Как найти диагональ прямоугольника рисунок - AvtoShod.ru

Загрузить PDF

Диагональ — это отрезок, который соединяет две противолежащие вершины прямоугольника.^[1] В прямоугольнике две равные диагонали.^[2] Если известны стороны прямоугольника, диагональ можно найти по теореме Пифагора, потому что диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Если стороны не даны, но известны другие величины, например, площадь и периметр или отношение сторон, можно найти стороны прямоугольника, а затем по теореме Пифагора вычислить диагональ.

1
2
3

Длину и ширину возведите в квадрат, а затем сложите полученные результаты. Помните, что при возведении числа в квадрат оно умножается на себя.
4

Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения. Воспользуйтесь калькулятором, чтобы быстро извлечь квадратный корень. Также можно воспользоваться онлайн-калькулятором.^[5] Вы найдете , то есть гипотенузу треугольника, а значит и диагональ прямоугольника.

Реклама

1

Запишите формулу для вычисления площади прямоугольника. Формула: , где — площадь прямоугольника, — длина прямоугольника, — ширина прямоугольника.^[6] (На рисунке вместо S использовано обозначение А.)
2
В формулу подставьте значение площади прямоугольника. Это значение подставляется вместо .
- Например, если площадь прямоугольника равна 35 квадратных сантиметров, формула запишется так: .
3

Перепишите формулу так, чтобы обособить . Для этого разделите обе стороны уравнения на . Затем полученное выражение нужно подставить в формулу для вычисления периметра.
4

Запишите формулу для вычисления периметра прямоугольника. Формула: , где — длина прямоугольника, — ширина прямоугольника.^[7]
5
В формулу подставьте значение периметра прямоугольника. Это значение подставляется вместо .
- Например, если периметр прямоугольника равен 24 сантиметра, формула запишется так: .
6

Разделите обе стороны уравнения на 2. Вы получите сумму сторон прямоугольника, а именно .
7

В формулу подставьте выражение для вычисления . Это выражение, полученное при обособлении .
8

Избавьтесь от дроби. Для этого обе части уравнения умножьте на .
9

Приравняйте уравнение к 0. Для этого из обеих сторон уравнения вычтите член с переменной первого порядка.
10

Упорядочьте члены уравнения. Первым членом будет член с переменной второго порядка, затем член с переменной первого порядка, а затем свободный член. При этом не забудьте про знаки («плюс» и «минус»), которые стоят перед членами. Обратите внимание, что уравнение запишется в виде квадратного уравнения.
11

Разложите квадратное уравнение на множители. Чтобы получить подробные инструкции, прочитайте эту статью.
12

Найдите . Для этого приравняйте каждый множитель к нулю и вычислите . Вы получите два значения (это корни уравнения), которые в случае прямоугольника являются его длиной и шириной.
13
14
15

Длину и ширину возведите в квадрат, а затем сложите полученные результаты. Помните, что при возведении числа в квадрат оно умножается на себя.
16

Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения. Воспользуйтесь калькулятором, чтобы быстро извлечь квадратный корень. Также можно воспользоваться онлайн-калькулятором.^[10] Вы найдете , то есть гипотенузу треугольника, а значит, и диагональ прямоугольника.

Реклама

1
2
3
В формулу подставьте значение площади прямоугольника. Это значение подставляется вместо .
- Например, если площадь прямоугольника равна 35 квадратных сантиметров, формула примет вид: .
4

В формулу подставьте выражение, характеризующее отношение сторон. В случае прямоугольника можно подставить выражение для вычисления или .
5

Запишите квадратное уравнение. Для этого раскройте скобки и приравняйте уравнение к нулю.
6

Разложите квадратное уравнение на множители. Чтобы получить подробные инструкции, прочитайте эту статью.
7

Найдите . Для этого приравняйте каждый множитель к нулю и вычислите . Вы получите два значения (так называемые корни уравнения).
8

Подставьте найденное значение ширины (или длины) в уравнение, характеризующее отношение сторон. Так можно найти другую сторону прямоугольника.
9
10
11

Длину и ширину возведите в квадрат, а затем сложите полученные результаты. Помните, что при возведении числа в квадрат оно умножается на себя.
12

Извлеките квадратный корень из обеих сторон уравнения. Воспользуйтесь калькулятором, чтобы быстро извлечь квадратный корень. Также можно воспользоваться онлайн-калькулятором.^[16] Вы найдете , то есть гипотенузу треугольника, а значит и диагональ прямоугольника.

Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 557 104 раза.

Была ли эта статья полезной?

Источник

При решении задач по физико-математическим дисциплинам иногда необходимо найти диагонали прямоугольника. Формула в интернете не всегда является достоверной. Очень важно на начальных стадиях вычислений правильно идентифицировать фигуру, чтобы применить к ней нужные свойства и соотношения. Специалисты рекомендуют не приступать сразу к практике, а разобраться с теорией.

Оглавление:

Общая информация

Формулы и соотношения

Пример расчета параметров

Общая информация

Прямоугольник — геометрическая плоская фигура, состоящая из четырех попарно параллельных сторон, между которыми образованы прямые углы. Ее можно перепутать с квадратом, имеющим похожие свойства и тождества. При решении задачи очень важно правильно найти фигуру, имеющую определенные признаки определения. Некоторые учащиеся путают последние со свойствами. Эти два термина отличаются между собой.

Методика идентификации

Признак — совокупность некоторых критериев, позволяющих правильно различать фигуры. Прямоугольник возможно идентифицировать по таким правилам:

Неравенство сторон, являющихся смежными.
Диагонали при пересечении не образуют угол в 90 градусов.
Диагонали не являются биссектрисами углов больших треугольников, полученных при пересечении.
Окружность можно только описать, а не вписать.

Если для искомой фигуры применим хотя бы один из признаков, то ее возможно классифицировать как прямоугольник.

После успешной идентификации необходимо перейти к рассмотрению свойств, которые рекомендовано специалистами использовать при расчетах параметров и доказательстве утверждений (тождеств и теорем).

Важные свойства

Свойства — набор или список утверждений и тождеств, используемых при вычислениях требуемых величин, а также для доказательства теорем, а именно:

Все углы прямые, а их алгебраическая сумма равна 360.
Несмежные стороны параллельны и равны.
Точка пересечения диагоналей — центр симметрии и делит их на две части. Кроме того, средняя линия проходит через нее.
Формула диагонали (m) прямоугольника через стороны p и t: m=(рp+tt]^1/2), т. е. квадратичное значение диагонали равно сумме сторон, каждая из которых умножена на эквивалентное значение.
Подобность малого и большого треугольников, образованных диагоналями.
Существует только описанная окружность, диаметр которой эквивалентен диагонали прямоугольника.
При проведении диагонали образуются два равных треугольника, являющиеся прямоугольными.

Следует отметить, что вышеописанные свойства — это требуемый минимум, которого недостаточно для выполнения вычислений и доказательства других тождеств.

Формулы и соотношения

Чтобы ориентироваться в формулах, нужно ввести некоторые обозначения. К ним принадлежат следующие:

Диагональ — m.
Стороны — k и l.
Периметр — P.
Полупериметр — р.
Площадь — S.
Острый угол, который образуют две диагонали — Z, а тупой — Y.
Диаметр — D.

После этого необходимо рассмотреть основные тождества. Их рекомендуется применять при вычислениях различных параметров фигуры.

К ним относятся такие выражения:

Периметр: P=2S/к + (2/к)k²=2k+2(m²-k²)^(1/2))=2k+2(D²-k²)^(1/2)).
Площадь: S=[Pк — 2к²]/2=[Pl — 2l²]/2=k[m²-k²]=[sin(Z)/2]m^2 .
Диагонали: m=[k²+l²]^(1/2)=(1/k)(S²+k⁴)^(1/2).

Кроме того, найти диагональ прямоугольника возможно, используя формулу такого вида: m=((2k+2l)²-4(2k(k+l)+8k²)^(1/2) * 0,5. Величины «(2k+2l)» можно заменить периметром Р, когда он известен.

Следует отметить, что найти длину диагонали прямоугольника возможно при известном D. Соотношение имеет следующий вид: m=2R=D.

Пример расчета параметров

У прямоугольника известна диагональ (m=10) и периметр (Р=28). Необходимо узнать длину его сторон. Решать задачу нужно по такому алгоритму:

Диагональ находится по следующему выражению: m^2=k^2+l^2.
Формула для вычисления периметра: P=2(k+l).
Составить систему уравнений для нахождения сторон: 100=k^2+l^2 и 28=2(k+l).
Выразить из второго уравнения одну из сторон: k=14-l.
Подставить в первое: (14-l)^2+l^2=100.
Раскрыть скобки: 196-28l+l^2+l^2=2l^2-28l+196=100.
Уравнение имеет такой вид: l^2-14l+48=0.
Вычислить его корни: l1=6 и l2=8.
Подставить в четвертый пункт и посчитать стороны: l=6 и к=8.

Следует отметить, что расчет корней производится подстановкой, при которой возникают дубли решений. Среди них требуется выбрать любых две пары. Исходя из девятого пункта, можно рассчитать значение площади, зная две стороны. Используя формулы, можно находить и другие параметры. Например, высчитать значение острого угла.

Таким образом, перед решением задач по геометрии математики рекомендуют правильно идентифицировать геометрическую фигуру при помощи признаков, а затем использовать какие-либо соотношения.

Источник

Диагональ прямоугольника

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 157.

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 157.

В школьном курсе математики одной из первых в изучении фигур является прямоугольник. Диагональ прямоугольника участвует в решении многих задач. Поэтому имеет смысл подробнее рассмотреть этот элемент фигуры.

Определение

Прямоугольник является четырехугольником с равными углами и попарно равными и параллельными противоположными сторонами.

Поэтому диагональ будет делить данную геометрическую фигуру на два прямоугольных треугольника. Получается, что значение этого отрезка можно будет найти через корень квадратный суммы квадратов соответствующих сторон прямоугольника (по теореме Пифагора).

Диагональ прямоугольника обозначают маленьким латинским символом d или двумя заглавными буквами, по названию вершин, которые соединяет диагональ.

Длина диагонали прямоугольника, вокруг которого описана окружность, равняется диаметру этой окружности.

Рис. 1. Диагональ вписанного прямоугольника.

Это свойство может помочь в решении задач на нахождение сторон треугольника.

Характеристики понятия

Диагональ прямоугольника это отрезок, соединяющий вершины прямоугольника, находящиеся напротив друг друга. Рассматриваемый параметр можно найти, используя периметр основной геометрической фигуры, ее площадь или соотношение соответствующих сторон. Для этого используют формулу диагонали прямоугольника:

$d=sqrt{a^2+b^2}$, где а и b – стороны прямоугольника.

Рис. 2. Свойства прямоугольника

Значение

В математике различают свойства диагоналей прямоугольника. Так, эти отрезки пересекаются в одной точке, и точкой пересечения делятся пополам. В одном прямоугольнике диагонали будут равными.

Рис. 3. Диагональ прямоугольника.

На этом рисунке четко просматриваются углы, которые формируют диагонали.

Если диагонали параллелограмма равны, то эта геометрическая фигура является прямоугольником. Можно утверждать то же самое, когда сумма квадратов отрезков параллелограмма равна квадрату его диагонали (естественно речь идет о теореме Пифагора).

Что мы узнали?

Свойства диагонали прямоугольника используются для нахождения важных параметров этой фигуры. Решения задач, в которых требуется доказать наличие определенного типа четырехугольника нередко рассматривают диагонали параллелограмма. С помощью данных отрезков можно найти площадь фигуры, которой они принадлежат.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Аслбек Бекбаулов

4/5
Анна Ножеева

4/5
Данила Салин

5/5

Оценка статьи

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 157.

А какая ваша оценка?

Источник

Прямоугольник и его свойства

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагонали прямоугольника равны.

1. В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2 , меньшая его сторона равна . Найдите диагональ данного прямоугольника.

Всё просто. Рассмотрите прямоугольный треугольник ABD . Найдите, чему равен угол и его синус, а затем найдите .

Ответ: .

А сейчас рассмотрим еще одну задачу, в которой применяются свойства диагоналей прямоугольника.

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны $24^{circ}$ и $66^{circ}$ . Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Казалось бы, при чем здесь прямоугольник? Дан прямоугольный треугольник, из вершины прямого угла проведены высота и медиана. А что можно сказать о длине этой медианы?

Давайте достроим чертеж до прямоугольника. Поскольку диагонали прямоугольника равны (это свойство прямоугольника) и делятся пополам в точке пересечения, отрезки , и тоже будут равны. Каждый из них равен половине диагонали прямоугольника. Мы доказали теорему:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Итак, , значит, треугольник равнобедренный, и угол равен $24^{circ}$ .

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла,
$angle AC mkern -3mu H = angle ABC = 24^{circ}$ .

Тогда угол MCH (между медианой и высотой треугольника ABC ) равен $90^{circ}-24^{circ}-24^{circ}=42^{circ}$ .
Ответ: .

Как вы думаете, где находится центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника? Ведь центр описанной окружности — точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Очевидно, эта точка — середина гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике центром описанной окружности является середина гипотенузы.

1. Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен .

Проведем диагональ .

Получим, что равна .
Ответ: .

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Прямоугольник иu0026nbsp;его свойства» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Диагональ прямоугольника

Диагональ

Четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны друг другу, а все углы прямые, называется прямоугольником. Отрезок, который соединяет две противоположные вершины прямоугольника, будет его диагональю d. В прямоугольнике обе диагонали равны. Если провести в прямоугольнике диагональ, то она поделит его на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, у которых диагональ d будет гипотенузой, а стороны прямоугольника a, b — катетами. Если известны длины сторон прямоугольника, несложно определить его диагональ, используя теореме Пифагора. Согласно теоремы квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

d² = a² + b²

Исходя из этого, гипотенуза равна корню квадратному из суммы квадратов катетов. Как было отмечено выше, гипотенуза является диагональю прямоугольника, соответственно она вычисляется по формуле:

Калькулятор для расчета диагонали прямоугольника зная стороны

Источник

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Общая информация

Методика идентификации

Важные свойства

Формулы и соотношения

Пример расчета параметров

Диагональ прямоугольника

Определение

Характеристики понятия

Значение

Что мы узнали?

Тест по теме

Оценка статьи

Прямоугольник и его свойства

Диагональ прямоугольника

Калькулятор для расчета диагонали прямоугольника зная стороны

Не пропустите также: