Как найти длину синусоиды

линии нарисованной чем? пикселями? карандашом? какой такой линии? что ты несешь?

ехал сёдня на велике у которого спидометр и линейка сбилась обнаружил что он намерил 2.5 круг как 4.

это если считать что я ехал по прямому кругу . а если я ехал по синусоиде по кругу . при какой ширине трека(и возможной амплетуде) и частоте колебание колеса вокруг средней линии по синусоиде спидометр может быть исправным?

пусть масштаб x1 y1

есть синусоида от 0 до 2pi

в каком отношении длина участка синусоиды( образованой y=sin(x) ) от 0 до 2pi к отрезку абцисы от 0 до 2pi

её развёртка при равномерном прокрутке ленты когда карандаш движется по окружности равномерно.

Можно дать оценку 7.6400

Deleted

(03.09.13 18:56:07 MSK)

примерно 7.64

считается элементарно: длина участка кривой f(x) при приращении dx равен по теореме Пифагора sqrt(dx^2+f'(x)^2dx^2) = sqrt(1+f'(x)^2)dx. теперь интегрируй данное выражение от 0 до 2pi.

получится int(sqrt(1+cos(x)^2),x=0..2*Pi);

И да, интеграл неберущийся.

не единичная, а с диаметром pi

jcd ★★★★★

(03.09.13 19:00:41 MSK)

т.е такая элементарная задача не по зубам школьному году когда знакомят с синусоидой/косинусоидой (5-6 класс) и основным уравнением s**2+c**2=1

????

это единичная окружность, не?

Лол. А ничего, что период 2pi, минимум -1, максимум 1.

Sadler ★★★

(03.09.13 19:07:20 MSK)

а если я ехал по синусоиде по кругу
спидометр может быть исправным

но тебя посадят не за превышение, а за пьянство!

т.е такая элементарная задача не по зубам школьному году когда знакомят с синусоидой/косинусоидой (5-6 класс) и основным уравнением s**2+c**2=1

не по зубам совершенно. это матан первого курса инженеров.

Если дать википедию, то по зубам: ищем график синуса, затем эллипс, затем периметр эллипса.

Sadler ★★★

(03.09.13 19:12:38 MSK)

ехал сёдня на велике у которого спидометр и линейка сбилась обнаружил что он намерил 2.5 круг как 4.
это если считать что я ехал по прямому кругу . а если я ехал по синусоиде по кругу . при какой ширине трека(и возможной амплетуде) и частоте колебание колеса вокруг средней линии по синусоиде спидометр может быть исправным?

циклическая частота будет равна ~1.85. А значит обычная 0.29Гц.

//fix короче, ты двигался по синусоиде sin(1.85 x). А какая это частота — сами разбирайтесь

Если дать википедию, то по зубам: ищем график синуса, затем эллипс, затем периметр эллипса.

агащаз. Чтобы посчитать интеграл надо хотя бы какой-нить CAS уметь пользоваться. Ну или современным калькулятором.

Не надо считать интеграл, надо найти приближенную формулу. Очевидно же, что там не эллипс, но примерно, с погрешностью, можно считать, что это эллипс и, опять же, с погрешностью, юзать приблизительную формулу периметра эллипса.

На самом деле там вот такая штука.

Sadler ★★★

(03.09.13 19:19:06 MSK)

я к тому , что когда придумываеш задачку из «реальной жизни» оказывается что школьных трюков не всегда достаточно.

т.е неберущийся т.е длина синуса не элементарная функция??? хм.

а может как нить школьным курсом можно обойтись для получения аналитически ответа?

Не надо считать интеграл, надо найти приближенную формулу. Очевидно же, что там не эллипс, но примерно, с погрешностью, можно считать, что это эллипс и, опять же, с погрешностью, юзать приблизительную формулу периметра эллипса.

если уж считать руками этот интеграл, то с помощью ряда Тейлора. А-то вы еще «яйцами» измерять начнете.

это график длины(алгебраической т.е отрицательные значения вычитаются) графика синуса от нуля до x?

хм тока ведь длина то монотонно растёт так что график должне тоже «неубывать»

а может как нить школьным курсом можно обойтись для получения аналитически ответа?

аналитический ответ получить нельзя. Интеграл этот неберущийся не в смысле для школьников неберущийся, а в смысле, что вообще неберущийся. Его можно считать только приближенно.

школьным курсом тут, увы — не обойтись. Хотя бы потому, что даже если ты посчитаешь каким-то раком длину линии sin(x) (например ниткой померяешь), то потом же тебе все равно надо решить задачу по нахождению такого параметра k в sin(kx), чтобы int(sqrt(1+k^2*cos(x)^2),0..2*pi) был равен нужному числу.

А это уже численные методы, ряды Тейлора и другой матан.

это график длины(алгебраической т.е отрицательные значения вычитаются) графика синуса от нуля до x?

Это я разрезал полный период синусоиды на две половины и одну сместил влево на pi, чтобы получилось подобие эллипса. Затем посчитал по формуле для эллипса с погрешностью в пару процентов =) Чит, да.

Sadler ★★★

(03.09.13 19:25:24 MSK)

ну если приближённо , как её оценить?

А вот задача оценки погрешности уже не для школьника. Здесь без интегралов будет сложно. Так что только на глазок.

Sadler ★★★

(03.09.13 19:26:36 MSK)

Последнее исправление: Sadler 03.09.13 19:30:50 MSK
(всего

исправлений: 2)

оказывается что школьных трюков не всегда достаточно

Программировать учат в 5 или в каком там классе. На бейсике посчитать примерную длину этой линии несложно.

PolarFox ★★★★★

(03.09.13 19:28:56 MSK)

Программировать учат в 5 или в каком там классе. На бейсике посчитать примерную длину этой линии несложно.

прочти собственную задачу в начале треда. Подсчет интеграла — это далеко не самое сложное там.

s = 0.0
x0 = 0.0
y0 = 0.0
FOR x1 = 0 to PI*2 STEP 0.01
    y1 = SIN(x1)
    s = s + SQRT((x0 - x1)^2 + (y0 - y1)^2)
    x0 = x1
    y0 = y1
NEXT
PRINT s

PolarFox ★★★★★

(03.09.13 19:33:42 MSK)

Это где про велосипед и пьяного велосипедиста? Там два параметра (амплитуда и частота), тут уже с BASIC будет трудно.

Так что берём VisualBasic, пишем весьма похожую программу и двигаем два слайдера, пока 2.5 не превратится в 4.

PolarFox ★★★★★

(03.09.13 19:36:58 MSK)

ах да, натупил: 1.85sin(x) надо. или sin(1.89x) например.

я затупил

Подумал, что это такая шутка.

i-rinat ★★★★★

(03.09.13 19:37:12 MSK)

Так что берём VisualBasic, пишем весьма похожую программу и двигаем два слайдера, пока 2.5 не превратится в 4.

не отличается от измерения нитками

лучше взять octave и сделать одну команду:

octave:29> fzero(@(k) quad(@(x) sqrt(1+k^2*cos(k*x)^2),0,2*pi)/2/pi-1.6,1)
ans =  1.8926
octave:30> 

я понял что функция длины синусы не имеет аналитической записи подобно интегралу exp(x**2).

но может для полного периода из каких других соображений можно получить ?

т.е у нас же начальная задаче не получить функцию по которой для любого момента знать путь .

а всеголиш получить длину полного периода(ну или четверти /половины) ?

sqrt(1+k^2*cos(k*x)^2),0,2*pi)/2/pi-4/2.5,1)/2/pi

Если не вглядываться, похоже на программу на Malbolge.

PolarFox ★★★★★

(03.09.13 19:43:40 MSK)

но может для полного периода из каких других соображений можно получить ?

нет.

через Гамма-функцию емнип как-то. Мне реально лень лазить искать сейчас

а всеголиш получить длину полного периода(ну или четверти /половины) ?

Задача как раз не в этом, а в том, чтобы найти параметр k в sin(kx) или в k*sin(x). А тут уже числа могут быть совершенно потолочными.

Вот вам очень точное приближение для длины дуги синусоиды для любого расстояния: y = 1.21601586016669*x + 0.103124670820249*sin(2.00011089891195*x) — 0.000168863395023369.

Sadler ★★★

(03.09.13 19:55:07 MSK)

Последнее исправление: Sadler 03.09.13 19:57:31 MSK
(всего

исправлений: 2)

Я не понял, тебе что надо? Криволинейный интеграл dl по синусоиде?

Дык, это вроде как получается int_0^{2pi} frac{dx}{cosatancos x }

Лень упрощать.

т.е длина синусоиды полного периода длиней прямой в 1.216 раз. хм.

формула через интерграл разложения в ряд косинуса двойного угла?

я анализ универского курса если и знал то уже и забыл , ибо дискретка и прочая конкретная.

удивился обнаружив , что предположение о синусоидальном движении относительно разделительной(произвольной прямой паралельной краям дороги) приводит к недостаточности школьного курса математики для решения — какое было перемещение.

т.е вот это вот очередное подтверждение, что школьный набор не замкнут

Да, в 1.216 + небольшая погрешность. Формула получена с помощью генетического программирования.

Есть ещё одна, если хотите: y = 1.216*x + 0.1032*sin(2*x) — 0.002204*sin(4*x). Действительно очень похоже на какой-то ряд.

Sadler ★★★

(03.09.13 20:02:57 MSK)