Вневписанные окружности
Теорема 1 . В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).
Проведём биссектрисы углов DAC и ECA , которые являются внешними углами треугольника ABC . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O . Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC , который является внутренним углом треугольника ABC , не смежным с внешними углами DAC и ECA . С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF , OG и OH на прямые AB , AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC , то справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство
Замечание 1 . В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства
откуда вытекает, что точки F , G и H лежат на одной окружности с центром в точке O .
Определение . Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник , или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).
Замечание 2 . У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.
Замечание 3 . Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B , а окружность касается стороны b . Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b , и обозначать её радиус символом rb .
Теорема 2 . Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC . Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.
Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство
где a, b, c – стороны треугольника ABC . Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A . Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C . Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B . Отсюда получаем:
где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC . Теорема 2 доказана.
Теорема 3 . Радиус вневписанной окружности , касающейся стороны b , вычисляется по формуле
где буквой S обозначена площадь треугольника ABC , а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC .
Доказательство . Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства
Следовательно, справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Следствие . Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:
Теорема 4 . Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:
Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности
,
что и требовалось доказать.
Теорема 5 . Площадь треугольника можно вычислить по формуле
Доказательство . Перемножим формулы
что и требовалось доказать.
Теорема 6 . Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:
Доказательство . Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим
Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:
МАТЕМАТИКА
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и проведем биссектрису . Затем продолжим эту биссектрису за точку
до пересечения в точке
с биссектрисой внешнего угла при вершине В (рис.1). Поскольку точка
лежит на биссектрисе угла А, то она равноудалена от прямых АВ и ВС. Следовательно, она равноудалена и от прямых АС и ВС, а значит, лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине С.
Продолжение биссектрисы треугольника, проведенной из одной из вершин, пересекается с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в одной точке.
Поскольку точка равноудалена от сторон внешних углов при вершинах В и С, то окружность с центром
, касающаяся стороны ВС, касается также и продолжений сторон АВ и АС (рис.2).
Эта окружность называется вневписанной окружностью треугольника АВС. Ясно, что любой треугольник имеет три вневписанных окружности. (рис.3).
Положение центра вневписанной окружности можно охарактеризовать так: это точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах В и С. Можно охарактеризовать его и совершенно иначе, если заметить, что точки
, В и С и центр О вписанной в треугольник АВС окружности лежат на одной окружности с диаметром
(рис.4), – это следует из того, что углы
и
прямые.
Можно сказать, таким образом, что точка представляет собой точку пересечения прямой
и окружности, описанной около треугольника ВОС.
Принимая во внимание замечание в конце статьи (Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности), из этого можно сделать еще один вывод:
Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.
В самом деле, пусть D – точка пересечения продолжения биссектрисы с описанной около треугольника АВС окружностью (рис.5). Тогда согласно упомянутому замечанию DB = DC = DO. Следовательно, D – центр окружности, описанной около четырехугольника
. Проведем из точек O, D и
перпендикуляры к стороне ВС и обозначим их основания буквами P, Q и R соответственно (рис.6). Точки P и R являются точками касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной ВС, а точка Q – середина этой стороны. Но
, значит, и PQ = QR, то есть точки P и R симметричны относительно точки Q.
Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника обладает еще одним замечательным свойством:
Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам.
Можно убедиться в этом самостоятельно, используя рис. 7.
При решении задач, связанных с нахождением площади треугольника, часто полезной бывает следующая формула. Пусть – радиус вневписанной окружности, касающейся стороны треугольника, равной а, р – полупериметр треугольника. Тогда
Обозначим эту формулу (1).
Действительно, если две другие стороны данного треугольника равны b и c (рис. 8), то
Замечание. Выпуклый четырехугольник может не иметь вписанной окружности, но он всегда имеет четыре вневписанные окружности.
Любопытно, что для площади S такого четырехугольника имеет место соотношение, похожее на формулу (1).
В самом деле, пусть стороны данного четырехугольника равны последовательно a, b, c и d; p – его полупериметр, и
– радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных а и с. Допустим, что две другие стороны не параллельны (случай параллельных сторон рассмотрите самостоятельно). Продолжим их до пересечения в точке М (рис.9).
Пусть и
– точки, в которых продолжения одной из сторон касаются вневписанных окружностей, причем
лежит на окружности, вписанной в маленький треугольник. Площадь S четырехугольника равна, очевидно, разности площадей большого и маленького треугольников. Периметр маленького треугольника равен
, а периметр большого треугольника равен
Применяя к большому треугольнику формулу (1), а к меньшему – формулу , выражающую его площадь через радиус вписанной окружности и полупериметр, получаем:
Обозначим эту формулу (2)
С другой стороны, из подобия треугольников и
(
и
– центры вневписанных окружностей) находим
. Но отрезок
равен полупериметру большого треугольника, то есть
.
Поэтому из полученной пропорции можно найти :
Подставляя это выражение в равенство (2) получим:
Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях
Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.
Вневписанная окружность треугольника.
Определение.
Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника.
Теорема 1.
Центр окружности, вневписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла треугольника.
Доказательство.
BF — биссектриса ∠JBG, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.
СF — биссектриса ∠JСH, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.
Следовательно, точка F равноудалена от сторон ∠BAC.
Таким образом, точка F — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AB и AC. По определению данная окружность называется вневписанной окружностью треугольника.
Теорема 2.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вневписанной окружности и противолежащей стороны, делит треугольник на два треугольника равного периметра.
Доказательство.
BJ=BG, GC=CH и AJ=AH (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности).
PΔABC=AB+ BC +AC=AB+ BG + GC +AC=AB+ BJ + AC +CH=AJ+AH.
Так как AJ=AH, то PΔABC/2=AJ=AH и PΔABC/2+AG=AJ+AG=AH+AG=AB+BG+GA=AC+CG+GA.
Следовательно, отрезок AG поделил треугольник ABC на два треугольника равного периметра PΔABC/2+AG.
http://anasta8ia.ru/vnevpisannaya-okruzhnost-treugolnika/
Вписанная окружность и отрезки сторон треугольника
Давай представим, что мы откуда-то узнали все три стороны треугольника.
Можно ли найти как-то отрезочки ( displaystyle AK), ( displaystyle KC), ( displaystyle BL) и.д. —отрезки, на которые точки касания разбивают стороны треугольника?
Представь себе, можно, и даже очень легко. Для этого нужно знать только то, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны (если ещё не успел это узнать – загляни в тему «Касательные, касающиеся окружности»).
Итак, начнём поиск!
Посмотри внимательно: из точки ( displaystyle A) проведено две касательных, значит их отрезки ( displaystyle AK) и ( displaystyle AM) равны.
Мы обозначим их «( displaystyle x)».
Далее, точно так же:
( displaystyle BM=BL=y) (обозначили).
( displaystyle CK=CL=z) (обозначили).
Теперь вспомним-ка, что мы знаем длины всех трёх сторон треугольника. Обозначим эти длины «( displaystyle a)», «( displaystyle b)», «( displaystyle c)» — смотри на рисунок. Что же теперь получилось?
А вот, например, отрезок «( displaystyle a)» состоит из двух отрезков «( displaystyle y)» и «( displaystyle z)», да и отрезки «( displaystyle b)» и «( displaystyle c)» тоже из чего-то состоят. Запишем это всё сразу:
( displaystyle left{ begin{array}{l}y+z=a\x+z=b\x+y=cend{array} right.)
Ух ты! Выход в алгебру! Три уравнения и три неизвестных! Сейчас решим!
Сложим первые два уравнения и вычтем третье:
( displaystyle left{ begin{array}{l}y+z=a\x+z=b\x+y=cend{array} right.Rightarrow x+y+2z-left( x+y right)=a+b-c), то есть:
( displaystyle z=frac{a+b-c}{2})
А теперь сложим первое и третье уравнение и вычтем второе:
( displaystyle left{ begin{array}{l}y+z=a\x+z=b\x+y=cend{array} right.Rightarrow y+z+x+y-left( x+z right)=a+c-b), то есть:
( displaystyle y=frac{a+c-b}{2})
И последний шаг: сложим второе и третье, а потом вычтем первое.
( displaystyle left{ begin{array}{l}y+z=a\x+z=b\x+y=cend{array} right.Rightarrow x=frac{b+c-a}{2})
( displaystyle x=frac{b+c-a}{2})
Ну вот, всё нашли:
( displaystyle x=frac{b+c-a}{2};y=frac{a+c-b}{2};~z=frac{a+b-c}{2})
Очень много плюсов и минусов – аж в глазах рябит. Как же это запомнить? А оказывается, очень просто. Смотри-ка на картинку и формулу сразу.
( displaystyle x=frac{b+c-a}{2})
Секрет вот в чём: те стороны, на которых есть «( displaystyle x)» («( displaystyle b)» и «( displaystyle c)») будут с плюсом, а та сторона, где нет «( displaystyle x)» (это «( displaystyle a)»), будет с минусом.
Ну, а пополам поделить всё хозяйство. С другими буквами точно так же
( displaystyle y=frac{a+c-b}{2})
На «( displaystyle a)» и «( displaystyle c)» есть «( displaystyle y)» — они с плюсом, на «( displaystyle b)» нет «( displaystyle y)» — она с минусом
( displaystyle z=frac{a+b-c}{2})
На «( displaystyle a)» и «( displaystyle b)» есть «( displaystyle z)» — они с плюсом, на «( displaystyle c)» нет «( displaystyle z)» — она с минусом.
Определение.
Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника.
Теорема 1.
Центр окружности, вневписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла треугольника.
Доказательство.
BF — биссектриса ∠JBG, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.
СF — биссектриса ∠JСH, следовательно F равноудалена от сторон данного угла.
Следовательно, точка F равноудалена от сторон ∠BAC.
Таким образом, точка F — центр окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AB и AC. По определению данная окружность называется вневписанной окружностью треугольника.
Теорема 2.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой касания вневписанной окружности и противолежащей стороны, делит треугольник на два треугольника равного периметра.
Доказательство.
BJ=BG, GC=CH и AJ=AH (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности).
PΔABC=AB+BC+AC=AB+BG+GC+AC=AB+BJ+AC+CH=AJ+AH.
Так как AJ=AH, то PΔABC/2=AJ=AH и PΔABC/2+AG=AJ+AG=AH+AG=AB+BG+GA=AC+CG+GA.
Следовательно, отрезок AG поделил треугольник ABC на два треугольника равного периметра PΔABC/2+AG.
Советую прочитать:
- Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности;
- Лемма о трезубце.
Формулы для центров вневписанных окружностей треугольников
Речь пойдет о формулах для определения расстояний между
центрами вписанной и вневписанной окружностей произвольного треугольника.
Пусть α,
β,
γ — внутренние углы
треугольника, а r — радиус вписанной в него окружности. Обозначим
расстояния между центром O вписанной окружности и центрами A, B,
C вневписанных окружностей соответственно:
OA – la, OB – lb,
OC – lc;
аналогично — расстояния между центрами вневписанных
окружностей:
BC – La, CA – Lb,
AB – Lc.
Тогда имеют место шесть следующих легко запоминающихся
соотношений:
В случае равностороннего треугольника формулы предельно
упрощаются:
la = lb = lc
= l = 4r;
La = Lb = Lc = L =
Формулам можно придать другой вид, если учесть, что:
где a, b, c — стороны треугольника,
— его полупериметр.
После соответствующих подстановок и следующих за ними
сокращений окончательно получим:
Для равностороннего треугольника
Сарбаш Р.
Применение свойств вневписанной окружности при решении геометрических задач
Необходимость изучения теории о замечательных точках треугольника, о вневписанной окружности и ее свойствах вызвана тем, что многие выпускники школ даже не приступают к задачам раздела С4. Актуальность изучения данной темы в том, что чаще всего именно геометрические задачи вызывают затруднения у абитуриентов и выпускников, участников математических олимпиад. Познакомить выпускников с понятием вневписанной окружности и ее свойствах необходимо как для расширения их кругозора, так и для умения решать задачи повышенной сложности.
Данный материал был предложен учащимся для ознакомления и подготовки к ЕГЭ.
Определение: Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон.
Теорема 1: У каждого треугольника три вневписанные окружности
1 свойство вневписанной окружности:
Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы внутреннего угла треугольника (∠A) и биссектрис двух внешних углов (∠B и ∠C).
2 свойство вневписанной окружности:
Точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны.
3 свойство вневписанной окружности:
Прямая, проведенная через вершину треугольника и точку, в которой вневписанная окружность касается противоположной стороны, делит периметр треугольника пополам. Длина отрезка касательной, проведённой к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.
4 свойство вневписанной окружности:
Площадь треугольника равна произведению радиуса вневписанной окружности на разность периметра и длины стороны треугольника касающейся вневписанной окружности
5 свойство вневписанной окружности:
где r, ra, rb, rc –соответственно радиусы вписанной и вневписанных окружностей
6 свойство вневписанной окружности:
7 свойство вневписанной окружности:
8 свойство вневписанной окружности :
9 свойство вневписанной окружности
Определение: Ортотреугольник это треугольник
∆abc вершины которого являются основаниями высот треугольника АВС.
Для ортотреугольника ( треугольника ∆abc) сам треугольник АВС является треугольником трех внешних биссектрис. Отрезки АВ, ВС и СА являются тремя внешними биссектрисами треугольника ∆abc.
Свойство 9 :
Исходный треугольник АВС является ортотреугольником треугольника OaObOc.
Свойство 10 :
Свойство 11 :
Доказательство всех свойств можно посмотреть по ссылке http://wiki.sch239.net/math-public/vnevpisannye_okruzhnosti
Применение свойств к решению задач части С4 из банка ЕГЭ
Задача 1.
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
«Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6».
Решение: Согласно свойству 6, произведение радиусов можно найти по формуле
rarbrc = rp2, где r-радиус вписанной в треугольник окружности, а р – полупериметр треугольника. Р = 4+5+6=15, р = 15/2.
r = S/p. Площадь найдем по формуле Герона: S =
Тогда rarbrc =
Ответ:
Задача 2
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
«Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21».
Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через радиус описанной окружности.
S=, тогда abc=S·4R. 4R=ra+rb+rc-r; S = rarbrc/p;
р2 = rarb+rarc+rbrc; p²=9·18+9·21+18·21=27²; S=9·18·21/27=126;
4R = ra + rb + rc — r; r = ra·rb·rc/p²; r = 9·18·21/27² = 14/3;
4R = 9+18+21- 14/3 = 130/3; abc = 126·130/7=5460
Ответ: 5460.
Задачи повышенной сложности
Задания Д11 C4 № 500964
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.
Решение.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b, BC = a и гипотенузой AB = c.
Пусть окружность с центром Oc радиуса rc касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC
− в точках M и N соответственно, а p — полупериметр треугольника ABC.
Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA + AN = CA + AT, поэтому
а так как CM = CN, то CM = p. Далее, пусть окружность с центром Oa радиуса ra касается катета BC в точке K, а продолжений сторон AB и AC — в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ = AP = p.
Четырехугольники NOcMC и KOaQC — квадраты, поэтому значит, ra < rc.
Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.
Таким образом, возможны только такие случаи:
- Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7;
- либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17.
Предположим, что rc = 17 и ra = 7 (рис. 1).
Опустим перпендикуляр OaF из центра меньшей окружности на OcN. Тогда
Следовательно,
Пусть теперь rb = 17 и ra = 7. (рис 2)
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки Oa,C и Ob лежат на оной прямой.
Следовательно,
Ответ: 26 или
Задание 16 № 519666
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на его основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Решение.
а) Пусть b — боковая сторона треугольника, c — его основание, h — высота, опущенная на основание треугольника.
Радиус вневписанной окружности вычисляется по формуле где p — полупериметр треугольника, a — сторона, которой касается окружность.
Таким образом,
б) Пусть O2 — центр вписанной окружности. Проведем радиус в точку касания H. Трегольники AMC и CHO2 подобны по двум углам, поэтому
Так как R=h, то r= . Тогда CO 2 =3r. Найдем CH по теореме Пифагора. Получим, что СH=
Тогда
Откуда получаем
О твет: а) R=h ч.т.д
б) точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону в отношении 2:1
Таким образом: рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся для успешной сдачи итоговой аттестации.
Список используемой литературы:
1. Березин В.И. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике – Москва: Просвещение, 1985 год.
2. Гнеденко Б.Г. Энциклопедический словарь юного математика. –Москва: Просвещение, 1985 год
3.
5. Мальцев Д.А. « Математика. Все для ЕГЭ-2011» НИИ школьных технологий , 2010г.
6. Понарин Я.П. Элементарная геометрия / Я.П. Понарин. – Москва: МЦНМО, 2004 год.
7. Шарыгин И.Ф. « Геометрия 7-9» . учебник для общеобразовательных учреждений, — Москва. Дрофа. 2010г. (п. 8.1)
Список интернет ресурсов:
- Сайт президентского лицея № 239 СПб http://wiki.sch239.net/math-public/vnevpisannye_okruzhnosti
- Сайт «Решу ЕГЭ» https://ege.sdamgia.ru/
- Видеоуроки и лекции: Твоя-школа.рф www.ege-1.ru
- Онлайн-школа Фоксфорд https://foxford.ru/wiki/matematika/vnevpisannaya-okruzhnost-treugolnika
- Подготовка школьников к ЕГЭ «Учебные материалы Резольвента» https://www.resolventa.ru/