Что такое движение тела брошенного под углом к горизонту
Определение
Движением тела под углом к горизонту в физике называют сложное криволинейное перемещение, которое состоит из двух независимых движений, включая равномерное прямолинейное движение в горизонтальном направлении и свободное падение по вертикали.
В процессе подбрасывания объекта вверх под углом к горизонту вначале наблюдают его равнозамедленный подъем, а затем равноускоренное падение. Скорость перемещения тела, относительно поверхности земли, остается постоянной.
На графике изображено схематичное движение тела, которое подбросили под углом к горизонту. В этом случае α является углом, под которым объект начал свое перемещение. Характеристики такого процесса будут следующими:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
- Направление вектора скорости тела, которое подбросили под определенным углом к горизонту, будет совпадать с касательной к траектории его перемещения.
- Начальная скорость отличается от направления горизонтальной линии, а обе ее проекции не равны нулю.
- Проекция скорости в начале движения на ось ОХ составляет (V_{ox}=V_{0}cos alpha).
- Проекция начальной скорости на ось ОУ равна (V_{oy}=V_{0}sin alpha).
- Проекция мгновенной скорости на ось ОХ следующая: (V_{x}=V_{0}cos alpha).
- Проекция мгновенной скорости на ось ОУ обладает нулевым значением и рассчитывается следующим образом: (V_{x}=V_{0}sin alpha-gt).
- Ускорение свободного падения на ось ОХ обладает нулевой проекцией, или (g_{x}=0).
- Проекция ускорения свободного падения на ось ОУ равна (–g), или (g_{y}=-g).
К числу кинематических характеристик движения тела, которое подбросили под углом к горизонту, относят модуль мгновенной скорости в определенное время t. Данный показатель можно рассчитать с помощью теоремы Пифагора:
(V=sqrt{V^{2}_{x}+V^{2}_{y}})
Минимальная скорость тела будет замечена в самой верхней точке траектории, а максимальная величина данной характеристики будет достигнута, когда объект только начинает перемещаться, а также в точке падения на поверхность земли. Время подъема представляет собой время, необходимое для достижения телом верхней точки траектории. За полное время объект совершает полет, то есть перемещается от начальной точки к точке приземления.
Дальность полета является перемещением объекта по отношению к оси ОХ. Такую кинематическую характеристику обозначают буквой l. По отношению к оси ОХ тело перемещается, сохраняя постоянство скорости.
Определение
Горизонтальным смещением тела называют смещение данного объекта, относительно оси ОХ.
Расчет горизонтального смещения тела в какой-либо момент времени t выполняют с помощью уравнения координаты х:
(x=x_{0}+V_{0x}t+frac{gxt^{2}}{2})
Зная следующие условия:
- (x_{0}=0);
- проекция ускорения свободного падения, относительно оси ОХ, также имеет нулевое значение;
- проекция начальной скорости на ось ОХ составляет (V_{0}cos alpha).
Записанная формула приобретает следующий вид:
(x=V_{0}cos alpha t)
Мгновенной высотой принято считать высоту, на которой находится объект в определенный момент времени t. Наибольшей высотой подъема является расстояние от поверхности земли до верхней точки траектории движения тела под углом к горизонту.
Вывод формулы, как найти угол и дальность полета
Перемещение объекта, который был брошен под углом к горизонту, необходимо изобразить с помощью суперпозиций, характерных для двух типов движений:
- равномерное горизонтальное движение;
- равноускоренное перемещение в вертикальном направлении с ускорением свободного падения.
Скорость тела будет рассчитываться таким образом:
(v_{0x}=v_{x}=v_{0} cos alpha =const)
(v_{0y}=v_{0}sin alpha)
(v_{y}=v_{0}sin alpha-gt)
Уравнение координаты записывают в следующем виде:
(x=v_{0}cos alpha times t)
(y=v_{0}sin alpha times t-frac{gt^{2}}{2})
В любое время значения скорости тела будут равны:
(v=sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}})
Определить угол между вектором скорости и осью ОХ можно таким образом:
(tan beta =frac{v_{y}}{v_{x}}=frac{v_{0}sin alpha -gt}{v_{0}cos alpha })
Время подъема на максимальную высоту составляет:
(t=frac{v_{0}sin alpha }{g})
Максимальная высота подъема будет рассчитана следующим образом:
(h_{max}=frac{v_{0}^{2}sin ^{2}alpha}{2g})
Полет тела будет длиться определенное время, которое можно рассчитать с помощью формулы:
(t=frac{2v_{0}sin alpha }{g})
Максимальная дальность полета составит:
(L_{max}=frac{v_{0}^{2}sin 2alpha }{g})
Примеры решения задач
В примерах, описывающих движение тела, на которое действует сила тяжести, следует учитывать, что а=g=9,8 м/с2.
Задача 1
Небольшой камень был брошен с ровной горизонтальной поверхности под углом к горизонту. Необходимо определить, какова максимальная высота подъема камня при условии, что, спустя 1 секунду после его начала движения, скорость тела обладала горизонтальным направлением.
Решение
Направление скорости будет горизонтальным в верхней точке перемещения камня. Таким образом, время, за которое он поднимется, составляет 1 секунду. С помощью уравнения времени подъема можно представить формулу произведения скорости в начале полета на синус угла, под которым бросили камень:
(V_{0}sin alpha =gt)
Данное равенство следует подставить в уравнение для расчета максимальной высоты, на которую поднимется камень, и выполнить вычисления:
(h=frac{V_{0}sin ^{2}alpha }{2g}=frac{(gt)^{2}}{2g}=frac{gt^{2}}{2}=frac{10times 1}{2}=5)
Ответ: максимальная высота подъема камня, который бросили под углом к горизонту, составляет 5 метров.
Задача 2
Из орудия выпустили снаряд, начальная скорость которого составляет 490 м/с, под углом 30 градусов к горизонту. Нужно рассчитать, какова высота, дальность и время полета снаряда без учета его вращения и сопротивления воздуха.
Решение
Систему координат и движение тела можно представить схематично:
Составляющие скорости, относительно осей ОХ и ОУ, будут совпадать во время начала движения снаряда:
(V_{0x}=V_{0} cos alpha) сохраняет стабильность значения в любой промежуток времени во время всего перемещения тела.
(V_{0y}=V_{0}sin alpha) будет меняться, согласно формуле равнопеременного движения (V_{y}=V_{0}sin alpha-gt).
В максимальной точке, на которую поднимется снаряд:
(V_{y}=V_{0}sin alpha-gt_{1}=0)
Из этого равенства следует:
(t=frac{V_{0sin alpha }}{g})
Полное время полета тела будет рассчитано по формуле:
(t=2t_{1}=frac{2V_{0}sin alpha }{g}=50)
Высота, на которую поднимется снаряд, определяется с помощью уравнения равнозамедленного перемещения тела:
(h=V_{0y}t_{1}-frac{gt_{1}^{2}}{2}=frac{V_{0}^{2}sin ^{2}alpha }{2g}=3060)
Дальность полета снаряда будет рассчитана таким образом:
(S=V_{0x}t=frac{V_{0}^{2}sin 2alpha }{g}=21000)
Ответ: высота составляет 3060 метров, дальность полета равна 21000 метров, время движения составит 50 секунд.
- Это движение в плоскости, поэтому для описания движения необходимо 2 координаты.
- Считаем, что движение происходит вблизи поверхности Земли, поэтому ускорение тела – ускорение свободного падения (a = g).
Так как мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, то ускорение направлено только к поверхности Земли (g) – вдоль вертикальной оси (y), вдоль оси х движение равномерное и прямолинейное.
Движение тела, брошенного горизонтально.
Выразим проекции скорости и координаты через модули векторов.
Для того чтобы получить уравнение траектории, выразим время tиз уравнения координаты x и подставим в уравнение для y:
Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Порядок решения задачи аналогичен предыдущей.
Решим задачу для случая х0=0 и y0=0.
Докажем, что траекторией движения и в этом случае будет парабола. Для этого выразим координату Y через X (получим уравнение траектории):
.
Мы получили квадратичную зависимость между координатами. Значит траектория — парабола.
Найдем время полета тела от начальной точки до точки падения. В точке падения координата по вертикальной оси у=0.
Время полета:
Зная время полета, найдем максимальное расстояние, которое пролетит тело:
Дальность полета:
Из этой формулы следует, что:
— максимальная дальность полета будет наблюдаться при бросании тела (при стрельбе, например) под углом 450;
— на одно и то же расстояние можно бросить тело (с одинаковой начальной скоростью) двумя способами – т.н. навесная и настильная баллистические траектории.
Используя то, что парабола – это симметричная кривая, найдем максимальную высоту, которой может достичь тело.
Время, за которое тело долетит до середины, равно: 
Время подъема:
Тогда: 
Максимальная высота:
Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к траектории движения (параболе) и равна 
Угол, под которым направлен вектор скорости в любой момент времени:
Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту — определяется из условия, что в момент приземления координата y равна нулю
Рассматривается движение тела вдоль оси X. Движение вдоль оси X равномерное, проекция скорости на ось X не изменяется со временем, поэтому формула координаты X при равномерном движении:
Подставив в нее выражение для времени движения
, получим
Движение тела, брошенного под углом к горизонту:
Обозначения:
L — дальность полета
v0 — начальная скорость тела, брошенного под углом к горизонту
v0х — проекция начальной скорости на ось x
v0y — проекция начальной скорости на ось y
a — угол под которым было брошено тело
t — время тела в полете
g — ускорение свободного падения
Движение тела, брошенного под углом к горизонту, теория и онлайн калькуляторы
Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Начальные условия. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Рассмотрим движение тела в поле тяжести Земли, сопротивление воздуха учитывать не будем. Пусть начальная скорость брошенного тела направлена под углом к горизонту $alpha $ (рис.1). Тело брошено с высоты ${y=h}_0$; $x_0=0$.
Тогда в начальный момент времени тело имеет горизонтальную ($v_x$) и вертикальную ($v_y$) составляющие скорости. Проекции скорости на оси координат при $t=0$ равны:
[left{ begin{array}{c}
v_{0x}=v_0{cos alpha , } \
v_{0y}=v_0{sin alpha . } end{array}
right.left(1right).]
Ускорение тела равно ускорению свободного паления и все время направлено вниз:
[overline{a}=overline{g}left(2right).]
Значит, проекция ускорения на ось X равна нулю, а на ось Y равна $a_y=g.$
Так как по оси X составляющая ускорения равна нулю, то скорость движения тела в этом направлении является постоянной величиной и равна проекции начальной скорости на ось X (см.(1)). Движение тела по оси X равномерное.
При ситуации, изображенной на рис.1 тело по оси Y будет двигаться сначала вверх, а затем виз. При этом ускорение движения тела в обоих случаях равно ускорению $overline{g}.$ На прохождение пути вверх от произвольной высоты ${y=h}_0$ до максимальной высоты подъема ($h$) тело тратит столько же времени, сколько на падение вниз от $h$ до ${y=h}_0$. Следовательно, точки симметричные относительно вершины подъема тела лежат на одинаковой высоте. Получается, что траектория движения тела симметрична относительно точки-вершины подъема — и это парабола.
Скорость движения тела, брошенного под углом к горизонту можно выразить формулой:
[overline{v}left(tright)={overline{v}}_0+overline{g}t left(3right),]
где ${overline{v}}_0$ — скорость тела в момент броска. Формулу (3) можно рассматривать как результат сложения скоростей двух независимых движений по прямым линиям, в которых участвует тело.
Выражения для проекции скорости на оси принимают вид:
[left{ begin{array}{c}
v_x=v_0{cos alpha , } \
v_y=v_0{sin alpha -gt } end{array}
left(4right).right.]
Уравнение для перемещения тела при движении в поле тяжести:
[overline{s}left(tright)={overline{s}}_0+{overline{v}}_0t+frac{overline{g}t^2}{2}left(5right),]
где ${overline{s}}_0$ — смещение тела в начальный момент времени.
Проектируя уравнение (5) на оси координат X и Y, получим:
[left{ begin{array}{c}
x=v_0{cos left(alpha right)cdot t, } \
y={h_0+v}_0{sin left(alpha right)cdot t-frac{gt^2}{2} } end{array}
left(6right).right.]
Тело, двигаясь вверх, имеет по оси Y сначала равнозамедленное перемещение, после того, как тело достигает вершины, движение по оси Y становится равноускоренным.
Траектория движения материальной точки получается, задана уравнением:
[y=h+x tg alpha -frac{gx^2}{2v^2_0{cos}^2alpha }left(7right).]
По форме уравнения (7) видно, что траекторией движения является парабола.
Время подъема и полета тела, брошенного под углом к горизонту
Время, затрачиваемое телом для того, чтобы достигнуть максимальной высоты подъема получают из системы уравнений (4). . В вершине траектории тело имеет только горизонтальную составляющую, $v_y=0.$ Время подъема ($t_p$) равно:
[t_p=frac{v_0{sin alpha }}{g}left(8right).]
Общее время движения тела (время полета ($t_{pol}))$находим из второго уравнения системы (6), зная, что при падении тела на Землю $y=0$, имеем:
[t_{pol}=frac{v_0{sin alpha +sqrt{v^2_0{sin}^2alpha +2gh} }}{g}left(9right).]
Дальность полета и высота подъема тела, брошенного под углом к горизонту
Для нахождения горизонтальной дальности полета тела ($s$) при заданных нами условиях в уравнение координаты $x$ системы уравнений (6) следует подставить время полета ($t_{pol}$) (9). При $h=0,$ дальность полета равна:
[s=frac{v^2_0{sin left(2alpha right) }}{g}left(10right).]
Из выражения (9) следует, что при заданной скорости бросания дальность полета максимальна при $alpha =frac{pi }{4}$.
Максимальную высоту подъема тела ($h_{max}$) находят из второго уравнения системы (6), подставляя в него время подъема ($t_p$) (8):
[h_{max}=h+frac{{v_0}^2{{sin}^2 б }}{2g}left(11right).]
Выражение (11) показывает, что максимальная высота подъема тела прямо пропорциональна квадрату скорости бросания и увеличивается при росте угла бросания.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Во сколько раз изменится время полета тела, которое бросили с высоты $h$ в горизонтальном направлении, если скорость бросания тела увеличили в $n$ раз?
Решение. Найдем формулу для вычисления времени полета тела, если его бросили горизонтально (рис.2).
В качестве основы для решения задачи используем выражение для равноускоренного движения тела в поле тяжести:
[overline{s}={overline{s}}_0+{overline{v}}_0t+frac{overline{g}t^2}{2}left(1.1right).]
Используя рис.2 запишем проекции уравнения (1.1) на оси координат:
[left{ begin{array}{c}
X:x=v_0t;; \
Y:y=h_0-frac{gt^2}{2} end{array}
right.left(1.2right).]
Во время падения тела на землю $y=0,$ используем этот факт и выразим время полета из второго уравнения системы (1.2), имеем:
[0=h_0-frac{g{t_{pol}}^2}{2}to t_{pol}=sqrt{frac{2h_0}{g}} left(1.3right).]
Как мы видим, время полета тела не зависит от его начальной скорости, следовательно, при увеличении начальной скорости в $n$ раз время полета тела не изменится.
Ответ. Не изменится.
Пример 2
Задание. Как изменится дальность полета тела в предыдущей задаче, если начальную скорость увеличить в $n$ раз?
Решение. Дальность полета — это расстояние, которое пройдет тело по горизонтальной оси. Это означает, что нам потребуется уравнение:
[x=v_0t (2.1)]
из системы (1.2) первого примера. Подставив вместо $t,$ время полета, найденное в (1.3), мы получим дальность полета ($s_{pol}$):
[s_{pol}=v_0t_{pol}=v_0sqrt{frac{2h_0}{g}} left(2.2right).]
Из формулы (2.2) мы видит, что при заданных условиях движения дальность полета прямо пропорциональна скорости бросания тела, следовательно, во сколько раз увеличим начальную скорость, во столько раз увеличится дальность полета тела.
Ответ. Дальность полета тела увеличится в $n$ раз.
Читать дальше: закон сообщающихся сосудов.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
В статье подробно, начиная с основ и базовых определений, рассказано о движении тела брошенного под углом к горизонту. Здесь вы найдете формулы параметров движения: общее время, дальность полета, максимальная высота. Также в конце приложены примеры задач с решениями.
Определение. Баллистическое движение — это движение некоторого тела в поле тяжести Земли при условии, что тело имеет вертикальную и горизонтальную проекции скорости.
Вначале вспомним основные формулы для равноускоренного движения.
Изменение скорости с течением времени задаётся соотношением
vₓ = v₀ₓ + aₓt,
где vₓ — конечная проекция скорости, v₀ₓ — начальная проекция скорости, aₓ — проекция ускорения тела.
Изменение координаты x во времени можно найти, используя следующее соотношение:
x = x₀ + v₀ₓt + aₓt² / 2,
где x — конечная координата тела, x₀ — начальная координата, v₀ₓ — начальная проекция скорости тела вдоль оси OX, aₓ — проекция ускорения тела.
Замечание 1. Перемещением тела за время t называется величина Sₓ = x – x₀.
Замечание 2. Так как эти выражения справедливы для проекций, то их можно записать и в векторном виде.
Баллистическое движение — это случай равноускоренного движения (с постоянным ускорением свободного падения g). Любое тело, брошенное под углом α к горизонту, имеет некоторую вертикальную и горизонтальную проекции скорости (рис. 1).
Далее движение необходимо разбить на два участка:
- Горизонтальное
- Вертикальное
По горизонтали тело движется с одинаковой скоростью (обычно пренебрегаем силами различного трения):
v₁ = v₀cos(α)
А по вертикали это обычное движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью:
v₂ = v₀sin(α)
Общее время движения
Разобьём траекторию на два участка. Первый — участок, на котором тело продолжает подниматься, а второй — участок, где тело спускается. Обозначим t₁ время подъёма тела (от нуля до максимальной высоты подъема), t₂ — время спуска тела.
Из уравнения движения:
v₀sin(α) – gt₁ = 0
(так как конечная проекция скорости в верхней точке траектории равна нулю),
t₁ = v₀sin(α) / g.
Найдём время спуска:
–gt₂ = –v₀sin(α),
(т. к. конечная скорость тела будет такая же, как и начальная),
t₂ = v₀sin(α) / g.
Общее время движения:
t = t₁ + t₂ = 2v₀sin(α) / g.
Замечание.Время спуска и время подъёма тела одинаковые. Это связано с тем, что движение симметрично.
Дальность полета
Так как по горизонтали (вдоль оси ОХ) движение тела равномерное, то, зная общее время движения, найдём дальность полета L:
L = tv₁ = (2v₀sin(α) / g) · v₀cos(α) = 2v₀²sin(α)cos(α) / g.
Замечание. Используя формулу из тригонометрии
2sin(α)cos(α) = sin(2α),
получим:
L = 2v₀²sin(2α) / g.
Следовательно, максимальная дальность полета тела будет при броске под углом 45° к горизонту (так как sin(90°) = 1).
Максимальная высота подъёма тела
Рассмотрим движение тела в проекции на ось OY:
H = v₀sin(α)t₁ – gt₁² / 2.
После подставления времени подъёма получим
H = v₀²sin²(α) / (2g).
Давайте теперь решим некоторые задачи.
Задачи
Задача 1. Пуля, летящая горизонтально со скоростью v = 500 м/с, пробивает первый листок бумаги. Найти, на каком расстоянии S находится второй листок бумаги, если известно, что его пуля пробила на h = 20 см ниже, чем первый.
Решение. Найдём, за какое время пуля прошла расстояние между листами. Нам известно, что за это же время она опустилась на высоту h = 20 см. Тогда:
h = gt² / 2,
t = √(2h/g).
Теперь, зная время движения пули между листами, найдём расстояние, которое прошла пуля за это время:
S = tv = v · √(2h/g) = 100 м.
Ответ: S = 100 м.
Задача 2. Школьник может бросить мяч в спортивном зале с максимальной скоростью v = 25 м/с. Пренебрегая силами сопротивления воздуха, найти максимальную дальность полета мяча в спортивном зале, если высота зала равна h = 4 м. Считать, что мяч не ударяется о потолок.
Решение. Пусть мальчик бросил мяч под некоторым углом α к горизонту. Тогда дальность полета мяча равна:
L = 2v₀²sin(α)cos(α) / g.
Как обсуждалось выше, тело имеет максимальную дальность полета, если его бросить под углом α = 45° к горизонту. Но в данной задаче возможно, что при таком угле мяч ударится о потолок. Проверим, какова максимальная высота подъёма мяча при условии, что угол равен α = 45°.
H = v₀²sin²(α) / (2g) = 16 м.
Следовательно, угол, под которым мальчик бросит мяч, будет значительно меньше. Найдём максимальный угол, при котором мяч не столкнется с потолком. Этот угол будет соответствовать предельному случаю, когда мяч побывает на высоте h = 4 м.
h = v₀²sin²(α) / (2g) => sin²(α) = 2gh / v₀².
Из основного тригонометрического тождества
sin²(α) + cos²(α) = 1
найдём cos²(α):
cos²(α) = 1 – 2gh / v₀².
Подставив все выражения в дальность полета L, получим:
L = 2√(2gh(v₀² – 2gh)) / g = 42 м.
Ответ: L = 42 м.
Замечание. Если в задаче не приведены числовые значения (задача в общем виде), то необходимо записать 2 ответа. Первый ответ при условии высокого потолка, при h > H —
L = 2v₀²sin(α)cos(α) / g, α = 45°.
И при h < H получаем ответ
L = 2√(2gh(v₀² – 2gh)) / g.
Список литературы
- Черноуцан А. Учебно-справочное пособие для старшеклассников и абитуриентов. М., 2000.
- Белолипецкий С. Н., Еркович О. С., Казаковцева В. А., Цвецинская Т. С. Задачник по физике. М., 2005.
Автор: Роман Федоренко