Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.
Соответственно, в таком треугольнике можно провести три высоты, две из которых будут равны между собой, аналогично сторонам — это высоты, опущенные на боковую сторону треугольника а, а третья высота опускается на основание. Высота треугольника проводится из угла треугольника к противолежащей стороне под прямым углом. Большинство задач с высотой треугольника решаются через прямоугольные треугольники, которые она образует.
Рассмотрим каждый случай по отдельности.
Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.
Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:
Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.
Площадь любого треугольника можно найти несколькими способами — например, через три стороны треугольника по формуле Герона, или через высоту, умножив ее на половину стороны, на которую она опущена. И тем, и другим способом получаются одинаковые значения площади, следовательно обе эти формулы можно друг к другу приравнять и отсюда вывести окончательную формулу высоты, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника.
Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрощенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:
Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне
Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.
Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sinα
Формула через боковую сторону и угол напротив основания β:
Формула через основание и угол при нем α:
через основание и угол противолежащий ему β:
Как посчитать высоту равнобедренного треугольника
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Как посчитать высоту равнобедренного треугольника
Чтобы посчитать чему равна высота равнобедренного треугольника просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить высоту равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
- длину двух равных сторон (a) и длину основания (b)
- длину двух равных сторон (a) и угол α
- длину двух равных сторон (a) и угол β
- длину основания (b) и угол α
- длину основания (b) и угол β
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Если известны длина стороны а и основания b
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон
a =
, а длина основания
b =?
Ответ:
h =
0
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и длина основания b?
Формула
h = √a2 — (b/2)2
Пример
Если сторона a = 10 см, а сторона b = 5 см, то:
h = √102 — (5/2)2 = √100 — 6.25 ≈ 9.68 см
Если известны длина стороны а и угол α
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон
a =
, а угол
α =?
Ответ:
h =
0
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?
Формула
h = a⋅sin α
Пример
Если сторона a = 5 см, а ∠α = 45°, то:
h = 5⋅sin 45 ≈ 3,53 см
Если известны длина стороны а и угол β
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина сторон
a =
, а угол
β =?
Ответ:
h =
0
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?
Формула
h = a⋅cos β/2
Пример
Если сторона a = 5 см, а ∠β = 30°, то:
h = 5⋅cos 30/2 ≈ 4.83 см
Если известны длина стороны b и угол α
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина основания
b =
, а угол
α =?
Ответ:
h =
0
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол α?
Формула
h = b/2⋅tg α
Пример
Если сторона b = 20 см, а ∠α = 35°, то:
h = 20/2⋅tg 35 = 10⋅0.7 = 7 см
Если известны длина стороны b и угол β
Чему равна высота h равнобедренного треугольника если длина основания
b =
, а угол
β =?
Ответ:
h =
0
Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол β?
Формула
h = b/2⋅ctg β/2
Пример
Если сторона b = 15 см, а ∠β = 40°, то:
h = 15/2⋅ctg 40/2 = 7.5⋅2.7474 ≈ 20.6 см
См. также
Как найти длину высоты в равнобедренном треугольнике
Высотами в треугольнике называют три отрезка прямых, каждый из которых перпендикулярен одной из сторон и соединяет ее с противолежащей вершиной. Как минимум две стороны и два угла в равнобедренном треугольнике имеют одинаковые величины, поэтому и длины двух высот должны быть равны. Это обстоятельство значительно упрощает вычисление длин высот фигуры.
Инструкция
Высоту (Hc), проведенную к основанию равнобедренного треугольника, можно рассчитать, зная длины этого основания (c) и боковой стороны (a). Для этого можно использовать теорему Пифагора, так как высота, боковая сторона и половина основания образуют прямоугольный треугольник. Высота и половина основания в нем являются катетами, поэтому для решения задачи извлеките корень из разности между возведенной в квадрат длиной боковой стороны и четвертью квадрата длины основания: Hс = √(a²-¼*c²).
Эту же высоту (Hc) можно вычислить и по длине любой из сторон, если в условиях приведена величина хотя бы одного угла. Если это угол при основании треугольника (α) а известная длина определяет величину боковой стороны (a), для получения результате перемножьте длину известной стороны и синус известного угла: Hс = a*sin(α). Эта формула вытекает из теоремы синусов.
Если известна длина основания (с) и величина прилегающего к нему угла (α), для вычисления высоты (Hc), половину длины основания умножьте на синус известного угла и разделите на синус разницы между 90° и величиной того же угла: Hс = ½*c*sin(α)/sin(90°-α).
При известных размерах основания (с) и противолежащего ему угла (γ) для вычисления высоты (Hc) умножайте половину длины известной стороны на синус разницы между 90° и половиной известного угла, а результат делите на синус половины того же угла: Hс = ½*c*sin(90°-γ/2)/sin(γ/2). Эта формула, как и две предыдущие, вытекает из теоремы синусов в сочетании с теоремой о сумме углов в треугольнике.
Длину высоты, проведенной к одной из боковых сторон (Ha) можно вычислить, например, зная длину этой стороны (a) и площадь равнобедренного треугольника (S). Чтобы это сделать, найдите удвоенную величину соотношения между площадью и длиной известной стороны: Ha = 2*S/a.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.
В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.
L — высота = биссектриса = медиана
a — одинаковые стороны треугольника
b — основание
α — равные углы при основании
β — угол образованный равными сторонами
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
- Подробности
-
Опубликовано: 07 октября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Высота равнобедренного треугольника, формула
Высота равнобедренного треугольника из теоремы Пифагора, формула
[
h^2+Big(frac{b}{2}Big)^2=a^2 \
h^2=a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2
]
[
h=sqrt{a^2-frac{b^2}{4}}
]
Высота равнобедренного треугольника по формуле Герона, формула
[
h = frac{ 2 sqrt{p(p-a)(p-b)(p-a)}}{b}
]
где
[
p=frac{1}{2}(a+b+a)=a+frac{b}{2}
]
после подстановки коэффициента p в формулу получим
[
h = frac{ 2 sqrt{(a+frac{b}{2})(a+frac{b}{2}-a)(a+frac{b}{2}-b)(a+frac{b}{2}-a)}}{b}
]
[
h = frac{ 2 sqrt{(a+frac{b}{2})(frac{b}{2})(a-frac{b}{2})(frac{b}{2})}}{b}
]
по формулам сокращенного умножения, разность квадратов получим
[
Big(a+frac{b}{2}Big)Big(a-frac{b}{2}Big)=a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2
]
далее вносим под корень 2 и знаменатель b
[
h = sqrt{frac{2^2(a^2-(frac{b}{2})^2)(frac{b}{2})^2}{b^2}}
]
после сокращений получим
[
h=sqrt{a^2-frac{b^2}{4}}
]
Вычислить, найти высоту равнобедренного треугольника по формуле (9)
Высота равнобедренного треугольника |
стр. 232 |
|---|