Как найти эксцентрическую аномалию

From Wikipedia, the free encyclopedia

In orbital mechanics, the eccentric anomaly is an angular parameter that defines the position of a body that is moving along an elliptic Kepler orbit. The eccentric anomaly is one of three angular parameters («anomalies») that define a position along an orbit, the other two being the true anomaly and the mean anomaly.

Graphical representation[edit]

The eccentric anomaly of point P is the angle E. The center of the ellipse is point O, and the focus is point F.

Consider the ellipse with equation given by:

$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1,$

where a is the semi-major axis and b is the semi-minor axis.

For a point on the ellipse, P = P(x, y), representing the position of an orbiting body in an elliptical orbit, the eccentric anomaly is the angle E in the figure. The eccentric anomaly E is one of the angles of a right triangle with one vertex at the center of the ellipse, its adjacent side lying on the major axis, having hypotenuse a (equal to the semi-major axis of the ellipse), and opposite side (perpendicular to the major axis and touching the point P′ on the auxiliary circle of radius a) that passes through the point P. The eccentric anomaly is measured in the same direction as the true anomaly, shown in the figure as theta . The eccentric anomaly E in terms of these coordinates is given by:^[1]

$cos E = frac{x}{a} ,$

and

$sin E = frac{y}{b}$

The second equation is established using the relationship

${displaystyle left({frac {y}{b}}right)^{2}=1-cos ^{2}E=sin ^{2}E}$

which implies that sin E = ±y/b. The equation sin E = −y/b is immediately able to be ruled out since it traverses the ellipse in the wrong direction. It can also be noted that the second equation can be viewed as coming from a similar triangle with its opposite side having the same length y as the distance from P to the major axis, and its hypotenuse b equal to the semi-minor axis of the ellipse.

Formulas[edit]

Radius and eccentric anomaly[edit]

The eccentricity e is defined as:

$e={sqrt {1-left({frac {b}{a}}right)^{2}}} .$

From Pythagoras’s theorem applied to the triangle with r (a distance FP) as hypotenuse:

${displaystyle {begin{aligned}r^{2}&=b^{2}sin ^{2}E+(ae-acos E)^{2}\&=a^{2}left(1-e^{2}right)left(1-cos ^{2}Eright)+a^{2}left(e^{2}-2ecos E+cos ^{2}Eright)\&=a^{2}-2a^{2}ecos E+a^{2}e^{2}cos ^{2}E\&=a^{2}left(1-ecos Eright)^{2}\end{aligned}}}$

Thus, the radius (distance from the focus to point P) is related to the eccentric anomaly by the formula

{displaystyle r=aleft(1-ecos {E}right) .}

With this result the eccentric anomaly can be determined from the true anomaly as shown next.

From the true anomaly[edit]

The true anomaly is the angle labeled theta in the figure, located at the focus of the ellipse. It is sometimes represented by f or v. The true anomaly and the eccentric anomaly are related as follows.^[2]

Using the formula for r above, the sine and cosine of E are found in terms of f :

${displaystyle {begin{aligned}cos E&={frac {,x,}{a}}={frac {,ae+rcos f,}{a}}=e+(1-ecos E)cos f\Rightarrow cos E&={frac {,e+cos f,}{1+ecos f}}\sin E&={sqrt {,1-cos ^{2}E;}}={frac {,{sqrt {,1-e^{2};}},sin f,}{1+ecos f}}~.end{aligned}}}$

Hence,

${displaystyle tan E={frac {,sin E,}{cos E}}={frac {,{sqrt {,1-e^{2};}},sin f,}{e+cos f}}~.}$

Angle E is therefore the adjacent angle of a right triangle with hypotenuse adjacent side and opposite side ${displaystyle ;{sqrt {,1-e^{2};}},sin f;.}$

Also,

${displaystyle tan {frac {,f,}{2}}={sqrt {{frac {,1+e,}{1-e}},}},tan {frac {,E,}{2}}}$

Substituting cos E as found above into the expression for r, the radial distance from the focal point to the point P, can be found in terms of the true anomaly as well:^[2]

${displaystyle r={frac {aleft(,1-e^{2},right)}{,1+ecos f,}}={frac {p}{,1+ecos f,}},}$

where

${displaystyle ,pequiv aleft(,1-e^{2},right)}$

is called «the semi-latus rectum» in classical geometry.

From the mean anomaly[edit]

The eccentric anomaly E is related to the mean anomaly M by Kepler’s equation:^[3]

This equation does not have a closed-form solution for E given M. It is usually solved by numerical methods, e.g. the Newton–Raphson method. It may be expressed in a Fourier series as

${displaystyle E=M+2sum _{n=1}^{infty }{frac {J_{n}(ne)}{n}}sin(nM)}$

where ${displaystyle J_{n}(x)}$ is the Bessel function of the first kind.

Notes and references[edit]

^
George Albert Wentworth (1914). «The ellipse §126». Elements of analytic geometry (2nd ed.). Ginn & Co. p. 141.
^ ^a ^b Tsui, James Bao-yen (2000). Fundamentals of Global Positioning System receivers: A software approach (3rd ed.). John Wiley & Sons. p. 48. ISBN 0-471-38154-3.
^ Michel Capderou (2005). «Definition of the mean anomaly, Eq. 1.68». Satellites: orbits and missions. Springer. p. 21. ISBN 2-287-21317-1.

Sources[edit]

Murray, Carl D.; & Dermott, Stanley F. (1999); Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, GB
Plummer, Henry C. K. (1960); An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York, NY (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition)

Источник

В орбитальной механике эксцентрическая аномалия является угловым параметром, который определяет положение тела, которое движется по эллиптической орбите Кеплера. Эксцентрическая аномалия — это один из трех угловых параметров («аномалий»), которые определяют положение на орбите, два других — это истинная аномалия и средняя аномалия.

Содержание

1 Графическое представление
2 Формулы
- 2.1 Радиус и эксцентрическая аномалия
- 2.2 От истинной аномалии
- 2.3 От средней аномалии
3 См. Также
4 Примечания и ссылки
5 Источники

Графическое представление

Эксцентрическая аномалия точки P — это угол E. Центр эллипса — точка C, а фокус — точка F.

Рассмотрим эллипс с уравнением:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, { displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1,} $frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1,$

где a — большая полуось, а b — малая полуось.

Для точки на эллипсе P = P (x, y), представляющей положение вращающегося тела на эллиптической орбите, эксцентрическая аномалия — это угол E на рисунке. Эксцентрическая аномалия E — это один из углов прямоугольного треугольника с одной вершиной в центре эллипса, прилегающей к нему стороной, лежащей на большой оси, имеющей гипотенузу a (равную большой полуоси эллипса) и противоположную сторона (перпендикулярная большой оси и касающаяся точки P ‘на вспомогательной окружности радиуса a), которая проходит через точку P. Эксцентрическая аномалия измеряется в том же направлении, что и истинная аномалия, показанная на рисунке как f. Эксцентрическая аномалия E в терминах этих координат определяется выражением:

cos ⁡ E = xa, { displaystyle cos E = { frac {x} {a}},}

sin ⁡ E = yb { displaystyle sin E = { frac {y} {b}}} $sin E = frac {y} {b}$

Второе уравнение устанавливается с использованием соотношения

(yb) 2 = 1 — cos 2 ⁡ E = sin 2 ⁡ E { displaystyle left ({ frac {y} {b}} right) ^ {2} = 1- cos ^ {2} E = sin ^ {2} E} ${ displaystyle left ({ frac {y } {b}} right) ^ {2} = 1- cos ^ {2} E = sin ^ {2} E}$

, что означает, что грех E = ± y / b. Уравнение sin E = −y / b может быть немедленно исключено, поскольку оно пересекает эллипс в неправильном направлении. Также можно отметить, что второе уравнение можно рассматривать как исходящее из аналогичного треугольника, у которого противоположная сторона имеет ту же длину y, что и расстояние от P до большой оси, а его гипотенуза b равна малой полуоси эллипс.

Формулы

Радиус и эксцентричная аномалия

эксцентриситет e определяется как:

e = 1 — (b a) 2. { displaystyle e = { sqrt {1- left ({ frac {b} {a}} right) ^ {2}}} .} $e = { sqrt {1- left ({ frac {b} {a}} right) ^ {2}}} .$

Из теоремы Пифагора применительно к треугольник с r (расстояние FP) в качестве гипотенузы:

r 2 = b 2 sin 2 ⁡ E + (ae — a cos ⁡ E) 2 = a 2 (1 — e 2) (1 — cos 2 ⁡ E) + a 2 (e 2 — 2 e cos ⁡ E + cos 2 ⁡ E) = a 2 — 2 a 2 e cos ⁡ E + a 2 e 2 cos 2 ⁡ E = a 2 (1 — e cos ⁡ E) 2 { displaystyle { begin {align} r ^ {2} = b ^ {2} sin ^ {2} E + (ae-a cos E) ^ {2} \ = a ^ {2} left (1-e ^ {2} right) left (1- cos ^ {2} E right) + a ^ {2} left (e ^ {2} -2e cos E + cos ^ {2} E right) \ = a ^ {2} -2a ^ {2} e cos E + a ^ {2} e ^ {2} cos ^ {2} E \ = a ^ {2} left (1-e cos E right) ^ {2} \ end {align}}} ${ displaystyle { begin {align} r ^ {2} = b ^ {2} sin ^ {2} E + ( ae-a cos E) ^ {2} \ = a ^ {2} left (1-e ^ {2} right) left (1- cos ^ {2} E right) + a ^ {2} left (e ^ {2} -2e cos E + cos ^ {2} E right) \ = a ^ {2} -2a ^ {2} e cos E + a ^ { 2} e ^ {2} c os ^ {2} E \ = a ^ {2} left (1-e cos E right) ^ {2} \ конец {выровнено}}}$

Таким образом, радиус (расстояние от фокуса до точки P) связан с эксцентрической аномалией по формуле

r = a (1 — e cos ⁡ E). { displaystyle r = a left (1-e cos {E} right) .}

С этим результатом эксцентрическая аномалия может быть определена по истинной аномалии, как показано ниже.

От истинной аномалии

Истинная аномалия — это угол, обозначенный буквой f на рисунке, расположенный в фокусе эллипса. В приведенных ниже расчетах он обозначается как θ. Истинная аномалия и эксцентрическая аномалия связаны следующим образом.

Используя приведенную выше формулу для r, синус и косинус E находятся в единицах θ:

cos ⁡ E = xa = ae + r cos ⁡ θ a = e + (1 — e cos ⁡ E) cos ⁡ θ ⇒ cos ⁡ E = e + cos ⁡ θ 1 + e cos ⁡ θ sin ⁡ E = 1 — cos 2 ⁡ E = 1 — e 2 sin ⁡ θ 1 + е соз ⁡ θ. { displaystyle { begin {align} cos E = { frac {x} {a}} = { frac {ae + r cos theta} {a}} = e + (1-e cos E) cos theta \ Rightarrow cos E = { frac {e + cos theta} {1 + e cos theta}} \ sin E = { sqrt {1- cos ^ {2} E}} = { frac {{ sqrt {1-e ^ {2}}} , sin theta} {1 + e cos theta}} . End {align}}} ${ displaystyle { begin {align} cos E = { frac {x} {a}} = { frac {ae + r cos theta} {a}} = e + ( 1-e cos E) cos theta \ Rightarrow cos E = { frac {e + cos theta} {1 + e cos theta}} \ sin E = { sqrt {1 - cos ^ {2} E}} = { frac {{ sqrt {1-e ^ {2}}} , sin theta} {1 + e cos theta}} . end { выровнено}}}$

Следовательно,

tan ⁡ E = sin ⁡ E cos ⁡ E = 1 — e 2 sin ⁡ θ e + cos ⁡ θ. { displaystyle tan E = { frac { sin E} { cos E}} = { frac {{ sqrt {1-e ^ {2}}} sin theta} {e + cos theta }} .} ${ displaystyle tan E = { frac { sin E} { cos E}} = { frac {{ sqrt {1-e ^ {2}}} sin theta} {e + cos theta }} .}$

Следовательно, угол E — это угол, прилегающий к прямоугольному треугольнику с гипотенузой 1 + e cos θ, смежной стороной e + cos θ и противоположной стороной √1 — e sin θ.

Кроме того,

tan ⁡ θ 2 = 1 + e 1 — e tan ⁡ E 2 { displaystyle tan { frac { theta} {2}} = { sqrt { frac { 1 + e} {1-e}}} tan { frac {E} {2}}} ${ displaystyle tan { frac { theta} {2}} = { sqrt { frac {1 + e} {1-e}}} tan { frac {E} {2}}}$

Подставляя cos E, как найдено выше, в выражение для r, радиального расстояния от фокальной точки до точки P, также можно найти в терминах истинной аномалии:

r = a (1 — e 2) 1 + e cos ⁡ θ. { displaystyle r = { frac {a left (1-e ^ {2} right)} {1 + e cos theta}} .} ${ displaystyle r = { frac {a left (1-e ^ {2} right)} {1 + e cos theta}} . }$

Из средней аномалии

Эксцентрическая аномалия E связана со средней аномалией M с помощью уравнения Кеплера :

M = E — e sin ⁡ E { displaystyle M = Ee sin E}

Это уравнение не иметь решения в замкнутой форме для E с данным M. Обычно это решается численными методами, например метод Ньютона – Рафсона.

См. также

Вектор эксцентриситета
Орбитальный эксцентриситет

Примечания и ссылки

^Джордж Альберт Вентворт (1914). «Эллипс §126». Элементы аналитической геометрии (2-е изд.). Ginn Co. стр. 141.
^ Джеймс Бао-янь Цуй (2000). Основы приемников глобальной системы позиционирования: программный подход (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 48. ISBN 0-471-38154-3 .
^Мишель Капдеру (2005). «Определение средней аномалии, уравнение 1.68». Спутники: орбиты и миссии. Springer. п. 21. ISBN 2-287-21317-1 .

Источники

Мюррей, Карл Д.; И Дермотт, Стэнли Ф. (1999); Динамика солнечной системы, Cambridge University Press, Cambridge, GB
Пламмер, Генри К. К. (1960); Вводный трактат по динамической астрономии, Dover Publications, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк (переиздание издания Cambridge University Press 1918 года)

Источник

В орбитальной механике , то эксцентрическая аномалия является угловым параметром , который определяет положение тела , который двигается вдоль эллиптической Kepler орбиты . Эксцентрическая аномалия — это один из трех угловых параметров («аномалий»), которые определяют положение на орбите, два других — истинная аномалия и средняя аномалия .

Графическое представление

Эксцентрическая аномалия точки Р является угол Е . Центр эллипса точки C , а фокус точки F .

Рассмотрим эллипс с уравнением:

$frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1,$

где a — большая полуось, а b — малая полуось.

Для точки на эллипсе P = P ( x , y ), представляющей положение вращающегося тела на эллиптической орбите, эксцентрическая аномалия — это угол E на рисунке. Эксцентрическая аномалия E — это один из углов прямоугольного треугольника с одной вершиной в центре эллипса, прилегающей к нему стороной, лежащей на большой оси, с гипотенузой a (равной большой полуоси эллипса) и противоположной сторона (перпендикулярно к главной оси и прикасаясь к точке Р ‘ на вспомогательной окружности радиуса а ) , который проходит через точку P . Эксцентрическая аномалия измеряется в том же направлении, что и истинная аномалия, показанная на рисунке как f . Эксцентрическая аномалия E в терминах этих координат определяется выражением:

$cos E = frac {x} {a},$

а также

$sin E = frac {y} {b}$

Второе уравнение устанавливается с помощью соотношения

${ displaystyle left ({ frac {y} {b}} right) ^ {2} = 1- cos ^ {2} E = sin ^ {2} E}$

откуда следует, что sin E = ±
у/б. Уравнение sin E = —у/бможет быть немедленно исключен, так как пересекает эллипс в неправильном направлении. Также можно отметить, что второе уравнение можно рассматривать как исходящее из аналогичного треугольника, у которого противоположная сторона имеет ту же длину y, что и расстояние от P до большой оси, а его гипотенуза b равна малой полуоси эллипс.

Формулы

Радиус и эксцентрическая аномалия

Эксцентриситета е определяется как:

$e = { sqrt {1- left ({ frac {b} {a}} right) ^ {2}}} .$

Из теоремы Пифагора применительно к треугольнику с гипотенузой r (расстояние FP ):

${ displaystyle { begin {align} r ^ {2} & = b ^ {2} sin ^ {2} E + (ae-a cos E) ^ {2} \ & = a ^ {2} left (1-e ^ {2} right) left (1- cos ^ {2} E right) + a ^ {2} left (e ^ {2} -2e cos E + cos ^ { 2} E right) \ & = a ^ {2} -2a ^ {2} e cos E + a ^ {2} e ^ {2} cos ^ {2} E \ & = a ^ { 2} left (1-e cos E right) ^ {2} \ конец {выровнено}}}$

Таким образом, радиус (расстояние от фокуса до точки P ) связан с эксцентрической аномалией формулой

{ Displaystyle г = а влево (1-е соз {E} вправо) .}

С этим результатом эксцентрическая аномалия может быть определена по истинной аномалии, как показано ниже.

От истинной аномалии

Истинная аномалия угол маркированы е на рисунке, находится в фокусе эллипса. Иногда обозначается буквой θ или v . Истинная аномалия и эксцентрическая аномалия связаны следующим образом.

Используя формулу для r выше, синус и косинус E находятся через f :

${ displaystyle { begin {align} cos E & = { frac {, x ,} {a}} = { frac {, ae + r cos f ,} {a}} = e + ( 1-e cos E) cos f \ Стрелка вправо cos E & = { frac {, e + cos f ,} {1 + e cos f}} \ sin E & = { sqrt { , 1- cos ^ {2} E ;}} = { frac {, { sqrt {, 1-e ^ {2} ;}} , sin f ,} {1+ e cos f}} ~. end {выравнивается}}}$

Следовательно,

${ displaystyle tan E = { frac {, sin E ,} { cos E}} = { frac {, { sqrt {, 1-e ^ {2} ;}} , sin f ,} {e + cos f}} ~.}$

Таким образом, угол E — это угол, прилегающий к прямоугольному треугольнику со смежной стороной гипотенузы и противоположной стороной. ${ displaystyle ; { sqrt {, 1-e ^ {2} ;}} , sin f ;.}$

Также,

${ displaystyle tan { frac {, f ,} {2}} = { sqrt {{ frac {, 1 + e ,} {1-e}} ,}} , tan { frac {, E ,} {2}}}$

Подставив cos E, как указано выше, в выражение для r , радиальное расстояние от фокальной точки до точки P также можно найти с точки зрения истинной аномалии:

${ displaystyle r = { frac {a left (, 1-e ^ {2} , right)} {, 1 + e cos f ,}} = { frac {p} { , 1 + e cos f ,}} ,}$

куда

${ Displaystyle , п эквив а влево (, 1-е ^ {2} , вправо)}$

в классической геометрии называется «полу-латусная прямая кишка» .

От средней аномалии

Эксцентрическая аномалия Е связана с средней аномалии М по уравнению Кеплера :

Это уравнение не имеет замкнутую форму раствора для Е данного М . Обычно ее решают численными методами , например методом Ньютона – Рафсона .

Смотрите также

Вектор эксцентриситета
Орбитальный эксцентриситет

Примечания и ссылки

^ Джордж Альберт Вентворт (1914). «Эллипс §126». Элементы аналитической геометрии (2-е изд.). Ginn & Co. стр. 141 .
^ ^a ^b Цуй, Джеймс Бао-янь (2000). Основы приемников глобальной системы позиционирования: программный подход (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . п. 48. ISBN 0-471-38154-3.
^ Мишель Капдеру (2005). «Определение средней аномалии, уравнение 1.68» . Спутники: орбиты и миссии . Springer. п. 21. ISBN 2-287-21317-1.

Источники

Мюррей, Карл Д .; И Дермотт, Стэнли Ф. (1999); Динамика солнечной системы , Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания
Пламмер, Генри К.К. (1960); Вводный трактат по динамической астрономии , Dover Publications, Нью-Йорк, Нью-Йорк (Перепечатка издания Cambridge University Press 1918 года)

Источник

ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ МОЖЕТ ПРИНИМАТЬ СЛЕДУЮЩИЕ ЗНАЧЕНИЯ:

Ε= 0 — КРУГОВАЯ ОРБИТА 0 <Ε <1 ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ОРБИТА

Ε= 1 — ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ТРАЕКТОРИЯ 1 <Ε <∞ — ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ТРАЕКТОРИЯ

Ε= ∞ — ЛИНИЯ

(ВЫРОЖДЕННЫЙ СЛУЧАЙ)

Эллиптическая кеплеровская орбита с эксцентриситетом 0,7 (красный эллипс), параболическая (зеленый) и гиперболическая орбита с эксцентриситетом 1,3 (синяя внешняя линия)

Наклонение (i) — это угловое расстояние от плоскости орбиты до плоскости отсчета (чаще всего экватора или эклиптики), обычно указывается в градусах.

Наклонение орбиты равное 0 ° означает, что тело вращается вокруг планеты в экваториальной плоскости, в том же направлении, в котором вращается и сама планета;

Наклонные орбиты (0º < i < 90º): если наклонение орбиты не более 90°, то движение спутника считается прямым (а сама орбита – прямой), если более 90° — то обратным (обратная орбита);

i = 90 ° — полярная орбита, по которой космический корабль проходит над северным и южным полюсами планеты;

i = 180 ° — обратная экваториальная орбита.

Наклон орбит спутников измеряется по отношению к экваториальной плоскости тела вокруг которого они вращаются, если они расположены достаточно близко. Экваториальная плоскость является плоскостью, перпендикулярной к оси вращения центрального тела.

УЗЕЛ ОРБИТЫ

Узел — это одна из двух точек, в которой орбита пересекает плоскость отсчета к которой она склонена.

Поскольку таких точек две, различают восходящий и нисходящий узлы орбиты. Для геоцентрической и гелиоцентрической орбиты, восходящий узел (или Северный Узел) это тот, в котором объект движется по орбите через плоскость отсчета на север, и нисходящий узел (или Южный Узел), в котором он движется на юг.

ВОСХОДЯЩИЕ И НИСХОДЯЩИЕ

ОРБИТЫ

Большинство спутниковых платформ сегодня находится на околополярных орбитах, то есть спутник идѐт на север по одну сторону от Земли, а затем к южному полюсу по второй половине своей орбиты. Они называются восходящими и нисходящими путями соответственно. Если орбита также солнечно-синхронная, то восходящий путь, скорее всего, находится на теневой стороне Земли, а нисходящий — на солнечной. Датчики, записывающие отраженное солнечное излучение, получают изображение поверхности только на нисходящем пути, когда есть солнечное освещение. Активные датчики, которые сами обеспечивают подсветку или пассивные датчики, которые записывают излучаемую Землѐй энергию (например, тепловую),могут также получать изображения поверхности на восходящем пути.

АРГУМЕНТ ПЕРИЦЕНТРА

Аргумент перицентра — это угол между перигеем орбиты (точкой наибольшего сближения с центральной точкой) и восходящим узлом орбиты. Угол измеряется в орбитальной плоскости и в направлении движения. В орбитах тел, движущихся вокруг Солнца (например, планет, астероидов и комет) перицентр и апоцентр обычно называют, соответственно, перигелием́ и афелием́ (апогелием́ ), в орбитах Луны и искусственных спутников Земли — перигей́ и апогей́. Его можно использовать для определения широты точки перицентра. Аргумент перицентра измеряется в градусах от линии восходящего узла на экваториальной плоскости до точки перицентра.

ДОЛГОТА ВОСХОДЯЩЕГО УЗЛА

Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для тел, обращающихся вокруг Солнца, базовая плоскость — эклиптика, а нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равновесия); угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

ИСТИННАЯ АНОМАЛИЯ

Термин аномалия (вместо угла), который означает неоднородность, используется астрономами описывающими движение планет. Термин происходит из того факта, что наблюдаемое положение планеты часто демонстрирует маленькие отклонения от прогрозируемого.

Истинная аномалия (ν) – это угловое расстояние от перигея до спутника, если смотреть с Земли. Для круговой орбиты средняя и истинные аномалии совпадают.

СРЕДНЯЯ АНОМАЛИЯ

Средняя аномалия (M): это параметр, касающиеся местоположения и времени для тела, движущегося по орбите Кеплера. Угол, измеренный с перигее, который огибал бы спутник, если его орбита была идеально круглой. Эта гипотетическая орбита опирается на большую полуось реальной орбиты и ее период. Средняя аномалия указывает местонахождение спутника на орбите в определенное время.

Эксцентрическая аномалия (Е): Угол, измеренный от перигея, основывается на гипотетической позиции на круговой орбите, определяемой линией, перпендикулярной главной оси, проходящей через истинное положение спутника и пересекающейся с круговой орбитой. Средняя аномалия напрямую связана с эксцентрической аномалии через уравнение Кеплера.

Истинная аномалия (N): истинный угол, измеренный от перигея, который спутник проходит по орбите Земли.

СРЕДНЯЯ АНОМАЛИЯ

Средняя аномалия увеличивается неравномерно от 0 до радиана при движении спутника по орбите. Однако – это не угол. В соответствие со Вторым Законом Кеплера, средняя аномалия пропорциональна площади, охватываемой радиусом-вектором, соединяющим небесное тело и его спутник с момента последнего прохождения перигея.

Средняя аномалия M может быть вычислена из эксцентрической аномалии E и эксцентриситета e через уравнение Кеплера:

M E sin E

ОРБИТАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Элементы Кеплера большая полуось (α), эксцентриситет (ε), наклонение (ί),

аргумент перицентра

(ω),

долгота восходящего узла (Ω),

средняя аномалия

(M).

Источник

Эксцентрическая аномалия

Одной из задач небесной механики является определение орбит небесных тел. Для задания орбиты спутника, планеты, спутника, астероида или Искусственного спутника Земли используют так называемые орбитальные элементы. Они отвечают за задание базовой системы координат (точка отсчёта, оси координат), форму и размер орбиты, её ориентацию в пространстве и момент времени, в который небесное тело находится в определённой точке орбиты. В основном, используются два способа задания (при наличии системы координат):

при помощи векторов положения и скорости
при помощи орбитальных элементов^[1]

Содержание

1 Кеплеровы элементы орбиты
2 Другие элементы орбиты
- 2.1 Аномалии
3 Примечания

Кеплеровы элементы орбиты

Элементы орбиты

Традиционно, в качестве элементов орбиты используют шесть кеплеровых элементов орбиты^[2]:

Другие элементы орбиты

Аномалии

Аномалия (в небесной механике) — угол используемый для описания движения тела по эллиптической орбите. Истинная аномалия v представляет собой угол между линией, соединяющей тело B с центром эллипса F, и линией соединяющей F с перицентром — точкой на орбите, самой близкой к F.

Средняя аномалия — для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом средняя аномалия — угловое расстояние от перицентра гипотетического тела движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Эксцентрическая аномалия (обозначается E) — параметр используемый для выражения переменной длины радиус-вектора r. Уравнение связывающее эти величины имеет вид:

, где

a — большая полуось,

e — эксцентриситет эллиптической орбиты.

Истинная аномалия — угол между большой полуосью и лучом из фокуса в положение (). Отсчитывается от перицентра.

Примечания

↑ Дубошин Г. Н. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике
↑ Здесь и далее рассматривается задача двух тел

Wikimedia Foundation.
2010.

Полезное

Смотреть что такое «Эксцентрическая аномалия» в других словарях:

Эксцентрическая аномалия — в астрономии, см. Аномалии … Большая советская энциклопедия
Аномалия астрономическая — В теории эллиптического движения аномалией называют угол между некоторым радиусом вектором и осью эллипса. Истинная аномалия есть угол между радиусом вектором данного небесного тела (планеты, кометы, двойной звезды и пр.) и осью его орбиты.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Эксцентричная аномалия — Одной из задач небесной механики является определение орбит небесных тел. Для задания орбиты спутника, планеты, спутника, астероида или Искусственного спутника Земли используют так называемые орбитальные элементы. Они отвечают за задание базовой… … Википедия
Элементы орбиты — Одной из задач небесной механики является определение орбит небесных тел. Для задания орбиты спутника планеты, астероида или Земли используют так называемые орбитальные элементы. Они отвечают за задание базовой системы координат (точка отсчёта,… … Википедия
Орбитальные элементы — Одной из задач небесной механики является определение орбит небесных тел. Для задания орбиты спутника, планеты, спутника, астероида или Искусственного спутника Земли используют так называемые орбитальные элементы. Они отвечают за задание базовой… … Википедия
Кеплеровы элементы орбиты — Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1) … Википедия
Долгота восходящего узла — Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1) Части эллипса (рис.2) Кеплеровы элементы шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел: большая полуось ( ), эксцентриситет ( … Википедия
Наклонение (астрономия) — Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1) Части эллипса (рис.2) Кеплеровы элементы шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел: большая полуось ( ), эксцентриситет ( … Википедия
Наклон орбиты — Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1) Части эллипса (рис.2) Кеплеровы элементы шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел: большая полуось ( ), эксцентриситет ( … Википедия
Наклонение орбиты — Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1) Части эллипса (рис.2) Кеплеровы элементы шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел: большая полуось ( ), эксцентриситет ( … Википедия

Источник

Graphical representation[edit]

Formulas[edit]

Radius and eccentric anomaly[edit]

From the true anomaly[edit]

From the mean anomaly[edit]

See also[edit]

Notes and references[edit]

Sources[edit]

Содержание

Графическое представление

Формулы

Радиус и эксцентричная аномалия

От истинной аномалии

Из средней аномалии

См. также

Примечания и ссылки

Источники

Графическое представление

Формулы

Радиус и эксцентрическая аномалия

От истинной аномалии

От средней аномалии

Смотрите также

Примечания и ссылки

Источники

Эксцентрическая аномалия

Содержание

Кеплеровы элементы орбиты

Другие элементы орбиты

Аномалии

Примечания

Полезное

Смотреть что такое «Эксцентрическая аномалия» в других словарях:

Не пропустите также: