Вася Иванов
Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.
Математическим
маятником называют материальную точку,
закрепленную на невесомой и нерастяжимой
нити, совершающую свободные гармонические
колебания в вертикальной плоскости.
Математический
маятник имеет одну степень свободы –
еще один пример одномерного гармонического
осциллятора. На математический маятник
действуют две силы: сила тяжести
и сила натяжения нити
(рис. 2.4)
Результирующая
этих сил (перпендикулярная составляющая
силы тяжести) и является той силой, под
действием которой маятник совершает
свободные гармонические колебания.
При
этом угол
= 3 – 5о
(рис. 2.4). Математический маятник при
колебаниях описывает часть дуги
окружности радиуса R
,
где
–
длина нити.
Рис. 2.4
Для
вывода дифференциального уравнения
колебания математического маятника
воспользуемся дифференциальным
уравнением колебания физического
маятника [см. (2.15)], где момент инерции I
физического маятника заменим на момент
инерции материальной точки I=mR2,
где m – масса м. т. математического
маятника; R =
–
расстояние от м. т. до полюса 0.
После
подстановки получим дифференциальное
уравнение колебания математического
маятника в виде
(2.19)
Решением
данного уравнения является функция
вида
=
0сos
(0t
+ o).
(2.20)
Сравнив
уравнения (2.16) и (2.19), найдем собственную
круговую частоту 0
и период Т колебания математического
маятника:
.
(2.21)
Тогда
.
(2.22)
Период
колебания математического маятника
прямо пропорционален квадратному корню
длины маятника и обратно пропорционален
квадратному корню ускорения силы
тяжести.
2.5. Приведенная длина физического маятника
Анализ
формул периода колебания физического
и математического маятников показывает,
что можно найти приведенную длину
физического маятника (рис. 2.3), если
приравнять их периоды Тфиз
= Тматем,
т. е.
.
Тогда приведенная
длина физического маятника
(2.23)
Приведенной
длиной физического маятника называют
длину такого математического маятника,
когда периоды их колебаний совпадают.
На
рис. 2.3 расстояние между точками 0 и 0*
и есть приведенная длина
физического
маятника. Сами точки 0 и 0*
взаимозаменяемы, т. е. при замене точки
0 на 0*
и обратно период колебаний физического
маятника сохраняется неизменным.
2.6. Энергия гармонических механических колебаний
При
гармонических колебаниях любых
физических систем непрерывно и
периодически происходит превращение
кинетической энергии в потенциальную
и обратно.
Например,
при колебаниях физического или
математического маятников в крайних
положениях потенциальная энергия
максимальна, а при прохождении положения
равновесия максимальна кинетическая
энергия.
Найдем
математические выражения для кинетической,
потенциальной и полной механической
энергий физических систем, совершающих
гармонические колебания.
Расчет длины маятника
Маятник — это тело или система тел, подвешенная в поле тяжести и совершающая механические колебания.
Формула расчета длины маятника:
L = (T / 2π) 2 * g, где
L — длина маятника в метрах;
T — период колебаний в секундах;
g — ускорение свободного падения в м/с 2 .
Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.
На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета длины маятника по простой математической формуле в зависимости от периода колебаний и ускорения свободного падения. С помощью этой программы вы в один клик сможете рассчитать длину маятника.
Расчет длины нити математического маятника
Период колебания математического маятника (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле , где — длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет секунды.
Решение задачи
В данном уроке показано, как грамотно рассчитать длину нити математического маятника. По условию задана формула , с помощью которой приблизительно вычисляются колебания маятника. — это период колебания маятника, который известен по условию задачи ( секунды), а – это длина нити маятника, которую и необходимо рассчитать. Для решения задачи достаточно преобразовать формулу (представленную в виде алгебраического выражение) и подставить в нее известные данные. Для этого из формулы выражается переменная , в процессе этого выполняются операции упрощения выражения. Далее, для получения окончательного ответа, вместо переменной подставляется его числовое значение. Ответ представлен в виде десятичной дроби
При подготовке к ОГЭ можно успешно воспользоваться решением этой задачи, в частности при решении задач типа ОГЭ 20.
Как найти длину нити
Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол появляется касательная составляющая силы тяжести (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.
Если обозначить через линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса , то его угловое смещение будет равно . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:
Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению , а
Только в случае малых колебаний , когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором , т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка ; при этом величина отличается от не более чем на . Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.
Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде
Таким образом, тангенциальное ускорение маятника пропорционально его смещению , взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:
Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника .
Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс физического маятника находится ниже оси вращения на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:
Здесь – расстояние между осью вращения и центром масс .
Здесь – собственная частота малых колебаний физического маятника .
Более строгий вывод формул для и можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение есть вторая производная углового смещения по времени:
Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде
Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.
По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции можно выразить через момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс маятника и параллельной оси вращения:
Окончательно для круговой частоты свободных колебаний физического маятника получается выражение:
Главная
»
Самолетостроение
»
Физика
»
Колебания математического и физического маятника
Колебания математического и физического маятника
Математический маятник.
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая 
, направленная вдоль нити, не учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещения 
и, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна
Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α
Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения
Момент силы относительно точки О: 
, и момент инерции:
M = FL .
Момент инерции J в данном случае
Угловое ускорение:
С учетом этих величин имеем:
или
 |
(7.8) |
Его решение
,
Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.
Физический маятник.
Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.
При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.
Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α
Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения
. Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:
 |
(7.10) |
 |
(7.11) |
Решение этого уравнения
Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е. 
или
.
Из этого соотношения определяем
Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.
Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.
1
габбас
[215K]
4 года назад
Если известен период колебаний математического маятника, то длину маятника можно подсчитать по известной формуле периода математического маятника Т=2*пи*корень квадратный из( L/g), где g=9,8 м/с2 — ускорение свободного падения на Земле (приблизительно). Оттуда длина маятника L = (Т^2*g)/(4*пи^2) = (1*9,8)/(4*3,14*3,14) = 9,8/39,48 = 0,248 м или примерно 25 см.
Ответ: 25 см.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить