Как найти центр основания треугольника

Центр треугольника

Треугольник — наиболее распространенная форма деталей в сферах машиностроения и строительства. Точка пересечения 3-х медиан считается центром треугольника. На эту точку приходится также центр тяжести и центр симметрии предметов треугольной формы. При разработке дизайнерских, инженерных проектов очень важно точно рассчитать центр тяжести элементов металлической или бетонной конструкции.

Существует несколько понятий центра для треугольника.

Инцентр — точка пересечения его биссектрис. Это — центр описанной около треугольника окружности.

Ортоцентр — точка пересечения его высот.

Центр тяжести,центр масс или центроид (обозн. М) — точка пересечения медиан треугольника.

Рассмотрим треугольник. Определим середины его сторон и соединим их с противолежащими углами. Точка пересечения медиан и будет центром тяжести тр-ка. Медиана делится этой точкой в пропорции 2:1 , (считая от вершины тр-ка).

Как найти центр треугольника

Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.

Центром равностороннего треугольника является точка пересечения высот, биссектрис и медиан.

Центр равностороннего треугольника является также центром вписанной и описанной окружности.

Центроид расположен на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности. Центроид делит отрезок 2:1.

Быстро найти центр треугольника G можно с помощью онлайн калькулятора. Для этого:

• ввести в поле калькулятора координаты вершин треугольника;
• нажать кнопку Вычислить. Калькулятор вычислит значение центра треугольника G.

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Фигура	Рисунок	Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника		Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника		Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности	Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности		Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности		Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов
Площадь треугольника
Радиус описанной окружности

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Как определить центр треугольника?

Как найти середину у треугольника?

Пересекающиеся медианы Найдите середину одной стороны треугольника. Для этого измерьте сторону и разделите ее длину пополам. Середину отметьте точкой A.

Как найти центр тяжести в треугольнике?

Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике. . Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).

Как найти центр тяжести в прямоугольном треугольнике?

Как найти координаты центра тяжести треугольника?

1. Рисуем треугольник ABC.
2. Ставим точку M — середина BC.
3. Ставим точку H — середина AC.
4. Пересечение BH и AM — и есть центр тяжести треугольника ABC.
5. Найдем его координаты (координаты точки O (xo, yo, zo) )

Как найти Инцентр?

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Инцентр лежит ближе к вершине, расположенной напротив большей стороны треугольника.

Как найти центр тяжести тела неправильной формы?

Центр тяжести тела неправильной формы можно определить так: подвесить его за любую точку, и провести вертикальную линию по отвесу. Затем повернуть тело и повторить операцию. Точка пересечения двух прямых и есть центр тяжести тела.

Где находится центр тяжести призмы?

Так, центр тяжести призмы и цилиндра лежит на середине линии, соединяющей центры тяжести оснований. Центр тяжести шара совпадает с его геометрическим центром. Центр тяжести пирамиды (рис. 18, а) лежит на прямой, соединяющей центр тяжести площади основания с противоположной вершиной на расстоянии /4 высоты от основания.

Где находится центр тяжести у кольца?

Так, центр тяжести однородных диска и шара расположен в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т, д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например, у кольца.

Как найти Центроид фигуры?

Центроид (барицентр или центр масс) вершин произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения 3-х отрезков: 1-й отрезок соединяет середины диагоналей, два другие — середины противополежащих сторон. Точка пересечения делит все три отрезка пополам.

Где находится центр тяжести однородного треугольника?

Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

Где находится центр тяжести у трапеции?

Для произвольной трапеции (то есть она может быть прямоугольной, тупоугольной, равнобокой или любой другой) справедливо то, что центр ее тяжести лежит на прямой, которая соединяет середины оснований трапеции.

Как найти центр масс треугольника?

Как найти центр треугольника

Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.

Как найти длину медианы в прямоугольном треугольнике?

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.

Где находится центр круга?

Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) — одна из замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром.

Где лежит центр равнобедренного треугольника?

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является серединным перпендикуляром. Следовательно, центр описанной около равнобедренного треугольника окружности будет лежать на серединном перпендикуляре, который является и высотой, и медианой, и биссектрисой угла при вершине.

Где лежит центр окружности?

Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Точка в треугольнике, которую можно рассматривать как его середину при некоторых критериях

В геометрии, центр треугольника (или центр треугольника ) — это точка на плоскости, которая в некотором смысле является центром треугольника, аналогичным центрам квадраты и кружки, то есть точка, которая по какой-то мере находится в середине рисунка. Например, центроид, центр окружности, центр окружности и ортоцентр были известны древним грекам и могут быть полученные простыми конструкциями.

Каждый из этих классических центров обладает тем свойством, что он инвариантен (точнее, эквивариантен ) относительно преобразований подобия. Другими словами, для любого треугольника и любого преобразования подобия (например, вращение, отражение, растяжение или перевод ) центр преобразованного треугольника совпадает с точкой преобразованного центра исходного треугольника. Эта инвариантность является определяющим свойством центра треугольника. Он исключает другие хорошо известные точки, такие как точки Брокара, которые не являются инвариантными при отражении и поэтому не могут считаться центрами треугольников.

Все центры равностороннего треугольника совпадают в его центроиде, но обычно они отличаются друг от друга в разносторонних треугольниках. Определения и свойства тысяч центров треугольников собраны в Энциклопедии центров треугольников.

Содержание

• 1 История
• 2 Формальное определение
  • 2.1 Домен по умолчанию
  • 2.2 Другие полезные домены
  • 2.3 Симметрия домена
• 3 Примеры
  • 3.1 Окружной центр
  • 3.2 1-й изогонический центр
  • 3.3 Точка Ферма
• 4 Не примеры
  • 4.1 Точки Брокара
• 5 Позиционные векторы
• 6 Некоторые хорошо известные центры треугольников
  • 6.1 Центры классических треугольников
  • 6.2 Последние центры треугольников
• 7 Общие классы центров треугольников
  • 7.1 Центр Кимберлинга
  • 7.2 Центр полиномиального треугольника
  • 7.3 Центр правильного треугольника
  • 7.4 Центр большого треугольника
  • 7.5 Центр трансцендентного треугольника
• 8 Разное
  • 8.1 Равнобедренные и равносторонние треугольники
  • 8.2 Excenters
  • 8.3 Биантосимметричные функции
  • 8.4 Новые центры из старого
  • 8.5 Неинтересные центры
  • 8.6 Барицентрические координаты
  • 8.7 Бинарные системы
  • 8.8 Бисимметрия и инвариантность
  • 8.9 Альтернатива t erminology
• 9 центров гиперболических треугольников
• 10 центров тетраэдров и n-симплексных центров
• 11 См. также
• 12 Примечания
• 13 Внешние ссылки

История

Хотя древние Греки открыли классические центры треугольника, они не сформулировали никакого определения центра треугольника. После древних греков, несколько особых точек, связанных с треугольником, таких как точка Ферма, центр из девяти точек, точка Лемуана, точка Жергонна и точка Фейербаха. Во время возрождения интереса к геометрии треугольника в 1980-х годах было замечено, что эти особые точки обладают некоторыми общими свойствами, которые теперь составляют основу для формального определения центра треугольника. По состоянию на 1 сентября 2020 года Кларк Кимберлинг Энциклопедия центров треугольников содержит аннотированный список из 39 474 центров треугольников.

Формальное определение

A вещественнозначная функция f трех вещественных переменных a, b, c может иметь следующие свойства:

• Однородность: f (ta, tb, tc) = tf (a, b, c) для некоторой константы n и для всех t>0.
• Бисимметрия во второй и третьей переменных: f (a, b, c) = f (a, c, b).

Если ненулевое f имеет оба этих свойства, оно называется функция центра треугольника . Если F представляет собой треугольник центр функции и, Ь, с боковыми длинами опорного треугольника, то точка, трилинейной координата являются F (а, б, в): F (B, C, a): f (c, a, b) называется центром треугольника .

. Это определение гарантирует, что центры треугольников подобных треугольников удовлетворяют критериям инвариантности, указанным выше. По соглашению цитируется только первая из трех трилинейных координат центра треугольника, поскольку две другие получаются путем циклической перестановки точек a, b, c. Этот процесс известен как цикличность .

Каждая функция центра треугольника соответствует уникальному центру треугольника. Это соответствие не является биективным. Различные функции могут определять один и тот же центр треугольника. Например, функции f 1 (a, b, c) = 1 / a и f 2 (a, b, c) = bc обе соответствуют центроиду. Две функции центра треугольника определяют один и тот же центр треугольника тогда и только тогда, когда их отношение является функцией, симметричной относительно a, b и c.

Даже если функция центра треугольника хорошо определена везде, то же самое нельзя всегда сказать о соответствующем центре треугольника. Например, пусть f (a, b, c) равно 0, если a / b и a / c оба рациональны, и 1 в противном случае. Тогда для любого треугольника с целыми сторонами центр связанного треугольника оценивается как 0: 0: 0, что не определено.

Домен по умолчанию

В некоторых случаях эти функции не определены для всего ℝ. Например, трилинейные линии X 365 — это a: b: c, поэтому a, b, c не могут быть отрицательными. Кроме того, чтобы изобразить стороны треугольника, они должны удовлетворять неравенству треугольника. Таким образом, на практике каждая функция домен ограничена областью ℝ, где a ≤ b + c, b ≤ c + a и c ≤ a + b. Эта область T является областью всех треугольников и областью по умолчанию для всех функций на основе треугольников.

Другие полезные области

Существуют различные случаи, когда может быть желательно ограничить анализ областью меньшего размера, чем T . Например:

• Центры X 3, X 4, X 22, X 24, X 40 сделайте конкретную ссылку на острые треугольники,., а именно на ту область T, где a ≤ b + c, b ≤ c + a, c ≤ a + b.
• При различении точки Ферма и X 13 важна область треугольников с углом, превышающим 2π / 3,. другими словами треугольников, для которых a>b + bc + c или b>c + ca + a или c>a + ab + b.
• Область, имеющая большую практическую ценность, поскольку она плотна в T, но исключает все тривиальные треугольники (т.е. точки) и вырожденные треугольники. (т.е. линии) — это набор всех разносторонних треугольников. Он получается удалением плоскостей b = c, c = a, a = b из T.

Симметрия домена

Не каждое подмножество D⊆ Tявляется жизнеспособным доменом. Для подтверждения теста на бисимметрию D должен быть симметричным относительно плоскостей b = c, c = a, a = b. Для поддержки цикличности он также должен быть инвариантным относительно 2π / 3 поворотов вокруг прямой a = b = c. Самой простой областью является прямая (t, t, t), которая соответствует набору всех равносторонних треугольников.

Примеры

Треугольник (ΔABC) с центроидом (G), центром (I), центром описанной окружности (O), ортоцентр (H) и центр из девяти точек (N)

Центр окружности

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника ABC — это центр окружности. Трилинейные координаты центра описанной окружности следующие:

a (b + c — a): b (c + a — b): c (a + b — c).

Пусть f (a, b, c) = а (б + с — а). Тогда

f (ta, tb, tc) = (ta) ((tb) + (tc) — (ta)) = t (a (b + c — a)) = tf (a, b, c) (однородность)

f (a, c, b) = a (c + b — a) = a (b + c — a) = f (a, b, c) (бисимметрия)

так что f — функция центра треугольника. Поскольку соответствующий центр треугольника имеет те же трилинейи, что и центр описанной окружности, следует, что центр описанной окружности является центром треугольника.

1-й изогонический центр

Пусть A’BC будет равносторонним треугольником, имеющим основание BC и вершину A ‘на отрицательной стороне BC, и пусть AB’C и ABC’ построены аналогичным образом равносторонними треугольниками на основе на двух других сторонах треугольника ABC. Тогда прямые AA ‘, BB’ и CC ‘совпадают, и точка совпадения — это 1-й изогональный центр. Его трилинейные координаты:

csc (A + π / 3): csc (B + π / 3): csc (C + π / 3).

Выражая эти координаты через a, b и c, получаем единицу можно проверить, что они действительно удовлетворяют определяющим свойствам координат центра треугольника. Следовательно, 1-й изогонический центр также является центром треугольника.

Точка Ферма

Пусть

f (a, b, c) = {1, если a 2>b 2 + bc + c 2 (эквивалентно A>2 π / 3), 0, если b 2>c 2 + ca + a 2 или c 2>a 2 + ab + b 2 (эквивалентно B>2 π / 3 или C>2 π / 3), csc ⁡ (A + π / 3) в противном случае (эквивалентно, ни один угол при вершине не превышает 2 π / 3). { displaystyle f (a, b, c) = { begin {cases} 1 quad { text {if}} a ^ {2}>b ^ {2} + bc + c ^ {2} ({ text {эквивалентно}} A>2 pi / 3), \ 0 quad { text {if}} b ^ {2}>c ^ {2} + ca + a ^ {2} { text { или}} c ^ {2}>a ^ {2} + ab + b ^ {2} ({ text {эквивалентно}} B>2 pi / 3 { text {или}} C>2 pi / 3), \ csc (A + pi / 3) quad { text {иначе}} ({ text {эквивалентно, что ни один угол при вершине не превышает}} 2 pi /3).end{cases} }}

Тогда f является бисимметричным и однородным, поэтому это функция центра треугольника. Более того, центр соответствующего треугольника совпадает с вершиной с тупым углом, когда любой угол вершины ds 2π / 3, а с 1-м изогоническим центром в противном случае. Следовательно, центр этого треугольника — не что иное, как точка Ферма.

Непримеры

Точки Брокара

Трилинейные координаты первой точки Брокара — c / b: a / c : б / у. Эти координаты удовлетворяют свойствам однородности и цикличности, но не бисимметрии. Итак, первая точка Брокара не является (в общем) центром треугольника. Вторая точка Брокара имеет трилинейные координаты b / c: c / a: a / b; применимы аналогичные замечания.

Первая и вторая точки Брокара — это одна из многих бицентрических пар точек, пар точек, определенных из треугольника со свойством, что пара (но не каждая отдельная точка) сохраняется при сходстве с треугольником. Несколько бинарных операций, таких как средняя точка и трилинейное произведение, при применении к двум точкам Брокара, а также к другим бицентрическим парам, создают центры треугольников.

Векторы положения

Центры треугольников можно записать следующим образом:

P = w A A + w B B + w C C w A + w B + w C. { displaystyle P = { frac {w_ {A} A + w_ {B} B + w_ {C} C} {w_ {A} + w_ {B} + w_ {C}}}.}

Здесь, P, A, B, C { displaystyle P, A, B, C}— векторы положения, и координаты w A, w B, w C { displaystyle w_ {A}, w_ {B}, w_ {C}}— скаляры, определение которых соответствует каждому центральному экземпляру, можно увидеть в следующей таблице, где, a, b, c { displaystyle a, b, c}— длины сторон, и S { displaystyle S}— площадь треугольника, для получения которой можно использовать формулу Герона.

	вес A { displaystyle w_ {A}}	w B { displaystyle w_ {B}}	w C { displaystyle w_ {C}}	w A + w B + w C { displaystyle w_ {A} + w_ {B} + w_ {C}}
Incenter	a { displaystyle a}	b { displaystyle b}	c { displaystyle c}	a + b + c { displaystyle a + b + c}
Excenter	— a { displaystyle -a}	b { displaystyle b}	c { displaystyle c}	b + c — a { displaystyle b + ca}
a { displaystyle a}	— b { displaystyle -b}	c { displaystyle c}	c + a — b { displaystyle c + ab}
a { displaystyle a}	b { displaystyle b}	— c { displaystyle -c}	a + b — c { displaystyle a + bc}
Центроид	1 { displaystyle 1}	1 { displaystyle 1}	1 { displaystyle 1}	3 { displaystyle 3}
Circumcenter	a 2 (b 2 + c 2 — a 2) { displaystyle a ^ {2} (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2})}	b 2 (c 2 + a 2 — b 2) { displaystyle b ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2})}	c 2 (a 2 + b 2 — c 2) { displaystyle c ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2})}	16 S 2 { displaystyl e 16S ^ {2}}
Ортоцентр	a 4 — (b 2 — c 2) 2 { displaystyle a ^ {4} — (b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2 }}	b 4 — (c 2 — a 2) 2 { displaystyle b ^ {4} — (c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2}}	c 4 — ( a 2 — b 2) 2 { displaystyle c ^ {4} — (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2}}	16 S 2 { displaystyle 16S ^ {2}}

a ≡ BC ¯ = (BC →, BC →), { displaystyle a эквив { overline {BC}} = { sqrt {({ vec {BC}}, { vec {BC}}) }},}

b ≡ CA ¯ = (CA →, CA →), { displaystyle b Equiv { overline {CA}} = { sqrt {({ vec {CA}}, { vec {CA}})}},}

c ≡ AB ¯ = (AB →, AB →), { displaystyle c Equiv { overline {AB}} = { sqrt {({ vec {AB} }, { vec {AB}})}},}

16 S 2 = (a 2 + b 2 + c 2) 2 — 2 (a 4 + b 4 + c 4). { displaystyle 16S ^ {2} = (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ { 4}).}

Некоторые хорошо известные центры треугольников

Классические центры треугольников

(*): фактически 1-й изогонический центр, но также и точка Ферма, когда A, B, C ≤ 2π / 3

Центры недавних треугольников

В следующей таблице более поздних центров треугольников, никаких специальных обозначений для различных точек не упоминается. Также для каждого центра указывается только первая трилинейная координата f (a, b, c). Остальные координаты можно легко получить, используя свойство цикличности трилинейных координат.

Общие классы треугольных центров

Кимберлинг-центр

В честь Кларка Кимберлинга, создавшего онлайн-энциклопедию более чем 32 000 центров треугольников, центры треугольников, перечисленные в энциклопедии, вместе называются центрами Кимберлинга.

Центр полиномиального треугольника

Центр треугольника P называется центром полиномиального треугольника, если трилинейные координаты P могут быть выражается в виде многочленов от a, b и c.

Центр правильного треугольника

Центр треугольника P называется точкой правильного треугольника, если трилинейные координаты P могут быть выражены как полиномы от Δ, a, b и c, где Δ — площадь треугольника.

Центр большого треугольника

Центр треугольника P называется центром большого треугольника, если трилинейные координаты P могут быть выражены в форме f (A): f (B): f (C) где f (A) является функцией только угла A и не зависит от других углов или длин сторон.

Центр трансцендентного треугольника

Центр треугольника P равен называется трансцендентным треугольным центром, если P не имеет трилинейного представления с использованием только алгебраических функций от a, b и c.

Разное

Равнобедренные и равносторонние треугольники

Пусть f — функция центра треугольника. Если две стороны треугольника равны (скажем, a = b), то

f (a, b, c) = f (b, a, c) { displaystyle f (a, b, c) = f (b, a, c)}(поскольку a = b)

= f (b, c, a) { displaystyle quad quad quad quad = f (b, c, a) }(по бисимметрии)

, поэтому два компонента центра соответствующего треугольника всегда равны. Следовательно, центры всех треугольников равнобедренного треугольника должны лежать на его линии симметрии. В равностороннем треугольнике все три компонента равны, поэтому все центры совпадают с центроидом. Итак, как и у круга, равносторонний треугольник имеет уникальный центр.

Excenters

Пусть

f (a, b, c) = {- 1, если a ≥ b и a ≥ c, 1 в противном случае. { displaystyle f (a, b, c) = { begin {case} -1 quad { text {if}} a geq b { text {and}} a geq c, \; ; ; 1 quad { text {else}}. End {ases}}}

Легко видеть, что это функция центра треугольника, и (при условии, что треугольник разносторонний) соответствующий центр треугольника является центром противоположного до наибольшего угла при вершине. Два других специалиста могут быть выбраны аналогичными функциями. Однако, как указано выше, только одна из сторон равнобедренного треугольника и ни одна из сторон равностороннего треугольника никогда не может быть центром треугольника.

Биантисимметричные функции

Функция f биантисимметрична, если f (a, b, c) = −f (a, c, b) для всех a, b, c. Если такая функция также не равна нулю и однородна, легко видеть, что отображение (a, b, c) → f (a, b, c) f (b, c, a) f (c, a, b) функция центра треугольника. Соответствующим центром треугольника является f (a, b, c): f (b, c, a): f (c, a, b). По этой причине определение функции центра треугольника иногда включает ненулевые однородные биантисимметричные функции.

Новые центры из старого

Любую функцию треугольного центра f можно нормализовать, умножив ее на симметричную функцию от a, b, c, так что n = 0. A нормализованная функция центра треугольника имеет тот же центр треугольника, что и исходная, а также более сильное свойство: f (ta, tb, tc) = f (a, b, c) для всех t>0 и всех (a, b, c). Вместе с нулевой функцией нормализованные функции центра треугольника образуют алгебру при сложении, вычитании и умножении. Это дает простой способ создавать новые центры треугольников. Однако различные нормализованные функции центра треугольника часто определяют один и тот же центр треугольника, например f и (abc) (a + b + c) f.

Неинтересные центры

Предположим, что a, b, c — действительные переменные, и пусть α, β, γ — любые три действительные константы. Пусть

f (a, b, c) = {α, если a < b and a < c (equivalently the first variable is the smallest), γ if a>b и a>c (эквивалентно первая переменная самая большая), β в противном случае (эквивалентно первая переменная находится посередине). { displaystyle f (a, b, c) = { begin {case} alpha quad { text {if}} a b { text {and}} a>c quad { text {(эквивалентно первая переменная самая большая)}}, \ beta quad ; { text {else}} quad ; quad quad , quad { text {(эквивалентно первая переменная находится посередине)}}. end {ases}}}

Тогда f равно a функция центра треугольника, а α: β: γ — соответствующий центр треугольника, если стороны контрольного треугольника помечены так, что < b < c. Thus every point is potentially a triangle center. However the vast majority of triangle centers are of little interest, just as most continuous functions are of little interest. The Энциклопедия центров треугольников представляет собой постоянно расширяющийся список интересных.

Барицентрические координаты

Если f — функция центра треугольника, то также af и соответствующий центр треугольника af (a, b, c): bf (b, c, a): cf (c, a, b). Поскольку это в точности барицентрические координаты центра треугольника, соответствующего f, следует, что центры треугольников с таким же успехом можно было бы определить в терминах барицентрических, а не трилинейных. На практике переключиться с одной системы координат на другую несложно.

Двоичные системы

Помимо точки Ферма и 1-го изогонического центра, существуют и другие пары центров. Другая система образована X 3 и центром тангенциального треугольника. Рассмотрим функцию центра треугольника, задаваемую формулой

f (a, b, c) = {cos ⁡ (A), если треугольник острый, cos ⁡ (A) + sec ⁡ (B) sec ⁡ (C), если угол при вершине в A тупой, cos ⁡ (A) — sec ⁡ (A), если любой из углов в B или C тупой. { Displaystyle е (a, b, c) = { begin {case} соз (A) quad ; quad ; quad ; quad ; quad ; quad ; , , { text {если треугольник острый}}, \ cos (A) + sec (B) sec (C) quad { text {если угол при вершине в}} A { text {равен obtuse}}, \ cos (A) — sec (A) quad ; quad ; quad ; , { text {если любой из углов в}} B { text {или} } C { text {тупой}}. End {ases}}}

Для соответствующего центра треугольника есть четыре различных возможности:

• cos (A): cos (B): cos (C), если справочный треугольник острый (это также центр описанной окружности).
• [cos (A) + sec (B) sec (C)]: [cos (B) — sec (B)]: [cos ( C) — sec (C)], если угол в A тупой.
• [cos (A) — sec (A)]: [cos (B) + sec (C) sec (A)]: [cos (C) — sec (C)], если угол в B тупой.
• [cos (A) — sec (A)]: [cos (B) — sec (B)]: [ cos (C) + sec (A) sec (B)], если угол в точке C тупой.

Обычный расчет показывает, что в каждом случае эти трилинейные линии представляют центр тангенциального треугольника. Таким образом, эта точка является центром треугольника, который является близким спутником центра описанной окружности.

Бисимметрия и инвариантность

Отражение треугольника меняет порядок его сторон на обратный. На изображении координаты относятся к треугольнику (c, b, a) и (используя «|» в качестве разделителя) отражение произвольной точки α: β: γ есть γ | β | α. Если f — функция центра треугольника, отражение его центра треугольника равно f (c, a, b) | f (b, c, a) | f (a, b, c), которая по бисимметрии совпадает с f (c, b, a) | f (b, a, c) | е (а, в, б). Поскольку это также центр треугольника, соответствующий f относительно треугольника (c, b, a), бисимметрия гарантирует, что все центры треугольника инвариантны относительно отражения. Поскольку повороты и сдвиги можно рассматривать как двойные отражения, они также должны сохранять центры треугольников. Эти свойства инвариантности служат обоснованием для определения.

Альтернативная терминология

Некоторые другие названия для расширения: равномерное масштабирование, изотропное масштабирование, гомотетия и гомотезия.

Центры гиперболических треугольников

Изучение центров треугольников традиционно связано с евклидовой геометрией, но центры треугольников также можно изучать в гиперболической геометрии. Используя гиротригонометрию, можно вычислить выражения для тригонометрических барицентрических координат, которые имеют одинаковую форму как для евклидовой, так и для гиперболической геометрии. Чтобы выражения совпадали, выражения не должны включать в себя спецификацию суммы углов, равной 180 градусов.

Центры тетраэдров и центры n-симплексов

Обобщение центров треугольников на более высокие измерения — центры тетраэдров или многомерных симплексов.

См. также

Примечания

1. ^Кимберлинг, Кларк. «Центры треугольников». Проверено 23 мая 2009. В отличие от квадратов и кругов, треугольники имеют множество центров. Древние греки нашли четыре: центр тяжести, центр тяжести, центр окружности и ортоцентр. Пятый центр, обнаруженный намного позже, — это точка Ферма. После этого в литературу были добавлены точки, которые теперь называются центром девяти точек, точкой симедианы, точкой Жергонна и точкой Фейербаха. В 1980-х годах было замечено, что эти особые точки обладают некоторыми общими свойствами, которые теперь составляют основу формального определения центра треугольника
2. ^Kimberling, Clark (11 апреля 2018 г.) [1994]. «Центральные точки и центральные линии на плоскости треугольника». Математический журнал. 67 (3): 163–187. doi : 10.2307 / 2690608. JSTOR 2690608.
3. ^Кимберлинг, Кларк. «Это ЧАСТЬ 20: Центры X (38001) — X (40000)». Энциклопедия треугольных центров.
4. ^Вайсштейн, Эрик В.. «Центр треугольника». MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram. Проверено 25 мая 2009 г.
5. ^Вайсштейн, Эрик У. «Функция центра треугольника». MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram. Проверено 1 июля 2009 г.
6. ^Бицентрические пары точек, Энциклопедия центров треугольников, дата обращения 2012-05-02
7. ^Вайсштейн, Эрик У. «Kimberling Center». MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram. Проверено 25 мая 2009 г.
8. ^Вайсштейн, Эрик У. «Центр Большого Треугольника». MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram. Проверено 25 мая 2009 г.
9. ^Гиперболические барицентрические координаты, Абрахам А. Унгар, Австралийский журнал математического анализа и приложений, AJMAA, том 6, выпуск 1, статья 18, стр. 1-35, 2009
10. ^Центры гиперболических треугольников: специальный релятивистский подход, Abraham Ungar, Springer, 2010
11. ^ Барицентрическое исчисление в евклидовой и гиперболической геометрии: сравнительное введение, Abraham Ungar, World Scientific, 2010

Внешние ссылки

Была ли эта статья полезной?

Центр треугольника

Центр треугольника является центром симметрии одной из наиболее распространенных в машиностроении и строительстве формы деталей. Важным практическим применением вычисления данного параметра является потребность знать, в каком месте будет находиться центр тяжести того или иного элемента бетонной или металлической конструкции.

Центр треугольника, центр тяжести, центр симметрии находятся в одной точке. Именно на нее, точку пересечения трех медиан, приходится вес всей однородной детали треугольной формы. При выявлении значения центра треугольника G с помощью онлайнового калькулятора необходимо задать координаты его вершин:
o (x1, y1);
o (x2, y2);
o (x3, y3).

Важным направлением ряда инженерных расчетов является определение статических моментов в отношении тех или иных сложных по форме деталей. Следует иметь в виду, что любую фигуру можно представить совокупностью простых фигур, к которым относятся треугольник, прямоугольник и пр.

Статический момент сложной детали может быть определен как сумма статических моментов входящих в нее элементов. Отсюда вытекает важность умения быстро находить значения центра треугольника (центра тяжести), прямоугольника и пр.

Центр треугольника

Треугольник — наиболее распространенная форма деталей в сферах машиностроения и строительства. Точка пересечения 3-х медиан считается центром треугольника. На эту точку приходится также центр тяжести и центр симметрии предметов треугольной формы. При разработке дизайнерских, инженерных проектов очень важно точно рассчитать центр тяжести элементов металлической или бетонной конструкции.

Существует несколько понятий центра для треугольника.

Инцентр — точка пересечения его биссектрис. Это — центр описанной около треугольника окружности.

Ортоцентр — точка пересечения его высот.

Центр тяжести,центр масс или центроид (обозн. М) — точка пересечения медиан треугольника.

Рассмотрим треугольник. Определим середины его сторон и соединим их с противолежащими углами. Точка пересечения медиан и будет центром тяжести тр-ка. Медиана делится этой точкой в пропорции 2:1 , (считая от вершины тр-ка).

Как найти центр треугольника

Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.

Центром равностороннего треугольника является точка пересечения высот, биссектрис и медиан.

Центр равностороннего треугольника является также центром вписанной и описанной окружности.

Центроид расположен на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности. Центроид делит отрезок 2:1.

Быстро найти центр треугольника G можно с помощью онлайн калькулятора. Для этого:

• ввести в поле калькулятора координаты вершин треугольника;
• нажать кнопку Вычислить. Калькулятор вычислит значение центра треугольника G.

Как определить центр треугольника?

Как найти середину у треугольника?

Пересекающиеся медианы Найдите середину одной стороны треугольника. Для этого измерьте сторону и разделите ее длину пополам. Середину отметьте точкой A.

Как найти центр тяжести в треугольнике?

Центроид треугольника (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике. . Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга, как точка X(2).

Как найти центр тяжести в прямоугольном треугольнике?

Как найти координаты центра тяжести треугольника?

1. Рисуем треугольник ABC.
2. Ставим точку M — середина BC.
3. Ставим точку H — середина AC.
4. Пересечение BH и AM — и есть центр тяжести треугольника ABC.
5. Найдем его координаты (координаты точки O (xo, yo, zo) )

Как найти Инцентр?

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Инцентр лежит ближе к вершине, расположенной напротив большей стороны треугольника.

Как найти центр тяжести тела неправильной формы?

Центр тяжести тела неправильной формы можно определить так: подвесить его за любую точку, и провести вертикальную линию по отвесу. Затем повернуть тело и повторить операцию. Точка пересечения двух прямых и есть центр тяжести тела.

Где находится центр тяжести призмы?

Так, центр тяжести призмы и цилиндра лежит на середине линии, соединяющей центры тяжести оснований. Центр тяжести шара совпадает с его геометрическим центром. Центр тяжести пирамиды (рис. 18, а) лежит на прямой, соединяющей центр тяжести площади основания с противоположной вершиной на расстоянии /4 высоты от основания.

Где находится центр тяжести у кольца?

Так, центр тяжести однородных диска и шара расположен в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т, д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например, у кольца.

Как найти Центроид фигуры?

Центроид (барицентр или центр масс) вершин произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения 3-х отрезков: 1-й отрезок соединяет середины диагоналей, два другие — середины противополежащих сторон. Точка пересечения делит все три отрезка пополам.

Где находится центр тяжести однородного треугольника?

Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.

Где находится центр тяжести у трапеции?

Для произвольной трапеции (то есть она может быть прямоугольной, тупоугольной, равнобокой или любой другой) справедливо то, что центр ее тяжести лежит на прямой, которая соединяет середины оснований трапеции.

Как найти центр масс треугольника?

Как найти центр треугольника

Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.

Как найти длину медианы в прямоугольном треугольнике?

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.

Где находится центр круга?

Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) — одна из замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром.

Где лежит центр равнобедренного треугольника?

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является серединным перпендикуляром. Следовательно, центр описанной около равнобедренного треугольника окружности будет лежать на серединном перпендикуляре, который является и высотой, и медианой, и биссектрисой угла при вершине.

Где лежит центр окружности?

Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.