Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма
Определение.
Параллелограмм — это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).
Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.
Признаки параллелограмма
Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:
AB||CD, BC||AD
2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:
AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)
3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:
AB = CD, BC = AD
4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:
∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA
5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:
AO = OC, BO = OD
6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2
Основные свойства параллелограмма
Квадрат, прямоугольник и ромб — есть параллелограммом.
1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:
∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB
4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников
8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:
| AO = CO = | d1 |
| 2 | |
| BO = DO = | d2 |
| 2 |
9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:
AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2
11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)
Стороны параллелограмма
Формулы определения длин сторон параллелограмма:
1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:
a =
√d12 + d22 — 2d1d2·cosγ
2
=
√d12 + d22 + 2d1d2·cosδ
2
b =
√d12 + d22 + 2d1d2·cosγ
2
=
√d12 + d22 — 2d1d2·cosδ
2
2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:
3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:
4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:
Диагонали параллелограмма
Определение.
Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.
Параллелограмм имеет две диагонали — длинную d1, и короткую — d2
Формулы определения длины диагонали параллелограмма:
1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)
d1 = √a2 + b2 — 2ab·cosβ
d2 = √a2 + b2 + 2ab·cosβ
2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)
d1 = √a2 + b2 + 2ab·cosα
d2 = √a2 + b2 — 2ab·cosα
3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:
d1 = √2a2 + 2b2 — d22
d2 = √2a2 + 2b2 — d12
4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:
| d1 = | 2S | = | 2S |
| d2·sinγ | d2·sinδ |
| d2 = | 2S | = | 2S |
| d1·sinγ | d1·sinδ |
Периметр параллелограмма
Определение.
Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.
Формулы определения длины периметра параллелограмма:
1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:
P = 2a + 2b = 2(a + b)
2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:
P = 2a + √2d12 + 2d22 — 4a2
P = 2b + √2d12 + 2d22 — 4b2
3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:
Площадь параллелограмма
Определение.
Площадью параллелограмма называется пространство ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.
Формулы определения площади параллелограмма:
1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:
S = a · ha
S = b · hb
2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:
S = ab sinα
S = ab sinβ
3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:
Периметр параллелограмма зависит от длины его сторон. И хотя формула для расчета несложная, мы сделали калькулятор, который позволяет рассчитать периметр параллелограмма в режиме онлайн. Наш калькулятор рассчитает периметр параллелограмма по двум сторонам или по двум диагоналям и одной из сторон.
Содержание:
- калькулятор периметра параллелограмма
- формула периметра параллелограмма через две стороны
- формула периметра параллелограмма через диагонали и одну из сторон
- примеры задач
Параллелограмм — четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
На сайте вы можете рассчитать периметры других четырехугольников: квадрат, ромб, прямоугольник.
Формула периметра параллелограмма через две стороны
{P = 2 (a + b)}
a и b — стороны параллелограмма
Формула периметра параллелограмма через диагонали и сторону
{P = 2a+ sqrt{2{d_1}^2 + 2{d_2}^2 — 4a^2}}
или
{P = 2b+ sqrt{2{d_1}^2 + 2{d_2}^2 — 4b^2}}
a и b — стороны параллелограмма
d1 и d2 — диагонали параллелограмма
Примеры задач на нахождение периметра параллелограмма
Задача 1
Найдите периметр параллелограмма со сторонами 3см и 4.5см.
Решение
Так как из условия задачи мы знаем длины сторон, то воспользуемся первой формулой. Подставим в нее значения длин сторон и произведем расчет:
P = 2 (a + b) = 2 (3 + 4.5) = 2 (7.5) = 15 : см
Ответ: 15см
Воспользуемся калькулятором для проверки полученного ответа.
Задача 2
Найдите периметр параллелограмма, если его стороны равны 5см и 80мм.
Решение
Для начала переведем 80мм в сантиметры и получим, что 80мм = 8см. В остальном задача аналогична предыдущей, так что повторим процесс ее решения:
P = 2 (a + b) = 2 (5 + 
= 2 (13) = 26 : см
Ответ: 26см
Для проверки снова используем калькулятор . При этом мы можем не переводить 80мм в сантиметры, а просто задать длину стороны в миллиметрах.
| Учебный курс | Решаем задачи по геометрии |
|
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб. Как выглядит параллелограмм На приведенном рисунке параллелограмм обозначен синими линиями. Элементы параллелограмма, указанные на рисунке: Свойства параллелограмма
Признаки параллелограммаЧетырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:
Как найти площадь параллелограмма
Как найти стороны параллелограмма
Как найти диагонали параллелограмма
Как найти периметр параллелограмма
Задачи с решениями про параллелограмм смотрите в уроках ниже:
Трапеция, описанная вокруг окружности | Описание курса | Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны |
Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!
Что такое периметр параллелограмма
Периметр параллелограмма — это сумма длин всех его сторон.
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны друг другу. Таким образом, его периметр — это удвоенная сумма двух его смежных ребер.
Свойства
- противоположные стороны равны и параллельны;
- противоположные углы попарно равны;
- сумма соседних углов равна 180 градусов;
- сумма всех углов равна 360 градусов;
- диагонали фигуры делятся пополам в точке пересечения;
- точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма;
- биссектриса образует равнобедренный треугольник.
Как найти периметр
Существует несколько основных способов, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон заданной фигуры. Все они зависят от изначально известных параметров.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
По сумме всех сторон
Так как периметр параллелограмма — это удвоенная сумма двух его смежных ребер, используем формулу:
P=2(a+b),
где a и b — это две смежные стороны данного четырехугольника.
По стороне и двум диагоналям
Если в задаче дана лишь одна сторона, но обе диагонали четырехугольника, мы можем найти вторую сторону. Для этого используем формулу:
(a=frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2,)
где (d_1) и (d_2) — это обе диагонали фигуры.
Получается, что расчет суммы длин всех сторон для параллелограмма будет выглядеть так:
(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b).)
По стороне, высоте и синусу угла
В случае, если нам известны лишь одно ребро, высота и один из углов, можем узнать длину второго ребра таким образом:
(a=frac{h_b}{sinalpha})
где (h_b) — высота, проведенная к известной стороне, а (sinalpha) — известный нам угол.
Таким образом, формула для нахождения периметра параллелограмма будет выглядеть так:
(P=2(frac{h_b}{sinalpha}+b))
Примеры решения задач
Попробуем применить полученные знания на практике и рассмотрим несколько задач на периметр параллелограмма.
Задача 1
Дан параллелограмм со сторонами 5 см и 9 см. Вычислить его периметр.
Решение:
Воспользуемся формулой P=2(a+b), так как нам известны обе стороны фигуры. Подставляем значения: P=2(5+9)=28 см.
Ответ: 28 см.
Задача 2
Известно, что одна из сторон параллелограмма равна 4 см, а две его диагонали равны 6 см и 8 см. Найти периметр фигуры.
Решение:
Для расчета суммы длин всех сторон используем формулу:
(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b))
Подставляем известные значения:
(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b)=2(frac{sqrt{2times6^2+2times8^2-4times4^2}}2+4)=2(frac{sqrt{72+128-64}}2+4)=2(frac{2sqrt{34}}2+4)=2sqrt{34}+8) см.
Ответ:( 2sqrt{34}+8) см.
Задача 3
Сторона b параллелограмма равна 2 см, высота, проведенная к b — 1 см, а угол α равен (fracpi6). Найти сумму длин всех сторон фигуры.
Решение:
Для расчета будем использовать уравнение:
(P=2(frac{h_b}{sinalpha}+b))
Подставим известные величины:
(P=2(frac1{sin{displaystylefracpi6}}+2)=2(frac1{displaystylefrac12}+2)=8;)см.
Ответ: 8 см.
Онлайн калькулятор длины сторон параллелограмма напишет подробное решение с ответом и пояснениями.
Калькулятор может:
- Сторона параллелограмма через площадь и высоту.
- Сторона параллелограмма через высоту и угол.
Где S — площадь параллелограмма,h — его высота.
Где h — его высота,α — острый угол.
- Параллелограмм- это четырехугольник у которого противоположные стороны параллельны.
- Противоположные стороны параллелограмма равны.
- Диагональные углы параллелограмма равны.
Как найти длину стороны параллелограмма ?
Сторона параллелограмма может быть легко найдена с помощью нашего онлайн калькулятора. Так же Вы можете воспользоваться формулами ниже для самостоятельного расчета.
|
a = |
|
a = |