В данной публикации мы рассмотрим различные формулы, с помощью которых можно вычислить высоту равнобедренной (равнобокой) трапеции.
Напомним, высотой трапеции называется перпендикуляр, соединяющий оба ее основания. Также, в равнобедренной трапеции боковые стороны равны.
-
Нахождение высоты равнобедренной трапеции
- Через длины сторон
- Через боковую сторону и прилежащий угол
-
Через основания и прилежащий угол
- Через площадь и основания
- Через диагонали и угол между ними
Нахождение высоты равнобедренной трапеции
Через длины сторон
Зная длины всех сторон равнобедренной трапеции, вычислить ее высоту можно, используя формулу ниже:
Через боковую сторону и прилежащий угол
Если известна длина боковой стороны равнобедренной трапеции и угол между ней и основанием фигуры, найти высоту можно следующим образом:
Через основания и прилежащий угол
Вычислить высоту трапеции можно, если известны длины ее оснований и угол при любом из оснований (например, при большем).
Через площадь и основания
Также высоту равнобедренной трапеции удастся найти через ее площадь и длины оснований:
Данная формула может быть представлена в другом виде, если вместо оснований дана средняя линия (m).
m – средняя линия, равняется полусумме оснований, т.е. m = (a+b)/2.
Через диагонали и угол между ними
И еще один способ вычислить высоту равнобедренной трапеции, если известны ее диагонали (которые имеют одинаковую длину), угол между ними и основания.
Та же самая формула, но со средней линией (m) вместо суммы оснований:
Примечание: если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то ее высота равняется половине суммы оснований или, другими словами, средней линии.
1. Формула высоты равнобедренной трапеции через стороны и углы при основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — равные боковые стороны
α — угол при нижнем основании
h — высота трапеции
Формулы длины высоты, (h ):
2. Формула высоты равнобедренной трапеции через диагонали и углы между ними
d — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
a , b — основания
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
3. Формула высоты равнобедренной трапеции через площадь
S — площадь трапеции
a , b — основания
h — высота трапеции
m — средняя линия
Формулы длины высоты, (h ):
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 10 октября 2013
-
Обновлено: 13 августа 2021
Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции
Определение.
Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.
На этой странице представленны формулы характерные равнобедренной трапеции. Не забывайте, что для равнобедренной трапеции выполняются все формулы и свойства трапеции.
 |
| Рис.1 |
Признаки равнобедренной трапеции
Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий:
1. Углы при основе равны:
∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC
2. Диагонали равны:
AC = BD
3. Одинаковые углы между диагоналями и основаниями:
∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC
4. Сумма противоположных углов равна 180°:
∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°
5. Вокруг трапеции можно описати окружность
Основные свойства равнобедренной трапеции
1. Сумма углов прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°:
∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°
2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:
AB = CD = m
3. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность
4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней лини):
h = m
5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:
SABCD = h2
6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции:
h2 = BC · AD
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции:
AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC · AD
8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:
HF ┴ BC, HF ┴ AD
9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) — равен полуразности оснований:
Стороны равнобедренной трапеции
Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:
a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α
b = a — 2h ctg α = a — 2c cos α
| c = | h | = | a — b |
| sin α | 2 cos α |
2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:
| a = | d12 — c2 | b = | d12 — c2 | c = √d12 — ab |
| b | a |
3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:
| a = | 2S | — b b = | 2S | — a |
| h | h |
4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:
5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:
Средняя линия равнобедренной трапеции
Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
1. Формула определения длины средней линии через основания, высоту и угол при основании:
m = a — h ctg α = b + h ctg α = a — √c2 — h2 = b + √c2 — h2
2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:
Высота равнобедренной трапеции
Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
1. Формула высоты через стороны:
2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:
| h = | a — b | tg β | = c sin β |
| 2 |
Диагонали равнобедренной трапеции
Диагонали равнобедренной трапеции равны:
d1 = d2
Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:
1. Формула длины диагонали через стороны:
d1 = √с2 + ab
2. Формулы длины диагонали по теореме косинусов:
d1 = √a2 + c2 — 2ac cos α
d1 = √b2 + c2 — 2bc cos β
3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:
d1 = √h2 + m2
4. Формула длины диагонали через высоту и основания:
Площадь равнобедренной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции:
1. Формула площади через стороны:
| S = | a + b | √4c2 — (a — b)2 |
| 4 |
2. Формула площади через стороны и угол:
S = (b + c cos α) c sin α = (a — c cos α) c sin α
3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:
| S = | 4 r 2 | = | 4 r 2 |
| sin α | sin β |
4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:
5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:
S = (a + b) · r = √ab·c = √ab·m
6. Формула площади через диагонали и угол между ними:
| S = | d12 | · sin γ | = | d12 | · sin δ |
| 2 | 2 |
7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:
S = mc sin α = mc sin β
8. Формула площади через основания и высоту:
Окружность описанная вокруг трапеции
Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!
Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
1. Формула радиуса через стороны и диагональ:
| R = | a·c·d1 |
| 4√p(p — a)(p — c)(p — d1) |
где
a — большее основание
Трапеция представляет собой уникальную по своей простоте фигуру, состоящую из прямоугольника и двух присоединенных к нему прямоугольных треугольников. Стороной всех этих фигур внутри трапеции является высота, проведенная из углов при верхнем основании. Высота трапеции открывает множество вероятных решений для любых задач, и найти ее можно несколькими способами. Зная площадь трапеции и ее среднюю линию (или два основания, среднее арифметическое которых дает среднюю линию), можно вычислить высоту трапеции, разделив одно на другое:
Более изощренным является вычисление высоты трапеции через все ее стороны. В данном случае помимо высоты в трапеции нужно провести также диагональ, которая сформирует прямоугольный треугольник и даст возможность выразить высоты несколькими разными способами через разные треугольники.
Выразив все стороны треугольников через стороны трапеции и приведя подобные слагаемые, получается следующая формула:
Как найти высоту трапеции
Анна Кирпиченкова
Эксперт по предмету «Калькуляторы»
Задать вопрос автору статьи
На этой странице вы узнаете, как найти высоту трапеции через стороны, а также как рассчитать высоту равнобедренной трапеции, зная среднюю линию и площадь. Также на страницу добавлены онлайн-калькуляторы для расчёта высоты трапеции.
Определение 1
Трапеция — это плоский геометрический объект, состоящий из двух параллельных и не равных друг другу отрезков-оснований и соединяющих их боковых сторон.
Для того чтобы рассчитать высоту трапеции, зная стороны, введите заданные значения в поля для ввода.
Высота трапеции через стороны
Высота трапеции через стороны рассчитывается по формуле:
$h = sqrt{b^2 — (frac{(a — d)^2 + b^2 — c^2}{2 cdot (a — d)})^2}$, где
$a$ — основание большего размера;
$d$ — основание меньшего размера;
$b$ — первая боковая сторона;
$c$ — вторая боковая сторона.
Пример 1
Задача
Дана трапеция с основаниями $a$ и $d$, равными $4.5$ и $2.5$ см и боковыми сторонами $b, c$, равными $2$ и $2sqrt2$ см. Найдите, чему равна высота трапеции $h$.
Решение:
Воспользуемся вышеприведённой формулой:
$h = sqrt{2^2 — (frac{(4.5 — 2.5)^2 + 2^2 — (2sqrt2)^2}{2 cdot (4.5 — 2.5)})^2} = sqrt{4 — (frac{4 + 4 — 8}{4}} = 2$ см.
Проверим полученное значение с помощью онлайн-калькулятора. Результат совпадает, а значит, задача решена верно.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Ниже приведён другой калькулятор, осуществляющий нахождение высоты равнобедренной трапеции через её площадь и среднюю линию.
Высота равнобедренной трапеции через среднюю линию и площадь
Если известна площадь равнобедренной трапеции и длина её средней линии, то высоту можно рассчитать по формуле:
$h = frac{S}{m}$, где
$m$ — средняя линия трапеции;
$S$ — её площадь.
Рассмотрим на примере, как найти высоту равнобедренной трапеции, если известны основания.
Пример 2
Задача
Дана равнобедренная трапеция с основаниями $a$ и $d$, соответственно равными $3$ и $5$ см, и площадью, равной $8$ $см^2$. Найдите, чему равна высота трапеции.
Решение:
Найдём среднюю линию трапеции:
$m = frac{a + d}{2} = frac{3 + 5}{2} = 4$ см.
Теперь сосчитаем высоту трапеции:
$h = frac{8}{4} = 2$ см.
Результаты совпадают с решением онлайн-калькулятора, а значит, ответ — верный.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата написания статьи: 07.07.2019