Как найти границы интегралов

Содержание:

  1. Определённый интеграл
  2. Геометрическое содержание определённого интеграла
  3. Основные свойства определённого интеграла
  4. Непосредственное вычисление определённого интеграла
  5. Вычисление определённого интеграла методом подстановки
  6. Вычисления определённого интеграла частями
  7. Приближённые методы вычисления определённых интегралов
  8. Практическое применение определённого интеграла
  9. Вычисление площадей плоских фигур
  10. Объём тела вращения
  11. Путь, пройденный точкой
  12. Сила давления жидкости
  13. Несобственные интегралы
  14. История определенного интеграла
  15. Определенный интеграл в математике
  16. Геометрический смысл интеграла
  17. Понятие определенного интеграла
  18. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
  19. Задача о нахождении площади криволинейной трапеции
  20. Задача об определении пройденного пути материальной точки
  21. Задача о нахождении объема продукции
  22. Основные свойства определенного интеграла
  23. Связь между определенным и неопределенным интегралами
  24. Формула Ньютона-Лейбница
  25. Методы вычисления определенного интеграла
  26. Непосредственное определенное интегрирование
  27. Вычисление интеграла методом подстановки
  28. Интегрирования по частям в определенном интеграле
  29. Длина дуги плоской кривой
  30. Вычисление площади геометрической фигуры
  31. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений
  32. Вычисление объема тела вращения
  33. Приближенное вычисление определенных интегралов
  34. Формула прямоугольников
  35. Формула трапеций
  36. Формула Симпсона

Определённый интеграл

Определенный интеграл – это число, а именно величина площади криволинейной трапеции. Неопределенный интеграл – это функция (точнее, семейство функций), которая является первообразной для интегрируемой функции.

Понятие определённого интеграла:

Пусть функция f(х) определена на промежутке Определенный интеграл Считаем для удобства, что функция f(х) на указанном промежутке неотъемлемая и Определенный интеграл Разобьём этот отрезок на n частей точками Определенный интеграл На каждом из отрезков Определенный интеграл возьмём произвольную точку Определенный интеграл и вычислим сумму:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл Эта сумма называется интегральной суммой функции f(х) на отрезке Определенный интеграл

Определенный интеграл

Геометрически (рис. 1) каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием Определенный интеграл и высотой Определенный интеграл, а вся сумма равна площади фигуры, которую получили соединением всех указанных выше прямоугольников.

Очевидно, при всех возможных разбиениях отрезка Определенный интеграл на части получим разные интегральные суммы, а значит и разные ступенчатые фигуры.

Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего отрезка  Определенный интеграл стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, независимым ни от способа, которым выбираются точки деления Определенный интеграл ни от того, как выбираются промежуточные точкиОпределенный интеграл

Это предел и называют определённым интегралом для функции f(х) на отрезке Определенный интеграл

Определённым интегралом для функции f(х) на отрезке Определенный интеграл называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины большего частичного промежутка. Он обозначается Определенный интеграл и читается «интеграл от Определенный интеграл до b от функции f(х) по dx», или сокращённо «интеграл от Определенный интеграл до b от f(х)dx».

По определению Определенный интеграл

Число Определенный интеграл называется нижней границей интегрирования; число b — верхней границей; отрезок Определенный интеграл — отрезком интегрирования.

Отметим, что любая непрерывная на промежутке Определенный интеграл функция f(х) имеет определённый интеграл на этом отрезке.

Геометрическое содержание определённого интеграла

Если интегрированная на отрезке Определенный интеграл функция f(х) неотъемлемая, то определённый интеграл Определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции Определенный интегралABb (рис. 1).

Уточним, что криволинейную трапецией называют фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции у=f(х), где Определенный интеграл, прямыми х=Определенный интеграл, х=b и осью ОХ.

Следовательно, геометрическое содержание определённого интеграла — это площадь криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию CHKD (см. рис. 2), в которой абсцисса точки С равна х, а точки Определенный интеграл. График функции у=f(х) пересекает ось OY в точке А. Тогда площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности площади криволинейных трапеций OAKD и OAHC.

Определенный интеграл

Поскольку площадь криволинейной трапеции ОАНС зависит от х, то её можно изобразить символом S(х). Аналогично, площадь криволинейной трапеции CHKD является функцией от Определенный интеграл и её можно обозначить Определенный интеграл. Поэтому площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности Определенный интеграл и S(х) и обозначается символом Определенный интеграл

Построим два прямоугольника CHED и CMKD. Площадь первого равна Определенный интегралПоскольку площадь криволинейной трапеции CHKD не меньшая площадь прямоугольника  CHED и не большая площади прямоугольника CMKD, то можно записать неравенство:

Определенный интеграл

Разделим обе части этого неравенства на Определенный интеграл и найдём пределы выражений при Определенный интеграл

Определенный интеграл

Вспомним, что Определенный интеграл и учитывая непрерывность функции f(х), 

Определенный интеграл

получим:

Определенный интеграл

отсюда

Определенный интеграл,

то есть производная площади криволинейной трапеции равна функции, которая задаёт верхнюю границу трапеции.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции является одной из первичных функций, которая задаёт верхнюю границу трапеции, и может быть вычислена с помощью интегрирования.

Определенный интеграл

Последнее равенство верно для всех х с промежутка Определенный интеграл. Подставим вместо х число Определенный интеграл. Получим Определенный интеграл. Но S(Определенный интеграл)=0, ведь криволинейная трапеция преобразуется в отрезок, поэтому Определенный интеграл Таким образом,

Определенный интеграл

При х=b получим выражение для вычисления площади криволинейной трапеции

Определенный интеграл

Полученное выражение для вычисления S является приростом первичной F(х) на Определенный интеграл. Поскольку первичные отличаются только на постоянную, то очевидно, что все они будут иметь одинаковый прирост на промежутке Определенный интеграл. Отсюда выходит ещё одно определение определённого интеграла:

определённым интегралом называют прирост произвольной первичной при изменении аргумента от Определенный интеграл до b.

Данное определение записывают в виде формулы Ньютона-Лейбница:

 Определенный интеграл

где F(х) — первичная для функции f(х).

Основные свойства определённого интеграла

Все ниже приведённые свойства сформулированы в предположении, что данные функции интегрированы на определённых промежутках.

1. Определённый интеграл с одинаковыми границами интегрирования равен нулю:

Определенный интеграл

2. При перестановке границ интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:

Определенный интеграл

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

Определенный интегралгде Определенный интеграл

4. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла:

Определенный интеграл

5. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме определённых интегралов от функции, сто доказываются:

Определенный интеграл

Доказательство свойств базируется на формуле ньютона-Лейбница. Как пример, докажем свойство 3:

Определенный интегралОпределенный интеграл

что и требовалось доказать.

Данное свойство легко иллюстрировать графически (рис. 3).

Определенный интеграл

Определенный интеграл

илиОпределенный интеграл

На рис. 3 легко увидеть справедливость утверждения теоремы о среднем.

Теорема. Если функция f(х) непрерывна на промежутке Определенный интеграл, то существует точка с которая принадлежит данному промежутку, такая, что

Определенный интеграл

То есть, площадь криволинейной трапеции Определенный интеграл равна площади прямоугольника со сторонами f(с) и (b — Определенный интеграл).

Непосредственное вычисление определённого интеграла

Для вычисления определённого интеграла при условии существования первичной пользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

Определенный интеграл

По этой формуле виден порядок вычисления определённого интеграла:

1) найти неопределённый интеграл от данной функции;

2) в полученную первичную подставить на место аргумента сначала в верхнюю, а потом нижнюю границу интеграла;

3) найти прирост первично, то есть вычислить интеграл.

Пример 1: Вычислить интеграл:

Определенный интеграл

Решение: Использовав указанные правила, вычислим данный определённый интеграл:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Пример: Вычислить интеграл:

Определенный интеграл

Решение: Используем определение степени с дробным отрицательным показателем и вычислить определённый интеграл:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Пример 3: Вычислить интеграл:

Определенный интеграл

Решение: Интеграл от разности функций заменим разностью интегралов от каждой функции.

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Пример 4: Вычислить интеграл:

Определенный интеграл

Решение: Используем определения степени с дробным показателем, правило деления суммы на число и вычислить определённый интеграл от суммы:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Вычисление определённого интеграла методом подстановки

Вычисление определённого интеграла методом подстановки выполняется в такой последовательности:

1) ввести новую переменную;

2) найти дифференциал новой переменной;

3) найти новые границы определённого интеграла;

4) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную;

5) вычислить полученный интеграл.

Пример 5. Вычислить интеграл: Определенный интеграл

Решение: Сделаем замену Определенный интеграл тогда Определенный интеграл

Вычислим границы интегрирования для переменной t.

При х=0 получаем tн=8-0=8, при х=7 получим tb=8-7=1.

Выразим подынтегральное выражение через t и dt и перейдём к новым границам, получим:

Определенный интеграл

Пример 6. Вычислить интеграл: Определенный интеграл

Решение: Будем считать, что х3+2=t, тогда Определенный интеграл. Определим границу интегрирования для переменной t. При х=1, получим Определенный интеграл при х=2 получим Определенный интеграл

Выразим подынтегральное выражение через t и dt, затем перейдём к новым пределам, получим:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Пример 7. Вычислить интеграл: Определенный интеграл

Решение: Пусть Определенный интеграл тогда Определенный интеграл

Вычислим границы интегрирования для переменной t:

Определенный интеграл

Выразим подынтегральное выражение через t и dt, и перейдём к новым пределам, получим:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Пример 8. Вычислить интеграл: Определенный интеграл

Решение: Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

Определенный интеграл

Вычислим интеграл от разности функций, заменив его разностью определённых интегралов от каждой функции:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Вычисления определённого интеграла частями

Если функции Определенный интеграл и их производные Определенный интеграл непрерывны на промежутке Определенный интеграл, то формула интегрирования для определённого интеграла имеет вид:

Определенный интеграл.

Пример 9. Вычислить интеграл: Определенный интеграл

Решение:

Определенный интеграл

Ответ:Определенный интеграл

Пример 10. Вычислить интеграл: Определенный интеграл

Решение:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Ответ:Определенный интеграл

Приближённые методы вычисления определённых интегралов

В тех случаях, когда вычислить определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница невозможно или сложно, используют методы приближённого интегрирования. Все они основываются на простых геометрических построениях. Очевидно, что при достаточно малом отрезке Определенный интеграл площадь S криволинейной трапеции приближённо равна площади прямоугольника («левого» прямоугольника рис. 4а, и «правого» прямоугольника рис. 4б), трапеции (рис. 5) или параболы (рис. 6).

Определенный интеграл

Запишем следующие приближённые равенства:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Чтобы добиться большей точности при нахождении площади S, промежуток от Определенный интеграл разбивают на n равных частей (рис. 7) (при приближении параболами промежуток разбивают на 2n частей).

Определенный интеграл

Если для каждой из маленьких дуг использовать предыдущие приближения, то для всей площади S получим приближённое значение представленное в виде суммы площадей криволинейных трапеций:

Определенный интеграл

Первые две формулы носят названия формул «левых» и «правых» прямоугольников соответственно, третья — формулы трапеции, а последняя — формулы Симпсона.

Пример 11. Вычислить по формулам прямоугольников и трапеций Определенный интеграл при n=10.

Решение: Разделим отрезок [0; 1] на (n=10) заданное количество частей. Тогда составим таблицу значений подынтегральной функции в точках разбиения.

Определенный интеграл

По формуле «левых» прямоугольников имеем:

Определенный интеграл

По формуле «правых» прямоугольников имеем:

Определенный интеграл

По формуле трапеции получим:

Определенный интеграл

Для достижения большей точности число разбиений отрезка необходимо увеличить, например взять n=20.

Практическое применение определённого интеграла

С помощью определённого интеграла можно решать задачи физики, механики и т. д., которые тяжело или невозможно решить методами элементарной математики. Так, понятия определённого интервала используют при решении задач на вычисление площади фигур, работы переменной силы, давления на вертикальную поверхность, пути, пройденного телом и ряда других. Рассмотрим некоторые из них.

Вычисление площадей плоских фигур

Если фигура Ф является криволинейной трапецией, то её площадь Sф согласно геометрическому содержанию определённого интеграла равна:

Определенный интеграл

Если фигура Ф  не является криволинейной трапецией, то вычисления её площади сводится к одному из следующих случаев:

а) кривая у=f(х)<0 на Определенный интеграл,

Определенный интеграл

в этом случаи площадь можно вычислить по формуле:

Определенный интеграл

б) если f(х)= Определенный интеграл

Определенный интеграл

в этом случаи для нахождения площади фигуры находят точку с, как абсциссу точки перегиба графиков функций Определенный интеграл а площадь вычисляют по формуле:

 Определенный интеграл

в) если фигура ограничена двумя кривыми у=f1(х) и у=f2(х), (Определенный интегралОпределенный интеграл),

Определенный интеграл

в этом случаи площадь Sф находят по формуле:

Определенный интеграл

Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченную гиперболой ху=1, осью ОХ и прямыми х=1; х=е (рис. 11).

Определенный интеграл

Решение: Использовав формулу вычисления площади криволинейной трапеции, получаем:

Определенный интеграл

Ответ: S=1 кв. ед.

Пример 13. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у=х2 и у2=х (рис. 12).

Определенный интеграл

Решение: найдём пределы интегрирования, то есть абсциссы точек перегиба графиков функций у=х2 и у2=х. Для этого решим систему:

Определенный интеграл

Вычисление площади фигуры сводится к случаю в) Определенный интеграл поэтому

Определенный интеграл

Ответ: Sф = 1/3 кв. ед.

Пример 14. Вычислить площадь фигуры ограниченной параболами у=4-х2; у=х2-2х (рис. 13).

Определенный интеграл

Решение: Найдём границы интегрирования, то есть абсциссы точек перегиба графиков функций у=4-хи у=х2-2х. Для этого решим систему:

Определенный интеграл

Искомую площадь вычисляем по формуле

Определенный интеграл

Ответ: S=9 кв. ед.

Объём тела вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции Определенный интеграл, ограниченной непрерывной кривой у=f(х), (где Определенный интеграл),  отрезком Определенный интеграл оси ОХ и отрезками прямых Определенный интеграл и Определенный интеграл (рис. 14), вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

Пример 15. Вычислить объём шара радиусом R (рис. 15).

Решение: Шар образован вращением вокруг оси ОХ круга, ограниченного кругом х22=R2 с центром в начале координат и радиусом R.

Определенный интеграл

Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, сначала найдём половину искомого объёма:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл (куб. ед.).

Путь, пройденный точкой

Если точка движется прямолинейно и её скорость Определенный интеграл является известной функцией времени, то путь, который прошла точка за промежуток времени Определенный интеграл, вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

Пример 16. Тело движется прямолинейно со скоростью Определенный интеграл Найти путь, пройденный телом за 10 с.

Решение: Используя формулу находим:

Определенный интеграл.

Ответ: S = 250 (м).

Пример 17. Скорость тела, которое движется прямолинейно равна Определенный интеграл Определенный интеграл Вычислить путь, который прошло тело от начала движения до остановки.

Решение: В момент остановки скорость тела равна нулю, то есть

Определенный интеграл

Следовательно, тело остановится через 4 с.

Путь, который прошло тело за это время, вычисляем по формуле:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Работа силы.

Если переменная силы F=F(x) действует в направлении оси ОХ, то работа силы на отрезке Определенный интеграл вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

Пример 18. Вычислить работу силы, которая необходима при сжимании пружины на 0,08 м., если для сжимания её на 1 см., необходима сила 10Н.

Решение: Согласно закона Гука, сила F, которая растягивает или сжимает пружину на х метров, равна F=kх, где k — коэффициент пропорциональности.

Следовательно, 10=k*0.01, то есть k=1000, отсюда F=kx=1000x.

Искомую работу находим по формуле:

Определенный интеграл

Ответ: А= 3,2 (Дж).

Пример 19. Сила 196,2Н растягивает пружины на 18 см. Какую работу она выполняет?

Решение: Согласно закона Гука F=kx, отсюда Определенный интеграл F = 1090х. Находим искомую работу:

Определенный интеграл

Ответ: А=17,7 (Дж).

Пример 20. Для сжатия пружины на 3 см. необходимо выполнить работу в 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, выполнив работу в 144 Дж.?

Решение: Согласно закона Гука, F=kx; тогда

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Ответ: Пружину можно сжать на 9 см.

Сила давления жидкости

Сила давления Р жидкости плотностью р на вертикальную пластину, погружённую в жидкость, вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

Где Определенный интеграл ускорение свободного падения, S — площадь пластинки, а глубина погружения пластинки меняется от a до b.

Пример 21. Вычислить силу давления воды на одну из стенок аквариума, длиною 30 см. и высотою 20 см.

Решение: Стенка аквариума имеет форму прямоугольника, поэтому S=0,3х, где Определенный интеграл. Плотность воды равна 1000 кг/м3. Тогда сила давления воды на стенку аквариума, вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

Ответ: Р=58,86 (Н).

Пример 22. Вычислить силу давления бензина на стенки цилиндрического бака высотой 3 м. и радиусом 1 м. 

Решение: Площадь поверхности стенки цилиндрического бака Определенный интеграл, где Определенный интеграл. Плотность бензина — 800 кг/м3. Тогда сила давления бензина на стенки бака будет:

Определенный интеграл

Ответ: Р= 2,2*105 (Н).

Пример 23. Вычислить давление воды на погружённую в неё вертикальную треугольную пластину, с основанием 6 м. и высотой 2 м., считая, что вершина треугольника лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей (рис. 16).

Определенный интеграл

Решение: Пусть NM — ширина пластины на уровне BE=х. Из схожих треугольников ABC и MBN, находим

Определенный интеграл

Использовав формулу получаем:

Определенный интеграл

Ответ: Р = 78480 (Н).

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными границами интегрирования или от функций, которые имеют бесконечный разрыв называют несобственными.

Несобственные интегралы с бесконечными границами интегрирования определяют следующим образом:

Определенный интеграл

где с — произвольное действительное число.

Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами также вычисляют через предельный переход.

Если функция разрывная на одном конце отрезка интегрирования, например, в точке х=b, то

Определенный интеграл

если же функция f(х) имеет безграничный разрыв в точке х=с, где Определенный интеграл и непрерывна во всех других точках этого промежутка, то

Определенный интеграл

Если приведённые выше пределы существуют для конкретного интеграла, то его называют сходящимся, если же предела не существует — расходящимся.

Поскольку вычисление пределов — трудоёмкая работа, то иногда для вычисления схожести несобственного интеграла можно воспользоваться признаком схожести:

Признак схожести: Пусть Определенный интеграл Тогда, если Определенный интеграл сходящийся, то и Определенный интеграл будет сходящимся.

Геометрически, в прямоугольной системе координат, несобственный интеграл — это площадь криволинейной трапеции с бесконечной основой либо «незакрытой» сверху.

Определенный интеграл

Пример 1: Вычислить интеграл Определенный интеграл

Решение: Это несобственный интеграл с верхней границей равной Определенный интеграл. Согласно определения

Определенный интеграл

Следовательно, интеграл сходящийся.

Пример 2: Вычислить интеграл Определенный интеграл

Решение: Это несобственный интеграл, так как функция Определенный интеграл неопределённая в точке х=0 и Определенный интеграл. Согласно определениям

Определенный интеграл

Вычислим Определенный интеграл частями:

Определенный интеграл

Ответ:Определенный интеграл

История определенного интеграла

Интегральный расчет получен в результате определения площади и объема. Эмпирически обнаруженные правила измерения площади и объема некоторых простейших фигур были известны древним восточным ученым. Уже в 2000 году до нашей эры. Египтяне и вавилоняне, в частности, знали правила расчета площади круга и расчета объема усеченной пирамиды на основе квадрата. Древнегреческая наука значительно продвинула расчет площади и объема различных фигур. Особенно значительный вклад внес Архимед. Архимед обнаружил множество человеческих территорий и значительное количество объемов тела, основываясь на идее, что плоская фигура состоит из бесчисленных прямых линий, а геометрическое тело состоит из бесчисленных параллельных плоских частей.

Архимед (287-212 до н.э.) — древнегреческий математик, физик, астроном и изобретатель. Родился в Сиракуз (Сицилия) и жил во времена Первой и Второй Поенских войн. Архимед является автором многих технических изобретений. Ирригационные машины с нулевой точкой, подъемные механизмы (винты Архимеда), рычажные системы, блоки для подъема тяжелых предметов, военные метательные машины. Его метательная машина заставила римлян отказаться от попыток совершить набег на город и заставить их пойти на осаду.

Математические исследования Архимеда намного опередили свое время и были правильно оценены только в эпоху исчисления. Архимед вычислил площадь эллипса, параболы и осколков из сегментов и нашел площадь поверхности и шара, сегмент шара и сферы, а также объем различных вращающихся тел и их сегментов. Он также относится к понятию центра тяжести тела, находит положение центра тяжести различных людей и тел и дает математический вывод закона биений. Архимед, как сообщается, находит решение проблемы определения количества золота и серебра в короне жертвоприношения короля Сиракузы Иерона во время омовения и крика «Эврика!» Его величайшим достижением в астрономии было создание планетария — полой вращающейся сферы, которая могла наблюдать Солнце и пять планет, фазы Луны, а также движение Солнца и лунное затмение.

Архимед был убит римским солдатом во время захвата Сиракузы. Согласно легенде, он сталкивался со словами «Не трогай мою фотографию». На могиле Архимеда был установлен памятник с изображением шара и цилиндра вокруг него. Надпись показала, что эти объемы тела i, i называются двумя.

Систематическое развитие подобные представления получили значительно позже — лишь в Определенный интеграл веке.

Теорема Архимеда о том, что площадь круга равна площади треугольника с основанием, равным окружности, и высотой, равной радиусу, I. Площадь круга состоит из бесконечного числа треугольников, которые в совокупности равны одинаковой высоте, радиусу и треугольнику, основание которого равно сумме всех оснований, окружности.

Кеплер (Kepler) Йохан (1571-1630) — немецкий астроном и математик. Родился в Вайль-дер-Штадт (Вюртемберг, Германия). Обрабатывая наблюдения датского астронома Г. Врага, он установил три закона движения планет. Он изложил теорию солнечных и лунных затмений, их причины и методы прогнозирования. Изобрел самый легкий телескоп. Это до сих пор называют его именем. Он нашел 92 вращающихся тела как оригинальный метод интеграции.

Используя такие рассуждения, Кеплер нашел объем многих новых революционных тел. Закон Кеплера, известный в астрономии, также был фактически получен с использованием приближенного интегрирования.

Удивительно остроумный трюк Архимеда. Но Кеплер и другие ученые не были строгими, и, самое главное, в принципе, они обладали свойством геометрического преобразования.

Кавальер и, Торричелли, Ферма, Паскаль и другие ученые Определенный интеграл века еще больше приблизились к современным представлениям об интеграле. Барроу установил связь между задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. А И. Ньютон и Г. Лейбниц независимо друг от друга в 70-х годах Определенный интеграл века отделили эту связь от упомянутых частных геометрических задач и создали алгоритмы дифференциального и интегрального исчислений.

И. Ньютон открыл взаимность операций дифференциации и интеграции. Он отметил, что все задачи нового анализа сводятся к двум взаимно противоположным задачам, которые можно сформулировать с точки зрения механики: 1) Использование известного пути к скорости в определенный момент 2) определите путь, пройденный в конкретное время по известной скорости движения. В данном случае «время» понималось просто как общее обсуждение всех переменных. Он также вводит понятие дифференциации. И. Ньютон намечает программу построения анализа на основе учения о пределе, не давая впрочем формального определения этого понятия, получившего глубокое развитие в математике Определенный интегралвека.

Г. Лейбниц использует нотацию для выражения определенных различных способов вычисления площадей и получения касательных в единую систему взаимосвязанных аналитических концепций и для бесконечного отслеживания действий определенных алгоритмов. Это может быть выполнено. Кроме того, различие в основном понималось как небольшая разница между двумя смежными значениями величины (поэтому символ Определенный интеграл-первая буква латинского слова Определенный интеграл (дифференция) — разница и отношение производной к производной) кривой считалась многоугольником с бесконечно большой бесконечно малой стороной, касательной в виде прямой линии, следующей за одной из таких сторон. Г. Лейбниц ввел понятие интегрирования как сумму бесконечного числа производных. Следовательно, Г. Основной концепцией анализа Лейбница была дифференциация как дифференциал и интеграция как сумма.

Дальнейшее развитие методы интегрирования получили в Определенный интеграл и Определенный интегралвеках. В Определенный интеграл веке в работах Л. Эйлера были найдены практически все известные в настоящее время приемы интегрирования в элементарных функциях. В Определенный интегралвеке О. Коши он аналитически доказал существование интегралов от непрерывных функций, реконструированных производных и интегральных вычислений и построил концепцию пределов функций в качестве основы для них.

Дальнейшее обобщение концепции интеграции связано с немецким ученым Б. Риманом и французским ученым А. Лебегом.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Определенный интеграл в математике

Пусть на отрезке Определенный интеграл задана функция Определенный интеграл Проделаем следующие 5 операций над отрезком Определенный интеграл и функцией Определенный интеграл

1. Раздробим отрезок Определенный интеграл на Определенный интеграл частей при помощи точек Определенный интеграл где

Определенный интеграл

Для единообразия обозначений положим еще Определенный интеграл Наибольшую из разностей Определенный интеграл где Определенный интеграл мы обозначим через Определенный интеграл. Эта величина, характеризующая, насколько мелко раздроблен отрезок Определенный интеграл

называется рангом произведенного дробления.

2. На каждом отрезке Определенный интеграл выберем по точке Определенный интеграл и вычислим значение Определенный интеграл нашей функции Определенный интеграл в этой точке.

3. Умножим Определенный интеграл на длину Определенный интеграл отрезка Определенный интеграл

4. Сложим все полученные произведения, т. е. составим сумму

Определенный интеграл

Эта сумма носит название интегральной суммы или суммы Римана (по имени немецкого математика 19-го века, изучавшего такие суммы).

5. Будем измельчать произведенное дробление, заставляя Определенный интеграл стремиться к нулю. Во многих случаях при этом измельчении сумма Римана будет стремиться к некоторому конечному пределу Определенный интеграл не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления Определенный интеграл ни от того, как выбираются промежуточные точки Определенный интеграл

Этот предел

Определенный интеграл

и называется определенным интегралом от функции Определенный интеграл по промежутку Определенный интеграл Он обозначается символом

Определенный интеграл

Числа Определенный интеграл называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок Определенный интеграл — промежутком интегрирования. Таким образом Определенный интеграл есть конечный предел суммы Римана при стремлении к нулю ранга дробления, порождающего эту сумму

Определенный интеграл

Так как определенный интеграл есть предел некоторой переменной величины, а вовсе не всякая переменная имеет предел, то не у всякой функции существует определенный интеграл. Однако справедлива важная

Теорема. Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл то интеграл

Определенный интеграл

существует.

Эту теорему мы примем без доказательства. В дальнейшем будут рассматриваться, главным образом, функции непрерывные, хотя справедлива и более общая

Теорема. Интеграл Определенный интеграл существует, если Определенный интеграл кусочно непрерывна.

Понятие .кусочно непрерывной* функции легко разъяснить на простом примере. Пусть Определенный интеграл функция Определенный интеграл задана и непрерывна на Определенный интеграл а функция Определенный интеграл на Определенный интеграл Тогда функция Определенный интеграл совпадающая с Определенный интеграл при Определенный интеграл и Определенный интеграл при Определенный интеграл (чему равно Определенный интеграл безразлично), как бы состоит из двух непрерывных кусков (рис. 199). Такая функция и называется .кусочно непрерывной*. Она может состоять и из нескольких непрерывных кусков. Все же, если не будет оговорено противное, подынтегральные функции будут предполагаться непрерывными.

Определенный интеграл

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Геометрический смысл интеграла

Пусть Определенный интеграл — положительная непрерывная функция, заданная на отрезке Определенный интеграл

Заметим, что дробление, т. е. набор точек деленияОпределенный интеграл не полностью определяет сумму Определенный интеграл Для задания Определенный интеграл нужно указать еще промежуточные

точки Определенный интеграл

Рассмотрим (рис. 200) фигуру, ограниченную снизу осью Определенный интеграл сверху линией Определенный интеграл (т. е. графиком нашей функции), а с боков прямыми Определенный интеграл Определенный интеграл Если бы линия Определенный интеграл

была прямой, то наша фигура представила бы собой обыкновенную трапецию. В общем же случае эта фигура называется криволинейной трапецией.

Найдем площадь Определенный интеграл этой криволинейной трапеции. Для этого разложим отрезок Определенный интеграл на Определенный интеграл малых отрезков точками

Определенный интеграл

Если через точки деления провести прямые Определенный интеграл то они разрежут нашу криволинейную трапецию (рис. 201) на Определенный интеграл узких полосок. Каждую из этих полосок можно приближенно принять за прямоугольник. В самом деле, если бы функция Определенный интеграл в пределах отрезка Определенный интеграл была постоянной, то полоска, имеющая своим основанием этот отрезок, и в самом деле была бы прямоугольником. В действительности Определенный интеграл не будет постоянной на Определенный интеграл но благодаря своей

Определенный интеграл

непрерывности эта функция не успевает заметно измениться на Определенный интеграл если только этот отрезок весьма мал. Иными словами, Определенный интеграл почти постоянна на отрезках Определенный интеграл когда эти отрезки малы, а это и значит, что упомянутые полоски почти являются прямоугольниками (один такой прямоугольник заштрихован на рис. 201). Принимая за значение Определенный интеграл на всем Определенный интеграл ее значение в какой-нибудь точке Определенный интеграл этого отрезка (выбор этой точки безразличен, поскольку речь все равно идет о приближенном подсчете, а все точки отрезка Определенный интеграл равноправны), получаем, что высотой прямоугольника, за который мы принимаем нашу полоску, будет Определенный интеграл

Поскольку длина основания этого прямоугольника, очевидно, равна Определенный интеграл то площадь одной полоски приближенно равна произведению Определенный интеграл Отсюда для интересующей нас площади Определенный интеграл всей криволинейной трапеции получается приближенное равенство

Определенный интеграл

Из самого вывода ясно, что точность этого равенства тем выше, чем меньше отрезки Определенный интеграл т. е. чем меньше ранг дробления Определенный интеграл Но тогда точное значение площади Определенный интеграл будет пределом написанной суммы при Определенный интеграл

Определенный интеграл

Поскольку, однако, сумма (8) является суммой Римана, то по самому

Определенный интеграл

определению ее пределом при Определенный интеграл

служит интеграл

Определенный интеграл

Таким образом мы приходим к формуле

Определенный интеграл

Читая ее справа налево, выясняем

Геометрический смысл интеграла.

Если Определенный интеграл

непрерывна и положительна на Определенный интеграл то интеграл Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями

Определенный интеграл

Интеграция может быть использована для поиска областей, объемов, центральных точек и многих полезных вещей. Но это часто используется, чтобы найти область под графиком функции

Определенный интеграл

Примеры с решением

Пример 1:

Найти Определенный интеграл

Решение:

Фигура, ограниченная линиями Определенный интеграл Определенный интеграл (рис. 202), есть обыкновенная трапеция. Ее площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

Определенный интеграл

откуда

Определенный интеграл

Пример 2:

Найти Определенный интеграл

Решение:

Линия Определенный интеграл есть расположенная выше Определенный интеграл половина окружности Определенный интегралТа часть линии, которая получается при изменении Определенный интеграл лежит в 1-м координатном угле. Отсюда ясно, что фигура, ограниченная линиями Определенный интеграл является (рис. 203) четвертью круга с центром в начале координат и радиусом Определенный интеграл Площадь этой фигуры равна Определенный интеграл откуда

Определенный интеграл

Сейчас мы еще не научились вычислять определенные интегралы, я в этих примерах нам пришлось прибегнуть к помощи геометрии. В дальнейшем, наоборот, с помощью интегрального исчисления мы сможем вычислять площади различных криволинейных фигур *).

Два простейших свойства интеграла. Когда мы занимались неопределенными интегралами, то отмечали, что

Определенный интеграл

Таким образом, в записи подынтегральной функции и в записи результата интегрирования независимая переменная обозначалась одной и той же буквой. Стало быть, обозначение этой независимой переменной, которую называют переменной интегрирования, оказывалось существенным .

Это становится ясным, если мы вспомним хотя бы, как вычисляетсяинтеграл Определенный интеграл Ведь его надо записать сначала в виде Определенный интеграл а затем в виде Определенный интеграл Значит, Определенный интегралОпределенный интеграл Таким образом, нам совсем не безразлично, написать ли Определенный интеграл (что верно) или Определенный интеграл (что уже неверно!).

I. Обозначение переменной интегрирования в определенном интеграле никакой роли не играет

Определенный интеграл

Читатель сразу поймет это, если задаст себе вопрос: который из двух интегралов Определенный интеграл

Больше? Ясно, что они одинаковы! Более отчетливо мы разберемся в этом, если заметим, что для вычисления любого из интегралов мы должны разбить отрезок [3, 5] на мелкие части, в каждой части выбрать по точке и вычислить в ней значение подынтегральной функции (а она в обоих интегралах одна и та же: удвоенный куб аргумента, сложенный с самим аргументом) и т. д. Иными словами все вычисления в обоих случаях будут тождественными. Также обстоит дело и в более общем случае интегралов чем и доказано формулированное свойство Определенный интеграл чем и доказано формулированное свойство I определенного интеграла.

Переходя к другому важному его свойству, заметим, что в выражении

Определенный интеграл

мы предполагали Определенный интеграл Что же следует понимать под символом

Определенный интеграл

На этот вопрос легко ответить, если вспомнить геометрический смысл интеграла. В нашем случае боковые стороны криволинейной трапеции Определенный интеграл сливаются в одну прямую Определенный интеграли трапеция вырождается в прямолинейный отрезок (рис. 204). Площадь этого отрезка равна нулю, а потому и

Определенный интеграл

т.е.

Определенный интеграл с совпадающими пределами интегрирования равен нулю.

Например,

Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла

Рассмотрим непрерывную функцию Определенный интеграл не принимающую отрицательных значений, так что график ее целиком лежит выше оси Определенный интеграл в некоторых точках. Пусть Определенный интеграл такие числа, что функция определена при Определенный интеграл Кривая Определенный интеграл и прямые Определенный интегралограничивают некоторую область плоскости, называемую областью под кривой Определенный интеграл от Определенный интеграл

или криволинейной трапецией.

Если требуется вычислить площадь Определенный интеграл криволинейной трапеции, то можно, например, покрыть плоскость сетью мелких квадратов и сосчитать число квадратов, лежащих внутри нашей области (рис. 12.1). Это не дает еще всей площади, поскольку некоторые из квадратов лежат частично внутри, а частично вне рассматриваемой области. Но если сделать сеть достаточно густой. то можно вычислить Определенный интеграл с любой степенью точности.

Можно вычислить площадь криволинейной трапеции и с помощью тонких прямоугольников. Лейбниц считал, что криволинейная трапеция составлена из бесконечно тонких прямоугольников (рис. 12.2). Каждый такой прямоугольник поднимается над точкой Определенный интегралинтервала Определенный интеграл он имеет высоту Определенный интеграл и бесконечно

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Малую ширину Определенный интеграл площадь ого равна, следовательно, Определенный интеграл Общая же площадь Определенный интеграл есть сумма всех таких площадей.

Напомним, Лейбниц писал Определенный интеграл Символ Определенный интеграл означал у него сумму. Этот символ происходит от удлинения буквы Определенный интеграл

(первой буква слова Summa). Погаже ученик Лейбница Иоган Вернул-ли предложил отличат!» «целостную сумму бесконечно малых» от обычной суммы и предложил знак именовать интегралом от латинского слова integrals (целостный). Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, предложив явно указывать начальное и конечное значения Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рассуждения математиков XIX века носили нестрогий характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям. Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок.

Пусть функция Определенный интеграл неотрицательна на Определенный интеграл Разобьем отрезок Определенный интеграл на Определенный интеграл промежутков точками Определенный интеграл

Определенный интеграл

На каждом отрезке разбиения выберем точку Определенный интеграл и положим

Определенный интеграл

Тогда произведение Определенный интеграл равно площади прямоугольника Определенный интеграл ,-со сторонами Определенный интеграл

Сумма площадей всех таких прямоугольников равна сумме вида

Определенный интеграл

Эта сумма представляет площадь ступенчатой фигуры. Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции (рис. 12.2). Естественно ожидать, что при неограниченном возрастании числа промежутков, так что наибольшая из их длин стремится к нулю, сумма Определенный интеграл стремится к площади криволинейной трапеции Определенный интеграл

Введем теперь точное определение. Пусть на отрезке Определенный интеграл задана функция Определенный интеграл (теперь уже не обязательно неотрицательная). Разобьем отрезок Определенный интеграл на Определенный интеграл промежутков точками Определенный интеграл

Определенный интеграл

На каждом отрезке разбиения Определенный интеграл выберем точку Определенный интеграл и положим

Определенный интеграл

Сумму вида

Определенный интеграл

назовем интегральной суммой для функции Определенный интегралОчевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка Определенный интеграл точками Определенный интеграл так и от выбора точек Определенный интегралОпределенный интеграл на каждом из промежутков разбиения Определенный интегралОпределенный интеграл Обозначим через Определенный интеграл максимальную из длин отрезков Определенный интеграл где Определенный интеграл

Определение. Пусть предел интегральной суммы

Определенный интеграл

при стремлении Определенный интеграл к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек Определенный интеграл Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции Определенный интеграл на Определенный интеграл и обозначается

Определенный интеграл

а сама функция Определенный интеграл называется интегрируемой на отрезке Определенный интеграл т.е.

Определенный интеграл

Эта запись читается: «интеграл от а до бэ эф от икс дэ икс». При этом число Определенный интеграл называется нижним пределом, число Определенный интегралего верхним пределом («пределы интегрирования» не имеют ничего общего с термином «предел функции»); функция Определенный интеграл подынтегральной функцией, выражение Определенный интеграл подынтегральным выражением, а задача о нахождение Определенный интеграл интегрированием функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия. Неопределенный интеграл представляет функцию (а точнее семейство функций), а определенный интеграл — это число.

Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е. Определенный интеграл

Верхний предел Определенный интеграл может быть больше или меньше нижнего Определенный интеграл

В первом случае Определенный интеграл

Определенный интеграл Во втором случае

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Поэтому по определению полагают

Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла распространяют и на случай Определенный интеграл интеграл с равными пределами считается равным нулю:

Определенный интеграл

Это соглашение оправдано тем, что интегральная сумма стремится к нулю при сближении Определенный интеграл

Очевидно, если функция Определенный интеграл интегрируема на отрезке Определенный интеграл то она и ограничена на этом отрезке. В самом деле, если Определенный интеграл не ограничена на отрезке Определенный интеграл то она не ограничена на некотором отрезке Определенный интеграл За счет выбора точки Определенный интеграл

интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела, что противоречит определению, согласно которому предел интегральной суммы Определенный интеграл существует и конечен.

Покажем на примере функции Дирихле, что обратное утверждение неверно: существует ограниченная функция, не являющаяся интегрируемой. Напомним, что функция Дирихле равна единице в рациональных точках и нулю — в иррациональных. На любом отрезке Определенный интегралэта функция ограничена, но не является интегрируемой на нем. Действительно, если в каждом отрезке Определенный интеграл выбрать рациональную точку Определенный интеграл то интегральная сумма

Определенный интеграл

Если выбрать иррациональную точку Определенный интеграл то Определенный интеграл и

Определенный интеграл

Таким образом, с одной стороны Определенный интеграл а, с другой стороны Определенный интеграл

Поэтому предел интегральных сумм не существует и функция Дирихле не является интегрируемой.

Отметим без доказательств, что справедливы следующие утверждения:

1. Если функцияОпределенный интеграл интегрируема на отрезке Определенный интеграл то она интегрируема на любом отрезке Определенный интеграл содержащимся в Определенный интеграл

2. Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл то она интегрируема на этом отрезке.

3. Если функция Определенный интеграл имеет на отрезке Определенный интеграл конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на Определенный интеграл

Пример 3:

Вычислить Определенный интеграл

Решение. Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки Определенный интеграл разбиения имеют одинаковую длину Определенный интеграл равную Определенный интеграл где Определенный интеграл число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков , Определенный интеграл разбиения точка совпадает с правым концом этого отрезка, т.е Определенный интеграл где Определенный интеграл (В силу интегрируемости функции Определенный интеграл выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек , Определенный интеграл на отрезках разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы.) Тогда

Определенный интеграл

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна

Определенный интеграл

Следовательно,

Определенный интеграл

Анализ приведенного примера показывает, что успешное решение поставленной задачи оказалось возможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставалась задачей чрезвычайно сложной.

Пример 4:

Вычислить: Определенный интеграл

Решение:

а) Произвольная первообразная для функции Определенный интеграл имеет вид Определенный интеграл Для нахождения интеграла 3 по формуле Ньютона—Лейбница возьмем такую первообразную, у которой Определенный интеграл (см. замечание выше). Тогда

Определенный интеграл

что совпадает, конечно, с результатом, полученным в примере 11.1.

б) Первообразную подынтегральной функции найдем, используя формулу (10.9). Применяя формулу Ньютона—Лейбница, получаем При нахождении интеграла из примера 11.26 было использовано свойство приращения первообразной

Определенный интеграл

где-Определенный интеграл некоторое число.

Заметим,что введеное ранее определение (11.2) и его следствие (11.3) согласованы с формулой Ньютона-Лейбница. Действительно,

Определенный интеграл

и

Определенный интеграл

Таким образом, и при применении формулы Ньютона-Лейбница несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

Пример 5:

Вычислить Определенный интеграл

Решение:

Положим Определенный интеграл Тогда

Определенный интеграл Если Определенный интеграл то

Определенный интеграл Следовательно

Определенный интеграл

Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Пусть неотъемлемая функция Определенный интеграл определена и непрерывна на отрезке Определенный интеграл где Определенный интеграл и Определенный интеграл — конечные числа.            

Задача о нахождении площади криволинейной трапеции

Пусть плоская фигура ограничена графиком функции Определенный интеграл осью Определенный интеграл вертикальными прямыми Определенный интеграл Определенный интеграл (рис. 23.1). Эта геометрическая фигура называется криволинейной трапецией для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл    

Определенный интеграл

Рис. 23.1

Необходимо определить ее площадь.
Для решения задачи выполним следующее:

1) разобьем отрезок Определенный интеграл произвольно образом на Определенный интеграл частей точками:

Определенный интеграл

2) выберем на каждом из частичных отрезков Определенный интеграл произвольную точку Определенный интеграл

Длину частичного отрезка Определенный интеграл обозначим через Определенный интегралОпределенный интеграл

3) вычислим значение функции Определенный интеграл в точках Определенный интеграл и составим сумму произведений этих значений с длинами частичных отрезков:

Определенный интеграл

Сумма Определенный интеграл называется интегральной суммой для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл Геометрический смысл этой суммы очевиден — это сумма площадей прямоугольников с основами Определенный интеграл и высотами Определенный интеграл

4) найдем границу Определенный интеграл при условии, что Определенный интеграл и наибольшая (максимальная) длина частных отрезков Определенный интеграл стремится к нулю.

Если существует конечный предел интегральной суммы при условии, что Определенный интеграл при Определенный интеграл то ее принимают за числовое значение площади Определенный интеграл криволинейной трапеции для Определенный интеграл на Определенный интеграл

Определенный интеграл

Задача об определении пройденного пути материальной точки

Задача об определении пройденного пути материальной точки за промежуток времени от Определенный интеграл до Определенный интеграл Пусть скорость прямолинейного движения материальной точки задана как функция времени Определенный интеграл Необходимо найти путь, который пройдет точка за промежуток времени от Определенный интеграл до Определенный интеграл

Если скорость не изменяется в течение времени, то есть Определенный интеграл — постоянная величина, то путь Определенный интеграл пройденный точкой за промежуток времени Определенный интеграл вычисляется по формуле Определенный интеграл

При переменной скорости совершаем те же действия, что и в предыдущей задаче:

1) разобьем отрезок Определенный интеграл в Определенный интеграл частичных промежутков времени Определенный интеграл Определенный интеграл точками:

Определенный интеграл

2) выберем на каждом из частичных отрезков времени Определенный интеграл произвольную точку Определенный интеграл

3) вычислим значения скорости Определенный интеграл в точке Определенный интеграл то есть Определенный интеграл на каждом отрезке времени Определенный интеграл и определим путь Определенный интеграл пройденный точкой за промежуток времени Определенный интеграл как произведение Определенный интеграл тогда весь путь, пройденный за время Определенный интеграл приближенно определяется интегральной суммой Определенный интеграл для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл

Определенный интеграл

4) найдем границу интегральной суммы Определенный интеграл при Определенный интеграл и при Определенный интеграл

Если существует конечный предел интегральной суммы (при условии — Определенный интеграл при Определенный интеграл), то ее и принимают за числовое значение пути Определенный интеграл пройденного материальной точкой за промежуток времени Определенный интеграл

Определенный интеграл

Задача о нахождении объема продукции

Пусть функция Определенный интеграл описывает зависимость производительности труда Определенный интеграл некоторого производства от времени Определенный интеграл Необходимо найти объем продукции Определенный интеграл произведенной за промежуток времени Определенный интеграл

Если производительность не меняется в течение времени, то есть Определенный интеграл — постоянная величина, то объем продукции Определенный интеграл произведенной за промежуток времени Определенный интеграл вычисляется по формуле Определенный интеграл При переменной производительности труда, используя приближенную равенство Определенный интеграл где Определенный интеграл которая будет тем более точной, чем меньше будет Определенный интеграл выполним следующие действия:

1) разобьем отрезок Определенный интеграл на промежутки времени Определенный интеграл точками:

Определенный интеграл

2) выберем на каждом из отрезков Определенный интеграл произвольную точку Определенный интеграл

3) вычислим производительность труда в каждой точке Определенный интеграл то есть Определенный интеграл для каждого промежутка времени; определим объем продукции Определенный интеграл произведенной за время Определенный интеграл как произведение Определенный интеграл если на каждом промежутке времени Определенный интеграл считать производительность труда постоянной величиной; тогда полный объем продукции Определенный интеграл приближенно определяется как интегральная сумма для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл

Определенный интеграл

4) найдем границу Определенный интеграл если Определенный интеграл стремится к нулю и Определенный интеграл и получим объем продукции, произведенной за промежуток времени Определенный интеграл

Определенный интеграл

Следует отметить, что при решении этих трех различных задач, были выполнены одни и те же действия, и мы пришли к одному и тому же итоге — возникает необходимость определить границу интегральной суммы.

Если существует конечный предел интегральной суммы Определенный интеграл для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл найденная при условии, что Определенный интеграл при неограниченном возрастании числа точек разбиения Определенный интеграл которая не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек Определенный интеграл то эта граница называется определенным интегралом функции Определенный интеграл на отрезкеОпределенный интеграл и обозначается Определенный интеграл Следовательно,

Определенный интеграл

где Определенный интеграл — пределы интегрирования (Определенный интеграл — нижняя, Определенный интеграл — верхняя)

Определенный интеграл — подынтегральная функция;

Определенный интеграл — дифференциал переменной интегрирования;

Определенный интеграл — подынтегральное выражение.

Теорема 23.1 (о существовании определенного интеграла). Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл или ограничена на нем и имеет конечное число точек разрыва первого рода, то существует конечное предел интегральной суммы, и она не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек внутри них для составления интегральной суммы, то есть существует определенный интеграл от функции Определенный интеграл

Теорема существования определенного интеграла примем без доказательства.
Соответственно, функция Определенный интеграл для которой на отрезке Определенный интеграл существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.

Вернемся к первой из рассмотренных задач и приведем геометрический смысл определенного интеграла: если функция Определенный интеграл неотъемлемая на конечном отрезке Определенный интеграл где Определенный интеграл то определенный интеграл

Определенный интеграл

численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой Определенный интеграл отрезком Определенный интеграл и прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл

Основные свойства определенного интеграла

Поскольку по определению определенный интеграл является границей интегральной суммы, то доказательства его свойств базируется на свойствах границ с привлечением, для наглядности и лучшего понимания, геометрического содержания определенного интеграла.

1 (о интеграл с равными пределами интегрирования). Для любой интегрируемой функции Определенный интеграл определенный интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю:

Определенный интеграл

ведь криволинейная трапеция вырождается в вертикальный отрезок.

2 (об изменении знака). Если функция Определенный интеграл интегрируема наОпределенный интеграл то имеет место формула

Определенный интеграл

то есть, если поменять местами пределы интегрирования, то определенный интеграл изменит свой знак на противоположный.

Действительно, в интегральной сумме приросты Определенный интеграл меняют знак на противоположный.

3 (о стабильном множителе). Если функция Определенный интеграл интегрируема на Определенный интеграл то постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

Определенный интеграл

поскольку Определенный интеграл как общий множитель слагаемых интегральной суммы можно вынести за знак суммы и, соответственно, за знак границы.

4 (о определенном интеграле от суммы функций). Если функции Определенный интеграл и Определенный интеграл интегрируемые на Определенный интеграл то интеграл от их суммы или разности равна соответственно сумме или разности интегралов от этих функций:

Определенный интеграл

Справедливость (23.11) следует из того, что интегральную сумму левой части равенства можно представить в виде алгебраической суммы двух интегральных сумм:

Определенный интеграл

а по свойству границы суммы функций и получаем (23.11).

Свойство распространяется на любое конечное число слагаемых.

5 (о аддитивности). Если отрезок интегрирования разбит на две части, то определенный интеграл на Определенный интеграл равна сумме интегралов на этих частях:

Определенный интеграл

так как по геометрическим содержанием таком разбивке соответствуют две криволинейные трапеции, сумма площадей которых равна площади выходной трапеции.
Свойство распространяется на любое конечное число частей разбиения.

6 (о переходе к определенному интегралу в неровностях). Если на отрезке интегрирования Определенный интеграл значения функций Определенный интеграл и Определенный интеграл связанные неравенством Определенный интеграл то такой же, по знаку, неравенством связаны определенные интегралы от этих функций :

Определенный интеграл

Действительно, при одном и том же разбиении отрезка Определенный интеграл на части слагаемые интегральной суммы для Определенный интеграл и Определенный интеграл будут связаны тем же знаком неравенства, и те же функции, а предельный переход не изменит знака неравенства.

7 (о границах значений определенного интеграла). Если Определенный интеграл и Определенный интеграл — наибольшее и наименьшее значения функции Определенный интеграл то есть Определенный интеграл и Определенный интеграл то

Определенный интеграл

Если функция Определенный интеграл определена и непрерывна на отрезке Определенный интеграл то среди ее значений на этом отрезке существуют меньше Определенный интеграл и больше Определенный интеграл то есть Определенный интеграл (рис. 23.2). Тогда (23.14) можно рассматривать как следствие свойства (23.13), а именно:

Определенный интеграл

при этом

Определенный интеграл

тогда

Определенный интеграл

и свойство доказано.

Если доводить это свойство по геометрическим содержанием определенного интеграла (рис. 23.2), то площадь криволинейной трапеции, которая соответствует определенному интегралу, не может быть меньше (больше) за площадь прямоугольника с основанием Определенный интеграл высота которого, соответственно, наименьшим Определенный интеграл (крупнейшим Определенный интеграл) значением функции на Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 23.2

8 (теорема о среднем). Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл то на нем найдется такая точка Определенный интеграл что:

Определенный интеграл

Таких точек на промежутке Определенный интеграл может быть несколько.
Отношение определенного интеграла от функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл к длине отрезка интегрирования называется средним значением функции:

Определенный интеграл

С геометрической точки зрения теорема о среднем (рис. 23.3) означает, что площадь под кривой Определенный интеграл на отрезке интегрирования Определенный интеграл равна площади прямоугольника с высотой Определенный интеграл и основой Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 23.3

Связь между определенным и неопределенным интегралами

Если функция Определенный интеграл интегрируема на отрезке Определенный интеграл то она интегрируема и на отрезке Определенный интеграл где Определенный интеграл Интеграл от такой функции также является функцией от Определенный интеграл и называется интегралом с переменным верхним пределом интегрирования. Обозначим его через Определенный интеграл

Определенный интеграл

В этом выражении переменная интегрирования обозначена буквой Определенный интеграл чтобы отличить ее от верхней границы интегрирования. Численно функция Определенный интеграл равна площади криволинейной трапеции, основой которой является промежуток Определенный интеграл

Теорема 23.2. Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл то в каждой точке Определенный интеграл  производная от функции Определенный интеграл по переменным верхним пределом равна подынтегральной функции от верхней границы интегрирования, то есть:

Определенный интеграл

Доказательство. Для доказательства этой теоремы применим определение производной.
По условию функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл поэтому она непрерывна и на любом отрезке Определенный интеграл Предоставим аргумента Определенный интеграл прирост Определенный интеграл тогда и функция Определенный интеграл также получит некоторый прирост Определенный интеграл

Определенный интеграл

Последний интеграл было получено с помощью свойства 5 определенного интеграла. Поскольку

Определенный интеграл

то применяя на отрезке Определенный интеграл теорему о среднем (23.15), получим:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл

Переходя к пределу при Определенный интеграл а также ввиду того, что при этом Определенный интеграл и Определенный интеграл получим:

Определенный интеграл

Равенство Определенный интеграл значит, что функция Определенный интеграл является первоначальной для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл Следовательно, с теоремы 23.2 следует важное следствие: для всякой непрерывной на отрезке Определенный интеграл функции Определенный интеграл существуют первобытные на этом отрезке, одной из которых является определенный интеграл с переменным верхним пределом. Поэтому согласно определению неопределенного интеграла в семье первичных имеем:

Определенный интеграл

Формула (23.19) описывает связь между определенным и неопределенным интегралами: неопределенный интеграл является суммой определенного интеграла с переменным верхним пределом и произвольной действительной постоянной.

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 23.3 (основная формула интегрального исчисления). Если функция Определенный интеграл интегрируема на отрезке Определенный интеграл то определенный интеграл от Определенный интеграл Определенный интеграл является разницей значений любой из ее первоначальных функций Определенный интеграл в точках Определенный интеграл и Определенный интеграл

Определенный интеграл

Формула (23.20) для вычисления определенного интеграла называется формулой Ньютона-Лейбница

Доказательство основывается на соотношении (23.19), которое позволяет любую первоначальную функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл записать так: Определенный интегралОпределенный интеграл. Последнее равенство будет справедливой при соответствующем выборе постоянной Определенный интеграл для всех значений Определенный интеграл

Подставляя вместо Определенный интеграл поочередно Определенный интеграл и Определенный интеграл получаем (23.20):

Определенный интеграл

Отметим, что поскольку все первоначальные отличаются друг от друга только константой, то разница Определенный интеграл не зависит от выбора Определенный интеграл

Для обозначения прироста первоначальной на отрезке Определенный интеграл вводят символ двойной подстановки Определенный интеграл который удобно использовать при решении примеров:

Определенный интеграл

Заметим, что именно формула Ньютона-Лейбница отображает тесная связь между неопределенным и определенным интегралами. По этой формуле вычисления определенного интеграла сводится к двум шагов:

1) нахождение одной из первоначальных Определенный интеграл для Определенный интеграл на Определенный интеграл (по сути это нахождение неопределенного интеграла)
2) вычисление значений первоначальной в точках, соответствующих границам интегрирования и определение разницы между ее значениями на верхней и нижней границах.

Вычислим определенный интеграл: Определенный интеграл

Обычно шаги 1), 2) осуществляют одной цепочкой:

Определенный интеграл

Методы вычисления определенного интеграла

При вычислении определённых интегралов используются методы непосредственного интегрирования, замены переменной (подста-. новки) и интегрирования по частям. Непосредственное интегрирование предполагает сведение данного интеграла с помощью алгебраических и арифметических преобразований к формулам таблицы основных интегралов и использование формулы Ньютона-Лейбница.

Непосредственное определенное интегрирование

Поскольку вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница предполагает сначала взятия неопределенного интеграла, а затем выполнение арифметических действий, то это означает, что принципиальных различий в методах нахождения неопределенного и вычисления определенного интегралов нет, следовательно, непосредственное вычисление определенного интеграла предусматривает непосредственное неопределенное интегрирование (нахождение одной из первоначальных).

Вычислим интеграл Определенный интеграл

Определенный интеграл

Вычисление интеграла методом подстановки

Напомним, что существует два типа подстановок, которые используются при интегрировании с применением новой переменной: Определенный интеграл и Определенный интеграл

Пусть для определенности при вычислении интеграла Определенный интеграл проведения подстановкуОпределенный интеграл

Теорема 23.4 (о замене переменной в определенном интеграле). если:
1) функция Определенный интеграл и ее производная Определенный интеграл непрерывные на отрезке [, α β];
2) значение Определенный интеграл в точках Определенный интеграл и Определенный интеграл такие, что Определенный интеграл и Определенный интеграл
3) составлена функция Определенный интеграл непрерывна на Определенный интеграл то

то сравнивая результаты интегрирования по переменным Определенный интеграл и Определенный интеграл получаем справедливость (23.22).

Подстановка Определенный интеграл в случае существования обратной к Определенный интеграл функции сводится к рассматриваемой: Определенный интеграл

Отметим, что при вычислении определенного интеграла методом подстановки нет необходимости возвращаться к исходной переменной, вместо этого нужно находить пределы интегрирования по новой переменной.

Вычислим определенные интегралы:

Определенный интеграл

Интегрирования по частям в определенном интеграле

Рассмотрим случай, когда при вычислении определенного интеграла нахождения первоначальной требует применения интегрирования по частям.

Теорема 23.5 (формула интегрирования по частям для определенного интеграла). Если в определенном интеграле Определенный интеграл подынтегральное выражение представлен в виде произведения Определенный интеграл где Определенный интеграл и Определенный интеграл — дифференцируемы на отрезке Определенный интеграл функции, то выполняется соотношение:

Определенный интеграл

Доказательство. Поскольку

Определенный интеграл

то

Определенный интеграл

Применяя к левой части последнего равенства формулу Ньютона-Лейбница, а также учитывая, что Определенный интеграл а vОпределенный интеграл d ¢ x d = v, получим

Определенный интеграл

отсюда окончательно имеем:

Определенный интеграл

Теорема доказана.

Соотношение (23.23) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Если пределы интегрирования симметричны относительно нуля, то для упрощения вычислений целесообразно учитывать четности и нечетности подынтегральной функции.

Так, если Определенный интеграл — четная функция, то

Определенный интеграл

а если Определенный интеграл — нечетная функция, то

Это легко обосновать, опираясь на формулу Ньютона-Лейбница.
Вычислим определенные интегралы:

Определенный интеграл

Подынтегральная функция является четной, то есть Определенный интеграл поэтому

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Применение определенного интеграла в некоторых геометрических и экономических задачах

Длина дуги плоской кривой

Пусть функция Определенный интеграл является непрерывной и дифференцируемой на отрезке Определенный интеграл Найдем на этом отрезке длину линии, соответствующей графику данной функции.

Разобьем отрезок Определенный интеграл произвольным образом на Определенный интеграл частей точками разделения Определенный интеграл и впишем в дугу кривой ломаную линию (рис. 24.1) . Длиной дуги называется предел длины вписанной ломаной линии при неограниченном уменьшении длин ее звеньев.

Определенный интеграл

Рис. 24.1

Пусть абсциссами вершин ломаной линии имеет значение Определенный интеграл Тогда длина одного звена ломаной согласно теореме Пифагора определяется формулой:

Определенный интегралгде Определенный интеграл

Отсюда

Определенный интеграл

На каждом частичном отрезке Определенный интеграл функция Определенный интеграл удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка Определенный интеграл такая, что

Определенный интеграл

Тогда

Определенный интеграл

Длина Определенный интеграл всей ломаной линии определяется как сумма длин ее звеньев: Определенный интегралОпределенный интеграл и представляет собой интегральную сумму для сложной функцииОпределенный интеграл

Следовательно, длина дуги кривой, соответствующей графику функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл составляет:

Определенный интеграл

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме

Определенный интеграл

то длина дуги такой кривой определяется формулой:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл и Определенный интеграл — значение параметра Определенный интеграл соответствующие концам дуги.

Наряду с хорошо известной декартовой системой координат Определенный интеграл в которой каждой точке плоскости соответствует пара чисел Определенный интеграл — проекций точки на координатные оси, пользуются также полярной системой координат.
Зафиксируем на плоскости некоторую точку Определенный интегралполюс — и луч Определенный интегралполярную ось. Выберем произвольным образом отличную от полюса точку Определенный интеграл (рис. 24.2).

Расстояние Определенный интеграл от полюса Определенный интеграл до точки Определенный интеграл называется полярным радиусом точки Определенный интеграл

Угол наклона Определенный интеграл полярного радиуса к полярной оси называется полярным углом точки Определенный интеграл В точке Определенный интеграл полярный угол определен.

Числа Определенный интеграл и Определенный интеграл называются полярными координатами точки Определенный интеграл, и пишут: Определенный интеграл илиОпределенный интеграл
Полюс Определенный интеграл полярная ось Определенный интеграл и масштабный (единичный) отрезок Определенный интеграл определяют полярную систему координат Определенный интеграл

Полярный угол определяется неоднозначно: при заданном Определенный интеграл точки с координатами Определенный интеграл где Определенный интеграл совпадают. Обычно значение Определенный интеграл берут из промежутка Определенный интеграл или Определенный интеграл и называют их главными значениями полярного угла.

Уравнения Определенный интеграл является уравнением линии Определенный интеграл в полярных координатах, если координаты любой точки Определенный интеграл на линии удовлетворяют его, и наоборот, если пара чисел Определенный интеграл удовлетворяет уравнению, то Определенный интеграл и Определенный интеграл являются координатами точки, принадлежащей линии:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл — закон, который отображает свойство точек линии, Определенный интеграл и Определенный интегралтекущие координаты точек линии.

Связь между координатами точки в полярной Определенный интеграл и декартовой Определенный интеграл (рис. 24.3) системах координат легко устанавливается, если полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось лежит на оси абсцисс, и масштаб систем одинаков.

Определенный интеграл

Рис. 24.3

С Определенный интеграл получаем формулы перехода от декартовых к полярным координатам:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл или Определенный интеграл

Если дуга задается уравнением в полярных координатах:

Определенный интеграл

то по формулам (24.2) и (24.4) определяем:

Определенный интеграл

Следовательно, длину дуги в полярных координатах находим по формуле:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл и Определенный интеграл — значение полярного угла, соответствующие концам дуги.

Вычислить длину дуги кривой Определенный интеграл

Сначала надо установить пределы интегрирования. для этого найдем область определения данной функции, решив систему неравенств:

Определенный интеграл

Далее находим производную функции Определенный интеграл

Определенный интеграл

следовательно,

Определенный интеграл

По формуле (24.1) имеем:

Определенный интеграл

Рассмотрим пример нахождения длины дуги, если кривая заданная параметрически. Система уравнений

Определенный интеграл

определяет линию, которая называется астроидом (рис. 24.4). Найдем ее длину.

Определенный интеграл

Рис. 24.4

Кривая симметрична относительно осей Определенный интеграл и Определенный интеграл Следовательно, определим длину Определенный интеграл всей дуги, а именно той части, расположенной в первой четверти. Тогда параметр Определенный интеграл изменяется от Определенный интеграл до Определенный интеграл

Находим производные от Определенный интеграли сумму их квадратов:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

По формуле (24.2) получаем:

Определенный интеграл

Соответственно, длина всей астроиды равна: Определенный интеграл

Найдем длину дуги, заданной в полярных координатах уравнением Определенный интеграл Эта кривая называется кардиоидой (рис. 24.5).

Определенный интеграл

Рис. 24.5

Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому найдем половину ее длины. Итак, полярный угол Определенный интеграл будет изменяться от Определенный интеграл до Определенный интеграл
Имеем: Определенный интеграл

Определенный интеграл

По формуле (24.5) получаем:

Определенный интеграл

Тогда длина всей линии равна: Определенный интеграл

Вычисление площади геометрической фигуры

Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах опирается на геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим несколько случаев вычисления площадей геометрических фигур.

1. По геометрическому содержанию определенный интеграл от непрерывной функции Определенный интеграл x на отрезке Определенный интеграл численно равна площади Определенный интеграл криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Определенный интеграл осью Определенный интеграл и прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл при условии , что функция Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл является неотъемлемой.
То есть для Определенный интеграл имеем:

Определенный интеграл

2. Если функция Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл неположительные (рис. 24.6), т.е. Определенный интеграл то определенный интеграл от нее также будет числом неположительные, потому что он является границей интегральной суммы, а значит сохраняет знак подынтегральной функции. Тогда для Определенный интеграл площадь криволинейной трапеции равна:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.6

3. Если функция Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл меняет знак (рис. 24.7), проходя через точки Определенный интеграл то для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком такой функции и осью Определенный интеграл отрезок Определенный интеграл надо разбить на три промежутки Определенный интегралОпределенный интеграл на которых знак функции остается постоянным, и применить формулы (24.7) и (24.8).
Следовательно, если функция Определенный интеграл несколько раз меняет знак на промежутке Определенный интеграл то формулы (24.7) и (24.8) можно объединить в одну:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.7

4. Если надо определить площадь фигуры, ограниченной кривыми Определенный интеграл по данным на отрезке Определенный интеграл причем Определенный интеграл то эта площадь (рис. 24.8) вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.8

5. Если плоская фигура ограничена графиком непрерывной на промежутке Определенный интеграл функции Определенный интеграл прямыми Определенный интеграл и осью ординат (рис. 24.9), то площадь Определенный интеграл такой фигуры вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.9

Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции Определенный интеграл прямой Определенный интеграл и осью Определенный интеграл (рис. 24.10).

Определенный интеграл

Рис. 24.10

Устанавливаем пределы интегрирования: Определенный интеграл
Поскольку функция Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл неотъемлемая, то по формуле (24.7) имеем:

Определенный интеграл

Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями: Определенный интеграл Определенный интеграл и Определенный интеграл (рис. 24.11).

Определенный интеграл

Рис. 24.11

Промежутком интегрирования является отрезок Определенный интеграл
Поскольку подынтегральная функция Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл неположительная, то по формуле (24.8) имеем:

Определенный интеграл

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: Определенный интегралОпределенный интеграл(рис. 24.12).

Определенный интеграл

Рис. 24.12

Функция Определенный интеграл на промежутке интегрирования Определенный интеграл меняет знак в точке Определенный интеграл Поэтому по формуле (24.9) имеем:

Определенный интеграл

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: Определенный интеграл Определенный интеграл (рис. 24.13).

Определенный интеграл

Рис. 24.13

Для определения границ интегрирования находим точки пересечения линий:

Определенный интеграл

Откуда получаем:

Определенный интеграл

Согласно формуле (24.10) имеем:

Определенный интеграл

Подчеркнем, что в формуле (24.10) в роли Определенный интеграл всегда выступает функция, график которой ограничивает фигуру сверху.

6. Пусть фигура ограничена кривой, уравнение которой задано в параметрической форме, то есть зависимость Определенный интеграл задается параметрически системой уравнений

Определенный интеграл

где Определенный интеграл которая определяет некоторую кривую на отрезке Определенный интеграл

Площадь фигуры, как и раньше, вычисляем по формуле (24.7), но в ней сделаем замену переменной: Определенный интеграл тогда Определенный интеграл
Следовательно,

Определенный интеграл

Найдем площадь фигуры, ограниченной эллипсом (рис. 24.14), заданным параметрическими уравнениями

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.14

Поскольку эллипс симметричен относительно осей координат, то найдем площадь Определенный интеграл-ой части площади, расположенной в первой четверти.

Определим границы интегрирования. Если Определенный интеграл изменяется от Определенный интеграл то по системе уравнений

Определенный интеграл

получаем, что параметр Определенный интеграл изменяется от Определенный интеграл

Осуществляем по формуле (24.12) определено интегрирование:

Определенный интеграл

Отсюда площадь всей фигуры равна:

Определенный интеграл

7. Площадь криволинейного сектора

Рассмотрим в полярных координатах геометрическую фигуру, которая ограничена линией Определенный интеграл и двумя лучами Определенный интеграл где функция Определенный интеграл непрерывна при Определенный интеграл (рис. 24.15). Такую фигуру называют криволинейным сектором для Определенный интеграл на Определенный интеграл Вычислим площадь этого сектора.

Определенный интеграл

Рис. 24.15

Выполняем те же шаги, которые осуществлялись при решении задачи нахождения площади криволинейной трапеции:

1) разобьем криволинейный сектор для Определенный интеграл на Определенный интеграл произвольным образом на Определенный интеграл частей с центральными углами Определенный интеграл Определенный интеграл

2) выберем на каждом из частичных секторов произвольный луч под углом Определенный интеграл к полярной оси;

3) вычислим площадь кругового сектора радиуса Определенный интеграл с центральным углом Определенный интеграл по известной формуле: Определенный интеграл площадь криволинейного сектора на Определенный интеграл приближенно равен сумме всех Определенный интеграл

Определенный интеграл

которая является интегральной суммой для сложной функции от Определенный интеграл

4) найдем границу интегральной суммы Определенный интеграл при условии, что Определенный интеграл при Определенный интеграл которая, в случае ее существования, определяет площадь криволинейного сектора:

Определенный интеграл

Вычислим площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда Определенный интеграл где Определенный интеграл — положительное число (рис. 24.16).

Определенный интеграл

Рис. 24.16

При чередовании Определенный интеграл от Определенный интеграл полярный радиус описывает кривую, ограничивает криволинейный сектор Определенный интеграл По формуле (24.14) имеем:

Определенный интеграл

Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений

Пусть имеем некоторое геометрическое тело, для которого известна площадь любого сечения этого тела плоскостью Определенный интеграл перпендикулярной к оси Определенный интеграл (рис. 24.17). Выведем формулу для вычисления объема тела Определенный интеграл для чего составим соответствующую интегральную сумму Определенный интеграл как это делалось при определении понятия определенного интеграла:

Определенный интеграл

Рис. 24.17

1) разобьем тело произвольным образом на Определенный интеграл частей (слоев) плоскостями: Определенный интеграл Определенный интеграл (на рисунке показано слой на Определенный интеграл);

2) выберем на каждом частичном промежутке Определенный интеграл произвольную точку Определенный интеграл и для каждой такой точки построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси Определенный интеграл а направляющая является контуром сечения тела Определенный интеграл плоскостью Определенный интеграл (на рисунке он не изображен)

3) вычислим объем цилиндра с площадью основания Определенный интеграл и высотой Определенный интегралОпределенный интеграл тогда объем тела на промежутке Определенный интеграл приближенно равен сумме всех частных объемов Определенный интеграл

Определенный интеграл

которая является интегральной суммой для функции Определенный интеграл на промежутке Определенный интеграл

4) найдем границу интегральной суммы Определенный интеграл при условии, что Определенный интеграл при Определенный интеграл которую, в случае ее существования, принимают за объем тела по площадям поперечных сечений:

Определенный интеграл

Найдем объем тела, ограниченного плоскостями Определенный интеграл и Определенный интеграл и однополостным гиперболоидом, который задан уравнением: Определенный интеграл

Проведем плоскость Определенный интеграл (рис. 24.18). В сечении получим эллипс:

Определенный интеграл

Перейдем к каноническому уравнению эллипса:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл

Площадь сечения находим по известной формуле площади фигуры, ограниченной эллипсом (24.13): Определенный интеграл

Следовательно, вычислим объем тела по формуле (24.15) с переменной интегрирования Определенный интеграл

Определенный интеграл

Вычисление объема тела вращения

Пусть на промежутке Определенный интеграл задана непрерывная функция Определенный интеграл Надо определить объем тела, которое образовалось при вращении криволинейной трапеции для Определенный интеграл на Определенный интеграл вокруг оси Определенный интеграл (рис. 24.19). Такое тело называется тело вращения.

Определенный интеграл

Рис. 24.19

При вращении каждая точка дуги кривой описывает круг, а поперечным сечением тела вращения является круг радиуса Определенный интеграл с центром на оси Определенный интеграл площадь которого Определенный интеграл определяется по известной формуле: Определенный интеграл где Определенный интеграл

На этом основании расчетную формулу для вычисления объема тела Определенный интеграл образованного вращением криволинейной трапеции для функции Определенный интеграл на промежутке Определенный интеграл вокруг оси Определенный интеграл получим как частный случай формулы (24.15) при условии, что Определенный интеграл

Определенный интеграл

Найдем объем шара радиуса Определенный интеграл Его можно рассматривать как результат вращения вокруг оси Определенный интеграл криволинейной трапеции, ограниченной полукругом Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл

Объем этого шара можно найти по формуле (24.16):

Определенный интеграл

Если в соотношении для Определенный интеграл формально заменить Определенный интеграл на Определенный интеграл то получим формулу объема тела, образованного вращением вокруг оси Определенный интеграл криволинейной трапеции, ограниченной линиями Определенный интеграл — функция, обратная к Определенный интеграл

Определенный интеграл

Приближенное вычисление определенных интегралов

Формула Ньютона-Лейбница как основная формула интегрального исчисления является главным средством вычисления определенного интеграла, если при нахождении первоначальной не возникает трудностей. В случае, если неопределенный интеграл «не берется», то есть первоначальную нельзя представить в виде конечного числа элементарных функции, или подынтегральная функция задана графиком или таблицей, то используют приближенные формулы. Эти формулы основаны на геометрическом смысле определенного интеграла как площади криволинейной трапеции.

Формула прямоугольников

Пусть надо вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке Определенный интеграл функции Определенный интеграл Согласно определению определенного интеграла построим интегральную сумму для функции Определенный интеграл

Поделим отрезок Определенный интеграл равных частей длины Определенный интеграл — точками Определенный интегралОпределенный интеграл

Вычислим значение функции Определенный интеграл в точках Определенный интеграл а именно Определенный интегралОпределенный интеграл

Тогда площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 24.23, а вместе с тем и определенный интеграл для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл приближенно равна сумме площадей прямоугольников с высотами Определенный интегралОпределенный интеграл и основами Определенный интеграл

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.23

Полученное выражение (24.24) называется формулой прямоугольников с высотами Определенный интеграл вычисленным на левой грани частичных интервалов.

Если высоты прямоугольников взять равными значениям функции Определенный интеграл на правой грани частичных интервалов, то формула прямоугольников иметь вид:

Определенный интеграл

Поскольку для функции Определенный интеграл непрерывной на Определенный интеграл существует конечное предел интегральной суммы при Определенный интеграл и Определенный интеграл то можно утверждать, что ошибка при вычислении интеграла будет тем меньше, чем больше Определенный интеграл Абсолютная погрешность Определенный интеграл при этом вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

где

Определенный интеграл

Относительная погрешность определяется как отношение абсолютной погрешности к точному значению интеграла и подается в процентах.

Формула трапеций

Рассмотрим еще один способ приближенного вычисления определенного интеграла.

Как и в предыдущем случае, отрезок Определенный интеграл делится на Определенный интеграл равных частей точками Определенный интеграл и в этих точках вычисляются значения функции Определенный интеграл (рис. 24.24). Построим прямоугольные трапеции с высотами Определенный интеграл и основами длиной Определенный интеграл иОпределенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.24

Каждая часть площади под кривой Определенный интеграл будет приближенно равняться площади прямоугольной трапеции со средней линией Определенный интеграл и высотой Определенный интеграл а площадь всей криволинейной трапеции для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл приближенно равна площади под ломаной, то есть сумме площадей всех
трапеций, ограниченных сверху отрезками этой ломаной.

Соответственно, получаем:

Определенный интеграл

Это и есть формула трапеций. Формула (24.26), как и в предыдущем случае, будет тем точнее, чем больше число Определенный интеграл

Можно доказать, что если функция fОпределенный интеграл имеет непрерывную ограниченную производную Определенный интеграл которая удовлетворяет неравенство Определенный интеграл (где Определенный интеграл — постоянная), то для формул прямоугольников и трапеций абсолютная погрешность определяется неравенством:

Определенный интеграл

Для функций, которые имеют ограниченную вторую производную Определенный интеграл (где Определенный интеграл — постоянная), для абсолютной погрешности имеет место такая оценка:

Определенный интеграл

Формула Симпсона

Поделим отрезок Определенный интеграл на четное число Определенный интеграл одинаковых частей (рис. 24.25). Функцию Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл заменим параболой Определенный интеграл которая проходит через точки Определенный интеграл Определенный интеграл и Определенный интеграл с осью симметрии, параллельной оси Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.25

Аналогичные параболы строим и для всех остальных пар частичных отрезков.
Сумма площадей криволинейных трапеций, ограниченных параболами, и даст приближенное значение интеграла.

Покажем, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, проходящей через три точки Определенный интеграл равна:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл — длина отрезка Определенный интеграл — промежуток интегрирования (рис. 24.26).

Определенный интеграл

Рис. 24.26

Коэффициенты параболы Определенный интеграл и значение функции Определенный интеграл в точках с абсциссами Определенный интеграл связанные такими соотношениями:

Определенный интеграл

Найдем площадь криволинейной трапеции для Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл

Определенный интеграл

С учетом значений функции в точках с абсциссами Определенный интеграл и Определенный интеграл следует, чтоОпределенный интегралОпределенный интеграл Определенный интеграл

Итак, Определенный интеграл то есть получили равенство (24.28). Применяя на каждом отрезке Определенный интеграл формулу (24.28), при Определенный интеграл получим:

Определенный интеграл

Если сложить левые и правые части записанных равенств, то получим:

Определенный интеграл

или

Определенный интеграл

формула Симпсона, или формула парабол.

Если функция Определенный интеграл имеет Определенный интеграл непрерывную четвертую производную и Определенный интеграл где Определенный интеграл — наибольшее значение y Определенный интеграл в интервале Определенный интеграл то абсолютная погрешность формулы парабол определяется неравенством:

Определенный интеграл

Таким образом, формула Симпсона (при одинаковом количестве частичных отрезков разбиения промежутка интегрирования) дает наилучшее приближение к искомому интеграла по сравнению с формулами прямоугольников или трапеций.

Вычислим интеграл Определенный интеграл применив непосредственное интегрирование.

Определенный интеграл

Сравним этот результат с результатами приближенного вычисления по формулам прямоугольников, трапеций, парабол при Определенный интеграл и найдем абсолютные и относительные погрешности этих вычислений.

Для применения выведенных формул приближенного вычисления определенных интегралов разобьем отрезок Определенный интеграл на 10 равных частей. Тогда длина каждого отрезка равна Определенный интеграл а значение функции в точках разбиения:

Определенный интеграл

Составим таблицу значений функции для каждой границы интервала разбиения.

                                                                                                                                                           Таблица 24.1

Определенный интеграл

По формуле прямоугольников (24.24), если принимать высоты прямоугольника значение Определенный интеграл вычисленное на левой грани частичного интервала, находим:

Определенный интеграл

По формуле прямоугольников (24.25), если принимать высоты прямоугольника значение Определенный интеграл на правой грани частичного интервала, получаем несколько иное значение:

Определенный интеграл

По формуле трапеций (24.26) имеем промежуточное значение по сравнению с обеими формулами прямоугольников:

Определенный интеграл

По формуле парабол (24.30):

Определенный интеграл

При вычислении интеграла по формуле прямоугольников (24.24) абсолютная погрешность составляет:

Определенный интеграл

а относительная погрешность равна:

Определенный интеграл

При вычислении интеграла по формуле прямоугольников (24.25) абсолютная и относительная погрешности составляют: 

Определенный интеграл или Определенный интеграл

При вычислении интеграла по формуле трапеций имеем:

Определенный интеграл и Определенный интеграл

При вычислении интеграла по формуле парабол получаем:

Определенный интеграл и Определенный интеграл

Итоговая таблица (табл. 24.2) убедительно подтверждает, что формула парабол действительно дает наибольшую точность при приближенном вычислении определенных интегралов. Конечно, если подынтегральная функция отлична от многочлена второго или третьей степени, то погрешность не будут нулевыми.

                                                                                                                                                       Таблица 24.2

Определенный интеграл

По объему вычислительной работы формула Симпсона не имеет преимуществ перед другими формулами.

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Лекции:

  • Замена переменной в определенном интеграле
  • Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений
  • Интегральный признак Коши
  • Правила дифференцирования
  • Построение графика функции
  • Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
  • Функции комплексного переменного
  • Преобразование подобия
  • Формулы производных
  • Изометрия

Интеграл является одним из наиболее важных понятий в математическом анализе. Его применяют в алгебре для расчета площади под кривой, преодоленного пути в процессе неравномерного движения, массы, которой обладает неоднородное тело и решения других подобных задач. С помощью интеграла вычисляют функцию по известной производной.

Интегралы для чайников — базовые понятия

Понятие интеграла в теории основано на нахождении непрерывной функции. Для начала следует ознакомиться с этим термином.

Непрерывная функция F(х) представляет собой первообразную функции f(х) на понятном промежутке х при условии, что F(х)=f(х).

Процедура поиска первообразной функции f(х) представляет собой операцию интегрирования в определенном порядке.

Интеграл в кратком смысле является аналогом суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых.

Неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом называют комплекс всех первообразных функции f(х).

В легком виде формулу для расчета неопределенного интеграла можно записать в такой форме:

(int f(x)dx=F(x)+C), где

  • f(x) является подынтегральной функцией;
  • F(x) представляет собой первообразную функцию функции f(x);
  • dx определяется дифференциалом;
  • C является численной константой интегрирования.

В неопределенный интеграл включен спектр первообразных, так как имеется постоянная интегрирования. Дифференциалом называют произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины. Среди основных свойств неопределенного интеграла можно отметить такие пояснения:

Список

Источник: ya-znau.ru

Табличная форма неопределенных интегралов в виде (int f(x)dx=F(x)+C) имеет вид:

Таблица интегралов

Источник: ya-znau.ru

Определенный интеграл

Определенным интегралом называют приращение одной из первообразных функции f(х), соответствующих отрезку [a;b].

В общем виде определенный интеграл можно записать таким образом:

(int_{a}^{b}{} f(x)dx), где

  • f(x) представляет собой подынтегральную функцию;
  • a и b являются пределами интегрирования;
  • dx соответствует дифференциалу.

Вычислить определенный интеграл можно с помощью уравнения Ньютона-Лейбница:

Формулы

Источник: ak.picdn.net

Свойства определенных интегралов:

  • если определенный интеграл обладает одинаковыми пределами интегрирования, то его значение соответствует нулю;
  • значение определенного интеграла является независимой от обозначения переменной интегрирования величиной;
  • постоянный множитель допустимо выносить за знак определенного интеграла;
  • определенный интеграл в случае алгебраической суммы конечного числа функций рассчитывается как алгебраическая сумма определенных интегралов;
  • при разбивке отрезка интегрирования на части определенный интеграл в отношении всего отрезка соответствует сумме определенных интегралов его частей;
  • перестановка пределов интегрирования не меняет абсолютную величину определенного интеграла, а изменяет его знак;
  • определенный интеграл рассчитывается как произведение длины отрезка интегрирования и значения подынтегральной функции в какой-то точке х0 внутри него;
  • в том случае, если верхний предел интегрирования больше, чем нижний, и подынтегральная функция соответствует неотрицательному или положительному значению, определенному интегралу будет соответствовать неотрицательная или положительная величина;
  • когда верхний предел интегрирования больше, чем нижний, и функции f(х) и g(х) не прерываются, то допустимо почленно интегрировать неравенство f(x) >=g(x).

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Существует несколько основных приемов решения задач с интегралами. Процесс заключается в интегрировании функции по переменной. В том случае, если интеграл обладает табличным видом, то проблем с поиском его значения не возникнет. Когда форма записи интеграла отлична от табличной, решение сводится к приведению интеграла к табличному виду.

Таблица первообразных для решения интегралов имеет следующий вид:

Интегралы

Источник: reshit.ru

В первую очередь необходимо ознакомиться с основными свойствами интегралов:

Интегралы 2

Источник: reshit.ru

С помощью данных понятий можно решать несложные интегралы. Но в большинстве случаев встречаются задачи с непростыми интегралами, для работы с которыми требуется прибегнуть к дополнительным приемам.

Правила вычисления интегралов, примеры решения

Специальные методики позволяют рассчитывать большую часть интегралов. Основными приемами для поиска решений являются:

  1. Замена переменной с применением навыков нахождения производных.

Таблица интегралов 2

Источник: reshit.ru
  1. Интегрирование по частям с помощью формулы: (int udv=uv-int vdu).
  2. Интегрирование дробно-рациональных функций:
  • разложением дроби на простейшие (int F_{n}(x)/G_{m}(x)dx);
  • выделением полного квадрата (int dx/(ax^{2}+bx+c));
  • созданием в числителе дифференциала знаменателя (int (mx+n)dx/(ax^{2}+bx+c)).
  1. Интегрирование дробно-иррациональных функций:
  • выделением под корнем полного квадрата (int dx/(sqrt{ax^{2}+bx+c}));
  • созданием в числителе дифференциала подкоренного выражения (int (mx+n)dx/(sqrt{ax^{2}+bx+c})).
  1. Интегрирование тригонометрических функций:
  • с помощью формул разложения для произведения (int sin alpha x*cos beta xdx);
  • с помощью создания (d(cos x)) при m-нечетном, n-любом для выражений вида (int sin^{n}x*cos^{m} xdx) применимо тождество (sin^{2}+cos^{2}=1), где m, n являются четными, (sin^{2}x=(1-cos^{2}x)/2$$ и $$ cos^{2}x=(1+cos^{2}x)/2);
  1. Применение свойства (tan ^{2}x=1/cos ^{2}x-1) для выражения в виде (int tan^{n}xdx).

Решение задач

Источник: intofact.ru

Решать интегралы целесообразно с помощью данного алгоритма:

  1. Вникнуть в суть интегралов, включая базовые понятия и методы решения. Интеграл представляет собой сумму элементарных частей объекта интегрирования. В том случае, когда рассматривается интегрирование функции, следует идентифицировать интеграл как площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. При неопределенном интеграле, то есть неизвестных границах интегрирования, решать задачу необходимо с помощью нахождения первообразной. В случае определенного интеграла в найденную функцию подставляют значения границ.
  2. Научиться пользоваться таблицей первообразных и основными свойствами интегралов. Множество функций уже определены первообразными, которые отмечены в таблице. Для интегралов, которые занесены в табличную форму, уже имеется готовое решение.
  3. Освоение способов и приобретение навыков решения интегралов. В том случае, когда в задаче имеется интеграл, не соответствующий табличной форме, его необходимо привести к этому виду. Данная операция выполняется с помощью применения основных свойств интегралов и приемов по их решению.

На первых этапах обучения следует проверять собственные решения задач на интегралы. Для этого можно дифференцировать полученное выражение и сравнить его с исходным интегралом.

Примеры решения интегралов:

Задача 1

Требуется решить интеграл:

(int (x^{5}+frac{1}{sqrt{x}})dx)

Решение

Заметим, что по условию интеграл — неопределенный. Сначала необходимо найти первообразную. Для этого интеграл суммы можно разложить на сумму интегралов:

(int x^{5}dx+frac{1}{sqrt{x}}dx)

Таким образом, каждый из интегралов преобразован в табличный вид. Решение можно найти с помощью таблицы:

(frac{x^{6}}{6}+2sqrt{x}+С)

Выполним проверку решения с помощью поиска производной:

((frac{x^{6}}{6}+2sqrt{x})^{,}=x^{2}+frac{1}{sqrt{x}})

Ответ: (frac{x^{6}}{6}+2sqrt{x}+С)

Задача 2

Требуется решить интеграл:

(int sqrt[5]{(x+5)})

Решение

Имеется неопределенный интеграл. Для начала необходимо найти первообразную. При сравнении с таблицей выяснилось, что подобное решение отсутствует. Способ разложения, исходя из свойств интеграла, не применим в данном случае. Следует обратиться к приемам. В этом случае целесообразно воспользоваться заменой переменной. Таким образом, выполним замену выражения (х+5) на (t^{5}).

(t^{5}=x+5)

После преобразований получим (int tdx.)

Выражение dx также требуется заменить на t. В таком случае:

(x=t^{5}-5)

(dx=(t^{5}-5)^{,}=5t^{4})

Выполним подстановку значений:

(5int t^{4}*tdt=5int t^{5}dt)

Интеграл соответствует табличной форме. Его можно посчитать (frac{5t^{6}}{6}).

Далее необходимо заменить t на выражение (sqrt[5]{(x+5)}).

Таким образом:

(int sqrt[5]{(x+5)}=5/6sqrt[5]{(x+5)^{6}})

Ответ: (int sqrt[5]{(x+5)}=5/6sqrt[5]{(x+5)^{6}}.)

Задача 3

Необходимо найти решение интеграла:

(int frac{dx}{sqrt{4x^{2}+4x+5}})

Решение

В рамках данной задачи целесообразно выделить полный квадрат:

(4x^{2}+4x+5=4x^{2}+4x+1+4=(2x+1)^{2}+1)

(int frac{dx}{sqrt{4x^{2}+4x+5}}=int frac{dx}{sqrt{(2x+1)^{2}+1}}=frac{1}{2}int frac{d(2x+1}{sqrt{(2x+1)^{2}+1}})

Результат преобразований соответствует табличному виду. Можно найти первообразную:

(int frac{dx}{sqrt{x^{2}+a^{2}}}=ln left|x+sqrt{x^{2}+a^{2}} right|+C)

(int frac{dx}{sqrt{4x^{2}+4x+5}}=ln left|2x+1+sqrt{(2x+2)^{2}+1} right|+C)

((2x+1)^{2}+1=4x^{2}+4x+1)

В результате получим:

(int frac{dx}{sqrt{4x^{2}+4x+5}}=ln left|2x+1+sqrt{4x^{2}+4x+1} right|+C)

Ответ: (int frac{dx}{sqrt{4x^{2}+4x+5}}=ln left|2x+1+sqrt{4x^{2}+4x+1} right|+C)

Ученик

Источник: mgpu.ru

Математический анализ — достаточно сложная дисциплина. Одной из главных тем является решение интегралов. С подобными задачами часто сталкиваются учащиеся профильных вузов. Если в процессе обучения студент испытывает какие-либо трудности, правильное решение — обратиться к сервису Феникс.Хелп.

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

математика для чайников интегралы

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

найти интегралы для чайников

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Первообразные элементарных функций

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Определенный интеграл - площадь фигуры

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Определенный интеграл
Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

Бари Алибасов и группа

«Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

  • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

как решать определенный интеграл для чайников

  • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

интегралы начало

  • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

как решать интегралы для чайников

Свойства определенного интеграла

  • Линейность:

интегралы для чайников подробно

  • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

интегралы для чайников подробно

  • При любых точках a, b и с:

высшая математика для чайников интегралы

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Формула Ньютона-Лейбница

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Примеры

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Иван

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Рассмотрим основные вопросы интегрирования функций двух переменных. Полученные определения и результаты могут быть перенесены на функции трех и более переменных.

Двойные интегралы

Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функций двух переменных.
Интегрирование

Определение и условия существования двойного интеграла

Пусть G — некоторая замкнутая ограниченная область, a z=f(x, у) — произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области.

Предполагается, что граница области G состоит из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y=f(x) или Интегрирование — непрерывные функции. Такой областью, например, является замкнутый многоугольник, граница которого состоит из конечного числа отрезков, представляющих собой графики непрерывных функций вида y=kx+b или х=а. Другой пример — область, ограниченная эллипсом (здесь граница состоит из двух кривых: Интегрирование и т. д.

Разобьем область G произвольно на n частей Интегрирование не имеющих общих внутренних точек, с площадями Интегрирование (рис. 167). В каждой части Интегрирование выберем произвольную точку Интегрирование и составим сумму
Интегрирование
которую назовем интегральной суммой для функции f (х, у) в области G. Назовем диаметром d (G) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Обозначим через Я. наибольший из диаметров частичных областей Интегрирование

Определение:

Если интегральная сумма (1) при Интегрирование имеет предел, равный I*, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (х, у) по области G и обозначается одним из следующих символов:
Интегрирование

В этом случае функция f (х, у) называется интегрируемой в области G, G — областью интегрирования, х и у — переменными интегрирования, ds (или dx dу) —элементом площади.

Давая определение двойного интеграла, мы предполагаем, что функция f (х, у) ограничена. Как и для функции одной переменной, это условие является необходимым условием интегрируемости. Однако оно не является достаточным, т. е. существуют ограниченные, но не интегрируемые функции. Примером таких функций является функция, определенная на квадрате Интегрирование следующим образом: Интегрирование

Доказательство неинтегрируемости такой функции непосредственно следует из определения двойного интеграла.

Для нахождения достаточных условий интегрируемости, как и в случае одной переменной, удобно воспользоваться теорией сумм Дарбу, которая полностью переносится на случай двойного интеграла. Аналогично доказательству соответствующей теоремы для определенного интеграла доказывается следующая теорема.

Теорема:

Функция f (x, у), непрерывная в замкнутой ограниченной области G, интегрируема в этой области. Однако не следует считать, что двойной интеграл существует только для непрерывных функций. Имеет место более общая теорема.

Теорема:

Функция f (х, у), ограниченная в замкнутой ограниченной области G и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида у=f (х) или Интегрирование, интегрируема в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть в пространстве дано тело Р (рис. 168), ограниченное сверху графиком непрерывной и неотрицательной функции z=f (х, у), которая определена в области G, с боков — цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области G, а образующие параллельны оси Oz, и снизу областью G, лежащей в плоскости Оху. Тело такого вида называют криволинейным цилиндром.

Аналогично тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к установлению геометрического смысла определенного интеграла, так и задача о вычислении объема тела Р приводит к геометрическому толкованию двойного интеграла.

Действительно, в данном случае интегральная сумма (1) представляет собой сумму объемов прямых цилиндров с площадями оснований Интегрирование и высотами Интегрирование, которую можно принять за приближенное значение объема тела Р:
Интегрирование

Это приближенное равенство тем точнее, чем мельче разбиение области G на части. При переходе к пределу при Интегрирование это приближенное равенство становится точным:
Интегрирование
Интегрирование

Так как функция f (x, у) интегрируема, то предел интегральной суммы существует и равен двойному интегралу от этой функции по области G. Следовательно,
Интегрирование

Отсюда следует геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от непрерывной, неотрицательной функции равен объему криволинейного цилиндра.

Замечание:

Если положить Интегрирование всюду в области G, то непосредственно из определения двойного интеграла получим выражение площади s области G в виде двойного интеграла: Интегрирование

Свойства двойного интеграла

Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. Поэтому ограничимся формулировкой этих свойств, не останавливаясь на доказательствах.

1°. Если k — произвольное число и функция f (x, у) интегрируема в области G, то функция kf (х, у) тоже интегрируема в G и Интегрирование т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2°. Если функции f (х, у) и g (х, у) интегрируемы в области G, то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и Интегрирование

3°. Если область G является объединением областей Интегрирование не имеющих общих внутренних точек, в каждой из которых функция f (х, у) интегрируема, то в области G эта функция также интегрируема и Интегрирование

4°. Теорема о среднем. Если функция f(x, у) непрерывна в области G, то в этой области найдется такая точка Интегрирование что
Интегрирование
где s — площадь фигуры G.

Итак, рассмотрены определение и основные свойства двойного интеграла, условия существования, выяснен его геометрический смысл. Теперь рассмотрим способы вычисления двойных интегралов.

Сведение двойного интеграла к повторному

Случай прямоугольной области

Сначала рассмотрим двойной интеграл по некоторому прямоугольнику D со сторонами, параллельными осям координат.

Теорема:

Пусть для функции f (х, у) в прямоугольнике Интегрирование существует двойной интеграл Интегрирование

Пусть, далее, для каждого х из отрезка [а, b] существует определенный интеграл
Интегрирование

Тогда существует интеграл
Интегрирование
(он называется повторным) и справедливо равенство Интегрирование

Доказательство:

Разобьем прямоугольник D с помощью точек Интегрирование на nk частичных прямоугольников Интегрирование Положим Интегрирование и обозначим через Интегрирование соответственно точную нижнюю и верхнюю грани функции f(x,y) на частичном прямоугольнике Интегрирование (рис. 169). Тогда всюду на этом прямоугольнике
Интегрирование
Положим в этом неравенстве Интегрирование где Интегрирование — произвольная точка отрезка Интегрирование и затем проинтегрируем (4) по у в пределах от Интегрирование Получим
Интегрирование
Суммируя (5) по всем j от 1 до k и используя обозначение (2) имеем Интегрирование

Далее, умножая (6) на Интегрирование и суммируя по всем i от 1 до n, получаем Интегрирование

Пусть наибольший диаметр частичных прямоугольников Интегрирование стремится к нулю Интегрирование. Тогда и наибольшая из длин Интегрирование Крайние члены в (7), представляющие собой нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, стремятся при этом к двойному интегралу (1) (см. сноску на с. 308). Таким образом, существует предел и среднего члена (7), равный тому же самому двойному интегралу. Но этот предел по определению определенного интеграла равен Интегрирование

Тем самым доказано существование повторного интеграла и равенство (3). ■
Интегрирование

Замечание:

Если в теореме 13.3 поменять х и у ролями, то будет доказано существование повторного интеграла Интегрирование
и справедливость равенства Интегрирование

С помощью формул (3) и (8) двойной интеграл приводится к повторному. Например, в формуле (8) интегрирование сначала производится по х при постоянном у, а затем полученный результат интегрируется по у, т. е. последовательно вычисляются два определенных интеграла.

Пример:

Вычислить Интегрирование
Решение:

Имеем Интегрирование

Случай криволинейной области

Теорема:

Пусть функция z=f(x, у) определена в области Интегрирование где Интегрирование — непрерывные функции, Интегрирование для Интегрирование .Пусть также существует двойной интеграл
Интегрирование
и для каждого х из отрезка [а, b] существует определенный интеграл Интегрирование

Тогда существует повторный интеграл
Интегрирование

и справедливо равенство ИнтегрированиеДоказательство:

Положим Интегрирование и заключим область G в прямоугольник Интегрирование (рис. 170). Рассмотрим в этом прямоугольнике вспомогательную функцию Интегрирование

Эта функция удовлетворяет условиям предыдущей теоремы. Действительно, она интегрируема в области G, так как совпадает в ней с f (x, у), и интегрируема в остальной части D — G прямоугольника D, где она равна нулю. Следовательно, согласно свойству 3°

§ 1, она интегрируема и по всему прямоугольнику D. При этом Интегрирование
откуда
Интегрирование

Далее, для каждого х из [а, b] существует интеграл Интегрированиетак как существует каждый из трех интегралов, стоящих справа. Действительно, отрезки Интегрирование лежат вне области G и на них F (x, у) равна нулю, отсюда первый и третий интегралы
Интегрирование
равны нулю, а второй интеграл существует по условию, так как Интегрирование. Поэтому Интегрирование

Таким образом, для функции F (х, у) выполнены все условия теоремы 13.3 и, следовательно, двойной интеграл от этой функции по прямоугольнику D может быть сведен к повторному
Интегрирование
Отсюда и из равенств (10) и (11) получаем Интегрирование
т. е. формулу (9). ■

Замечание:

Если в теореме 13.4 поменять ролями х и у, то теорема будет утверждать существование повторного интеграла
Интегрирование
и равенства
Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование по области Интегрирование

Решение:

Область G представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой Интегрирование (рис. 171). Следовательно, Интегрирование По формуле (9) имеем Интегрирование

Данный интеграл можно вычислить и по формуле (12), если в G поменять х и у ролями. Тогда треугольник определяется неравенствами Интегрирование откуда Интегрирование и легко проверить, что интеграл Интегрированиеимеет то же самое значение.

Замечание:

Если область G не удовлетворяет условиям теоремы 13.4 (например, прямые (вертикальные или горизонтальные) пересекают ее границу более чем в двух точках), то необходимо область G разбить на части, каждая из которых удовлетворяла бы условиям теоремы 13.4, и сводить к повторному каждый из соответствующих двойных интегралов отдельно.

Замена переменных в двойном интеграле

Пусть функция f (х, у) непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области G. Тогда для функции f (х, у) существует двойной интеграл
Интегрирование
Предположим, далее, что с помощью формул Интегрирование
мы переходим к новым переменным Интегрирование. Будем считать, что Интегрирование определяются из (2) единственным образом: Интегрирование

С помощью формул (3) каждой точке М (х; у) из области G ставится в соответствие некоторая точка Интегрирование на координатной плоскости с прямоугольными координатами Интегрирование. Пусть множество всех точек Интегрирование образует ограниченную замкнутую область G*. Формулы (2) называют формулами преобразования координат, а формулы (3) — формулами обратного преобразования.

При сделанных предположениях можно доказать, что если функции (2) имеют в области G* непрерывные частные производные первого порядка и если определитель Интегрирование
отличен в G от нуля, то для интеграла (1) справедлива формула замены переменных Интегрирование

Определитель (4) называется функциональным определителем или якобианом (по имени немецкого математика Якоби) функций Интегрирование по переменным Интегрирование.

Коротко изложенное можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема:

Если преобразование (2) переводит замкнутую ограниченную область G в замкнутую ограниченную область G* и является взаимно однозначным и если функции (2) имеют в области G* непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля якобиан (4), а функция f (х, у) непрерывна в области G, то справедлива формула замены переменных (5).

Доказательство теоремы достаточно сложное и здесь не приводится.

Как в двойном, так и в определенном интеграле замена переменных — важнейший способ приведения интеграла к виду, более удобному для вычисления.

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где G — параллелограмм, ограниченный прямыми Интегрирование (рис. 172, а).

Решение:

Непосредственное вычисление этого интеграла достаточно громоздкое, так как для сведения его к повторному (сначала по у, а затем по х) необходимо область G разбить на три области (штриховые линии на рис. 172) и затем вычислить соответственно три интеграла. Однако простая замена переменных Интегрирование
позволяет значительно упростить решение. Прямые Интегрирование в системе координат Оху переходят в прямые Интегрирование Осталось вычислить якобиан. Для этого выразим х и у через Интегрирование из равенств (6): Интегрирование

Следовательно,
Интегрирование
По формуле (5) окончательно получаем Интегрирование

Замечание:

Если подынтегральная функция или уравнение границы области интегрирования содержат сумму Интегрирование, то во многих случаях упрощение интеграла достигается преобразованием его к полярным координатам, так как данная сумма в полярных координатах Интегрирование принимает достаточно простой вид Интегрирование
Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где G — четверть круга Интегрирование расположенная в I квадранте (рис. 173).

Решение:

Преобразуем интеграл к полярным координатам по формулам Интегрирование Тогда Интегрирование: Интегрирование

Наглядно видно, что в области G р изменяется в пределах от 0 до 1, а Интегрирование — от 0 до Интегрирование/2. Иначе говоря, область G преобразуется в прямоугольник Интегрирование (рис. 173).
Таким образом, по формуле (5) получаем Интегрирование

На практике при замене переменных нет необходимости детально строить область G*. Обычно выясняют пределы изменения новых координат, используя вид области G на плоскости Оху, что и сделано вначале в данном примере.

Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов

Вычисление объема

Как известно, объем v криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью z=f(x, у)>0, снизу плоскостью z=0 и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси Oz, а направляющей служит контур области G, вычисляется по формуле
Интегрирование
т. е. с помощью двойных интегралов можно вычислять объемы тел.

Пример:

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями Интегрирование (рис. 174).
Решение:

Имеем
Интегрирование
где G — треугольная область интегрирования, ограниченная прямыми Интегрирование Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаем Интегрирование

Вычисление площади

Как было установлено, площадь s области G может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле
Интегрирование

Эта формула более универсальна, чем соответствующая формула выражающая площадь криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла, так как данная формула применима не только к криволинейным трапециям, но и к фигурам, расположенным произвольно по отношению к координатным осям.

Пример:

Вычислить площадь области G, ограниченной линиями Интегрирование (рис. 175).
Решение:

Область G представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой Интегрирование справа прямой Интегрирование Решая совместно уравнения параболы и прямой, находим точки их пересечения: Интегрирование Следовательно, искомая площадь
Интегрирование

При вычислении двойных интегралов с помощью повторного интегрирования одним из главных моментов является расстановка пределов интегрирования. Если в данном примере выбрать другой порядок повторного интегрирования (сначала по у, а затем по х),
Интегрирование
то область G предварительно пришлось бы разбить на две части (осью Оу), так как она ограничена сверху линией, заданной на отрезках Интегрирование двумя различными уравнениями. Разумеется, был бы получен тот же результат, однако вычисления оказались бы более громоздкими.

Поэтому полезно запомнить следующее правило: если все прямые, параллельные оси Оу, входят в область интегрирования G на линии, заданной одним уравнением, и выходят из области на линии, заданной одним уравнением, то внутренний интеграл целесообразно брать по переменной у, а внешний — по х аналогично, если все прямые, параллельные оси Ох, входят в область интегрирования на линии, заданной одним уравнением (в данном случае на параболе), и выходят на линии, заданной одним уравнением (в данном случае на прямой), то внутренний интеграл следует брать по переменной х, а внешний — по у: в этом случае область интегрирования не нужно разбивать на части.

Вычисление площади поверхности

С помощью двойных интегралов можно вычислять площади не только плоских фигур, но и кривых поверхностей.

Пусть поверхность S задана уравнением z=f (x, у), проекцией S на плоскость Оху является область G (рис. 176) и в этой области функция f (x, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные Интегрирование

Для определения площади поверхности S разобьем область G произвольно на n частей G, без общих внутренних точек с площадями Интегрирование и обозначим через Интегрирование часть поверхности S, проекцией которой на плоскость Оху является частичная область Интегрирование. Таким образом, поверхность S будет разбита на n частей.Интегрирование

В каждой части Интегрирование выберем произвольную точку Интегрирование, на поверхности S ей будет соответствовать точка Интегрирование . Проведем через точку М, касательную плоскость к поверхности: Интегрирование
здесь х, у, z — координаты произвольной точки на плоскости; Интегрирование — координаты точки касания (см. гл. 12, § 4, п. 2). Напомним, что вектор Интегрирование (нормаль), перпендикулярный касательной плоскости, имеет следующие координаты: Интегрирование (Здесь вектор Интегрирование направлен противоположно вектору Интегрирование из гл. 12, § 4, п. 2. Данный вектор Интегрирование образует острый угол с осью Оz.)

Рассмотрим на касательной плоскости ту ее часть, проекцией которой на плоскость Оху является область Интегрирование. Обозначим эту часть через Интегрирование, а ее площадь через Интегрирование Площадь Интегрирование можно считать приближенно равной площади части S, поверхности, а сумму всех таких площадей
Интегрирование
приближенным значением площади всей поверхности S.

За точное значение площади поверхности S примем по определению предел такой суммы
Интегрирование

где Интегрирование — наибольший из диаметров частичных областей Интегрирование. Докажем, что этот предел существует и равен двойному интегралу Интегрирование

Обозначим через Интегрирование угол между вектором Интегрирование и осью Oz. Он равен углу между касательной плоскостью в точке Интегрирование и плоскостью Оху. Так как область Интегрирование есть проекция Интегрирование на плоскость Оху, то площади этих областей связаны соотношением
Интегрирование

Действительно, данная формула, как известно, справедлива для треугольников. Она, очевидно, справедлива и для плоских многоугольников, так как плоский многоугольник можно разбить на несколько треугольников. Она также справедлива и для любой плоской фигуры площади Интегрирование, ограниченной некоторой кривой, поскольку ее площадь можно рассматривать как предел площадей вписанных в нее многоугольников.

С другой стороны, как известно из аналитической геометрии, Интегрирование
Следовательно,
Интегрирование
Подставляя значение Интегрирование в сумму (1), получаем
Интегрирование
Стоящая под знаком предела сумма представляет собой интегральную сумму для функции Интегрирование

Так как эта функция по условию непрерывна в области G, то предел этой суммы при Интегрирование существует и равен двойному интегралу (2), что и требовалось доказать.

Соотношение (2) представляет собой формулу, с помощью которой вычисляется площадь поверхностей, заданных уравнением z=f(x, у).

Пример:

Вычислить площадь той части плоскости Интегрирование, которая заключена в первом октанте (рис. 177).

Решение:

Так как функция Интегрирование и область G, являющаяся проекцией данной части поверхности на плоскость Оху, удовлетворяют сформулированным выше условиям, то искомую площадь можно вычислить по формуле (2). Имеем Интегрирование

Областью G является треугольник, ограниченный осями Ох, Оу и прямой Интегрирование получаемой из уравнения данной плоскости при z=0. Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаемИнтегрирование

Вычисление массы пластинки

Рассмотрим на плоскости Оху материальную пластинку, т. е. некоторую область G, по которой распределена масса m с плотностью р (х, у). Вычислим по заданной плотности р (х, у) массу т этой пластинки, считая, что р (х, у)— непрерывная функция. Разобьем G произвольно на n частей Интегрирование и обозначим через Интегрирование массы этих частей.
Интегрирование
В каждой части произвольно возьмем точку Интегрирование. Массу Интегрирование каждой такой части Интегрирование можно считать приближенно равной Интегрирование — площадь Интегрирование, а масса m всей пластинки приближенно равна сумме
Интегрирование

которая является интегральной суммой для непрерывной функции
р (х, у) в области G. В пределе при Интегрирование, очевидно, получим точное значение массы пластинки, равное двойному интегралу от функции р (х, у) по области G, т. е. Интегрирование

Пример:

Определить массу квадратной пластинки со стороной 2а, если плотность р (x, у) в каждой точке М (х; у) пропорциональна квадрату расстояния от точки М до точки пересечения диагоналей, и коэффициент пропорциональности равен k.

Решение:

Выберем систему координат так, как показано на рис. 178. После этого можно найти функцию р (х, у) исходя из условия задачи. Пусть М (х; у) — произвольная точка квадратной пластинки. Тогда квадрат расстояния от точки М до точки пересечения диагоналей равен Интегрирование Следовательно, плотность в точке М Интегрирование

По формуле (3) имеем
Интегрирование

Учитывая, что подынтегральная функция четна относительно х и у, а область интегрирования симметрична относительно осей координат, можно ограничиться вычислением интеграла по той части области G, которая расположена в I четверти, т. е. Интегрирование

Вычисление координат центра масс пластинки

Найдем координаты центра масс пластинки, занимающей в плоскости Оху некоторую область G. Пусть р (х; у) — плотность этой пластинки в точке М (х; у), причем р (х; у)—непрерывная функция. Разбив область G на части Интегрирование, выберем в каждой из этих частей некоторую точку Интегрирование и будем приближенно считать массу Интегрирование каждой из частей пластинки равной Интегрирование — площадь Интегрирование).

Если считать, что каждая из этих масс сосредоточена в одной точке, а именно в точке Интегрирование, то для координат Интегрирование, центра масс такой системы материальных точек получим следующие выражения: Интегрирование
которые представляют собой приближенные значения координат центра масс пластинки. Чтобы получить точные значения этих координат, необходимо в (4) перейти к пределу при Интегрирование. При этом интегральные суммы перейдут в соответствующие интегралы и мы получим, что координаты центра масс пластинки определяются формулами Интегрирование

Если пластинка однородна, т. е. Интегрирование то формулы координат центра масс упрощаются:
Интегрирование
Величины Интегрирование в формулах (5) называются статическими моментами пластинки относительно осей Оу и Ох.

Таким образом, вычисление координат центра масс пластинки сводится к вычислению трех двойных интегралов.Интегрирование

Пример:

Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной двумя параболами Интегрирование (рис. 179).
Решение:

Координаты центра масс данной пластинки найдем по формулам (6). Сначала вычислим массу пластинки Интегрирование

Далее вычислим статические моменты ее относительно осей координат:
Интегрирование
Затем по формулам (6) найдем Интегрирование

Итак, Интегрирование

Вычисление момента инерции пластинки

Как известно, момент инерции материальной точки относительно некоторой оси равен произведению массы точки на квадрат ее расстояния до этой оси, а момент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции этих точек.

Пусть область G плоскости Оху занята пластинкой, имеющей непрерывную плотность р (х, у). Разбив область G на части Интегрирование площади которых равны Интегрирование и выбрав в каждой из них некоторую точку Интегрирование, заменим пластинку системой материальных точек с массами Интегрирование и координатами Интегрирование. Момент инерции такой системы точечных масс, например, относительно оси Оу равен Интегрирование

Примем это выражение за приближенное значение момента инерции пластинки. Но оно же представляет собой интегральную сумму для непрерывной функции Интегрирование. Переходя к пределу при Интегрирование, получаем для момента инерции пластинки относительно оси Оу следующую формулу:
Интегрирование

Аналогично, момент инерции пластинки относительно оси Ох равен Интегрирование

Найдем момент инерции Интегрирование пластинки относительно начала координат. Принимая во внимание, что момент инерции материальной точки с массой m относительно начала координат равен Интегрирование, рассуждая, как и выше, получаем, что Интегрирование

Пример:

Найти момент инерции круга радиуса R с постоянной плотностью р (x, у)=1 относительно начала координат.
Решение:

По формуле (7) имеем
Интегрирование
Перейдем к полярным координатам. Уравнение окружности (границы круга) в полярных координатах имеет вид Интегрирование Поэтому Интегрирование

Криволинейные интегралы

Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащей в плоскости.

Интегралы такого рода называются криволинейными. Они имеют широкое применение в различных разделах математики.

Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы первого и второго рода.

Определение криволинейного интеграла первого рода

Рассмотрим на плоскости Оху некоторую кривую АВ, гладкую или кусочно-гладкую, и предположим, что функция z=f(x, у) определена и ограничена на кривой АВ.

Разобьем кривую АВ произвольно на п частей точками Интегрирование выберем на каждой из частичных дуг Интегрирование произвольную точку Интегрирование (рис. 180) и составим сумму
Интегрирование
где Интегрирование — длина дуги Интегрирование Сумма (1) называется интегральной суммой для функции Интегрирование по кривой АВ. Обозначим через Интегрирование наибольшую из длин частичных дуг
Интегрирование
Интегрирование

Определение:

Если интегральная сумма (1) при Интегрирование имеет предел, равный I, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f (х, у) по кривой А В и обозначается одним из следующих символов
Интегрирование

В этом случае функция f (x, у) называется интегрируемой вдоль кривой АВ, сама кривая АВ — контуром интегрирования, А — начальной, а В — конечной точками интегрирования.

Криволинейный интеграл первого рода легко сводится к определенному интегралу. Действительно, приняв на кривой АВ за параметр длину дуги Интегрирование, отсчитываемую от точки А, получим параметрическое представление кривой Интегрирование При этом функция f (х, у), заданная вдоль АВ, становится сложной функцией параметра Интегрирование. Обозначив через Интегрирование значение параметра Интегрирование, отвечающее точке Интегрирование, а через Интегрирование — отвечающее точке Интегрирование перепишем интегральную сумму (1) в виде Интегрирование
где Интегрирование Сумма (2) является интегральной для определенного интеграла от функции Интегрирование на отрезке [0, L]. Поскольку интегральные суммы (1) и (2) равны между собой, равны и соответствующие им интегралы, т. е. Интегрирование

Заметим, что формула (3) не только выражает криволинейный интеграл через определенный, но и доказывает существование криволинейного интеграла от функции f (х, у), непрерывной вдоль рассматриваемой кривой АВ.

Как было показано, криволинейный интеграл первого рода непосредственно сводится к определенному, однако между этими понятиями имеется следующее различие. В интегральной сумме (1) величины Интегрирование обязательно положительны, независимо от того, какую точку кривой АВ считать начальной, а какую — конечной, т. е. Интегрирование

в то время как определенный интеграл Интегрирование при перестановке пределов интегрирования меняет знак. В остальном криволинейный интеграл первого рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Это непосредственно вытекает из формулы (3).

Криволинейный интеграл первого рода, так же как и определенный, имеет геометрический смысл. Если определенный интеграл Интегрирование представляет собой площадь криволинейной трапеции, то криволинейный интеграл Интегрирование численно равен площади куска цилиндрической поверхности, которая составлена из перпендикуляров к плоскости Оху, восставленных в точках М (х; у) кривой АВ и имеющих переменную длину f (М) (рис. 181).

В частности, если АВ — не кривая, а отрезок прямой [а, b], расположенный на оси Ох, то Интегрирование и криволинейный интеграл будет обычным определенным интегралом.

Наконец, если положить Интегрирование то получим криволинейный интеграл Интегрирование значение которого есть длина дуги кривой АВ.

Таким образом, с помощью криволинейного интеграла первого рода можно вычислять площадь цилиндрических поверхностей и длины дуг. Кроме этого, криволинейный интеграл первого рода имеет широкое применение в физике. С его помощью можно, как это делали в случае двойных интегралов, находить массу материальной кривой по ее плотности, моменты инерции относительно координатных осей, координаты центра масс такой кривой и т. д.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определенных интегралов.

Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями Интегрирование — непрерывные вместе со своими производными Интегрирование функции, a f(x, у) — функция, непрерывная вдоль этой кривой, причем для определенности будем считать, что точке А соответствует значение Интегрирование точке В — значение Интегрирование Тогда для любой точки Интегрирование кривой АВ длину Интегрирование дуги AM можно рассматривать как функцию параметра Интегрирование и вычислять ее (гл. 8, § 10, п. 3) по формуле
Интегрирование
откуда, согласно правилу дифференцирования интеграла по верхнему пределу,
ИнтегрированиеИнтегрирование

Заменяя переменную Интегрирование в определенном интеграле в правой части равенства (3) и учитывая (4), получаем Интегрирование

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл Интегрирование
где АВ — часть окружности Интегрирование
Решение:

Так как
Интегрирование
то по формуле (5) получаем Интегрирование

В частности, если кривая АВ задана уравнением у=у(х), Интегрирование где у(х) — непрерывно дифференцируемая функция, то, принимая х за параметр (t=х), из формулы (5) имеем Интегрирование

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл
Интегрирование
где АВ — дуга параболы Интегрирование от точки (0; 0) до точки (2; 2). Решение:

Имеем Интегрирование По формуле (6) получаем Интегрирование

Замечание:

Формула (4) представляет самостоятельный интерес. Возводя в квадрат, получаем: Интегрирование Это равенство дает простое геометрическое истолкование дифференциала дуги dl. Учитывая, что дифференциал функции у=у(х) равен приращению ординаты касательной (гл. 5, § 3, п. 1), получаем, что дифференциал дуги dl (см. рис. 185) равен длине отрезка касательной к кривой АВ от точки касания с абциссой х до точки Интегрирование т. е. гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами Интегрирование а равенство Интегрирование представляет собой теорему Пифагора.
Интегрирование

Определение криволинейного интеграла второго рода

Пусть на кривой АВ определены две ограниченные функции Интегрирование. Разобьем кривую АВ на n частей точками Интегрирование Обозначим через Интегрирование, проекции вектора Интегрирование, на оси координат (рис. 182), на каждой частичной дуге Интегрирование возьмем произвольную точку Интегрирование и составим интегральную сумму для функции Интегрирование:
Интегрирование

Определение:

Если интегральная сумма (7) при Интегрирование Интегрирование — длина дуги Интегрирование) имеет предел, равный I, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции Интегрирование по кривой АВ и обозначается символом
Интегрирование
Сумму
Интегрирование
называют общим криволинейным интегралом второго рода и обозначают символом
Интегрирование

Криволинейные интегралы второго рода, как и интегралы первого рода, легко сводятся к определенным интегралам.

Действительно, пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями Интегрирование — непрерывные вместе со своими производными Интегрирование функции, причем точке А кривой соответствует значение Интегрирование точке В — значение Интегрирование Пусть функции
Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны вдоль кривой АВ. Тогда справедливы следующие формулы:
Интегрированиесводящие криволинейные интегралы к определенным интегралам.

Докажем первую из формул (8): Интегрирование
вторая формула доказывается аналогично, а третья получается в результате сложения первой и второй.

Пусть точкам Интегрирование разбиения кривой АВ соответствуют значения Интегрирование параметра t, точкам Интегрирование — значения Интегрирование т. е. Интегрирование имеет координаты Интегрирование, а Интегрирование — координаты Интегрирование Функция Р (х, у) на кривой является сложной функцией параметра t: Интегрирование Так как функции Интегрирование и Интегрирование непрерывны на отрезке Интегрирование, а функция Р (х, у) непрерывна вдоль кривой АВ, то по теореме о непрерывности сложной функции функция Интегрирование непрерывна на отрезке Интегрирование.

Составим интегральную сумму (7) для функции Р (х, у): Интегрирование

Так как Интегрирование то по формуле Ньютона—ЛейбницаИнтегрирование

С другой стороны, так как функция Интегрирование является непрерывной функцией на Интегрирование, то для нее существует определенный интеграл, стоящий в формуле (9) справа. Запишем его в виде суммы интегралов по частичным отрезкам Интегрирование Интегрирование
Рассмотрим и оценим разность Интегрирование

Из непрерывности функции Интегрирование на Интегрирование по теореме Кантора следует ее равномерная непрерывность на Интегрирование. А это означает, что для любого Интегрирование существует Интегрирование такое, что при Интегрирование выполняется неравенство Интегрирование

Из непрерывности функции Интегрирование следует ее ограниченность на Интегрирование, т. е. существует число k такое, что Интегрирование

Используя (11) и (12), получаем для разности (10) следующую оценку: Интегрирование

Отсюда, в силу произвольности Интегрирование, следует, что Интегрирование
Но при Интегрирование также Интегрирование и наоборот. В самом деле, Интегрирование

Из непрерывности функций Интегрирование следует непрерывность функции Интегрирование на Интегрирование. Но тогда Интегрирование где m и М — минимальное и максимальное значения функции Интегрирование на отрезке Интегрирование, причем m>0 и М>0 в силу условия Интегрирование Из левого неравенства следует, что Интегрирование при Интегрирование, а из правого, что Интегрирование при Интегрирование. Следовательно, из (13) имеем
Интегрирование
т. е. существует криволинейный интеграл Интегрирование и справедлива формула (9).

Криволинейный интеграл второго рода обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла, что непосредственно вытекает из формул (8).

В отличие от криволинейного интеграла первого рода криволинейный интеграл второго рода зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к А) проходится кривая АВ, и меняет знак при изменении направления обхода кривой, т. е. Интегрирование
Действительно, изменив направление обхода кривой, мы соответственно изменим знаки проекций Интегрирование, в суммах (7), и, следовательно, сами суммы и их пределы изменят знак.

Таким образом, при вычислении криволинейных интегралов второго рода необходимо учитывать направление интегрирования.

В случае, когда L замкнутая кривая, т. е. когда точка В совпадает с точкой А, из двух возможных направлений обхода замкнутого контура L условимся называть положительным то направление, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода контура L условимся называть отрицательным.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L, пробегаемому в положительном направлении, часто обозначают символом Интегрирование

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Криволинейные интегралы второго рода вычисляют сведением их к определенным интегралам по формулам (8).

В частности, если кривая АВ задана уравнением вида Интегрирование где у(х) — непрерывно дифференцируемая функция, то, принимая х за параметр (t=x), из формул (8) получаемИнтегрирование
Аналогичные формулы имеют место, если кривая АВ задана уравнением вида х=х(у).

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где АВ — четверть окружности Интегрирование А соответствует t=0, В соответствует Интегрирование
Интегрирование
Решение:

Имеем Интегрирование По третьей из формул (8) получаем Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где L — контур прямоугольника, образованного прямыми х=0, y=0, х=1 и y=1 (рис. 183).
Решение:

На рис. 183 положительное направление обхода контура L обозначено стрелками. Разбивая весь контур интегрирования на части, запишем:
Интегрирование

Легко заметить, что интегралы вдоль участков АВ и CD равны нулю, так как на них у является постоянным и, следовательно, dу=0. Поэтому остается вычислить интегралы по участкам ВС и DA. По формуле, аналогичной первой из формул (14) [заменяя Интегрирование], получаем Интегрирование

Таким образом, окончательно имеем Интегрирование
Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где: ИнтегрированиеРешение:

По третьей формуле (14) имеем: Интегрирование

Заметим, что взяв три различных пути, соединяющих одни и те же точки, мы получили три одинаковых результата. Это обстоятельство не является случайным. Причина его будет раскрыта в § 7.

Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода

Обозначим через Интегрирование углы, составляемые с осями координат направленной касательной к кривой АВ в точке М (х; у) (рис. 185); тогда получим соотношения Интегрирование

Заменяя в криволинейных интегралах второго рода dх и dу их выражениями (15), преобразуем эти интегралы в криволинейные интегралы первого рода: Интегрирование

Таким образом, формулы (16) выражают криволинейные интегралы второго рода через криволинейные интегралы первого рода и устанавливают связь между ними. При изменении направления движения точки по кривой на противоположное Интегрирование, dx и dy меняют знак, и формулы (16) остаются в силе.

В заключение заметим, что были рассмотрены криволинейные интегралы для плоских кривых. Однако их определение и свойства нетрудно перенести и на пространственные кривые.

Пусть АВ — пространственная кривая и на этой кривой определены функции Интегрирование. Тогда по аналогии со случаем плоской кривой можно определить криволинейный интеграл первого рода Интегрирование и криволинейные
Интегрирование

Техника вычисления таких интегралов не отличается по существу от техники вычисления интегралов по плоской кривой.

Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между криволинейными и двойными интегралами. Она имеет широкое применение как в самом анализе, так и в его приложениях.

Докажем эту формулу для замкнутой области, граница которой пересекается с прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках. Для краткости будем называть такие области простыми: Предполагается, что контур, ограничивающий область, гладкий или кусочно-гладкий.

Теорема:

Пусть G — некоторая простая замкнутая область, ограниченная контуром L, и пусть функции Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны вместе со своими частными производными Интегрирование в данной области. Тогда имеет место формула Интегрирование
называемая формулой Грина.

Доказательство:

Пусть контур L, ограничивающий область G, может быть задан как уравнениями Интегрирование так и уравнениями Интегрирование (рис. 186). Рассмотрим сначала область G, определенную неравенствами Интегрирование и преобразуем двойной интеграл Интегрирование
в криволинейный. Для этого сведем его к повторному интегралу и по формуле Ньютона—Лейбница выполним интегрирование по у. Получим Интегрирование

Каждый из этих двух определенных интегралов равен криволинейному интегралу второго рода, взятому по соответствующей кривой (см. формулы (14), § 5), а именно:
Интегрирование

Таким образом, ИнтегрированиеАналогично доказывается формула Интегрирование
при этом область G задается неравенствами Интегрирование

Вычитая из равенства (3) почленно равенство (2), получаем искомую формулу (1).
Замечание. Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области G, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей. Действительно, пусть область G с границей L имеет вид, изображенный на рис. 187. Разобьем ее на две простые области Интегрирование для каждой из которых справедлива формула (1). Напишем отдельно формулу Грина для Интегрирование и сложим почленно полученные равенства. Слева будем иметь двойной интеграл по всей области G, а справа — криволинейный интеграл по контуру L области С, так как криволинейный интеграл по вспомогательной кривой берется дважды в противоположных направлениях и при суммировании взаимно уничтожается.

Пример:

С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл Интегрирование где L — окружность Интегрирование
Решение:

Функции Интегрирование непрерывны в замкнутом круге Интегрирование.Интегрирование

Следовательно, по теореме 13.6 формула Грина применима к данному интегралу. Имеем ИнтегрированиеЗаметим, что полученный результат легко проверить непосредственно вычислением данного интеграла.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Как уже отмечалось при решении примера 5 (см. § 5, п. 4), в некоторых случаях величина криволинейного интеграла Интегрирование не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек А и В пути интегрирования. Выясним, при каких условиях такая независимость имеет место. В исследовании этого вопроса важную роль играет формула Грина. Уточним, какие области будут рассматриваться далее.

Определение:

Плоская область G называется односвязной, если каков бы ни был замкнутый контур L, лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром часть плоскости целиком принадлежит области G.

Образно говоря, односвязность области означает, что область не имеет «дыр». Например, односвязными областями являются внутренность круга, эллипса, многоугольника и т. п. Простейшим примером неодносвязной области служит область, заключенная между окружностями Интегрирование В самом деле, окружность Интегрирование, лежащая в этой области, содержит внутри себя точки, которые не принадлежат данной области, например начало координат (0; 0).

Теорема:

Пусть функции Р (х, у) и Q (х, у) определены и непрерывны вместе со своими частными производными Интегрирование в некоторой замкнутой односвязной области G. Тогда следующие четыре условия эквивалентны, т. е. выполнение любого из них влечет за собой выполнение остальных трех:
1) для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой L, расположенной в G,
Интегрирование
2) для любых двух точек А и В области G значение интеграла Интегрирование
не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в G;

3) выражение Интегрирование представляет собой полный дифференциал некоторой функции, определенной в области G. Иными словами, существует такая функция F (х, у), определенная в G, что
Интегрирование
4) в области G всюду
Интегрирование
Доказательство:

Доказательство теоремы проведем по схеме Интегрирование
т. е. покажем, что из первого условия следует второе, из второго — третье, из третьего — четвертое, а из четвертого — снова первое. Тем самым будет доказана эквивалентность всех условий.

Первый этап: Интегрирование Рассмотрим в области G два произвольных пути, соединяющих точки А и В: АСВ и ADB — любые две кусочно-гладкие кривые (рис. 188). В сумме они составляют замкнутую кривую L=АСВ+BDA, расположенную в G. Согласно условию 1)Интегрирование

Второй этап: Интегрирование Пусть интеграл Интегрирование не зависит от выбора пути интегрирования, а зависит только от точек А и В. Тогда, если точку А зафиксировать: Интегрирование,
Интегрирование
то этот интеграл будет некоторой функцией координат х и у точки В=В(х; у):
Интегрирование

Покажем, что функция F (х, у) дифференцируема и что Интегрирование
Для этого достаточно доказать, что в каждой точке В области существуют частные производные Интегрирование причем Интегрирование

Так как Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны в G, то из (3) следует дифференцируемость функции F (х, у) и равенство (2).

Для доказательства существования частной производной функции F (х, у) по х и первого из равенства (3) составим частное приращение по х функции F(х, у) в точке В (х; у): Интегрированиегде точка С имеет координаты Интегрирование (рис. 189). Так как по условию интеграл не зависит от вида кривой, то возьмем путь от Интегрирование прямолинейным. ТогдаИнтегрирование

Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получаем
Интегрированиепоскольку по условию Р (х, у) непрерывна. Аналогично доказывается, что Интегрирование Таким образом, условие 3) установлено.

Третий этап: Интегрирование Пусть в области G определена функция F (х, у) такая, что Интегрирование Тогда
Интегрирование
и по теореме о равенстве смешанных производных
Интегрирование
т. е. получено требуемое равенство (1).

Четвертый этап: Интегрирование. Пусть выполнено условие 4) и пусть L — кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G и ограничивающая область G*. Тогда, применяя формулу Грина к области G* (здесь используется односвязность области G), получаем Интегрирование

В силу условия 4) интеграл справа равен нулю. Следовательно, Интегрирование
для всякого замкнутого контура L, лежащего в области G.

Замечание:

Из эквивалентности условий 1) — 4) теоремы 13.7, в частности, следует, что условие 3) представляет собой необходимое и достаточное условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от выбора пути интегрирования. Однако для приложений более удобным, необходимым и достаточным условием является условие 4).

Теорема 13.7 позволяет легко решать вопрос о том, зависит или не зависит криволинейный интеграл от выбора пути интегрирования. Так, например, Интегрирование в любой области зависит от выбора пути, так как Интегрирование Необходимо обратить внимание на то, что все условия теоремы существенны. Рассмотрим, например, интеграл
Интегрирование
где L — окружность радиуса R с центром в начале координат. Имеем: Интегрирование

Видим, что условие независимости интеграла от выбора пути формально выполнено, но, однако, интеграл по окружности L нулю не равен. Действительно, задав окружность уравнениями Интегрирование, получим Интегрирование

На самом деле никакого противоречия с теоремой здесь нет. Просто не выполнено одно из условий теоремы: функции Р и Q и их частные производные Интегрирование не определены в точке (0; 0), а круг, ограниченный окружностью L, с выброшенной точкой (0; 0) уже не является односвязной областью (начало координат играет роль «дырки»).

Интегрирование полных дифференциалов

Из рассмотрения условий независимости криволинейного интеграла Интегрирование от выбора пути интегрирования непосредственно вытекает решение вопроса об интегрировании полных дифференциалов и о нахождении функции по ее полному дифференциалу.

Было доказано, что если функции Р (х, у) и Q (x, у) и их частные производные Интегрирование непрерывны в замкнутой области G, то выражение
Интегрирование
является полным дифференциалом некоторой функции в этой области в том и только в том случае, когда Интегрирование.

Далее мы показали, что если это равенство выполнено, то условию Интегрирование
удовлетворяет функция
Интегрирование

Пусть теперь выражение (1) является полным дифференциалом некоторой функции Ф (х, у). Тогда Интегрирование и разность Интегрирование (см. замечание к теореме 12.6) величина постоянная. Следовательно, Интегрирование
где С — некоторая постоянная. Полагая Интегрирование из (2) получаем Интегрирование, а из (3)—значение постоянной Интегрирование. Теперь (3) можно записать в виде

Интегрирование
а равенство (2) — в виде Интегрирование
Если, наконец, положить Интегрирование то получим формулу Интегрирование

Формула (4) аналогична формуле Ньютона—Лейбница, несправедлива только при условии независимости криволинейного интеграла от выбора пути интегрирования.

Используя полученные результаты, теперь можно указать способ восстановления функции F (х, у), полный дифференциал которой есть заданное выражение (1).

Формула
Интегрирование
где Интегрирование — фиксированная точка, а С — произвольная постоянная, и дает возможность определить все функции, имеющие подынтегральное выражение своим полным дифференциалом.

Для отыскания F (x, у) по формуле (5) достаточно, выбрав любую точку Интегрирование в области G, вычислить криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки Интегрирование и (х, у). Так как в формуле (5) интеграл не зависит от выбора пути, то удобно, например, за путь интегрирования взять ломаную, звенья которой параллельны осям координат (рис. 190). Тогда
Интегрирование

Так как Интегрирование на участке от Интегрирование, a dx=0 на участке от Интегрирование, то равенство (5) принимает вид Интегрирование
где первый определенный интеграл вычисляется при постоянном у, равном Интегрирование, а второй — при постоянном х.
Интегрирование
Пример:

Проверить, является ли выражение Интегрирование полным дифференциалом некоторой функции F (х, у), и, если это так, найти F (х, у).

Решение. В данном выражении функции
Интегрированиенепрерывны вместе с частными производными Интегрирование которые равны между собой. Следовательно, данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции F (х, у). Для отыскания функции F (х, у) воспользуемся формулой (2), где А Интегрирование — некоторая фиксированная точка, а В (х; у) — переменная точка.

В данном случае за точку А Интегрирование удобно взять точку (0; 0).
Учитывая, что криволинейный интеграл Интегрирование не зависит от пути интегрирования, выберем путь интегрирования от точки (0; 0) до точки (х; у) в виде ломаной, звенья которой параллельны осям координат. Для этого достаточно взять точку (х; 0) [или точку (0; у)] (рис. 191). Тогда одно звено ломаной будет лежать на оси координат. Имеем
Интегрированиегде С — произвольная постоянная.

Практически при отыскании функции по ее полному дифференциалу удобно поступать следующим образом. Если
Интегрирование
то, интегрируя первое из этих равенств по х, получаем Интегрирование
а интегрируя второе равенство по у, имеем Интегрирование
где Интегрирование — произвольные функции. Если подобрать функции Интегрирование так, чтобы правые части равенств (7) и (8) совпали, то полученная таким образом функция F (x, у) и является функцией, полный дифференциал которой совпадает с выражением Интегрирование

Так, например, пусть Интегрирование Интегрируя коэффициент при dx по х, получаем Интегрирование
интегрируя коэффициент при dy по у, имеем Интегрирование

Правые части равенств (9) и (10) совпадают, если положить Интегрирование Таким образом, Интегрирование

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл
Интегрирование
Решение:

В данном случае функции
Интегрирование
непрерывны и частные производные равны между собой. Значит, выражение уdх+хdу является полным дифференциалом dF (х, у) и данный интеграл не зависит от пути интегрирования. По формулам (7) и (8) находим F (х, у)=ху, и по формуле (4) получаем Интегрирование

Заметим, что данный интеграл можно вычислить и непосредственно, если, например, взять в качестве пути интегрирования ломаную, соединяющую точки (— 1; 2), (2; 2) и (2; 3), звенья которой параллельны осям координат (проделайте самостоятельно).

Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода

Криволинейные интегралы второго рода, так же как и первого рода, имеют широкое применение в геометрии, физике и технике. Ограничимся рассмотрением двух задач: вычислением площадей плоских фигур и определением работы силы.

Вычисление площади с помощью формулы Грина

Пусть G — некоторая область с границей L и s — площадь этой области. Известно, что двойной интеграл
Интегрирование
выражает площадь области G. Поэтому если в формуле Грина подобрать функции Р(х,у) и Q(x,y) таким образом, чтобы Интегрирование, то площадь s области G определяется формулой Интегрирование

Положим Интегрирование тогда Интегрирование
Полагая Интегрирование аналогично находим Интегрирование
а при Интегрирование имеем Интегрирование

Таким образом, получены три формулы для вычисления площадей плоских фигур, ограниченных контуром L.

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом. Решение. Вычислим, например, площадь по формуле (1). Используя параметрические уравнения эллипса Интегрирование имеем Интегрирование по формуле (1) получаем Интегрирование

Работа силы

Известно, что работа, совершаемая переменной силой F (х), направленной вдоль оси Ох, по перемещению материальной точки вдоль оси Ох из точки х=а в точку Интегрирование определяется с помощью определенного интеграла по формуле
Интегрирование
(гл. 6, § 8, п. 6). Рассмотрим более общую задачу.

Пусть материальная точка под действием силы Интегрирование перемещается вдоль непрерывной плоской кривой ВС в направлении от В к С. Сила Интегрирование предполагается переменной, зависящей от положения точки на кривой ВС. Вычислим работу силы Интегрирование при перемещении точки из В в С. Для этого разобьем (рис. 192) произвольно кривую ВС на n частей точками Интегрирование Заменим приближенно на участке Интегрирование силу F постоянным значением, равным ее значению в точке Интегрированиеа движение точки по дуге Интегрирование заменим движением по отрезку Интегрирование. Тогда работу постоянной силы Интегрирование вдоль отрезка Интегрирование можно принять за приближенное значение работы Интегрирование переменной силы F вдоль дуги Интегрирование т. е.
Интегрирование

Правая часть этого приближенного равенства представляет собой скалярное произведение двух векторов Интегрирование Оно равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов, т. е. если Интегрирование то Интегрирование Суммируя по всем значениям i от 1 до n, получаем приближенное значение работы А вдоль всей кривой ВС:
Интегрирование

За точное значение работы А принимается предел, к которому стремится ее приближенное значение при стремлении к нулю наибольшей из длин дуг Интегрирование. Но, с другой стороны, сумма (2) представляет собой сумму двух интегральных сумм для функций
Р (х, у) и Q (х, у), заданных на кривой ВС. По определению пределом этой суммы является криволинейный интеграл второго рода.

Следовательно, работа силы определяется по формуле Интегрирование
где Р и Q — координаты (или проекции на оси координат) силы Интегрирование.

Если рассмотреть данную задачу не на плоскости, а в пространстве, то решение ее сводится к вычислению криволинейного интеграла второго рода по пространственной кривой по формуле Интегрирование

Пример:

Вычислить работу силы Интегрирование(х; у) при перемещении материальной точки по эллипсу в положительном направлении, если сила в каждой точке (x; у) эллипса направлена к центру эллипса и по величине равна расстоянию от точки (х; у) до центра эллипса (рис. 193).
Интегрирование

Решение:

По условию, Интегрирование координаты силы
Интегрирование(х, у) таковы: Интегрирование [знак «—» объясняется тем, что сила направлена к точке (0; 0)]. По формуле (3) имеем Интегрирование

Следовательно, Интегрирование
Заметим, что из того, что интеграл оказался равным нулю, следует, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции (найдите эту функцию самостоятельно).

Тройные интегралы

В начале главы было введено понятие двойного интеграла от функции двух переменных. Определим интеграл от функции трех переменных — так называемый тройной интеграл. Тройные интегралы, как и двойные, имеют широкое применение в различных физических и геометрических задачах.

Определение тройного интеграла

Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла и вводится для функции трех переменных.

Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области V трехмерного пространства задана ограниченная функция Интегрирование Разобьем область V на n произвольных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами Интегрирование

В каждой области возьмем произвольную точку Интегрирование и составим сумму
Интегрирование
которая называется интегральной суммой для функции f (x, у, z) по области V. Обозначим через Интегрирование наибольший из диаметров частичных областей.

Определение:

Если интегральная сумма (1) при Интегрирование имеет предел, равный I, то этот предел называется тройным интегралом от функции f (x, у, z) по области V и обозначается одним из следующих символов: Интегрирование

В этом случае функция f (x, у, z) называется интегрируемой в области V; V — областью интегрирования; х, у и z — переменными интегрирования; Интегрирование — элементом объема.

В дальнейшем, поскольку результаты, полученные для двойных интегралов, вместе с их доказательствами могут быть перенесены на тройные интегралы, ограничимся только формулировками утверждений и краткими пояснениями.

Тройные интегралы являются непосредственным обобщением двойных интегралов на случай трехмерного пространства. Они обладают аналогичными двойным интегралам необходимыми и достаточными условиями существования и свойствами. Если положить всюду в области Интегрирование, то из определения тройного интеграла следует формула для вычисления объема тела V: Интегрирование

Вычисление тройных интегралов

Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов меньшей кратности.

Рассмотрим область V, ограниченную снизу и сверху поверхностями Интегрирование, а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пусть область G — проекция области V на плоскость Оху (рис. 194), в которой определены и непрерывны функции Интегрирование. Предположим, далее, что каждая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области V не более чем в двух точках. Тогда для любой функции f (x, у, z), непрерывной в области V, имеет место формула Интегрирование
позволяющая свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определенного интеграла по переменной z (при постоянных х и у) и внешнего двойного интеграла по области G.

Выражение
Интегрирование
представляет собой функцию двух переменных. Если для этой функции и области G, по которой она интегрируется, выполнены условия теоремы 13.4, то, переходя от двойного интеграла
Интегрирование

Интегрирование к повторному, получаем формулу Интегрированиесводящую вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Порядок интегрирования может быть и другим, т. е. переменные х, у и z в формуле (2) можно менять ролями.

В частности, если V— параллелепипед с гранями Интегрирование то формула (2) принимает вид Интегрирование

В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке.

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование — параллелепипед, ограниченный плоскостями Интегрирование (рис. 195).
Решение. По формуле (3) имеем Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование —пирамида, ограниченная плоскостью x+y+z=1 и координатными плоскостями х=0, у=0, z=0 (рис. 196).
Решение. Область V проектируется на плоскость Оху в треугольник G, ограниченный прямыми х=0 у=0, у=1-х. По формуле (2) имеем Интегрирование

Замена переменных в тройном интеграле

Как для двойных интегралов, так и для тройных имеют место формулы перехода от прямоугольных координат к новым системам координат, наиболее употребительными из которых являются цилиндрические и сферические координаты.

Замену переменных в тройном интеграле производят по следующему правилу.

Если ограниченная замкнутая область V пространства (х, у, z) взаимно однозначно отображается на область V* пространства Интегрирование с помощью непрерывно дифференцируемых функций Интегрирование и якобы J в области V* не обращается в нуль: Интегрирование

В частности, при переходе от прямоугольных координат х, у, z к цилиндрическим координатам Интегрирование (рис. 197), связанным с х, у, z формулами
Интегрирование
якобиан преобразования J=р, поэтому Интегрирование

Название цилиндрические координаты связано с тем, что координатная поверхность p=const (т. е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату р) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны оси Oz.

При переходе от прямоугольных координат х, у, z к сферическим координатам Интегрирование (рис. 198), связанным с х, у, z формулами
Интегрирование
якобиан преобразования Интегрирование, поэтому Интегрирование

Название «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность р=const (т. е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату р) является сферой. Сферические координаты иначе.- называют полярными координатами в пространстве.

При вычислении тройного интеграла путем перехода к цилиндрическим или сферическим координатам область V* обычно не изображают, а пределы интегрирования расставляют непосредственно по виду области V, используя геометрический смысл новых координат.

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование переходом к цилиндрическим координатам Интегрирование где V — область, ограниченная поверхностями Интегрирование (рис. 199).

Решение:

Так как область V на плоскость Оху проектируется в круг Интегрирование, то координата Интегрирование изменяется в пределах от Интегрирование, координата Интегрирование. Постоянному значению Интегрирование в пространстве Охуz соответствует цилиндр Интегрирование Рассматривая пересечение этого цилиндра с областью V, получаем изменение координаты z от значений для точек, лежащих на параболоиде Интегрирование, до значений для точек, лежащих на плоскости Интегрирование Применяя формулу (4), имеем Интегрирование

Трудно дать какую-либо общую рекомендацию, когда следует применять ту или иную систему координат. Это зависит и от области интегрирования, и от вида подынтегральной функции. Однако, например, формулой (5) удобнее пользоваться, когда f (х, у, г.z) имеет вид Интегрирование, а также когда областью V является шар Интегрирование или его часть.
Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где V— шар Интегрирование (рис. 200).

Решение:

В данном случае удобно перейти к сферическим координатам: Интегрирование. Из вида области V следует, что координаты Интегрирование меняются в следующих пределах: Интегрирование Интегрирование Так как подынтегральная функция Интегрирование

Некоторые приложения тройных интегралов

Кратко рассмотрим типичные задачи применения тройных интегралов, ограничившись приведением необходимых формул, так как их вывод аналогичен выводу соответствующих формул в случае двойных интегралов.

Если дано некоторое тело V с плотностью p(M)=p(x, у, z), представляющей собой непрерывную функцию, то тройной интеграл Интегрирование
представляет собой массу m данного тела.
Интегрирование

Моменты инерции тела V с плотностью р(М)=р(x, у, z) относительно осей координат определяются следующими формулами:
Интегрирование

Момент инерции относительно начала координат Интегрирование
Координаты центра масс определяются следующими формулами: Интегрированиегде Интегрирование — координаты центра масс, а m — масса данного тела. В частности, если рассматриваемое тело однородно, т. е.
р (х, у, z)=const, то выражения для координат центра масс упрощаются и принимают вид
Интегрирование

где Интегрирование — объем данного тела.

Как уже было отмечено, тройной интеграл Интегрирование равен объему тела V.

Тройные интегралы в некоторых случаях более удобны для вычисления объемов, чем двойные, так как с их помощью можно вычислить объем не только криволинейного цилиндра, но и других тел.

Пример:

Определить координаты центра масс верхней половины однородного шара V радиуса R с центром в начале координат.

Решение:

Данный полушар ограничен поверхностями Интегрирование В силу симметрии полушара Интегрирование Координата Интегрирование определяется по формуле
Интегрирование

Переходя к сферическим координатам, получаем Интегрирование

Поверхностные интегралы

В этом параграфе рассмотрены интегралы от функций, заданных на поверхности, так называемые поверхностные интегралы.

Теория поверхностных интегралов во многом аналогична теории криволинейных интегралов. Различают поверхностные интегралы первого и второго рода.

Определение поверхностного интеграла первого рода

Пусть в точках некоторой поверхности S гладкой или кусочно-гладкой определена ограниченная функция Интегрирование. Разобьем поверхность S произвольно на n частей с площадями Интегрирование (рис. 201). Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку Интегрирование составим сумму Интегрирование

Сумма (1) называется интегральной суммой для функции f (M) по поверхности S. Обозначим через Интегрирование наибольший из диаметров частей поверхности.

Определение:

Если интегральная сумма (1) при Интегрирование имеет предел, равный I, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции f (х, у, z) по поверхности S и обозначается одним из следующих символов:
Интегрирование

В этом случае функция f (х, у, z) называется интегрируемой по поверхности S, S — областью интегрирования.

Данное определение по сути аналогично определению двойного интеграла. Поэтому свойства двойных интегралов и условия их существования без особых изменений переносятся на поверхностные интегралы.Интегрирование

В частности, если Интегрирование на поверхности S, то Интегрирование
где s — площадь поверхности S, т. е. с помощью поверхностного интеграла первого рода можно вычислять площади поверхностей.

Кроме того, с их помощь!о можно определять массы, статические моменты, моменты инерции, координаты центра масс и подобные величины для материальных поверхностей с известной поверхностной плотностью распределения масс. Эти задачи решаются аналогично соответствующим задачам для случая материальной кривой, материальной плоской и пространственной области.

Вычисление поверхностных интегралов первого рода

Вычисление поверхностного интеграла первого рода производится сведением поверхностного интеграла к двойному.

Пусть поверхность S задана уравнением z=z(x, у), где функция z(x, у) вместе с производными Интегрирование непрерывна в замкнутой области G — проекции S на плоскость Оху (рис. 202), и пусть функция f (х, у, z) непрерывна на поверхности S и, следовательно, интегрируема по этой поверхности.

Разобьем поверхность S произвольно на n частей и спроектируем это разбиение на плоскость Оху. Получим соответственно разбиение области G на части Интегрирование Площадь Интегрирование каждой части поверхности может быть представлена в виде (см. формулу (2), п. 3, § 4)
Интегрирование

Применяя к двойному интегралу теорему о среднем, получаем Интегрирование
где Интегрирование — некоторая точка области G,; As, — площадь G,. Обозначим через М, точку на частичной поверхности с координатами Интегрирование — точка, которая имеется в формуле (2). Составим интегральную сумму для функции f (x, y, z) по поверхности S, выбирая точки Интегрирование в качестве промежуточных: Интегрирование

В правой части равенства находится интегральная сумма для двойного интеграла от непрерывной в области G функции Интегрирование Поэтому предел правой части (3) при Интегрирование равен двойному интегралу Интегрирование

Так как функция f (x, у, z) интегрируема по поверхности S, то предел левой части (3) при Интегрирование равен поверхностному интегралу Интегрирование

Следовательно, переходя к пределу в (3) при Интегрирование, получаем искомую формулу Интегрированиевыражающую поверхностный интеграл первого рода через двойной по проекции поверхности S на плоскость Оху.

Аналогично получаются формулы, выражающие интеграл по поверхности S через двойные по ее проекциям на плоскости Оуz и Oxz.

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где S — часть параболоида вращения Интегрирование отсеченного плоскостью z=0 (рис. 203).
Решение. Поверхность S, заданная уравнением Интегрирование проектируется на плоскость Оху в область G, ограниченную окружностью Интегрирование (уравнение окружности получается из уравнения параболоида при z=0).

Следовательно, областью G является круг Интегрирование В этом круге функции Интегрирование непрерывны. По формуле (4) получаем ИнтегрированиеИнтегрирование

Переходя в полученном двойном интеграле к полярным координатам Интегрирование находим
Интегрирование

Определение поверхностного интеграла второго рода

Введем предварительно понятие стороны поверхности.

Возьмем на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведем через нее нормаль к поверхности (вектор Интегрирование). Рассмотрим теперь на поверхности S какой-либо замкнутый контур, проходящий через точку М и не имеющий общих точек с границей поверхности S. Будем перемещать точку М по замкнутому контуру вместе с вектором Интегрирование так, чтобы вектор Интегрирование все время оставался нормальным к S и чтобы его направление менялось при этом перемещении непрерывно (рис. 204). В начальное положение точка М вернется либо с тем же направлением нормали, либо с противоположным.

Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему ее границы, при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности, то поверхность называется двусторонней.

Примерами двусторонних поверхностей служат плоскость, сфера, любая поверхность, заданная уравнением z=f (x, у), где Интегрирование — функции, непрерывные в некоторой области G плоскости Оху.

Если же на поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное, то поверхность называется односторонней.

Простейшим примером односторонней поверхности служит лист Мёбиуса, изображенный на рис. 205. Его можно получить, взяв полоску бумаги ABCD и склеив ее так, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка В — с точкой D, т. е. повернув перед склеиванием один из ее краев на 180°. При обходе листа Мёбиуса по его средней линии и возвращении в исходную точку направление нормали меняется на противоположное.Интегрирование

В дальнейшем рассматриваются только двусторонние поверхности. Для двусторонней поверхности совокупность всех ее точек с выбранным в них направлением нормали, изменяющимся непрерывно при переходе от точки к точке, называется стороной поверхности, а выбор определенной ее стороны — ориентацией поверхности. Двустороннюю поверхность называют также ориентируемой, а одностороннюю — неориентируемой.

С понятием стороны поверхности тесно связано понятие ориентации ее границы.

Пусть S — ориентированная (сторона уже выбрана) поверхность, ограниченная контуром L, не имеющим точек самопересечения. Будем считать положительным направлением обхода контура L то, при движении по которому наблюдатель, расположенный так, что направление нормали совпадает с направлением от ног к голове, оставляет поверхность слева от себя (рис. 206). Противоположное направление обхода называется отрицательным. Если изменить ориентацию поверхности, т. е. изменить направление нормали на противоположное, то положительное и отрицательное направления обхода контура L поменяются ролями.

Перейдем теперь к определению поверхностного интеграла второго рода.

Пусть S — гладкая поверхность, заданная уравнением Интегрирование — ограниченная функция, определенная в точках поверхности S. Выберем одну из двух сторон поверхности, т. е. одно из двух возможных направлений нормали в точках поверхности (тем самым мы ориентировали поверхность). Если нормали составляют острые углы с осью Оz, то будем говорить, что выбрана верхняя сторона поверхности z=f(x, у), если тупые углы, то нижняя сторона поверхности. Разобьем поверхность S произвольно на п частей и обозначим через Интегрирование проекцию i-й части поверхности на плоскость Оху. Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку Интегрирование, составим сумму

Интегрирование
где Интегрирование — площадь Интегрирование взятая со знаком плюс, если выбрана верхняя сторона поверхности S, и со знаком минус, если выбрана нижняя сторона поверхности S. Сумма (5) называется интегральной суммой для функции R(M)=R(x, у, z). Обозначим через А. наибольший из диаметров частей поверхности S.

Определение:

Если интегральная сумма (5) при Интегрирование имеет предел, равный I, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции R (х, у, z) по выбранной стороне поверхности S и обозначается одним из следующих символов:
Интегрирование
В этом случае функция R (х, у, z) называется интегрируемой по поверхности S по переменным х и у.

Аналогично определяется поверхностный интеграл второго рода по выбранной стороне поверхности S по переменным у и z [z и x] от функции Интегрирование, которая определена на поверхности S:Интегрирование

называют общим поверхностным интегралом второго рода и обозначают символом Интегрирование

Поверхностный интеграл второго рода обладает такими же свойствами, как и поверхностный интеграл первого рода, но в отличие от последнего при изменении стороны поверхности (переориентации) он меняет знак.

К понятию поверхностного интеграла второго рода приводит, например, задача о потоке векторного поля, которая будет рассмотрена в $ 14.

Для односторонней поверхности понятие поверхностного интеграла второго рода не вводится.

Вычисление поверхностных интегралов второго рода

Поверхностные интегралы второго рода вычисляют сведением их к двойным интегралам.

Пусть ориентированная (выберем верхнюю сторону) гладкая поверхность S задана уравнением z=f( x, у), где функция f (x, у) определена в замкнутой области G — проекции поверхности S на плоскость Оху, a R (х, у, z) — непрерывная функция на поверхности S.

Разобьем поверхность S произвольно на п частей и спроектируем это разбиение на плоскость Оху (рис. 207). Область G разобьется соответственно на части Интегрирование Выберем на каждой части поверхности произвольную точку Интегрирование и составим интегральную сумму
Интегрирование
где Интегрирование — площадь Интегрирование. Так как Интегрирование то Интегрирование

В правой части равенства находится интегральная сумма для двойного интеграла от непрерывной в области G функции
R [x, у, f(x, у)]. Переходя к пределу в (7) при Интегрирование, получаем искомую формулу
Интегрированиевыражающую поверхностный интеграл второго рода по переменным х и у через двойной. Кроме того, формула (8) доказывает существование поверхностного интеграла от функции R (х, у, z), непрерывной на рассматриваемой поверхности S. Если выбрать нижнюю сторону поверхности, то перед интегралом в правой части (8) появится знак минус.

Аналогично устанавливается справедливость следующих формул: Интегрирование
где поверхность S задана соответственно уравнением x=f(y, z) и
y=f(x, z), a Интегрирование —проекции поверхности S соответственно на плоскости Оуz и Oxz.

Для вычисления интеграла общего вида (6) используют те же формулы (8) — (10), если поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. В более сложных случаях поверхность S разбивают на части, обладающие указанными свойствами, а интеграл (6) — на сумму интегралов по этим частям.

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где S — верхняя сторона поверхности Интегрирование отсеченная плоскостями у=0, у=1 (рис. 208).
Интегрирование
Решение:

Проекцией G данной поверхности на плоскость Оху является прямоугольник, определяемый неравенствами Интегрирование По формуле (8) находим Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где S — верхняя сторона части плоскости x+z-1=0, отсеченная плоскостями
у=0, у=4 и лежащая в первом октанте (рис. 209).

Решение:

По определению, Интегрирование
Здесь Интегрирование — проекции поверхности S на плоскости Oyz и Оху, а Интегрирование
так как плоскость S параллельна оси Оу. По формулам (8) и (9) соответственно находим
Интегрирование

Следовательно,
Интегрирование

Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода

Поверхностные интегралы второго рода можно ввести и другим способом, а именно как поверхностные интегралы первого рода, в которых под знаком интеграла стоят некоторые специальные выражения. Обозначим через Интегрирование направляющие косинусы нормали ориентированной поверхности в произвольной ее точке. Поверхностные интегралы второго рода различаются своим отношением к координатным плоскостям:Интегрирование

1. поверхностный интеграл второго рода для плоскости Оху от функции R(x, у, z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы: Интегрирование
2. поверхностный интеграл второго рода для плоскости Oxz от функции Q (х, у, z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы: Интегрирование
3. поверхностный интеграл второго рода для плоскости Oyz от функции Р(х, у, z) выражается через поверхностный интеграл первого рода с помощью следующей формулы: Интегрирование

Суммируя формулы (11) — (13), получаем формулу, выражающую поверхностный интеграл второго рода общего вида по выбранной стороне поверхности через поверхностный интеграл первого рода:Интегрирование

Если выбрать другую сторону поверхности, то направляющие косинусы нормали Интегрирование изменят знак и, следовательно, изменит знак поверхностный интеграл второго рода.

Пример:

Вычислить интеграл Интегрирование где S — внешняя сторона полусферы Интегрирование расположенной над плоскостью Оху, а Интегрирование — острый угол между нормалью к поверхности S с осью Oz (рис. 210).
Интегрирование

Решение:

По формуле (11), связывающей поверхностные интегралы обоих типов, имеем Интегрирование

Проекцией G данной поверхности S на плоскость Оху является круг Интегрирование. По формуле (8) получаем Интегрирование

Переходя в двойном интеграле к полярным координатам, находим Интегрирование

Формула Остроградского

Формула Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью. Эта формула является аналогом формулы Грина, которая, как известно, связывает криволинейный интеграл по замкнутой кривой с двойным интегралом по плоской области, ограниченной этой кривой. Формула Остроградского имеет широкое применение как в самом анализе, так и в его приложениях.

Выведем эту формулу для замкнутой пространственной области, граница которой пересекается с любой прямой, параллельной осям координат, не более чем в двух точках. Назовем для краткости такие области простыми. При этом будем рассматривать внешнюю сторону поверхности, ограничивающей эту область. Предполагается, что поверхность гладкая или кусочно-гладкая.

Теорема:

Пусть V — простая замкнутая область, ограниченная поверхностью S и пусть функции Р (х, у, z), Q (х, у, z) и R (х, у, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в данной области. Тогда имеет место следующая формула: Интегрированиеназываемая формулой Остроградского.

Доказательство:

Пусть область G — проекция поверхности S (и области V) на плоскость Оху (рис. 211), a Интегрирование и Интегрирование — уравнения соответствующих частей поверхности S — нижней части Интегрирование и верхней Интегрирование.

Преобразуем тройной интеграл
Интегрирование
в поверхностный. Для этого сведем его к повторному интегралу и по формуле Ньютона—Лейбница выполним интегрирование по z. Получим
ИнтегрированиеИнтегрирование

Так как область G является проекцией на плоскость Оху и поверхности Интегрирование, и поверхности Интегрирование, то двойные интегралы можно заменить равными им поверхностными интегралами [см. § 11, п. 4, формулу (8)], взятыми соответственно по верхней стороне поверхности Интегрирование и верхней стороне поверхности Интегрирование, т. е.
Интегрирование

Меняя в интеграле по Интегрирование сторону поверхности, получаем Интегрирование
где S — внешняя сторона поверхности, ограничивающей область V.

Аналогично доказываются формулы
Интегрирование

Складывая почленно равенства (2), (3), (4), приходим к формуле (1). ■

Замечание:

Формула Остроградского верна для любой замкнутой пространственной области V, которую можно разбить на конечное число простых областей. В самом деле, применяя формулу (1) к каждой из областей разбиения и складывая результаты, получаем в левой части равенства тройной интеграл по всей области V, а в правой — поверхностный интеграл по поверхности S, ограничивающей область V, так как поверхностные интегралы по вспомогательным поверхностям берутся дважды по противоположным сторонам и при суммировании взаимно уничтожаются.

С помощью формулы Остроградского удобно вычислять поверхностные интегралы по замкнутым поверхностям.

Пример:

Вычислить интеграл
Интегрирование
где S — внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями Интегрирование (см. рис. 196).
Решение:

Используя формулу Остроградского, получаем Интегрирование

Пример:

Вычислить интеграл
Интегрирование
где S — внешняя сторона сферы Интегрирование
Решение:

Применяя формулу Остроградского, имеем Интегрирование

Как было отмечено (§ 9, п. 1), формула Грина выражает площадь области через криволинейный интеграл по ее границе. Точно также из формулы Остроградского легко получить выражение для объема области в виде поверхностного интеграла по замкнутой поверхности S — границе этой области. Действительно, подберем функции Р, Q и R так, чтобы
Интегрирование

Тогда получим Интегрирование
где Интегрирование — объем, ограниченный поверхностью S. В частности, полагая Интегрирование получаем для вычисления объема формулу
Интегрирование

Формула Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным и криволинейным интегралами. Подобно формулам Грина и Остроградского, формулу Стокса широко применяют как в самом анализе, так и в его приложениях.

Пусть S — поверхность, заданная уравнением z=z(х, у), где функции Интегрирование непрерывны в замкнутой области G — проекций S на плоскость Оху; L — контур, ограничивающий S, а l — его проекция на плоскость Оху, являющаяся контуром, ограничивающим область G. Выберем верхнюю сторону поверхности S (рис. 212). Тогда при сделанных предположениях справедлива следующая теорема.

Теорема:

Если функция Р (х, у, z) непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место следующая формула:
Интегрирование
где Интегрирование — направляющие косинусы нормали к поверхности S, а контур L пробегается в положительном направлении.

Доказательство:

Преобразуем криволинейный интеграл Интегрирование
взятый по контуру L, в интеграл по поверхности S. Это преобразование проведем по следующей схеме: Интегрирование

т. е. криволинейный интеграл по пространственному контуру L преобразуем сначала в криволинейный интеграл по плоскому контуру l, затем переведем его в двойной интеграл по области G и, наконец, этот последний интеграл преобразуем в интеграл по поверхности S.
Интегрирование

Так как контур L лежит на поверхности S, то координаты его точек удовлетворяют уравнению z=z(x, у) и поэтому значения функции Р (х, y, z) в точках контура L равны значениям функции Р [х, у, z(x, у)] в соответствующих точках контура l, являющегося проекцией L. Проекции же соответствующих участков разбиения контуров L и l на ось Ох совпадают. Поэтому совпадают также интегральные суммы для криволинейных интегралов второго рода от функции Р по контурам L и l, а значит, равны и интегралы: Интегрирование

Далее, применяя формулу Грина, перейдем к двойному интегралу по области G. Получаем
Интегрирование

Здесь подынтегральная функция равна частной производной по у от сложной функции, получающейся из Р (х, у, z) после подстановки
z (x, у) вместо z.

Поскольку s — верхняя сторона поверхности, т. е. Интегрирование (Интегрирование — острый угол между нормалью и осью Oz), нормаль имеет проекции — Интегрирование 1. А так как направляющие косинусы нормали пропорциональны соответствующим проекциям, то Интегрирование

Теперь, воспользовавшись формулами (8) и (11) из § 11, можно этот двойной интеграл преобразовать в поверхностный. Получаем
Интегрирование

Аналогично доказывается при соответствующих условиях справедливость следующих двух формул:
Интегрирование

Складывая почленно равенства (1), (2), (3), получаем формулу
Интегрирование
которая называется формулой Стокса.

С помощью формулы, связывающей поверхностные интегралы, (14) из § 11 формулу Стокса можно переписать в следующем виде: Интегрирование

Формулу Стокса легко запомнить, заметив, что первое слагаемое в правой ее части это то же самое выражение, которое стоит под знаком двойного интеграла в формуле Грина, а второе и третье получаются из него циклической перестановкой координат х, у, z и функций Р, Q, R.

В частности, если поверхность S — область плоскости Оху, ограниченная контуром L, то интегралы по dzdx и dydz обращаются в нуль и формула Стокса переходит в формулу Грина.

Формула Стокса позволяет вычислять криволинейные интегралы по замкнутым контурам с помощью поверхностных интегралов.

Пример:

Вычислить с помощью формулы Стокса интеграл Интегрирование
где L — окружность, заданная уравнениями Интегрирование а поверхностью S служит верхняя сторона полусферы Интегрирование и контур L проходится в положительном направлении.

Решение:

Так как Интегрированието криволинейный интеграл по любой пространственной замкнутой кривой L равен нулю: Интегрирование

А это значит, что в данном случае криволинейный интеграл не зависит от выбора пути интегрирования.

Как и в случае плоской кривой, условия (5) являются необходимыми и достаточными для выполнения равенства (6).

При выполнении условий (5) или (6) подынтегральное выражение Интегрирование представляет собой полный дифференциал некоторой функции U (х, у, z): Интегрирование

Справедливость этого равенства устанавливается так же, как соответствующая формула (4) из § 8 для функции двух переменных.

Скалярное и векторное поля

Понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. Изучение теории поля выходит за рамки данного курса, поэтому ограничимся только краткими сведениями.

В общем случае говорят, что в пространстве задано поле некоторой величины u, если в каждой точке пространства (или некоторой его части) определено значение этой величины. Так, например, при изучении потока газа приходится исследовать несколько полей: температурное поле (в каждой точке температура имеет определенное значение), поле давлений, поле скоростей и т. д.

Поле величины u называется стационарным (или установившимся), если и не зависит от времени t. В противном случае поле называется нестационарным (или неустановившимся). Таким образом, величина u есть функция точки М и времени t.

В физических задачах чаще всего приходится иметь дело со скалярными и векторными величинами. В соответствии с этим различают два вида полей: скалярные и векторные. Для простоты будем считать их стационарными.

Скалярное поле

Пусть G — некоторая область на плоскости или в пространстве. Если в каждой точке М из G определена скалярная величина u, то говорят, что в области G задано скалярное поле. Понятия скалярного поля и функции, определенной в области G, совпадают. Обычно используют следующую терминологию: скалярное поле задается с помощью функции u=F(M), которая называется скалярной функцией. Если в пространстве ввести систему координат Oxyz, то каждая точка М будет иметь определенные координаты х, у, z и скалярная величина и является функцией этих координат: u=F(М)= F(х, у, z).

Примером скалярного поля может служить поле температур воздуха в некотором помещении, если температуру рассматривать как функцию точки. В точках, расположенных ближе к источнику теплоты, температура выше, дальше от источника теплоты — ниже.

Если окажется, что температура везде одинаковая, то в этом случае скалярное поле постоянно.

Векторное поле

Аналогично с понятием скалярного поля вводится понятие векторного поля: если в каждой точке М из G определен вектор Интегрирование(М), то говорят, что в области G задано векторное поле. Функция Интегрирование(M), с помощью которой задается векторное поле, называется векторной функцией.

Примером векторного поля может служить поле сил любой природы. Каждой точке области соответствует определенный вектор, имеющий числовую величину и направление силы в этой точке.

Пример:

Найти векторное поле скоростей Интегрирование точек твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью Интегрирование вокруг оси.
Решение:

Скорость Интегрирование точки М равна векторному произведению Интегрирование где Интегрирование — вектор угловой скорости; Интегрирование — радиус-вектор точки М вращающегося тела относительно какой-либо точки оси вращения. Примем эту неподвижную точку оси за начало координат, а ось вращения — за ось Oz. Тогда Интегрирование и, следовательно.

Интегрирование
— искомое векторное поле.

Потенциальное поле

Введем понятие потенциального поля. Рассмотрим некоторое скалярное поле F(М). Если в каждой точке М из G определен вектор grad F, то поле этого вектора называется потенциальным полем. Само скалярное поле называется при этом потенциалом векторного поля, а вектор, определяющий потенциальное поле, часто называют потенциальным вектором, т. е. вектор Интегрирование(М) потенциальный, если найдется такая скалярная функция F(M), что Интегрирование

Возникает вопрос, при каких условиях данное векторное поле Интегрирование(М) потенциальное. Фактически этот вопрос уже рассмотрен в § 7. Пусть Р, Q и R — проекции вектора Интегрирование на оси координат Ox, Оу, Oz соответственно, т. е.
Интегрирование

В силу соотношения (1) векторное поле Интегрирование(М) является потенциальным, если найдется функция F (М) такая, чтоИнтегрирование

В теореме 13.7 было показано, что выражение Интегрирование (где P, Q, R — непрерывные функции, имеющие непрерывные частные производные первого порядка) полный дифференциал некоторой функции F (х, у, z) в том и только в том случае, когда Р, Q, R удовлетворяют условиям Интегрирование

Но если Интегрирование, то справедливы и равенства (2),
т. е. условие (3) как раз и означает, что данное векторное поле потенциальное. Функция F (х, у, z) в этом случае называется потенциальной функцией поля.

Примером потенциального поля служит поле сил тяготения. Если в начале координат помещена масса т, то эта масса создает поле сил тяготения; в каждой точке М пространства на помещенную в эту точку единичную массу по закону Ньютона действует сила Интегрирование(М), равная по величине Интегрирование и направленная к началу координат. Здесь Интегрирование — расстояние от начала координат О до точки М; k — коэффициент пропорциональности.

Пусть х, у, z — координаты точки М. Тогда проекции Р, Q и R силы Интегрирование(М) определяются следующим образом: Интегрирование

где Интегрирование — направляющие косинусы вектора Интегрирование(М). Следовательно,
Интегрирование

Можно проверить, что данное векторное поле потенциальное и его потенциальная функция Интегрирование

В заключение найдем работу силы Интегрирование(М) при перемещении единичной массы из точки Интегрирование.

Как известно, работа А выражается криволинейным интегралом
Интегрирование
где Р, Q и R — проекции силы Интегрирование(М) на оси координат. Так как данное силовое поле является потенциальным, то подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал, поэтому интеграл не зависит от выбора пути интегрирования и может быть вычислен по формуле Интегрирование

т. е. работа силы Интегрирование(М) равна разности значений потенциальной функции в точках С и В. В данном случае
Интегрирование
где Интегрирование — расстояния точек B и С от начала координат.

Заметим, что областью, в которой определено поле сил тяготения, является все пространство, за исключением начала координат.

Задача о потоке векторного поля

Пусть в пространстве задано векторное поле Интегрирование скоростей жидкости, т. е. пространство заполнено движущейся жидкостью, скорость которой в каждой точке М (х; у, z) задается вектором Интегрирование
где Р, Q и R — проекции скорости на оси координат. Пусть Р, Q и R — непрерывные функции координат. Вычислим количество П жидкости, протекающей за единицу времени через некоторую ориентированную поверхность S, ограниченную пространственной кривой L, считая плотность жидкости Интегрирование

Пусть Интегрирование — единичный вектор нормали к поверхности S, и пусть его направляющие косинусы являются непрерывными функциями координат х, у, z точек данной поверхности.

Разобьем поверхность S произвольно на n частей с площадями Интегрирование и в каждой из них выберем точку Интегрирование

Найдем количество П, жидкости, протекающей за единицу времени через i-ю часть поверхности (рис. 213). Обозначим через Интегрирование угол между векторами Интегрирование. Если этот угол острый, т. е. жидкость течет в «ту сторону», куда указывает нормаль Интегрирование, то величину Интегрирование будем считать положительной, а если угол тупой, т. е. жидкость течет в «обратную сторону», — отрицательной.

Приближенно можно считать, что при достаточно мелком разбиении поверхности S скорость Интегрирование во всех точках i-й части постоянна и равна Интегрирование, а частичные поверхности — плоские. Тогда величина Интегрирование приближенно равна взятому с соответствующим знаком объему цилиндра с площадью основания Интегрирование и высотой, равной модулю проекции вектора Интегрирование на нормаль Интегрирование, т. е. Интегрирование где h — указанная проекция. А так как
Интегрирование

Суммируя по i от l до n, получаем приближенное значение количества П жидкости, протекающей через ориентированную поверхность S за единицу времени:
Интегрирование

Сумма справа является интегральной суммой для функции Интегрирование. Так как проекции Р, Q, R вектора Интегрирование и направляющие косинусы вектора Интегрирование — непрерывные функции координат х, у, z точек поверхности S, то скалярное произведение Интегрирование непрерывная функция. Следовательно, предел этой суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров частей поверхности существует и равен поверхностному интегралу первого рода по поверхности S от функции Интегрирование. Переходя к пределу, получаем точное значение П:

Интегрирование
или, выражая скалярное произведение через координаты векторов,Интегрирование

Воспользовавшись формулой (14) из § 11, связывающей поверхностные интегралы первого и второго рода, окончательно имеем
Интегрирование

Таким образом, количество П жидкости, протекающей за единицу времени через ориентированную поверхность S, представляет собой поверхностный интеграл второго рода по выбранной стороне поверхности.

Для произвольного векторного поля Интегрирование поверхностный интеграл второго рода (4) называется потоком вектора Интегрирование [или потоком векторного поля Интегрирование] через поверхность S. Для векторного поля иной природы, чем в рассмотренном примере, поток, разумеется, имеет другой физический смысл.

Дивергенция

Пусть в некоторой области V, ограниченной поверхностью S, задано векторное поле Интегрирование, такое, что функции P(M), Q (М), R (М) непрерывны в V вместе с частными производными.

Определение:

Дивергенцией векторного поля Интегрирование называется скалярная функция Интегрирование, определяемая равенствомИнтегрирование

Используя выражение для дивергенции и понятие потока вектора через поверхность, формулу Остроградского (см. формулу (1), § 12) можно записать в более компактной векторной форме. Поверхностный интеграл в формуле Остроградского представляет собой поток вектора Интегрирование через поверхность S: Интегрирование

Используя это выражение и формулу (5), запишем формулу Остроградского в виде Интегрирование

Таким образом, поток вектора Интегрирование через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции поля Интегрирование, взятому по области, ограниченной поверхностью S.

Покажем, что дивергенция не зависит от выбора системы координат, хотя ее определение и было с ней связано. Для этого возьмем произвольную точку Л1, заключим ее в область V, ограниченную поверхностью S, и применим к области V формулу Остроградскаго. Далее, используя теорему о среднем для тройного интеграла, получаем
Интегрирование
где Интегрирование —некоторая точка области V; Интегрирование — объем области V. Отсюда Интегрирование

Будем теперь стягивать область V в точку М. При этом Интегрирование и мы получаемИнтегрирование
т. е. дивергенция векторного поля Интегрирование в точке М является пределом отношения потока вектора Интегрирование через поверхность S, окружающую точку М, к объему области. А так как поток и объем не зависят от выбора системы координат, то и дивергенция также не зависит от выбора системы координат, что и требовалось показать.

Выясним теперь с помощью формулы (7) физический смысл дивергенции. Для этого будем рассматривать векторное поле Интегрирование как поле скоростей жидкости с плотностью р=1. Как установлено в п. 4, поток
Интегрирование
вектора Интегрирование равен количеству жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность S в направлении нормали Интегрирование. Пусть Интегрирование — внешняя нормаль. Поскольку S — замкнутая поверхность, то, очевидно, поток вектора Интегрирование равен количеству жидкости, которое за единицу времени возникает или уничтожается в пределах области V, ограниченной поверхностью S. Назовем это количество суммарной мощностью источников (если П>0) или стоков (если П<0), расположенных в области V. Рассмотрим отношение Интегрирование

Оно представляет собой среднюю плотность источников (или стоков), т. е. количество жидкости, возникающей (или исчезающей) за единицу времени в единице объема области V, а предел
Интегрирование
при условии, что область V стягивается в точку М, можно назвать плотностью источников (или стоков) в точке М. Но этот предел равен Интегрирование. Таким образом, дивергенция векторного поля скоростей характеризует плотность источников жидкости.

Если Интегрирование , то, как следует из формулы (6), П>0, т. е. внутри области V имеются источники жидкости и из нее вытекает жидкости больше, чем втекает; если Интегрирование, то П<0, т. е. внутри области V имеются стоки жидкости и в нее втекает жидкости больше, чем вытекает. Если же Интегрирование, то П=0, т. е. внутри области V нет ни стоков, ни источников и в нее втекает столько же жидкости, сколько и вытекает. Это, например, имеет место для любой области V, расположенной в потоке воды, текущей в реке.

Для произвольного векторного поля Интегрирование имеет аналогичный физический смысл: дивергенция характеризует плотность источников поля.

Векторное поле Интегрирование называется соленоидальным (или трубчатым), если в каждой его точке Интегрирование. Примером такого поля служит, как было показано выше, поле скоростей жидкости при отсутствии стоков и источников.

Пример:

Вычислить дивергенцию поля скоростей Интегрирование твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси Oz.

Решение. Здесь Интегрирование. Поэтому Интегрирование т. е. данное векторное поле является соленоидальным.

Циркуляция. Ротор

Пусть снова в некоторой области задано векторное поле
Интегрирование

и L — гладкая или кусочно-гладкая кривая, расположенная в этой области. Выберем на кривой L одно из двух направлений движения и обозначим через Интегрирование вектор, имеющий в каждой точке направление, совпадающее с направлением движения по кривой в этой точке, и по модулю равный дифференциалу длины дуги:Интегрирование

Тогда криволинейный интеграл от скалярного произведения векторов Интегрирование
Интегрирование
называется циркуляцией векторного поля Интегрирование вдоль кривой L. В силовом поле циркуляция выражает работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль пути L. Для полей другой природы циркуляция имеет иной физический смысл.

Определение:

Ротором векторного поля Интегрирование называется вектор Интегрирование, определяемый равенствомИнтегрированиеС помощью понятий ротора и циркуляции формулу Стокса
Интегрирование

Таким образом, циркуляция векторного поля Интегрирование вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность S, ограниченную контуром L.

Так же как и для дивергенции, можно показать, что Интегрирование не зависит от выбора системы координат, а определяется только самим векторным полем Интегрирование.

Пример:

Вычислить ротор поля скоростей Интегрирование твердого тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью Интегрирование вокруг оси Oz.
Решение:

Используя определение ротора, получаем Интегрирование
т. е. ротор данного векторного поля направлен по оси вращения Oz, а по модулю равен удвоенной угловой скорости.

Понятие ротора непосредственно связано с понятием потенциального поля. Было показано, что векторное поле Интегрирование потенциальное в том и только в том случае, если Интегрирование

Но это означает, равенство нулю всех трех координат ротора поля Интегрирование, т. е. для того чтобы векторное поле Интегрирование было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
Интегрирование

Оператор Гамильтона

Основные понятия теории поля: градиент, дивергенция, ротор и операции над ними удобно представлять с помощью оператора Гамильтона, или оператора «набла»:Интегрирование
Оператор Интегрирование будем рассматривать как символический вектор с координатами Интегрирование, а операции с ним проводить по правилам векторной алгебры. При этом под произведением , Интегрирование на скалярную функцию будем понимать частную производную этой функции соответственно по х, у и z.

Основные понятия теории поля: градиент, дивергенция, ротор и операции над ними удобно представлять с помощью оператора Гамильтона, или оператора «набла»:Интегрирование
Оператор Интегрирование будем рассматривать как символический вектор с координатами Интегрирование, а операции с ним проводить по правилам векторной алгебры. При этом под произведением , Интегрирование на скалярную функцию будем понимать частную производную этой функции соответственно по х, у и z.

Примеры:
1. Пусть u (x, у, z) — скалярная функция. Тогда произведение оператора Интегрирование на функцию u дает градиент этой функции:
Интегрирование
2. Пусть Интегрирование — вектор-функция. Тогда скалярное произведение оператора Интегрирование на вектор-функцию Интегрирование дает дивергенцию этой функции Интегрирование

3. Векторное произведение оператора Интегрирование на вектор-функцию Интегрирование дает ротор этой функции
Интегрирование

В приложениях часто встречаются так называемые операции второго порядка, т. е. попарные комбинации трех указанных выше операций. Рассмотрим наиболее важные из них. Интегрирование

в силу равенства смешанных производных второго порядка. Этот же результат легко получить с помощью оператора Интегрирование:Интегрирование
так как здесь имеем смешанное произведение трех «векторов»: Интегрирование два из которых одинаковы. Такое произведение, очевидно, равно нулю.

Интегрированиев силу равенства смешанных производных второго порядка. Этот же результат легко получить с помощью оператора Интегрирование:
Интегрирование
так как векторное произведение одинаковых «векторов» равно нулю.

Интегрирование
Правая часть равенства (8) символически обозначается так:
Интегрирование

называется оператором Лапласа*. Оператор Лапласа Интегрирование естественно рассматривать как скалярный квадрат «вектора» Интегрирование. В самом деле, Интегрирование

Поэтому равенство (8) с помощью оператора Интегрирование записывается в видеИнтегрирование
называется уравнением Лапласа. С его помощью описываются стационарные процессы различной физической природы, например: стационарное распределение теплоты, электростатическое поле точечных зарядов, установившееся движение несжимаемой жидкости внутри некоторой области и т. д. Скалярное поле u (х, у, z), удовлетворяющее условию Интегрирование, называется лапласовым, или гармоническим, полем.

Дополнение к интегрированию

Интегрирование

Интегрирование

Интегрирование

Смотрите также:

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Неопределённый интеграл
  31. Определенный интеграл
  32. Криволинейные интегралы
  33. Поверхностные интегралы
  34. Несобственные интегралы
  35. Кратные интегралы
  36. Интегралы, зависящие от параметра
  37. Квадратный трехчлен
  38. Производная
  39. Применение производной к исследованию функций
  40. Приложения производной
  41. Дифференциал функции
  42. Дифференцирование в математике
  43. Формулы и правила дифференцирования
  44. Дифференциальное исчисление
  45. Дифференциальные уравнения
  46. Дифференциальные уравнения первого порядка
  47. Дифференциальные уравнения высших порядков
  48. Дифференциальные уравнения в частных производных
  49. Тригонометрические функции
  50. Тригонометрические уравнения и неравенства
  51. Показательная функция
  52. Показательные уравнения
  53. Обобщенная степень
  54. Взаимно обратные функции
  55. Логарифмическая функция
  56. Уравнения и неравенства
  57. Положительные и отрицательные числа
  58. Алгебраические выражения
  59. Иррациональные алгебраические выражения
  60. Преобразование алгебраических выражений
  61. Преобразование дробных алгебраических выражений
  62. Разложение многочленов на множители
  63. Многочлены от одного переменного
  64. Алгебраические дроби
  65. Пропорции
  66. Уравнения
  67. Системы уравнений
  68. Системы уравнений высших степеней
  69. Системы алгебраических уравнений
  70. Системы линейных уравнений
  71. Системы дифференциальных уравнений
  72. Арифметический квадратный корень
  73. Квадратные и кубические корни
  74. Извлечение квадратного корня
  75. Рациональные числа
  76. Иррациональные числа
  77. Арифметический корень
  78. Квадратные уравнения
  79. Иррациональные уравнения
  80. Последовательность
  81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  82. Тригонометрические функции произвольного угла
  83. Тригонометрические формулы
  84. Обратные тригонометрические функции
  85. Теорема Безу
  86. Математическая индукция
  87. Показатель степени
  88. Показательные функции и логарифмы
  89. Множество
  90. Множество действительных чисел
  91. Числовые множества
  92. Преобразование рациональных выражений
  93. Преобразование иррациональных выражений
  94. Геометрия
  95. Действительные числа
  96. Степени и корни
  97. Степень с рациональным показателем
  98. Тригонометрические функции угла
  99. Тригонометрические функции числового аргумента
  100. Тригонометрические выражения и их преобразования
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти корни функции математика
  • Как найти где находится java
  • Как найти номер телефона в блаблакаре
  • Как составить распоряжение по школе
  • Как составить смету расходов для тсн

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии