Как найти элемент матрицы c32

Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства.

В этой теме будут рассмотрены такие операции, как сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы. Все обозначения, которые используются на данной странице, взяты из предыдущей темы «Матрицы. Виды матриц. Основные термины».

Содержание темы:

1. Сложение и вычитание матриц.
2. Умножение матрицы на число.
3. Произведение двух матриц.
4. Транспонированная матрица.
5. Некоторые свойства операций над матрицами.
6. Возведение матрицы в степень.

Сложение и вычитание матриц.

Суммой $A+B$ матриц $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ и $B_{mtimes n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{mtimes n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ для всех $i=overline{1,m}$ и $j=overline{1,n}$.

Аналогичное определение вводят и для разности матриц:

Разностью $A-B$ матриц $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ и $B_{mtimes n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{mtimes n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$ для всех $i=overline{1,m}$ и $j=overline{1,n}$.

Пояснение к записи $i=overline{1,m}$: показатьскрыть

Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц – операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.

Пример №1

Заданы три матрицы:

$$
A=left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \
5 & 9 & -8
end{array} right);;
B=left(begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \
3 & 0 & -14
end{array} right); ;; F=left(begin{array} {cc} 1 & 0 \
-5 & 4
end{array} right).
$$

Можно ли найти матрицу $A+F$? Найти матрицы $C$ и $D$, если $C=A+B$ и $D=A-B$.

Решение

Матрица $A$ содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами – размер матрицы $A$ равен $2times 3$), а матрица $F$ содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы $A$ и $F$ не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция $A+F$ для данных матриц не определена.

Размеры матриц $A$ и $B$ совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.

$$
C=A+B=left(begin{array} {ccc}
-1 & -2 & 1 \
5 & 9 & -8
end{array} right)+
left(begin{array} {ccc}
10 & -25 & 98 \
3 & 0 & -14
end{array} right)=\=
left(begin{array} {ccc}
-1+10 & -2+(-25) & 1+98 \
5+3 & 9+0 & -8+(-14)
end{array} right)=

left(begin{array} {ccc}
9 & -27 & 99 \
8 & 9 & -22
end{array} right)
$$

Найдем матрицу $D=A-B$:

$$
D=A-B=left(begin{array} {ccc}
-1 & -2 & 1 \
5 & 9 & -8
end{array} right)-
left(begin{array} {ccc}
10 & -25 & 98 \
3 & 0 & -14
end{array} right)=\=
left(begin{array} {ccc}
-1-10 & -2-(-25) & 1-98 \
5-3 & 9-0 & -8-(-14)
end{array} right)=

left(begin{array} {ccc}
-11 & 23 & -97 \
2 & 9 & 6
end{array} right)
$$

Ответ: $C=left(begin{array} {ccc}
9 & -27 & 99 \
8 & 9 & -22
end{array} right)$, $D=left(begin{array} {ccc}
-11 & 23 & -97 \
2 & 9 & 6
end{array} right)$.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ на число $alpha$ называется матрица $B_{mtimes n}=(b_{ij})$, где $b_{ij}=alphacdot a_{ij}$ для всех $i=overline{1,m}$ и $j=overline{1,n}$.

Попросту говоря, умножить матрицу на некое число – означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.

Пример №2

Задана матрица: $
A=left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end{array} right)$. Найти матрицы $3cdot A$, $-5cdot A$ и $-A$.

Решение

$$
3cdot A=3cdot left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end{array} right)
=left(begin{array} {ccc} 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 end{array} right)=
left(begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \ 12& 27 & 0 end{array} right).\

-5cdot A=-5cdot left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end{array} right)
=left(begin{array} {ccc} -5cdot(-1) & -5cdot(-2) & -5cdot 7 \ -5cdot 4 & -5cdot 9 & -5cdot 0 end{array} right)=
left(begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 end{array} right).
$$

Запись $-A$ есть сокращенная запись для $-1cdot A$. Т.е., чтобы найти $-A$ нужно все элементы матрицы $A$ умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы $A$ изменится на противоположный:

$$
-A=-1cdot A=-1cdot left(begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \ 4 & 9 & 0 end{array} right)=
left(begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \ -4 & -9 & 0 end{array} right)
$$

Ответ:
$3cdot A=left(begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \ 12& 27 & 0 end{array} right)$;
$-5cdot A=left(begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 end{array} right)$;
$-A=left(begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \ -4 & -9 & 0 end{array} right)$.

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Произведением матрицы $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ на матрицу $B_{ntimes k}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{mtimes k}=(c_{ij})$, для которой каждый элемент $c_{ij}$ равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы $A$ на элементы j-го столбца матрицы $B$:

$$c_{ij}=sumlimits_{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}, ;; i=overline{1,m}, j=overline{1,n}.$$

Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными). Например, матрицу $A_{5times 4}$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_{9times 8}$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4neq 9$. А вот умножить матрицу $A_{5times 4}$ на матрицу $B_{4times 9}$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_{5times 4}$ и $B_{4times 9}$ будет матрица $C_{5times 9}$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:

Пример №3

Заданы матрицы:
$
A=left(begin{array} {cccc}
-1 & 2 & -3 & 0 \
5 & 4 & -2 & 1 \
-8 & 11 & -10 & -5
end{array} right)$ и

$
B=left(begin{array} {cc}
-9 & 3 \
6 & 20 \
7 & 0 \
12 & -4
end{array} right)$. Найти матрицу $C=Acdot B$.

Решение

Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3times 2$:

Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов:

$
C=left(begin{array} {cc}
c_{11} & c_{12} \
c_{21} & c_{22} \
c_{31} & c_{32}
end{array} right)$. Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: «Матрицы. Виды матриц. Основные термины», в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы $C$.

Начнем с элемента $c_{11}$. Чтобы получить элемент $c_{11}$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Чтобы найти сам элемент $c_{11}$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

$$
c_{11}=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0.
$$

Продолжим решение и найдем $c_{12}$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:

Аналогично предыдущему, имеем:

$$
c_{12}=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37.
$$

Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_{21}$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

$$
c_{21}=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23.
$$

Следующий элемент $c_{22}$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$
c_{22}=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91.
$$

Чтобы найти $c_{31}$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:

$$
c_{31}=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8.
$$

И, наконец, для нахождения элемента $c_{32}$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$
c_{32}=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216.
$$

Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=left(begin{array} {cc}
0 & 37 \
-23 & 91 \
8 & 216
end{array} right)$. Или, если уж писать полностью:

$$
C=Acdot B =left(begin{array} {cccc}
-1 & 2 & -3 & 0 \
5 & 4 & -2 & 1 \
-8 & 11 & -10 & -5
end{array} right)cdot left(begin{array} {cc}
-9 & 3 \
6 & 20 \
7 & 0 \
12 & -4
end{array} right)=left(begin{array} {cc}
0 & 37 \
-23 & 91 \
8 & 216
end{array} right).
$$

Ответ: $C=left(begin{array} {cc}
0 & 37 \
-23 & 91 \
8 & 216
end{array} right)$.

Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:

$$
left(begin{array} {cc}
6 & 3 \
-17 & -2
end{array}right)cdot

left(begin{array} {cc}
4 & 9 \
-6 & 90
end{array} right)

=left(begin{array} {cc}
6cdot{4}+3cdot(-6) & 6cdot{9}+3cdot{90} \
-17cdot{4}+(-2)cdot(-6) & -17cdot{9}+(-2)cdot{90}
end{array} right)

=left(begin{array} {cc}
6 & 324 \
-56 & -333
end{array} right)
$$

Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $Acdot Bneq Bcdot A$. Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $Acdot B=Bcdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза «домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа» означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)cdot A=Ycdot A$.

Транспонированная матрица.

Транспонированной по отношению к матрице $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ называется матрица $A_{ntimes m}^{T}=(a_{ij}^{T})$, для элементов которой $a_{ij}^{T}=a_{ji}$.

Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу $A^T$, нужно в исходной матрице $A$ заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка – станет первый столбец; была вторая строка – станет второй столбец; была третья строка – станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице $A_{3times 5}$:

Соответственно, если исходная матрица имела размер $3times 5$, то транспонированная матрица имеет размер $5times 3$.

Некоторые свойства операций над матрицами.

Здесь предполагается, что $alpha$, $beta$ – некоторые числа, а $A$, $B$, $C$ – матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.

1. $A+B=B+A$ (коммутативность сложения)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (ассоциативность сложения)
3. $(alpha+beta)cdot A=alpha A+beta A$ (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел)
4. $alphacdot(A+B)=alpha A+alpha B$ (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(alphabeta)A=alpha(beta A)$
7. $Acdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)cdot A=BA+CA$.
8. $Acdot E=A$, $Ecdot A=A$, где $E$ – единичная матрица соответствующего порядка.
9. $Acdot O=O$, $Ocdot A=O$, где $O$ – нулевая матрица соответствующего размера.
10. $left(A^T right)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^Tcdot A^T$
13. $left(alpha A right)^T=alpha A^T$

В следующей части будет рассмотрена операция возведения матрицы в целую неотрицательную степень, а также решены примеры, в которых потребуется выполнение нескольких операций над матрицами.

Какой из векторов коллинеарен вектору -3;5
(1,5, -2.5)
Укажите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки (2;-3;1) и (5;2;3).

х- 2 = y+ 3 z- 1
3 5 = 2

Вычислить произведение матриц:
A = 2 3 4 -5
1 2 -3 4
-1 -2 3 1
B = 3 2 1
4 1 -1
1 3 2
2 0 1
Ответ
12 19 2
16 -5 -3
-6 5 8

Какая из дробей является смешанной периодической дробью?
-3,25(1)
Вычислить определитель
-83

Векторы а и b взаимно перпендикулярны, причем |a|=6, |b|=8, тогда |a+b| будет равен …
14
Найти элемент c32 матрицы АВ, если:
A = ; B =
Решение. Элемент с32 равен сумме произведений элементов третьей строки матрицы А на соответствующие элементы второго столбца матрицы В, т. е.
c32 = (–1)•2 + (–5)•(–1) + 3•(–3) + 11•5 = 49.
49

Найдите -27 (КОРЕНЬ3)
-3
Вычислить определитель матрицы
1 1 1
2 -3 1
4 -1 -5
Ответ 40

Какое из чисел является иррациональным?
3,141592…

Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству -3 < x < 12,5
15
Найти проекцию вектора b на ось вектора а, если а=(1,1,1), b=(2,3,1).
2(корень 3) 2√3
Вычислить определитель матрицы:
1 8
2 9
= 1•9 — 2•8 = 9 — 16 = -7

Определитель невырожденной матрицы умножается на 8, если
одна строка умножается на 2, другая на 4
какая-либо строка умножается на 8

Найдите ранг матрицы

A = 1-257301
21570-34
3-110143-35
4210140-68
2

Вычислите
5 12/17

Содержание:

• Матрицы: основные определения и понятия
• Умножение матрицы на число
• Сложение и вычитание матриц
• Умножение матриц
• Транспонирование матрицы
• Минор и алгебраическое дополнение
• Вычисление определителя
• Нахождение обратной матрицы
• Нахождение ранга матрицы

Матрицы широко применяются в математике для
компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество
строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный
аппарат позволяет свести решение громоздких СЛАУ к компактным
операциям над матрицами.

На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач.
Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию матриц и научиться решать задачи с ними.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по матрицам, прочитать
все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Матрицы: основные определения и понятия

Теоретический материал по теме — основные определения и понятия матриц.

Умножение матрицы на число

Теоретический материал по теме — умножение матрицы на число.

Сложение и вычитание матриц

Теоретический материал по теме — сложение и вычитание матриц.

Умножение матриц

Теоретический материал по теме — умножение матриц.

Транспонирование матрицы

Теоретический материал по теме — транспонирование матрицы.

Минор и алгебраическое дополнение

Теоретический материал по теме — минор и алгебраическое дополнение.

Вычисление определителя

Теоретический материал по теме — методы вычисления определителей.

Нахождение обратной матрицы

Теоретический материал по теме — нахождение обратной матрицы.

Нахождение ранга матрицы

Теоретический материал по теме — нахождение ранга матрицы.

Читать первую тему — основные определения и понятия матриц,
раздела матрицы.

Нами были рассмотрены действия сложения, вычитания и умножения матриц на число. Еще одним действием над ними является умножение. Выполняется оно сложнее, а само правило может показаться немного странным. При его выполнении важно уметь определять размер матриц. Это понятие было рассмотрено в теме «Что такое матрица».

Онлайн-калькулятор

Как умножать матрицы

Приступим к рассмотрению умножения матриц.

Нам известно, что складывать и вычитать можно матрицы, которые имеют одинаковый размер. С умножением дела обстоят немного сложнее.

Какие матрицы можно умножать

Матрицу P можно умножить на матрицу K только в том случае, если число столбцов матрицы P равняется числу строк матрицы K. Матрицы, для которых данное условие не выполняется, умножать нельзя.

Пример 1

Определим, можно ли умножить матрицу

K=(15271810)K=begin{pmatrix}15&27\18&10end{pmatrix} на матрицу L=(3516)L=begin{pmatrix}35\16end{pmatrix}.

Матрица KK состоит из 2 строк и 2 столбцов, а матрица LL — из 2 строк и 1 столбца. Число столбцов матрицы KK равно числу строк матрицы LL, значит, матрицу KK можно умножить на матрицу LL.

Пример 2

Переставим матрицы местами и определим, можно ли умножить матрицу

F=(3516)F=begin{pmatrix}35\16end{pmatrix} на матрицу C=(15271810)C=begin{pmatrix}15&27\18&10end{pmatrix}.

Матрица FF состоит из 2 строк и 1 столбца, а матрица CC — из 2 строк и 2 столбцов. Число столбцов матрицы FF не равно числу строк матрицы CC, значит, матрицу FF нельзя умножить на матрицу CC.

Умножение матриц осуществляется путем умножения строки на столбец. Находятся произведения первого элемента строки и первого элемента столбца, второго элемента строки и второго элемента столбца и т.д. Затем полученные произведения суммируются.

Алгоритм нахождения произведения матриц

1. определить размеры матриц;
2. если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то выполнять умножение.

Рассмотрим пример умножения матрицы

A=(a11a12a21a22a31a32a41a42)A=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}\a_{41}&a_{42}end{pmatrix}

на матрицу

B=(b11b12b13b21b22b23)B=begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}end{pmatrix}.

Матрица AA состоит из 4 строк и 2 столбцов, а матрица BB — из 2 строк и 3 столбцов. Число столбцов матрицы AA равно числу строк матрицы BB, значит, можно найти произведение C=A⋅BC=Acdot B. Причем матрица CC будет иметь размер 4×34times 3. Найдем элементы c12c_{12} (выделен красными стрелками) и c33c_{33} (выделен синими стрелками):

Для того чтобы найти элемент c12c_{12} нужно перемножать соответствующие элементы 1 строки матрицы AA и 2 столбца матрицы B:c12=a11⋅b12+a12⋅b22B: c_{12}=a_{11}cdot b_{12}+a_{12}cdot b_{22}. Для того чтобы найти элемент c33c_{33} нужно перемножать соответствующие элементы 3 строки матрицы AA и 3 столбца матрицы BB: c33=a31⋅b13+a32⋅b23c_{33}=a_{31}cdot b_{13}+a_{32}cdot b_{23}. Так находят все элементы.

Таким образом, матрица CC может быть найдена следующим образом:

A⋅B=(a11a12a21a22a31a32a41a42)⋅(b11b12b13b21b22b23)=Acdot B=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}\a_{41}&a_{42}end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}end{pmatrix}=

=(a11⋅b11+a12⋅b21a11⋅b12+a12⋅b22a11⋅b13+a12⋅b23a21⋅b11+a22⋅b21a21⋅b12+a22⋅b22a21⋅b13+a22⋅b23a31⋅b11+a32⋅b21a31⋅b12+a32⋅b22a31⋅b13+a32⋅b23a41⋅b11+a42⋅b21a41⋅b12+a42⋅b22a41⋅b13+a42⋅b23)=begin{pmatrix}a_{11}cdot b_{11}+a_{12}cdot b_{21}&a_{11}cdot b_{12}+a_{12}cdot b_{22}&a_{11}cdot b_{13}+a_{12}cdot b_{23}\a_{21}cdot b_{11}+a_{22}cdot b_{21}&a_{21}cdot b_{12}+a_{22}cdot b_{22}&a_{21}cdot b_{13}+a_{22}cdot b_{23}\a_{31}cdot b_{11}+a_{32}cdot b_{21}&a_{31}cdot b_{12}+a_{32}cdot b_{22}&a_{31}cdot b_{13}+a_{32}cdot b_{23}\a_{41}cdot b_{11}+a_{42}cdot b_{21}&a_{41}cdot b_{12}+a_{42}cdot b_{22}&a_{41}cdot b_{13}+a_{42}cdot b_{23}end{pmatrix}

Произведение B⋅ABcdot A нельзя найти, поскольку число столбцов матрицы BB неравно числу строк матрицы AA.

Перестановочные матрицы

Перестановочные, или коммутирующие, матрицы – матрицы, для которых выполняется равенство A⋅B=B⋅AAcdot B=Bcdot A. Они обязательно квадратные.

Контрольные работы на заказ онлайн от практикующих исполнителей!

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде
прямоугольной таблицы из m
строк и n столбцов. Эту таблицу
обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

.

Числа,
составляющие матрицу, называются элементами
матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер
строки, а второй – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице
число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше
примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая
матрица – её порядок 1.

Матрица, в
которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также
матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у
которой всего одна строка , называется матрицей –
строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все
элементы которой равны нулю, называется нулевой
и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую
из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная
матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю,
называется треугольной матрицей.

.

Квадратная
матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих
на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная
матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой
E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если
они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны
a_ij = b_ij. Так если и , то A=B,
если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно
сопоставить такую матрицу B из
n строк и m столбцов, у которой каждая
строка является столбцом матрицы A с
тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак,
если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это
перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A^T.

Связь между матрицей A и её транспонированной
можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового
числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры.
Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.
Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по
правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

1. .
2. — нельзя, т.к. размеры матриц различны.
3. .

Легко проверить,
что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить
матрицу A на число k нужно каждый элемент
матрицы A умножить на это число.
Таким образом, произведение матрицы A на
число k есть новая матрица, которая
определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и
матриц A и B выполняются равенства:

1. 
2. 
3. .

Примеры.

1. .
2. Найти 2A-B, если , .

   .

3. Найти C=–3A+4B.

   Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному
закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть
согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов
первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки
первой равна высоте столбца второй). Произведением
матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB,
элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом,
например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой
строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять
1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на
соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие
элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения
строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В
общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m×n на
матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C
размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате
произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го
столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует,
что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в
результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную
матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным
случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина
первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого
порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

1. Пусть

   Найти элементы c₁₂, c₂₃ и c₂₁ матрицы C.

   

2. Найти произведение матриц.

   .

3. .
4. — нельзя, т.к. ширина
   первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
5. Пусть

   Найти АВ и ВА.

   

6. 

   Найти АВ и ВА.

   , B·A – не имеет смысла.

Таким образом,
эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении
матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно
проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному
законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также
проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E
того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно
отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от
нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение
2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана
матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух
столбцов .

Определителем второго порядка, соответствующим данной
матрице, называется число, получаемое следующим образом: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Определитель обозначается
символом .

Итак, для того
чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов
главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

1. 
2. .
3. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

   

Аналогично можно
рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной
квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и
получаемое следующим образом:

.

Таким образом,
эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой
строки a₁₁, a₁₂, a₁₃ и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению
определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

1. .
2. .
3. Решите уравнение..

   .

   (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

   (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

   (x-4)(x-1)=0.

   x₁ = 4, x₂ = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей
четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам
1-ой строки, при этом знаки «+» и «–» у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие
от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число,
которое определённым образом ставится в соответствие матрице.