Как найти диаметр описанной окружности по вписанной - AvtoShod.ru

Радиус и диаметр окружности

Окружность — это фигура в геометрии, которая состоит
из множества точек, расположенных на одинаковом
расстоянии от заданной точки (центра окружности).

Радиус окружности — это отрезок, который соединяет
центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет
две любые точки окружности, причем сам отрезок
должен проходить через центр окружности

Eсли от центра окружности провести
отрезки ко всем точкам окружности, то они будут иметь
одинаковую длину, то есть равны. В математике
такие отрезки называют радиусами.

Все радиусы окружности, как и диаметры окружности,
равны между собой, имеют одинаковую длину.

На рисунке выше изображена окружность, с центром в точке O.
OA = OB = OC — радиусы окружности;
BC = CO + OB — диаметр окружности;

Радиус окружности принято обозначать маленькой либо большой буквой, r или R.
Диаметр окружности обозначают буквой D.

Диаметр окружности условно состоит из двух
радиусов и равен длинам этих радиусов.

Длину радиуса окружности можно найти через диаметр окружности.
Для этого достаточно разделить на два длину диаметра окружности,
получившееся число и будет радиусом.

Формула радиуса окружности через диаметр:

Формула диаметра окружности через радиус:

Также, окружность, может быть вписанной в фигуру, описанной
около фигуры; или вообще может быть не вписана и не описана.
Формула радиуса окружности зависит от того находится фигура
внутри окружности, или окружность находится около фигуры.

Существует радиус вписанной окружности
и радиус описанной окружности.

Формулы радиуса вписанной и радиуса описанной окружностей
зависят в первую очередь от геометрической фигуры.

Радиус вписанной окружности — это радиус окружности,
которая вписана в геометрическую фигуру.

Радиус описанной окружности — это радиус окружности,
которая описана около геометрической фигуры.

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Свойства квадрата

Длины всех сторон квадрата равны.
Все углы квадрата прямые.
Диагонали квадрата равны.
Диагонали пересекаются под прямым углом.
Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

(1)

Из равенства (1) найдем d:

(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

(5)

Из формулы (5) найдем R:

(6)

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

(9)

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Из (13) следует, что

(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Теорема синусов

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:

bc sinα = ca sinβ

Из этих двух соотношений получаем:

Теорема синусов для треугольника доказана.

Эта теорема пригодится, чтобы найти:

Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Доказательство следствия из теоремы синусов

У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

где R — радиус описанной около треугольника окружности.

Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

BA1 = 2R, где R — радиус окружности

Следовательно: R = α/2 sinα

Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

Следовательно: R = α/2 sinα

Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Часто используемые тупые углы:

sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

3. Угол ∠А = 90°.

В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Теорема о вписанном в окружность угле

Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

Формула теоремы о вписанном угле:

Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

Следовательно: α + γ = 180°.

Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

sinγ = sin(180° — α)

Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

Примеры решения задач

Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

Согласно теореме о сумме углов треугольника:

∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

Сторону AC найдем по теореме синусов:

Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

Запоминаем

Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

источники:

http://matworld.ru/geometry/kvadrat.php

http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-sinusov

Источник

Радиус и диаметр окружности

Окружность — это фигура в геометрии, которая состоит
из множества точек, расположенных на одинаковом
расстоянии от заданной точки (центра окружности).

Радиус окружности — это отрезок, который соединяет
центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Все радиусы окружности, как и диаметры окружности,
равны между собой, имеют одинаковую длину.

Диаметр окружности условно состоит из двух
радиусов и равен длинам этих радиусов.

Формула радиуса окружности через диаметр:

Формула диаметра окружности через радиус:

Существует радиус вписанной окружности
и радиус описанной окружности.

Радиус вписанной окружности — это радиус окружности,
которая вписана в геометрическую фигуру.

Радиус описанной окружности — это радиус окружности,
которая описана около геометрической фигуры.

Квадрат. Онлайн калькулятор

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Свойства квадрата

Длины всех сторон квадрата равны.
Все углы квадрата прямые.
Диагонали квадрата равны.
Диагонали пересекаются под прямым углом.
Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

(1)

Из равенства (1) найдем d:

(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около квадрата

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

(5)

Из формулы (5) найдем R:

(6)

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Ответ:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

(9)

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Признаки квадрата

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Из (13) следует, что

(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. где — радиус вписанной окружности треугольника,

3. где R — радиус описанной окружности
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Найдем радиус вневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы По свойству касательной Из подобия прямоугольных треугольников АОЕ и (по острому углу) следуетТак как то откуда

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы:

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

На рисунке 90 изображена окружность с радиусом R и центром описанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

На рисунке 92 изображена окружность с центром О и радиусом вписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как и по свойству касательной к окружности то центр вписанной окружности равноудален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле где — полупериметр треугольника, — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Пусть дан треугольник АВС со сторонами — центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Радиусы проведенные в точки касания, будут высотами этих треугольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— искомый радиус. Поскольку (как прямоугольные с общим острым углом СВК), то ,
откуда
Способ 2 (тригонометрический метод). Из (см. рис. 95) из откуда Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD как вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное между гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому откуда
Ответ: см.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, проведенной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить а высоту, проведенную к основанию, — то получится пропорция .
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника:

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, — искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из по теореме Пифагора (см), откуда (см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной . Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( — общий) следует:. Тогда (см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из (см. рис. 97) , из откуда . Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса . Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому ‘ откуда = 3 (см).

Способ 4 (формула ).

Из формулы площади треугольника следует:
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус его вписанной окружности.

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, — радиусы вписанной окружности. Так как AM — биссектриса и Поскольку ВК — высота и медиана, то Из , откуда .
В катет ОК лежит против угла в 30°, поэтому ,

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Высоту равностороннего треугольника можно найти по формуле . Откуда

Ответ:

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника то Значит, сторона равностороннего
треугольника в раз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону разделить на , а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на . Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. где с — гипотенуза.

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности где с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле , где — искомый радиус, и — катеты, — гипотенуза треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами и гипотенузой . Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом касается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Четырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и . Тогда Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Но , т. е. , откуда

Следствие: где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Формула в сочетании с формулами и дает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Найти .

Решение:

Так как то
Из формулы следует . По теореме Виета (обратной) — посторонний корень.
Ответ: = 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где — радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как — квадрат, то
По свойству касательных
Тогда По теореме Пифагора

Следовательно,
Радиус описанной окружности
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу значения получим По теореме Пифагора , т. е. Тогда
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника радиус вписанной в него окружности Найти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в гипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как

, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу вписанной окружности, — высота . Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда по катету и гипотенузе.
Площадь равна сумме удвоенной площади и площади квадрата CMON, т. е.

Способ 2 (алгебраический). Из формулы следует Возведем части равенства в квадрат: Так как и

Способ 3 (алгебраический). Из формулы следует, что Из формулы следует, что
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со стороной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Дуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда

Аналогично доказывается, что 180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна то около него можно описать окружность.

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого (рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении или внутри нее в положении то в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше половины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма не была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Пусть ABCD — описанный четырехугольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны между собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок который касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим что противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоречию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Для описанного многоугольника справедлива формула , где S — его площадь, р — полупериметр, — радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Так как у ромба все стороны равны , то (см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что откуда Искомый радиус вписанной окружности (см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма найдем площадь данного ромба: С другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Поскольку (см), то Отсюда (см).

Ответ: см.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где делит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Необходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту трапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем высоту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямоугольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Тогда По свойству описанного четырехугольника Отсюда

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов и Так как как внутренние односторонние углы при и секущей CD, то (рис. 131). Тогда — прямоугольный, радиус является его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэтому или Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Так как по свойству описанного четырехугольника то
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Найти величину угла ВАС (рис. 132, а).

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то и прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, В прямоугольном треугольнике ABM откуда

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если то Так как АВ = AM + МВ, то откуда т. е. . После преобразований получим: Аналогично:
Ответ:

Замечание. Если (рис. 141), то (см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, — частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основаниями а и Ь.

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Пусть в трапеции ABCD основания — боковые стороны, — высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда . Известно, что в равнобедренной трапеции (можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Отсюда Ответ:
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями боковой стороной с, высотой h, средней линией и радиусом вписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD то около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки » . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике проведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику (рис. 148). Тогда теорема Пифагора может звучать так: сумма квадратов гипотенуз треугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если — соответствующие линейные элементы то можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:

Действительно, из подобия указанных треугольников откуда

Пример:

Пусть (см. рис. 148). Найдем По обобщенной теореме Пифагора отсюда
Ответ: = 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами и расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки , и — лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). Тогда— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой где b — боковая сторона, — высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Радиус вписанной окружности Так как то Искомое расстояние
А теперь найдем d по формуле Эйлера:

откуда Как видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы:
Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле
Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны 180°. И обратно.
Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны между собой. И обратно.
Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле где — полупериметр, — радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка — центр окружности, описанной около треугольника , поэтому .

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника существует точка , равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка будет центром описанной окружности, а отрезки , и — ее радиусами.

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник . Проведем серединные перпендикуляры и сторон и соответственно. Пусть точка — точка пересечения этих прямых. Поскольку точка принадлежит серединному перпендикуляру , то . Так как точка принадлежит серединному перпендикуляру , то . Значит, , т. е. точка равноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры и (рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка (рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника , отрезки , , — радиусы, проведенные в точки касания, . Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника существует точка , удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка будет центром окружности радиуса г, которая касается сторон .

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник . Проведем биссектрисы углов и , — точка их пересечения. Так как точка принадлежит биссектрисе угла , то она равноудалена от сторон и (теорема 19.2). Аналогично, так как точка принадлежит биссектрисе угла , то она равноудалена от сторон и . Следовательно, точка равноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов и (рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле , где — радиус вписанной окружности, и — катеты, — гипотенуза.

Решение:

В треугольнике (рис. 302) , , , , точка — центр вписанной окружности, , и — точки касания вписанной окружности со сторонами , и соответственно.

Отрезок — радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда .

Так как точка — центр вписанной окружности, то — биссектриса угла и . Тогда — равнобедренный прямоугольный, . Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Плоские и пространственные фигуры
Взаимное расположение точек и прямых
Сравнение и измерение отрезков и углов
Первый признак равенства треугольников
Треугольники и окружность
Площадь треугольника
Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

источники:

http://matworld.ru/geometry/kvadrat.php

http://www.evkova.org/opisannyie-i-vpisannyie-okruzhnosti

Источник

, , c blue — стороны треугольника

— полупериметр

O black — центр окружности

Формула радиуса описанной окружности треугольника ( R ) :

— сторона треугольника

— высота

— радиус описанной окружности

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

a, b — стороны треугольника

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника(R):

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

a, b — катеты прямоугольного треугольника

c — гипотенуза

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

a — боковые стороны трапеции

c — нижнее основание

b — верхнее основание

d — диагональ

p — полупериметр треугольника DBC

p = (a+d+c)/2

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

a — сторона квадрата

d — диагональ

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

a, b — стороны прямоугольника

d — диагональ

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

a — сторона шестиугольника

d — диагональ шестиугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

Источник

Краткое содержание:

Что такое радиус
Радиус и диаметр
Примеры задач
Формулы для радиуса описанной окружности
Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам
Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте
Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам
Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам
Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали
Найти радиус описанной окружности около квадрата
Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам
Радиус описанной окружности правильного многоугольника
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника
Формулы для радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности в треугольник
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию
Радиус вписанной окружности в квадрат
Радиус вписанной окружности в ромб
Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник
Радиус вписанной окружности в шестиугольник
Примеры задач
Обсуждение

Здравствуйте мои дорогие подписчики и гости сайта 9111.ru!

На самом деле эту тему проходят еще в начальных классах обычной школы. И все, кто хорошо учился, сразу смогут сказать, о чем идет речь. Ну, или хотя бы точно понять, что РАДИУС как-то связан с окружностью.

Что такое радиус

И действительно:

Радиус – это отрезок, который начинается в центре окружности и заканчивается в любой точке ее поверхности. В то же время так называется и длина этого отрезка.

Вот так это выглядит графически.

**************************************

Само слово РАДИУС имеет латинские корни. Оно произошло от «radius», что можно перевести как «луч» или «спица колеса». Впервые этот математический термин ввел французский ученый П.Ромус. Было это в 1569 году.

Но потребовалось чуть более ста лет, чтобы слово РАДИУС прижилось и стало общепринятым.

Кстати, есть еще несколько значений слова РАДИУС:

Размер охвата чего-нибудь или сфера распространения. Например, говорят «Огонь уничтожил все в радиусе 10 километров» или «ОН показал на карте радиус действия артиллерии»;
В анатомии этим словом обозначают Лучевую кость предплечья.

Но, конечно, нас интересует РАДИУС как математический термин. А потому и продолжим говорить именно о нем.

Радиус и диаметр

Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.

А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:

Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.

Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.

Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.

А именно:

Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Примеры задач

Задание 1

Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:

Используем первую формулу (через периметр):

Задание 2

Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2.

Решение:

Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

Формулы для радиуса описанной окружности

Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам

Формула радиуса описанной окружности треугольника (R ) :

Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через его сторону:

Формула радиуса описанной окружности равностороннего треугольника через высоту:

Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Формула радиуса описанной окружности равнобедренного треугольника (R):

Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.

Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):

Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали

Формула радиуса описанной окружности равнобокой трапеции, (R)

Найти радиус описанной окружности около квадрата

Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали

Формула радиуса описанной окружности квадрата (R):

Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам

Радиус описанной окружности прямоугольника равен половине его диагонали

Формула радиуса описанной окружности прямоугольника (R):

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности правильного многоугольника, (R):

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника (R):

Формулы для радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в треугольник

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник (r):

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник (r):

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол (r ) :

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту (r ) :

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник (r):

Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию

Формула радиуса вписанной окружности равнобочной трапеции (r):

Радиус вписанной окружности в квадрат

Формула радиуса вписанной окружности в квадрат (r):

Радиус вписанной окружности в ромб

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол (r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону (r ) :

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

Формула радиуса вписанной окружности в ромб (r ) :

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

Формула радиуса вписанной окружности в правильный многоугольник, (r):

Радиус вписанной окружности в шестиугольник

Формула радиуса вписанной окружности в шестиугольник, (r):

Примеры задач

Задание 1

Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.

Решение

Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:

Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:

Задание 2

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.

Решение

Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:

Всем спасибо и приятного просмотра! Если понравилась публикация подписывайтесь и ставьте палец вверх!

Источники:

https://KtoNaNovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/radius-chto-ehto-takoe-kak-najti-radius-okruzhnosti-formula.html
https://MicroExcel.ru/radius-kruga/
https://www-formula.ru/2011-09-24-00-42-22
https://www-formula.ru/2011-09-24-00-40-48
https://MicroExcel.ru/radius-vpisannogo-v-treugolnik-kruga/

Источник

Окружность вписана в n-угольник, если она касается всех сторон этого n-угольника (рис. 8.106).

Окружность описана около n-угольника, если все вершины n-угольника лежат на окружности (рис. 8.107).

Свойства вписанной окружности

1. Окружность можно вписать в любой треугольник.

2. Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противолежащих сторон равны.

Например, на рисунке 8.106 .

Так, окружность можно вписать в квадрат и в ромб, но нельзя вписать в параллелограмм и в прямоугольник.

Свойства описанной окружности

1. Окружность можно описать около любого треугольника.

2. Окружность можно описать около четырехугольника, если суммы его противолежащих углов равны.

Например, на рисунке 8.107 $LaTeX formula: angle A+angle C=angle B+angle D=180^{circ}$ .

Так, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.

Расположение центров окружностей, описанных около треугольника:

1) центр окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;

2) если треугольник остроугольный, то центр окружности расположен в этом треугольнике:

а) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника (центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рис. 8.108);

б) в равнобедренном треугольнике центр окружности расположен на биссектрисе, проведенной из вершины треугольника к его основанию (рис. 8.109);

3) если треугольник прямоугольный, то центр окружности расположен на середине гипотенузы (рис. 8.110);

4) если треугольник тупоугольный, то центр окружности расположен вне треугольника (рис. 8.111).

Расположение центров окружностей, вписанных в треугольник:

1) центр окружности, вписанной в треугольник, расположен в этом треугольнике (рис. 8.112 – 8.115);

2) центром окружности является точка пересечения биссектрис треугольника;

3) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника.

Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей

Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают , а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают :

1) для равностороннего треугольника со стороной :

$LaTeX formula: R=frac{a}{sqrt{3}}$ , (8.34)

$LaTeX formula: r=frac{a}{2sqrt{3}}$ ; (8.35)

2) для произвольного треугольника со сторонами и площадью :

$LaTeX formula: R=frac{abc}{4S}$ , (8.36)

$LaTeX formula: r=frac{2S}{a+b+c}$ ; (8.37)

3) для прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой :

$LaTeX formula: R=frac{c}{2}$ , (8.38)

$LaTeX formula: r=frac{a+b-c}{2}$ ; (8.39)

4) для квадрата со стороной и диагональю :

$LaTeX formula: R=frac{d}{2}$ , (8.40)

$LaTeX formula: r=frac{a}{2}$ ; (8.41)

5) для прямоугольника с диагональю :

$LaTeX formula: R=frac{d}{2}$ ; (8.42)

6) для ромба с высотой :

$LaTeX formula: r=frac{h}{2}$ ; (8.43)

7) для трапеции с высотой , при условии, что в трапецию можно вписать окружность:

$LaTeX formula: r=frac{h}{2}$ . (8.44)

Если около трапеции можно описать окружность, то, проведя диагональ трапеции и рассмотрев один из полученных треугольников со сторонами и площадью , по формуле $LaTeX formula: R=frac{abc}{4S}$ найдем радиус окружности описанной около треугольника, а значит и около трапеции (рис. 8.116);

для правильного шестиугольника со стороной :

, (8.45)

$LaTeX formula: r=frac{asqrt{3}}{2}$ . (8.46)

Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников (рис. 8.117) и точка является центром вписанной в него и описанной около него окружностей.

Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна .

Решение. Так как площадь круга радиуса находят по формуле 8.32, а площадь квадрата со стороной находят по формуле $LaTeX formula: S=a^{2}$ , то согласно условию задачи запишем: $LaTeX formula: S_{square }-S_{bigcirc }=12$ , $LaTeX formula: pi r^{2}-a^{2}=2pi -8$ .

А так как $LaTeX formula: r=frac{a}{2}$ , то $LaTeX formula: frac{pi a^{2}}{4}-a^{2}=2pi -8$ , $LaTeX formula: pi a^{2}-4a^{2}=4(2pi -8)$ , $LaTeX formula: a^{2}(pi -4)=8(pi -4)$ , $LaTeX formula: a^{2}=8$ , .

Ответ: .

Пример 2. Площадь прямоугольника равна 4, а разность длин его смежных сторон рана 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами и находят по формуле .

Пусть , тогда (рис. 8.118).

Получим: , $LaTeX formula: x^{2}+3x-4=0$ , откуда , следовательно, , .

По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника: $LaTeX formula: d^{2}=1+16=17$ , . Согласно формуле 8.42 .

Ответ: .

Пример 3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 6 и 8.

Решение. По теореме Пифагора найдем сторону ромба (рис. 8.119):

$LaTeX formula: a^{2}=left (frac{d_{1}}{2} right )^{2}+left ( frac{d_{2}}{2} right )^{2}$ , $LaTeX formula: a^{2}=3^{2}+4^{2}$ , .

По формуле $LaTeX formula: S=frac{1}{2}d_{1}d_{2}$ найдем площадь ромба: $LaTeX formula: S=frac{1}{2}cdot 6cdot 8=24$ .

Но площадь ромба можно найти и по формуле , а так как , то . Тогда , а .

Ответ: 2,4.

Пример 4. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна .

Решение. Площадь правильного треугольника со стороной находят по формуле: $LaTeX formula: S=frac{sqrt{3}a^{2}}{4}$ .

Зная площадь треугольника, найдем его сторону: $LaTeX formula: frac{sqrt{3}a^{2}}{4}=4sqrt{3}$ , $LaTeX formula: a^{2}=16$ , .

По формуле 8.35 найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник: $LaTeX formula: r=frac{4}{2sqrt{3}}=frac{2}{sqrt{3}}$ .

По формуле 8.30 найдем длину окружности: $LaTeX formula: C=frac{4pi }{sqrt{3}}$ .

Ответ: $LaTeX formula: frac{4sqrt{3}pi }{3}$ .

Пример 5. Радиус окружности, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника равен 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой находят по формуле 8.38. Тогда .

Так как треугольник равнобедренный, то его катеты и раны и по теореме Пифагора $LaTeX formula: c^{2}=2a^{2}$ , откуда $LaTeX formula: a=frac{C}{sqrt{2}}$ , $LaTeX formula: a=frac{4}{sqrt{2}}=2sqrt{2}$ .

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находят по формуле 8.39. В нашем случае $LaTeX formula: r=frac{2a-c}{2}$ , $LaTeX formula: r=frac{4sqrt{2}-4}{2}=2sqrt{2}-2$ .

Ответ: .

Пример 6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8, а радиус окружности, вписанной в треугольник равен 3. Найдите площадь треугольника.

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Точка является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120).

Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат со стороной 3. Если катет , а сторона квадрата , то .

Пусть отрезок . По свойству касательных и .

Тогда по теореме Пифагора $LaTeX formula: BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}$ или $LaTeX formula: 25+10x+x^{2}=64+9+6x+x^{2}$ , откуда , .

Найдем катет : .

Найдем площадь треугольника: $LaTeX formula: S_{Delta ABC}=frac{1}{2}cdot ACcdot AB$ , $LaTeX formula: S_{Delta ABC}=frac{1}{2}cdot 8cdot 15=60$ .

Ответ: 60.

Пример 7. Окружность, центр которой расположен на большей стороне треугольника, делит эту сторону на отрезки 4 и 8 и касается двух других его сторон, длина одной из которых равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник (рис.8.121).

Решение. Согласно свойству биссектрисы треугольника запишем: $LaTeX formula: frac{6}{4}=frac{x}{8}$ , откуда .

Радиус окружности, вписанной в треугольник, найдем по формуле 8.37.

В свою очередь по формуле Герона найдем площадь треугольника. Так как , то .

Тогда $LaTeX formula: r=frac{18sqrt{15}}{30}=frac{3sqrt{15}}{5}=0,6sqrt{15}$ .

Ответ: .

Пример 8. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 3, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки 4 и 5. Найдите площадь трапеции.

Решение. Согласно условию задачи и рисунку 8.122, запишем: , .

По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим: , , .

Согласно формуле $LaTeX formula: S=frac{1}{2}(a+b)h$ найдем площадь трапеции: $LaTeX formula: S=frac{1}{2}cdot 15cdot 6=45$ .

Ответ: 45.

Пример 9. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как , а длина ее высоты равна 17. Вычислите площадь круга, описанного около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна ее высоте.

Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию (рис. 8.123) и проведем диагональ трапеции .

Радиус окружности, описанной около треугольника , найдем по формуле 8.36:

$LaTeX formula: R=frac{ABcdot BDcdot AD}{4cdot S_{triangle ABD}}=frac{ABcdot BDcdot AD}{4cdot frac{1}{2}cdot ADcdot BN}$ , $LaTeX formula: R=frac{ABcdot BD}{2cdot BN}$ .

Зная, что и вводя коэффициент пропорциональности , получим , .

Так как длина средней линии трапеции равна высоте трапеции, то $LaTeX formula: frac{1}{2}(5k +12k)=17$ , откуда . Тогда , .

Поскольку четырехугольник является прямоугольником, то , тогда $LaTeX formula: AN=KD=frac{1}{2}(24-10)=7$ .

Согласно теореме Пифагора запишем:

$LaTeX formula: AB=sqrt{AN^{2}+BN^{2}}$ , $LaTeX formula: AB=sqrt{17^{2}+7^{2}}=sqrt{338}$ ;

$LaTeX formula: BD=sqrt{BN^{2}+ND^{2}}$ , $LaTeX formula: BD=sqrt{17^{2}+17^{2}}=17sqrt{2}$ .

По формуле 8.36 найдем радиус окружности, описанной около треугольника , а, следовательно, и около трапеции :

$LaTeX formula: R=frac{sqrt{338}cdot 17sqrt{2}}{2cdot 17}=frac{2cdot 13}{2}=13$ .

Согласно формуле 8.32 найдем площадь круга: .

Ответ: .

Пример 10. В правильный шестиугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца, если сторона шестиугольника равна .

Решение. По формуле 8.45 найдем радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника: .

По формуле 8.46 найдем радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник. Так как , то $LaTeX formula: r=frac{3}{2}$ .

Площадь круга находят по формуле 8.32. Тогда $LaTeX formula: S_{1}=3pi$ , а $LaTeX formula: S_{2}=frac{9pi}{4}$ .

Найдем площадь кольца: $LaTeX formula: S_{K}=S_{1}-S_{2}$ , $LaTeX formula: S_{K}=3pi -frac{9pi }{4}=frac{3pi }{4}$ .

Ответ: .

1. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.

2. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, окружность можно вписать в ромб и квадрат, но нельзя вписать в параллелограмм и прямоугольник.

3. Не около всякого четырехугольника можно описать окружность. Например, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.

4. Не во всякую трапецию можно писать окружность и не около всякой трапеции можно описать окружность. Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции.

5. Если многоугольник правильный (все его стороны и все его углы равны между собой), то в него всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. Причем, центры этих окружностей совпадают.

Длину окружности радиуса находят по формуле:

. (8.30)

Площадь круга радиуса находят по формуле:

$LaTeX formula: S=pi R^{2}$ . (8.32)

Источник

Радиус и диаметр окружности

Квадрат. Онлайн калькулятор

Свойства квадрата

Диагональ квадрата

Окружность, вписанная в квадрат

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Окружность, описанная около квадрата

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Периметр квадрата

Признаки квадрата

Теорема синусов

Доказательство теоремы синусов

Доказательство следствия из теоремы синусов

Теорема о вписанном в окружность угле

Примеры решения задач

Запоминаем

Радиус и диаметр окружности

Квадрат. Онлайн калькулятор

Свойства квадрата

Диагональ квадрата

Окружность, вписанная в квадрат

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Окружность, описанная около квадрата

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Периметр квадрата

Признаки квадрата

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Описанная и вписанная окружности треугольника

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Вписанные и описанные четырехугольники

Окружность, вписанная в треугольник

Описанная трапеция

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Обобщенная теорема Пифагора

Формула Эйлера для окружностей

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Что такое радиус

Радиус и диаметр

Примеры задач

Формулы для радиуса описанной окружности

Найти радиус описанной окружности треугольника по сторонам

Найти радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте

Найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам

Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали

Найти радиус описанной окружности около квадрата

Радиус описанной окружности прямоугольника по сторонам

Радиус описанной окружности правильного многоугольника

Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

Формулы для радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в треугольник

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию

Радиус вписанной окружности в квадрат

Радиус вписанной окружности в ромб

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

Радиус вписанной окружности в шестиугольник

Примеры задач

Не пропустите также: