Как найти элементы правильного треугольника

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен  градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
Радиус описанной окружности в два раза больше:
Площадь правильного треугольника:

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части  — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

Ответ: .

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

Ответ: .

Стороны равностороннего треугольника

Треугольник, у которого все три стороны равны, называется равносторонним. Периметр такого треугольника равен стороне (а) умноженной на 3 (количество сторон): : P = 3a.
Кроме сторон, у такого треугольника одинаковы и все углы, по 60 градусов каждый, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180 градусам. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его противоположную сторону, является его высотой. Она делит треугольник на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, у которых гипотенузой будет сторона равностороннего треугольника (а), одним из катетов — высота (h), а другим катетом — половина его основания или (а/2), т.к в треугольнике все стороны равны.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (в нашем случае она является и стороной равностороннего треугольника) равен сумме квадрата высоты h и квадрата половины основания (половины стороны а):

a 2 = h 2 + a 2 /2 2 ,

где а — сторона, h — высота равностороннего треугольника.
После проведенных преобразований, выводим формулу для расчета стороны равностороннего треугольника по его высоте:

Т.е. сторона равностороннего треугольника (а) равна удвоенной высоте (2h) на корень квадратный из трех.

Сторона правильного треугольника

Сторона правильного треугольника — это одна из сторон
треугольника, у которого все стороны и углы равны.

У правильного треугольника имеется три стороны, и три угла.

Признаки стороны правильного треугольника

Сторона является правильной в треугольнике, если:

1. Каждый из углов треугольника равен 60 градусам.
2. Все стороны треугольника равны.
3. Все углы треугольника равны.

Кроме этих трех признаков, определить является ли сторона
правильной можно с помощью формул, характерных только
для сторон правильного треугольника.

Формулы стороны правильного треугольника

Длину правильной стороны в равностороннем, равноугольном,
правильном треугольнике можно выразить через формулы.

Сторона правильного треугольника через высоту:

Сторона правильного треугольника через периметр:

Сторона правильного треугольника через радиус вписанной окружности:

Сторона правильного треугольника через радиус описанной окружности:

Сторона правильного треугольника через площадь:

С помощью вышеперечисленных формул можно найти сторону в
равностороннем, равноугольном, правильном треугольниках.

Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — это самый простой правильный многоугольник из возможных. При нахождении его площади возникают частные варианты его расчета. Важно знать и понимать признаки и свойства этого вида фигур, для более легкого вычисления этого параметра. Все методы, представленные ниже, достаточно просты в применении, и не потребуют глубокого осмысления….

Признаки и свойства фигуры

Для того чтобы рассчитать его площадь необходимо понимать свойства и признаки, которыми он обладает. Можно выделить следующие основные признаки этой фигуры:

• Значение величины его углов одинаково во всех случаях и равняется 60 градусам, вне зависимости от размера сторон.
• Биссектриса, высота и медиана выпущенные из одного угла будут совпадать.
• Любая сторона равностороннего треугольника равна двум другим.
• Центр правильного треугольника будет являться центром для вписанной и описанной окружности.
• Является частным случаем равнобедренного треугольника.

Важно! Если хотя бы один из этих признаков соблюдается, значит, треугольник является равносторонним. Равносторонний треугольник

Дополнительно этот частный случай фигуры обладает следующими свойствами:

Расчет через сторону

Существует множество способов расчета площади этой фигуры. Все они имеют свои преимущества и недостатки. Применяются в зависимости от условий, представленных задаче. Самая популярный способ найти искомое значение для равностороннего треугольника вычисляется через произведение половины сторон и синуса угла между ними, выглядит это следующим образом: , где, a и b – стороны, α – угол между ними.

В случае с равносторонним, этот способ упрощается в значительной степени. Для этого нужно обратиться к рассмотренным выше признакам и свойствам. Исходя из того, что все углы этой фигуры равны, и равняются 60 градусам. Синус 60 градусов, согласно таблице Брадиса, равняется , преобразовав исходное выражение получаем следующее значение: .

Учитывая то, что все стороны этой фигуры равны, то преобразованное выражение даст такой результат: .

Данная формула отлично подойдет в случае, если известна величина стороны этой фигуры. В таком виде вычислять данный показатель гораздо легче и быстрее.

Те, кто помнит формула Герона, знают, как найти площадь этой фигуры. В процессе преобразования выражение изменится в представленное выше. Площадь этой фигуры по Герону рассчитывается так: , где, a, b, c —стороны, а p — полупериметр ( ). Преобразовывается данное выражение достаточно просто. Необходимо подставить вместо значения p расчет полупериметра и постепенно начать сокращать выражение. Сумму сторон можно представить в виде суммы трех одинаковых сторон и довести сокращения до конца. Математически это выглядит так:

,

,

,

.

Полученная формула площади и представленные ниже функции могут быть использованы только, в случае, если фигура является правильной, в ином случае не будет давать правильный ответ.

Вычисление площади треугольника по его стороне

Расчет по высоте

Найти площадь равностороннего треугольника можно также, если известна его высота и сторона. Половина длины высоты умножается на сторону, выбрана может быть любая высота и сторона, ведь согласно свойствам, они все одинаковые: , где a – это длина стороны. Ее легко запомнить, однако, на практике она применяется достаточно редко.

Если в задаче указана информация о том, что треугольник является равносторонним и известна величина высоты. А чему равна длина стороны неизвестно, то можно воспользоваться формулой, позволяющей ее рассчитать. Найти сторону можно разделив двойную величину высоты на корень квадратный из трех, математически выглядит следующим образом: . После этого применяется формула площади, где расчеты производятся через сторону, она описана в предыдущем пункте.

Для того чтобы не делать лишних расчетов можно вывести формулу этого показателя сразу же через высоту. Квадрат высоты делится на корень квадратный из трех. Она будет выглядеть так: . В этом случае можно не применять формулу равнобедренного треугольника через сторону.

Вычисление площади треугольника по его стороне и высоте

Расчет через окружности

В математике популярен также прием расчета, рассматриваемого в статье, значения через помещение фигуры в окружность или наоборот. Такая окружность называется описанной. Если она находится внутри, то она называется вписанной. Именно в этом разделе возникает большинство вопросов, как найти площадь равностороннего многоугольника с тремя углами.

Описанная окружность обязательно должна проходить через все вершины, вписанная должна проходить через стороны только в одной точке по касательной.

Чертеж равностороннего треугольника, описанного или вписанного в окружность

Если в условии задачи дан радиус вписанной и описанной окружности, то из них также можно составить выражение, так как вместе они дадут суммарную длину высоты. Как рассчитывается площадь при ее помощи, показано выше: h = R + r .

Преобразовав формулу , применив расчет высоты h = R + r, можно получить следующее значение: . Данную формула можно упростить еще больше, ведь радиус описанной окружности можно выразить через радиус вписанной. Согласно свойствам этих окружностей R = 2r, где r — это радиус вписанной окружности, R — это радиус описанной. Соответственно площадь правильного треугольника будет высчитываться так: .

Если же будет дан размер радиуса описанной окружности, то выражение будет выглядеть следующим образом: .

Использование этих свойств пригодится для расчета стороны фигуры. Для того чтобы ее найти можно воспользоваться выражением для описанной окружности, и для вписанной.

Учитывая радиус описанной окружности можно найти искомое значение при помощи возведения стороны в куб, после чего результат делится на радиус, увеличенный в 4 раза. Математически его можно записать следующим образом: .

Процесс расчета, чему равен показатель площади равностороннего треугольника через любую из предложенных формул не должен вызывать особых затруднений. Для того чтобы успешно справиться с этой задачей не нужно запоминать все указанные способы, достаточно запомнить основные общие формулы расчета, а также свойства и признаки этой фигуры.

Внимание! Для проверки правильности расчетов можно воспользоваться несколькими способами, результаты должны совпасть.

Площадь равностороннего треугольника

Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность

Применив логическое мышление, расчеты с легкостью преобразовываются в частные случаи, коих гораздо больше. Нецелесообразно забивать голову большим количеством нерелевантной информации, лучше развивать причинно-следственную связь для преобразования выражений.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны ({{60}^{o }})

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме ({{180}^{o }}), значит, каждый по ({{60}^{o }})

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник.

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром!

В равностороннем треугольнике оказалось не (12) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Итак, ещё раз:

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. (R=2cdot r)

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка( O) – центр треугольника.

Значит, (OB) – радиус описанной окружности (обозначили его (R)), а (OK) – радиус вписанной окружности (обозначим (r)).

Но ведь точка (O) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины.

Поэтому (OB=2cdot OK), то есть (R=2cdot r).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

• CD перпендикулярна AB => ∠ADC = ∠BDC = 90°
• AD = DB
• ∠ACD = ∠DCB = 30°

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

• R – радиус описанной окружности;
• r – радиус вписанной окружности;
• R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин: