЗ не изменяется, таким образом, ее можно не записывать в явном виде. При решении полученных простейших логарифмических уравнений ОДЗ также учитывается автоматически, поэтому ее можно вообще не записывать в решение.

Решение:

Поскольку на всей области определения и то данное уравнение равносильно системе

Из первого уравнения системы получаем Тогда то есть х = 2, что удовлетворяет и второму уравнению системы.

Ответ: 2.

Пример №18

При каких значениях параметра a неравенствовыполняется для любых значений x?

Комментарий:

Сначала воспользуемся формулой Далее запишем правую часть неравенства как значение логарифмической функции и, переходя к аргументу, учтем, что в случае, когда основание этой функции больше 1, функция возрастает, а когда меньше 1 (но больше 0) — убывает. При дальнейшем анализе полученных неравенств учитываем, что неравенство sin t > b выполняется для любых значений t тогда и только тогда, когда b < –1, а неравенство sin t < c — когда c > 1.

Решение:

Данное неравенство равносильно неравенству

Это неравенство равносильно совокупности систем

Тогда

Неравенства с переменной x в последней совокупности систем будут выполняться для любых значений x при условии:

Тогда a > 12 или 7,5 < a < 8.

Ответ: при любом а ∈ (7,5; (12;

Пример №19

При каких значениях параметра a уравнение имеет единственный корень?

Комментарий:

Выполняя равносильные преобразования данного уравнения, учитываем, что при использовании определения логарифма для решения этого простейшего логарифмического уравнения его ОДЗ учитывается автоматически.

При выполнении замены переменной в задании с параметром учитываем, что после замены требование задачи может измениться.

Исследуя расположение корней квадратного трехчлена применим условия, (для записи соответствующих условий используем обозначения: D — дискриминант, — абсцисса вершины параболы). Как известно, для того чтобы корни квадратного трехчлена f (t) (с положительным коэффициентом при были расположены по разные стороны от числа A, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие f (A) < 0.

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению

(1)

то есть Замена дает уравнение

(2)

Требование задачи будет выполняться тогда и только тогда, когда уравнение (2) будет иметь единственный положительный корень. Это будет в одном из двух случаев:

• 1) уравнение (2) имеет единственный корень, и он положительный;
• 2) уравнение (2) имеет два корня, из которых только один положительный, а второй — отрицательный или нуль.

Для первого случая получаем

Таким образом,

Для второго случая значение t = 0 исследуем отдельно.

При t = 0 из уравнения (2) получаем a = 0. При a = 0 уравнение (2) имеет корни Таким образом, условие задачи при a = 0 выполняется.

Остается еще один случай — корни уравнения (2) имеют разные знаки (расположены по разные стороны от нуля). Это будет тогда и только тогда, когда будет выполняться условие f (0) < 0 (где), то

есть условие –a < 0, тогда a > 0. Объединяя все результаты, получаем ответ.

Ответ: при или уравнение имеет единственный корень.

Сведения из истории:

Понятие показательной функции было введено, опираясь на степенную функцию с рациональным показателем, которая имеет давнюю историю. В частности, дробные показатели степени и простейшие правила действий над степенями с дробными показателями встречаются в XIV в. у французского математика Н. О р е м а (ок. 1323—1382). Известно, что Н. Шюке (ок. 1445—ок. 1500) рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями. С. Стевин предложил понимать под корень Однако систематически дробные и отрицательные показатели первым стал применять И. Ньютон (1643—1727).

Немецкий математик М. Штифель (1487—1567) ввел обозначениеесли a ≠ 0, и название показатель (это перевод с немецкого Ехроnеnt). Немецкое potenzieren означает возвести в степень. (Отсюда происходит и слово потенцировать, которое применяется для обозначения переходов от логарифмов (log) выражений f (x) и g (x) к соответствующим степеням, то есть от равенствак равенству В свою очередь, термин eхроnеnten возник вследствие не совсем точного перевода с греческого слова, которым Диофант Александрийский (около ІІІ в.) обозначал квадрат неизвестной величины.

Термин логарифм происходит от сочетания греческих слов «логос» (в значении «отношение») и «аритмос» (число) и переводится как отношение чисел. Выбор изобретателем логарифмов Дж. Непером такого названия (1594 г.) поясняется тем, что логарифмы возникли вследствие сопоставления двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а второе — геометрической. Логарифмы по основанию e ввел Спейдел (1619 г.), который составил первые таблицы для функции ln х. Название натуральный (естественный) для этого логарифма предложил Н. Меркатор (1620—1687), который выяснил, что ln х — это площадь под гиперболой

Близкое к современному пониманию понятие логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень, — впервые появилось в работах Дж. Валлиса и И. Бернулли, а окончательно было уточнено Л. Эйлером в XVIII в. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Ейлер дал современное определение как показательной, так и логарифмической функций и привел их разложение в степенные ряды, отметил особую роль натурального логарифма.

Логарифм и его свойства

Легко решить уравнения и Их корнями будут соответственно числа 2 и 3.

Однако для уравнения сразу указать его корень сложно.

Возникает естественный вопрос: есть ли вообще корни у этого уравнения?

Обратимся к графической интерпретации. На рисунке 19.1 изображены графики функций и Они пересекаются в некоторой точке Следовательно, уравнение имеет единственный корень

Однако графический метод не позволяет определить точное значение

С подобной ситуацией мы встречались, решая в 10-м классе уравнение Графическая интерпретация также показывает, что это уравнение имеет единственный корень (рис. 19.2). Потребность называть и записывать этот корень в свое время привела к новому понятию «кубический корень» и обозначению

Корень уравнения договорились называть логарифмом числа 5 по основанию 2 и обозначать Таким образом, число это показатель степени, в которую надо возвести число 2, чтобы получить число 5. Можно записать:

Рассмотрим уравнение где Так как для всех выполняется неравенство то при это уравнение не имеет решений. Если то это уравнение имеет единственный корень (рис. 19.3). Его называют логарифмом числа по основанию и обозначают

Логарифмом положительного числа по основанию где и называют показатель степени, в которую надо возвести число чтобы получить число .

Например, это показатель степени, в которую надо возвести число 3, чтобы получить число 9. Имеем: поскольку

Еще несколько примеров:

Из определения логарифма следует, что при и выполняется равенство

Его называют основным логарифмическим тождеством.

Например,

Также из определения логарифма следует, что при и

Рассмотрим равенство

Вы знаете, что действие нахождения числа по данным числам и называют возведением числа в степень .

Действие нахождения числа по данным числам и , где и называют логарифмированием числа по основанию Действительно,

Отметим, что при левая часть равенства положительна. Следовательно,

Поэтому при выражение не имеет смысла.

Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом. Вместо пишут

Используя это обозначение и основное логарифмическое тождество, для каждого можно записать:

Рассмотрим основные свойства логарифмов.

Теорема 19.1 (логарифм произведения). Если и то выполняется равенство

Коротко формулируют: логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Доказательство. Рассмотрим два выражения: и Докажем, что они равны.

Используя основное логарифмическое тождество, запишем:

Следовательно, Отсюда по теореме 17.1 получаем, что

Теорема 19.2 (логарифм частного). Если и то выполняется равенство

Коротко формулируют: логарифм частного равен разности логарифмов.

Воспользовавшись идеей доказательства теоремы 19.1, докажите эту теорему самостоятельно. Теорема 19.3. Если и то для любого выполняется равенство

Доказательство. Рассмотрим два выражения: и Докажем, что они равны. Имеем:

Следовательно, Отсюда по теореме 17.1 получаем:

Теорема 19.4 (переход от одного основания логарифма к другому). Если то выполняется равенство

Доказательство. Рассмотрим выражение Преобразуем его, воспользовавшись теоремой 19.3 при Имеем:

Следовательно, Так как то легко показать, что Теперь можно записать:

Следствие 1. Если то выполняется равенство

Докажите это следствие самостоятельно.

Следствие 2. Если то для любого выполняется равенство

Доказательство. В выражении перейдем к основанию

Пример №20

Решите уравнение:

Решение:

1) Из определения логарифма следует, что

2) Имеем:

Ответ:

Пример №21

Вычислите значение выражения:

Решение:

1) Применяя свойства степени и основное логарифмическое тождество, получаем:

2) Имеем:

Пример №22

При каком значении выполняется равенство:

Решение:

1) Выражение определено при Из определения логарифма следует, что то есть

2) Выражение определено при и Согласно определению логарифма имеем: Отсюда

Пример №23

Вычислите значение выражения:

Решение:

1) Используя теоремы о логарифме произведения и логарифме частного, получаем:

2) Имеем:

Пример №24

Постройте график функции

Решение:

Данная функция определена на множестве Так как

для всех значений то приходим к выводу, что графиком функции является часть прямой (рис. 19.4).

Пример №25

Известно, что Найдите

Решение:

Имеем:

Логарифмическая функция и ее свойства

Выберем положительное число отличное от 1. Каждому положительному числу можно поставить в соответствие число такое, что Тем самым задана функция с областью определения

Эту функцию называют логарифмической.

Покажем, что логарифмическая функция является обратной к показательной функции

Для любого уравнение имеет корень (он равен ).

Это означает, что областью значений логарифмической

функции является множество

Имеем:

Для любого выполняется равенство Иными словами, для всех Сказанное означает, что и взаимно обратные функции.

Так как графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой то, пользуясь графиком показательной функции можно построить график логарифмической функции (рис. 20.1).

Функция имеет единственный нуль Функция имеет два промежутка знакопостоянства.

Если то на на если то на на Если функция возрастающая (убывающая), то обратная к ней функция является также возрастающей (убывающей). Показательная функция является возрастающей при и убывающей при

Поэтому функция является возрастающей при и убывающей при

Так как логарифмическая функция является либо возрастающей (при ), либо убывающей (при ), то она не имеет точек экстремума.

Вы знаете, что если определенная на некотором промежутке функция является обратимой и непрерывной, то обратная к ней функция также непрерывна. Показательная функция непрерывна.

Поэтому функция является непрерывной. Логарифмическая функция дифференцируема. Подробнее о производной логарифмической функции вы узнаете в п. 23.

График функции имеет вертикальную асимптоту когда стремится к нулю справа. В таблице приведены свойства функции , изученные в этом пункте.

Пример №26

Сравните с единицей основание логарифма, если известно, что

Решение:

Если предположить, что то функция является возрастающей. Поэтому Но по условию это не так. Значит,

Пример №27

Найдите область определения функции:

Решение:

1) Так как область определения логарифмической функции — множество положительных чисел, то областью определения данной функции является множество решений неравенства

Имеем: или

Следовательно,

2) Выражение имеет смысл при выражение при Кроме того, знаменатель дроби не может быть равным нулю, поэтому Таким образом, область определения данной функции — это множество решений системы неравенств:

Имеем:

Обратившись к рисунку 20.2, приходим к выводу, что последняя система равносильна совокупности

Следовательно,

3) Область определения данной функции найдем, решив систему неравенств:

Тогда

Отсюда

Пример №28

Сравните:

Решение:

1) Так как логарифмическая функция возрастающая, то

2) Так как логарифмическая функция убывающая, то 3) Имеем: то есть Вместе с тем то есть Следовательно, 4) Учитывая, что имеем: Следовательно,

5) Имеем:

Так как

Определение логарифмического уравнения

Уравнение вида где называют простейшим логарифмическим уравнением.

Поскольку графики функций и пересекаются в одной точке (рис. 21.1), то простейшее логарифмическое уравнение имеет единственный корень при любом Этот корень можно найти, используя определение логарифма. Имеем:

Пример №29

Решите уравнение

Решение:

По определению логарифма можно записать

Ответ:

Решенное уравнение — частный случай уравнения вида где Рассуждая, как в примере 1, можно показать, что это уравнение равносильно уравнению

При решении многих логарифмических уравнений применяют следующую теорему.

Теорема 21.1. Пусть Если то и наоборот, если и то

Решение логарифмических уравнений

Поскольку логарифмическая функция является возрастающей или убывающей, то для доказательства этой теоремы можно воспользоваться идеей доказательства теоремы 17.1. Убедитесь в этом самостоятельно.

Следствие. Пусть Уравнение вида равносильно любой из систем

или

Выбор соответствующей системы, как правило, связан с тем, какое из неравенств, или решить легче.

Воспользовавшись идеей доказательства следствия из теоремы 17.1, докажите следствие из теоремы 21.1 самостоятельно.

Теперь решение уравнения примера 1 можно оформить и так:

Пример №30

Решите уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно системе

Имеем:

Отсюда

Ответ:

Пример №31

Решите уравнение

Решение:

Естественно преобразовать это уравнение так:

Отсюда или

Легко убедиться, что число не является корнем данного уравнения (не входит в его область определения), а число 5 является корнем данного уравнения. Таким образом, данное уравнение решено методом следствий.

Ответ:

Обратим внимание, что сделанный во время решения примера 3 переход от уравнения к уравнению не был равносильным и привел к появлению постороннего корня.

Действительно, область определения исходного уравнения задается системой неравенств множеством решений которой является промежуток Заменив выражение на выражение мы расширили область определения исходного уравнения, так как область определения уравнения задается неравенством множеством решений которого является множество

Следовательно, расширение области определения уравнения от множества до множества и стало причиной появления постороннего корня

На самом деле уравнение равносильно системе

Отсюда

Получаем

Пример №32

Решите уравнение

Решение:

Так как то данное уравнение равносильно уравнению

Пусть Тогда получаем: Отсюда Следовательно, Тогда исходное уравнение равносильно совокупности

Отсюда

Ответ:

Пример №33

Решите уравнение

Решение:

Так как на области определения уравнения, то есть на множестве обе его части принимают положительные значения, то можем записать уравнение, равносильное данному

Далее имеем: Пусть Тогда

Отсюда

Ответ:

Пример №34

Решите уравнение

Решение:

Отметим, что переход от уравнения (1) к уравнению

может привести к потере решений.

Действительно, областью определения исходного уравнения является множество а область определения уравнения (2) — это множество Следовательно, такой переход сужает область определения исходного уравнения на множество (2; 4), которое может содержать корни уравнения (1).

На самом деле уравнение (1) равносильно такому уравнению:

Отсюда

Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

Далее имеем:

Ответ:

Пример №35

Решите уравнение

Решение:

Перейдем к логарифмам по основанию 2: Поскольку из условия следует, что то

Далее имеем:

Пусть тогда получим

Отсюда или Имеем:

Ответ:

Пример №36

Решите уравнение

Решение:

Рассмотрим функции и Функция является возрастающей, функция убывающей. Тогда уравнение имеет не более одного корня. Так как то единственный корень данного уравнения.

Ответ:

Пример №37

Решите уравнение

Решение:

Ошибочно считать, что уравнение вида равносильно совокупности При таком переходе существует опасность получить в ответе посторонние корни. Например, нет гарантии, что все корни уравнения принадлежат области определения функции

На самом деле уравнение равносильно системе

Воспользовавшись этим, запишем систему, равносильную уравнению

Единственным корнем первого уравнения совокупности является число 3. Так как (рис. 21.2), то не является корнем исходного уравнения.

Все числа вида являются корнями второго уравнения совокупности. Среди них следует выбрать только те, которые удовлетворяют условию Для этого достаточно потребовать, чтобы Ответ:

Пример №38

Решите систему уравнений

Решение:

Имеем:

Из первого уравнения системы следует, что Отсюда или

Следовательно, данная система равносильна совокупности двух систем.

Имеем: Тогда

Легко убедиться (сделайте это самостоятельно), что эта система решений не имеет.

Ответ:

Логарифмические неравенства

При решении многих логарифмических неравенств используют следующую теорему.

Теорема 22.1. При неравенство выполняется тогда и только тогда, когда при неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

Справедливость этой теоремы следует из того, что при логарифмическая функция является возрастающей, а при убывающей.

Следствие. Если , то неравенство равносильно системе

Если то неравенство равносильно системе

Воспользовавшись идеей доказательства следствия из теоремы 17.1, докажите это следствие самостоятельно.

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Поскольку то можно записать:

Это неравенство равносильно такому: Отсюда

Ответ:

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Имеем:

Это неравенство равносильно системе

Ответ:

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Данное неравенство равносильно системе

Отсюда

Ответ:

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Так как областью определения данного неравенства является промежуток то выполняется равенство

Тогда данное неравенство можно переписать так:

Пусть Получаем

Имеем:

Ответ:

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Имеем:

Пусть Тогда Отсюда

Воспользовавшись методом интервалов (рис. 22.1), получаем

Далее,

Ответ:

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Перепишем данное неравенство так: Это неравенство равносильно совокупности двух систем.

Отсюда

Отсюда

Ответ:

Пример:

Решите неравенство

Решение:

Имеем:

Рассмотрим функцию Она возрастает на Заметим, что Следовательно, при получим, что а при получим, что

Ответ:

Свойство логарифмической функции

Равенство справедливо при тогда и только тогда, если х = у.

1)Уравнение при условии равносильно уравнению . Решив уравнение , и найдя его корни необходимо проверить, удовлетворяют ли они условию .

2)Если уравнение заменить эквивалентному уравнению в экспоненциальной форме получим . Решение логарифмический уравнений, после определённых преобразований, сводится к решению простейших логарифмических уравнений.

1) Решение логарифмических уравнений при помощи свойства логарифма.

Пример:

2) Решение уравнения при помощи введения новой переменной.

Пример:

3) Решение уравнений, приведением к одинаковому основанию.

Пример:

Рассмотрим ещё один пример уравнения, решение которого сводится к применению свойства логарифма.

Пример:

Проверка.

Выражение стоящее под знаком логарифма должно всегда быть положительным, то есть .

Значение -5,5 не удовлетворяет этому условию, значит оно является посторонним корнем. Значение -1 данному условию удовлетворяет.

Ответ: -1

Физика. Альтиметр — это прибор, который измеряя атмосферное давление определяет высоту над уровнем моря. Зависимость между высотой (в метрах) и атмосферным давлением (в паскалях) задаётся формулой

Землетрясение. Амплитуда землетрясения находится но формуле , где А_о — амплитуда самого слабого землетрясения, м — сила землетрясения по шкале Рихтера.

Финансы. Если на счёт в банке поместить 1 руб под 6% рост, то размер вклада через t лет можно посчитать но формуле . Выразить переменную t можно через S.

Радиоактивный распад изотопа Углерод 14 учёные широко используют для определения возраста останков животных и растений. Изотоп Углерод 12 встречается на Земле чаще, но он не радиоактивен и не распадается, в отличии о изотопа Углерод 14. Изотоп Углерод 14 получается в атмосфере из солнечных лучей и проникает в растения посредством фотосинтеза, а оттуда в организм животных, которые питаются этими растениями и т.д. В растениях и животных содержится 10 ^-10 процентов атомов углерода изотопа Углерод 14. Когда растение или животное погибают они прекращают получать Углерод 14, а тот углерод который остался в организме начинает распадаться. Период полураспада этого изотопа 5730 лет. Подсчитав сколько процентов атомов углерода изотопа Углерода 14 осталось в растении или животном можно определить время их гибели.

Решение задач по формуле . (здесь -первоначальная масса вещества, Т — период полураспада, — время).

Показательные и логарифмические неравенства

Решение показательных неравенств обычно приводит к решению неравенств вида или . Здесь .

Решаются данные неравенства при помощи свойства возрастания или убывания показательной функции :

При неравенство равносильно неравенству , неравенство равносильно неравенству . При неравенство равносильно неравенству , а неравенство равносильно неравенству .

Примеры:

С помощью тождества , решение неравенств (или ) сводится к решению равносильных неравенств (или ). Решение показательных неравенств при помощи определённых методов сводится к решению простейших показательных неравенств.

1) Применение свойства степени.

Если показатели степени равны, то удобнее всего разделить обе части неравенства на одну из степеней.

Пример:

2) Введение новой переменной.

Пример:

Логарифмические неравенства

Логарифмические неравенства решаются при помощи свойств возрастания или убывания логарифмической функции на множестве допустимых значений.

Пример: 

Так как функция возрастающая, то на области определения данной функции получим . Значит, надо найти значения х удовлетворяющие неравенствам и Отсюда .

Ответ:

Пример: 

Так как Функция убывающая, то на области определения данной функции , получим . Значит, надо решить двойное неравенство . Отсюда .

Ответ: (1; 4)

Пример: Неравенство равносильно двойному неравенству или системе неравенств

Отсюда получаем, что и . Множество решений неравенства:

Пример: решим неравенство . Выражение, стоящее под знаком логарифма по определению логарифма, положительно: . Выполним замену , получим неравенство . Промежуток является решением неравенства. Выполним обратную замену, получим . Отсюда . Ответ:

Количество членов общественной организации каждый год уменьшается на 7%. Формула , показывает какое количество членов будет через лет, если изначально их количество было равно N.

Остаток при распаде Углерода-14 через t лет можно вычислить (в граммах) по формуле .

Пример: За сколько лет, сумма, вложенная в банк под сложные проценты с процентной ставкой 8%, выросла с 1000 руб до как минимум 1500 руб.

Решение:

Ответ: приблизительно через 5,1 лет сумма на счету достигнет 1500 руб.

Зависимость численности населения от времени вычисляется по формуле где Р_о — численность населения, — скорость прироста населения, — количество лет, Р показывает численность населения через лет.

Система логарифмических уравнений

При решении логарифмических систем также используют способ замены, алгебраического сложения и т. д., а также свойства логарифмических функций. Рассмотрим это на примерах:

Пример №39

Решите систему уравнений

Решение:

понятно, что и

Из первого уравнения системы получим из второго получим

или

Таким образом, получаем систему

Подставим в уравнение Тогда получим квадратное уравнение Его корнями являются числа Подставим их в получим Решением данной системы является пара и

Пример №40

Решите систему уравнений

Решение:

из первого уравнения системы имеем Выполним замену: во второе уравнение вместо подставим Тогда можно записать Отсюда и получим, что Тогда Таким образом, решением данной системы является пара

Логарифмические уравнения и неравенства

 Уравнение называется логарифмическим, если его переменные . содержатся только под знаками логарифмов.

Примеры: 

Примечание. Уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма, например  не являются логарифмическими. Но они сводятся к логарифмическим, или при их решении используют свойства логарифмов. Поэтому и такие уравнения, а также неравенства, будем рассматривать в этом и следующем параграфах.

Простейшими логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

По определению логарифма при любом действительном  такое уравнение имеет единственное решение 

Решение других логарифмических уравнений основывается на свойствах логарифмической функции, определении и свойствах логарифма.

Решая логарифмические уравнения, нужно установить область допустимых значений уравнения или осуществить проверку полученных корней.

Для логарифмических уравнений общего метода решения нет, однако можно выделить несколько групп уравнений, для решения которых используются определённые способы. Рассмотрим эти способы на конкретных примерах.

Способ решения логарифмических уравнений по определению логарифма

Пример №41

Решите уравнение

Решение:

По определению логарифма  Решим полученное уравнение:  отсюда 

Проверка. 

Ответ. 2.

Пример №42

Решите уравнение 

Решение:

Область допустимых значений неизвестного определяется из условий:

Следовательно, 

Решение заданного уравнения сводится к решению уравнения

  не принадлежит области допустимых значений.

Ответ. Уравнение не имеет действительных корней.

Способ решения логарифмических уравнений по свойствам логарифмов и логарифмической функции

Пример №43

Решите уравнение 

Решение:

Представим число 3 как логарифм по основанию  Воспользуемся свойством  и запишем уравнение в виде

 Согласно утверждению 1 имеем:  Решим это уравнение:

 отсюда  Проверку сделайте самостоятельно.

Ответ. 5; 7.

Способ решения логарифмических уравнений по введению новой переменной

Многие логарифмические уравнения заменой  можно свести к алгебраическому уравнению с неизвестным 

Пример №44

Решите уравнение 

Решение:

Заменив  на  получим уравнение

имеющее корни:  Итак,  отсюда 

Проверка показывает, что оба значения удовлетворяют уравнение.

Ответ. 100; 

Графический способ решения логарифмических уравнений

Некоторые логарифмические уравнения можно решать графически.

Пример №45

Решите графически уравнение 

Решение:

Построим в одной системе координат графики функций  (рис. 37).Как видим, графики этих функций пересекаются в точке с абсциссой Чтобы убедиться, что  — корень данного уравнения, сделаем проверку: 

Ответ. 4.

Логарифмирование — способ решения логарифмических уравнений

Рассмотрим уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма, но и в основании степени. Их решают способом логарифмирования.

Пример №46

Решите уравнение 

Решение:

Найдём логарифмы от обеих частей уравнения по основанию 2 и упростим полученное уравнение. Имеем:

 Отсюда:

Проверкой убеждаемся, что эти числа являются корнями уравнения.

Если в логарифмическом уравнении знак равенства изменить на знак неравенства, то получим логарифмическое неравенство.

 Неравенство называется логарифмическим, если его переменные содержатся лишь под знаком логарифма.

Для решения логарифмических неравенств используют те же методы, что и для решения логарифмических уравнений, а также правила решения простейших логарифмических неравенств, т.е. неравенств вида 

Для решения простейших логарифмических неравенств используют монотонность и учитывают область определения логарифмической функции. А именно:

1. Если 

2. Если 

Рассмотрим примеры.

Пример №47

Решите неравенство 

Решение:

Способ 1. Поскольку   Учитывая область определения, имеем 

Способ 2.  Функция  на всей области определения  убывает, так как  Поэтому  Следовательно, 

Ответ. 

Пример №48

Решите неравенство

Решение:

Найдём сначала область допустимых значений  Решением системы неравенств  есть интервал  На этом множестве данное неравенство равносильно неравенству  То есть 

Множество решений образованного квадратного неравенства:  Учитывая, что  получим решение заданного неравенства 

Ответ. 

Пример №49

Решите неравенство 

Решение:

Сведём второй логарифм к основанию 8. Получим неравенство, равносильное заданному:

Пусть  тогда  Составим неравенство с новой переменной  и решим его. Квадратный трёхчлен  имеет корни 1 и 2, а множество решений соответствующего неравенства изображено на рисунке 38.

Следовательно,  Тогда  Решим каждое из неравенств, учитывая, что 

Если 

Если 

Ответ. 

Решая неравенства, содержащие переменную и под знаком логарифма и в основании логарифма, следует рассматривать два случая: 1) основание логарифма больше нуля, но меньше единицы; 2) основание логарифма больше единицы.

Пример №50

Решите неравенство 

Решение:

Запишем неравенство в виде 

1)    Если  то неравенство равносильно системе:

Решением этой системы неравенств является промежуток 

2) Если  то неравенство равносильно системе:

Система решений не имеет.

Множество решений неравенства  — объединение множеств решений каждой из рассматриваемых систем, то есть промежуток 

Пример №51

Решите уравнение

Решение:

Чтобы имели смысл выражения  нужно, чтобы одновременно выполнялись неравенства  и  Система этих неравенств решений не имеет.

Ответ. Уравнение не имеет решений.

Пример №52

Решите уравнение

Решение:

Перепишем уравнение так:

Тогда число, стоящее в скобках, по определению логарифма равно  т. е. 1:

Запишем это уравнение так:  Отсюда получаем 

Ответ. 81.

Пример №53

Решите неравенство

Решение:

Пусть  тогда 

Полученное неравенство удовлетворяют значения  а также  Итак,  отсюда  отсюда 

Ответ. 

Пример №54

Решите систему уравнений

Решение:

ОДЗ:  Преобразуем систему, используя свойства логарифмов. Имеем:

Последняя система имеет два решения 

С учётом ОДЗ заданная система имеет единственное решение 

Ответ. 

Пример №55

Решите неравенство 

Решение:

ОДЗ: 

Перенесём  из правой части неравенства в левую и превратим полученное неравенство, используя свойства логарифмов.

 Решением последнего неравенства есть промежуток 

Учитывая ОДЗ, найдём множество решений заданного неравенства: 

Ответ. 

Показательные и логарифмические уравнения, неравенства и их системы с параметрами

Напомним, что под задачами с параметрами понимают те задачи, в которых ход решения и ответ зависят от величин, входящих в условия задачи, но численные значения которых не заданы. Эти величины называются параметрами и могут принимать произвольные значения, или значения, которые удовлетворяют условие задачи.

Чтобы решать логарифмические и показательные уравнения, неравенства и их системы с параметрами, нужно, прежде всего, уметь хорошо решать обычные показательные и логарифмические уравнения и неравенства, знать различные методы их решения, не забывать об области допустимых значений. Также нужно помнить свойства квадратного трёхчлена и условия размещения его корней на числовой прямой, не забывать о графических методах решения задач, особенно в случаях, когда требуется найти количество решений уравнения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №56

При каких значениях параметра  уравнение  имеет два различных действительных корня?

Решение:

Заменой  данное уравнение сводится квадратному уравнению  в котором  Найдем корни уравнения: 

Для того чтобы исходное уравнение имело два различных действительных корня, должна выполняться система условий:

Следовательно, 

Ответ, 

Пример №57

Для каждого значения параметра  найдите количество корней уравнения 

Решение:

Данное уравнение равносильно системе

Обозначим: 

Построим графики функций  (рис. 39).

Из рисунка видно, что данное уравнение может иметь одно решение, два решения или не иметь ни одного.

1) Рассмотрим условие  Если  т.е.  следовательно, если  то уравнение решений не имеет.

2)    Найдём, при каких значениях  графики функций соприкасаются. Графики будут иметь одну общую точку, если уравнение  имеет одно решение. Найдём эти значения 

В данном случае уравнение будет иметь один корень, если  (что невозможно, поскольку тогда  или если 

Поскольку 

Следовательно, если  то уравнение имеет одно решение. Далее из рисунка видно, что если  то уравнение имеет два решения, если  одно решение, если  — уравнение решений не имеет. .

Ответ. Если  — уравнение имеет одно решение;

если  — два решения;

если  — уравнение решений не имеет.

Пример №58

Решите неравенство 

Решение:

Рассмотрим случаи:

1)  что невозможно. Следовательно, если  то неравенство не имеет решений.

а) если  то неравенство решений не имеет, так как  при всех значениях 

б)если  т.е. 

В этом случае имеем 

 Поскольку  то выполняется неравенство  Следовательно, если 

Ответ. Если  то неравенство решений не имеет; если  то 

Пример №59

Решите неравенство

Решение:

Преобразуем данное неравенство:

Последнее неравенство равносильно системе

Если  то 
то неравенство решений не имеет. Если  то, подставив это значение в условие (сделайте это самостоятельно), получим, что неравенство решений тоже не имеет.

Ответ. Если  то неравенство решений не имеет; если 

Пример №60

При каком значении  неравенство

 выполняется для произвольного значения 

Решение:

1)    Рассмотрим случай, когда  Поскольку квадратичная функция не ограничена, то двойное неравенство не может выполняться для всех значений  поэтому этот случай рассматривать дальше нет смысла.

2)Если  то заданное неравенство можно записать в виде

Следовательно, данное неравенство равносильно системе неравенств

Поскольку квадратный трёхчлен принимает положительные значения для всех  при условии, что ветки параболы направлены вверх и  то получим систему

Ответ. 

Пример №61

Найдите все значения параметра  при которых система уравнений  имеет решения.

Решение:

Запишем первое уравнение в виде  и разделим его на  Получим уравнение  Заменой  приведём его к квадратному уравнению  корни которого  (не удовлетворяет условию  Тогда отсюда  или 

Итак, систему можно записать в виде

Решим второе уравнение:

 или 

Уравнение, а следовательно и заданная система, будет иметь решение, если дискриминант 

 Поскольку  если  то при этих значениях  система имеет решения. 

Ответ, 

Справочный материал

Понятие степени:

Понятие степени обобщается такими равенствами:

Если  — действительное, а  — иррациональное, то под степенью понимают некоторое действительное число, которое является границей бесконечной последовательности  — бесконечная последовательность, пределом которой является число 

Логарифмом числа  по основанию  называют показатель степени, в которую нужно возвести число  чтобы получить 

То есть, если

 Свойства логарифмов:

Условия, при которых эти равенства правильные.

Показательная и логарифмическая функции с тем же основанием — взаимно обратные. Их графики симметричны относительно прямой 

Уравнение (неравенство) называется показательным, если его переменные входят только в показатели степеней.

Основные методы решения показательных уравнений и неравенств

1. Приведение обеих частей уравнения к степеням с одинаковыми основаниями.
2. Введение новой переменной.
3. Функционально-графический метод.

Свойства показательной и логарифмической функций

Уравнение (неравенство) называется логарифмическим, если его переменные содержатся только под знаками логарифмов.

Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств

• По определению логарифма.
• По свойствам логарифмов и логарифмической функции.
• Введение новой переменной.
• Графический.
• Логарифмирование.