Укажите размеры:
Диагональ =
Решение:
Ссылка на страницу с результатом:
# Теория
Прямоугольник — это четырёхугольник у которого все углы прямые (по 90 градусов).
Диагональ прямоугольника — это прямая линия соединяющая противоположные углы. Диагонали прямоугольника обладают следующими свойствами:
- Диагонали прямоугольника равны.
- Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника и является их гипотенузой.
Формула диагонали прямоугольника
Так как диагональ делит прямоугольник на два одинаковых труегольника и является их гипотенузой, то длина и ширина прямоугольника будут катетами образованного треугольника. Поэтому для расчёта диагонали мы применяем теорему Пифагора:
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b²
Отсюда, формула для расчётадиагонали прямоугольника выглядит следующим образом:
a
b
d
d = sqrt{a^2 + b^2}
- d — диагональ прямоугольника
- a — длина прямоугольника
- b — ширина прямоугольника
Похожие калькуляторы:
Войдите чтобы писать комментарии
Прямоугольник. Формулы и свойства прямоугольника
Определение.
Прямоугольник — это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.
Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.
Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую — шириной прямоугольника.
Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.
Основные свойства прямоугольника
Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.
1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Все четыре угла прямоугольника прямые:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:
AC = BD
7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.
9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:
10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности
11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности
12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:
∠ABC + ∠CDA = 180° ∠BCD + ∠DAB = 180°
13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника — квадрат).
Стороны прямоугольника
Определение.
Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.
Формулы определения длин сторон прямоугольника
1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:
a = √d2 — b2
b = √d2 — a2
2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:
3. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через периметр и другую сторону:
4. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол α:
a = d sinα
b = d cosα
5. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол β:
Диагональ прямоугольника
Определение.
Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.
Формулы определения длины диагонали прямоугольника
1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):
d = √a2 + b2
2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:
| d = | √S2 + a4 | = | √S2 + b4 |
| a | b |
3. Формула диагонали прямоугольника через периметр и любую сторону:
| d = | √P2 — 4Pa + 8a2 | = | √P2 — 4Pb + 8b2 |
| 2 | 2 |
4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:
d = Dо
6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
7. Формула диагонали прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:
8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника
d = √2S : sin β
Периметр прямоугольника
Определение.
Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.
Формулы определения длины периметру прямоугольника
1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:
| P = | 2S + 2a2 | = | 2S + 2b2 |
| a | b |
3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:
P = 2(a + √d2 — a2) = 2(b + √d2 — b2)
4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √4R2 — a2) = 2(b + √4R2 — b2)
5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √Do2 — a2) = 2(b + √Do2 — b2)
Площадь прямоугольника
Определение.
Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.
Формулы определения площади прямоугольника
1. Формула площади прямоугольника через две стороны:
S = a · b
2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:
| S = | Pa — 2a2 | = | Pb — 2b2 |
| 2 | 2 |
3. Формула площади прямоугольника через диагональ и любую сторону:
S = a√d2 — a2 = b√d2 — b2
4. Формула площади прямоугольника через диагональ и синус острого угла между диагоналями:
5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
S = a√4R2 — a2 = b√4R2 — b2
6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
S = a√Do2 — a2 = b√Do2 — b2
Окружность описанная вокруг прямоугольника
Определение.
Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через периметр квадрата и любую сторону:
| R = | √P2 — 4Pa + 8a2 | = | √P2 — 4Pb + 8b2 |
| 4 | 4 |
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через площадь квадрата:
| R = | √S2 + a4 | = | √S2 + b4 |
| 2a | 2b |
4. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диаметр описанной окружности:
6. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
7. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:
8. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:
Угол между стороной и диагональю прямоугольника
Формулы определения угла между стороной и диагональю
1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:
2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:
Угол между диагоналями прямоугольника
Формулы определения угла между диагоналями прямоугольника
1. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через угол между стороной и диагональю:
β = 2α
2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ:
Одна из основных фигур курса математики – прямоугольник.
Впервые о нем заговорили еще в Древнем Египте, а позже и в
Древней Греции. Именно свойства его диагоналей помогают
решить многие задания учебного курса. Подход, который
сейчас используется в геометрии разработал Евклид. Формулы,
представленные в данной статье, пригодятся как при решении
домашних упражнений, так и на ЕГЭ. Именно такие задачки
помогают набрать недостающие баллы, поэтому ими не стоит пренебрегать.
- Диагональ прямоугольника через его стороны
- Диагональ прямоугольника через площадь и известную сторону
- Диагональ прямоугольника через периметр и сторону
- Диагональ прямоугольника через диаметр описанной окружности
- Диагональ прямоугольника через радиус описанной окружности
- Диагональ прямоугольника через площадь и острый угол между диагоналями
- Диагональ прямоугольника через угол прилегающей диагонали и длину стороны прилегающей к этому углу
- Диагональ прямоугольника через угол прилегающей диагонали и длину стороны противоположной этому углу
- Что такое диагональ прямоугольника, когда требуется ее вычисление
Диагональ прямоугольника через его стороны
Если заданы хотя бы 2 стороны, то вычислить линию, соединяющую противоположные вершины, будет довольно просто. Применяется классическая теорема Пифагора. Достаточно подставить приведенные в дано числовые параметры в виде суммы квадратов под корнем:
Где a, b – это стороны, а d – прямая, которую мы ищем.
Цифр после запятой:
Результат в:
Диагональ прямоугольника через площадь и известную сторону
Когда в дано есть S и одна сторона, то узнать искомое значение можно используя следующее равенство:
Где D – это прямая, которую необходимо найти, a и b – любая заданная сторона, а S – площадь.
Цифр после запятой:
Результат в:
Диагональ прямоугольника через периметр и сторону
Когда задан периметр (сумма сторон) и, хотя бы одна сторона, отрезок, соединяющий несмежные точки высчитывают так:
Где P – сумма сторон, a и b – любая заданная сторона.
Рассчитать искомый отрезок можно и через соотношение сторон и площадь.
Цифр после запятой:
Результат в:
Диагональ прямоугольника через диаметр описанной окружности
Поиск отрезка через описанную окружность еще более прост, здесь даже не придется проводить расчеты: D = d
Где d – это обозначенный диаметр.
Различить вписанную/описанную окружность легко. Когда геометрическое тело вписано куда-то, то оно всегда будет находиться в другой фигуре. Когда окружность описана, то она находится снаружи, она как бы описывает другое геометрическое тело. Описанные фигуры задевают собой точки, а вписанные – касаются сторон.
Цифр после запятой:
Результат в:
Диагональ прямоугольника через радиус описанной окружности
Для расчета искомого отрезка через описанную окружность нужно провести вычисления, где: D = 2R
Где R – это заданный радиус.
Цифр после запятой:
Результат в:
Диагональ прямоугольника через площадь и острый угол между диагоналями
Если необходимо узнать прямую, соединяющую вершины 4-хугольника, это можно осуществить с помощью двух диагоналей. Для получения ответа к задаче понадобится sin β между ними и S (произведение длины и ширины).
Расчет проводится с равенством:
Где соответственно S – это площадь, а sin β – это острый угол, расположенный внутри фигуры (меж пересекающимися прямыми).
Если в 4-хугольнике расчертить 2 отрезка, объединяющие несмежные вершины, то они будут равны меж собой (все 4 отрезка), а точка пересечения разделит их пополам.
Пересечение всегда происходит в геометрическом центре самой фигурки. Этот же центр является центром описанной окружности.
Площадь (S):
Цифр после запятой:
Результат в:
Диагональ прямоугольника через угол прилегающей диагонали и длину стороны прилегающей к этому углу
Когда одна из сторон 4-хугольника прилегает к углу, то просчитать отрезок, соединяющий вершины тоже возможно:
Где b – это сторона, прилегающая к углу, а cos a – это тот самый угол.
Косинус угла в треугольнике с прямым углом рассчитывается по формуле – длина соседней стороны, разделенная на гипотенузу. Синус – это противолежащий катет, разделенный на гипотенузу. Либо можно поступить еще проще, подсмотрев в таблицу Брадиса.
Цифр после запятой:
Результат в:
Диагональ прямоугольника через угол прилегающей диагонали и длину стороны противоположной этому углу
Чтобы найти нужный отрезок внутри четырехугольника, должен быть задан угол, прилегающий к искомому отрезку и сторона, противоположная углу:
Где a – это сторона четырехугольника, а sin a – это прилегающий угол.
Длинная сторона 4-хугольника– это длина, а короткая – его ширина. Помните, что каждая сторона одновременно является высотой.
Цифр после запятой:
Результат в:
Что такое диагональ прямоугольника, когда требуется ее вычисление
Прямоугольник – это частный случай параллелограмма. Иначе 4-хугольник с попарно равными сторонами, параллельными друг другу, а также равными прямыми углами по 90⁰. Сумма углов четырехугольника составляет 360⁰.
Диагональ разделяет фигуру на два новых элемента – треугольники с прямым углом. Это прямая, объединяющая противоположные вершины. Имея 2 прямоугольных треугольника, отрезок уже можно рассчитать по теореме Пифагора. По теореме гипотенуза – это квадрат из суммы катетов (обозначенных сторон треугольника), возведенных в квадрат.
Линии, соединяющие противоположные точки в четырехугольнике всегда пересекаются друг с другом.
Отрезок обозначают как d или D. Если названы все точки, то его можно называть в соответствии с ними – AC или BD.
Знания о линии, проходящей через несмежные точки 4-хугольника может понадобиться в легких геометрических упражнениях, так и в более сложных многоуровневых задачках, которые появляются на ЕГЭ. Свойства данного отрезка помогают находить важные параметры прямоугольника. Зная данные обеих линий, соединяющих противоположные углы, можно рассчитать S геометрического тела.
Перед решением любой геометрической задачки рекомендуется сделать чертеж и обозначить всю заданную информацию. Так будет значительно проще сосредоточиться на искомом значении.
Если регулярно решать тесты по геометрии, то формулы легче запомнятся, а их применение будет доведено до автоматизма.
Диагонали прямоугольника равны между собой. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника ABC и ACD. Диагональ равна диаметру описанной окружности.
1. Формулы длины диагонали в прямоугольнике.
d — диагональ прямоугольника
a, b — стороны
α, β — углы полученные от деления, диагональю, прямого угла
Формула диагонали через стороны, (d):
Формулы диагонали через сторону и угол, (d):
Формулы величины углов через диагональ и стороны, (α, β):
2. Формулы углов между диагоналями в прямоугольнике.
d — диагонали прямоугольника
a, b — стороны
α, β — углы между диагоналями
Формулы углов между диагоналями через стороны и диагональ, (α, β ):
- Подробности
-
Опубликовано: 27 октября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Как найти диагональ в прямоугольнике
Прямоугольник – плоская геометрическая фигура. Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые. Как же найти диагональ квадрата, если известны длины его сторон?
Инструкция
Разделим прямоугольник диагональю на два равных треугольника. В этом случае диагональ будет являться гипотенузой этих треугольников. А, как известно из теоремы Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Итак, для поиска диагонали прямоугольника необходимо:
найти сумму квадратов сторон прямоугольника а2 + b2, где а и b – длины сторон прямоугольника;
извлечь из полученного результата квадратный корень.
Пример:
Определим длину диагонали прямоугольника со сторонами 3 и 4 см.
Находим сумму квадратов сторон прямоугольника 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
Извлечь из полученного результата квадратный корень – длина диагонали равна 5 см.
Видео по теме
Обратите внимание
Диагонали прямоугольника равны. Если найдена длина одной, то длина второй будет абсолютно такой же.
Источники:
- как найти длину диагонали в прямоугольнике