Как найти длину волны струны - AvtoShod.ru - решение различных проблем

Колебания струны, формула частоты колебаний

В фортепиано, скрипке, гитаре, арфе и других музыкальных инструментах звук возникает в результате колебания струн. Эти колебания могут возбуждаться щипком, смычком, или ударом.

Если:
f — частота колебаний (Гц),
l — длина струны (м),
F — сила натяжения струны (Н),
ρ — плотность материала струны (кг/м³),
S — площадь поперечного сечения струны (м²),
То:

[ f = frac{1}{2l} sqrt{frac{F}{ρS}} ]

Формула определяет частоту основных колебаний струны (основного тона). Кроме того, возможны колебания с более высокими частотами (обертоны). Обертоны влияют на тембр звука, но не меняют частоты воспринимаемого тона.

Вычислить, найти частоту колебания струны по формуле (1)

Колебания струны	стр. 577

Источник

Оборудование:

Струна, закреплённая на станине
Подвес, соединённый со струной (на установке указана его масса)
Набор грузов (на каждом указана масса)
Два электромагнитных датчика
Генератор переменного тока
Осциллограф

Рассмотрим гибкую однородную струну, в которой создано натяжение $T$, и получим дифференциальное уравнение, описывающее её малые поперечные свободные колебания. Пусть сила натяжения существенно превышает вес струны.

Направим ось $x$ вдоль струны в положении равновесия. Форму струны будем описывать функцией $y(x,t)$, определяющей её вертикальное смещение в точке $x$ в момент времени $t$ (см. Рис. 1). Угол наклона касательной к струне в точке $x$ относительно горизонтального направления обозначим как $alpha$. В любой момент этот угол совпадает углом наклона касательной к графику функции $y(x)$, то есть $operatorname{tg} alpha= frac{partial y}{ partial x}$.

Рассмотрим элементарный участок струны, находящийся в точке $x$, имеющий длину $delta x$ и массу $delta m = rho_l delta x$, где $rho_l$ — погонная плотность струны (масса на единицу длины). При отклонении от равновесия на выделенный элемент действуют силы натяжения $T_1$ и $T_2$, направленные по касательной к струне. Их вертикальная составляющая будет стремиться вернуть рассматриваемый участок струны к положению равновесия, придавая элементу некоторое вертикальное ускорение $frac{partial^2 y}{partial t^2}$ . Заметим, что угол $alpha$ зависит от координаты $x$ вдоль струны и различен в точках приложения сил $T_1$ и $T_2$. Таким образом, второй закон Ньютона для вертикального движения элемента струны запишется в следующем виде:
$$
delta m frac{partial^2 y}{partial t^2} = -T_1 sin alpha_1 + T_2 sin alpha_2.
$$

Основываясь на предположении, что отклонения струны от положения равновесия малы, можем сделать ряд упрощений:

Углы наклона $alpha$ малы, поэтому $operatorname{tg} alpha approx alpha$ и, следовательно, можно положить $alpha = frac{partial y}{partial x}$.
Длина участка струны в изогнутом состоянии практически равна длине участка в положении равновесия (несложно показать, что поправка к длине имеет порядок $alpha^2$), поэтому добавочным напряжением вследствие удлинения струны можно пренебречь. Следовательно, силы $T_1$ и $T_2$ по модулю равны силе натяжения струны: $T_1 approx T_2 approx T$.

Разделим обе части уравнения движения на $delta x$ и устремим размер элемента к нулю ($delta x rightarrow 0$). Тогда уравнение движения примет вид:
$$
rho_l frac{partial^2 y}{partial t^2} = frac{T_2 sin alpha_2 — T_1 sin alpha_1}{delta x} approx T frac{alpha_2 — alpha_1}{delta x} rightarrow T frac{partial alpha}{partial x}.
$$
Подставляя $alpha = frac{partial y}{partial x}$, и вводя обозначение $u = sqrt{frac{T}{rho_l}}$, находим окончательно уравнение свободных малых поперечных колебаний струны:
$$
frac{partial^2 y}{partial t^2} = u^2 frac{partial^2 y}{partial x^2}.
$$
Уравнение выше называют волновым уравнением. Кроме волн на струне, оно может описывать волновые процессы в самых разных системах, в том числе волны в сплошных средах (звук), электромагнитные волны и т.д.

Решение волнового уравнения, приведенного выше, представимо в виде суммы двух волн произвольной формы, бегущих в противоположные стороны со скоростями $pm u$:
$$
y(x, t) = y_1(x — ut) + y_2(x + ut),
$$
где $u$ — скорость распространения волны, $y_1$ и $ y_2$ — произвольные функции, вид которых в конкретной задаче определяется из начальных и граничных условий. Особый интерес представляет случай гармонических волн:
$$
y(x,t)=a cos⁡(omega t — k x)+b cos⁡(omega t + k x),
$$
что соответствует суперпозиции двух гармонических волн, бегущих навстречу друг другу со скоростью $u = frac{omega}{k} = nu lambda$. Из формулы выше для скорости волны видно, что она зависит только от силы натяжения струны $T$ и ее погонной плотности $rho_l$.

Собственные колебания струны. Стоячие волны

Найдем вид свободных колебаний струны с закрепленными концами.
Пусть струна закреплена в точках $x = 0$ и $x = L$. Концы струны не колеблются, поэтому $y(0,t) = 0$ и $y(L,t) = 0$ для любых $t$. Используя выражение выше, находим $y(0,t) = a cos ⁡omega t+b cos ⁡omega t = 0$, откуда следует, что $a = — b$. Тогда после тригонометрических преобразований выражение выше примет вид:
$$
y(x,t) = 2 a sin ⁡kx cdot sin omega t.
$$
Колебания струны, описываемые такой функцией, называются стоячими волнами. Видно, что стоячая волна может быть получена как сумма (интерференция) двух гармонических бегущих волн, имеющих равную амплитуду и движущихся навстречу друг другу.
Как видно из уравнения, точки струны, в которых $sin ⁡kx = 0$, в любой момент времени неподвижны. Такие точки называются узлам. Остальные точки совершают в вертикальной плоскости гармонические колебания с частотой $nu =omega / 2 pi = u / lambda$.
Амплитуда колебаний распределена вдоль струны по гармоническому закону: $y_0(x) = 2 a sin ⁡kx$. В точках, где $sin ⁡kx = 1$, амплитуда колебаний максимальна — они называются пучностями.
Используя второе граничное условие $y(L,t) = 0$ (точки крепления струны должны быть узлами стоячей волны), найдём условие образования стоячих волн на струне:
$$
y(x,t) = 2 a sin ⁡kL,
$$
откуда
$$
sin ⁡kL = 0 quad implies quad kL = pi n, n in mathbb{N}.
$$
Таким образом, стоячие волны на струне с закреплёнными концами могут образовываться только если на длине струны укладывается целое число полуволн:
$$
L = frac{lambda_n}{2} n.
$$
Поскольку длина волны однозначно связана с её частотой, струна может колебаться только с определёнными частотами:
$$
nu_n = frac{u}{lambda_n} = frac{n}{2L} sqrt{frac{T}{rho_l}}, n in mathbb{N}.
$$

Набор (спектр) разрешённых частот $nu_n$ называют собственными частотами колебаний струны. Режим колебаний, соответствующий каждой из частот $nu_n$, называется собственной (или нормальной) модой колебаний. Произвольное колебание струны может быть представлено в виде суперпозиции её собственных колебаний. Наименьшая частота $nu_1$ называется также основным тоном (или первой гармоникой), а остальные ($nu_2 = 2 nu_1$, $nu_3 = 3 nu_1$) — обертонами (высшими гармониками). На Рис. 2 показана картина стоячих волн для $n = 1, 2, 3$. Заметим, что число $n$ определяет число пучностей (не узлов!) колеблющейся струны.
Таким образом, спектр собственных частот струны определён её погонной плотностью $rho_l$, силой натяжения $T$ и длиной струны $L$.

Экспериментальная установка

Схема установки приведена на Рис. 3. Стальная гитарная струна 1 закрепляется в горизонтальном положении между двумя стойками с зажимами 2 и 3, расположенными на массивной станине 4. Один конец струны закреплен в зажиме 2 неподвижно. К противоположному концу струны, перекинутому через блок, прикреплена платформа с грузами 5, создающими натяжение струны. Зажим 3 можно передвигать по станине, устанавливая требуемую длину струны. Возбуждение и регистрация колебаний струны осуществляются с помощью электромагнитных датчиков (вибраторов), расположенных на станине под струной. Электромагнитный датчик 6 подключен к звуковому генератору 7 и служит для возбуждения колебаний струны, частота которых измеряется с помощью частотомера 10 (в некоторых установках частотомер встроен в генератор). Колебания струны регистрируются с помощью электромагнитного датчика 8, сигнал с которого передается на вход осциллографа 9. Разъёмы, через которые датчики с помощью кабелей соединяются с генератором и осциллографом, расположены на корпусе станины.

Участок струны, расположенный над электромагнитом, совершает колебательное движение в вертикальной плоскости с частотой задающего генератора. Колебания далее передаются по всей струне и, если частота колебаний совпадает с одной из собственных частот струны, на струне устанавливается стоячая волна. Колеблющаяся струна возбуждает в регистрирующей катушке переменную ЭДС с амплитудой, пропорциональной амплитуде колебаний струны. Сигнал ЭДС измеряется с помощью осциллографа.
Магнитное поле наиболее однородно по координате в центральной части электромагнита, поэтому датчики должны быть повернуты так, чтобы струна располагалась в центральной части перпендикулярно к полюсам магнита. Возбуждающий датчик следует расположить вблизи неподвижного конца струны (ближе к узлу), а регистрирующий — в пучности.

А1

^0.50

Для силы натяжения, соответствующей полной массе груза, крепежа и платформы в $m = 1 кг$, для диаметра струны $d approx 0.3 мм$, длины струны $L = 50 см$, и зная табличное значение плотности стали $7.8 г/см^3$, рассчитайте частоту основной гармоники $nu_1^{th}$ и запишите это значение в лист ответов.

^1.00

Установите на платформу груз такой массы, чтобы полная масса груза, крепежа и платформы составила $1 кг$, а длина зажатой части струны была равна $L = 50 см$. Возбуждающий датчик установите вблизи узла стоячей волны. Подайте синусоидальный сигнал на возбуждающий датчик. Добейтесь возбуждения стоячей волны на частоте вблизи найденной в пункте $A1$. Запишите полученное значение частоты $nu_1$.

^0.50

Экспериментально определите значения частот $nu_n$ стоячих волн, которые удается наблюдать на высоких гармониках.

^3.50

Проведите дополнительные измерения пунктов $A2-A3$ для $6$ других различных значений силы натяжения струны. Максимальная нагрузка не должна превышать $3.5 кг$.

^0.70

Постройте на одном графике графики зависимости частоты $nu_n$ от номера гармоники $n$ при различных натяжениях $T$.

^0.70

Определите скорости волн $u$, бегущих по струне. Оцените погрешности $u$.

^1.10

Постройте график зависимости квадрата скорости $u^2$ от силы натяжения $T$. Определите погонную плотность струны $rho_l$ и оцените погрешность результата. Сравните полученное значение $rho_l$ со значением, указанным на установке.

^2.00

Сняв амплитудно-частотную характеристику для струны в состоянии из пункта $A2$ вблизи частоты основной гармоники, оцените добротность $Q$ струны как колебательной системы.

Инструкция по работе с осциллографом

Экран осциллографа (Рис. 4)

POWER (выключатель сетевого питания) — при включении выключателя загорается индикатор под кнопкой « POWER».

INTEN (яркость) — регулировка яркости изображения.

FOCUS (фокус) — регулировка фокуса изображения.

TRACE ROTATION (поворот) — регулировка угла наклона линии развертки изображения относительно линий шкалы экрана.

Органы управления развёрткой, расположенные в блоке «HORIZONTAL» передней панели осциллографа (Рис. 5)

TIME/DIV — устанавливает коэффициент развёртки от 0,2 μc/дел (микросекунд на деление) до 0,5 с/дел (секунд на деление) 20 ступенями. При переводе в положение X–Y (крайнее левое) обеспечивается наблюдение фигур Лиссажу.

SWP.VAR (развертка плавно) — обеспечивает плавную регулировку коэффициента развёртки с перекрытием 2,5 раза в каждом положении переключателя время/дел. Обратите внимание! При измерении промежутков времени по расстоянию на экране осциллографа эта ручка должна находиться в крайнем правом положении (риска CAL).

POSITION (положение) — перемещает изображение по горизонтали.

$times 10$ MAG (увеличение в 10 раз) — при нажатой кнопке скорость развёртки увеличивается в 10 раз.

Органы управления тракта вертикального отклонения (VERTICAL)

CH 1(X) (канал 1) — вход канала 1. В режиме X–Y — входной канал X-оси.

CH 2(Y) (канал 2) — вход канала 2. В режиме X–Y — входной канал Y-оси.

AC–DC–GND — переключатели режима входов усилителя:

DC — открытый вход (на вход усилителя пропускается весь сигнал, включая постоянную составляющую);

AC — закрытый вход (на вход пропускается только переменная составляющая сигнала, то есть последовательно с источником сигнала и осциллографом включается конденсатор емкостью 1 мкФ);

GND — вход усилителя отключается от источника сигнала и заземляется.

POSITION (положение) — регулировка положения лучей обоих каналов по вертикали.

ALT/CHOP — при нажатии на кнопку коммутатор принудительно переключается в режим «попеременный». Происходит одновременная прорисовка обоих каналов – эффект двухлучевого осциллографа. Когда кнопка отжата в двухканальном режиме, режим работы коммутатора выбирается автоматически, исходя из положения ручки время/дел.

INV CH 2 (инвертирование в канале 2) — инвертирование сигнала в канале 2.

VOLTS/DIV (вольт/дел) — дискретные переключатели, устанавливающие коэффициенты отклонения каналов от 5 мВ/дел до 5 В/дел в 10 диапазонах. В середине 12 — ручка плавного изменения коэффициентов отклонения каналов с перекрытием не менее, чем в 2.5 раза в каждом положении переключателей В/дел. Когда ручка вытянута (режим $times 5$), происходит увеличение размера изображения (чувствительности усилителя) в 5 раз. Для измерения амплитуд ручка должна находиться в крайнем левом положении.

Переключателями VERTICAL–MODE устанавливается режим работы для наблюдения двух сигналов одновременно или по очереди:

CH1 — на экране наблюдается сигнал канала 1.

CH2 — на экране наблюдается сигнал канала 2.

DUAL — на экране наблюдаются изображения сигналов обоих каналов.

ADD — на экране наблюдается алгебраическая сумма или разность (при нажатии кнопки CH 2 INV) сигналов каналов 1 и 2.

Органы управления синхронизации (TRIGGER)

TRIG.ALT — при нажатии развертка поочередно синхронизируется сигналом с 1-го и 2-го каналов. В результате на экране осциллографа появляется устойчивая картина 1-го и 2-го каналов.

TRIGGER MODE — выбор режима работы запуска развертки:

AUTO — автоматический режим запуска развертки; используется, если нет сигнала синхронизации, или его частота меньше 25 Гц;

NORM — ждущий режим: развертка запускается только при наличии входного сигнала;

TV-V — синхронизация по вертикали (по кадрам, в работе не используется);

ТV-H — синхронизация по горизонтали (по строкам, в работе не используется).

SOURCE (источник) — выбирает режим внутренней и (или) внешней синхронизации:

CH1 (канал 1) (X–Y) — развертка синхронизируется сигналом с первого канала.

CH2 (канал 2) — развертка синхронизируется сигналом со второго канала.

LINE (сеть) — развёртка синхронизируется от питающей сети переменного напряжения.

EXT (внешний) — развёртка синхронизируется внешним сигналом.

LEVEL (уровень) — выбирает уровень исследуемого сигнала, при котором происходит запуск развёртки.

SLOPE (полярность) — переключатель полярности синхронизирующего сигнала:

«+»: развёртки синхронизируются положительным перепадом исследуемого сигнала;
«–»: развёртки синхронизируются отрицательным перепадом исследуемого сигнала.

Источник

Цель работы:

Изучение колебательного движения
струны. Исследование зависимости частоты
колебаний струны от силы натяжения,
длины и линейной плотности материала
струны.

Оборудование:

Установка, включающая в себя устройство
для натяжения струны с динамометром,
измерительную линейку с подвижными
порожками, электрическую лампочку с
держателем, фотоэлемент, низкочастотный
усилитель, осциллограф и универсальный
счетчик; резиновый молоток; набор струн.

Продолжительность работы – 4 часа.

Теоретическая часть.

1. Упругие волны

Упругой волнойназывается процесс
распространения возмущения в упругой
среде, сопровождающийся переносом
энергии. Особую роль в теории волн играютгармонические волны, в которых
изменение состояния среды происходит
по закону синуса или косинуса.

Волновой поверхностьюназывается
геометрическое место точек, колеблющихся
в одинаковой фазе. Вплоской волневолновые поверхности представляют
собой множество параллельных друг другу
плоскостей.

Рассмотрим гармоническую плоскую волну,
распространяющуюся вдоль оси x.
Введём обозначение:– отклонение от положения равновесия
точки среды с координатойxв момент времениt.
На Рис.1 показан график функциидля некоторого фиксированного моментаt.

Рис.1 – Вид функции
для фиксированного моментаt.

Длиной волны λназывается расстояние, на которое
распространяется волна за время, равное
периоду колебаний:

где V– скорость распространения волны, аT– период колебаний. Как видно на Рис.1,
длину волны можно также определить как
расстояние между ближайшими точками
среды, колеблющимися с разностью фаз
2π. Учитывая
соотношение между периодом и частотой,
получим:

(1)

Пусть источник колебаний, находящийся
в точке x=0
колеблется по закону,
гдеa– амплитуда смещения;ω– циклическая частота. Тогда колебания
в точке с координатойxбудут запаздывать на время,
необходимое для прохождения волны от
источника до данной точки:

Учитывая соотношение (1), получим:

Величина
называетсяволновым числом. С учетом
этого обозначения:

(2)

Это выражение называется уравнением
плоской волны. Если волна распространяется
в направлении отрицательных значений
осиx,
то её уравнение примет вид:

(3)

Уравнение любой волны является решением
дифференциального уравнения, называемого
волновым уравнением. Для плоской
гармонической волны, распространяющейся
вдоль осиx,
волновое уравнение имеет вид:

(4)

В справедливости этого утверждения
легко убедиться путём простой подстановки
в волновое уравнение (4) уравнения плоской
волны (2).

2. Стоячие волны

Стоячей волнойназывается колебательный
процесс, возникающий в результате
наложения двух встречных плоских волн
с одинаковой частотой и амплитудой.

Пользуясь этим определением, выведем
уравнение стоячей волны. Уравнения двух
плоских волн, распространяющихся вдоль
оси x
в противоположных направлениях:

При наложении этих волн возникает
колебательный процесс:

Преобразовав это выражение по формуле
для суммы косинусов, получим:

(5)

Это и есть уравнение стоячей волны.
Сомножительописывает гармонические колебания.
Однако, как видно из формулы (5), амплитуда
этих колебаний зависит от координатыxпо закону.
На Рис.2 (а) приведен вид функциистоячей волны для нескольких фиксированных
последовательных моментов времениt.
На Рис.2 (б) также показан вид аналогичной
функции для обычной бегущей волны.
Сравнив эти рисунки, можно заключить,
что стоячая волна представляет собой
особый вид колебательного движения и,
несмотря на название, в строгом смысле
слова волной не является, так как стоячая
волна не переносит энергию в пространстве.

Рис. 2 – Вид функции
стоячей (а) и бегущей (б) волн для нескольких
фиксированных последовательных моментов
времениt.

Точки, в которых амплитуда колебаний
стоячей волны обращается в ноль,
называются узлами. В узлах точки
среды колебаний не совершают (см. Рис. 2,
а). Координаты узлов должны удовлетворять
условию:

(6)

Точки, в которых амплитуда колебаний
максимальна (см. Рис. 2, а) называются
пучностями. Соответственно, координаты
пучностей удовлетворяют условию:

(7)

3. Колебания
струны как пример стоячей волны

На практике стоячие волны возникают
при отражении волн от преград: падающая
на преграду волна и бегущая ей навстречу
отражённая волна, налагаясь друг на
друга, дают стоячую волну.

Ещё одним примером стоячих волн являются
колебания закреплённой с обоих концов
натянутой струны. Концы струны колебаться
не могут, а значит, в этих точках стоячая
волна должна иметь узлы. Следовательно,
возбуждаться могут только такие
колебания, длина волны которых позволяет
реализовать это условие. Другими словами,
половина длины волны должна укладываться
на длине струны целое число раз, как это
показано на Рис. 3. Пронумеруем эти
колебания, начиная с самой большой длины
волны, и запишем соотношение между
длиной струны и длиной волны колебания
с номером n(см. Рис. 3). В общем виде это соотношение
имеет вид:

или(8)

Длинам волн (8) соответствуют частоты:

где V–фазовая скоростьволны – скорость,
с которой колебания распространяются
вдоль струны. Эти частоты называютсобственными частотами. Гармонические
колебания с собственными частотами
– этособственные (нормальные)
колебания или гармоники. Частотаν,
соответствующаяn=1
называется основной частотой:

(9)

Рис. 3 – Собственные колебания струны

Фазовая скорость волны постоянна во
времени и определяется плотностью ρматериала струны и силой её натяженияF
(см. Приложение):

(10)

Подставим в выражение для основной
частоты (9):

(11)

Экспериментальная проверка этого
соотношения и является основным
содержанием данной лабораторной работы.

Соседние файлы в папке LP(roomB)

Источник

Джо Вулфи / Joe Wolfe (Австралия)
Перевод статьи публикуется с разрешения автора, оригинал размещен по адресу: http://www.phys.unsw.edu.au/jw/strings.html

Чтобы вызвать звук необходимо произвести колебания. Чтобы получить музыкальный звук необходимо, чтобы колебания имели постоянную частоту, т.е. стабильную высотность, которой исполнитель мог бы легко управлять. В электроинструментах стабильные и управляемые колебания получают с помощью электроники, у неэлектрических — за счет стоячих волн. Мы будем рассматривать колебания на примере струн, поскольку здесь они более наглядны, чем колебания воздуха в духовых инструментах, и менее сложны по сравнению с колебаниями дощечек и кожи ударных инструментов.

Натянутые струны скрипки, фортепиано и т.д. колеблются столь быстро, что разглядеть что-либо невозможно. Однако, можно провести несколько любопытных экспериментов, позволяющих понять работу струн с помощью нескольких метров гибкого резинового шланга. Садовый поливной шланг для этого недостаточно гибок, лучше всего взять резиновый шланг или длинную бельевую веревку. Привяжите или прижмите один конец шланга, а другой слегка натяните одной рукой (сильно натягивать не нужно, небольшой прогиб не страшен). Теперь другой рукой оттяните шланг в сторону, чтобы образовался выступ, и, отпустив его, вы увидите в замедленном темпе то, что происходит при щипке струны. Можно наблюдать, как выступ пробежит вдоль «струны» и вернется обратно. При возврате он толкнет Вашу руку, но если Вы держите «струну» крепко, произойдет новое отражение.

Первое, что Вы должны заметить, это то, что скорость движения волны по струне возрастает с увеличением ее натяжения. Это свойство используется при настройке инструментов, но сейчас мы не будем на этом останавливаться. Скорость движения волны зависит и от «веса» струны — в более толстой, тяжелой струне (при равной длине и натяжении) она будет медленнее, чем в легкой.

Теперь остановимся на отражении, которое происходит на закрепленном конце. Заметьте, что если оттягивать струну влево, то выступ побежит с левой стороны, но при возврате будет расположен справа — при отражении происходит инвертирование. Этот эффект наблюдается не только в струнах, но и в духовых и ударных. Волна инвертируется в момент, когда сталкивается с какой-либо неподвижной или трудно преодолимой преградой.

Несмотря на то, что струны музыкального инструмента закреплены с обоих концов, наблюдаемые процессы при щипке струны в них будут аналогичными. Сперва струна оттягивается в некой точке, а затем отпускается, как показано на рисунке. Если приглядеться, можно различить форму, которую образует бегущий выступ (показано тонкой линией на рисунках ниже), движущийся вдоль струны в обоих направлениях. Для наблюдений лучше использовать басовые струны, оттягивая их в нескольких миллиметрах от точки крепления. Фигура, образованная бегущим выступом, видна лучше, чем сама струна, потому что точку покоя, в которой происходит смена направлений, выступ проходит мгновенно, а к краям его движение замедляется.

Схема движения выступа, образованного при щипке струны. Жирной линией показана сама струна, тонкой — фигура, образованная движением выступа. В фазах, отмеченных буквами (d) и (j), струна представляет прямую линию. В эти моменты потенциальная энергия ее колебаний исчерпана, а кинетическая энергия максимальна. Заметим, что в момент отражения положение выступа меняется на 180 градусов с верхнего на нижний или наоборот. Обратите внимание на проход выступов одного «сквозь» другой в момент, когда они встречаются посередине.

Схема, показывающая отражение движущихся выступов, при возбуждении струны смычком.

Отчего при отражении происходит инвертирование? Поскольку струна закреплена на неподвижном объекте, то и точка отражения является неподвижной. Теперь посмотрите на движение струны на левых рисунках, отражающих ее положение в разное время. Видно как часть струны позади выступа возвращается к своему первоначальному состоянию (на рисунках — вниз). Чем ближе выступ к концу струны, тем он становится меньше, и при его достижении он исчезает — в этот момент струна становится прямой. Однако движение струны вниз не прекращается, и, пройдя точку покоя, она образует обратный выступ, который начинает движение в обратном направлении.

Если раскачивать вверх-вниз незакрепленный конец струны, можно наблюдать один интересный эффект. С помощью резинового шланга можно проделать этот опыт самостоятельно. Если такой возможности у Вас нет, то взгляните на представленную ниже диаграмму.

Мы опять видим инвертирование отраженной волны, из-за чего после отражения мы получаем уже две волны (с одинаковой частотой и амплитудой), которые движутся в противоположных направлениях. В точке крепления струны, где они складываются, движение прекращается, т.е. имеет место нулевое перемещение, благодаря которому и возникает инвертированное отражение. Но если вы посмотрите на сплошную линию на диаграмме (представляющую собой результат суммирования двух волн), то увидите, что на струне есть и другие неподвижные точки. Эти равноудаленные друг от друга точки, играющие важнейшую роль в функционировании любого музыкального инструмента, называются «узлами» (node) вибрации. Посередине между узлами располагаются «пучности» (antinode) — зоны максимального движения. Обратите внимание, что эти выступающие зоны не движутся по струне. При сложении двух волн, бегущих в противоположных направлениях, образуется стоячая волна.

Две движущиеся волны при слиянии образуют стоячие волны.

Посмотрите на рисунок, который представляет последовательность фаз движения волн во времени (время течет сверху вниз). Синяя волна движется вправо, зеленая влево, красная волна является суммирующей и показывает, что происходит при столкновении двух волн (по научной терминологии — при наложении). Отмечены положения (узлы/nodes) в которых обе движущиеся волны нейтрализуют друг друга и другие зоны (пучности/antinodes), в которых происходит сложение волн, и колебания обладают максимальной амплитудой. Можно сказать, что приведенная выше диаграмма представляет колебание 5-й гармоники струны, длина которой равна ширине диаграммы. Здесь мы коснулись темы, которая будет освещена в следующей главе.

Гармоники и моды (типы) колебаний

На музыкальном инструменте струна закреплена с обоих концов, которые ограничивают возможные колебания и на которых во время колебаний расположены узлы. Струна, имеющая длину L, образует стоячую волну, длина которой равна удвоенной длине струны (длина волны = 2L), что демонстрируется на первом из рисунков следующей серии. При этом узлы расположены на концах струны, а пучность посередине между ними. Это одна из мод («мода» — тип колебаний струны). Какие еще моды встречаются на струне, закрепленной с обоих концов? Ниже приводятся примеры таких стоячих волн.

Рисунки демонстрируют первые четыре моды колебаний идеальной* закрепленной струны (увеличено по вертикали).

В каком соотношении находятся моды колебаний? Частота колебаний волны равна отношению ее скорости к длине: f=v/длина волны. Таким образом, для струны длиной L, длины волн составят 2L, L, 2L/3, L/2, что можно записать так 2L/n, где n — номер гармоники.

Базовая частота или 1-я мода имеет частоту f1= v/длина волны = v/2L
Частота 2-й гармоники f2= v/l2 = 2v/2L = 2f1
Частота 3-й гармоники f3= v/l3 = 3v/2L = 3f1
Частота 4-й гармоники f4= v/l4 = 4v/2L = 4f1 …

fn= v/ln = nv/2L = nf1

Все волны движутся по струне с одинаковой скоростью, поэтому волны с различными длинами имеют разные частоты, как показано на рисунках. Мода самой нижней частоты (f1) называется базовой. Частота n-ной моды будет в n раз больше базовой. Все эти моды (как и звуки, которые они образуют) называются гармониками струны. Частоты f, 2f, 3f, 4f и т.д. называется последовательностью гармоник. Музыканты хорошо знакомы с этими последовательностями, особенно те, кто играют на натуральных горнах или знакомы с флажолетами. Если для примера мы возьмем базовую частоту соответствующую ноте С3, т.е. альтовой До (частота = 131Гц), то ее гармоники будут иметь высотности, показанные на следующем рисунке. Высотность нот дана в приближении до четверти тона. При этом октавы являются чистыми, а вот другие интервалы не совсем соответствуют равномерно темперированному строю.

Нотное написание первых 12-ти гармоник (флажолетов) на примере ноты До. При прослушивании звукового файла (записанного в форматах au и wav) обратите внимание на высотность звуков.

Седьмая и одиннадцатая гармоники приходятся почти посередине между нотами равномерно темперированного строя, поэтому обозначены с половинками диезов.

Вы сами можете получить эти звуки на струнах. Проще это сделать на басовых струнах гитары, виолончели или контрабаса*. Для этого коснитесь слегка струны в точке, которая отстоит на длину =1/n от ее конца (где n = 1,2,3 и т.д.), а затем проведите смычком. Или слегка коснитесь струны в точке, которая приходится на длину =1/n от ее конца, ударьте по струне недалеко от подставки и мгновенно отдерните прижатый палец. Благодаря касанию, в точке произойдет образование узла, который образует моду, имеющую узел в данной точке. Вы легко сможете найти на струне от двух до шести флажолетов (если Вы только что проделали этот эксперимент, то, наверное, обратили внимание, на то, что двенадцатый лад, отвечающий за получение октавы, расположен менее, чем на половине длины струны, поэтому то место, где Вы касались струны для получения 2-й гармоники, находится не совсем точно над этим ладом).

* «Идеальной» я называю струну, которая, обладая абсолютной гибкостью, позволяет оттягивать ее без усилий в любом месте. Но поскольку реальные струны обладают жесткостью, их рабочая длина (которую мы обозначали в формулах буквой L) немного меньше физической длины, и это одна из причин, почему на басовых струнах применяется обмотка, а голая струна G (соль) классической гитары плохо строит в верхних позициях.

Упражнение для гитаристов

На настроенной гитаре струна В(си) и верхняя Е(ми) настроены примерно на 3-ю и 4-ю гармоники нижней струны Е(ми). Если взять на щипок басовую струну Е(ми) в любой точке кроме ее 1/3, струна В(си) начнет колебаться, возбуждаясь через колебания подставки от гармоники 1-й струны. Если взять на щипок басовую струну Е(ми) в любой точке кроме ее 1/4, отзовется верхняя струна Е(ми). Гитаристы обычно начинают настройку следующим образом: настраивают в унисон 4-ю гармонику басовой Е(ми), 3-ю у струны А(ля) и верхнюю струну Е(ми), затем струну В(си) строят по 3-й гармонике верхней Е(ми), а затем по 4-й гармонике А(ля) 3-ю гармонику струны D(ре). Настроить струну G(соль) по гармоникам не получится, в связи с невозможностью получения верхних гармоник, что связано с физическими параметрами толщины и жесткости самой струны, поэтому ее настраивают октавами, используя лады. По некоторым причинам (о которых будет сказано в конце главы), данный метод настройки достаточно приблизителен и требует дальнейшей подстройки при помощи ладов. Самой точной настройкой все-таки является компромиссная, которая осуществляется по аккордам, которые исполнитель собирается брать на грифе инструмента.

Гармоники (флажолеты) в музыке

Композиторы часто применяют гармоники/флажолеты на струнных инструментах, при этом наиболее часто используют «четвертую касательную». Одним пальцем музыкант зажимает струну, получая ноту за счет отрезка определенной длины, а другим легко касается струны там, где располагается нота на 4 тона выше (отсюда и название). Данная точка лежит на четверти длины отрезка струны, поэтому образуется 4-я гармоника базовой частоты в четыре раза больше базовой, т.е. получается интервал в две октавы. Струнные гармоники/флажолеты называются «натуральными» если они образованы от открытых струн и «искусственными» если струна прижимается. Ниже на рисунке показано, как берется натуральный флажолет. Для наглядности рисунок вытянут по вертикали.

Прослушайте фрагмент. Сначала звучит открытая струна А(ля), затем ее четвертая касательная (4-я гармоника).

Так обозначается на нотном стане «четвертая касательная» на скрипичной струне А(ля)

Немного технической информации для струнников

Несмотря на то, что «четвертая касательная» наиболее часто встречающийся флажолет, это не вполне удачный пример, поскольку получить четвертую гармонику гораздо проще, нежели «две четверки». Как известно, касание струны на отрезке 1/n (где n — целое число) дает n-ую гармонику, и для низких гармоник правило соблюдается, но для высших гармоник особое значение играет толщина струны, и здесь формула перестает работать. Таким образом, гармоники выше 8-й практически не берутся.

Если взять на струне подряд пять полутонов, то мы получим точку, соответствующую 1/3 длины струны, то есть «пятая касательная» даст нам третью гармонику. Гармоники расположены в следующем порядке:

интервал на грифе	часть струны	номер гармоники	интервал от базовой ноты
октава	1/2	2	октава
квинта	1/3	3	октава + квинта (дуодецима)
кварта	1/4	4	две октавы
большая терция	1/5	5	2 октавы + б. терция
малая терция	1/6	6	2 октавы + квинта
ув. кварта	2/7	7	2 октавы + м. секста повышенная
малая секста	3/8	8	3 октавы
большая секунда	1/9	9	3 октавы + б. секунда

Положения нот звукоряда соответствуют чистому строю. Касание струны на 2/9 ее длины предпочтительней, чем на 1/9, хотя данная точка расположена не над нотой гаммы, а немного выше малой терции. Буду рад, если альтисты или виолончелисты исполняющие «Практикующая бесконечность» Радулески (Radulescu’s «Practicing Infinity») пришлют мне свои предложения о способах исполнения высоких флажолетов.

Несовершенство настройки по гармоникам (флажолетам)

Есть несколько проблем при настройке любой гитары, в том числе при использовании флажолетов, о чем говорилось выше. Приблизительность настройки инструмента очевидно связана с равномерной темперацией. Даже если бы струны были идеальны, а положение ладов на грифе идеально отвечало равномерной темперации, при настройке по четвертой гармонике струн E-A (ми-ля), и A-D (ля-ре), октава между открытой нижней E(ми) и нотой ми на 2-м ладу струны D(ре) отклонялась бы приблизительно на 4 цента ((4/3)222/12=1.996), что приводило бы к появлению одного интерференционного биения в несколько секунд.

Другая проблема заключается в том, что в зоне верхнего порожка и подставки струны не могут обеспечить абсолютную гибкость (что было отмечено выше). В результате 1-й обертон на струне всегда будет чуть выше октавы, второй выше чем дуодецима (октава + квинта), и так далее. Так настройка в унисон 4-ой «гармоники» струны Е(ми) и 3-ей гармоники струны А(ля) при сравнении открытых струн даст интервал несколько больший, чем кварта, отчего приходится исправлять настройку, чтобы иметь равномерную темперацию.

Еще один отрицательный момент относится к расположению ладов и подставки. При прижиме струны на двенадцатом ладу увеличивается и ее длина (это уже не самое короткое расстояние между верхним порожком и подставкой), и ее натяжение. Вследствие этого, а также из-за выгиба конца струны, будь 12-й лад точно посередине между верхним порожком и подставкой, мы бы имели интервал больше октавы. Поэтому расстояние от подставки до 12-ого лада делают несколько большим, чем до верхнего порожка. Необходимо отметить, что в зависимости от вида струн эффект может быть различен. На электрогитарах есть возможность регулировать положение каждой подставки струны, на некоторых гитарах подставку поворачивают под углом, а в случае с классической гитарой прямая подставка ведет к определенному компромиссу в настройке.

Вышеописанные моменты сложно отследить с большой точностью, поскольку при анализе звука струны, возбуждаемой щипком, неточности составляют лишь несколько центов, что не намного больше разрешающей способности слуха или приборов настройки. Настройка колками также не позволяет достичь точности менее двух центов. С другой стороны, если Вам удастся интонировать мелодию с точностью в пределах двух центов, это будет большая удача — большинству музыкантов такое не по силам!

Определенная часть проблем настройки касается старения струн. Там, где Вы касаетесь их пальцами левой руки, они вбирают в себя пот и становятся более тяжелыми (хотя может иметь место и износ материала в местах, которые трутся об лады). Струны также изнашиваются под пальцами правой руки. Неоднородность струн ведет к невозможности их точной настройки. Мойка струн может помочь лишь отчасти.

Конечно, на безладовом инструменте большинство этих проблем можно обойти, но аккордная техника при этом сильно страдает.

На рисунке показаны гармоники открытой струны СОЛЬ контрабаса или виолончели. (Ноты для контрабаса записываются октавой выше его звучания.) Над нотами указаны номера гармоник, а под ними записаны приблизительные частоты в Герцах, причем для наглядности сделано округление чисел. Данный пример демонстрирует закон изменения высотности гармоник, и, хотя реальные частоты составляют пропорционально несколько меньшие значения, динамика возрастания частот от значения в 100Гц отражена абсолютно точно. (Приведенные значения частоты ноты СОЛЬ и ее гармоник могли бы иметь место при камертоне Ля=449Гц. Примечание переводчика).

Перепечатка статьи возможна только с согласия автора Джо Вулфи J.Wolfe()unsw.edu.au, а также фирмы ГОСПОДИН МУЗЫКАНТ®, осуществлявшей ее перевод.

Источник

Колебания струны, формула частоты колебаний

Вычислить, найти частоту колебания струны по формуле (1)

Колебания струны

Теоретическая часть.

Гармоники и моды (типы) колебаний

Упражнение для гитаристов

Гармоники (флажолеты) в музыке

Немного технической информации для струнников

Несовершенство настройки по гармоникам (флажолетам)

Не пропустите также: