Как найти энергию звуковой волны

Энергия
звуковой волны. Интенсивность звука

Распространение
звуковой волны сопровождается переносом энергии, которая зависит от звукового
давления p
и колебательной скорости v
в каждой точке среды.

Средний
поток звуковой энергии, проходящий в единицу времени через единицу поверхности,
нормальной к направлению распространения волны, называется интенсивностью звука или силой звука
(Вт/м²): 

. 

Векторная
величина, характеризующая также направление переноса энергии в волне, называется
вектором Умова: 

. 

Наряду
с интенсивностью звука используют величину плотность звуковой
энергии (Дж/м³),
равную энергии колебаний в единице объема звукового поля.

Можно
показать, что в бегущей волне

. 

Таким
образом:          .

Передача
энергии звуковой волны в область, ранее не затронутую волнами, требует
непрерывного расходования энергии со стороны источника, возбуждающего звук. В
тех зонах, где волна уже возникла, энергия непрерывно передается дальше со
скоростью звука. Возникающие в среде переменные давления непрерывно совершают
работу, ввиду чего и возникает волновое сопротивление (импеданс)  при колебательных движениях частиц
среды.

Формулы
для силы звука: 

 

 подобны формулам закона Джоуля–Ленца для
мощности электрического тока, только мощность, затрачиваемая при действии сил
давления, расходуется не на выделение тепла, а на передачу энергии новым частям
среды. Поэтому величину  часто называют также сопротивлением
излучения среды.

Логарифмическая
шкала силы звука. Децибелы

Отношение
максимальной и минимальной интенсивности слышимого человеческим ухом звука очень
велико и составляет 10¹⁴ раз (для звукового давления 10⁷
раз). Поэтому для характеристики силы звука удобнее пользоваться
логарифмическими величинами:

уровнем
интенсивности звука,
выраженным в децибелах (дБ):

 

и
уровнем звукового давления
(дБ): 

,

где
I₀
и p₀
– значения, соответствующие порогу слышимости на частоте 1000 Гц (,
p₀
= 2∙10^-5 Па).

Значение
p₀ выбрано таким образом, чтобы при нормальных атмосферных
условиях L_I
= L_p.
Поэтому в дальнейшем будем использовать величину   L
=
L_I
 = L_p,
которую называют уровнем звука в
децибелах.

Уровень
звука, соответствующий порогу слышимости на частоте 1000 Гц, равен 0 дБ.
Болевой порог восприятия звука соответствует I_б
=
10² Вт/м² и р_б = 2∙10² Па, что
дает значение L_б
= 140 дБ.

Введению
логарифмических единиц измерения способствовало также то обстоятельство, что ухо
человека реагирует не на абсолютное изменение интенсивности звука, а на
относительное. Разница уровней в 1 дБ соответствует минимальной величине,
различимой слухом, при этом интенсивность звука изменяется в 1,26 раза или на
26%. Если же разница уровней составляет 3 дБ, то сила звука изменяется уже в 2
раза.

Рассмотрим,
как рассчитать суммарный уровень звука для звукового поля, создаваемого
несколькими источниками. Возьмем для простоты два
источника.

В
любой точке пространства звуковое давление равно:

 

где
р₁ и р₂ – мгновенные значения звуковых
давлений, создаваемых в этой точке соответственно первым и вторым
источником.

Результирующая
интенсивность звука равна: 

 

Если
источники звука некогерентные, то есть создаваемые ими давления не связаны по
фазе, то средний квадрат звукового давления    и, следовательно,   — интенсивность суммарного звукового поля
равна сумме интенсивностей источников.

Таким
образом, если поле создается N
некогерентными источниками, то

I
=
I₁+I₂+…+I_N
,     а       дБ, 

где
,  … — уровни звука, создаваемые
каждым

источником
в расчетной точке.

При
N
одинаковых источниках шума, равноудаленных от расчетной точки, с уровнями
звукового давления L₀,
суммарный уровень равен:

L
= L₀+10lgN.

Презентация к разделу 2

< Предыдущая                     Оглавление                      Следующая >

ЭНЕ́РГИЯ ЗВУКОВО́Й ВОЛНЫ́, энер­гия сре­ды, обу­слов­лен­ная на­ли­чи­ем в ней зву­ко­вых волн. Э. з. в. еди­ни­цы объ­ё­ма сре­ды на­зы­ва­ет­ся плот­но­стью зву­ко­вой энер­гии ℰ и рав­на ℰ=ρu²/2+βp²/2, где пер­вое сла­гае­мое пред­став­ля­ет со­бой плот­ность ки­не­тич. энер­гии ℰ_кин, вто­рое – плот­ность по­тен­ци­аль­ной энер­гии ℰ_пот, ρ – плот­ность сре­ды, u – ко­ле­ба­тель­ная ско­рость час­тиц, β  – сжи­мае­мость сре­ды, р – зву­ко­вое дав­ле­ние. Для пло­ской бе­гу­щей вол­ны ℰ_кин=ℰ_пот и плот­ность зву­ко­вой энер­гии ℰ=ρu²=βp². Для про­из­воль­ной вол­ны это вы­ра­же­ние име­ет ме­сто для сред­не­го по вре­ме­ни зна­че­ния плот­но­сти зву­ко­вой энер­гии. Еди­ни­ца плот­но­сти зву­ко­вой энер­гии в СИ – Дж/м³.

ЗВУК И АКУСТИКА. Звук – это колебания, т.е. периодическое механическое возмущение в упругих средах – газообразных, жидких и твердых. Такое возмущение, представляющее собой некоторое физическое изменение в среде (например, изменение плотности или давления, смещение частиц), распространяется в ней в виде звуковой волны. Область физики, рассматривающая вопросы возникновения, распространения приема и обработки звуковых волн, называется акустикой. Звук может быть неслышимым, если его частота лежит за пределами чувствительности человеческого уха, или он распространяется в такой среде, как твердое тело, которая не может иметь прямого контакта с ухом, или же его энергия быстро рассеивается в среде. Таким образом, обычный для нас процесс восприятия звука – лишь одна сторона акустики.

ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ

Рассмотрим длинную трубу, наполненную воздухом. С левого конца в нее вставлен плотно прилегающий к стенкам поршень (рис. 1). Если поршень резко двинуть вправо и остановить, то воздух, находящийся в непосредственной близости от него, на мгновение сожмется (рис. 1,а). Затем сжатый воздух расширится, толкнув воздух, прилегающий к нему справа, и область сжатия, первоначально возникшая вблизи поршня, будет перемещаться по трубе с постоянной скоростью (рис. 1,б). Эта волна сжатия и есть звуковая волна в газе.

Звуковая волна в газе характеризуется избыточным давлением, избыточной плотностью, смещением частиц и их скоростью. Для звуковых волн эти отклонения от равновесных значений всегда малы. Так, избыточное давление, связанное с волной, намного меньше статического давления газа. В противном случае мы имеем дело с другим явлением – ударной волной. В звуковой волне, соответствующей обычной речи, избыточное давление составляет лишь около одной миллионной атмосферного давления.

Важно то обстоятельство, что вещество не уносится звуковой волной. Волна представляет собой лишь проходящее по воздуху временное возмущение, по прохождении которого воздух возвращается в равновесное состояние.

Волновое движение, конечно, не является характерным только для звука: в форме волн распространяются свет и радиосигналы, и каждому знакомы волны на поверхности воды. Все типы волн математически описываются так называемым волновым уравнением.

Гармонические волны.

Волна в трубе на рис. 1 называется звуковым импульсом. Очень важный тип волны возбуждается, когда поршень колеблется туда-сюда подобно грузу, подвешенному на пружине. Такие колебания называются простыми гармоническими или синусоидальными, а возбуждаемая в этом случае волна – гармонической.

При простых гармонических колебаниях движение периодически повторяется. Промежуток времени между двумя одинаковыми состояниями движения называется периодом колебаний, а число полных периодов в секунду, – частотой колебаний. Обозначим период через Т, а частоту – через f; тогда можно написать, что f = 1/T. Если, например, частота равна 50 периодам в секунду (50 Гц), то период равен 1/50 секунды.

Математически простые гармонические колебания описываются простой функцией. Смещение поршня при простых гармонических колебаниях для любого момента времени t можно записать в виде

Здесь d – смещение поршня из положения равновесия, а D – постоянный множитель, который равен максимальному значению величины d и называется амплитудой смещения.

Предположим, что поршень колеблется в соответствии с формулой гармонических колебаний. Тогда при движении его вправо возникает, как и прежде, сжатие, а при движении влево давление и плотность будут уменьшаться относительно своих равновесных значений. Возникает не сжатие, а разрежение газа. В этом случае вправо будет распространяться, как показано на рис. 2, волна чередующихся сжатий и разрежений. В каждый момент времени кривая распределения давления по длине трубы будет иметь вид синусоиды, и эта синусоида будет двигаться вправо со скоростью звука v. Расстояние вдоль трубы между одинаковыми фазами волны (например, между соседними максимумами) называется длиной волны. Ее принято обозначать греческой буквой l (лямбда). Длина волны l есть расстояние, проходимое волной за время Т. Поэтому l = Tv, или v = lf.

Продольные и поперечные волны.

Если частицы колеблются параллельно направлению распространения волны, то волна называется продольной. Если же они колеблются перпендикулярно направлению распространения, то волна называется поперечной. Звуковые волны в газах и жидкостях – продольные. В твердых же телах существуют волны обоих типов. Поперечная волна в твердом теле возможна благодаря его жесткости (сопротивлению к изменению формы).

Самая существенная разница между этими двумя типами волн заключается в том, что поперечная волна обладает свойством поляризации (колебания происходят в определенной плоскости), а продольная – нет. В некоторых явлениях, таких, как отражение и прохождение звука через кристаллы, многое зависит от направления смещения частиц, так же как и в случае световых волн.

Скорость звуковых волн.

Скорость звука – это характеристика среды, в которой распространяется волна. Она определяется двумя факторами: упругостью и плотностью материала. Упругие свойства твердых тел зависят от типа деформации. Так, упругие свойства металлического стержня неодинаковы при кручении, сжатии и изгибе. И соответствующие волновые колебания распространяются с разной скоростью.

Упругой называется среда, в которой деформация, будь то кручение, сжатие или изгиб, пропорциональна силе, вызывающей деформацию. Такие материалы подчиняются закону Гука:

Напряжение = C ґ Относительная деформация,

где С – модуль упругости, зависящий от материала и типа деформации.

Скорость звука v для данного типа упругой деформации дается выражением

где r – плотность материала (масса единицы объема).

Скорость звука в твердом стержне.

Длинный стержень можно растянуть или сжать силой, приложенной к концу. Пусть длина стержня равна L, прикладываемая растягивающая сила – F, а увеличение длины – DL. Величину DL/L будем называть относительной деформацией, а силу, приходящуюся на единицу площади поперечного сечения стержня, – напряжением. Таким образом, напряжение равно F/A , где А – площадь сечения стержня. В применении к такому стержню закон Гука имеет вид

где Y – модуль Юнга, т.е. модуль упругости стержня для растяжения или сжатия, характеризующий материал стержня. Модуль Юнга мал для легко растяжимых материалов, таких, как резина, и велик для жестких материалов, например для стали.

Если теперь ударом молотка по торцу стержня возбудить в нем волну сжатия, то она будет распространяться со скоростью , где r, как и прежде, – плотность материала, из которого изготовлен стержень. Значения скоростей волн для некоторых типовых материалов приведены в табл. 1.

Таблица 1. СКОРОСТЬ ЗВУКА ДЛЯ РАЗНЫХ ТИПОВ ВОЛН В ТВЕРДЫХ МАТЕРИАЛАХ
Материал	Продольные волны в протяженных твердых образцах (м/с)	Волны сдвига и кручения (м/с)	Волны сжатия в стержнях (м/с)
Алюминий	6420	3040	5000
Латунь	4700	2110	3480
Свинец	5950	3240	5120
Железо	1960	690	1210
Серебро	3650	1610	2680
Нержавеющая сталь	5790	3100	5000
Флинтглас	3980	2380	3720
Кронглас	5100	2840	4540
Оргстекло	2680	1100	1840
Полиэтилен	1950	540	920
Полистирол	2350	1120	2240

Рассмотренная волна в стержне является волной сжатия. Но ее нельзя считать строго продольной, так как со сжатием связано движение боковой поверхности стержня (рис. 3,а).

В стержне возможны и два других типа волн – волна изгиба (рис. 3,б) и волна кручения (рис. 3,в). Деформациям изгиба соответствует волна, не являющаяся ни чисто продольной, ни чисто поперечной. Деформации же кручения, т.е. вращения вокруг оси стержня, дают чисто поперечную волну.

Скорость волны изгиба в стержне зависит от длины волны. Такую волну называют «дисперсионной».

Волны кручения в стержне – чисто поперечные и недисперсионные. Их скорость дается формулой

где m – модуль сдвига, характеризующий упругие свойства материала по отношению к сдвигу. Некоторые типичные скорости волн сдвига приведены в табл. 1.

Скорость в протяженных твердых средах.

В твердых средах большого объема, где влиянием границ можно пренебречь, возможны упругие волны двух типов: продольные и поперечные.

Деформация в продольной волне – это плоская деформация, т.е. одномерное сжатие (или разрежение) в направлении распространения волны. Деформация, соответствующая поперечной волне, – это сдвиговое смещение, перпендикулярное направлению распространения волны.

Скорость продольных волн в твердых материалах дается выражением

где C_L – модуль упругости для простой плоской деформации. Он связан с модулем объемной деформации В (определение которого дается ниже) и модулем сдвига m материала соотношением C_L = B + 4/3m. В табл. 1 приводятся значения скоростей продольных волн для различных твердых материалов.

Скорость волн сдвига в протяженных твердых средах та же, что и скорость волн кручения в стержне из того же материала. Поэтому она дается выражением . Ее значения для обычных твердых материалов даны в табл. 1.

Скорость в газах.

В газах возможен только один тип деформации: сжатие – разрежение. Соответствующий модуль упругости В называется модулем объемной деформации. Он определяется соотношением

–DP = B(DV/V).

Здесь DP – изменение давления, DV/V – относительное изменение объема. Знак «минус» показывает, что при увеличении давления объем уменьшается.

Величина В зависит от того, изменяется или нет температура газа при сжатии. В случае звуковой волны можно показать, что давление изменяется очень быстро и теплота, выделяющаяся при сжатии, не успевает уходить из системы. Таким образом, изменение давления в звуковой волне происходит без теплообмена с окружающими частицами. Такое изменение называется адиабатическим. Установлено, что скорость звука в газе зависит только от температуры. При данной температуре скорость звука примерно одинакова для всех газов. При температуре 21,1° С скорость звука в сухом воздухе составляет 344,4 м/с и возрастает с повышением температуры.

Скорость в жидкостях.

Звуковые волны в жидкостях являются волнами сжатия – разрежения, как и в газах. Скорость дается той же формулой . Однако жидкость гораздо менее сжимаема, чем газ, и поэтому для нее во много раз больше величина В, больше и плотность r. Скорость звука в жидкостях ближе к скорости в твердых материалах, чем в газах. Она гораздо меньше, чем в газах, зависит от температуры. Например, скорость в пресной воде равна 1460 м/с при 15,6° С. В морской воде нормальной солености она при той же температуре составляет 1504 м/с. Скорость звука возрастает с повышением температуры воды и концентрации соли.

Стоячие волны.

Когда гармоническая волна возбуждается в ограниченном пространстве, так что она отражается от границ, возникают так называемые стоячие волны. Стоячая волна – это результат наложения двух волн, бегущих одна в прямом, а другая – в обратном направлении. Возникает не движущаяся в пространстве картина колебаний с чередованием пучностей и узлов. В пучностях отклонения колеблющихся частиц от их равновесных положений максимальны, а в узлах равны нулю.

Стоячие волны в струне.

В натянутой струне возникают поперечные волны, причем происходит смещение струны относительно ее первоначального, прямолинейного положения. При фотографировании волн в струне отчетливо видны узлы и пучности основного тона и обертонов.

Картина стоячих волн существенно облегчает анализ колебательных движений струны данной длины. Пусть имеется струна длиной L , закрепленная на концах. Любой вид колебаний такой струны может быть представлен как комбинация стоячих волн. Поскольку концы струны неподвижно закреплены, возможны только такие стоячие волны, которые имеют узлы в граничных точках. Самая низкая частота колебаний струны соответствует максимально возможной длине волны. Поскольку расстояние между узлами равно l/2, частота минимальна, когда длина струны равна половине длины волны, т.е. при l = 2L . Это так называемая основная мода колебаний струны. Соответствующая ей частота, называемая основной частотой или основным тоном, дается выражением f = v/2L, где v – скорость распространения волны вдоль струны.

Существует целая последовательность колебаний более высоких частот, которые соответствуют стоячим волнам с бóльшим числом узлов. Следующая более высокая частота, которая называется второй гармоникой или первым обертоном, дается выражением

f = v/L.

Последовательность гармоник выражается формулой f = nv/2L, где n = 1, 2, 3, и т.д. Это т.н. собственные частоты колебаний струны. Они возрастают пропорционально числам натурального ряда: высшие гармоники в 2, 3, 4… и т.д. раз больше частоты основного колебания. Такой ряд звуков называется натуральным или гармоническим звукорядом.

Все это имеет важное значение в музыкальной акустике, о чем подробнее будет сказано ниже. Пока же отметим, что в звуке, производимом струной, присутствуют все собственные частоты. Относительный вклад каждой из них зависит от того, в какой точке возбуждены колебания струны. Если, например, ущипнуть струну посередине, то сильнее всего возбудится основная частота, поскольку эта точка соответствует пучности. Вторая же гармоника будет отсутствовать, так как в центре находится ее узел. То же можно сказать и о других гармониках (см. ниже Музыкальная акустика).

Скорость волн в струне равна

где Т – сила натяжения струны, а r_L – масса единицы длины струны. Следовательно, спектр собственных частот струны дается выражением

Таким образом, увеличение натяжения струны приводит к повышению частот колебаний. Понизить же частоты колебаний при заданном T можно, взяв более тяжелую струну (большое r_L) или увеличив ее длину.

Стоячие волны в органных трубах.

Теория, изложенная применительно к струне, может быть применена и к колебаниям воздуха в трубе типа органной. Органную трубу можно упрощенно рассматривать как прямую трубу, в которой возбуждаются стоячие волны. Труба может иметь как закрытые, так и открытые концы. У открытого конца возникает пучность стоячей волны, а у закрытого – узел. Следовательно, труба с двумя открытыми концами имеет такую основную частоту, при которой на длине трубы укладывается половина длины волны. Труба же, у которой один конец открыт, а другой – закрыт, имеет основную частоту, при которой на длине трубы укладывается четверть длины волны. Таким образом, основная частота для трубы, открытой с обоих концов, равна f = v/2L, а для трубы, открытой с одного конца, f = v/4L (где L – длина трубы). В первом случае результат такой же, как и для струны: обертоны равны удвоенному, утроенному и т.д. значению основной частоты. Однако для трубы, открытой с одного конца, обертоны будут больше основной частоты в 3, 5, 7 и т.д. раз.

На рис. 4 и 5 схематически показана картина стоячих волн основной частоты и первого обертона для труб двух рассмотренных типов. Смещения из соображений удобства здесь показаны как поперечные, но на самом деле они продольные.

Резонансные колебания.

Стоячие волны тесно связаны с явлением резонанса. Собственные частоты, о которых говорилось выше, являются также резонансными частотами струны или органной трубы. Предположим, что вблизи открытого конца органной трубы помещен громкоговоритель, издающий сигнал одной определенной частоты, которую можно по желанию изменять. Тогда при совпадении частоты сигнала громкоговорителя с основной частотой трубы или с одним из ее обертонов труба будет звучать очень громко. Это происходит потому, что громкоговоритель возбуждает колебания воздушного столба со значительной амплитудой. Говорят, что труба в этих условиях резонирует.

Фурье-анализ и частотный спектр звука.

На практике звуковые волны одной-единственной частоты встречаются редко. Но сложные звуковые волны можно разлагать на гармоники. Такой метод называется фурье-анализом по имени французского математика Ж.Фурье (1768–1830), который первым применил его (в теории теплоты).

График зависимости относительной энергии звуковых колебаний от частоты называется частотным спектром звука. Существуют два основных типа таких спектров: дискретный и непрерывный. Дискретный спектр состоит из отдельных линий для частот, разделенных пустыми промежутками. В непрерывном спектре в пределах его полосы присутствуют все частоты.

Периодические звуковые колебания.

Звуковые колебания являются периодическими, если колебательный процесс, каким бы сложным он ни был, повторяется через определенный интервал времени. Его спектр всегда дискретный и состоит из гармоник определенной частоты. Отсюда и термин «гармонический анализ». Примером могут служить колебания прямоугольной формы (рис. 6,а) с изменением амплитуды от +А до —А и периодом T = 1/f. Другой простой пример – треугольные пилообразные колебания, показанные на рис. 6,б. Пример периодических колебаний более сложной формы с соответствующими гармоническими составляющими представлен на рис. 7.

Музыкальные звуки являются периодическими колебаниями и потому содержат гармоники (обертоны). Мы уже видели, что в струне наряду с колебаниями основной частоты в той или иной степени возбуждаются другие гармоники. Относительный вклад каждого обертона зависит от способа возбуждения струны. Набором обертонов в значительной степени определяется тембр музыкального звука. Эти вопросы подробнее рассматриваются ниже в разделе, посвященном музыкальной акустике.

Спектр звукового импульса.

Обычной разновидностью звука является звук малой длительности: хлопок в ладоши, стук в дверь, звук падающего на пол предмета, кукованье кукушки. Такие звуки не являются ни периодическими, ни музыкальными. Но их тоже можно разлагать в частотный спектр. В этом случае спектр будет непрерывным: для описания звука необходимы все частоты в пределах некоторой полосы, которая может быть весьма широкой. Знать такой частотный спектр необходимо для воспроизведения подобных звуков без искажений, поскольку соответствующая электронная система должна одинаково хорошо «пропускать» все эти частоты.

Основные особенности звукового импульса можно выяснить, рассмотрев импульс простой формы. Предположим, что звук представляет собой колебания длительностью Dt, при которых изменение давления таково, как показано на рис. 8,а. Примерный частотный спектр для этого случая представлен на рис. 8,б. Центральная частота соответствует колебаниям, которые мы имели бы при бесконечной протяженности того же сигнала.

Протяженность частотного спектра назовем шириной полосы Df (рис. 8,б). Ширина полосы – это приблизительный диапазон частот, необходимый для воспроизведения исходного импульса без чрезмерных искажений. Существует очень простое фундаментальное соотношение между Df и Dt, а именно

DfDt » 1.

Такое соотношение справедливо для всех звуковых импульсов. Его смысл в том, что чем короче импульс, тем больше частот он содержит. Предположим, что для обнаружения подводной лодки используется гидролокатор, излучающий ультразвук в виде импульса длительностью 0,0005 с с частотой сигнала 30 кГц. Ширина полосы составляет 1/0,0005 = 2 кГц, а частоты, реально содержащиеся в спектре импульса локатора, лежат в диапазоне от 29 до 31 кГц.

Шум.

Под шумом понимается любой звук, создаваемый многочисленными, не согласованными между собой источниками. Примером может служить шум листвы деревьев, колеблемой ветром. Шум реактивного двигателя обусловлен турбулентностью высокоскоростного выхлопного потока. Шум как раздражающий звук рассматривается в ст. АКУСТИЧЕСКОЕ ЗАГРЯЗНЕНИЕ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ.

Интенсивность звука.

Громкость звука может быть различной. Нетрудно сообразить, что это связано с энергией, переносимой звуковой волной. Для количественных сравнений громкости нужно ввести понятие интенсивности звука. Интенсивность звуковой волны определяется как средний поток энергии через единицу площади волнового фронта в единицу времени. Иначе говоря, если взять единичную площадку (например, 1 см²), которая полностью поглощала бы звук, и расположить ее перпендикулярно направлению распространения волны, то интенсивность звука равна акустической энергии, поглощаемой за одну секунду. Интенсивность обычно выражается в Вт/см² (или в Вт/м²).

Приведем значение этой величины для некоторых привычных звуков. Амплитуда избыточного давления, возникающего при обычном разговоре, составляет примерно одну миллионную атмосферного давления, что соответствует акустической интенсивности звука порядка 10^–9 Вт/см². Полная же мощность звука, издаваемого при обычном разговоре, – порядка всего лишь 0,00001 Вт. Способность человеческого уха воспринимать столь малые энергии свидетельствует о его поразительной чувствительности.

Диапазон интенсивностей звука, воспринимаемых нашим ухом, очень широк. Интенсивность самого громкого звука, который может вынести ухо, примерно в 10¹⁴ раз больше минимальной, которую оно способно услышать. Полная мощность источников звука охватывает столь же широкий диапазон. Так, мощность, излучаемая при очень тихом шепоте, может быть порядка 10^–9 Вт, тогда как мощность, излучаемая реактивным двигателем, достигает 10⁵ Вт. Опять-таки интенсивности различаются в 10¹⁴ раз.

Децибел.

Поскольку звуки столь сильно различаются по интенсивности, удобнее рассматривать ее как логарифмическую величину и измерять в децибелах. Логарифмическая величина интенсивности представляет собой логарифм отношения рассматриваемого значения величины к ее значению, принимаемому за исходное. Уровень интенсивности J по отношению к некоторой условно выбранной интенсивности J₀ равен

Уровень интенсивности звука = 10 lg (J/J₀) дБ.

Такием образом, один звук, превышающий другой по уровню интенсивности на 20 дБ, превышает его в 100 раз по интенсивности.

В практике акустических измерений принято выражать интенсивность звука через соответствующую амплитуду избыточного давления Р_е. Когда давление измеряется в децибелах относительно некоторого условно выбранного давления Р₀, получают так называемый уровень звукового давления. Поскольку интенсивность звука пропорциональна величине P_e², а lg(P_e²) = 2lgP_e, уровень звукового давления определяется следующим образом:

Уровень звукового давления = 20 lg (P_e/P₀) дБ.

Условное давление Р₀ = 2Ч10^–5 Па соответствует стандартному порогу слышимости для звука с частотой 1 кГц. В табл. 2 приводятся уровни звукового давления для некоторых обычных источников звука. Это интегральные значения, полученные усреднением по всему слышимому диапазону частот.

Таблица 2. ТИПИЧНЫЕ УРОВНИ ЗВУКОВОГО ДАВЛЕНИЯ
Источник звука	Уровень звукового давления, дБ (отн. 2Ч10–5 Па)
Штамповочный цех	125
Машинное отделение на судне	115
Прядильно-ткацкий цех	105
В вагоне метро	95
В автомобиле при движении в потоке транспорта	85
Машинописное бюро	78
Бухгалтерия	63
Офис	50
Жилое помещение	43
Территория жилого района ночью	35
Студия радиовещания	25

Громкость.

Уровень звукового давления не связан простой зависимостью с психологическим восприятием громкости. Первый из этих факторов объективный, а второй – субъективный. Эксперименты показывают, что восприятие громкости зависит не только от интенсивности звука, но и от его частоты и условий эксперимента.

Громкости звуков, не привязанных к условиям сравнения, сравнивать невозможно. И все же сравнение чистых тонов представляет интерес. Для этого определяют уровень звукового давления, при котором данный тон воспринимается как равногромкий стандартному тону частотой 1000 Гц. На рис. 9 представлены кривые равной громкости, полученные в экспериментах Флетчера и Мэнсона. Для каждой кривой указан соответствующий уровень звукового давления стандартного тона 1000 Гц. Например, при частоте тона 200 Гц необходим уровень звука в 60 дБ, чтобы он воспринимался как равногромкий тону 1000 Гц с уровнем звукового давления 50 дБ.

Эти кривые используются для определения фона – единицы уровня громкости, которая тоже измеряется в децибелах. Фон – это уровень громкости звука, для которого уровень звукового давления равногромкого стандартного чистого тона (1000 Гц) равен 1 дБ. Так, звук частотой 200 Гц при уровне 60 дБ имеет уровень громкости в 50 фонов.

Нижняя кривая на рис. 9 – это кривая порога слышимости хорошего уха. Диапазон слышимых частот простирается примерно от 20 до 20 000 Гц (см. также СЛУХ).

Распространение звуковых волн.

Как и волны от камешка, брошенного в спокойную воду, звуковые волны распространяются во всех направлениях. Такой процесс распространения удобно характеризовать волновым фронтом. Волновой фронт – это поверхность в пространстве, во всех точках которой колебания происходят в одной фазе. Волновые фронты от камешка, упавшего в воду, представляют собой окружности.

Плоские волны.

Волновой фронт простейшего вида – плоский. Плоская волна распространяется только в одном направлении и представляет собой идеализацию, которая лишь приблизительно реализуется на практике. Звуковую волну в трубе можно считать приблизительно плоской, как и сферическую волну на большом расстоянии от источника.

Сферические волны.

К простым типам волн можно отнести и волну со сферическим фронтом, исходящую из точки и распространяющуюся во всех направлениях. Такую волну можно возбудить с помощью малой пульсирующей сферы. Источник, возбуждающий сферическую волну, называется точечным. Интенсивность такой волны убывает по мере ее распространения, поскольку энергия распределяется по сфере все большего радиуса.

Если точечный источник, создающий сферическую волну, излучает мощность 4pQ, то, поскольку площадь поверхности сферы радиусом r равна 4pr², интенсивность звука в сферической волне равна

J = Q/r²,

где r – расстояние от источника. Таким образом, интенсивность сферической волны убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника.

Интенсивность любой звуковой волны в процессе ее распространения уменьшается вследствие поглощения звука. Это явление будет рассмотрено ниже.

Принцип Гюйгенса.

Для распространения волнового фронта справедлив принцип Гюйгенса. Для выяснения его рассмотрим известную нам форму волнового фронта в какой-либо момент времени. Ее можно найти и спустя время Dt, если каждую точку начального волнового фронта рассматривать как источник элементарной сферической волны, распространившейся за этот промежуток на расстояние vDt. Огибающая всех этих элементарных сферических волновых фронтов и будет новым волновым фронтом. Принцип Гюйгенса позволяет определять форму волнового фронта на протяжении всего процесса распространения. Из него следует также, что волны, как плоские, так и сферические, сохраняют свою геометрию в процессе распространения при условии, что среда однородна.

Дифракция звука.

Дифракцией называется огибание волнами препятствия. Дифракция анализируется с помощью принципа Гюйгенса. Степень такого огибания зависит от соотношения между длиной волны и размером препятствия или отверстия. Поскольку длина звуковой волны во много раз больше, чем световой, дифракция звуковых волн менее удивляет нас, нежели дифракция света. Так, можно разговаривать с кем-то стоящим за углом здания, хотя он и не виден. Звуковая волна с легкостью огибает угол, тогда как свет из-за малости своей длины волны дает резкие тени.

Рассмотрим дифракцию плоской звуковой волны, падающей на твердый плоский экран с отверстием. Для определения формы волнового фронта по другую сторону экрана нужно знать соотношение между длиной волны l и диаметром отверстия D. Если эти величины примерно одинаковы или l намного больше D, то получается полная дифракция: волновой фронт выходящей волны будет сферическим, а волна достигнет всех точек за экраном. Если же l несколько меньше D, то выходящая волна будет распространяться преимущественно в прямом направлении. И наконец, если l намного меньше D, то вся ее энергия будет распространяться по прямой. Эти случаи показаны на рис. 10.

Дифракция наблюдается и тогда, когда на пути звука оказывается какое-либо препятствие. Если размеры препятствия намного больше длины волны, то звук отражается, а позади препятствия формируется зона акустической тени. Когда размеры препятствия сравнимы с длиной волны или меньше ее, звук дифрагирует в какой-то мере во всех направлениях. Это учитывается в архитектурной акустике. Так, например, иногда стены здания покрывают выступами с размерами порядка длины волны звука. (На частоте 100 Гц длина волны в воздухе около 3,5 м.) При этом звук, падая на стены, рассеивается во всех направлениях. В архитектурной акустике это явление называется диффузией звука.

Отражение и прохождение звука.

Когда звуковая волна, движущаяся в одной среде, падает на границу раздела с другой средой, одновременно могут происходить три процесса. Волна может отражаться от поверхности раздела, она может проходить в другую среду без изменения направления или изменять направление на границе, т.е. преломляться. На рис. 11 показан простейший случай, когда плоская волна падает под прямым углом к плоской поверхности, разделяющей два различных вещества. Если коэффициент отражения по интенсивности, который определяет долю отраженной энергии, равен R, то коэффициент прохождения будет равен T = 1 – R.

Для звуковой волны отношение избыточного давления к колебательной объемной скорости называется акустическим сопротивлением. Коэффициенты отражения и прохождения зависят от соотношения волновых сопротивлений двух сред, волновые сопротивления, в свою очередь, пропорциональны акустическим сопротивлениям. Волновое сопротивление газов гораздо меньше, чем жидкостей и твердых тел. Поэтому если волна в воздухе падает на толстый твердый объект или на поверхность глубокой воды, то звук почти полностью отражается. Например, для границы воздуха и воды отношение волновых сопротивлений составляет 0,0003. Соответственно этому энергия звука, проходящего из воздуха в воду, равна лишь 0,12% падающей энергии. Коэффициенты отражения и прохождения обратимы: коэффициент отражения есть коэффициент прохождения в обратном направлении. Таким образом, звук практически не проникает ни из воздуха в водный бассейн, ни из-под воды наружу, что хорошо знакомо всем, кто плавал под водой.

В рассмотренном выше случае отражения предполагалось, что толщина второй среды в направлении распространения волны велика. Но коэффициент прохождения будет значительно больше, если вторая среда представляет собой стенку, разделяющую две одинаковые среды, такую, как твердая перегородка между комнатами. Дело в том, что толщина стенки обычно меньше длины волны звука или сравнима с ней. Если толщина стенки кратна половине длины волны звука в стенке, то коэффициент прохождения волны при перпендикулярном падении очень велик. Перегородка была бы абсолютно прозрачной для звука этой частоты, если бы не поглощение, которым мы здесь пренебрегаем. Если толщина стенки намного меньше длины волны звука в ней, то отражение всегда мало, а прохождение велико, за исключением случая, когда приняты специальные меры по увеличению поглощения звука.

Рефракция звука.

Когда плоская звуковая волна падает под углом на границу раздела сред, угол ее отражения равен углу падения. Прошедшая же волна отклоняется от направления падающей волны, если угол падения отличен от 90°. Такое изменение направления движения волны называется рефракцией. Геометрия рефракции на плоской границе показана на рис. 12. Углы между направлением волн и нормалью к поверхности обозначены q₁ для падающей волны и q₂ – для преломленной прошедшей. В соотношение между этими двумя углами входит только отношение скоростей звука для двух сред. Как и в случае световых волн, эти углы связаны между собой законом Снеллиуса (Снелля):
 

Таким образом, если скорость звука во второй среде меньше, чем в первой, то угол преломления будет меньше угла падения, если же скорость во второй среде больше, то угол преломления будет больше угла падения.

Рефракция, обусловленная градиентом температуры.

Если скорость звука в неоднородной среде непрерывно меняется от точки к точке, то рефракция также меняется. Поскольку скорость звука и в воздухе, и в воде зависит от температуры, при наличии градиента температуры звуковые волны могут изменять направление своего движения. В атмосфере и океане из-за горизонтальной стратификации обычно наблюдаются вертикальные градиенты температуры. Поэтому вследствие изменений скорости звука по вертикали, обусловленных температурными градиентами, звуковая волна может отклоняться либо вверх, либо вниз.

Рассмотрим случай, когда в каком-то месте вблизи поверхности Земли воздух теплее, чем в более высоких слоях. Тогда с увеличением высоты температура воздуха здесь понижается, а вместе с ней уменьшается и скорость звука. Звук, излучаемый источником вблизи поверхности Земли, вследствие рефракции будет уходить вверх. Это показано на рис. 13, где изображены звуковые «лучи».

Отклонение лучей звука, показанное на рис. 13, в общей форме описывается законом Снеллиуса. Если через q, как и раньше, обозначить угол между вертикалью и направлением излучения, то обобщенный закон Снеллиуса имеет вид равенства sinq/v = const, относящегося к любой точке луча. Таким образом, если луч переходит в область, где скорость v уменьшается, то угол q тоже должен уменьшаться. Поэтому звуковые лучи всегда отклоняются в направлении уменьшения скорости звука.

Из рис. 13 видно, что существует область, расположенная на некотором удалении от источника, куда звуковые лучи вообще не проникают. Это так называемая зона молчания.

Вполне возможно, что где-то на высоте, большей, чем показано на рис. 13, из-за градиента температуры скорость звука увеличивается с высотой. В таком случае первоначально отклонившаяся вверх звуковая волна здесь отклонится к поверхности Земли на большом удалении. Так бывает, когда в атмосфере образуется слой температурной инверсии, в результате чего оказывается возможным прием сверхдальних звуковых сигналов. При этом качество приема в удаленных точках бывает даже лучше, чем вблизи. В истории было много примеров сверхдальнего приема. Например, во время Первой мировой войны, когда атмосферные условия благоприятствовали соответствующей рефракции звука, канонаду на французском фронте можно было слышать в Англии.

Рефракция звука под водой.

Рефракция звука, обусловленная изменением температуры по вертикали, наблюдается и в океане. Если температура, а стало быть, и скорость звука, уменьшается с глубиной, звуковые лучи отклоняются вниз, в результате чего образуется зона молчания, подобная тому, как это показано на рис. 13 для атмосферы. Для океана соответствующая картина получится, если этот рисунок просто перевернуть (см. также ГИДРОЛОКАТОР).

Наличием зон молчания затрудняется обнаружение подводных лодок с гидролокатором, а рефракция, отклоняющая звуковые волны вниз, существенно ограничивает дальность их распространения вблизи поверхности. Тем не менее наблюдается также и рефракция с отклонением вверх. Она может создать более благоприятные условия для гидролокации.

Интерференция звуковых волн.

Наложение двух или большего числа волн называется интерференцией волн.

Стоячие волны как результат интерференции.

Рассмотренные выше стоячие волны – частный случай интерференции. Стоячие волны образуются в результате наложения двух волн одинаковой амплитуды, фазы и частоты, распространяющихся в противоположных направлениях.

Амплитуда в пучностях стоячей волны равна удвоенной амплитуде каждой из волн. Поскольку интенсивность волны пропорциональна квадрату ее амплитуды, это означает, что интенсивность в пучностях в 4 раза больше интенсивности каждой из волн или же в 2 раза больше суммарной интенсивности двух волн. Здесь нет нарушения закона сохранения энергии, поскольку в узлах интенсивность равна нулю.

Биения.

Возможна также интерференция гармонических волн разных частот. Когда две частоты мало различаются, возникают так называемые биения. Биения – это изменения амплитуды звука, происходящие с частотой, равной разности исходных частот. На рис. 14 представлена осциллограмма биений.

Следует иметь в виду, что частота биений – это частота амплитудной модуляции звука. Не следует также путать биения с разностной частотой, возникающей в результате искажений гармонического сигнала.

Биения часто используют при настройке двух тонов в унисон. Настройка частоты производится до тех пор, пока биения не перестанут прослушиваться. Даже если частота биений очень мала, человеческое ухо способно уловить периодическое нарастание и убывание громкости звука. Поэтому биения являются весьма чувствительным методом настройки в звуковом диапазоне. Если настройка не точна, то разность частот можно определить на слух, подсчитав число биений за одну секунду. В музыке на слух воспринимаются и биения высших гармонических составляющих, что применяется при настройке фортепиано (см. также ДОПЛЕРА ЭФФЕКТ).

Поглощение звуковых волн.

Интенсивность звуковых волн в процессе их распространения всегда уменьшается вследствие того, что определенная часть акустической энергии рассеивается. В силу процессов теплообмена, межмолекулярного взаимодействия и внутреннего трения звуковые волны поглощаются в любой среде. Интенсивность поглощения зависит от частоты звуковой волны и от других факторов, таких, как давление и температура среды.

Поглощение волны в среде количественно характеризуется коэффициентом поглощения a. Он показывает, насколько быстро уменьшается избыточное давление в зависимости от расстояния, проходимого распространяющейся волной. Убывание амплитуды избыточного давления –DР_е при прохождении расстояния Dх пропорционально амплитуде начального избыточного давления Р_е и расстоянию Dх. Таким образом,

–DP_e = aP_eDx.

Например, когда говорят, что потери на поглощение составляют 1 дБ/м, это означает, что на расстоянии 50 м уровень звукового давления уменьшается на 50 дБ.

Поглощение вследствие внутреннего трения и теплопроводности.

При движении частиц, связанном с распространением звуковой волны, неизбежно трение между разными частицами среды. В жидкостях и газах такое трение называется вязкостью. Вязкость, которой обусловлено необратимое превращение акустической энергии волны в теплоту, является главной причиной поглощения звука в газах и жидкостях.

Кроме того, поглощение в газах и жидкостях обусловлено потерями теплоты при сжатии в волне. Мы уже говорили, что при прохождении волны газ в фазе сжатия нагревается. В этом быстропротекающем процессе тепло обычно не успевает передаваться другим областям газа или стенкам сосуда. Но в действительности данный процесс неидеален, и часть выделяющейся тепловой энергии уходит из системы. С этим связано поглощение звука вследствие теплопроводности. Такое поглощение происходит в волнах сжатия в газах, жидкостях и твердых телах.

Поглощение звука, обусловленное как вязкостью, так и теплопроводностью, обычно увеличивается пропорционально квадрату частоты. Таким образом, звуки высоких частот поглощаются гораздо сильнее, чем низкочастотные. Например, при нормальных давлении и температуре коэффициент поглощения (обусловленного обоими механизмами) на частоте 5 кГц в воздухе составляет около 3 дБ/км. Поскольку поглощение пропорционально квадрату частоты, коэффициент поглощения на частоте 50 кГц составит 300 дБ/км.

Поглощение в твердых телах.

Механизм поглощения звука вследствие теплопроводности и вязкости, имеющий место в газах и жидкостях, сохраняется и в твердых телах. Однако здесь к нему добавляются новые механизмы поглощения. Они связаны с дефектами структуры твердых тел. Дело в том, что поликристаллические твердые материалы состоят из мелких кристаллитов; при прохождении звука в них возникают деформации, приводящие к поглощению звуковой энергии. Звук рассеивается и на границах кристаллитов. Кроме того, даже в монокристаллах имеются дефекты типа дислокаций, вносящие свой вклад в поглощение звука. Дислокации – это нарушения согласования атомных плоскостей. Когда звуковая волна вызывает колебания атомов, дислокации смещаются, а затем возвращаются в исходное положение, рассеивая энергию вследствие внутреннего трения.

Поглощением за счет дислокаций объясняется, в частности, почему не звенит колокольчик из свинца. Свинец – это мягкий металл, в котором очень много дислокаций, в связи с чем звуковые колебания в нем чрезвычайно быстро затухают. Но он хорошо зазвенит, если его охладить жидким воздухом. При низких температурах дислокации «замораживаются» в фиксированном положении, а потому не смещаются и не преобразуют звуковую энергию в теплоту.

МУЗЫКАЛЬНАЯ АКУСТИКА

Музыкальные звуки.

Музыкальная акустика изучает особенности музыкальных звуков, их характеристики, связанные с тем, как мы их воспринимаем, и механизмы звучания музыкальных инструментов.

Музыкальный звук, или тон, – это периодический звук, т.е. колебания, которые снова и снова повторяются через определенный период. Выше говорилось, что периодический звук можно представить в виде суммы колебаний с частотами, кратными основной частоте f: 2f, 3f, 4f и т.д. Отмечалось также, что колеблющиеся струны и воздушные столбы издают музыкальные звуки.

Музыкальные звуки различаются по трем признакам: громкости, высоте и тембру. Все эти показатели субъективные, но их можно связать с измеряемыми величинами. Громкость связана в основном с интенсивностью звука; высота звука, характеризующая его положение в музыкальном строе, определяется частотой тона; тембр, которым один инструмент или голос отличается от другого, характеризуется распределением энергии по гармоникам и изменением этого распределения во времени.

Высота звука.

Высота музыкального звука тесно связана с частотой, но не тождественна ей, поскольку оценка высоты звука носит субъективный характер.

Так, например, установлено, что оценка высоты одночастотного звука несколько зависит от уровня его громкости. При значительном повышении уровня громкости, скажем на 40 дБ, кажущаяся частота может уменьшиться на 10%. На практике эта зависимость от громкости не имеет значения, поскольку музыкальные звуки гораздо сложнее одночастотного звука.

В вопросе о взаимосвязи между высотой тона и частотой более существенно другое: если музыкальные звуки состоят из гармоник, то с какой частотой ассоциируется воспринимаемая высота звука? Оказывается, что это может быть и не та частота, которая соответствует максимальной энергии, и не самая низкая частота в спектре. Так, например, музыкальный звук, состоящий из набора частот 200, 300, 400 и 500 Гц, воспринимается как звук высотой 100 Гц. То есть высота звука ассоциируется с основной частотой гармонического ряда, даже если ее нет в спектре звука. Правда, чаще всего основная частота в той или иной мере в спектре присутствует.

Говоря о соотношении между высотой звука и его частотой, не следует забывать об особенностях человеческого органа слуха. Это особый акустический приемник, который вносит свои искажения (не говоря уже о том, что существуют психологические и субъективные аспекты слуха). Ухо способно выделять некоторые частоты, кроме того, звуковая волна претерпевает в нем нелинейные искажения. Частотная избирательность обусловлена различием между громкостью звука и его интенсивностью (рис. 9). Труднее объяснить нелинейные искажения, которые выражаются в появлении частот, отсутствующих в исходном сигнале. Нелинейность реакции уха обусловлена асимметрией движения различных его элементов.

Одной из характерных особенностей нелинейной приемной системы является то, что при возбуждении ее звуком с частотой f₁ в ней возбуждаются гармонические обертоны 2f₁, 3f₁,…, а в некоторых случаях и субгармоники типа ¹/₂ f₁. Кроме того, при возбуждении нелинейной системы двумя частотами f₁ и f₂ в ней возбуждаются суммарная и разностная частоты f₁ + f₂ и f₁ — f₂. Чем больше амплитуда исходных колебаний, тем больше вклад «лишних» частот.

Таким образом, в силу нелинейности акустических характеристик уха могут появиться частоты, отсутствующие в звуке. Такие частоты называются субъективными тонами. Предположим, что звук состоит из чистых тонов частот 200 и 250 Гц. Из-за нелинейности отклика дополнительно появятся частоты 250 – 200 = 50, 250 + 200 = 450, 2ґ200 = 400, 2ґ250 = 500 Гц и т.д. Слушающему будет казаться, что в звуке присутствует целый набор комбинационных частот, появление же их на самом деле обусловлено нелинейной реакцией уха. Когда музыкальный звук состоит из основной частоты и ее гармоник, очевидно, что основная частота эффективно усиливается разностными частотами.

Правда, как показали исследования, субъективные частоты возникают лишь при достаточно большой амплитуде исходного сигнала. Поэтому не исключено, что в прошлом роль субъективных частот в музыке сильно преувеличивалась.

Музыкальные стандарты и измерение высоты музыкального звука.

За основной тон, определяющий весь музыкальный строй, в истории музыки принимались звуки разной частоты. Сейчас общепринятая частота для ноты «ля» первой октавы составляет 440 Гц. Но в прошлом она менялась от 400 до 462 Гц.

Традиционный способ определения высоты звука – сравнение его с тоном стандартного камертона. Об отклонении частоты заданного звука от стандарта судят по наличию биений. Камертонами пользуются до сих пор, хотя теперь существуют и более удобные приборы для определения высоты звука, такие, как эталонный генератор стабильной частоты (с кварцевым резонатором), который можно плавно перестраивать в пределах всего звукового диапазона. Правда, точная калибровка такого прибора довольно сложна.

Широко распространен стробоскопический метод измерения высоты звука, при котором звук музыкального инструмента задает частоту вспышек стробоскопической лампы. Лампа освещает рисунок на диске, вращающемся с известной частотой, и по кажущейся частоте движения рисунка на диске при стробоскопическом освещении определяют основную частоту тона.

Ухо очень чувствительно к изменению высоты звука, но его чувствительность зависит от частоты. Она максимальна вблизи нижнего порога слышимости. Даже нетренированное ухо способно обнаружить разницу в частотах, равную всего лишь 0,3%, в диапазоне от 500 до 5000 Гц. Чувствительность можно повысить тренировкой. Музыканты обладают очень развитым чувством высоты звука, но оно не всегда помогает при определении частоты чистого тона, создаваемого эталонным генератором. Это говорит о том, что при определении на слух частоты звука важную роль играет его тембр.

Тембр.

Под тембром понимаются те особенности музыкальных звуков, которые придают музыкальным инструментам и голосам их неповторимую специфику, даже если сравнивать звуки одинаковой высоты и громкости. Это, так сказать, качество звука.

Тембр зависит от частотного спектра звука и его изменения во времени. Он определяется несколькими факторами: распределением энергии по обертонам, частотами, возникающими в момент появления или прекращения звука (так называемыми переходными тонами) и их затуханием, а также медленной амплитудной и частотной модуляцией звука («вибрато»).

Интенсивность обертонов.

Рассмотрим натянутую струну, которая возбуждается щипком в ее средней части (рис. 15,а). Поскольку все четные гармоники имеют узлы посередине, они будут отсутствовать, и колебания будут состоять из нечетных гармоник основной частоты, равной f₁ = v/2l, где v – скорость волны в струне, а l – ее длина. Таким образом, будут присутствовать только частоты f₁, 3f₁, 5f₁ и т.д. Относительные амплитуды этих гармоник показаны на рис. 15,б.

Данный пример позволяет сделать следующий важный общий вывод. Набор гармоник резонансной системы определяется ее конфигурацией, а распределение энергии по гармоникам зависит от способа возбуждения. При возбуждении струны в ее середине доминирует основная частота и полностью подавляются четные гармоники. Если же струну закрепить в ее средней части и ущипнуть в каком-нибудь другом месте, то будут подавлены основная частота и нечетные гармоники.

Все это применимо и к другим известным музыкальным инструментам, хотя в деталях ситуация может сильно отличаться. В инструментах обычно имеется воздушная полость, дека или рупор для излучения звука. Все это и обусловливает структуру обертонов и возникновение формант.

На рис. 16 показаны формы колебаний для различных инструментов и голосов, а на рис. 17 представлены некоторые частотные спектры для устойчивых тонов различных распространенных инструментов.

Форманты.

Как сказано выше, качество звука музыкальных инструментов зависит от распределения энергии по гармоникам. При изменении высоты звука многих инструментов и особенно человеческого голоса распределение по гармоникам изменяется так, что основные обертоны всегда располагаются примерно в одном и том же частотном диапазоне, который называется диапазоном формант. Одной из причин существования формант является применение резонансных элементов для усиления звука, таких, как дека и воздушный резонатор. Ширина естественных резонансов обычно велика, благодаря чему эффективность излучения на соответствующих частотах выше. У медных духовых инструментов форманты определяются раструбом, из которого выходит звук. Обертоны, приходящиеся на диапазон формант, всегда сильно подчеркиваются, так как излучаются с максимальной энергией. Формантами в значительной мере определяются характерные качественные особенности звуков музыкального инструмента или голоса.

Изменение тонов во времени.

Тон звучания любого инструмента редко остается постоянным во времени, и с этим существенно связан тембр. Даже когда инструмент выдерживает долгую ноту, наблюдается небольшая периодическая модуляция частоты и амплитуды, обогащающая звук, – «вибрато». Это особенно характерно для струнных инструментов типа скрипки и для человеческого голоса.

У многих инструментов, например у фортепиано, длительность звука такова, что постоянный тон не успевает сформироваться – возбуждаемый звук быстро нарастает, а затем следует его быстрое затухание. Поскольку затухание обертонов обычно обусловлено зависящими от частоты эффектами (такими, как акустическое излучение), очевидно, что распределение по обертонам меняется на протяжении звучания тона.

Характер изменения тона во времени (быстрота нарастания и спада звука) для некоторых инструментов схематически показан на рис. 18. Как нетрудно видеть, у струнных инструментов (щипковых и клавишных) постоянный тон практически отсутствует. В таких случаях говорить о спектре обертонов можно лишь условно, поскольку звук быстро меняется во времени. Характеристики нарастания и спада – тоже важная составляющая тембра таких инструментов.

Переходные тона.

Гармонический состав тона обычно быстро изменяется за короткое время после возбуждения звука. В тех инструментах, в которых звук возбуждается ударом по струнам или щипком, энергия, приходящаяся на высшие гармоники (а также на многочисленные негармонические составляющие), максимальна сразу же после начала звучания, а через доли секунды эти частоты замирают. Такие звуки, называемые переходными, придают специфическую окраску звуку инструмента. В фортепиано они обусловлены действием молоточка, ударяющего по струне. Иногда музыкальные инструменты с одинаковой структурой обертонов можно различить только по переходным тонам.

ЗВУЧАНИЕ МУЗЫКАЛЬНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Музыкальные звуки можно возбуждать и изменять разными способами, в связи с чем музыкальные инструменты отличаются разнообразием форм. Инструменты большей частью создавались и совершенствовались самими музыкантами и искусными мастерами, не прибегавшими к научной теории. Поэтому акустическая наука не может объяснить, например, почему скрипка имеет такую форму. Однако вполне возможно описать свойства звука скрипки, исходя из общих принципов игры на ней и ее конструкции.

Под частотным диапазоном инструмента обычно понимают диапазон частот его основных тонов. Человеческий голос перекрывает примерно две октавы, а музыкальный инструмент – не менее трех (большой орган – десять). В большинстве случаев обертоны простираются до самой границы диапазона слышимого звука.

У музыкальных инструментов имеются три основные части: колеблющийся элемент, механизм для его возбуждения и вспомогательный резонатор (рупор или дека) для акустической связи между колеблющимися элементом и окружающим воздухом.

Музыкальный звук периодичен во времени, а периодические звуки состоят из ряда гармоник. Поскольку собственные частоты колебаний струн и воздушных столбов фиксированной длины гармонически связаны между собой, во многих инструментах основными колеблющимися элементами служат струны и воздушные столбы. За небольшим исключением (флейта – одно из них) на инструментах нельзя взять одночастотного звука. При возбуждении основного вибратора возникает звук, содержащий обертоны. У некоторых вибраторов резонансные частоты не являются гармоническими составляющими. Инструменты такого рода (например, барабаны и тарелки) используются в оркестровой музыке для особой выразительности и подчеркивания ритма, но не для мелодического развития.

Струнные инструменты.

Сама по себе колеблющаяся струна – плохой излучатель звука, а поэтому у струнного инструмента должен быть дополнительный резонатор для возбуждения звука заметной интенсивности. Это может быть замкнутый объем воздуха, дека или комбинация того и другого. Характер звучания инструмента определяется также способом возбуждения струн.

Ранее мы видели, что основная частота колебаний закрепленной струны длины L дается выражением

где Т – сила натяжения струны, а r_L–масса единицы длины струны. Следовательно, мы можем изменять частоту тремя способами: изменяя длину, натяжение или массу. Во многих инструментах используется небольшое число струн одинаковой длины, основные частоты которых определяются надлежащим выбором натяжения и массы. Прочие частоты получаются путем укорачивания длины струны пальцами.

В других инструментах, в частности в фортепиано, для каждой ноты предусматривается одна из многих предварительно настроенных струн. Настроить фортепиано, где диапазон частот велик, – задача непростая, особенно в области низких частот. Сила натяжения всех струн фортепиано практически одинакова (примерно 2 кН), а разнообразие частот достигается изменением длины и толщины струн.

Возбуждение струнного инструмента может осуществляться щипком (например, на арфе или банджо), ударом (на фортепиано), либо при помощи смычка (в случае музыкальных инструментов семейства скрипок). Во всех случаях, как было показано выше, число гармоник и их амплитуда зависят от способа возбуждения струны.

Фортепиано.

Типичным примером инструмента, где возбуждение струны производится ударом, является фортепиано. Большая дека инструмента обеспечивает широкий диапазон формант, поэтому тембр его очень однороден для любой возбуждаемой ноты. Максимумы главных формант приходятся на частоты порядка 400–500 Гц, а на низших частотах тоны особенно богаты гармониками, причем амплитуда основной частоты меньше, чем некоторых обертонов. В фортепиано удар молоточком на всех, кроме самых коротких, струнах приходится на точку, расположенную на расстоянии в 1/7 длины струны от одного из ее концов. Это обычно объясняется тем, что в данном случае значительно подавляется седьмая гармоника, диссонансная по отношению к основной частоте. Но вследствие конечной ширины молоточка подавляются и другие гармоники, расположенные вблизи седьмой.

Скрипичное семейство.

В скрипичном семействе инструментов долгие звуки извлекаются смычком, с помощью которого к струне прикладывается переменная вынуждающая сила, поддерживающая колебания струны. Под действием движущегося смычка струна за счет трения отводится в сторону, пока из-за увеличения силы натяжения не срывается. Вернувшись в исходное положение, она снова увлекается смычком. Этот процесс повторяется, так что на струну действует периодическая внешняя сила.

В порядке увеличения размеров и понижения частотного диапазона основные смычковые струнные инструменты располагаются следующим образом: скрипка, альт, виолончель, контрабас. Частотные спектры этих инструментов особенно богаты обертонами, что, несомненно, придает особую теплоту и выразительность их звучанию. В скрипичном семействе колеблющаяся струна акустически связана с воздушной полостью и корпусом инструмента, которыми в основном и определяется структура формант, занимающих весьма широкий частотный диапазон. Крупные представители скрипичного семейства имеют набор формант, смещенный в область низких частот. Поэтому одна и та же нота, взятая на двух инструментах скрипичного семейства, приобретает разную тембровую окраску из-за различия в структуре обертонов.

Скрипка имеет резко выраженный резонанс вблизи 500 Гц, обусловленный формой ее корпуса. Когда берется нота, частота которой близка к этому значению, может возникнуть нежелательный вибрирующий звук, называемый «волчьим тоном». Воздушная полость внутри скрипичного корпуса тоже имеет свои резонансные частоты, главная из которых расположена вблизи 400 Гц. Из-за своей особой формы скрипка обладаеь многочисленными тесно расположенными резонансами. Все они, кроме волчьего тона, не очень выделяются в общем спектре извлекаемого звука.

Духовые инструменты.

Деревянные духовые инструменты.

О собственных колебаниях воздуха в цилиндрической трубе конечной длины говорилось ранее. Собственные частоты образуют ряд гармоник, основная частота которого обратно пропорциональна длине трубы. Музыкальные звуки в духовых инструментах возникают благодаря резонансному возбуждению столба воздуха.

Колебания воздуха возбуждаются либо колебаниями в воздушной струе, падающей на острый край стенки резонатора, либо колебаниями гибкой поверхности язычка в воздушном потоке. В обоих случаях в локализованной области ствола инструмента возникают периодические изменения давления.

Первый из этих способов возбуждения основан на возникновении «краевых тонов». Когда из щели выходит поток воздуха, разбиваемый клинообразным препятствием с острым краем, периодически возникают вихри – то по одну, то по другую сторону клина. Частота их образования тем больше, чем больше скорость воздушного потока. Если такое устройство акустически связано с резонирующим воздушным столбом, то частота краевого тона «захватывается» резонансной частотой воздушного столба, т.е. частота образования вихрей определяется воздушным столбом. В таких условиях основная частота воздушного столба возбуждается только тогда, когда скорость воздушного потока превысит некоторое минимальное значение. В определенном интервале скоростей, превышающих это значение, частота краевого тона равна этой основной частоте. При еще большей скорости воздушного потока (вблизи той, при которой краевая частота в отсутствие связи с резонатором равнялась бы второй гармонике резонатора) краевая частота скачком удваивается и высота тона, испускаемого всей системой, оказывается на октаву выше. Это называется передувом.

Краевыми тонами возбуждаются воздушные столбы в таких инструментах, как орган, флейта и флейта-пикколо. При игре на флейте исполнитель возбуждает краевые тона, дуя сбоку в боковое отверстие вблизи одного из концов. Ноты одной октавы, начиная с «ре» и выше, получают за счет изменения эффективной длины ствола, открывая боковые отверстия, при нормальном краевом тоне. Более высокие же октавы получают передувом.

Другой способ возбуждения звучания духового инструмента основан на периодическом прерывании воздушного потока колеблющимся язычком, который называется тростью, так как изготавливается из тростника. Такой способ применяется в различных деревянных и медных духовых инструментах. Возможны варианты с одиночной тростью (как, например, в кларнете, саксофоне и инструментах типа гармони) и с симметричной двойной тростью (как, например, в гобое и фаготе). В обоих случаях колебательный процесс одинаков: воздух продувается через узкую щель, в которой давление в соответствии с законом Бернулли понижается. Трость при этом втягивается в щель и перекрывает ее. В отсутствие потока упругая трость выпрямляется и процесс повторяется.

В духовых инструментах перебор нот звукоряда, как и на флейте, осуществляется открыванием боковых отверстий и передувом.

В отличие от трубы, открытой с обоих концов, имеющей полный набор обертонов, труба, открытая только с одного конца, имеет только нечетные гармоники (см. выше). Такова конфигурация кларнета, а потому четные гармоники у него слабо выражены. Передув в кларнете происходит при частоте, в 3 раза превышающей основную.

В гобое вторая гармоника весьма интенсивна. Он отличается от кларнета тем, что канал его ствола имеет коническую форму, тогда как в кларнете сечение канала на большей части его длины постоянно. Частоты колебаний в стволе конической формы труднее рассчитать, чем в цилиндрической трубе, но все же там имеется полный набор обертонов. При этом частоты колебаний конической трубы с закрытым узким концом такие же, как и у цилиндрической трубы, открытой с обоих концов.

Медные духовые инструменты.

Медные, в том числе валторна, труба, корнет-а-пистон, тромбон, горн и туба, возбуждаются губами, действие которых в сочетании с мундштуком особой формы аналогично действию двойной трости. Давление воздуха при возбуждении звука здесь значительно выше, чем в деревянных духовых. Медные духовые, как правило, представляют собой металлический ствол с цилиндрической и конической секциями, заканчивающийся раструбом. Секции подобраны так, что обеспечивается полный спектр гармоник. Полная длина ствола лежит в пределах от 1,8 м для трубы до 5,5 м для тубы. Туба закручена в виде улитки для удобства в обращении, а не из акустических соображений.

При фиксированной длине ствола в распоряжении исполнителя имеются только ноты, определяемые собственными частотами ствола (причем основная частота обычно «неберущаяся»), а высшие гармоники возбуждаются повышением давления воздуха в мундштуке. Так, на горне фиксированной длины можно взять лишь несколько нот (вторую, третью, четвертую, пятую и шестую гармоники). На других медных инструментах частоты, лежащие между гармониками, берутся с изменением длины ствола. Уникален в этом смысле тромбон, длина ствола которого регулируется плавным перемещением выдвижной U-образной кулисы. Перебор нот всего звукоряда обеспечивается семью разными позициями кулисы с изменением возбуждаемого обертона ствола. В других медных инструментах это достигается путем эффективного увеличения полной длины ствола при помощи трех боковых каналов разной длины и в разных комбинациях. Это дает семь разных длин ствола. Как и на тромбоне, ноты всего звукоряда берутся возбуждением разных серий обертонов, соответствующих этим семи длинам ствола.

Тоны всех медных инструментов богаты гармониками. Это объясняется в основном наличием раструба, повышающего эффективность излучения звука на высоких частотах. Труба и валторна предназначены для игры в гораздо более широком диапазоне гармоник, чем у горна. Партия солирующей трубы в произведениях И.Баха содержит много пассажей в четвертой октаве ряда, доходящих до 21-й гармоники этого инструмента.

Ударные инструменты.

Ударные инструменты заставляют звучать, ударяя по телу инструмента и тем самым возбуждая его свободные колебания. От фортепиано, в котором колебания возбуждаются тоже ударом, такие инструменты отличаются в двух отношениях: колеблющееся тело не дает гармонических обертонов и оно само может излучать звук без дополнительного резонатора. К ударным инструментам относятся барабаны, тарелки, ксилофон и треугольник.

Колебания твердых тел гораздо сложнее, чем воздушного резонатора той же формы, поскольку в твердых телах больше типов колебаний. Так, вдоль металлического стержня могут распространяться волны сжатия, изгиба и кручения. Поэтому у цилиндрического стержня гораздо больше мод колебаний и, следовательно, резонансных частот, чем у цилиндрического воздушного столба. Кроме того, эти резонансные частоты не образуют гармонический ряд. В ксилофоне используются изгибные колебания твердых брусков. Отношения обертонов колеблющегося бруска ксилофона к основной частоте таковы: 2,76, 5,4, 8,9 и 13,3.

Камертон представляет собой колеблющийся изогнутый стержень, причем основной его вид колебаний возникает, когда оба плеча одновременно сближаются друг с другом или удаляются друг от друга. У камертона нет гармонического ряда обертонов, и используется только его основная частота. Частота его первого обертона более чем в 6 раз превышает основную частоту.

Еще один пример колеблющегося твердого тела, издающего музыкальные звуки, – колокол. Размеры колоколов могут быть разными – от маленького колокольчика до многотонных церковных колоколов. Чем больше колокол, тем ниже звуки, которые он издает. Форма и другие особенности колоколов претерпели много изменений в ходе их многовековой эволюции. Их изготовлением, требующим большого мастерства, занимаются очень немногие предприятия.

Первоначальный обертонный ряд колокола не является гармоническим, причем отношения обертонов неодинаковы для разных колоколов. Так, например, для одного большого колокола измеренные отношения частот обертонов к основной частоте составили 1,65, 2,10, 3,00, 3,54, 4,97 и 5,33. Но распределение энергии по обертонам быстро изменяется сразу после удара по колоколу, и, по-видимому, форма колокола подбирается таким образом, чтобы доминирующие частоты были связаны между собой приблизительно гармонически. Высота тона колокола определяется не основной частотой, а нотой, доминирующей сразу же после удара. Она соответствует примерно пятому обертону колокола. Спустя некоторое время в звуке колокола начинают преобладать низшие обертоны.

В барабане колеблющимся элементом служит кожаная мембрана, обычно круглая, которую можно рассматривать как двумерный аналог натянутой струны. В музыке барабан не имеет столь важного значения, как струна, поскольку естественный набор его собственных частот не является гармоническим. Исключение составляет литавра, мембрана которой натянута над воздушным резонатором. Последовательность обертонов барабана можно сделать гармонической за счет изменения толщины мембраны в радиальном направлении. Примером такого барабана может служить табла, используемая в классической индийской музыке.
ЗВУКА ВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЗАПИСЬ; УЛЬТРАЗВУК; ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.

1. Упругие волны

1.1. Упругие продольные и поперечные волны

1.2. Характеристики бегущих волн

1.2.1. Длина волны

1.2.2. Фазовая скорость волны

1.2.3. Фазовая скорость различна для разных сред

1.2.4. Фронт волны. Волновая поверхность

1.2.5. Уравнение бегущей волны

1.2.6. Волновое уравнение

1.2.7. Скорость и ускорение колеблющейся точки. Относительное смещение точек среды

1.3. Энергия упругих волн

1.4. Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость

1.5. Интерференция волн. Стоячие волны

2. Звуковые волны

3. Электромагнитные волны

Как происходит распространение колебаний? Необходима среда для передачи колебаний или они могут передаваться без нее? Как звук от звучащего камертона доходит до слушателя? Каким образом быстропеременный ток в антенне радиопередатчика вызывает появление тока в антенне приемника? Как свет от далеких звезд достигает нашего глаза? Для рассмотрения подобного рода явлений необходимо ввести новое физическое понятие – волна. Волновые процессы представляют общий класс явлений, несмотря на их разную природу.

Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

Волны, образованные внешним воздействием, приложенным к упругой среде, называются бегущими волнами: они “бегут” от создающего их источника. Важное свойство бегущих волн заключается в том, что они переносят энергию и импульс. Если внешняя сила совершает гармонические колебания, то вызванные ею волны называются гармоническими бегущими волнами.

Волновой процесс обусловлен наличием связей между отдельными частями системы, в зависимости от которых, мы имеем упругую волну той или иной природы.

1. Упругие волны

1. Упругими или механическими волнами называются механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде.

Деформации в теле или среде называются упругими, если они полностью исчезают после прекращения внешних воздействий.

Тела, которые воздействуют на среду, вызывая колебания, называются источниками волн. Распространение упругих волн не связано с переносом вещества, но волны переносят энергию, которой обеспечивает волновой процесс источник колебаний.

2. Среда называется однородной, если ее физические свойства, рассматриваемые в данной задаче, не изменяются от точки к точке.

Среда называется изотропной, если ее физические свойства, рассматриваемые в задаче, одинаковы по всем направлениям.

Среда называется линейной, если между величинами, характеризующими внешнее воздействие на среду, которое и вызывает ее изменение, существует прямо пропорциональная связь. Например, выполнение закона Гука означает, что среда линейна по своим механическим свойствам.

1.1. Упругие продольные и поперечные волны

Все волны делятся на продольные и поперечные.

Поперечные волны – упругие волны, при распространении которых частицы среды совершают колебания в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны.

Продольные волны – упругие волны, при распространении которых частицы среды совершают колебания вдоль направления распространения волны.

Поперечные упругие волны возникают только в твердых телах, в которых возможны упругие деформации сдвига. Продольные волны могут распространяться в жидкостях или газах, где возможны объемные деформации среды, или в твердых телах, где возникают деформации удлинения или сжатия. Исключение составляют поперечные поверхностные волны. Простые продольные колебания – это процесс распространения в пространстве областей сжатий и растяжений среды. Сжатия и растяжения среды образуются при колебаниях ее точек (частиц) около своих положений равновесия.

1.2. Характеристики бегущих волн

1.2.1. Длина волны

Минимальное расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания точки среды около положения равновесия, называется длиной волны.

Длиной волны называется наименьшее расстояние между двумя точками среды, совершающими колебания в фазе (т.е. разность их фаз равна ).

Если точки разделены расстоянием , их колебания происходят в противофазе.

1.2.2. Фазовая скорость волны

Из повседневного опыта известно, что бегущие по воде волны распространяются с постоянной скоростью, пока свойства среды, например, глубина воды, не меняется, что говорит о том, что скорость распространения волнового процесса в пространстве остается постоянной. В случае гармонических бегущих волн (см. определение выше) эта скорость называется фазовой.

Фазовая скорость — это скорость распространения данной фазы колебаний, т.е. скорость волны.

Связь длины волны , фазовой скорости и периода колебаний Т задается соотношением:

.

Учитывая, что , где — линейная частота волны, — период, а циклическая частота волны , получим разные формулы для фазовой скорости:

.

Для волнового процесса характерна периодичность по времени и по пространству.

Т – период колебаний точек среды. Роль пространственного периода играет длина волны . Соотношение между периодом и циклической частотой задается формулой: . Аналогичное соотношение можно записать для длины волны и величиной k, называемой волновым числом: .

Таким образом. Можно добавить еще одно уравнение для фазовой скорости:

.

1.2.3. Фазовая скорость различна для разных сред

В случае упругих поперечных волн (в твердом теле) фазовая скорость равна:

,

где — модуль сдвига среды, -ее плотность в невозбужденном состоянии (т.е. когда в этой среде не распространяется упругая волна).

Фазовая скорость упругих продольных волн в твердом теле равна

,

где Е — модуль Юнга, — плотность невозмущенной среды (твердого тела до момента распространения по нему волны).

Фазовая скорость продольных волн в жидкости и газе определяется соотношением: ,

где К – модуль объемной упругости среды – величина, характеризующая способность среды сопротивляться изменению ее объема, — плотность невозмущенной среды.

Фазовая скорость продольных волн в идеальном газе задается формулой: ,

— показатель адиабаты, — молярная масса, Т – абсолютная температура, R – универсальная газовая постоянная. Фазовая скорость в газе зависит от сорта газа () и от его термодинамического состояния (Т).

1.2.4. Фронт волны. Волновая поверхность

При прохождении волны по среде ее точки вовлекаются в колебательный процесс последовательно друг за другом.

Геометрическое место точек, до которого к некоторому моменту времени дошел колебательный процесс, называется волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в фазе, называется волновой поверхностью.

Волновой фронт – частный случай волновой поверхности. Волновой фронт все время перемещается. Волновые поверхности остаются неподвижными. Они проходят через положения равновесия частиц среды, которые колеблются в одинаковой фазе.

При описании распространения волн широко используют понятие луча. Направления, в которых распространяются колебания, называются лучами. В изотропной среде (см. определение выше) лучи перпендикулярны волновым поверхностям (фронту) и имеют вид прямых линий. В анизотропной среде, а также при дифракции волн, лучи могут искривляться.

Форма волнового фронта определяет вид волны: сферические (от точечного источника в изотропной среде), эллиптические (в анизотропной среде), цилиндрические (от протяженных источников), плоские и другие. На достаточно большом расстоянии от источника небольшой участок любого фронта можно считать плоским.

Если известно положение фронта волны в некоторый момент времени и скорость волны , то его положение в последующий момент времени можно определить на основе принципа Гюйгенса. Согласно этому принципу все точки поверхности волнового фронта являются источниками вторичных волн. Искомое положение волнового фронта совпадает с поверхностью, огибающей фронты вторичных волн.

1.2.5. Уравнение бегущей волны

Уравнением упругой волны называется зависимость от координат и времени скалярных или векторных величин, характеризующих колебания среды при прохождении по ней волны.

Так, для волн в твердом теле такой величиной является смещение от положения равновесия любой точки тела в произвольный момент времени. Для характеристики продольных волн в жидкости или газе используют понятие избыточного давления. Избыточное давление равно разности между давлением в данный момент времени, когда по среде проходит волна, и равновесным, когда возмущений в среде нет.

Получим уравнение бегущей волны в одномерном пространстве, которое предполагаем изотропным и однородным (см. определения выше). Кроме того, силы сопротивления в среде считаем пренебрежимо малыми (т.е. нет затухания колебаний). Пусть точка О — центр (источник) колебаний, она колеблется по закону:

,

где — смещение точки О от положения равновесия, — частота, А – амплитуда колебаний. Часы или секундомер №1 включаются сразу, как только начинаются колебаний точки О, и отсчитывают время t (Рисунок 2.1.1). Ось ОУ совпадает с направлением распространения волны.

Через промежуток времени процесс колебаний дойдет до точки В, и она будет колебаться по закону: .

Рисунок 2.1.1.

Амплитуда колебаний в случае отсутствия затухания процесса будет такой же как и амплитуда точки О. Часы или секундомер №2 включаются тогда, когда колебательный процесс дойдет до точки В (т.е. когда начинает колебаться точка В), и отсчитывают время . Моменты времени t и связаны между собой соотношением или . Расстояние между точками О и В обозначим . Фазовая скорость волны равна , тогда . Учитывая соотношения для и и формулы и , можно записать уравнение колебаний точки В в разных видах:

.

Аналогично уравнению колебаний точки В запишем уравнение колебаний любой точки среды, расположенной на расстоянии y от источника колебаний:

,

где — волновое число (см. определение выше).

Это уравнение и есть уравнение для смещения любой точки пространства в любой момент времени, т.е. уравнение бегущей волны, где А – амплитуда, величина — фаза волны, которая в отличии от фазы колебаний зависит и от времени “t”, и от расстояния “y” колеблющейся точки от источника колебаний.

Вернемся к разделению волн по форме фронта волны и к понятию луча, как направления распространения колебательного процесса. Учтем, что в изотропной среде лучи перпендикулярны фронту и имеют вид прямых линий. Тогда уравнение бегущей волны, полученное выше, есть уравнение плоской бегущей волны, т.е. когда фронт волны – плоскость.

Уравнение плоской отраженной волны в одномерном пространстве легко получить, если представить ее как бегущую волну в отрицательном направлении оси ОУ, что приведет к замене в уравнении бегущей волны координаты “y” на “-y”:

.

Упругая волна называется синусоидальной или гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Так, рассмотренные выше бегущая и отраженная волны являются гармоническими волнами.

1.2.6. Волновое уравнение

Когда мы рассматривали колебания, то для любой колебательной системы получали дифференциальное уравнение, для которого соответствующее уравнение колебаний являлось решением. Аналогично уравнение бегущей и отраженной волны являются решениями дифференциального уравнения второго порядка в частных производных, называемого волновым уравнением и имеющего вид:

, где — фазовая скорость волны.

Уравнения бегущей и отраженной волн и волновое уравнение представлены для случая одного измерения, т.е. распространения волны вдоль оси ОУ. В волновое уравнение входят вторые частные производные по времени и координате от смещения потому, что есть функция двух переменных t и y.

1.2.7. Скорость и ускорение колеблющейся точки. Относительное смещение точек среды

Если смещение любой точки среды с координатой y в момент времени t задано уравнением:

,

то скорость этой точки есть величина , а ускорение — :

,

1.3. Энергия упругих волн

В среде распространяется плоская упругая волна и переносит энергию, величина которой в объеме равна: , где — объемная плотность среды.

Если выбранный объем записать как , где S – площадь его поперечного сечения, а — его длина, то среднее количество энергии, переносимое волной за единицу времени через поперечное сечение S, называется потоком через его поверхность:

.

Количество энергии, переносимое волной за единицу времени через единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно направлению распространения волны, называется плотностью потока энергии волны.

Эта величина определяется соотношением:

,

где -объемная плотность энергии волны, — фазовая скорость волны. Так как фазовая скорость волны — вектор, направление которого совпадает с направлением распространения волны, то можно величине плотности потока энергии I придать смысл векторной величины:

.

Величина , вектор плотности энергии волны, впервые была введена Н.А. Умовым в 1984 году и получила название вектора Умова. Подобная величина для электромагнитных волн называется вектором Умова — Пойнтинга.

Интенсивностью волны называется модуль среднего значения вектора Умова .

1.4. Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость

Принцип суперпозиции (наложения) волн установлен на опыте. Он состоит в том, что в линейной среде волны от разных источников распространяются независимо, и накладываясь, не изменяют друг друга. Результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые частица получит, участвуя в каждом из слагаемых волновых процессов.

Согласно принципу суперпозиции накладываться друг на друга без взаимного искажения могут волны любой формы. В результате наложения волн результирующее колебание каждой частицы среды может происходить по любому сложному закону. Такое образование волн называется волновым пакетом. Скорость движения волнового пакета не совпадает со скоростью ни с одной из слагаемых волн. В этом случае говорят о скорости волнового пакета. Скорость перемещения максимума группы волн (волнового пакета) называется групповой скоростью. Она равна скорости переноса энергии волнового пакета.

На практике мы всегда имеем дело с группой волн, так как синусоидальных волн, бесконечных в пространстве и во времени, не существует. Любая ограниченная во времени и пространстве синусоидальная волна есть волновой пакет (его называют цуг волны). Групповая скорость такого пакета совпадает с фазовой скоростью бесконечных синусоидальных волн, результатом сложения которых он является.

В общем виде связь между групповой и фазовой скоростями имеет вид:

.

1.5. Интерференция волн. Стоячие волны

1. Интерференцией волн называется явление наложение двух и более волн, при котором в зависимости от соотношения между фазами этих волн происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других.

В пространстве всегда найдутся такие точки, в которых разность фаз складываемых колебаний равна величине , где k – целое число, т.е. волны (от разных источников) приходят в такие точки в фазе. В них будет наблюдаться устойчивое, неизменно продолжающееся все время усиление колебаний частиц. Найдутся в пространстве, где распространяется несколько волн, и такие точки, где разность фаз будет равна , т.е. волны приходят в эти точки в противофазе. В таких точках пространства будет наблюдаться устойчивое ослабление колебаний частиц.

Устойчивая интерференционная картина возникает только при наложении таких волн, которые имеют одинаковую частоту, постоянную во времени разность фаз в каждой точке пространства. Волны, удовлетворяющие этим условиям и источники, создающие такие волны, называются когерентными. Плоские синусоидальные волны, частоты которых одинаковы, когерентны всегда.

2. Запишем условия максимумов и минимумов при интерференции. Когерентные точечные источники и испускают волны по всем направлениям. До точки наблюдения М расстояние от первого источника , а от второго — .

Колебания точки М под действием волн от двух источников и описываются уравнениями:

, . Амплитуда результирующего колебания в точке М определится следующим образом (см. раздел “Сложение колебаний”): . Амплитуда колебаний точки М максимальна (), если , где Величина называется разностью хода двух волн. Условие максимума при интерференции имеет вид: . Если целое число волн укладывается на разности хода двух волн, то при их сложении наблюдается интерференционный максимум. Амплитуда колебаний точки М минимальна (), если , (). Условие минимума при интерференции имеет вид: .   Если нечетное число полуволн укладывается на разности хода двух волн, то при их сложении наблюдается интерференционный минимум. 3. Простейший случай интерференции наблюдается при наложении бегущей и отраженной волн, что приводит к образованию стоячей волны. Уравнения бегущей и отраженной волны имеют вид: , Суммарное смещение частицы среды, находящейся на расстоянии y от источника колебаний, равно сумме смещений и : .

Это и есть уравнение стоячей волны. Величина — амплитуда, а () — фаза стоячей волны. Можно сказать, что частицы в стоячей волне имеют одну фазу колебаний. Амплитуда колебаний частиц в стоячей волне зависит от их координат (расстояний до источника колебаний), но не зависит от времени. Знак модуля поставлен в формуле для амплитуды стоячей волны, потому что амплитуда – величина положительная.

В стоячей волне есть точки, которые все время остаются неподвижными. Такие точки называются узлами смещения, их положение определяется из условия:

, отсюда следует . Выполнение этого соотношения будет при условии для Итак, координаты узлов задаются формулой:

.

Расстояние между двумя соседними узлами равно .

Точки среды, колеблющиеся с наибольшей амплитудой, называются пучностями стоячей волны, их положение (координаты) определяются соотношением:

.

Это уравнение можно получить из условия максимума амплитуды

, т.е. . Последнее соотношение выполняется при значениях аргумента ().

Расстояние между двумя соседними пучностями равно .

4. Изменение фазы волны при ее отражении.

Как отмечалось ранее, стоячая волна образуется при сложении бегущей и отраженной волн. Отраженную волну можно рассматривать как бегущую волну, распространяющуюся в обратном направлении и ее можно получить при отражении бегущей волны от границы двух сред. Для синусоидальных волн это означает, что при отражении от более плотной среды фаза волны скачком изменяется на радиан, а при отражении от менее плотной среды фаза волны не изменяется. Изменение фазы на радиан соответствует появлению дополнительного хода луча, равного .

2. Звуковые волны

1. Важным видом продольных волн являются звуковые волны. Так называются волны с частотами 17 – 20000 Гц. Учение о звуке называется акустикой. В акустике изучаются волны, которые распространяются не только в воздухе, но и в любой другой среде. Упругие волны с частотой ниже 17 Гц называются инфразвуком, а с частотой выше 20000 Гц – ультразвуком.

Звуковые волны – упругие колебания, распространяющиеся в виде волнового процесса в газах, жидкостях, твердых телах.

2. Избыточное звуковое давление. Уравнение звуковой волны.

Уравнение упругой волны позволяет вычислить смещение любой точки пространства, по которому проходит волна, в любой момент времени. Но как говорить о смещении частиц воздуха или жидкости от положения равновесия? Звук, распространяясь в жидкости или газе, создает области сжатия и разряжение среды, в которых давление соответственно повышается или понижается по сравнению с давлением невозмущенной среды.

Если — давление и плотность невозмущенной среды (среды, по которой не проходит волна), а — давление и плотность среды при распространении в ней волнового процесса, то величина называется избыточным давлением. Величина есть максимальное значение избыточное давление (амплитуда избыточного давления).

Изменение избыточного давления для плоской звуковой волны (т.е. уравнение плоской звуковой волны) имеет вид:

,

где y – расстояние от источника колебаний точки, избыточное давление в которой мы определяем в момент времени t.

Если ввести величину избыточной плотности и ее амплитуды так же, как мы вводили величину избыточного звукового давления, то уравнение плоской звуковой волны можно было бы записать так: . 3. Объективные и субъективные характеристики звука.

Само слово “звук” отражает два различных, но взаимосвязанных понятия: 1)звук как физическое явление; 2)звук – то восприятие, которое испытывает слуховой аппарат (человеческое ухо) и ощущения, возникающие у него при этом. Соответственно характеристики звука делятся на объективные, которые могут быть измерены физической аппаратурой, и субъективные, определяемые восприятием данного звука человеком.

К объективным (физическим) характеристикам звука относятся характеристики, которые описывают любой волновой процесс: частота, интенсивность и спектральный состав. В таблицу 3 включены сравнительные данные объективных и субъективных характеристик.

Таблица 3.

Остановимся на некоторых определениях.

Частота звука измеряется числом колебаний частиц среды, участвующих в волновом процессе, в 1 секунду.

Интенсивность волны измеряется энергией, переносимой волной в единицу времени через единичную площадь (расположенную перпендикулярно направлению распространению волны).

Спектральный состав (спектр) звука указывает из каких колебаний состоит данный звук и как распределены амплитуды между отдельными его составляющими.

Различают сплошные и линейчатые спектры. Для субъективной оценки громкости используются величины, называемые уровнем силы звука и уровнем громкости. Все акустические величины и их размерности в СИ приведены в приложении.

3. Электромагнитные волны

1. Электромагнитными волнами называются возмущения электромагнитного поля (т.е. переменное электромагнитное поле), распространяющиеся в пространстве.

Утверждение о существовании электромагнитных волн является непосредственным следствием решения системы уравнений Максвелла. Согласно этой теории следует, что переменное электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде волн, фазовая скорость которых равна:

где — скорость света в вакууме, , — электрическая и магнитная постоянные, , — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемость среды.

2. Электромагнитные волны — поперечные волны. Векторы Е и Н поля электромагнитной волны взаимно перпендикулярны друг другу. Вектор скорости волны и векторы Е и Н образуют правую тройку векторов (Рисунок 2.1.4).

Для сравнения ориентации тройки векторов , Е и Н на рисунке приведено расположение осей декартовой системы координат. Такое сопоставление уместно и в дальнейшем будет использовано для определения проекций векторов Е и Н на координатные оси.

Рисунок 2.1.4

Взаимно перпендикулярные векторы Е и Н колеблются в одной фазе (их колебания синфазные). Модули этих векторов связаны соотношением:

которое справедливо для любой бегущей электромагнитной волны независимо от формы ее волновых поверхностей.

3. По форме волновых поверхностей волны могут быть плоские, эллиптические, сферические и т.д..

Монохроматической волной называется электромагнитная волна одной определенной частоты. Монохроматическая волна не ограничена в пространстве и во времени. В каждой точке электромагнитного поля монохроматической волны проекции векторов Е и Н на оси координат совершают гармонические колебания одинаковой частоты . Например, для плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОУ, как показано на рисунке 2.1.3.,ее уравнение имеет вид:

Такие волны называются плоско (или линейно) поляризованными волнами.

Плоскость, в которой происходит колебание вектора Е называют плоскостью поляризации линейно поляризованной волны, а плоскость колебаний вектора Н – плоскостью колебаний. Ранее эти названия были обратными (см. [1]).

4. Все сказанное о стоячих волнах в упругих средах относится и к электромагнитным волнам. В этом случае, однако, волна характеризуется не одним вектором, а двумя взаимно перпендикулярными векторами Е и Н.

Стоячая электромагнитная волна состоит из двух стоячих волн — магнитной и электрической, колебания которых сдвинуты по фазе на .

5. Энергия электромагнитных волн. Объемная плотность энергии электромагнитного поля в линейной изотропной среде задается соотношением: с — скорость света в вакууме.

В случае плоской линейно поляризованной монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления ОY, напряженность электрического поля задается уравнением:

соответственно объемная плотность энергии этой волны

Значение объемной плотности энергии волны меняется за период от 0 до .Среднее за период значение энергии равно:

.

6. Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны называется вектором Умова — Пойнтинга:

Для линейно поляризованной монохроматической волны вектор Пойнтинга направлен в сторону распространения волны и численно равен:

Интенсивность электромагнитной волны равна модулю среднего значения вектора Пойнтинга за период его полного колебания:

Интенсивностью электромагнитной волны называется физическая величина, численно равная энергии, переносимая волной за единицу времени через единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны.

Интенсивность бегущей монохроматической волны: — фазовая скорость волны, среднее значение объемной плотности энергии поля волны.

Интенсивность света (электромагнитных волн, рассматриваемых в оптике) прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний вектора напряженности Е поля световой волны.

Содержание:

Механические колебания:

Окружающий нас мир наполнен разнообразными колебательными движениями и процессами: колеблются ветки деревьев и кузов троллейбуса или вагон трамвая при движении, колебания струн под руками умелого музыканта вызывают колебания воздуха, и мы слышим прекрасную музыку. Работу большинства электрических бытовых приборов обеспечивает переменный ток, т. е. колебательное движение электронов в проводниках, а видео и звуковую информацию мы получаем с помощью электромагнитных волн, которые представляют собой распространяющиеся в пространстве колебания электромагнитного поля.

Кроме того, многие важнейшие процессы внутри организма человека являются колебательными: сердце человека в спокойном состоянии совершает около одного колебательного движения в секунду, процесс дыхания обеспечивается колебательными движениями легких, под действием повторяющихся нервных импульсов каждая мышца в теле человека непрерывно то сокращается, то растягивается.

Колебательные процессы изучаются и используются во многих сферах деятельности человека: в радиотехнике и связи, строительстве, автомобиле- и самолетостроении, медицине, биологии, химии и т. п.

Механические колебания и волны

При движении материальной точки

Тело находится в равновесии, если векторная сумма всех сил, приложенных к нему, и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой оси равна нулю.

Движение, при котором все характеризующие его физические величины (например, координата , проекция скорости , проекция действующей силы ) принимают одинаковые значения через равные промежутки времени (рис. 1), называется периодическим.

Периодическое движение является колебательным, если тело или материальная точка движется вблизи положения равновесия, отклоняясь от него то в одну, то в другую сторону. Например, механическим колебательным движением является движение тела, подвешенного на нити (рис. 2, а), а также движение груза на пружине (рис. 2, б) и металлической пластинки, один конец которой закреплен (рис. 2, в).

При этом через любую точку траектории (кроме крайних) тело проходит как в прямом, так и в обратном направлении.

Рис. 1. Графики периодических зависимостей , ,  от времени.

Рис. 2. Колебательные движения: а — тела, подвешенного на нити; б — груза на пружине; в — металлической пластинки, закрепленной на конце

Таким образом, колебательным называется периодическое движение (процесс), при котором любая характеризующая его физическая величина (например, координата) поочередно принимает то положительное, то отрицательное значение относительно положения устойчивого равновесия. Следовательно, периодическое колебательное движение (колебания) обладает свойством повторяемости во времени.

Подчеркнем, что по своей природе колебания могут быть не только механическими, но и электромагнитными (соответствуют изменениям напряжения и силы тока в электрической цепи), термодинамическими (соответствуют периодическим изменениям температуры системы с течением времени) и т. д.

Колебания — особая форма движения в том смысле, что различные по своей природе физические процессы (механические, электромагнитные и т. д.) описываются одинаковыми математическими зависимостями физических величин от времени.

Результаты экспериментов показывают, что для возникновения и существования механических колебаний необходимо выполнение определенных условий. Прежде всего, при выведении (например, при малом смещении) тела из положения равновесия в системе должна возникать результирующая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия. Кроме того, в системе не должно быть большое трение, поскольку в этом случае колебания быстро затухнут (вследствие потери энергии) или не возникнут вообще.

Рассмотрим равномерное вращение материальной точки по окружности радиусом (рис. 3, а). Пусть рассматриваемое движение происходит против хода часовой стрелки. Выберем ось , как показано на рисунке 3, а. Если в начальный момент времени материальная точка находилась в положении , то через промежуток времени она окажется в некотором положении .

Спроецируем на ось радиус-вектор движущейся точки, ее линейную скорость и центростремительное ускорение . Проекция радиус-вектора в положении (точка ) является смещением материальной точки от центра окружности вдоль оси (см. рис. 3, а). Следовательно, на оси  этому смещению точки соответствует координата точки .

Поскольку при равномерном вращении точки по окружности ее координата (смещение) будет периодически изменяться от до , то можно сказать, что точка совершает колебательное движение вдоль оси , а ее координата является координатой колеблющейся точки (рис. 3, б).

Рис. 3. Движение материальной точки по окружности: а — характеристики движения; б — колебательная зависимость координаты , соответствующая движению по окружности.

Соответственно, проекция линейной скорости материальной точки на ось является проекцией скорости точки В и периодически изменяется до , а проекция ее центростремительного ускорения — проекцией ускорения точки , которое также периодически изменяется от до .

Радиус-вектор за промежуток времени  повернулся на угол (см. рис. 3, а). При равномерном вращении точки по окружности ее линейная скорость направлена по касательной, а центростремительное ускорение — к центру окружности (см. рис. 3, а). Таким образом,

С учетом того, что модуль линейной скорости , модуль центростремительного ускорения и , выполняются соотношения:

где — период вращения тела по окружности.

Если при материальная точка находилась в точке , то координату , проекции скорости и ускорения точки в любой момент времени можно определить по формулам:

Таблица 1. Координата , проекции скорости и ускорения тела, движущегося движущегося по окружности, в разные моменты времени

Поскольку функции  и периодические, то через промежуток времени, равный периоду , по истечении которого угол изменится на , все характеристики движения точки вдоль оси (координата, проекция скорости и проекция ускорения) примут прежние значения (табл. 1), т. е. значения характеристик периодически повторяются.

Точка в течение этого промежутка времени дважды проходит через начало координат, двигаясь в противоположных направлениях вдоль оси (см. рис. 3, а). Как отмечалось выше, повторяемость — основной признак периодического движения.

Графики зависимостей координаты , проекции скорости  и проекции ускорения от времени показаны на рисунке 4, где — время, отсчитываемое от момента начала колебаний.

Обратим внимание на то, что проекция ускорения точки (см. рис. 3, а) в любой момент времени пропорциональна смещению (координате) и противоположна ему по знаку:

Рис. 4. Зависимости от времени при колебательном движении материальной точки

Перепишем данное соотношение в виде

Колебания, описываемые уравнением (1), являются гармоническими, а система, совершающая такие колебания, — гармонической колебательной системой, или гармоническим осциллятором (от лат. oscillo — качаюсь).

Уравнение (1) описывает гармонические колебания, при которых координата (смещение) тела от времени изменяется по закону косинуса:

или синуса:

где — начальная фаза, которая определяет состояние колебательной системы в начальный момент времени, — амплитуда колебаний.

Зависимость координаты от времени (соотношения (2) и (3)) называется кинематическим законом (или уравнением) гармонических колебаний (законом движения), поскольку позволяет определить положение тела, его скорость, ускорение в произвольный момент времени.

Наиболее важными величинами, характеризующими механические периодические колебания, являются:

— координата  (смещение из положения равновесия) в момент времени :

где — заданная периодическая функция времени , — период этой функции.

— амплитуда колебаний — максимальное смещение тела или системы тел из положения устойчивого равновесия.

— период — длительность одного полного колебания, т. е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание. Здесь — время совершения  полных колебаний.

В СИ единицей периода колебаний является 1 секунда (1 с).

— частота — число полных колебаний, совершаемых в единицу времени:

В СИ единицей частоты колебаний является 1 герц (1 Гц). 1 Гц равен частоте колебаний тела, при которой за 1 с тело совершает одно полное колебание .

— циклическая частота — число полных колебаний, совершаемых за промежуток времени , равный секунд:

В СИ единицей циклической частоты является 1 радиан в секунду .

— фаза (от греч. (фазис) — появление, момент явления) — аргумент периодической функции, определяющий значение физической величины в любой момент времени . Она определяет состояние колебательной системы (координаты, скорости, ускорения) в любой момент времени при заданной частоте и амплитуде.

Единицей фазы является 1 радиан (1 рад).

— начальная фаза, которая определяет состояние колебательной системы в начальный момент времени .

Циклическая частота гармонических колебаний зависит только от свойств системы, в которой происходят колебания, но не зависит от амплитуды колебаний. Амплитуда колебаний и начальная фаза определяются не свойствами самой системы, а тем способом, которым в системе вызваны колебания.

Так как ускорение тела всегда обусловлено действием силы, то по второму закону Ньютона в проекции на ось можно записать:

Следовательно, при гармонических колебаниях проекция силы , возвращающей тело в положение равновесия , пропорциональна его смещению от этого положения (координате) , причем знак «минус» отражает «возвратный» характер возникающей силы. Как уже отмечалось, появление возвращающей силы при отклонении тела от положения равновесия является необходимым условием возникновения колебаний.

Положению равновесия тела соответствует точка, в которой равнодействующая сил, приложенных к нему, равна нулю . Координату этой точки, как правило, принимают равной нулю .

Различают несколько видов равновесия (рис. 5). Равновесие называется устойчивым, если при малом отклонении тела от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в исходное положение. Равновесие называется неустойчивым, если при малом отклонении тела от положения равновесия возникают силы, вызывающие дальнейшее отклонение тела от положения равновесия. Равновесие называется безразличным, если при отклонении тела от положения равновесия равнодействующая сила остается равной нулю. Примером устойчивого равновесия может служить равновесие небольшого шарика в сферической ямке, а неустойчивого — равновесие шарика на вершине сферической горки. Равновесие шарика на горизонтальной поверхности является безразличным.

Рис. 5. Положения устойчивого (а), неустойчивого (б) и безразличного (в) равновесия

Таким образом, колебания материальной точки могут возникать только вблизи положения устойчивого равновесия. Если при этом они происходят под действием возвращающей силы, модуль которой прямо пропорционален смещению точки из положения равновесия, направленной к положению равновесия колеблющегося тела, то они будут гармоническими.

Заметим, что точно так же, как мы рассматривали изменение координаты вращающейся по окружности материальной точки , можно рассматривать и изменение ее координаты (точка ) (см. рис. 3, а). Следовательно, точка будет совершать гармонические колебания вдоль оси .

Значит, равномерное вращение материальной точки по окружности можно рассматривать как наложение двух одинаковых по амплитуде гармонических колебаний, которые происходят одновременно в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Пример №1

За какую часть периода тело, совершающее гармонические колебания, проходит расстояние: а) от положения равновесия до максимального смещения; б) первую половину этого расстояния; в) вторую половину этого расстояния?

Решение

Координата тела, совершающего гармонические колебания, определяется соотношением:

Здесь — амплитуда колебаний тела, — время, отсчитываемое с момента прохождения телом положения равновесия, — период колебаний, — начальная фаза.

Пусть тело находится в положении равновесия в начальный момент времени , тогда и .

а) Промежуток времени , необходимый телу для прохождения расстояния из среднего положения в крайнее , определяется из уравнения:

Наименьшее значение , при котором выполняется это равенство, получается при

Отсюда искомый промежуток времени:

б) Промежуток времени , необходимый для прохождения первой половины этого расстояния    определяется из уравнения:

Отсюда

в) Промежуток времени , необходимый для прохождения второй половины этого расстояния, определяется из соотношения:

Ответ:

Таким образом, для прохождения первой половины расстояния тело затрачивает в 2 раза меньше времени, чем для прохождения второй половины.

Пружинный и математический маятники

Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение тела прямо пропорционально результирующей силе и обратно пропорционально массе тела:

Закон Гука: при упругих деформациях сжатия и растяжения модуль силы упругости прямо пропорционален модулю изменения длины тела:

где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, — длина деформированного тела.

Колебательная система, состоящая из тела с прикрепленной к нему пружиной, называется пружинным маятником. Пружина может располагаться как вертикально (вертикальный пружинный маятник), так и горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).

Рис. 6. Горизонтальный пружинный маятник

Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника. Пусть груз массой , лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен к свободному концу легкой (невесомой) пружины жесткостью (рис. 6). Второй конец пружины неподвижен относительно данной инерциальной системы отсчета (ИСО).

Выведем груз из положения равновесия, сместив его на расстояние вправо (см. рис. 6). Тогда в пружине возникнет сила упругости , действующая на груз и направленная влево.

Согласно второму закону Ньютона для движения груза

В проекции на ось действующих на груз сил (см. рис. 6) с учетом закона Гука получаем:

или

Перепишем полученное соотношение в виде:

которое является уравнением гармонических колебаний пружинного маятника.

Сравнивая (1) с уравнением гармонических колебаний , находим циклическую частоту колебаний горизонтального пружинного маятника:

которая определяется массой груза и жесткостью  пружины.

Для нахождения периода колебаний пружинного маятника воспользуемся формулой , подставив в нее выражение (2):

Как следует из формул (2) и (3), период и частота колебаний пружинного маятника не зависят от амплитуды его колебаний (в пределах выполнимости закона Гука).

Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды называется изохронностью (от греч. (изос) — равный и (хронос) — время). Следовательно, колебания пружинного маятника обладают свойством изохронности.

Изохронность колебаний маятника была открыта Галилео Галилеем в 1583 г. при изучении движения груза, подвешенного на нити. Моделью данной колебательной системы является математический маятник.

Рис. 7. Колебания математического маятника

Колебательная система, состоящая из находящегося в поле силы тяжести тела, подвешенного на легкой нерастяжимой нити, размеры которого малы по сравнению с длиной нити, а его масса значительно больше массы нити, называется математическим маятником. При таких условиях тело можно считать материальной точкой, а нить — легкой нерастяжимой (рис. 7).

Рассмотрим колебания математического маятника.

Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом (см. рис. 7), который нить образует с вертикалью.

После отклонения маятника на него действуют две силы: направленная вертикально вниз сила тяжести и направленная вдоль нити сила упругости . Под действием этих сил тело движется по дуге окружности к устойчивому положению равновесия.

Согласно второму закону Ньютона для движения маятника можем записать:

В проекциях на выбранные оси координат и (см. рис. 7) получаем:

Для углов отклонения значения  и различаются меньше чем на . Поэтому при малых углах отклонения и длина дуги очень мало отличается от длины хорды , где угол  выражен в радианах. Тогда смещение маятника вдоль дуги . Но практически маятник движется вдоль оси  . Из находим и, подставив это выражение в (5), получим:

Таким образом, силой, возвращающей маятник к устойчивому положению равновесия, является сила упругости его нити.

При малых углах отклонения маятника проекция вектора ускорения и ею можно пренебречь, а , тогда из уравнения (6) следует, что .

Следовательно, уравнение движения маятника вдоль оси запишется в виде:

где — ускорение, сообщаемое грузу маятника силой упругости нити.

Отсюда получаем уравнение гармонических колебаний математического маятника:

При сравнении уравнения (8) с уравнением гармонических колебаний можно сделать вывод, что при малых отклонениях математический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой

Тогда период малых колебаний математического маятника в поле тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:

которую впервые получил ученик И. Ньютона Христиан Гюйгенс.

При углах отклонения математического маятника погрешность расчета периода колебаний математического маятника по формуле Гюйгенса не превышает .

Как видно из формул (9) и (10), циклическая частота и период математического маятника не зависят от массы маятника и амплитуды его колебаний, а определяются только его длиной и модулем ускорения свободного падения .

Галилео Галилей первый экспериментально определил, что период малых колебаний математического маятника длиной в поле силы тяжести не зависит от его массы и амплитуды колебаний (угла начального отклонения ). Он установил также, что период этих колебаний прямо пропорционален .

Если маятник приобретает дополнительное ускорение , обусловленное, например, ускоренным движением точки подвеса, то при этом будет изменяться сила упругости нити. В таком случае период колебаний маятника будет определяться по формуле:

где — «эффективное ускорение», равное векторной разности .

Пример №2

Выведите формулу для периода колебаний вертикального пружинного маятника, если масса груза и жесткость пружины .

Решение

Рис.8

Рассмотрим вертикальное движение груза, происходящее под действием силы упругости пружины и силы тяжести груза после толчка. Начало координат поместим в точку, соответствующую равновесному положению тела (рис. 8). В этом положении пружина растянута на величину , определяемую соотношением:

При смещении груза на величину из положения равновесия сила, действующая со стороны пружины на груз, равна .

Тогда по второму закону Ньютона

С учетом соотношения (1) это уравнение перепишем в виде:

Если ввести обозначение , то уравнение движения груза запишется в виде:

Оно описывает гармонические колебания вертикального пружинного маятника с частотой такой же, как у горизонтального пружинного маятника. Следовательно, период колебаний вертикального пружинного маятника такой же, как и горизонтального:

Ответ:

Таким образом, действующая в колебательной системе постоянная сила только смещает положения равновесия, но не изменяет частоту колебаний.

Пример №3

Определите амплитуду , циклическую частоту , период и начальную фазу колебаний тела массой , подвешенного к вертикальной пружине (рис. 9). Известно, что в состоянии покоя тело растягивает пружину на расстояние и для возбуждения колебаний его смещают вниз на расстояние от положения равновесия и отпускают.

Решение

Циклическая частота колебаний вертикального пружинного маятника так же, как и горизонтального, определяется по формуле (см. пример 1):

Для нахождения жесткости пружины запишем условие равновесия тела:

По закону Гука

В проекции на ось условие равновесия запишется:

Отсюда для циклической частоты  получаем:

Рис. 9

Амплитуда колебаний маятника определяется начальным смещением:

Период колебаний находим из соотношения:

Поскольку в начальный момент времени тело было смещено на максимальную величину, то начальная фаза колебаний .

Ответ:  

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силой трения пренебрегают, то его механическая энергия сохраняется. Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол (рис. 10), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Поскольку при прохождении положения равновесия потенциальная энергия равна нулю , то из закона сохранения механической энергии следует (см. рис. 10), что , т. е. кинетическая энергия маятника (а следовательно, и скорость) будет максимальна:

Рис 10. Определение и .

Запишем закон сохранения механической энергии, подставив в него выражения для потенциальной и кинетической энергии:

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

Высоту можно выразить через длину  маятника и амплитуду колебаний. Если колебания малые, то . Из (см. рис. 10) находим:

или 

Подставив выражение (3) для в формулу (2), получим:

Подставляя выражения (3) для и (4) для в соотношение (1), находим:

Рис. 11. Превращения энергии при колебаниях математического маятника

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную (рис. 11).

В любом промежуточном положении 

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 12).

В крайних положениях, когда , модуль скорости маятника , и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Таким образом, из соотношения (6) следует, что механическая энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда , вся энергия пружинного маятника переходит в кинетическую энергию груза:

где  — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

Рис. 12. Превращения энергии при колебаниях пружинного маятника

В положениях между крайними точками полная энергия

С учетом выражений для координаты и проекции скорости груза , а также для находим его потенциальную энергию  и кинетическую энергию  в произвольный момент времени .

Тогда полная механическая энергия пружинного маятника в этот же момент времени есть величина постоянная и равная:

Таким образом, начальное смещение определяет начальную потенциальную, а начальная скорость определяет начальную кинетическую энергию колеблющегося тела. При отсутствии в системе потерь энергии процесс колебаний сопровождается только переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно.

Заметим, что частота периодических изменений кинетической (потенциальной) энергии колеблющегося тела в два раза больше частоты колебаний маятника. Действительно, дважды за период механическая энергия тела будет полностью превращаться в потенциальную (в двух крайних положениях маятника) и дважды за период — в кинетическую (при его прохождении через положение равновесия) (рис. 13).

Рис. 13. Зависимости смещения маятника, его кинетической и потенциальной энергии от времени

Пример №4

Математический маятник при колебаниях от одного крайнего положения до другого смещается на расстояние и при прохождении положения равновесия достигает скорости, модуль которой . Определите период колебаний маятника.

Решение

По закону сохранения механической энергии

Отсюда

Ответ: 

Пример №5

Груз массой находится на гладкой горизонтальной поверхности и закреплен на легкой пружине жесткостью . Его смещают на расстояние от положения равновесия и сообщают в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой . Определите потенциальную  и кинетическую  энергию груза в начальный момент времени. Запишите кинематический закон движения груза.

Решение

Потенциальная энергия груза:

Кинетическая энергия груза:

Начальное смещение груза не является амплитудой, так как вместе с начальным отклонением грузу сообщили и скорость. Однако полная энергия может быть выражена через амплитуду колебаний:

Отсюда

Циклическая частота:

В начальный момент времени координата груза . Отсюда начальная фаза:

Тогда закон гармонических колебаний имеет вид (рис. 14):

Рис. 14. Зависимость смещения маятника от времени

Ответ:

Свободные и вынужденные колебания. Резонанс

Силы взаимодействия тел системы называют внутренними. Тела, не входящие в систему, называют внешними телами. Силы, которые действуют на тела системы со стороны внешних тел, называют внешними силами.

Как вам уже известно, механическая энергия гармонического осциллятора (например, груза на пружине) пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний. Колебания, происходящие с постоянной во времени амплитудой, называются незатухающими колебаниями.

Колебания, которые совершает система около положения устойчивого равновесия под действием внутренних сил после того, как она была выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе, называются свободными (собственными) колебаниями.

Свободные колебания происходят со строго определенной частотой , называемой частотой свободных (собственных) колебаний системы. Эта частота зависит только от параметров системы. Примерами таких колебаний могут служить колебания математического и пружинного маятников, происходящие в отсутствие сил трения. Амплитуда свободных колебаний определяется начальными условиями, т. е. тем начальным отклонением или толчком, которым маятник или груз на пружине приведен в движение. Свободные колебания являются самым простым видом колебаний.

В любой реальной колебательной системе всегда присутствуют силы трения (сопротивления), поэтому механическая энергия системы с течением времени уменьшается, переходя во внутреннюю энергию. Вместе с тем убыль механической энергии означает и уменьшение амплитуды колебаний.

Рис. 15. Затухающие механические колебания: а — малая сила трения; б — большая сила трения

Колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени вследствие потери энергии колебательной системой, называются затухающими колебаниями (рис. 15). Уменьшение механической энергии системы (превращение ее во внутреннюю энергию) происходит вследствие трения и сопротивления окружающей среды.

Систему называют диссипативной (от лат. dissipation — рассеяние), если ее механическая энергия с течением времени уменьшается за счет превращения ее во внутреннюю энергию.

При малых потерях энергии колебания можно считать периодическими и пользоваться такими понятиями, как период и частота колебаний. Так, например, период — промежуток времени между двумя последовательными максимумами колеблющейся физической величины (см. рис. 15, а).

Колебания в любой реальной системе рано или поздно затухают. Чтобы колебания не затухали, необходимо воздействие внешней силы. Однако не всякая внешняя сила заставляет систему двигаться периодически. Например, невозможно раскачать качели, если действовать на них постоянной силой. Внешняя сила тоже должна быть периодической.

Рис. 16. Наблюдение явления резонанса в системе математического маятника

Проведем следующий эксперимент. Соединим математический маятник с метрономом (рис. 16). Изменяя частоту колебаний маятника метронома, добиваемся увеличения амплитуды колебаний математического маятника. Оказывается, что его амплитуда будет максимальной при совпадении собственной частоты колебаний маятника и маятника метронома.

Колебания тел под действием внешней периодической силы называются вынужденными, а сила — вынуждающей. В случае гармонической силы: или . Вначале действия внешней силы наблюдается достаточно сложное движение тела. Спустя некоторое время после начала действия внешней силы колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Таким образом, при вынужденных колебаниях система полностью «забывает» свое начальное состояние. Частота установившихся вынужденных колебаний всегда равна частоте вынуждающей силы.

Амплитуда колебаний и энергия, передаваемая системе за период вынужденных колебаний, зависят от того, насколько различаются частота вынуждающей силы и частота собственных колебаний, а также от величины трения в системе.

При вынужденных колебаниях возможно явление, называемое резонансом (от лат. resono — откликаюсь, звучу в ответ).

Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при действии на колебательную систему внешней силы с частотой со, совпадающей с собственной частотой системы (рис. 17).

Подвесим на упругой нити четыре математических маятника с одинаковыми грузами, три из которых имеют различную длину, а длина четвертого равна длине второго (рис. 18). Сначала посмотрим, что будет с маятниками, если раскачать первый или третий маятник. Наблюдения показывают, что через некоторое время начнут качаться и остальные маятники. Но амплитуда их колебаний мала, и вскоре колебания затухают. А вот если раскачать второй маятник, то амплитуда колебаний четвертого будет непрерывно возрастать, пока не достигнет наибольшего значения.

Это происходит потому, что частота собственных колебаний четвертого маятника совпадает с частотой колебаний внешней силы (частотой колебаний второго маятника), так как их длины равны. А колебания первого и третьего маятников, как и в первом эксперименте, быстро затухают.

Рис. 17. Резонанс: 1 — малая сила трения; 2 — большая сила трения

Рис. 18. Наблюдение явления резонанса в системе маятников

При резонансе создаются оптимальные условия для передачи системе энергии от внешнего источника, так как в течение всего периода работа внешней силы над системой положительна. Вспомните процесс раскачивания на качелях: если качели толкать очень быстро или очень медленно, их практически невозможно будет раскачать. Если же подбирать частоту толчков, близкую к частоте собственных колебаний качелей, то раскачивание будет эффективным.

Большинство сооружений и машин, обладая определенной упругостью, способны совершать свободные колебания. Поэтому при внешних периодических воздействиях в них вследствие явления резонанса могут возбуждаться колебания большой амплитуды, которые могут привести к разрушительным последствиям. Например, для исключения разрушения мостов вследствие явления резонанса при прохождении по ним войсковых частей приказывают идти вольным шагом (не в ногу). Поезда переезжают мосты либо очень медленно, либо с максимальной скоростью.

В 1750 г. цепной мост вблизи г. Анжер (Франция) был разрушен в результате резонанса, во время прохождения по нему отряда солдат, так как частота их шага совпала с частотой свободных колебаний моста.

В 1906 г. в г. Петербурге (Россия) обрушился Египетский мост, по которому проходил кавалерийский эскадрон.

7 ноября 1940 г. сильный порыв ветра вызвал резонансные колебания Такомского моста (США), что привело к его разрушению.

Пример №6

Определите модуль скорости движения поезда, при которой математический маятник, подвешенный в вагоне, особенно сильно раскачивается. Длина маятника , длина рельса .

Решение

Маятник начинает сильно раскачиваться, когда частота его собственных колебаний

совпадает с частотой вынуждающей силы

которая совпадает с частотой ударов колес вагона о стыки рельсов: .

Отсюда  

Ответ: .

Распространение колебаний в упругой среде. Продольные и поперечные волны

Что будет происходить, если горизонтальные пружинные маятники соединить друг с другом в цепочку (рис. 19) и подействовать на один из шариков (например, первый) периодической внешней силой, направленной вдоль цепочки?

Рис. 19. Цепочка соединенных пружинами шариков

Поскольку между телами цепочки действуют силы упругости, обусловленные пружинами, то в колебательное движение вдоль цепочки с той же частотой придут и все последующие шарики. Будет происходить процесс распространения колебаний, но колебания каждого последующего шарика будут запаздывать по сравнению с колебаниями предыдущего. Это запаздывание обусловлено инертностью шариков, смещения которых определяют силы упругости пружин.

Рассмотренная система (цепочка шариков, связанных между собой пружинами) представляет собой простейшую (одномерную) модель упругой среды. Упругой называется среда, частицы которой связаны между собой силами упругости.

Результаты экспериментов показывают, что колебания, возбужденные в какой-либо точке упругой среды, с течением времени передаются в ее другие точки. Так, от камня, брошенного в спокойную воду озера, кругами расходятся волны, которые со временем достигают берега. Колебания сердца, расположенного внутри грудной клетки, можно ощутить на запястье, что используется для определения пульса. Перечисленные примеры связаны с явлением распространения механических колебаний в среде.

Механической (упругой) волной называется процесс распространения колебаний в упругой среде, который сопровождается передачей энергии от одной точки среды к другой.

Механические волны не могут распространяться в безвоздушном пространстве.

Источником механических волн всегда является какое-либо колеблющееся тело. Колеблющееся тело, которое создает волновое движение в окружающей среде, называется источником колебаний (вибратором). Механизм образования волны можно представить следующим образом. Источник колебаний (например, камертон) воздействует на частицы упругой среды, соприкасающиеся с ним, и заставляет их совершать вынужденные колебания (рис. 20).

Рис. 20. Образование звуковых волн при колебании камертона

Среда вблизи источника деформируется, и в ней возникают силы упругости, препятствующие деформации. Если частицы среды сближаются, то возникающие силы их отталкивают, а если удаляются друг от друга, то, наоборот, притягивают. Постепенно силы будут действовать на все более удаленные от источника частицы среды, приводя их в колебательное движение. В результате оно будет распространяться в виде волны.

Если источник колебаний колеблется синусоидально, то и волна в упругой среде будет иметь форму синусоиды. Колебания, вызванные в каком-либо месте упругой среды, распространяются в ней с определенной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств среды.

Подчеркнем, что при распространении волн отсутствует перенос вещества, т. е. частицы среды при этом колеблются вблизи положений равновесия.

Волновой фронт (волновая поверхность) — это поверхность, все точки которой колеблются в одинаковых фазах, т. е. это поверхность равных фаз. Если волновыми поверхностями являются плоскости, то волна называется плоской.

Рис. 21. Основные характеристики волны

Основными характеристиками волны являются (рис. 21):

амплитуда — модуль максимального смещения точек среды из положений равновесия при колебаниях;

период  — время полного колебания (период колебаний точек среды равен периоду колебаний источника волны):

где — промежуток времени, в течение которого совершаются  колебаний;

частота — число полных колебаний, совершаемых в данной точке в единицу времени:  

частота волны определяется частотой колебаний источника;

длина волны  — наименьшее расстояние между двумя точками, колебания в которых происходят в одинаковой фазе, т. е. расстояние, на которое волна распространяется за промежуток времени, равный периоду колебаний источника:

скорость распространения волны — это скорость распространения гребня волны или любой другой точки волны с определенной фазой (это не скорость частиц), модуль этой скорости:

Бегущую волну можно наблюдать, проведя следующий эксперимент. Если один конец резинового шнура, лежащего на гладком горизонтальном столе, закрепить и, слегка натянув шнур рукой, привести его второй конец в колебательное движение в направлении, перпендикулярном шнуру, то по нему побежит волна.

Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волны. Распространение волн вдоль цепочки горизонтальных пружинных маятников (см. рис. 19) является примером распространения продольных упругих волн. При этом распространение волны сопровождается образованием сгущений и разрежений вдоль направления ее распространения.

Рис. 22. Продольная волна

Продольную волну легко получить с помощью длинной пружины, которая лежит на гладкой горизонтальной поверхности и один конец ее закреплен. Легким ударом по свободному концу пружины мы вызовем появление волны (рис. 22). При этом каждый виток пружины будет колебаться вдоль направления распространения волны . Упругие волны в газах и жидкостях возникают только при сжатии или разрежении среды и не могут возникать при сдвиге частиц жидкости или газа. Поэтому в таких средах возможно распространение только продольных волн.

Рис. 23. Устройство для демонстрации продольных и поперечных волн

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Поперечная волна будет распространяться вдоль цепочки пружинных маятников (рис. 23), если на один из них подействовать периодической силой, направленной перпендикулярно цепочке. Используя длинную пружину, можно также продемонстрировать распространение поперечных волн, если совершать колебания незакрепленного конца перпендикулярно продольной оси пружины (рис. 24).

Рис. 24. Поперечная волна

В отличие от жидкостей и газов в твердых телах возможно распространение и поперечных волн, так как они возникают при смещении или сдвиге одних слоев среды относительно других. Вследствие того что распространение продольных волн связано с деформацией сжатия, поперечных — с деформацией сдвига, а упругие свойства тел в отношении этих видов деформации неодинаковы, то и скорости их распространения будут отличаться. Например, в стали поперечные волны распространяются со скоростью, модуль которой , а продольные .

Землетрясения являются источниками сейсмических волн, причем они могут быть как продольными, так и поперечными. Вследствие того что скорости продольных волн больше, чем скорости поперечных, по времени запаздывания поперечной волны можно определить расстояние до очага землетрясения.

Звук

Особенно важное место среди всех типов упругих волн занимают звуковые волны (звуки). Мир окружающих нас звуков разнообразен и сложен, однако мы достаточно легко ориентируемся в нем и можем безошибочно отличить пение птиц от шума городской улицы.

Рис. 25. Образование звуковой волны, создаваемой мембраной барабана

Рассмотрим в качестве примера источника звука барабан (рис. 25). Мембрана барабана создает попеременно сжатие и разрежение в прилегающей к ней области воздуха, и образуется продольная волна, которая распространяется в воздухе. Графически ее можно представить как зависимость плотности молекул воздуха от координаты (рис. 26).

Рис. 26. Зависимость плотности воздуха от координаты в продольной волне

Таким образом, в процессе распространения звуковой волны с течением времени изменяются такие характеристики среды, как плотность и давление.

Для распространения звуковых волн необходимы среды с упругими свойствами. Если поместить источник звука (звонок) под колокол воздушного насоса и постепенно откачивать воздух, то звук становится все слабее и слабее, а затем исчезает. Следовательно, звуковые волны в безвоздушном пространстве не распространяются.

Если окружить звонок слоем пористого материала (поролона, ваты, войлока и т. п.), то звуковые волны в нем быстро затухают. Поэтому такие материалы широко используются для звукоизоляции.

Упругие волны, вызывающие у человека слуховые ощущения, называются звуковыми волнами или просто звуком. Человеческое ухо воспринимает звук в частотном диапазоне от 16 до 20 ООО Гц.

Раздел физики, в котором изучаются звуковые явления, называется акустикой.  

Рис. 27. Шкала звуковых волн

Звуковые волны классифицируются по частоте следующим образом (рис. 27):

Многие животные могут воспринимать ультразвуки. Например, собаки могут слышать звуки частотой до , а летучие мыши — до . Инфразвук, распространяясь в воде на сотни километров, помогает китам и многим другим морским животным ориентироваться в толще воды.

Основными физическими характеристиками звука являются интенсивность и спектральный состав (спектр).

Для характеристики энергии, переносимой волнами, используется понятие интенсивности волны , определяемое как энергия , переносимая волной в единицу времени через поверхность площадью , расположенную перпендикулярно к направлению распространения волны:

Другими словами, интенсивность представляет собой мощность , переносимую волнами через поверхность единичной площади перпендикулярно к направлению распространения волны.

Единицей интенсивности в СИ является 1 ватт на метр в квадрате .

Уровень интенсивности звука определяют обычно, используя шкалу, единицей которой является 1 бел  или ее дольная единица — 1 децибел (одна десятая бела). Уровень интенсивности самого слабого звука, который воспринимает наше ухо, соответствует 1 белу . Единица названа в честь изобретателя телефона Александра Белла.

Так, поезд метро создает уровень интенсивности звука , мощные усилители — , а реактивный самолет — . Тем, кто при работе подвергается воздействию шума свыше , следует пользоваться наушниками.

Интенсивность звука, улавливаемого ухом человека, лежит в очень широких пределах: от (порог слышимости) до (порог болевого ощущения) (рис. 28). 

Рис. 28. Диаграмма восприятия звука ухом человека

Минимальная интенсивность, при которой ухо человека перестает воспринимать звук, называется порогом слышимости. Кривая порога слышимости для всего звукового диапазона приведена на рисунке 28 (в логарифмическом масштабе). Наиболее чувствительно наше ухо к волнам частотой примерно , так как интенсивности порядка  уже достаточно, чтобы ухо восприняло звук. А для того, чтобы услышать звук на частоте , его интенсивность должна быть примерно в раз больше, т. е. порядка .

При значительной интенсивности колебаний ухо перестает воспринимать колебания как звук, испытывая при этом болевое ощущение. Такая интенсивность, выше которой отмечается боль, называется порогом болевого ощущения. Порог болевого ощущения соответствует интенсивности, равной примерно .

Реактивный самолет может создать звук интенсивностью порядка , мощные усилители на концерте в закрытом помещении — до , поезд метро — .

В технике предпочитают измерять изменение интенсивности звука не по изменению энергии волны (на диаграмме справа), а в других единицах — децибелах (на диаграмме слева).

Таким образом, для возникновения звуковых ощущений необходимо:

наличие источника звука;

наличие упругой среды между источником звука и ухом;

частота колебаний источника звука должна находиться в пределах ;

мощность звуковых волн должна быть достаточной для того, чтобы вызывать ощущение звука.

Спектром называется набор звуков различных частот, образующих данный звуковой сигнал. Спектр может быть сплошным или дискретным.

Сплошной спектр означает, что в данном наборе присутствуют волны, частоты которых заполняют весь заданный спектральный диапазон.

Дискретный спектр означает наличие конечного числа волн с определенными частотами и амплитудами, которые образуют рассматриваемый сигнал.

По типу спектра звуки разделяются на шумы и музыкальные тоны.

Шум — совокупность разнообразных кратковременных звуков (хруст, шелест, шорох, стук и т. п.) — представляет собой наложение большого числа колебаний с близкими амплитудами, но различными частотами (имеет сплошной спектр).

Музыкальный тон создается периодическими колебаниями звучащего тела (камертон, струна) и представляет собой гармоническое колебание одной частоты. На основе музыкальных тонов создана музыкальная азбука — ноты (до, ре, ми, фа, соль, ля, си), которые позволяют воспроизводить одну и ту же мелодию на различных музыкальных инструментах. Интервал частот музыкальных звуков, на границах которого звуки по частоте отличаются в 2 раза, называют октавой.

Музыкальный звук (созвучие) — результат наложения нескольких одновременно звучащих музыкальных тонов, из которых можно выделить основной тон, соответствующий наименьшей частоте. Основной тон называется также первой гармоникой. Все остальные тоны называются обертонами. Обертоны называются гармоническими, если частоты обертонов кратны частоте основного тона. Таким образом, музыкальный звук имеет дискретный спектр.

Физическим характеристикам звука соответствуют определенные (субъективные) характеристики, связанные с восприятием его конкретным человеком. Это обусловлено тем, что восприятие звука — процесс не только физический, но и физиологический. Человеческое ухо воспринимает звуковые колебания определенных частот и интенсивностей (это объективные, не зависящие от человека характеристики звука) по-разному, в зависимости от «характеристик приемника» (здесь влияют субъективные индивидуальные черты каждого человека).

Основными физиологическими характеристиками звука являются громкость, высота и тембр.

Громкость (степень слышимости звука) определяется как интенсивностью звука (амплитудой колебаний в звуковой волне), так и различной чувствительностью человеческого уха на разных частотах. Наибольшей чувствительностью человеческое ухо обладает в диапазоне частот от до .

С возрастом порог слышимости человека возрастает. Следует отметить, что болевой порог изменяется в зависимости от частоты не столь существенно, как порог слышимости.

При увеличении интенсивности в 10 раз уровень громкости увеличивается на . Вследствие этого звук в оказывается в 100 раз интенсивнее звука в .

Высота звука определяется частотой звуковых колебаний, обладающих наибольшей интенсивностью в спектре.

Тембр (оттенок звука) зависит от того, сколько обертонов присоединяются к основному тону и какова их интенсивность и частота. По тембру мы легко отличаем звуки скрипки и рояля, флейты и гитары, голоса людей (табл. 2) и т. д.

Таблица 2. Частота колебаний различных источников звука

Модуль скорости звука зависит от упругих свойств, плотности и температуры среды. Чем больше упругие силы, тем быстрее передаются колебания частиц соседним частицам и тем быстрее распространяется волна. Поэтому модуль скорости звука в газах меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях, как правило, меньше, чем в твердых телах (табл. 3).

Таблица 3. Скорость звука в различных средах

Модуль скорости звука в идеальных газах с ростом температуры растет пропорционально , где — абсолютная температура. В воздухе модуль скорости звука при температуре и при температуре . В жидкостях и металлах модуль скорости звука, как правило, уменьшается с ростом температуры (исключение — вода).

Впервые модуль скорости звука в воздухе был определен в 1640 г. французским физиком Мареном Мер-сенном. Он измерял промежуток времени между моментами появления вспышки и звука при ружейном выстреле. Мерсенн определил, что модуль скорости звука в воздухе равен .

Способ ориентации или исследования окружающих объектов, основанный на излучении ультразвуковых импульсов с последующим восприятием отраженных импульсов (эха) от различных объектов, называется эхолокацией, а соответствующие приборы — эхолокаторами.

Эхолокацию используют различные китообразные (дельфины), а также летучие мыши, птицы гуахаро, гнездящиеся в глубоких пещерах Венесуэлы и на острове Тринидад, стрижи-салаганы, живущие в пещерах Юго-Восточной Азии. Волны ультразвуковых частот широко используются в медицине в диагностических целях. УЗИ-сканеры позволяют исследовать внутренние органы человека.

Пример №7

Стальные детали проверяются ультразвуковым дефектоскопом. Определите толщину детали и глубину расположения дефекта, если после излучения ультразвукового сигнала получены два отраженных сигнала через промежутки времени и . Модуль скорости распространения ультразвука .

Решение

Так как сигнал проходит деталь туда и обратно, то толщину детали определим по формуле:

Аналогично определяется глубина, на которой находится дефект:

Ответ: .

Итоги:

Периодическим называется движение, при котором физические величины, характеризующие колебательную систему, через равные промежутки времени принимают одинаковые значения.

Колебательным называется движение (процесс), при котором любая характеризующая это движение (процесс) физическая величина поочередно изменяется то в одну, то в другую сторону от ее значения в положении устойчивого равновесия.

Периодическим колебательным движением (колебаниями) называют любой процесс, который обладает свойством повторяемости во времени.

Колебания любой физической природы, описываемые уравнением

являются гармоническими, а система, совершающая такие колебания, — гармонической колебательной системой, или гармоническим осциллятором.

Колебания, при которых зависимость координаты (смещения) тела от времени определяется соотношениями

или 

называются гармоническими.

Зависимость координаты от времени называется кинематическим законом гармонических колебаний (законом движения).

Колебания материальной точки являются гармоническими, если они происходят под действием возвращающей силы, модуль которой прямо пропорционален смещению точки из положения равновесия , направленной к положению равновесия колеблющегося тела.

Амплитуда колебаний — максимальное смещение тела или системы тел из положения равновесия.

Фаза колебаний определяет состояние колебательной системы (координаты, скорость, ускорение) в любой момент времени при заданной амплитуде. В начальный момент времени она равна начальной фазе .

Единицей фазы является 1 радиан .

Циклическая частота — число полных колебаний за промежуток времени секунд:

Период колебания — время одного полного колебания:

Частота колебаний — число полных колебаний, совершаемых в единицу времени:

Колебательная система, состоящая из тела с прикрепленной к нему пружиной, называется пружинным маятником. Его период колебаний:

Колебательная система, состоящая из небольшого тела, подвешенного на легкой нерастяжимой нити, называется математическим маятником.

Период малых колебаний математического маятника определяется по формуле Гюйгенса:

Собственные (свободные) колебания — это колебания, происходящие в отсутствие внешних воздействий на систему. Они происходят со строго определенной частотой, называемой частотой собственных колебаний системы.

Затухающими называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени.

Вынужденными называются колебания системы, вызываемые действием на нее периодических внешних сил.

Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда частота периодической внешней силы совпадает с собственной частотой колебаний системы.

Механической волной называется процесс распространения колебаний в упругой среде, который сопровождается передачей энергии от одной точки среды к другой.

Длина волны — расстояние, пройденное волной в среде за промежуток времени, равный периоду колебаний частиц:

Скорость распространения волны — это скорость распространения гребня волны или любой другой точки волны с определенной фазой, модуль которой

Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волны.

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Упругие волны, вызывающие у человека слуховые ощущения, называются звуковыми волнами или просто звуком.

Основными физическими характеристиками звука являются интенсивность и спектральный состав (спектр).

Единицы основных величин механических колебаний и волн

Механические и электромагнитные волны

В курсе физики вы изучали механические колебания. Часто бывает так, что, возникнув в одном месте, колебания распространяются в соседние области пространства. Вспомните, например, распространение колебаний от брошенного в воду камешка или колебания земной коры, распространяющиеся от эпицентра землетрясения. В таких случаях говорят о волновом движении — волнах (рис. 17.1). Из этого параграфа вы узнаете об особенностях волнового движения.

Рис. 17.1. От камешка, брошенного в воду, по поверхности воды распространяются волны

Возникновение и распространение механических волн

Создаем механические волны:

Возьмем довольно длинную веревку, один конец которой прикрепим к вертикальной поверхности, а второй будем двигать вниз-вверх (колебать). Колебания от руки распространятся по веревке, постепенно вовлекая в колебательное движение все более удаленные точки, — по веревке побежит механическая волна (рис. 17.2).

Рис. 17.2. Распространение волны вдоль веревки. Стрелка показывает направление распространения волны

Механической волной называют распространение колебаний в упругой среде*.

* Среду называют упругой, если при ее деформации возникают силы, противодействующие этой деформации, — силы упругости.

Теперь закрепим горизонтально длинную мягкую пружину и нанесем по ее свободному концу серию последовательных ударов — в пружине побежит волна, состоящая из сгущений и разрежений витков пружины (рис. 17.3).

Рис. 17.3. Распространение волны в пружине. Стрелка показывает направление распространения волны

Описанные выше волны можно увидеть, однако большинство механических волн невидимы, например звуковые волны (рис. 17.4).

На первый взгляд, все механические волны абсолютно разные, но причины их возникновения и распространения одинаковы.

Как и почему в среде распространяется механическая волна

Любая механическая волна создается колеблющимся телом — источником волны. Осуществляя колебательное движение, источник волны деформирует ближайшие к нему слои среды (сжимает и растягивает их либо смещает). В результате возникают силы упругости, которые действуют на соседние слои среды и заставляют их осуществлять вынужденные колебания. Эти слои, в свою очередь, деформируют следующие слои и заставляют их колебаться. Постепенно, один за другим, все слои среды вовлекаются в колебательное движение — в среде распространяется механическая волна.

Поперечные и продольные механические волны

Сравним распространение волны вдоль веревки (см. рис. 17.2) и в пружине (см. рис. 17.3).

Отдельные части веревки движутся (колеблются) перпендикулярно направлению распространения волны (на рис. 17.2 волна распространяется справа налево, а части веревки движутся вниз-вверх). Такие волны называют поперечными (рис. 17.5). При распространении поперечных волн происходит смещение одних слоев среды относительно других. Деформация смещения сопровождается возникновением сил упругости только в твердых телах, поэтому поперечные волны не могут распространяться в жидкостях и газах. Итак, поперечные волны распространяются только в твердых телах.

Рис. 17.4. Колебания звучащего тела являются причиной поочередных сгущений и разрежений среды — в среде распространяется звуковая волна

Рис. 17.5. В поперечной волне слои среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны

При распространении волны в пружине витки пружины движутся (колеблются) вдоль направления распространения волны. Такие волны называют продольными (рис. 17.6). Когда распространяется продольная волна, в среде происходят деформации сжатия и растяжения (вдоль направления распространения волны плотность среды то увеличивается, то уменьшается). Такие деформации в любой среде сопровождаются возникновением сил упругости. Поэтому продольные волны распространяются и в твердых телах, и в жидкостях, и в газах.

Рис. 17.6. В продольной волне слои среды колеблются вдоль направления распространения волны

Волны на поверхности жидкости не являются ни продольными, ни поперечными. Они имеют сложный продольно-поперечный характер, при этом частицы жидкости движутся по эллипсам. В этом легко убедиться, если бросить в море легкую щепку и понаблюдать за ее движением на поверхности воды.

Основные свойства волн

1. Колебательное движение от одной точки среды к другой передается не мгновенно, а с некоторым опозданием, поэтому волны, распространяются в среде с конечной скоростью.
2. Источник механических волн — колеблющееся тело. При распространении волны колебания частей среды — вынужденные, поэтому частота колебаний каждой части среды равна частоте колебаний источника волны.
3. Механические волны не могут распространяться в вакууме.
4. Волновое движение не сопровождается переносом вещества — части среды всего лишь колеблются относительно положений равновесия.
5. С приходом волны части среды приходят в движение (приобретают кинетическую энергию). Это означает, что при распространении волны происходит перенос энергии.

Перенос энергии без переноса вещества — важнейшее свойство любой волны.

Физические величины, характеризующие колебания

Волна — это распространение колебаний, поэтому физические величины, характеризующие колебания (частота, период, амплитуда), также характеризуют и волну. Итак, вспомним материал 7 класса:

	Физические величины, характеризующие колебания
	Частота колебаний	Период колебаний	Амплитуда колебаний
Определение	количество колебаний за единицу времени	время одного колебания	максимальное расстояние, на которое отклоняется точка от положения равновесия
Формула для определения	— количество колебаний за интервал времени	— количество колебаний за интервал времени
Единица в СИ	герц	секунда (с)	метр (м)

Обратите внимание! При распространении механической волны все части среды, в которой распространяется волна, колеблются с одинаковой частотой которая равна частоте колебаний источника волны, поэтому период колебаний для всех точек среды тоже одинаков, ведь А вот амплитуда колебаний постепенно уменьшается с отдалением от источника волны.

Длину и скорость распространения волны

Вспомните распространение волны вдоль веревки. Пусть конец веревки осуществил одно полное колебание, то есть время распространения волны равно одному периоду За это время волна распространилась на некоторое расстояние (рис. 17.8, а). Это расстояние называют длиной волны.

Рис. 17.8. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется волна за время одного колебания (это также расстояние между двумя ближайшими гребнями или двумя ближайшими впадинами)

Длина волны — расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду

где — скорость распространения волны.

Единица длины волны в СИ — метр:

Нетрудно заметить, что точки веревки, расположенные друг от друга на расстоянии одной длины волны, колеблются синхронно — имеют одинаковую фазу колебаний (рис. 17.8, б, в). Например, точки А и В веревки одновременно движутся вверх, одновременно достигают гребня волны, затем одновременно начинают двигаться вниз и т. д.

Воспользовавшись формулой можно определить скорость распространения волны: Учитывая, что получим формулу взаимосвязи длины, частоты и скорости распространения волны — формулу волны:

Если волна переходит из одной среды в другую, скорость ее распространения изменяется, а частота остается неизменной, поскольку частота определяется источником волны. Таким образом, согласно формуле при переходе волны из одной среды в другую длина волны изменяется.

Формула волны

— скорость распространения волны; — длина волны; — частота волны

Пример №8

Поперечная волна распространяется вдоль шнура со скоростью 3 м/с. На рис. 1 показано положение шнура в некоторый момент времени и направление распространения волны. Считая, что сторона клетки равна 15 см, определите:

1) амплитуду, период, частоту и длину волны;

2) направление, в котором в данный момент времени движутся точки К, В и С шнура.

Рис. 1

Анализ физической проблемы, решение

Волна поперечная, поэтому точки шнура колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (смещаются вниз-вверх относительно некоторых положений равновесия).

1) Из рис. 1 видим, что максимальное отклонение от положения равновесия (амплитуда А волны) равно 2 клеткам. Значит,

Расстояние между гребнем и впадиной — 60 см (4 клетки), соответственно расстояние между двумя ближайшими гребнями (длина волны) вдвое больше. Значит,

Частоту и период волны найдем, воспользовавшись формулой волны:

2) Чтобы выяснить направление движения точек шнура, выполним дополнительное построение. Пусть за небольшой интервал времени волна сместилась на некоторое небольшое расстояние. Поскольку волна смещается вправо, а ее форма со временем не изменяется, точки шнура займут положение, показанное на рис. 2 пунктиром.

Рис. 2

Волна поперечная, то есть точки шнура движутся перпендикулярно направлению распространения волны. Из рис. 2 видим, что точка К через интервал времени окажется ниже своего начального положения, следовательно, скорость ее движения направлена вниз; точка В переместится выше, следовательно, скорость ее движения направлена вверх; точка С переместится ниже, следовательно, скорость ее движения направлена вниз.

Ответ: и — вниз, — вверх.

Подводим итоги:

Распространение колебаний в упругой среде называют механической волной. Механическую волну, в которой части среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны, называют поперечной; волну, в которой части среды колеблются вдоль направления распространения волны, называют продольной.

Волна распространяется в пространстве не мгновенно, а с некоторой скоростью. При распространении волны происходит перенос энергии без переноса вещества. Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду, называют длиной волны — это расстояние между двумя ближайшими точками, которые колеблются синхронно (имеют одинаковую фазу колебаний). Длина частота и скорость распространения волны связаны формулой волны:

Виды механических колебаний и волн

Механические колебания окружают нас повсюду: покачивание ветвей деревьев, вибрация струн музыкальных инструментов, колебания поплавка на волне, движение маятника в часах, биение сердца и т. д. Колебательное движение, одно из самых распространенных в природе.

Механические колебания — это движения тела (или системы тел), происходящие около некоторого положения равновесия и точно или приблизительно повторяющиеся через равные интервалы времени.

Колебательное движение, как и любое другое движение, характеризуется такими физическими величинами, как скорость, ускорение, координата (смещение).

Смещение x — это расстояние от положения равновесия до точки, в которой в данный момент времени находится колеблющееся тело.

При колебаниях механическое состояние тела непрерывно изменяется. Если координата и скорость движения тела повторяются через равные интервалы времени, такие колебания называют периодическими. Существует ряд физических величин, характеризующих именно периодические колебания, в частности амплитуда, период, частота (см. рис. 19.1, таблицу).

Физические величины, характеризующие периодические колебания

Рис. 19.1. Груз на пружине совершает периодические колебания (x — смещение груза; A — амплитуда колебаний). Интервал времени, за который груз переместился из положения 1 в положение 2 и обратно (время одного колебания), — период колебаний T

Незатухающие и затухающие колебания

Рассмотрим колебания груза на пружине (рис. 19.1). Если бы в системе «груз — пружина — Земля» не было потерь механической энергии, то колебания продолжались бы сколь угодно долго, а их амплитуда со временем не изменялась бы. Колебания, амплитуда которых со временем не изменяется, называют незатухающими.

Однако в любой системе всегда есть потери механической энергии. Энергия расходуется на преодоление сил трения, на деформацию тел во время колебаний. В результате механическая энергия постепенно переходит во внутреннюю. Поэтому, если система не получает энергию извне, то амплитуда колебаний постепенно уменьшается и спустя некоторое время колебания прекращаются (затухают). Колебания, амплитуда которых со временем уменьшается, называют затухающими.

Свободные и вынужденные колебания, автоколебания

Существуют колебания, которые происходят без внешнего периодического воздействия. Таковы, например, колебания подвешенного на нити или на пружине шара, возникающие после того, как шар отклонили от положения равновесия и отпустили. Такие колебания называют свободными.

Свободные колебания — это колебания, происходящие под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Частота свободных колебаний определяется свойствами самой системы.

Рис. 19.2. Чтобы в колебательной системе возникли свободные колебания, необходимо вывести ее из положения равновесия — сообщить потенциальную (а) или кинетическую (б) энергию

Систему тел, в которой могут возникать свободные колебания, называют колебательной системой. Характерная черта колебательной системы — наличие положения устойчивого равновесия, около которого и происходят свободные колебания. Чтобы в колебательной системе возникли свободные колебания, необходимо выполнение двух условий:

• системе должна быть передана избыточная энергия (рис. 19.2);
• трение в системе должно быть достаточно мало, иначе колебания быстро затухнут или даже не возникнут.

При свободных колебаниях система не получает энергию извне, поэтому свободные колебания — это всегда затухающие колебания. Чем больше трение в системе, тем быстрее затухают колебания. Например, в воздухе колебания тела на пружине длятся достаточно долго, а в воде быстро затухают (на этом явлении основана работа гидравлических амортизаторов автомобилей (рис. 19.3)).

Рис. 19.3. С кузовом автомобиля соединяют поршень, который во время колебаний движется в цилиндре, заполненном жидкостью; значительное сопротивление жидкости приводит к затуханию колебаний

Существуют колебания (движение воздуха в духовых инструментах, поршня — в двигателе внутреннего сгорания и т. д.), которые совершаются, только когда на тело действуют периодически изменяющиеся внешние силы. Такие колебания называют вынужденными.

Вынужденные колебания — это колебания, происходящие в системе в результате действия внешней периодически изменяющейся силы.

Вынужденные колебания — это обычно незатухающие колебания, частота которых равна частоте изменения внешней силы, вынуждающей тело колебаться.

Есть системы, в которых незатухающие колебания существуют не благодаря периодическому внешнему воздействию, а в результате способности таких систем самим регулировать поступление энергии от постоянного (не периодического) источника. Такие системы называют автоколебательными, а незатухающие колебания в таких системах — автоколебаниями.

Незатухающие колебания, происходящие в системе за счет поступления энергии от постоянного источника, которое регулируется самой системой, называют автоколебаниями.

Частота автоколебаний, как и частота свободных колебаний, определяется свойствами самой системы. Примером механической автоколебательной системы может быть храповый механизм маятниковых часов (рис. 19.5).

Рис. 19.5. Когда маятник 1 приближается к крайнему левому положению, палета b цепляется за зуб храпового колеса 3 и маятник получает толчок влево, приобретая дополнительную энергию

Практически в любой автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента: колебательную систему, в которой могут происходить свободные колебания (в нашем примере это маятник 1 часов), источник энергии (поднятая гиря 2, которая поворачивает храповое колесо 3), устройство обратной связи, регулирующее поступление энергии от источника определенными порциями (анкер 4, посредством которого маятник «руководит», в какой момент гиря передает энергию храповому колесу).

Гармонические колебания

По характеру зависимости смещения (координаты) x тела от времени t его колебаний различают гармонические и негармонические колебания. Как правило, зависимость x (t) достаточно сложная (рис. 19.6). Рассмотрим график колебаний тела на пружине (рис. 19.6, в).

Кривая, изображенная на графике, — косинусоида. Колебания, при которых координата x колеблющегося тела изменяется с течением времени t по закону косинуса (или синуса), называют гармоническими колебаниями:

Данные уравнения называют уравнениями гармонических колебаний. Выясним, что означает в этих уравнениях каждая величина.

Обратите внимание! Если координата тела изменяется по гармоническому закону (по закону косинуса или синуса), скорость и ускорение движения тела тоже изменяются гармонически. При этом выполняются соотношения:

И наоборот: если в любой момент времени движения тела его ускорение прямо пропорционально смещению и направлено в сторону, противоположную смещению, то такое движение представляет собой гармонические колебания.

Обратите внимание!

Рис. 19.7. Графики гармонических колебаний (A — амплитуда колебаний; Т — период колебаний). Координата колеблющегося тела изменяется в зависимости от времени t по закону: x = Acosωt (а); x = Asinωt (б)

Пример №9

По графику определите амплитуду и период колебаний тела. Вычислите циклическую частоту и максимальную скорость движения тела. Запишите уравнение колебаний. Найдите смещение тела в фазе рад.

Решение:

График колебаний — синусоида, поэтому уравнение колебаний имеет вид: x = Аsinωt . Из графика видим: максимальное смещение тела равно 5 см: ; тело совершает одно полное колебание за 4 с, следовательно, T= 4 с. Найдем циклическую частоту и максимальную скорость движения тела:

Подставим значения в уравнение колебаний: (м).

Если

Выводы:

• Движения, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые интервалы времени, называют механическими колебаниями.
• Колебания, амплитуда которых со временем не изменяется, называют незатухающими; колебания, амплитуда которых со временем уменьшается, — затухающими.
• Колебания, происходящие в системе в результате действия периодически изменяющейся внешней силы, называют вынужденными, а происходящие под действием только внутренних сил системы, — свободными.
• Незатухающие колебания, происходящие в системе за счет поступления энергии от постоянного (не периодического) источника, которое регулируется самой системой, называют автоколебаниями.
• Колебания, в процессе которых смещение x колеблющегося тела изменяется с течением времени t по закону косинуса (или синуса), называют гармоническими. В общем случае уравнение гармонических колебаний имеет вид: , где A — амплитуда колебаний; — фаза колебаний — начальная фаза; ω — циклическая частота.

Справочная информация о колебаниях

Колебанием называется процесс, при котором какая-либо физическая величина, характеризующая этот процесс, последовательно изменяется то в одну, то в другую сторону около некоторого своего среднего значения.
Например, на качелях, подвешенных на веревках, человек отклоняется то вперед и вверх, то назад и вверх от положения равновесия.

Механической колебательной системой называется совокупность тел, в которой могут происходить колебательные процессы. На рисунке 196 представлены наиболее простые механические колебательные системы: вертикальный пружинный маятник (рис. 196, а) образуют Земля, штатив, пружина и груз; физический маятник (рис. 196, б) — Земля, штатив и шарик на нити; горизонтальный пружинный маятник (рис. 196, в) — два штатива, две пружины и шарик.

Для возникновения колебаний в любой из этих систем необходимо вывести подвешенное тело из положения устойчивого равновесия.

Рис. 196

Всякая колебательная система имеет положение устойчивого равновесия и самопроизвольно (без внешнего воздействия) из него выйти не может.

Периодическими называются колебания, повторяющиеся через определенный промежуток времени.
Периодом колебания называется промежуток времени, в течение которого совершается одно полное колебание. Если за промежуток времени t совершено N полных колебаний, то период определяется по формуле:

Частота колебаний, как и при вращательном движении, — величина, обратная периоду, равная числу колебаний, совершенных системой за одну секунду:

В СИ период измеряется в секундах (с), а частота — в герцах (Гц).

Смещением называется любое отклонение физической величины от ее значения в положении равновесия.

Амплитудой А называется максимальное смещение. На рисунке 197 показан горизонтальный пружинный маятник, состоящий из тела, которое может двигаться по гладкому столу (без трения) около положения равновесия под действием пружины. Выберем начало координат под положением равновесия тела. В этой системе смещение тела изменяется от значения -А до значения А.

Рис. 197

Гармоническими называются колебания, при которых какая-либо величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Например, гармонические колебания физического маятника можно зарегистрировать следующим способом. В качестве груза взять небольшой флакон с чернилами, которые могут вытекать через очень маленькое отверстие снизу. Под колеблющимся маятником двигать равномерно по столу бумажную ленту (рис. 198).

Рис. 198

Полученная на  бумаге кривая (рис. 199) называется осциллограммой (лат. oscillum — колебание, греч. graphic — пишу) и представляет собой синусоиду или косинусоиду в зависимости от выбора начального момента времени наблюдения (момента отсчета времени).

Рис. 199

Чтобы установить основные кинематические признаки гармонических колебаний, рассмотрим их математическую модель на примере изменения физических величин, характеризующих движение маленького шарика (материальной точки) по окружности с постоянной угловой скоростью ω. Начало координат поместим в центре окружности радиуса R. Пусть в начальный момент времени материальная точка находилась в положении M₀ (рис. 200) и ее радиус-вектор составлял с осью Ox угол φ₀.

Рис. 200

Через промежуток времени t точка переместилась в положение M₁, а ее радиус-вектор повернулся на угол ∆φ = ωt и составляет в данный момент с осью Ox угол
φ₁ =φ₀ +Δφ = φ₀+ωt.

Тогда в момент времени / координаты точки:
;

Расположим перпендикулярно плоскости картона и перпендикулярно друг другу два экрана и будем освещать движущийся шарик (рис. 201). На вертикальном экране 1 тень от шарика будет двигаться вдоль оси O_y по закону y_l =Rsinφ_t = Psin(ω_t + φ₀), т. е. совершать колебания возле начала координат. На горизонтальном экране тень шарика будет двигаться вдоль оси O_x по закону x_l =Rcosφ_t = Pcos(ω_t + φ₀), и также совершать колебания около начала координат.

Рис. 201

Фазой колебания называется аргумент синуса или косинуса, или, в выбранной системе отсчета, угол между радиус-вектором и осью О_х. Так как sinφ_t = cos(90^o-φ_t), то говорят, что колебания координаты x_t сдвинуты по фазе на 90° или на относительно колебаний координаты y_t.

Начальная фаза колебания φ₀ характеризует положение точки в начальный момент времени. Если в начальный момент времени шарик находится на оси Ох, то начальная фаза колебания равна нулю.

Так как -1 ≤sinφ_t≤ 1 и -1 ≤cosφ_t≤ 1, координаты шарика и его теней изменяются в пределах: -R ≤ x_t ≤ R, -R ≤ y_t ≤ R.

Таким образом, мгновенные значения координат х_t и y_t можно рассматривать как смещения от нулевого значения, а модуль амплитудного значения для обеих координат равен радиусу окружности: |x_max| = |m_max| = R.

Так как шарик движется с постоянной угловой скоростью ω, то модули его линейной скорости и центростремительного ускорения постоянны и равны υ = ωR, a = ω²R. Но направление каждого из этих векторов меняется с течением времени, и поэтому изменяются их проекции на оси координат.

Выразим проекции вектора скорости через ее модуль и угол поворота радиус-вектора (рис. 202, а):

Для проекций ускорения на оси координат (рис. 202, б):

Рис. 202

Из этих уравнений следует, что проекции векторов скорости и ускорения также зависят от времени по гармоническому закону. Модули амплитудных значений проекций скорости равны:

а модули амплитудных значений проекций ускорения равны:

Следовательно, колебательное движение является сложным переменным движением, так как и скорость и ускорение точки зависят от времени.

Для упрощения примем, что в начальный момент движения точка находилась на оси О_х, т. е. φ₀ = 0 и φt = ωt.

На рисунке 203 представлена зависимость координаты х (кривая 1) и проекции ускорения ах (кривая 2) на ось O_x от времени:

Рис. 203

На рисунке 204 представлена зависимость координаты у (кривая 1) и проекции ускорения  a_y( кривая 2) на ось Oy от времени:

Рис. 204

Сравнение графиков каждой координаты с соответствующим графиком ускорения показывает: 1) графики проекций ускорений сдвинуты относительно графиков координат на 180^o = π, или, как говорят, проекция ускорения изменяется с течением времени в противофазе изменению координаты; 2) в любой момент времени проекция ускорения пропорциональна координате (смещению): α_y = -ω²y_t, a_x=-ω²x_t, с коэффициентом пропорциональности ω². Знак «-» соответствует противоположному отклонению проекций ускорения и координат от нулевых значений в любой момент времени.

Соотношения α_y = -ω²y_t, a_x=-ω²x_t являются основным признаком гармонических колебаний, так как справедливы только для гармонически изменяющихся с течением времени величин.

При гармонических колебаниях ускорение направлено к положению равновесия, противоположно по фазе смещению, а модуль ускорения пропорционален модулю смещения с коэффициентом пропорциональности ω².

Физическая величина ω называется циклической частотой гармонических
колебаний:

Циклическая частота измеряется в радианах в секунду ().

Необходимо отметить, что если при рассмотрении какого-нибудь колебательного процесса получено соотношение, подобное a_x =-ω₂x_t, то можно считать этот процесс зависящим от времени по гармоническому закону. Тогда по формуле  можно определить период этих колебаний.

Главные выводы:

1. При колебательном движении физическая величина изменяется только в определенном интервале значений, отклоняясь от равновесного значения то в одну сторону, то в другую.
2. При гармонических колебаниях координата, проекция скорости и проекция ускорения точки изменяются с течением времени по гармоническому закону.
3. Основным признаком колебательного процесса, зависящего от времени по гармоническому закону, является соотношение между проекцией ускорения и смещением: a_x=-ω²x_t.

Пружинный маятник

Пружинным маятником называется система, состоящая из пружины жесткостью k и тела массой m. В простейшей модели пружинного маятника рассматривают только упругую деформацию пружины и пренебрегают: 1) сопротивлением среды и трением скольжения; 2) размерами тела. т. е. тело считается материальной точкой, хотя чаще всего его изображают прямоугольником; 3) массой пружины.

• Горизонтальный пружинный маятник — маятник, в котором колебания тела на пружине происходят вдоль горизонтальной прямой.
• Вертикальный пружинный маятник — маятник, в котором колебания тела на пружине происходят вдоль вертикальной прямой.

Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника. Пусть пружина прикреплена к вертикальной стене, а тело может скользить без трения по гладкому горизонтальному столу (рис. 207, а).

Если пружина не растянута, то на покоящееся тело действуют только сила тяжести и сила реакции опоры, и по второму закону Ньютона:

Выведем тело из положения равновесия, растягивая при этом пружину, и отпустим его. Так как пружина растянута, то на тело действует сила упругости пружины , и по второму закону Ньютона:

В системе координат, начало которой расположено под положением равновесия тела (рис. 207, б), запишем для проекций на ось Оу:

и ось Ох:

Рис. 207

Согласно закону Гука проекция силы упругости в выбранной системе отсчета:

где x_t — абсолютное удлинение пружины, или координата тела в выбранной системе отсчета.

Выразим проекцию ускорения:

и сравним с соотношением, характеризующим гармонические колебания:

Сравнение позволяет считать, что

и циклическая частота колебаний равна:

а период колебаний тела на пружине:

Чтобы записать уравнение гармонических колебаний для координаты тела, необходимо знать амплитуду и фазу колебаний.

Амплитуда колебаний x_max равна максимальному значению координаты тела, или максимальному абсолютному удлинению пружины. Эта величина в соответствии с законом Гука: F_упрmax =-kx_max и третьим законом Ньютона:  определяется максимальной величиной деформирующей силы:  под действием которой тело смещается из положения равновесия.

Пусть в начальный момент времени координата тела максимальна, т. е. мы начинаем следить за его движением в момент начала движения тела к положению равновесия. Тогда уравнение для координаты может быть записано как:

с начальной фазой φ₀ = 0.

Или по закону синуса:

с начальной фазой

В соответствии с формулами, полученными при рассмотрении гармонических колебаний, можно записать уравнения для проекций скорости и ускорения тела:

где модули максимальных (амплитудных) значений скорости и ускорения соответственно равны:

Рассмотрим характеристики движения тела в некоторые моменты времени.

Через промежуток времени, равный  после начала движения тела к положению равновесия, координата тела, проекции скорости и ускорения равны:

В этот момент тело проходит положение равновесия (рис. 208, а) с максимальной скоростью, а ускорение равно нулю, так как пружина не деформирована.

Через половину периода координата тела, проекции скорости и ускорения равны:

В этот момент тело на мгновение останавливается, пружина максимально сжата, и, соответственно, ускорение максимально и направлено к положению равновесия (рис. 208, б).

Рис. 208

Через промежуток времени, равный периоду, координата тела равна

: и т. д.

В таком идеальном случае, без действия сил трения и сопротивления, тело на пружине должно колебаться бесконечно долго.

Колебания называются незатухающими, если их амплитуда постоянна, т. е. не зависит от времени. Следовательно, рассмотренные колебания пружинного маятника являются незатухающими.

Можно показать, что для вертикального пружинного маятника циклическая частота или период колебаний определяются теми же величинами k и m и равны:

Жесткость пружины и масса груза — характеристики данной колебательной системы, а колебания поддерживаются за счет силы упругости, которая является силой взаимодействия между телом и пружиной в колебательной системе.

Свободными, или собственными, называются колебания, происходящие только под действием сил взаимодействия в самой колебательной системе при отсутствии сил сопротивления движению.

Период или частота собственных (свободных) колебаний обусловлены только характеристиками колебательной системы, а амплитуда колебаний остается неизменной и определена причинами, которые вывели систему из положения равновесия.

Главные выводы:

1. Пружинный маятник — модель колебательной системы, в которой рассматривают только упругую деформацию пружины и пренебрегают массой пружины и размерами тела.
2. Колебания пружинного маятника являются гармоническими, форма записи уравнения колебаний (косинусоидальные или синусоидальные) выбирается в зависимости от начальных условий и удобства математической записи.
   , амплитуда колебаний определяется причинами, которые вывели маятник из положения равновесия.
3. Период или частота колебаний пружинного маятника зависят только от жесткости пружины и массы тела:

Математический маятник

Рассмотрим колебания маленького стального шарика, подвешенного на длинной нерастяжимой нити. Отклоним нить с шариком на небольшой угол от вертикали и отпустим. Под действием силы тяжести и силы натяжения нити шарик начнет колебательное движение (рис. 209. а). Можно засечь время, например 5 полных колебаний, и определить период колебании.

Из-за сил трения о воздух и внутреннего трения в материале нити возле точки подвеса энергия, полученная шариком при выведении из положения равновесия, постепенно переходит во внутреннюю, и его амплитуда колебаний уменьшается. Измерим вновь время 5 полных колебаний и определим период при меньшей амплитуде. Период колебаний не изменился.

Исследуем, от чего зависит период колебаний. Подвесим на той же нити вместо стального шарика пластмассовый таких же размеров, но меньшей массы. Период колебаний остался прежним.

Если подвесить шарик на нити большей длины, то период колебаний увеличится.

Чтобы получить формулу для периода колебаний, необходимо, как всегда, для упрощения математических расчетов сначала охарактеризовать используемую модель колебательной системы.

Математическим маятником называется находящаяся в гравитационном поле материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити.
Математический маятник — это модель малых реальных колебаний тела под действием силы тяготения при условии, что можно пренебречь: I) размерами подвешенного тела по сравнению с длиной нити; 2) сопротивлением движению тела; 3) массой нити; 4) деформацией нити.

Для того чтобы получить формулу для периода колебаний, проведем еще два опыта. Отклоним шарик на нити длиной l на небольшое расстояние от вертикальной линии OO₁ и измерим это расстояние R (см. рис. 209, а). Отпустим шарик и определим период его колебаний T_k. Вновь отведем шарик на расстояние R от линии OOt и толкнем так, чтобы шарик начал двигаться по окружности радиуса R, а нить при его движении описывала коническую поверхность (рис. 209, б). Определим период вращения шарика T_в и сравним с периодом колебаний. Эти величины оказываются равными: Т_к = Т_в.

Рис. 209

Шарик движется по окружности с центростремительным ускорением под действием двух сил: силы тяжести и силы натяжения нити . По второму закону Ньютона: .

Спроецируем на оси координат и получим выражение для ускорения шарика:

При малых углах отклонения нити .
C другой стороны, центростремительное ускорение равно: . Используя эти уравнения, получим выражение для периода.
Период колебаний математического маятника можно рассчитать по формуле:

При малых отклонениях от положения равновесия период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Это свойство маятника называется изохронностью (изо — постоянный, хронос — время).

Свободные колебания математического маятника можно считать гармоническими только при малых углах отклонения нити от вертикали.

Формула для периода свободных (или собственных) колебаний математического маятника показывает, что, как и для пружинного маятника, период колебаний определяется только параметрами колебательной системы: длиной нити и ускорением свободного падения (характеризующим взаимодействие маятника с Землей) в месте расположения маятника.

Так как период колебаний маятника может быть определен и по формуле , где N — число полных колебаний маятника за время t, то, используя обе формулы, можно вычислить ускорение свободного падения в данном месте Земли.

Как мы уже обсуждали, ускорение свободного падения зависит от многих параметров, в том числе и от средней плотности залегающих под почвой пород.

В 30-е годы XX в. не существовало современных физических методов геологической разведки, и контуры знаменитого месторождения магнитного железняка в России «Курская магнитная аномалия» были определены с помощью прибора, основной частью которого был маятник. Там, где плотная железосодержащая порода была близко под почвой, ускорение свободного падения было больше, а период колебаний маятника меньше.

Полученная формула для периода колебаний математического маятника может быть использована для оценки периода колебаний так называемого физического маятника, т. е. колеблющегося тела, размерами которого нельзя пренебречь по сравнению с длиной подвеса. В этом случае используют понятие — приведенная длина L_np, которая больше L — расстояния от точки подвеса до центра тяжести. Тогда период колебаний физического маятника Γφ можно оценить по формуле:

При использовании маятниковых часов необходимо учитывать зависимость ускорения свободного падения от массы Земли M и расстояния r до ее центра:

Следовательно, при перемещении таких часов высоко в горы, в глубокую шахту или на другую планету период маятниковых часов будет меняться, и они будут отставать или спешить по сравнению с их показаниями в месте изготовления.

Главные выводы

1. Математический маятник — это тело малых размеров, подвешенное на длинной невесомой и нерастяжимой нити, совершающее колебания под действием постоянной силы тяготения.
2. Колебания математического маятника являются гармоническими лишь при отклонении нити от вертикали на малые углы.
   
3. Период колебаний математического маятника вычисляется по формуле:

Превращение энергии при механических колебаниях

Как мы уже обсуждали, в рассмотренных моделях гармонических колебаний пружинного и математического маятников предполагалось, что сопротивление движению отсутствует.

В этом случае должен выполняться закон сохранения и превращения механической энергии. Покажем выполнение закона сохранения энергии при гармонических колебаниях на примере горизонтального пружинного маятника.

Работа деформирующей силы при растяжении пружины была затрачена на потенциальную энергию упругой деформации:  . При движении к положению равновесия деформация пружины уменьшается, и при некоторой деформации х_t (или координате тела) (рис. 210) потенциальная энергия упругой деформации равна:

Рис. 210

Двигаясь ускоренно под действием силы упругости, тело приобрело скорость и соответственно кинетическую энергию: , где m— масса тела, υ_x — скорость тела в момент, когда его координата x_t.
Используя уравнения для координаты и проекции скорости: x_t = x_maxcosωt, υ_x = -x_maxsinωt, и формулу для циклической частоты: , найдем сумму кинетической энергии груза и потенциальной энергии в любой момент времени:

Таким образом, в любой момент времени механическая энергия системы, равная сумме кинетической энергии тела и упругой энергии пружины, остается постоянной и равной начальной максимальной потенциальной энергии.

Полная энергия колебаний может быть выражена и через максимальную кинетическую энергию:

Аналогично можно показать выполнение закона сохранения и превращения механической энергии при свободных колебаниях математического маятника.

В случае возбуждения колебаний при отклонении маятника из положения равновесия работа внешней силы идет на увеличение потенциальной энергии груза маятника. При подъеме на высоту H потенциальная энергия груза относительно положения равновесия (рис. 211):

Рис. 211

При движении маятника к положению равновесия происходит увеличение кинетической энергии
груза за счет потенциальной энергии, и на высоте h полная энергия:

Следовательно, можно записать закон сохранения механической энергии для математического маятника:

Для реального маятника из-за трения о воздух и внутреннего трения в нити возле точки подвеса часть механической энергии за каждый период колебаний переходит во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул Q.

В этом случае выполняется закон сохранения полной энергии:

и через промежуток времени, равный периоду, максимальное значение потенциальной энергии меньше начального:

Следовательно, в процессе колебательного движения амплитуда колебания уменьшается.

Затухающими называются колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается (рис. 212). Например, если толкнуть качели с сидящим на них человеком, то колебания этой системы будут затухающими.

Рис. 212

В этом случае для сохранения амплитуды колебаний необходимо пополнять потери энергии. Например, поддерживать амплитуду колебаний качелей постоянной можно, периодически их подталкивая.
Вынужденными называются колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Рассмотрим вынужденные колебания в следующем опыте. Подвесим пружинный маятник к стержню с изгибом (рис. 213). который можно вращать е помощью рукоятки. Отверстие, через которое проходит подвес маятника, позволяет ему двигаться только вверх или вниз. При вращении рукоятки с постоянной частотой на маятник будет с такой же частотой действовать сила со стороны стержня.

Рис. 213

У пружинного маятника есть собственная частота колебаний. Пусть частота вращения стержня не равна этой частоте. Тогда под действием периодически изменяющейся силы амплитуда колебаний груза сначала увеличивается (рис. 214), а через некоторое время устанавливаются колебания с постоянной амплитудой и периодом, равным периоду вынуждающей силы.

рис. 214

При установившихся колебаниях работа внешней силы равна потерям энергии в колебательной системе, а значение установившейся амплитуды определяется: 1) потерями энергии; 2) амплитудой действующей силы; 3) частотой или периодом внешней силы.

Если изменять частоту вращения стержня соответственно, частоту вынуждающей силы, можно зарегистрировать характерную завимостью амплитуды вынужденных колебаний от частоты (рис. 215), которая называется резонансной кривой. При частоте вынуждающей силы. приближающейся к собственной частоте колебаний маятника, амплитдных колебаний растет, а при больших частотах уменьшается.

Рис. 215

Механическим резонансом называется резкое возрастание амплитуды возбужденных колебаний, когда частота вынуждающей силы близка к частоте собственных колебаний системы.

Представленные на рисунке 215 резонансные кривые получены при разных силах сопротивления движению. Резонансная кривая  1 получена при силах трения, а резонансная кривая 2 — при наличии больших сил сопративления движению.

Следовательно, резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний в резонансе наблюдается лишь при наличии малых сил сопротивления движению

Например, если толкать качели «в такт» их движению, то можно их «растягивать» до все большей амплитуды. Возрастание амплитуды колебаний происходит до тех пор, пока энергия, поступающая в колебательную систему за  работы периодической силы, больше энергии потерь.

Явление резонанса имеет огромное практическое значение, так как используется для усиления различных колебаний в технике.

Вынужденные колебания используют при работе виброустройств для уплотненения сыпучего основания под фундаменты и дороги, уплотнения бетона при заливке фундаментов. Вибраторы применяются для вибрационного забивания свай, труб, при виброукладке бетона, сортировке сыпучих материалов.
 

Механические волны

Реальные колебательные системы практически всегда расположены в какой-либо среде. Поэтому колебательная система может отдавать энергию частицам среды, непосредственно прилегающим к ней, вызывая их вынужденные колебания. Например, движение качелей происходит в воздухе, и, стоя возле  мы ощущаем движение воздуха, как бы ветерок дует на нас при прохожими качелей то с одной, то с другой стороны.

Как мы уже обсуждали, между молекулами вещества существуют силы взаимодействия, которые определяют его упругие свойства. Если какие-то частицы выводятся из положения равновесия, то силы взаимодействия со стороны соседних частиц препятствуют этому и одновременно смещают сами соседние частицы. Вследствие взаимодействия между частицами колебательное движение передается от одной частицы к другой, и колебательный процесс распространяется в среде.

Механической волной называется процесс распространения колебаний в фугой среде.

Как модель возникновения и распространения механической волны можно рассмотреть движение двух поплавков на поверхности воды. Подергаем леску один из них так. чтобы поплавок начал колебаться вверх-вниз, месте с поплавком смещаются соприкасающиеся с ним частицы воды, которые вовлекают в движение ближайшие к ним другие частицы, и от поплавка по всем направлениям распространяются волны. Эти волны вовлекают в колебательное движение второй поплавок, и от него появляются такие же волны.

Важно отметить, что оба поплавка только колеблются возле положения равновесия, а волны распространяются от них во всех направлениях.

Источником колебаний или вибратором называется колеблющееся тело, возбуждающее волновое движение частиц среды.

Рассмотрим модель еще более простой механической волны, которая распространяется только в одном направлении. Для этого возьмем резиновый шнур с нанизанными на него бусинами, один конец закрепим, а второй конец будем периодически двигать вверх-вниз возле положения равновесия (рис. 217).

Рис. 217

В качестве источника колебаний выступает наша рука, и пусть ее колебания, а следовательно, колебания ближайшей от нее бусины происходят вдоль оси O_y по закону:

где А — амплитуда колебания бусины, которая подвержена нашим воздействиям, фаза колебания, T — период колебания.

На рисунке показаны положения бусин на шнуре через каждую восьмую часть периода колебаний. В момент  фаза колебания первой бусины равна , а фазы колебаний всех остальных бусин, колеблющихся возле своего положения равновесия на оси Ох, меньше .

В этом случае говорят, что колебания других бусин отстают по фазе от колебаний первой тем больше, чем дальше они расположены от источника колебаний.

В момент времени смешение первой бусины будет таким же, как и в момент t₁ т. е. смещение каждой бусины от положения равновесия повторяется с периодом, равным периоду вибратора.

Следовательно, при распространении волны: 1) смещение каждой точки шнура от положения равновесия происходит с течением времени периодически: 2) смещения всех точек шнура в каждый момент времени периодически изменяются от точки к точке, т. е. являются периодической функцией координат.

Иногда говорят, что при распространении волны происходит перемещение фазы колебания от точки к точке с определенной скоростью.

• Фазовой скоростью называется скорость распространения какой-либо фазы от одной точки среды к другой.
• Бегущей волной называется распространение колебательного движения в среде с определенной скоростью υ.

Пусть волна вдоль шнура распространилась до точки с координатой х. Бусина в этой точке будет иметь такую же фазу колебаний, как и первая, но не более поздний момент времени распространения волны, т. е. отставать . Следовательно, уравнение колебаний бусины вдоль оси O_y около положения ее равновесия, имеющего координату х, будет повторять уравнение колебаний первой бусины, но с соответствующим отставанием по фазе:

Это уравнение называют уравнением бегущей волны вдоль оси Ох.

Важно понимать, что при распространении бегущей механической волны частицы среды не перемещаются вместе с волной, а только совершают колебания около своих положений устойчивого равновесия. Поэтому бегущая волна не переносит вещество, а переносит энергию колебательного движения.

Словосочетание «колебания частиц совпадают по фазе» используют для ех частиц, участвующих в волновом процессе, которые в данный момент имеют одинаковые смещения от положения равновесия и одинаковые проекции скорости. А фазы колебаний таких частиц отличаются на четное число, умноженное на π: nπ, где n — четное число.

В зависимости от направления колебаний частиц среды относительно направления распространения волны различают поперечные и продольные волны.

Поперечной волной называется распространение колебательного процесса ɪ среде, при котором частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны.

Рассмотренный пример колебаний бусин на шнуре является моделью возникновения и распространения поперечной волны.

Условием распространения поперечных волн в среде является возникновение при деформации сдвига упругих возвращающих сил. Поэтому поперечные волны могут распространяться в твердых веществах, вдоль упругих шнуров, труп и т. д., на поверхности жидкостей.

Продольной волной называется распространение колебательного процесса в среде, при котором частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. Продольные волны возникают при деформации сжатия или растяжения.

Примером продольных волн может служить распространение колебательного процесса вдоль ряда подвешенных шариков, которые скреплены друг с другом одинаковыми пружинками (рис. 218, а). Если вывести из положения равновесия один из шариков и отпустить, то в горизонтальном направлении за счет взаимодействия шариков и пружинок начнет распространяться продольная волна, представляющая собой сгущения и разрежения витков пружин (рис. 218, б). При этом каждый шарик колеблется вдоль направления распространения волны.

Рис. 218

Продольные волны могут, например, возникать, если в длинной трубке с воздухом возле одного из концов поршень совершает колебательное движение (рис. 219). В этом случае в воздухе будет распространяться упругая волна, представляющая собой чередование сгущений и разрежений среды, которое будет характеризоваться периодическим изменением плотности или давления в среде. Мембрана микрофона, установленного возле другого конца трубки, начнет колебаться под воздействием воздуха, и стрелка присоединенного к микрофону гальванометра также начнет колебаться.

Рис. 219

Продольные волны могут возникать и распространяться в веществе, находящемся в любом состоянии: твердом, жидком и газообразном. Поперечные волны возникают и распространяются только в твердых веществах.

Необходимо отметить, что распространение механических волн определяется передачей энергии колебательного движения от одной частицы к другой. Но частицы среды лишь колеблются возле положений равновесия, а распространяющаяся волна переносит энергию в пространстве. Энергия, переносимая волной, равна сумме кинетических энергий колеблющихся частиц и потенциальной энергии упругой деформации среды.

Главные выводы:

1. Механическая волна — это процесс распространения колебаний от одной частицы среды к другой. Период колебаний частиц среды, т, е. период волны, определяется источником колебаний.
2. При распространении механической волны частицы среды не перемещаются вместе с волной, а только совершают колебания около своих положений устойчивого равновесия. Поэтому бегущая волна не переносит вещество, а переносит энергию колебательного движения.
3. В зависимости от направления колебания частиц среды относительно направления распространения волны различают поперечные и продольные волны.

Скорость распространения волны

Механическая волна — это процесс распространения колебательного движения в среде от частицы к частице, обусловленный взаимодействием между ними. Следовательно, скорость распространения механических волн в среде должна зависеть от сил взаимодействия между частицами среды.

При рассмотрении механических деформаций мы обсуждали, что силы взаимодействия в веществе зависят от свойств молекул или атомов и расстояний, на которых они находятся.

Опыты по изучению механических волн показывают, что скорость их распространения в однородной среде тем больше, чем меньше плотность вещества и чем более упругим оно является.

При изучении простейших упругих деформаций растяжения и сжатия мы познакомились с одной из характеристик упругих свойств вещества — продольным модулем упругости, или модулем Юнга Е.

Установлено, что при распространении продольных волн вдоль стержня их скорость определяется по формуле: , где υ_∣∣ — скорость продольной волны, E — модуль Юнга для вещества стержня, р — плотность вещества стержня.

Подобные формулы установлены для скорости распространения продольных и поперечных волн и для более сложных случаев.

Скорость механических волн в среде определяется физическими характеристиками среды: упругими свойствами и плотностью.

Различные виды упругой деформации характеризуются количественно отличающимися коэффициентами. Поэтому, например, в твердых телах продольные волны распространяются быстрее поперечных, и скорость продольных волн в железе , а поперечных—

Различия в скорости распространения продольных и поперечных волн в веществе используются для изучения особенностей его строения. Например, в геофизике изучается распространение продольных и поперечных воли в земной коре, что позволяет получать информацию о ее строении и определять расположение эпицентров землетрясений.

Для характеристики волн применяют понятие длина волны, которое можно ввести двумя способами (рис. 222)

1. длиной волны λ называется расстояние, на которое распространяется колебательный процесс в среде за время, равное периоду колебаний ее частиц;
2. длиной волны λ называется расстояние между двумя ближайшими точками бегущей волны, которые колеблются в одинаковой фазе.

В том, что эти два варианта определения длины волны равноправны, легко убедиться, проанализировав развитие волнового процесса на рисунке 222.

Рис. 222

Пусть известны период T и скорость волны υ. Тогда согласно первому варианту определения ,глины волны:
λ = υT.

Как мы уже обсуждали, период волны определяется источником колебаний, а скорость обусловлена свойствами среды, поэтому при распространении колебательного процесса из одной среды в другую изменяются скорость и длина волны, а частота и период не изменяются.

На границе раздела двух сред может происходить отражение и преломление механических волн, подобное отражению и преломлению света, которое вы рассматривали в оптике.

При этом законы отражения и преломления механических волн аналогичны законам отражения и преломления света.

На практике наблюдаются два типичных случая отражения, один из которых называют отражением с потерей полуволны, а второй — отражением бел потери полуволны.

В случае отражения с потерей полуволны (рис. 223), если волна до отражения двигалась гребнем вперед, то после отражения волна будет распространяться впадиной вперед (и наоборот), т. е. при таком отражении фаза волны изменяется на противоположную. Такое отражение наблюдается на границе двух сред, если скорость распространения волны во второй среде меньше, чем в первой.

Рис. 223

Если во второй среде скорость распространения волны больше, чем в первой, то от границы этих сред происходит отражение без потери полуволны, т. е. если волна до отражения двигалась гребнем вперед, то и после отражения она будет распространяться гребнем вперед.

Рассмотрим простейшую модель одного из интересных случаев распространения и отражения волн на примере нити, один конец которой привязан к молоточку звонка, а к другому концу через блок подвешена маленькая гирька (рис. 224).

Рис, 224

Частицы нити передают друг другу колебания от молоточка, и волна распространяется до блока, вызывая вынужденные колебания груза. Эти колебания порождают отраженную волну той же частоты. Таким образом, каждая точка нити участвует в двух колебаниях, которые приходят с разных сторон.

Если изменять расстояние от молоточка до блока, то можно наблюдать, как при некоторых расстояниях возникают так называемые стоячие волны.

Стоячие волны возникают только тогда, когда на расстоянии от источника до препятствия, отражающего волны, укладывается целое число четвертей волны.

Название «стоячие волны» возникло потому, что при распространении таких волн нет перемещения фазы между колеблющимися точками, а некоторые из точек стоячей волны совсем не колеблются.

Узлами называются те точки стоячей волны, которые не колеблются. Например, точки А, В, C па рисунке 224. Расстояние между соседними узлами составляет половину длины стоячей волны.

Пучностями называются точки стоячей волны, амплитуды которых максимальны. Например, точки Е, F на рисунке 224.

Стоячие волны можно наблюдать на натянутых горизонтально канатах, струнах. Причем в зависимости от точки воздействия на струну одной и той же длины в ней одновременно могут возникать одна или несколько кратных ей стоячих волн.

В окружающем мире мы часто наблюдаем возникновение и исчезновение (затухание) волн. Например, на спокойной поверхности воды в пруду волны от брошенного камешка довольно быстро исчезают. Или на поверхности лужи при резком порыве ветра вдруг возникает «рябь» — много мелких волн, которые могут исчезнуть так же быстро.

Затуханием волны называется уменьшение ее амплитуды в процессе распространения. Колебательному движению частиц среды препятствуют силы сопротивления. В результате этого энергия колебательного движения частиц переходит во внутреннюю энергию вещества, и волны затухают.

Главные выводы:

1. Скорость механических волн зависит от физических характеристик среды: ее упругих свойств и плотности.
2. Длиной волны называется расстояние, на которое распространяется колебательный процесс в однородной среде за время, равное периоду колебаний частиц волны (или расстояние между двумя точками волны, колеблющимися в одинаковой фазе).
3. При переходе в другую среду период и частота волны остаются постоянными, а скорость распространения волны изменяется, поэтому изменяется и длина волны.
4. При различии в скоростях распространения волн в двух средах на их границе происходит отражение и преломление волны.
5. Реальное колебательное движение частиц в любой среде происходит при наличии сил сопротивления, и поэтому механические волны в любой реальной среде затухают.

Звуковые волны

Окружающий мир наполнен огромным количеством звуков, которые издают люди, птицы и другие животные, машины и т. д. Что же такое звук и как он возникает?

Проведем опыт с металлической тарелкой из ударных инструментов оркестра (рис. 225). Ударим по краю тарелки, когда она находится на стойке и когда за лежит на мягком кресле.

В обоих случаях мы услышим звуки, но они будут отличаться. Почему звуки разные?

Рис. 225

Тарелка на стойке после удара достаточно долго колеблется, лежащая на кресле — практически не колеблется.
Различные опыты показывают, что звук возникает только от колеблющихся тел, которые называют источниками звука. Каким же образом звук двигает уха человека?

На этот вопрос ответил в 1660 г. английский ученый Р. Бойль. Он изучал звучание колеблющихся тел, помещенных под колокол воздушного насоса (Рис. 226). При наличии под колоколом воздуха звук от звонка хорошо слышны. При откачивании из под колокола воздуха громкость звука уменьшается, и наконец звук совсем исчезает. Если впустить воздух под колокол, то вновь слышен громкий звук. Следовательно, для распространения звука от колеблющегося тела необходима среда.

рис. 226

Кроме того, каждый знает, что звуки слышны в воде, через стекло, степы и т. д.

Дело в том, что в окружающем мире: в воздухе, воде, почве, зданиях, мостах. рельсах, автомобилях, мебели и т. д. — непрерывно распространяются разнообразные колебания от различных источников колебаний.
Механические волны в интервале частот приблизительно от 20 Гц до 20 000 Гц слуховая система человека воспринимает как звуковые колебания, а колебания других частот ощущаются нами в основном как вибрация, толчки, удары и т. п.

Акустикой называется раздел физики, изучающий возникновение и распространение звуковых волн.
Большинство звуковых волн достигают уха человека по воздуху, а в газах, как мы обсуждали, распространяются только продольные волны, представляющие собой области сгущения или разрежения молекул, т. е. периодические изменения плотности и давления.

Именно периодические изменения давления воздуха вызывают вынужденные колебания ушной барабанной перепонки, которые сложным образом преобразуются в сигналы, распространяющиеся по нервам в кору головного мозга. Барабанная перепонка и остальная сложная система, определяющая слух человека, способны преобразовывать в нервные импульсы лишь определенный диапазон частот механических колебаний, в среднем от 20 Гц до 20 000 Гц. Поэтому ввели следующие определения.

Звуком называется волновой процесс, распространяющийся в твердых телах в виде продольных и поперечных волн, а в жидкостях и газах в виде продольных волн с частотой в пределах 20—20 000 Гц.

Инфразвуком называются волны с частотой меньше 20 Гц, а ультразвуком — с частотой больше 20 000 Гц. В последнее время при изучении вещества интенсивно используется гиперзвук с частотой порядка 109 Гц.
Частота и период звуковой волны определяются источником звука, т. е. акустическим или звуковым вибратором.

Скорость звуковых волн, как и всех механических волн, зависит от упругих свойств среды и ее плотности. В воздухе, в зависимости от его температуры и влажности, скорость звука 330—340 ; в воде, в зависимости от температуры и примесей. — 1480—1530 ; в железе — около 5850 .

Длину звуковой волны можно вычислить, как и для всех механических волн, по формуле:

Для сравнения звуков используют различные слова, например «высокий» ли «низкий», «металлический» или «музыкальный», при сравнении голосов звонят «бас» или «тенор» и т. д.

Измерения показывают, что звуки, воспринимаемые человеком как «тонне», «высокие», имеют большую частоту, чем звуки «низкие». При этом, как правило, каждое звучащее тело создает свой набор звуковых волн нескольких частот, в результате чего звуки от разных колеблющихся тел отличаются.

Музыкальным тоном называется звуковая волна одной частоты, подчиняющаяся гармоническому закону.
Для настройки музыкальных инструментов используются камертоны рис. 227), каждый из которых сделан так, что создает, практически, звук плюй частоты, или один музыкальный топ.

Рис. 227

Для тех, кто занимается музыкой или пением, интересно будет знать, что он «ля» первой октавы (рис. 228) соответствует частоте 440 Гц, тон «ля» второй октавы — частоте 880 Гц и т. д.

Голос, способный издавать звуки низкой частоты, называется, басом. «Нижний» рекорд для баса — звук при частоте 44 Гц. Самая высокая нота, ιpoπeτaπ певицей, соответствовала частоте 2300 Гц.

Рис. 228

Так как большинство звучащих тел создают целый набор звуковых частот, то для описания создаваемых ими звуков принято использовать целый ряд терминов.

Основным тоном называется звук наименьшей частоты, издаваемый звучащим телом.

Обертонами называются звуки более высоких частот, чем основной тон, их частоты являются кратными частоте основного тона.

Тембр сложного звука определяется количеством тонов и их частотами.

Тембр определяет неповторимость звуков человеческих голосов и различных музыкальных инструментов.

В струнах музыкальных инструментов (рис. 229) возникают стоячие волны. Частота стоячей волны зависит от точки воздействия на струну. Поэтому в руках умелого гитариста одна струна может петь, почти как целый оркестр.

Рис. 229

Основной тон голоса человека определяется так называемыми голосовыми связками: чем они тоньше и короче, тем больше частота колебаний и выше голос. Но неповторимость и красоту голоса создают обертоны, которые возникают при колебаниях не только связок, но и губ, языка и т. д.

Чем отличается музыкальный звук от шума?

Шумом называется такой сложный звук, в котором нельзя выделить отдельные гармонические тоны.

Поэтому волчий вой и комариный писк — звуки музыкальные, а барабанный бой и стук кастаньет являются шумом.

А чем отличаются «громкие» и «тихие» звуки?
Громкость звука зависит от энергии колебаний звуковой волны и особенностей слухового аппарата человека.
Самые тихие звуки, воспринимаемые человеком, вызывают колебания барабанной перепонки с энергией порядка 10^-16Дж. Самые громкие звуки (еще без болевых ощущений), например недалеко от взлетающего реактивного самолета, соответствуют энергии колебаний порядка 10^-4Дж.

Кажется, что энергия 10^-4 Дж = 0,1 мДж очень маленькая, но для маленькой и тонкой барабанной перепонки превышение этой энергии может привести к ее разрыву.

Единица громкости называется белом (Б) в честь физика Генриха Бела. На практике чаще используют децибел: 1 дБ = 0,1 Б. На рисунке 230 представлена диаграмма громкости звуков от различных источников. Тиканье часов или шепот на расстоянии I м соответствуют 10 дБ, а звуковая волна громкостью порядка 130 дБ вызывает ощущение боли.

Объективной физической характеристикой звуковой волны, определяющей ее громкость, является интенсивность.

Интенсивностью звука I называется физическая величина, равная энергии, переносимой звуковой волной за единицу времени через единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны.
Интенсивность определяется по формуле:

где W — энергия звуковой волны, переносимая через поверхность площадью S в течение времени t. Для интенсивности нет специальной единицы измерения, и она измеряется в ваттах на квадратный метр ().

Точечным источником звука называется колебательная система, размеры которой много меньше длины создаваемой ею звуковой волны.

Например, при частоте звука 500 Гц и скорости в воздухе 340 длина звуковой волны λ = 0,68 м = 68 см, и маленький колокольчик можно считать точечным источником.

В этом случае волны распространяются как бы из точки и будут сферическими по форме. На расстоянии г от источника площадь сферической поверхности S = 4πr² и

где P — мощность источника, т. е. энергия звуковых волн, создаваемая нм в одну секунду.

Если мощность источника постоянна и потерями энергии колебательного движения можно пренебречь, то интенсивность сферической звуковой волны убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до источника. При увеличении расстояния в 2 раза интенсивность звука уменьшается в 4 раза.

Как мы уже обсуждали, слуховой аппарат человека и обрабатывающие звуковую информацию системы коры головного мозга способны распознавать лишь звуки в определенных интервалах громкости и частоты.
Под акустическим загрязнением понимают распространение в окружающем человека пространстве очень большого количества шумовых звуков или звуков большой громкости.

При акустическом загрязнении человек не может правильно воспринимать информацию, некоторые люди ощущают боль, может повышаться артериальное давление и т. п.

Например, если в классе звучат два голоса: учитель задает вопросы, а ученик отвечает, то слуховая система всех остальных учеников способна воспринимать, а мозг способен обрабатывать и запоминать информацию, переносимую звуковыми волнами от говорящих. После звонка, на перемене, начинают говорить одновременно практически все находящиеся в классе ученики. В этих условиях услышать, что говорит даже стоящий рядом человек, очень трудно.

В современном городе уровень уличного шума может достигать 80—90 дБ, и это негативно влияет на работу слухового аппарата и мозга человека. Еще больший уровень шума соответствует концерту рок-музыкантов. Поэтому с течением лет чувствительность их слуха снижается, они становятся «тугоухими», т. е. плохо слышат и воспринимают звуки и речь нормальной громкости.

На основании исследований установлены санитарные нормы, согласно которым безопасный уровень громкости звуков для человека не должен превышать 30—40 дБ.

Главные выводы:

1. Звуком называется волновой процесс, распространяющийся в твердых телах в виде продольных и поперечных волн, а в жидкостях и газах в виде продольных волн с частотой в пределах от 20 Гц до 20 000 Гц.
2. Скорость звуковых волн зависит от упругих свойств и плотности вещества, в которых они распространяются.
3. Музыкальные звуки представляют собой гармонические изменяющия звуковые волны.
4. При акустическом загрязнении окружающей человека среды может жаться чувствительность его слуховой системы и могут возникать болевые ощущения.

Звуковые явления

Так как скорость звука зависит от упругих свойств среды и ее плотности, то при переходе из одной среды в другую скорость звука скачком изменяется. Поэтому для звуковых волн на границе двух сред могут наблюдаться явления отражения и преломления.

Волна, распространяющаяся из первой среды, вызывает вынужденные колебания частиц второй среды. Колебания этих частиц являются источником новых звуковых волн, которые распространяются не только во второй среде, но и в первой. Так возникают отраженные и преломленные звуковые волны.

Отражение волн можно рассмотреть на следующем примере. Капнем из пипетки маленькую каплю воды в прямоугольную ванночку с водой. От места падения капли начинает распространяться круговая волна, от края ванночки волна отражается и движется в обратном направлении (рис. 231).

Рис. 232

Эхом называется отраженная звуковая волна, возвратившаяся к источнику звука. В окружающем мире эхо наблюдается при отражении от скал, стен зданий и т. д. (рис. 232). При этом вогнутые арки зданий и каменных мостов отражают звуковые волны лучше всего.

Рис. 232

В закрытом большом помещении, например в театре, может происходить многократное отражение звуковых волн от стен и потолка, поэтому в момент прекращения действия источника звук не сразу исчезает.

Реверберацией (послезвучанием) называется /величение продолжительности звука из-за его отражения от окружающих предметов. Реверберация зависит как от объема помещения, так и от его формы, материала потолка, стен, пола, мебели.

Время реверберации является важнейшей характеристикой тех больших помещений, в которых выступают актеры, ораторы, музыканты, и его следует учитывать при их проектировании. Часто говорят, что в помещении «хорошая акустика», если голос человека без микрофона со сцены можно достаточно хорошо услышать даже на большом удалении от нее.

Если такое помещение заполнено людьми, то время реверберации порядка 2 с, а если помещение пустое, то время реверберации примерно в 2 раза больше.

Эхо может быть использовано для звуколокации, т. е. оценки расстояний до отражающих звуковые волны предметов. Например, можно измерить промежуток времени между моментами испускания звука и моментом его возвращения к источнику после отражения. Пройденный звуком путь s туда и назад одинаков, тогда измеренный промежуток времени:

где — скорость звука. В результате можно рассчитать расстояние до места отражения звуковой волны:

На практике для звуколокации (эхолокации) лучше использовать неслышимые человеком ультразвуки. Это обусловлено тем, что ультразвуковые волны большой мощности можно получать направленными, т. е. в виде узкого пучка волн. Это позволяет не только оценить расстояние, но и определить направление на отражающий звук объект.

Например, для определения глубины водоемов (рис. 233), поиска косяков рыбы и т. п. используются эхолоты — приборы, излучающие ультразвуковые волны и принимающие их после отражения. В живой природе дельфины и летучие мыши используют ультразвуки для ориентации в пространстве и при ловле добычи.

Рис. 233

Звуколокаторы позволяют находить различные повреждения в изделиях (полости, трещины и т. д).
Ультразвуковая диагностика (УЗИ) (рис. 234) используется в медицине для обнаружения опухолей, заболеваний внутренних органов и т. и.

Если частота звуковой волны совпадает с собственной частотой колебаний какой-либо колебательной системы, то наблюдается акустический резонанс. Например, обычный камертон издает достаточно тихий звук, и поэтому его устанавливают на деревянном ящике (см. рис. 227) с собственной частотой колебаний, равной частоте камертона. Благодаря резонансу стенки ящика колеблются с большой амплитудой, и звук становится гораздо громче, поэтому ящик называют резонатором.

Резонаторами являются корпуса (деки) большинства музыкальных инструментов (рис. 235), а также полости рта и носа человека. В духовых инструментах акустическими резонаторами являются трубы, а явление резонанса наблюдается для колебаний воздуха, который их заполняет.

Рис. 235

В последнее время большое значение приобрело изучение и использование инфразвуков: v < 20 Гц. Мощные инфразвуковые волны в земной коре могут возникать при землетрясениях, извержениях вулканов и взрывах различной природы. Кроме того, инфразвуки возникают при работе мощных двигателей, выстрелах из орудий, мощных потоках воздуха. Знание особенностей возникновения и распространения инфразвуков позволяет контролировать состояние земной коры, тестировать работу двигателей и т. п.

Главные выводы:

1. При прохождении границы двух различных сред наблюдается отражение и преломление звуковых волн.
2. Эхом называется отраженная звуковая волна, возвратившаяся к источнику возникновения звука.
3. Отражение звуковых волн используется для определения расстояний до различных объектов, обнаружения дефектов в различных деталях, диагностики в медицине.

Механические колебания

Колебательное движение – одно из наиболее распространенных движений в природе. Изучение колебаний – это мощный инструмент познания микромира и космических процессов. К числу самых распространенных механических движений в природе относятся повторяющиеся движения, примерами которых являются вращательные движения Земли вокруг своей оси и вокруг Солнца, вращение стрелок часов, функциональная активность живых организмов.

Изучив подраздел, вы сможете: исследовать гармонические колебания экспериментально, аналитически и графически.

Уравнения и графики гармонических колебаний

Тело совершает свободные гармонические колебания в том случае, когда при его смещении от положения равновесия возникает сила, пропорциональная смещению и направленная к положению равновесия.

Положением равновесия называют положение тела, в котором равнодействующая всех сил, приложенных к телу равна нулю.

На тело пружинного маятника, выведенного из состояния равновесия, действует сила упругости, которая удовлетворяет условиям возникновения гармонических колебаний (рис. 1):

         

Вспомните формулы:

Законы гармонических колебаний

В пружинном и математическом маятниках могут совершаться свободные гармонические колебания, которые происходят по закону косинуса или синуса.

Без учета сил трения и сопротивления законы гармонических колебаний примут вид:

где A − амплитудное значение смещения, − собственная циклическая частота. Закон движения (3) используют, если тело начинает свое движение из положения максимального отклонения Если тело начинает движение из положения равновесия х = 0, применяют закон движения (4).

Фаза колебаний. Связь фазы гармонических колебаний с периодом

Аргумент функции косинуса или синуса в законах движения (3) и (4) называют фазой колебаний:

Единица измерения фазы – радиан,

Если колебание системы наблюдают с произвольного момента времени, то начальная фаза колебаний отличается от нуля. В этом случае фазу колебаний определяют по формуле:

где − начальная фаза колебаний. При t = 0 фаза колебаний равна начальной:

Учитывая связь собственной циклической частоты с периодом колебаний из формулы (5) получим:

Фаза колебаний — это угловая мера времени, выраженная в долях периода и характеризующая колебание в данный момент времени.  

Возьмите на заметку

В общем случае законы гармонических колебаний имеют вид:

, где – начальная фаза, – собственная циклическая частота.

Возьмите на заметку:

Собственная частота колебаний, циклическая частота и период системы зависят, от величин, характеризующих ее: массы груза m и жесткости пружины k – для пружинного маятника, длины нити и ускорении свободного падения – для математического маятника.

Собственная частота колебаний не зависит от амплитуды колебаний.

Уравнения гармонических колебаний

При ускоренном движении тела применим второй закон Ньютона:

С учетом формул расчета сил, приводящих маятники в движение (1) и (2), второй закон Ньютона для пружинного маятника примет вид:

для математического маятника:

Нам известно, что скорость тела, движущегося вдоль одной прямой, – это быстрота изменения координаты тела: а ускорение – быстрота изменения скорости тела:  тогда при малых значениях скорость можно принять за первую производную от координаты тела , а ускорение за первую производную от его скорости: . Следовательно, ускорение является второй производной координаты тела:

Формулы (9) и (10) с учетом (11) примут вид:

Запишем уравнения (12) и (13) в виде:

Полученные выражения (12), (13) и (14) называют уравнениями колеблющегося тела под действием сил упругости и тяжести.

Скорость и ускорение при колебательном движении

Формулы расчета ускорения и скорости легко получить из законов движения:

) 

где – амплитудное значение скорости.

где – амплитудное значение ускорения.

Графики гармонических колебаний

Приняв значение начальной фазы равным нулю построим графики колебаний в пределах одного периода, используя полученные зависимости (3, 15, 18).

Из рисунка 3 видно, что колебания величин происходят со смещением по фазе. Колебания скорости опережают колебания координаты на Колебания ускорения происходят в противофазе с колебаниями координаты тела.

Разность фаз гармонических колебаний одной и той же частоты, выраженных через одну тригонометрическую функцию, называют сдвигом фаз.

Из формулы (18) с учетом (20), при  получим:

Колебание ускорения опережает колебание координаты тела на

Результаты, полученные нами алгебраическим и графическим методом, совпадают.

Запомните!

Для определения разности фаз необходимо выразить зависимость величин от времени через одну и ту же тригонометрическую функцию, используя формулы приведения.

Физика в нашей жизни:

В энциклопедическом словаре дано следующее определение пульса: Пульс (от лат. «рulsus» – удар, толчок) – периодическое толчкообразное расширение стенок артерий, синхронное с сокращением сердца. Пульс взрослого человека в покое 60-80 ударов в 1 минуту.

На рисунках 6-8 даны кардиограммы нормального, ускоренного и замедленного ритма сердцебиения. Оцените период и частоту сердцебиения при тахикардии и брадикардии, полагая, что пульс нормального ритма равен 60 ударов в минуту.

Являются ли сокращения сердца гармоническими колебаниями?

Интересно знать!

Колебания земной коры

1. Землетрясение 1887 года магнитудой 7,3 разрушило строения на площади порядка 2000 км2 (рис. 9). Эпицентр колебаний находился южнее г. Верного (ныне Алматы) на 10–12 км.
2. Выбор нового места для строительства г. Верного было поручено профессору Петербургского горного института И. В. Мушкетову.
3. Алматы и ее окрестности относятся к Алматинскому сейсмоактивному району.
4. Научным центром, занимающимся прогнозированием и изучением землетрясений, является Институт сейсмологии МОН РК, расположенный в г. Алматы.
5. Согласно статистике Института сейсмологии МОН РК в 2015 году было зарегистрировано 11,5 тысяч землетрясений. В 2016 г. на тысячу меньше.

Итоги:

Глоссарий:

• Положение равновесия – положение тела, в котором векторная сумма сил, действующих на тело, равна нулю.
• Сдвиг фаз – разность фаз колебаний одной частоты, выраженных через одну тригонометрическую функцию.
• Фаза колебаний – угловая мера времени, выраженная в долях периода.