Как найти энергию электрического поля шара - AvtoShod.ru

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

	Найти энергию шара 25.07.2017, 15:57
21/07/17 46	Вычислить электростатическую энергию для шара, заряд которого равномерно распределен по его объему. Попытка решения: Энергия электростатического поля поля определяется по формуле: $W=int_{0}^{V}(ED)dV$ где , напряженность электрического поля, диэлектрическая проницаемость. Из теоремы Гаусса следует, что напряженность электрического поля шара равно: $E=frac{q}{4pi varepsilon R^2}$ Подставив все в первую формулу получим: $W=int_{0}^{V}(varepsilon E^2)dV=int_{0}^{R}frac{q^2}{4pi R^2}dR=-frac{q^2}{4 pi R}$ но в ответе: $W=frac{3q^2}{5R}$ Где я ошибся?

DimaM

Re: Найти энергию шара

25.07.2017, 16:10

Заслуженный участник

28/12/12
7411

Энергия электростатического поля поля определяется по формуле:

Надо бы еще на $8pi$ поделить, раз уж вы в СГС ответ приводите.

Из теоремы Гаусса следует, что напряженность электрического поля шара равно:
$E=frac{q}{4pi varepsilon R^2}$

Это у вас для точечного заряда, помещенного в центр шара. А в условии задачи заряд распределен по-другому. И опять же с коэффициентами бы разобраться.

Подставив все в первую формулу получим:

После интегрирования нужно подставлять не только верхний предел, но и нижний. Когда получите правильную формулу, имейте это в виду.

svv

Re: Найти энергию шара

25.07.2017, 16:15

Заслуженный участник

23/07/08
10081
Crna Gora

pbm	Re: Найти энергию шара 25.07.2017, 16:54
21/07/17 46	Цитата: Это у вас для точечного заряда, помещенного в центр шара. А в условии задачи заряд распределен по-другому. И опять же с коэффициентами бы разобраться. Я понял. В теорему Гаусса нужно подставить . После преобразований получу: $E=frac{4}{3}rho pi R$ тогда $W=int_{0}^{V}(varepsilon E^2)dV=left[varepsilon=1right]=int_{0}^{R}frac{64}{9}pi^3 rho^2 r^4 dr=frac{4pi Q^2}{5R}$ Цитата: Интегрирование производится по всему пространству. Ответ не совпадает. Наверное, проблема в пределах интегрирования…

svv

Re: Найти энергию шара

25.07.2017, 16:57

Заслуженный участник

23/07/08
10081
Crna Gora

У Вас должно быть две разных формулы для поля внутри и снаружи шара.

DimaM

Re: Найти энергию шара

25.07.2017, 16:58

Заслуженный участник

28/12/12
7411

pbm	Re: Найти энергию шара 25.07.2017, 18:43
21/07/17 46	Цитата: У Вас должно быть две разных формулы для поля внутри и снаружи шара. Понятно. Энергия внутри шара равна (в СГС): $W_{Inside}= frac{Q^2}{10 R}$ Для нахождения энергии шара снаружи, будем считать, что поле расходится на . Тогда: $E=frac{Q}{R^2}$ $W_{out}=frac{1}{8pi}int_{R}^{r}(E^2)dr=frac{1}{8pi}int_{R}^{r}frac{4 pi Q^2}{r^4}dr=frac{Q^2}{ 2 R}$ найдем сумму: $W=W_{out}+W_{inside}=frac{3Q^2}{5R}$ И еще один вопрос. Почему в данной задачи возможно использование формулы: $W=intfrac{ED}{8pi}dV$ Данное выражение находит энергию поля, а не энергию шара.

fred1996	Re: Найти энергию шара 25.07.2017, 22:01
09/10/15 4227 где-то на диком Западе. У самого синего моря.

DimaM

Re: Найти энергию шара

26.07.2017, 07:32

Заслуженный участник

28/12/12
7411

Данное выражение находит энергию поля, а не энергию шара.

Так энергия хранится как раз в поле.
Можно, кстати, использовать формулу $W=dfrac{1}{2}displaystyleintlimits_Vvarphirho dV$ , если потенциал задан с нулем на бесконечности ( $rho$ — плотность заряда). Идеологически так менее правильно (энергия все же хранится в поле), но зато больше похоже на именно «энергию шара».

pbm	Re: Найти энергию шара 26.07.2017, 10:47
21/07/17 46	Цитата: Так энергия хранится как раз в поле. Как доказать данное утверждение.

DimaM

Re: Найти энергию шара

26.07.2017, 11:05

Заслуженный участник

28/12/12
7411

Как доказать данное утверждение.

Ну, «доказать» в математическом смысле вряд ли возможно. Можно проиллюстрировать. Например, электромагнитные волны в вакууме (в которых только поле и есть) вполне себе переносят энергию.

Впрочем, можете использовать формулу для энергии через потенциал и плотность заряда (только там интегрировать придется дважды), при правильной нормировке (нулевой потенциал на бесконечности) в электростатике она дает правильный результат.

pbm	Re: Найти энергию шара 26.07.2017, 11:43
21/07/17 46	Цитата: Впрочем, можете использовать формулу для энергии через потенциал и плотность заряда Можно попробовать решить данную задачу через потенциал. Для этого нужно найти потенциал снаружи и внутри шара? Потенциал искать по этой формуле? $varphi=-int_{0}^{r} E dr$

DimaM

Re: Найти энергию шара

26.07.2017, 11:51

Заслуженный участник

28/12/12
7411

Для этого нужно найти потенциал снаружи и внутри шара?

Снаружи не нужно — там плотность заряда нулевая.

Потенциал искать по этой формуле?

Нижний предел другой: нужно, чтобы на бесконечности был нуль потенциала.

pbm	Re: Найти энергию шара 26.07.2017, 12:42
21/07/17 46	Цитата: Нижний предел другой: нужно, чтобы на бесконечности был нуль потенциала. В данном случае нужно использовать формулу $E=frac{4}{3} pi rho R$ , верно? Если ее поставить в $varphi=-int_{r_1}^{r_2} E dr$ получаем, что потенциал равен нулю когда , а на бесконечности, когда , . Не понимаю, где я неправильно мыслю?

DimaM

Re: Найти энергию шара

26.07.2017, 13:13

Заслуженный участник

28/12/12
7411

В данном случае нужно использовать формулу $E=frac{4}{3} pi rho R$ , верно?

Это внутри, снаружи по-другому. Кстати, эту формулу удобнее записать в виде .
Соответственно, потенциал набирается из двух частей: снаружи (там просто, как от точечного заряда) и внутри. То есть
$varphi=-intlimits_infty^{r_1}Edr=-intlimits_infty^R Edr-intlimits_R^{r_1}Edr.$
Здесь $R$ — радиус шара.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Источник

Электрическая энергия системы зарядов.

Рассмотрим систему из двух точечных
зарядов (см. рисунок) согласно принципу
суперпозиции в любой точке пространства:

Плотность энергии электрического поля

Первое и третье слагаемые связаны с
электрическими полями зарядов
исоответственно, а второе слагаемое
отражает электрическую энергию, связанную
со взаимодействием зарядов:

Собственная энергия зарядов величина
положительная
,
а энергия взаимодействия может быть
как положительной, так и отрицательной.

В отличие от вектора
энергия электрического поля – величина
не аддитивная. Энергию взаимодействия
можно представить более простым
соотношением. Для двух точечных зарядов
энергия взаимодействия равна:

которую
можно представить как сумму:

где
— потенциал поля зарядав месте нахождения заряда,
а—
потенциал поля зарядав месте нахождения заряда.

Обобщая
полученный результат на систему из
произвольного числа зарядов, получим:

где
—заряд системы,— потенциал, создаваемый в месте нахождениязаряда,всеми остальнымизарядами
системы.

Если заряды распределены непрерывно с
объемной плотностью
,
сумму следует заменить объёмным
интегралом:

где
—
потенциал, создаваемый всеми зарядами
системы в элементе объемом.
Полученное выражение соответствуетполной электрической энергиисистемы.

Примеры.

Заряженный металлический шар в
однородном диэлектрике.

На этом примере мы выясним почему
электрические силы в диэлектрике меньше
чем в вакууме и рассчитаем электрическую
энергию такого шара.

Напряжённость поля в диэлектрике меньше
напряжённости в вакууме в
раз.

Это
связано с поляризацией диэлектрика и
возникновением у поверхности проводника
связанного заряда
противоположного знака заряда проводника(см. рисунок). Связанные зарядыэкранируют поле свободных зарядов,
уменьшая его всюду. Напряжённость
электрического поля в диэлектрике,
равна сумме,
где— напряжённость поля свободных зарядов,— напряжённость поля связанных зарядов.
Учитывая, что,
находим:

→→

→ →→

Поделив на площадь поверхности проводника,
находим связь между поверхностной
плотностью связанных зарядов
и поверхностной плотностью свободных
зарядов:

Полученное соотношение пригодно для
проводника любой конфигурации в
однородном диэлектрике.

Найдём энергию электрического поля
шара в диэлектрике:

Здесь учтено, что
,
а элементарный объём с учётом сферической
симметрии поля выбран в форме шарового
слоя.– ёмкость шара.

Свободный заряд
равномерно распределен по объему шара
радиусомиз однородного диэлектрика с проницаемостью.
Определить энергию электрического
поля шара.

Так как зависимость напряжённости
электрического поля внутри и вне шара
от расстояния до центра шара rописывается различными функциями:

вычисление
энергии сводится к сумме двух интегралов:

Отметим, что на поверхности и в объёме
диэлектрического шара возникают
связанные заряды:

где
— объёмная плотность свободных зарядов
в шаре.

Доказательство проведите самостоятельно,
используя связи
,и теорему Гаусса.

Система состоит из двух концентрических
металлических оболочек радиусами
ис соответствующими зарядамии.Определить полную электрическую энергию
системы.

Собственная энергия каждой оболочки
равны соответственно (см. пример 1.):

а
энергия взаимодействия оболочек:

Полная энергия системы равна:

Если оболочки заряжены одинаковыми по
величине зарядами противоположного
знака
(сферический конденсатор), полная энергия
будет равна:

где— ёмкость сферического конденсатора.

Плоский конденсатор заполнен двумя
слоями диэлектриков толщиной
с проницаемостьюи.
Определить ёмкость такого конденсатора.

Напряжение,
приложенное к конденсатору равно:

где
и— напряжённость электрического поля в
слоях.

Электрическая
индукция в слоях:

— поверхностная плотность свободных
зарядов на пластинах конденсатора.

Учитывая
связь
из определения ёмкости, получаем:

Полученная формула легко обобщается
на случай многослойного диэлектрика:

Лекция 9.

Соседние файлы в папке Физика2

Источник

0 / 0 / 0

Регистрация: 03.10.2020

Сообщений: 42

Найти величину энергии электрического поля внутри шара

04.11.2020, 21:44. Показов 4971. Ответов 1

Шар равномерно заряжен по объему. Энергия электрического поля в пространстве вне шара W. Найти величину энергии электрического поля внутри шара. Диэлектрическую проницаемость ε принять равной 1.

633 / 437 / 220

Регистрация: 10.06.2016

Сообщений: 2,022

05.11.2020, 11:15

Сообщение было отмечено DiFFerk как решение

Решение

Поле вне шара:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=frac{q}{4pi {varepsilon }_{0}{r}^{2}}$
Плотность энергии $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?w=frac{{varepsilon }_{0}{E}^{2}}{2}$
Энергия вне шара:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{W}_{out}=int wdV=frac{{q}^{2}}{8pi {varepsilon }_{0}}int_{R}^{inf}frac{dr}{{r}^{2}}=frac{{q}^{2}}{8pi {varepsilon }_{0}R}$
Откуда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?q=sqrt{8Wpi {varepsilon }_{0}R}$
Поле внутри шара: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?E=frac{qr}{4pi {varepsilon }_{0}{R}^{3}}$ . Интегрируем внутри шара.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{W}_{in}=int frac{{varepsilon }_{0}{E}^{2}}{2}dV=frac{{W}_{out}}{{R}^{5}}int_{0}^{R}{r}^{4}dr=frac{{W}_{out}}{5}$