В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить длину дуги сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их применения на практике.
- Определение дуги сектора круга
-
Формулы для нахождения длины дуги сектора
- Через центральный угол в градусах и радиус
- Через угол сектора в радианах и радиус
-
Примеры задач
Определение дуги сектора круга
Дуга – это участок между двумя точками на окружности.
Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.
На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).
- OA = OB = R (r);
- α – угол сектора или центральный угол.
Формулы для нахождения длины дуги сектора
Через центральный угол в градусах и радиус
Длина (L) дуги сектора равняется числу π, умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах (α°), деленному на 180°.
Примечание: в расчетах используется число π, приблизительно равное 3,14.
Через угол сектора в радианах и радиус
Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (aрад).
Примеры задач
Задание 1
Дан круг с радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.
Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:
Задание 2
Длина дуги сектора равняется 24 см. Найдите, чему равен его угол (в радианах и градусах), если радиус круга составляет 12 см.
Решение
Для начала вычислим угол в радианах:
1 радиан ≈ 57,2958°
Следовательно, центральный угол приблизительно равняется 114,59° (2 рад ⋅ 57,2958°).
В этом простом онлайн-калькуляторе для нахождения величин сектора круга можно быстро определить длину дуги сектора, зная площадь, периметр или центральный угол сектора. Для этого нужно заполнить по одному пустующему слота в калькуляторах окружности и сектора окружности, после чего нажать на кнопку “Рассчитать”. В результате высветятся все недостающие значения вместе с формулами.
Калькулятор окружности:
Достаточно заполнить только одну ячейку — остальное калькулятор посчитает сам.
Периметр или длина окружности (P)
Калькулятор сектора окружности:
Достаточно ввести только одно значение и указать радиус окружности — остальное калькулятор посчитает сам.
Центральный угол сектора в градусах (α)
Площадь сектора окружности (S1)
Калькулятор сегмента окружности:
Достаточно ввести только одно* значение и указать радиус окружности — остальное калькулятор посчитает сам.
Исключения:
* — при известном периметре (P2) нужно дополнительно указать длину дуги (l1) или хорды (c).
* — при известной площади (S2) нужно дополнительно указать длину хорды (c) или высоты (h).
Угол сегмента в градусах (α1)
Площадь сегмента окружности (S2)
Округление:
* — обязательно заполнить
Содержание материала
- Длина дуги
- Видео
- Касательная кокружности
- Вписанная окружность
- Формулы для нахождения длины дуги сектора
- Через центральный угол в градусах и радиус
- Через угол сектора в радианах и радиус
- Вписанный угол вдвое меньше центрального доказательство
- Площадь сектора
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Рис.3
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Касательная кокружности
Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.
Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.
Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.
Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.
AC = CB
Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.
AC^{2} = CD cdot BC
Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.
AC cdot BC = EC cdot DC
Видео
Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.
В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.
Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.
Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:
S = pr,
где:
p — полупериметр многоугольника,
r — радиус вписанной окружности.
Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:
r = frac{S}{p}
Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.
AB + DC = AD + BC
В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
r = frac{S}{p},
где p = frac{a + b + c}{2}
Формулы для нахождения длины дуги сектора
Через центральный угол в градусах и радиус
Длина (L) дуги сектора равняется числу π, умноженному на радиус круга (r), умноженному на центральный угол в градусах (α°), деленному на 180°.
Примечание: в расчетах используется число π, приблизительно равное 3,14.
Через угол сектора в радианах и радиус
Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (aрад).
Вписанный угол вдвое меньше центрального доказательство
Имеет место удивительный факт:
Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.
Посмотри, как это утверждение выглядит на картинке. «Соответствующий» центральный угол такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина в центре.
И при этом «соответствующий» центральный угол должен «смотреть» на ту же хорду (( displaystyle AC)), что и вписанный угол.
Почему же так? Почему вписанный угол вдвое меньше центрального?
Давай разберёмся сначала на простом случае.
Площадь сектора
Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Рис.4
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Теги
Строительные калькуляторы онлайн
Определение дуги сектора круга
Дуга – это участок между двумя точками на окружности.
Дуга сектора круга – это участок между двумя точками на окружности, которые получены в результате пересечения этой окружности двумя радиусами, образовавшими сектор круга.
На рисунке ниже: AB – это дуга зеленого сектора круга с радиусом R (или r).
- OA = OB = R (r);
- α – угол сектора или центральный угол.
Источник: http://MicroExcel.ru/dlina-dugi/
Основные определения и свойства
| Фигура | Рисунок | Определения и свойства |
| Окружность |  |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности |
| Дуга |  |
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности |
| Круг |  |
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью |
| Сектор |  |
Часть круга, ограниченная двумя радиусами |
| Сегмент |  |
Часть круга, ограниченная хордой |
| Правильный многоугольник |  |
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны |
 |
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность |
| Окружность |
|
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности |
| Дуга |
|
Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности |
| Круг |
|
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью |
| Сектор |
|
Часть круга, ограниченная двумя радиусами |
| Сегмент |
|
Часть круга, ограниченная хордой |
| Правильный многоугольник |
|
Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность |
Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.
Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.
Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.
Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:
Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.
Источник: http://resolventa.ru/demo/diaggia6.htm
Основные свойства окружности
1. Диаметр окружности равен двум радиусам.
D = 2r
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.
3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.
4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.
5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.
Источник: http://ru.onlinemschool.com/math/formula/circle/
Площадь круга
Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).
Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.
Рис.1
Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна
Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна
Следовательно,
Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, стремится к π, то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу πR2.
Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна
S = πR2.
Источник: http://resolventa.ru/demo/diaggia6.htm
Уравнение окружности
1. Уравнение окружности с радиусом
r
и центром в начале декартовой системы координат:
r2 = x2 + y2
2. Уравнение окружности с радиусом
r
и центром в точке с координатами (
a, b
) в декартовой системе координат:
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом
r
и центром в точке с координатами (
a, b
) в декартовой системе координат:
| { | x = a + r cos t |
| y = b + r sin t |
Источник: http://ru.onlinemschool.com/math/formula/circle/
Формула площади сегмента круга через радиус и длину дуги круга, высоту и основание треугольника
S=12⋅R⋅s−12⋅h⋅aS=frac{1}{2}cdot Rcdot s-frac{1}{2}cdot hcdot aS=21⋅R⋅s−21⋅h⋅a
RRR — радиус круга;
sss — длина дуги;
hhh — высота равнобедренного треугольника;
aaa — длина основания этого треугольника.
Пример
Дан круг, его радиус, численно равный 5 (см.), высота, которая проведена к основанию треугольника, равная 2 (см.), длина дуги 10 (см.). Найти площадь сегмента круга.
Решение
R=5R=5R=5
h=2h=2h=2
s=10s=10s=10
Для вычисления площади нам не хватает только основания треугольника. Найдем его по формуле:
a=2⋅h⋅(2⋅R−h)=2⋅2⋅(2⋅5−2)=8a=2cdotsqrt{hcdot(2cdot R-h)}=2cdotsqrt{2cdot(2cdot 5-2)}=8a=2⋅h⋅(2⋅R−h)=2⋅2⋅(2⋅5−2)=8
Теперь можно вычислить площадь сегмента:
S=12⋅R⋅s−12⋅h⋅a=12⋅5⋅10−12⋅2⋅8=17S=frac{1}{2}cdot Rcdot s-frac{1}{2}cdot hcdot a=frac{1}{2}cdot 5cdot 10-frac{1}{2}cdot 2cdot 8=17S=21⋅R⋅s−21⋅h⋅a=21⋅5⋅10−21⋅2⋅8=17 (см. кв.)
Ответ: 17 см. кв.
Источник: http://studwork.org/spravochnik/matematika/ploshchad/ploshchad-segmenta-kruga
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
Рис.3
В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Источник: http://resolventa.ru/demo/diaggia6.htm
Сегмент. Площадь сегмента
Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:
Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.
Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:
где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.
Источник: http://izamorfix.ru/matematika/planimetriya/krug.html
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Вы здесь
-
Угол и длина дуги сектора круга
Так как площадь сектора круга можно выразить через длину дуги и одновременно через угол сектора, то приравняв эти выражения друг к другу, можно вычислить радиус сектора круга.
S=pr/2
S=(r^2 α)/2
pr/2= (r^2 α)/2
p/2=rα/2
r=p/αНайдя радиус сектора круга, можно подставить его в любую из первоначальных формул, чтобы рассчитать площадь сектора круга.
S=pr/2=p^2/2α