Как найти двойной интеграл ограниченный линиями - AvtoShod.ru

(схема 40)

Для функции двух переменных имеет место обобщение определенного интеграла — двойной интеграл, относящийся к кратным интегралам.

Рассмотрим в плоскости x0y замкнутую
область D с границей L. Пусть непрерывная функция f(x,y) определена в области D. Произвольными линиями разобьем область D на конечное число n частей
– площадок: . Одновременно будем обозначать через не только названия
соответствующих площадок, но и их площади.
В каждой из ∆S_i (внутри или на границе) возьмем точку P_i;
получим n точек: , значения функции в которых . Составим
сумму произведений вида :

(6.1)

Эта
сумма называется интегральной суммой для функции f(x,y) в
области D. Если f ≥ 0 в области D, то каждое
слагаемое геометрически представляет собой объем малого цилиндра с основанием ∆S_i и высотой f(P_i). Сумма всех V_i есть сумма объемов указанных элементарных цилиндров, геометрически – объем некоторого «ступенчатого» тела.

Рассмотрим произвольную
последовательность интегральных сумм, составленных с помощью функции f(x,y) для данной области D:

(6.2)

при
различных   способах   разбиения
области   D на
части ∆S_i. Очевидно, при  n→∞ максимальный диаметр
площадок ∆S_i стремится к нулю.

Теорема
6.1.
Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области D, то
существует предел последовательности (6.2) интегральных сумм (6.1) при условии, что максимальный диаметр площадок ∆S_i стремится к нулю, а n→∞. Этот предел один и тот же
для любой последовательности вида (6.2), то есть он не зависит ни от способов разбиения
области D на площадки ∆S_i, ни от
выбора точек P_i внутри площадок ∆S_i

Этот предел (6.3) называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается

Область D при этом называется
областью интегрирования.

1. Вычисление двойного интеграла в декартовой система
координат

Рассмотрим область D, лежащую в плоскости x0y и являющуюся правильной в направлении оси 0y. Это означает, что всякая прямая, параллельная оси 0y и проходящая через
внутреннюю точку области, пересекает границу области в двух точках N₁ и N₂.

Мы
предположим, что в рассматриваемом случае область D
ограничена линиями: причем , а функции φ₁(x) и φ₂(x) непрерывны
на отрезке [a;b]. Аналогично определяется
область D, правильная
в направлении оси 0x.

Если область D является правильной как в направлении оси 0x, так и в направлении оси 0y, то
она называется просто правильной областью.

Пусть функция f(x,y) непрерывна в области D. Рассмотрим
выражение

, (6.4)

которое назовем двукратным
интегралом от функции f(x,y) по
области D. В этом
выражении сначала вычисляется внутренний интеграл, стоящий в скобках, причем
интегрирование производится по y, а x
считается постоянной величиной. В
результате интегрирования получится непрерывная функция от x:

Эту функцию мы интегрируем по x
в пределах от a
до b:

В результате получается некоторое постоянное число.

Теорема
6.2. Двойной интеграл от непрерывной функции f(x,y) по
правильной области D равен двукратному
интегралу от этой функции по области, то
есть

(6.5)

Пусть правильная в направлении оси 0x область D
ограничена линиями , причем .

Очевидно, что в этом случае

. (6.6)

Таким образом, для вычисления двойного
интеграла его надо представить в виде двукратного, в зависимости от вида
области D или
подынтегральной функции, либо с помощью формулы (6.5), либо (6.6) .

Пример
6.1. Вычислить , если область D – прямоугольник,
определяемый неравенствами и

Решение. Применим
формулу (6.5), считая внутренний интеграл по переменной y:

Если область D является правильной в направлении обеих осей
координат, то применимы обе формулы (6.5) и (6.6), следовательно,

Таким образом, повторное интегрирование не
зависит от порядка интегрирования. Поэтому при вычислении двойного
интеграла следует пользоваться той из двух формул, которая приводит к менее трудоемким
выкладкам. Полезно для упражнения в вычислении повторного интегрирования рассматривать задачу о замене порядка
интегрирования в двойном интеграле . При этом выполняется следующая
последовательность действий:

1) чертят область интегрирования D, которая
находится в полосе между прямыми x=a и x=b, при этом ограничена снизу линией y=φ₁(x), а сверху
– линией y=φ₂(x);

2) область D проектируют на ось 0y и находят уравнения
прямых y=c и y=d, ограничивающих снизу и
сверху полосу, в которой расположена область
D;

3) находят
левую x=ψ₁(y) и правую x=ψ₂(y) границу области D.

Аналогичные выкладки производят при
необходимости замены порядка интегрирования в двойном интеграле :

1) чертят область интегрирования D, которая находится в полосе между прямыми y=c и y=d, при этом ограничена слева линией x=ψ₁(y), а справа
– линией x=ψ₂(y);

2) область D проектируют на ось 0x и находят уравнения
прямых x=a и x=b, ограничивающих слева и
справа полосу, в которой расположена область
D;

3) находят нижнюю y=φ₁(x) и
верхнюю y=φ₂(x) границу области D.

Примечание. В случае, когда какая-либо из этих границ состоит из
двух или большего числа линий, записанных разными уравнениями, то область D разбивается на части, а интеграл – на сумму
интегралов по этим частям

Пример 6.2. Изменить
порядок интегрирования .

Решение. Область D расположена в плоскости x0y между прямыми x=0 и x=1 (рис. 6.1). Ее нижняя граница y=x,
верхняя –. Спроектируем область D на ось 0y. В результате получим отрезок . Левой границей
области является прямая x=0, правой на участке– прямая y=x, а на
участке– дуга окружности . Поэтому область D следует разбить на две части D₁ и D₂, а интеграл на сумму двух интегралов:

2. Вычисление двойного интеграла в полярной системе
координат

Пусть область D задана в полярной системе координат (рис. 6.2). Если ее полюс O совпадает с началом
координат декартовой системы, а полярная ось совпадает с осью 0x, то формулы перехода имеют
вид:

, где (r;φ) – координаты точки области D, ds – элемент площади в
полярной системе. Тогда

. (6.7)

Для вычисления
такого двойного интеграла применяют то же правило сведения его к двукратному
интегралу. Так, если область D имеет
вид, изображенный на рисунке 6.2 (ограничена лучами φ=α и φ=β,
где α < β, и кривыми , т. е. является правильной:
луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу L не более чем в двух точках), то правую часть формулы
(6.7) можно записать в виде:

. (6.8)

Внутренний интеграл берется при
постоянном φ и переменной r, при
вычислении внешнего интеграла φ
становится переменной.

Если полюс O лежит внутри области D, то каждый полярный радиус
пересекает контур L в одной точке. При этом следует рассматривать .

Пример 6.3. Вычислить двойной интеграл , где область D есть
полукруг с центром в точке (3;0) и с радиусом, равным 3 (рис. 6.3).

Решение. Перейдём к полярной
системе координат. Пусть полюс совпадает
с началом координат, а полярная ось совпадает с положительным направлением оси 0x. Чтобы найти
уравнение полуокружности АМО в полярной системе координат, выберем на ней
произвольную точку M(r;φ) и определим
зависимость между полярными координатами r и φ. Как видно, при любом выборе точки M угол АМО будет прямым. Следовательно, r=OA∙cos φ или r=6∙cos φ (так как AO=6). Таким образом, в
заданной области D полярный радиус r меняется от 0 до 6∙cos φ, а полярный угол φ
– от 0 до.

Переходя к полярной системе координат с помощью (6.8),
получаем:

Примечание. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная
функция имеет вид ; область D есть круг, кольцо или часть таковых. Уравнения
линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам

Источник

Двойные интегралы используют в математике, механике, физике. С его помощью можно решить огромное количество непростых задач. Ниже приведено 10 примеров на двойные и тройные интегралы, которые в значительной степени облегчат подготовку к контрольной работе или экзамену. Примеры взяты из индивидуальной работы по высшей математики.

ВАРИАНТ — 12

Двойной интеграл

ЗАДАНИЕ 1.18 Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

Решение: Сначала записываем область интегрирования, которая ограничена границами

где y=2/x — гипербола.
y=-x²-4x-3 — парабола с вершиной в точке S (-2;1), ветками вниз.
Чтобы знать, как расставить пределы интегрирования при изменении порядка интегрирования изобразим область интегрирования на плоскости
Выражаем полученные функции через переменную y:
y=2/x, отсюда x=2/y; y=-x²-4x-3, отсюда , перед радикалом стоит знак «+» поскольку часть параболы находится в правой (положительной по x=-2) части полуплоскости.
Из рисунка видим, что при изменении порядка интегрирования область необходимо разделить на три части: D=D₁+D₂+D₃.
Расставим пределы интегрирования в каждой области:

Изменяем порядок интегрирования функции
Как видите ничего сложного нет, главное представлять график функции и иметь точки их пересечения — пределы интегрирования.

ЗАДАНИЕ 2.19 Найти площадь плоской фигуры, заданной следующими условиями, : y=2^x, y=5, 2x-2y+3=0.
Решение: Прежде всего выполняем построение всех кривых, чтобы видеть как будут изменяться пределы интегрирования
Дальше найдем точки пересечения графиков заданных функций :
1 и 2

отсюда

Дальше точки пересечения 2 и 3 функций

отсюда

Напоследок пересечение 1 и 3 ф-й

отсюда

Заданную область будем разбивать на две области: D=D₁+D₂.
Расставим пределы для каждой из областей:

Через двойной интеграл находим площадь фигуры которая ограничена заданными кривыми, :
Функции не тяжелые для интегрирования, поэтому в предпоследнем выражении подставьте пределы самостоятельно.
При округлении площадь криволинейной трапеции равна 2,037 единиц квадратных.

ЗАДАНИЕ 3.20 Найти двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями: D: y=x²-1, y=3.
Решение: Найдем точки пересечения графиков заданных функций: y=x²-1 и y=3:
3=x²-1, x²-4=0, (x-2)(x+2)=0, x=-2; x=2.
Параболу и прямую изобразим графически
Расставим пределы интегрирования в заданной области D:

Вычислим двойной интеграл по области которая ограничена параболой и прямой:
Определенный интеграл равен I=224/15=14,9 (3).

ЗАДАНИЕ 4.21 Найти двойной интеграл, используя полярные координаты:

Решение: Построим область интегрирования, которая ограничена кривыми

где y=R²— x², x²+y²=R²

Получили круг с центром в точке O (0;0) и радиусом R (нижняя половина).
Используя замену переменных

перейдем к полярной системе координат (СК).
При этом подынтегральную функцию следует умножить на якобиан перехода, который находим через определитель из производных:

Перепишем подинтегральную функцию в полярной СК :

Пределы интегрирования при переходе к полярной системе координат изменятся на следующие:

Вычислим двойной интеграл:
Он равен I=Pi/4*sin (R²).

ЗАДАНИЕ 5.22 Вычислить площадь области D, ограниченной указанными линиями: D: x³=3y, y²=3x.
Решение: Найдем точку пересечения двух графиков : x₁=0, y₁=0; x₂=3, y₂=3.
Графики кривой в декартовой системе координат имеет вид
Расставим пределы интегрирования в области D:

Найдем площадь криволинейной трапеции которая ограничена указанными линиями:
Площадь равна 3 единицы квадратные.

ЗАДАНИЕ 6.23 Используя двойной интеграл, вычислить, перейдя к полярным координатам, площадь плоской фигуры : (x²+y²)³=4a²xy (x²-y²).
Решение: Сначала построим чотирёх лепесток

Перейдем к полярной системе координат:

Якобиан перехода из предыдущих примеров равен I=r.
Найдем пределы интегрирования в новой системе координат

Переменные приобретают значение:

Расставляем пределы интегрирования в двойном интеграле, таким образом найдем четверть площади плоской фигуры.
Дальше результат умножим на 4:
Площадь равна S=a² единиц квадратных.

Внимательно проанализируйте как определять пределы интегрирования. Это тяжелее всего, что может быть в подобных задачах.
Как вычислить определенный интеграл, как правило, должны знать все студенты. Здесь лишь расширяется его приложение.

Тройной интеграл

ЗАДАНИЕ 8.25 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если область V ограничена указанными поверхностями: V: x=2 y=3x, z=4 (x²+y²).
Нарисовать область интегрирования.
Решение: Уравнение поверхности в пространстве z=4 (x²+y²) — эллиптический параболоид.
График параболоида и проекция в декартовую плоскость тела имеют вид
Пределы интегрирования расставим следующим образом:
V:
Расставляем пределы интегрирования в соответствии с областью

ЗАДАНИЕ 9.6 Вычислить тройные интегралы:

где V:
Решение: Выполним построение области интегрирования
Заданная область V является параллелепипедом, поэтому без трудностей расставляем пределы интегрирования и от внутреннего к внешнему находим интеграл

Вычисления не сложны, поэтому превращение в формуле проанализируйте самостоятельно.

Источник

Геометрический и физический смысл двойного интеграла
- Масса плоской пластинки
Основные свойства двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Приложения двойного интеграла
- Объем тела
- Площадь плоской фигуры
- Масса плоской фигуры
- Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры
- Моменты инерции плоской фигуры
Двойной интеграл

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная функция z = f(x;y). Разобьем область D на п «элементарных областей» площади которых обозначим через а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) — через (см. рис. 214).

В каждой области выберем произвольную точку умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x; у) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремится к бесконечности таким образом, что Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; D — область интегрирования; х и у — переменные интегрирования; dx dy (или dS) — элемент площади.

Для всякой ли функции f(x; у) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства.

Теорема:

Достаточное условие интегрируемости функции. Если функция z = f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

Замечания:

Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.
Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом равенство (53.2) можно записать в виде

Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу. Объем цилиндрического тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью, снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f(x; у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей , площади которых равны A Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y) (на рис. 216 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием через , получим

Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием и высотой Объем этого цилиндра приближенно равен объему цилиндрического столбика, т. е. Тогда получаем:

Это равенство тем точнее, чем больше число п и чем меньше размеры «элементарных областей» ,. Естественно принять предел суммы (53.3) при условии, что число площадок неограниченно увеличивается а каждая площадка стягивается в точку за объем V цилиндрического тела, т. е.

или, согласно равенству (53.2),

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластинки

Требуется найти массу m плоской пластинки D. зная, что ее поверхностная плотность есть непрерывная функция координат точки (х; у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей площади которых обозначим через . В каждой области возьмем произвольную точку и вычислим плотность в ней:

Если области D, достаточно малы, то плотность в каждой точке мало отличается от значения Считая приближенно плотность в каждой точке области постоянной, равной , можно найти ее массу Так как масса m всей пластинки D равна Для ее вычисления имеем приближенное равенство

Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии

или, согласно равенству (53.2),

Итак, двойной интеграл от функции численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию считать плотностью этой пластинки в точке (х; у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. § 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства (см. § 38). Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

3.Если область D разбить линией на две области такие, что а пересечение состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то

4.Если в области D имеет место неравенство то и Если в области D функции f(x;y) и удовлетворяют неравенству то и

6.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой — соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

7.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка, что Величину

называют средним значением функции f(x; у) в области D.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл где функция непрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было показано, что

где S(x) — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а х = а, х = b — уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a и x = b и кривыми, причем функции непрерывны и таковы, что для всех (см. рис. 218). Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси

В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями

(см. рис. 219).

Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области D. Следовательно,

Это равенство обычно записывается в виде

Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x;y) по области D. При этом называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

Если же область D ограничена прямыми кривыми

для всех т. е. область D — правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью у = const, аналогично получим:

Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.

Замечания:

Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когда
Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по формуле (53.8).
Если область D не является правильной ни «по x», ни «по у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу.
Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Пример:

Вычислить где область D ограничена линиями у

Решение:

На рисунке 220 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Ох. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (53.8):

Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует разбить на две области: . Получаем:

Ответ, разумеется, один и тот же.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как

Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

а функция f(х; у) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

Функциональный определитель (53.10) называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик). Доказательство формулы (53.11) не приводим.

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами

В качестве инь возьмем полярные координаты Они связаны с декартовыми координатами формулами (см. п. 9.1).

Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как

Формула замены переменных (53.11) принимает вид:

где D* — область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если

область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лучами и кривыми где т. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы (53.12) можно записать в виде

Внутренний интеграл берется при постоянном

Замечания:

Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид область D есть круг, кольцо или часть таковых.
На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по (исследуя закон изменения точки при ее отождествлении с точкой (х; у) области D).

Пример:

Вычислить где область D — круг

Решение: Применив формулу (53.12), перейдем к полярным координатам:

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис. 222) Заметим: область D —круг — преобразуется в область D* — прямоугольник. Поэтому, согласно формуле (53.13), имеем:

Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

Объем тела

Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится по формуле

где z = f(x;y) — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле (53.4) f(x;y) = 1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:

или, в полярных координатах,

Масса плоской фигуры

Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с переменной плотностью находится по формуле

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

а координаты центра масс фигуры по формулам

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т. е. Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:

Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле

Замечание:

Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Решение: Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему

находим уравнение линии их пересечения:

Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг ) и ограниченных сверху соответственно поверхностями Используя формулу (53.4), имеем

Переходя к полярным координатам, находим:

Пример:

Найти массу, статические моменты и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом и координатными осями (см. рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.