Как найти диагональ параллелепипеда по векторам - AvtoShod.ru

Найти длину диагонали параллелепипеда, построенного на векторах

24.09.2019, 04:12. Показов 8290. Ответов 3

Метки геометрия (Все метки)

Найти длину диагонали параллелепипеда, построенного на векторах A(xa, ya, za), B(xb, yb, zb), C(xc , yc , zc), как на сторонах?

Добрый день!
Прошу помочь с этой простой задачой, мне лишь нужна помощь по формуле вычисления этой диагонали.
Спасибо заранее за помощь.

Источник

Одно из определений компланарных векторов гласит:

векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости, называются компланарными векторами.

Тот же смысл имеет и другое определение:

три вектора называются компланарными, если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости.

Обрати внимание!

Всегда возможно найти плоскость, параллельную двум произвольным векторам, поэтому любые два вектора всегда компланарные.

Eсли из трёх векторов два коллинеарны, то очевидно, что эти три вектора компланарны.

Все вышеупомянутые случаи легко рассмотреть, если разместить векторы на рёбрах параллелепипеда.

1. Любые два вектора находятся в одной плоскости, но в одной плоскости можно разместить и векторы

AA1→

CC1→

AD→

, то есть, эти векторы компланарны. Также компланарны векторы

AA1→

AB→

CC1→

, так как два из этих векторов параллельны. Легко представить, что если привести их к общему началу, то вектор

CC1→

совпадёт с вектором

AA1→

2. Например, векторы

AB→

AD→

AA1→

не компланарны, так как их нельзя разместить в одной и той же плоскости.

Признак компланарности трёх векторов:

пусть векторы

a→

b→

не коллинеарны. Если для вектора

c→

существует единственная пара реальных чисел (x) и (y), такая, что

c→=x⋅a→+y⋅b→

, то векторы

a→

b→

c→

компланарны.

Справедливо и обратное утверждение:

если три вектора

a→

b→

c→

компланарны и векторы

a→

b→

не коллинеарны, то вектор

c→

можно разложить по векторам

a→

b→

одним-единственным образом.

Если разложить вектор

AC→

по векторам

AA1→

AA2→

, то это можно сделать одним-единственным образом:

AC→=AB→+AD→=x⋅AA1→+y⋅AA2→

Если три вектора некомпланарны, то для их сложения в пространстве применяется закон параллелепипеда.

1. Векторы приводят к общему началу (A).

2. На этих трёх рёбрах строится параллелепипед.

3. Диагональ параллелепипеда, которая выходит из этой же точки, изображает суммы векторов

AB→

AD→

AA1→

Разложение вектора по трём некомпланарным векторам

Теорема о разложении по базису в пространстве
Любой вектор

d→

можно разложить по трём данным некомпланарным векторам

a→

b→

c→

, причём реальные коэффициенты разложения (x), (y) и (z) определяются единственным образом:

AC1→=AD→+AB→+AA1→=x⋅AA2→+y⋅AA3→+z⋅AA4→

Источник

Материал
урока.

На
прошлых занятиях вы познакомились с понятием компланарных векторов.

Векторы
называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они
будут лежать в одной плоскости.

При
этом на практике мы использовали такую формулировку: векторы называются
компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Так
же вы доказали признак компланарности векторов.

Если
вектор можно
разложить по векторам и
,
то векторы ,
и
компланарны.

К
тому же вы убедились в справедливости и обратного утверждения.

Если
векторы ,
и
компланарны,
а векторы и
не
коллинеарны, то вектор можно
разложить по векторам и
,
причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Для
сложения компланарных векторов, так как все они лежат в одной плоскости, можно
использовать правила сложения известные из планиметрии, а именно: правило
треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника.

Что
же касается некомпланарных векторов, то для построения их суммы используют
правило параллелепипеда.

Рассмотрим
некомпланарные векторы ,
и
.

От
произвольной точки О пространства отложим векторы ,
и
равные
векторам ,
и
соответственно.

На
полученных векторах можно построить параллелепипед так, чтобы они являлись его
рёбрами.

Построим
вектор суммы векторов ,
и
при
этом последовательно их складывая.

Вектором
суммы векторов ,
по
правилу параллелограмма будет вектор .

Вектором
суммы векторов и
по
тому же правилу будет вектор .
Вектор равен
сумме векторов ,
и
,
а значит равен сумме векторов ,
и
.

Отсюда
правило параллелепипеда можно сформулировать так.

Если
отложить некомпланарные векторы ,
и
от
некоторой точки пространства О и построить на них параллелепипед, то диагональ OD
параллелепипеда будет выражать вектор суммы данных векторов.

Воспользуемся
сформулированным только что правилом и выполним задание.

Рассмотрим
параллелепипед
и укажем вектор суммы данных векторов такой, чтобы его начало и конец совпадали
с вершинами параллелепипеда.

Первым
назовём вектор .
Так как эти векторы отложены от одной точки и являются рёбрами данного
параллелепипеда, то вектор их суммы будет задавать диагональ параллелепипеда,
одним из концов которой будет точка начала данных векторов А. Так мы получим
вектор .

Далее
назовём вектор суммы векторов .

Они
также отложены от одной точки D
и являются рёбрами данного параллелепипеда. Вектором их суммы будет вектор .

В
следующем пункте нужно назвать вектор суммы векторов .

В
данном случае векторы не имеют общего начала, а имеют общий конец.

Выразим
каждый из данных векторов через противоположный.

Далее
рассмотрим сумму векторов .
Только вектор не
берёт своё начало в точке А₁. Но вектор равен
ему, поэтому заменим вектор в
сумме на равный ему вектор .

Не
трудно понять, что вектором полученной суммы будет вектор .

Последней
рассмотрим сумму векторов .

Вектор
заменим
равным ему вектором .
Тогда не трудно записать вектор суммы. Им будет вектор

Подведём
итоги урока.

Сегодня
мы описали правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов.

Это
правило пригодится вам при изучении следующих тем курса стереометрии.

Источник

Примеры решения задач

Задача 1.
Определить длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах

и

,
где

таковы, что

.

Решение.
Диагонали параллелограмма есть векторы

и

.
Вычислим длину вектора

:

.

Аналогично
вычисляется длина вектора

.

Задача 2.
Найдите вектор

,
коллинеарный вектору

и удовлетворяющий условию

.

Решение.
Обозначим вектор

,
тогда из условий задачи

или

,

тогда

.
Итак:

.

Задача 3.
Найти проекцию вектора

на направление вектора

.

Решение.

.
По формуле проекции вектора на ось будет
иметь место равенство

Задача 4.
Даны векторы:

.

П
роверить,
есть ли среди них коллинеарные. Найти

.

Решение.
Условие коллинеарности имеет вид

.
Этому условию удовлетворяют векторы

.
Следовательно, они коллинеарны. Найдем
длины

векторов

:

Угол между векторами
определяется по формуле

.

огда

,

Используя формулу

,
получим

.

Задача 5.
На материальную точку действуют силы

.
Найти работу равнодействующей этих сил

при перемещении точки из положения

в положение

.

Решение.
Найдем силу

и вектор перемещения

.

,
тогда искомая работа

.

Задачи

1. Векторы

взаимно перпендикулярны, а вектор

образует с ними углы

.
Зная, что

,
найти: 1)

;
2)

.

2. Вычислить длину
диагоналей параллелограмма, построенного
на векторах

,
если известно, что

.

3. Доказать, что
вектор

перпендикулярен к вектору

4. Зная, что

,
определить, при каком значении коэффициента

векторы

окажутся перпендикулярными.

5. Даны вершины
четырехугольника:

.
Доказать, что его диагонали взаимно
перпендикулярны.

6. Найти острый
угол между диагоналями параллелограмма,
построенного на векторах

.

7. Даны силы

.
Найти работу их равнодействующей при
перемещении точки из начала координат
в точку

.

8. Даны вершины
треугольника:

.
Найти проекцию вектора

на вектор

9. Найти вектор

,
перпендикулярный векторам

,
если известно, что его проекция на вектор

равна единице.

10. Сила, определяемая
вектором

,
разложена по трем направлениям, одно
из которых задано вектором

.
Найти составляющую силы

в направлении вектора

11. Даны вершины
треугольника:

.
Найти его внутренний угол при вершине
А и внешний угол при вершине В.

12. Даны три
последовательные вершины параллелограмма:

.
Найти его четвертую вершину D
и угол между векторами

.

13. На оси

найти точку, равноудаленную от точек

.

14. Доказать, что
треугольник с вершинами

прямоугольный.

Домашнее задание

1. Вычислить
скалярное произведение двух векторов

,
зная их разложение по трем единичным
взаимно перпендикулярным векторам

;

2. Найти длину
вектора

,
зная, что

– взаимно перпендику-

лярные орты.

3. Векторы

попарно образуют друг с другом углы,
каждый из которых равен

.
Зная, что

,
определить модуль вектора

.

4. Доказать, что
вектор

перпендикулярен к вектору

5. Даны векторы

,
совпадающие со сторонами треугольника
АВС. Найти разложение вектора, приложенного
к вершине В этого треугольника и
совпадающего с его высотой BD
по базису

.

6. Вычислить угол
между векторами

,
где

—
единичные взаимно перпендикулярные
векторы.

7. Даны силы

,
приложенные к одной точке. Вычислить,
какую работу производит равнодействующая
этих сил, когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается
из положения

в положение

.

8. Даны вершины
треугольника

.
Определить его внутренний угол при
вершине В.

9. Вычислив
внутренние углы треугольника с вершинами

,

,
убедиться, что этот треугольник
равнобедренный.

10. Найти вектор

,
зная, что он перпендикулярен векторам

и

.

11. Найти вектор

,
коллинеарный вектору

и удовлетворяющий условию

,
где

.

12. Вычислить
проекцию вектора

на ось вектора

.

13. Даны векторы

.
Вычислить

.

14. Даны точки

.
Вычислить проекцию вектора

на ось вектора

.

Ответы к задачам

1) -7, 13. 2) 15,

.
4)

.
6)

.
7) 2. -1/3.

9)

.
10)

.
11)

.

12)

.
13)

.

Ответы к домашнему
заданию

1) 9. 2) 5. 3) 10. 5)

.
6)

.
7) 13.

10)

.
12) 6. 13) 5. 14) 3.

Занятие 3

Векторое
произведения векторов. Смешанное
произведение векторов

Определение1.
Тройка
некомпланарных векторов

называется правой (левой) если, находясь
внутри телесного угла, образованного
приведенными к общему началу векторами

и от него к

,
човершающимся против часовой стрелки
(по часовой стрелке)

Тройка правая
Тройка левая

Определение
2. Векторным
произведением вектора

на вектор

называется вектор

,
длина и направление которого определяются
условиями:

1.

,
где

— угол между

.

2.

.

— правая тройка векторов.

Свойства
векторного произведения

(свойство антиперестановочности
сомножителей);

(распределительное относительно суммы
векторов);

(сочетательное относиельно числового
множителя);

(равенство нулю векторного произведения
означает коллинеарность векторов);

5.

,
т. е. момент сил равен векторному
произведению силы на плечо.

Если вектор

,
то

.

Определение
3. Смешанным
произведением

трех векторов называется число,
определяемое следующим образом:

.
Если векторы заданы своими координатами:

,
то

~

.

Свойства
смешанного произведения

1. Необходимым и
достаточным условием компланарности
векторов

является равенство

= 0.

2. Объем
параллелепипеда, построенного на
векторах

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Геометрия, 10 класс

Урок №18. Компланарные векторы. Векторный метод решения задач

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— какие векторы называются компланарными и их изображение на чертежах

-определение компланарных векторов.

— признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.

— основы векторного метода решения задач.

Основная литература:

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10-11классов — М.: Просвещение, 2017. C. 77-85.

Ершова А.П., Голобородько В.В., Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии для 10 класса. 2016. С.88-93.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Давайте вспомним основные определения по теме «Векторы». В этом поможет следующее задание: установите соответствие между понятием и его определением.

Вектор		?
Равные векторы	Противоположно направлены и их длины равны.
Противоположные векторы	Направленный отрезок
Коллинеарные векторы	Сонаправлены и их длины равны.
Компланарные векторы	Лежат на одной или параллельных прямых

Появилось новое понятие о векторах в пространстве, которого не было на плоскости — компланарность векторов. С определения компланарных векторов и начинаются главные отличия векторов в планиметрии и стереометрии.

Компланарные векторы.

Определение2.Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Рассмотрим некоторые случаи:

1 случай. Любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них
можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести
единственную плоскость.

2 случай. Три вектора будут компланарными если среди них есть пара коллинеарных
векторов. Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему
можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко
изобразить равный в этой плоскости.

3 случай. Если хотя бы один из трёх векторов является нулевым, то эти три вектора компланарны

Из планиметрии: Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Следующая теорема выражает признак компланарности трех векторов. Теорема (признак) Если вектор можно представить в виде = х + у, где х и у — некоторые числа, то векторы , и компланарны.

Для сложения трёх некомпланарных векторов можно пользоваться правилом параллелепипеда. Отложим от произвольной точки О векторы =, =, = и построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ и ОС были рёбрами.
Тогда ОD — диагональ этого параллелепипеда равна сумме векторов, и . Если вектор можно представить в виде суммы: = х + у + z, то говорят, что вектор d разложен по векторам , и . Числа х, у, z называют коэффициентами разложения.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Часть 2. Векторный метод решения задач

Векторный метод решения задач – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Векторное решение стереометрических задач значительно проще их решения средствами элементарной геометрии.

Рассмотрим следующую задачу: Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Пусть ABCD — данная трапеция, M и N — середины оснований BC И AD, а O — точка пересечения прямых AB и CD.

Докажем, что точка О лежит на прямой МN.

Условие задачи переводится на «векторный» язык. После такого перевода осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное снова «переводится» на «геометрический» язык.

Решением задач векторным методом занимались ученые: Уильман Гамильтон Иога́нн Берну́лли, Пьер Ферма, Рене Декарт, Леонард Эйлер.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:

Задача. В параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ М —точка пересечения диагоналей грани A₁B₁C₁D₁, точка K — середина ребра ВВ₁. Докажите, что прямые А₁В₁, KМ и ВС₁ параллельны некоторой плоскости.