Как найти число в задаче с процентами

Содержание

1. Что такое процент
2. Как вычесть проценты
3. Примеры решения задач с процентами
4. Как рассчитать процентное изменение
5. Распространенные ошибки при решении задач с процентами

Эта
статья посвящена решению задач на проценты. Ниже рассмотрены некоторые из этих задач.
Большинство задач на проценты связаны с нахождением процента от числа,
нахождением числа в процентах, представлением части в процентах или
представлением отношения между несколькими объектами, числами или величинами в
процентах.

Что такое процент

Процент — это способ расчета того, сколько
чего-то есть по отношению к целому.

Проценты очень широко используются как в математике, так и в
повседневных ситуациях, и они действительно полезны для понимания относительных
величин и привнесения их значимых.

Процент может быть записан несколькими способами. Один
из способов — изобразить его как десятичную дробь. Например, 24% также могут
быть записаны как 0,24. Можно найти десятичную версию процента, разделив
процент на 100.

Вот несколько распространенных способов использования
процентов в повседневной жизни:

• расчет
  того, насколько хорошо студент сдал тест;
• выяснение
  того, сколько НДС нужно заплатить при покупке;
• расчет
  того, сколько оставить в качестве чаевых в ресторане.

Проценты обычно представлены символом %, и
есть несколько основных правил, которые нужно понять, чтобы их правильно
рассчитать.

Процентные задачи —
это общие, повседневные реальные математические задачи. Таким образом, выделяют
три типа решений, о которых следует знать:

1. Поиск
   процента от целого (отсутствующая переменная — это часть, которая
   составляет заданный процент).
2. Поиск
   целого из процента (отсутствующей переменной является целое, из которого
   была взята процентная часть).
3. Поиск
   процента от целого и части (отсутствующей переменной является процентная
   сумма, равная соотношению детали к целому).

Используя процентную формулу, легко понять, как быстро
решить процентные проблемы. Нужно помнить, что общая алгебраическая формула
процента:%?В=П.

Формула
для поиска процента

Как указано, процент — это соотношение
желаемой детали по сравнению со всем продуктом, где100%представляет собой весь процент. Формула для поиска процента может быть записана математически как: П/В =%/100

Где:

• П — это
  часть.

• В — это
  все.

• % — это
  процент.

Как вычесть проценты

Чтобы вычесть один процент из другого, просто нужно игнорировать процентные знаки и относиться к ним как к целым числам.

Например, чтобы вычесть 20% из 50%, нужно сделать следующее: 50 – 20 = 30. Ответ — 30%.

Если вычитается процент из целого числа, сначала нужно преобразовать его в десятичную дробь.

Если попросят вычесть 25% из 45 (например, при расчете скидки), то нужно начать с преобразования 25% в десятичную дробь, что составляет 0,25.

Чтобы рассчитать сумму, которую следует вычесть, нужно умножить исходное число на десятичную дробь:

45 x 0,25 = 11,25

Затем вычесть эту сумму из базовой цифры:

45 — 11,25 = 33,75

Также можно взять десятичную дробь, вычесть ее из 1, а затем умножить
исходное число на него:

25% = 0,25

1 — 0,25 = 0,75

0,75 x 45 = 33,75

Примеры решения задач с процентами

Решенные образцы
задач с процентами помогут понять, как шаг за шагом решить различные
типы таких задач.

1. На выборах кандидат О получил 75% от общего числа
действительных голосов. Если 15% от общего числа голосов были признаны
недействительными, а общее количество голосов составляет 560000, нужно найти
количество действительных голосов, опрашиваемых в пользу кандидата.

Решение выглядит следующим образом:

Общее
количество недействительных голосов = 15% из 560000

= 15/100 ?
560000

= 8400000/100

= 84000

Общее
количество действительных голосов 560000 — 84000 = 476000

Процент
голосов, проголосовавших за кандидата А = 75%

Следовательно,
количество действительных голосов, проголосовавших за кандидата А = 75% от
476000

= 75/100 ?
476000

= 35700000/100

= 357000

2. У Гриши осталось 2100 рублей после того, как он потратил
30% денег, которые он взял в магазин. Сколько денег он взял с собой?

Пример решения:

Пусть деньги,
которые он взял в магазин, будут м.

Деньги,
которые он потратил = 30% от м

= 30/100 ? м

= 3/10 м

Деньги,
оставшиеся у него = м — 3/10 м = (10 м — 3 м)/10 = 7 м/10

Но деньги
остались у него = 2100 рублей.

Поэтому 7 м/10
= 2100 рублей.

м = 2100
рублей ? 10/7;

м = $ 21000/7;

м = 3000
рублей;

Таким образом,
деньги, которые он взял на покупки, составляют 3000 рублей.

3. Владелец магазина купил 600 яблок и 400 авокадо. Он
обнаружил, что 15% яблок и 8% авокадо были гнилыми. Нужно найти процент фруктов
в хорошем состоянии.

Решение:

Общее
количество купленных фруктов в магазине = 600 + 400 = 1000

Количество
гнилых яблок = 15% от 600

= 15/100 ? 600

= 9000/100

= 90

Количество
гнилых авокадо = 8% от 400

= 8/100 ? 400

= 3200/100

= 32

Следовательно,
общее количество гнилых фруктов = 90 + 32 = 122

Поэтому
количество фруктов в хорошем состоянии = 1000 — 122 = 878

Итак, процент
фруктов в хорошем состоянии = (878/1000 ? 100)%

=
(87800/1000)%

= 87,8%

4. На экзаменах было два
студента. Один из них получил на 9 баллов больше, чем другой, и его оценки
составили 56% от суммы их баллов. Итак, чему равны полученные ими баллы.

Решение: пусть их отметки будут (x +
9) и x.

Затем x + 9 = 56 (x +
9 + x) 100 25 (x + 9) = 14 (2x
 + 9);

3x = 99;

x = 33.

Итак, их баллы 42 и 33.

5. . Население города
увеличилось с 1 75 000 до 2 62 500 человек за десятилетие. Среднепроцентный
прирост населения в год?

Решение: увеличение через 10 лет =
(262500 — 175000) = 87500.

Увеличение %= (87500/175000 * 100)=50%

Требуемое среднее = (50/10)% = 5%

Как рассчитать процентное изменение

Процентное изменение равно изменению
данного значения. Можно найти его, разделив все значение на исходное значение,
а затем умножив его на 100. Формула решения задачи на процентное изменение следующая:

Для цены или процентного увеличения:

[(Новая цена — старая цена)/Старая цена] x
100;

Для снижения цены или процента:

[(Старая цена — новая цена)/Старая цена] x
100;

Вот пример увеличения цены/процента:

Телевизор стоил 100 тысяч рублей в прошлом
году, но теперь стоит 125 тысяч рублей. Чтобы определить повышение цены, нужно
вычесть старую цену из новой цены: 125 — 100 = 25. Затем разделить это на
старую цену: 25 разделить на 100 равно 0,25. Затем умножить это число на 100:
0,25 x 100 = 25, или 25%. Таким образом, цена на телевизор выросла на 25% за
последний год.

Пример снижения цены/процента:

В прошлом году телевизор стоил 100 тысяч
рублей, но теперь стоит всего 75 тысяч рублей. Чтобы определить снижение цены, нужно
вычесть новую цену из старой цены: 100 — 75 = 25. Затем разделить это число на
старую цену: 25 разделить на 100 равно 0,25. Затем умножить на 100: 0,25 x 100
= 25 или 25%. Это означает, что телевизор стоит на 25% меньше, чем в предыдущем
году.

Распространенные ошибки при решении задач с процентами

Рассмотрим наиболее распространенные ошибки:

• При
  сравнении процентов нужно убедиться, что есть общий базовый
  уровень (в противном случае проценты не будут связаны друг с другом).
• Одной из
  задач, в которой многие часто ошибаются, является увеличение процента
  из года в год. Например, у Алины 10 рублей, и каждый год это число увеличивается
  на 5%. Сколько у нее будет через 3 года? У некоторых людей может
  возникнуть соблазн сложить 5% в течение 3 лет, т.е. 15% и умножить 10 рублей
  на 15%. Это неправильно. Правильный способ решения таких задач — помнить,
  что каждый год начальные 10 рублей увеличивались на 5%. Таким образом, в
  конце первого года у Алины будет 10 рублей x 1,05 = 10,5 рублей. В конце 2
  года у нее будет 10,5 рублей x 1,05 = 11,025 и так далее. Важно добавить в
  каждый из этих шагов, чтобы получить правильный ответ.

Компания «РосДиплом» на протяжении 20 лет занимается студенческими работами и предлагает помощь студентам во всех областях и темах. Наши преимущества: огромный опыт работы, лучшие авторы, собранные со
всех уголков России, гарантии успешной сдачи и оптимальной цены, а также индивидуальный подход к каждому клиенту.

Задачи с процентами часто попадаются в экзаменационных заданиях. Многих они сбивают с толку – как разобраться с условием и как это решить? И совершенно зря, потому что с задачами на проценты каждый часто встречается в обычной жизни.

Пока такие задачки остаются оторванными от реальности строчками в учебнике, их бывает сложно понять и тем более решить. Чтобы стало понятнее, мы вам сейчас покажем примеры из обычной жизни, где вам могут встретиться проценты. А еще просто и доступно объясним, как решать задачи на проценты. И все у вас станет на свои места.

Задачи про проценты вокруг нас

Давайте оглядимся по сторонам: значения в процентах указаны на упаковках с любыми продуктами. Значок процента «%» смотрит на нас с рекламных плакатов скидок и распродаж. В новостях проценты сразу бросаются в глаза, когда речь идет о повышении цен на товары или коммунальные услуги. Разве вы сможете расшифровать все эти послания, если не научитесь решать задачи с процентами? Но вы, конечно, научитесь – мы в вас верим.

А вот такая ситуация: вы купили что-нибудь через интернет и получили извещение от ближайшего почтового отделения. Или сами собираетесь послать подарок другу в другой город. Вам обязательно надо уметь разбираться с процентами, чтобы узнать, сколько денег почта захочет получить за свои услуги по пересылке.

Или возьмем банковские кредиты и ипотеку. Банки в договорах всегда пишут мелкими буквами всякие вещи, которые полезно понимать. Например, какой процент по кредиту придется заплатить банку кроме тех денег, которые вы у него «одолжили» и обязаны вернуть.

А самый близкий школьникам пример связан с ЕГЭ. Каждый год после экзаменов публикуют официальную статистику. В которой немало задействованы и проценты. И эти проценты имеют прямое отношение к будущим выпускникам. Например, процент ребят, сдавших экзамен по математике на «хорошо» и «отлично» косвенно говорит о том, сколько абитуриентов с высокими баллами могли подать документы в вузы на технические специальности. А еще на программирование, прикладную математику и т.п. Чем их больше, тем выше конкурс. Если сравнивать их результаты со своими оценками, можно прикинуть собственные шансы на поступление.

Что такое процент?

Самое очевидное определение: процент – это десятичная дробь. В жизни редко что-то можно сравнивать целиком, чаще приходится сравнивать разные части чего-то целого. Поэтому мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4). Ну да, все так привыкли к слову «четверть» в школе, что забывают о его формальном значении – «четвертая часть учебного года». Сравнивать сотые доли удобнее всего – так появился процент (1/100): pro centum – «за сто» на латыни.

Все задачи по математике на проценты вертятся вокруг сравнения частей одного целого, определения, какую долю составляет часть от целого, нахождения целого исходя из величины его части и т.п.

Проценты можно записать со знакомым всем значком процента: 1%. Можно представить в виде десятичной дроби (или натурального числа). Для этого нужно разделить на 100: 0,01. Можно наоборот: выразить число в процентах. Тогда его следует умножить на 100%.

Типы задач на проценты

Раз мы уже договорились, что задачи на проценты – это задачи на дроби, такой тактики будем придерживаться и дальше.

Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.

• Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?
• Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.

Тип 2: Находим число по его проценту (дроби).

• Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?
• Решение. Мы не знаем, сколько всего задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 25% от общего их количества. Запишем 23% в виде дроби: 0,23. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого: 38/0,25 = 38 * 100/25 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.

Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).

• Задача. В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?
• Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 14/30*100% = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.

Тип 4: Увеличиваем число на процент.

• Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?
• Решение. Если некое число а увеличено на х%, то оно увеличилось в (1 + х /100) раз. Откуда а * (1 + х /100). Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ: 140 * (1 + 15/100) = 161.

Тип 5: Уменьшаем число на процент.

• Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?
• Решение. Если число а уменьшено на х% и при этом 0 ≤ х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – х/100) раз. И нужное нам число находим по формуле а * (1 – х/100). Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 * (1 – 25/100) = 75.

Тип 6: Задачи на простые проценты.

• Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?
• Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как х% и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * х/100). Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S = 5000 * (1 + 12 * 15/100) = 14000.

Тип 7: Задачи на сложные проценты.

• Задача. На этот раз сумма кредита 25000 рублей, взятых под те же 15% сроком на 3 месяца. Снова надо узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
• Решение. Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пускай снова S – наращиваемая сумма, а – исходная, х% — процентная ставка, у – количество периодов начисления процента. В этом случае формула принимает вид: S = а * (1 + х/100)^у. Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100)³ = 38021,875 – искомая сумма.

Кстати, простые задачи на проценты можно очень легко решать с помощью пропорции. Этот метод наглядный и дает такой же результат, так что выбирать можно каждому тот способ решения, который кажется проще. Давайте решим задачу №3 про класс и процент девочек в нем, составив пропорцию.

• Решение. Обозначим искомый процент девочек в классе как х, общее количество учеников примем за 100%. Пропорция выглядит так:

30 – 100%
14 – х%

Перемножим крест накрест левую и правую части пропорции и получим, что 30* х = 14 * 100 («30 относится к х также, как 14 относится к 100»). Откуда найти х уже совсем несложно: х = 14 * 100/30 = 47%.

Задачи на проценты с решением

Давайте решим несколько задач для подготовки к ЕГЭ. Как вы сами видите, решать их совсем несложно. Сейчас просто закрепим материал.

Задача 1. После открытия торгов на бирже в понедельник акции некой компании выросли в цене на неизвестное количество процентов. А во вторник на то же самое количество процентов упали в цене. В итоге они подешевели на 4% по отношению к своей первоначальной стоимости в понедельник. На какой процент акции этой компании поднимались в цене в понедельник?

Решение. Пускай первоначальная стоимость акций это 1. В понедельник акции дорожают на х * 100%. Их стоимость в это время: 1 + х * 1. Во вторник акции дешевеют на х * 100%. Их стоимость после этого: 1 + х – х * (1 + х). После чего они стали дешевле на 4%, т.е. стали стоить 0,96.

Отсюда 1 + х – х * (1 + х) = 0,96 ↔1 – х² = 0,96 ↔ х² = 0,04 ↔ х = 0,2. Т.е. в понедельник акции компании дорожали на 20%.

Задача 2. Четыре пары брюк дешевле одного пальто на 8%. Подсчитайте, на сколько процентов пять пар брюк стоят дороже, чем одно пальто.

Решение. Исходя из условия задачи, стоимость четырех пар брюк – это 92% от стоимости пальто. Легко подсчитать, что стоимость одной пары брюк – это 23% стоимости пальто (92/4 = 23). Теперь умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся в 115% стоимости пальто (23 * 5 = 115). Т.е. пять пар брюк на 15% дороже, чем одно пальто.

Задача 3. Семья состоит из трех человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза, общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию, общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Надо вычислить, какой процент в общий доход семьи приносит заработок жены.

Решение. Из условия следует, что общий доход семьи находится в прямой зависимости от доходов мужа. Не так важно, насколько ему поднимут зарплату. В любом случае общий доход семьи вырастет на 67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз эти 67% от общего дохода. Если стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 – это и есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход. Можно составить простую пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии – это 4% дохода, то вся стипендия – это 6%. А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100% – 67%  – 6% = 27%.

Задача 4. В емкости находится 5 литров водного раствора с концентраций вещества, равной 12%. В емкость добавили еще 7 литров воды. Раствор какой концентрации (с каким процентным содержанием вещества) получился после этого?

Решение. Опишем концентрацию вещества в растворе такой формулой: С = Vвещества/ Vраствора * 100%. Изначально в растворе содержится 0,12 * 5 = 0,6 литра вещества. Когда были добавлены 7 литров воды, объем раствора в емкости увеличился. Но концентрация вещества понизилась (его объем остался неизменным). Подставим все известные нам цифры в формулу и получим ответ: 0,6/5 + 7 *100% = 0,6 /12 * 100% = 5%.

Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги, а в кураге, которая из них получается, только 5%. Сколько килограммов абрикосов нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?

Решение. Исходя из условия, в абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге оно содержится в концентрированном виде – 95%. Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19 кг питательного вещества. На вопрос задачи мы ответим, если разделим одинаковое количество питательного вещества, которое содержится в разных объемах свежих абрикосов и кураги, на его процентное содержание в абрикосах. Чтобы получить 20 килограммов кураги, нужно взять 19/0,1 = 190 килограммов свежих абрикосов.

Заключение

Сами видите, решать задачи на проценты не так уж сложно. Если усвоить основные правила и подключить воображение, вы сможете щелкать такие задачки как орешки.

Вы даже можете составить задачу на проценты сами по нашим образцам. Кстати, будет очень хорошо, если вы так и поступите. Можете оставить нам свои задачи в комментариях – пускай другие наши читатели решат ваши задачи. А вы сможете решить те, что придумают они. Чтобы задач для подготовки к экзаменам получилось больше, расскажите про эту статью своим друзьям в социальных сетях.

Вот увидите, задачи на проценты вам придется решать еще много раз даже после того, как вы закончите школу. Они встречаются в физике, химии, биологии. Да и в повседневной жизни умение решать их может не раз пригодится. Не бойтесь сложных задач – мы всегда поможем вам найти к ним ключ.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Принцип нахождения числа по данным его процентам такой же, как и обычное нахождение числа по его дроби. То есть это задача на нахождение числа по дроби. А как решать подобные задания мы уже знаем.

Но так как проценты можно представить и в виде обыкновенной, и виде десятичной дроби, то найти число по его процентам можно разными способами, и по-разному записать решение.

Чтобы найти число по его проценту, надо его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа. Не забудьте, проценты перевести или в десятичную дробь, или в обыкновенную!

Давайте решим задачу.

Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23% числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение:

Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге. Но мы знаем, что часть, которую прочитал ученик (138 страниц) составляет 23% от общего количества страниц в книге.

Так как 138 стр. — это всего лишь часть, само количество страниц, естественно, будет больше 138. Это поможет нам при проверке.

1) переведём проценты в десятичную дробь — 23% = 23 : 100 = 0,23

2) 138 : 0,23 = 600 (стр)

Проверка: 600 > 138 (это означает, что 138 является частью 600).

Ответ: 600 стр. — общее количество страниц в книге.

Можно, по-другому:

1) переведём проценты в обыкновенную дробь — 23% = 23/100

2) 138 : 23 = 6 (стр) — это 1%

3) 6 * 100 = 600(стр)

Проверка: 600 > 138 (это означает, что 138 является частью 600).

Ответ: 600 стр. — общее количество страниц в книге.

Чтобы найти число по данным его процентам, надо:

1) выразить проценты обыкновенной дробью;

2) разделить данную часть числа на числитель полученной обыкновенной дроби (тем самым, найдя 1% от искомого числа);

2) умножить полученный результат на знаменатель обыкновенной дроби. Это и будет ответ.

1) перевести проценты в десятичную дробь, разделив количество процентов на 100;

2) разделить данную часть числа на полученную десятичную дробь.

Так как задачи «процент по числу» и «число по его проценту» очень похожи и часто не сразу понятно какой тип задачи перед нами, старайтесь внимательно читать текст. Если вам встречаются слова «который», «что составляет», «который составляет» и «это», скорее всего перед вами задача «число по его проценту».

Если, всё равно, сложно понять сразу, то попробуйте перефразировать задачу, заменив слова «который», «что составляет», «который составляет», местоимением «это». Если у вас получилась замена, то перед вами задача «число по его проценту».

Решим ещё задачи:

• Сливочное мороженое содержит 14% сахара. Сколько килограммов мороженого изготовлено, если было использовано 49 кг сахара?

Решение:

Перефразируем задачу: сколько килограммов мороженого изготовлено, если было использовано 49 кг сахара, и это составляет 14% мороженного?

Мы знаем, что 49 кг сахара — это 14% мороженного

1) 14% = 14/100

1) 49 : 14 = 3,5 (кг) составляет 1% мороженого;

2) 3,5 · 100 = 350 (кг) изготовлено мороженого.

(Или можно записать, по-другому: 14% = 0,14 ; 49 : 0,14 = 350 (кг))

Ответ. 350 кг.

• Масса сушёной малины составляет 15% массы свежей. Сколько взяли свежей малины, если получили 3 кг сухой?

Решение:

Перефразируем: 3 кг сухой малины — это 15% свежей. Сколько взяли свежей малины?

1) 15% = 0,15

2) 3 : 0,15 = 20(кг) — свежей малины

Ответ: взяли 20 кг свежей малины.

• Мясо при варке теряет 30% веса. Сколько надо взять сырого мяса, чтобы получилось 560 г варёного?

Решение:

Если мясо при варке теряет 30% веса, то варёное мясо — это 70% от свежего, т.к. 100% — 30% = 70%

Мы знаем, что получилось 560 г варёного мяса. И это 70% свежего.

1) 100% — 30% = 70% — варёное мясо

2) 70% = 0,7

3) 560 : 0,7 = 800 (г) — сырого мяса

Ответ: необходимо взять 800 г сырого мяса.

При решении задач на проценты находите сначала 1%, а затем смотрите по смыслу.

Как решать задачи на проценты? Есть 3 способа, выбирай тот, который для тебя проще и понятнее.

Умение быстро и правильно решать задачи на проценты важно, как для успешной сдачи ЕГЭ, так и для повседневной жизни. И если в ЕГЭ вы можете встретить такую задачу в задании 11, то в повседневной жизни такие задачи повсюду.

Зарплату повысили на 15%, а потом оштрафовали на 10%, после этого из зарплаты удержали налог 13% — сколько же мы получим в конце месяца? Коммунальные услуги повысили на 15%, сколько они теперь будут стоить? При возврате ж/д билета вернут только 20% стоимости, какую сумму мы получим? Все это задачи на проценты, которые нам  приходится решать каждый день.

Поэтому умение быстро и правильно решать задачи на проценты – это полезно.

1. Задачи на проценты: вся суть
2. Решение задач на проценты: формула простого процента
3. Решение задач на проценты: метод пропорции
4. Решение задач на проценты: метод коэффициентов

Задачи на проценты: вся суть

Задачи на проценты, как правило, описывают жизненную ситуацию. В ней присутствует  какая-то величина, которая увеличивается или уменьшается на сколько-то процентов. Таким образом, в задаче на проценты упоминается такие данные, как первоначальная величина, конечная величина и процент, на который эта величина изменилась. Чаще всего в задаче требуется найти либо первоначальную величину, либо конечную величину, реже – процент, на который эта величина изменилась.

Решение задач на проценты с помощью формулы простого процента

Формула, которой мы пользуемся при решении задач на проценты, называется формула простого процента:

Х_{конечное} – конечная величина

Х_{первоначальное} – первоначальная величина

k – процент, на который первоначальная величина изменилась

Из этой формулы всегда можно найти первоначальную величину или процент, на который происходит изменение.

Знак стоящий перед k зависит от того, увеличивается первоначальная величина или уменьшается. Так, если величина увеличивается на сколько-то процентов, то ставим знак плюс. Если уменьшается – минус.

Для наглядности приведем несколько простых примеров.

 Задача 1

В городе проживало 30 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?

Решение: Очевидно, что в этой задаче нам известна первоначальная величина – 30 000 человек и процент, на который она увеличилась +6% Нужно найти конечную величину.

30 000 * ((100 + 6)/100) = х

30 000 * 1,06 = х

х = 31 800 человек

Ответ: 31 800 человек

Задача 2

Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 5 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?

Решение: В этой задаче нам известна конечная величина – 5 килограмм и процент, на который происходит изменение -90%. Нужно найти первоначальную величину:

5 = х * ((100 – 90) / 100)

5 = 0,1х

х = 50 кг

Ответ: 50 кг

Задача 3

Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 22 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?

Решение: В данной задаче нам известна первоначальная  (20 000 рублей) и конечная величина (22 000 рублей), а найти нужно процент, на который данная величина изменилась.

22 000 = 20 000 * ((100 + х) / 100)

22 000 / 20 000 = 1 + х/100

1,1 = 1 + х/100

0,1 = х/100

х = 10%

Ответ: 10%

Решение задач на проценты: метод пропорции

Еще один способ решения задач на проценты – это метод пропорции. Это наиболее простой способ решения таких задач.

Напомним, что пропорция – это равенство двух отношений:

Для нас важно основное свойство пропорции, которое заключается в том, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов. Проще запомнить, что мы можем перемножить члены пропорции крест-накрест:

При решении задач на проценты с помощью метода пропорции необходимо руководствоваться следующим правилом:

всё – 100%

часть – часть в %

Далее записываем пропорцию: 

Давайте решим приведенные выше примеры задач на проценты с помощью метода пропорции.

Задача 4

В городе проживало 30 000 человек. В результате строительства нового микрорайона количество жителей увеличилось на 6%. Сколько человек стало проживать в городе?

Решение: Итак, в городе проживало 30 000 человек и это всё его население, т.е. 100%. Так и запишем:

30 000 – 100%

Далее население выросло на 6%, т.е. всё его население стало составлять 100% + 6% = 106% и нам неизвестно, сколько это человек, т.е. Х человек. Запишем:

Х – 106%

Таким образом, получаем:

30 000 – 100%

Х – 106%

Составим пропорцию: Правую дробь пропорции можно сократить на 2, получим: Теперь воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее члены крест-накрест:

30 000 * 53 = 50х

Далее обе части полученного уравнения мы можем разделить на 50, получим:

600 * 53 = Х

Х = 31 800

Ответ: 31 800 человек

 Задача 5

Сколько килограмм яблок нужно собрать, чтобы получить из них 5 килограмм сушеных яблок, если известно, что в свежих яблоках содержится 90% воды?

Решение: Нам неизвестно первоначальное количество всех яблок (всё количество), т.е. это Х, которое составляет 100%. Количество сушеных яблок (часть от первоначального количества яблок) составляет 5 кг. Причем известно, что количество сушеных яблок на 90% меньше от первоначального количества яблок (т.к. 90% — это вода, которая из них испарилась). Следовательно, количество сушеных яблок составит 100% — 90% = 10%. Запишем наши рассуждения:

Х – 100%

5 – 10%

Запишем наши рассуждения: Сократим правую дробь на 10, получим:Воспользуемся основным свойством пропорции и перемножим ее члены крест-накрест:

Х = 10 * 5

Х = 50

Ответ: 50 кг

Задача 6

Холодильник стоимостью 20 000 рублей был продан спустя месяц за 22 000 рублей. На сколько процентов увеличилась стоимость холодильника?

Решение: Нам известно, что исходная цена – 20 000 рублей, следовательно, 20 000 рублей – это 100%. Тогда конечная цена 22 000 рублей – это неизвестное количество процентов, т.е. Х%. Так и запишем:

20 000 – 100%

22 000 – Х%

Теперь запишем пропорцию: Сократим левую дробь на 2 000, получим: Воспользуемся основным свойством пропорции, то есть перемножим ее члены крест-накрест:

10Х = 1 100

Х = 110

В результате решения мы получили результат 110%, но он не является ответом! Ведь нам нужно найти, на сколько процентов изменилась стоимость холодильника. Чтобы это узнать, нужно из полученного числа процентов отнять 100%:

110% — 100% = 10%

Ответ: 10%

Решение задач на проценты методом коэффициентов

Можно назвать еще один метод решения задач на проценты, который является следствием из формулы простого процента. Так, формулу простого процента можно переписать следующим образом:

Таким образом, мы получили формулу для решения задач на проценты методом коэффициентов. Полученная формула удобна тем, что при достаточной практике простые  задачи на проценты можно решать в уме, даже не задумываясь.

Например, яблоки стоили 150 рублей, затем они подорожали на 20%. Найдите новую стоимость яблок.

Применим полученную формулу и получим:

150 * 1,2 = 180 рублей

То есть мы интуитивно 20% превращаем в 0,2 прибавляем единицу, так как происходит увеличение на данное количество процентов, и умножаем на первоначальную стоимость.

Или другой пример. Зарплата работника составляла 25 000 рублей в месяц, в результате применения штрафа за опоздания зарплата сократилась на 10%. Найти сумму зарплаты, которую получит оштрафованный работник.

25 000 * 0,9 = 22 500 рублей

Опять же мы сразу понимаем, что 10% — это 0,1. Т.к. происходит уменьшение первоначальной величины на это количество процентов, то мы вычитаем из единицы этот процент и получаем 0,9. Затем умножаем полученное значение на первоначальную величину. Готово!

Давайте решим этим методом задачу про зарплату и налоги.

Задача 7

В России налог на доходы физических лиц составляет 13%. Зарплата Марии Ивановны после удержания налога на доходы составила 60 900 рублей. Найти сумму зарплаты Марии Ивановны до удержания налога.

Решение: Итак, 13% — это 0,13. Первоначальная зарплата уменьшилась на этот процент, значит, вычитаем из единицы и получаем 1 – 0,13 = 0,87. Подставляем в формулу:

0,87х = 60 900

х = 70 000

Ответ: 70 000 рублей

Задача 8

В школе 1000 учеников, из них 20% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 30% изучают французский язык. Сколько учеников в школе изучают французский язык, если в начальной школе французский язык не изучают?

Решение: Для начала из общего количества учеников исключим тех, кто французский язык точно не изучает, т.е. учеников начальной школы. Ученики начальной школы – это 20%, т.е. 0,2, мы уменьшаем на этот процент, следовательно, вычитаем из единицы и получаем 1 – 0,2 = 0,8.

1000 * 0,8 = 800

Из 800 полученных учеников французский язык изучают только 30%.

Обратите внимание, что здесь идет речь о проценте от числа. Т.е. мы не уменьшаем на 30% (в этом случае мы вычитаем значение процента в долях из единицы) и не увеличиваем на 30% (в этом случае мы прибавляем к значению процента в долях к единице), а берем 30% от заданного числа (в этом случае мы умножаем заданное число на значение процента в долях). Всегда внимательно читайте условия задачи!

В нашем случае нам нужно найти 30% от 800:

800 * 0,3 = 240

Это и есть ответ. 240 учеников изучают французский язык в школе.

Ответ: 240 учеников.

Задача 9

Разберем еще одну задачу на проценты, которая часто встречается на ЕГЭ и в которой легко можно допустить ошибку.

Задача: Зарплата рабочего составляла 30 000 рублей, затем зарплату повысили на 30%, а потом понизили на 30%. Какую зарплату стал получать рабочий?

Решение: быстро прочитав условие задачи, сходу хочется дать ответ – зарплата останется прежней, ее размер не изменился. Но это не так! Давайте разбираться.

Будем решать по формуле простого процента.

Первое событие – зарплату повысили на 30%. Следовательно, первоначальную сумму мы увеличиваем на 30%:Второе событие – зарплату понизили на 30%. Следовательно, нашу увеличенную зарплату мы теперь уменьшаем на 30%:Таким образом, рабочий теперь будет получать зарплату 27 300 рублей.

Данную задачу мы могли бы решить в одно действие, применяя формулу для вычисления сложного процента. Напомним ее:

S = P (1 + i)ⁿ, где

S – это конечная сумма;

P – это первоначальная сумма;

i – это процент/100;

n – количество периодов.

Т.к. 30% — это 0,3, то, применяя формулу для вычисления сложного процента к нашей задаче, мы получим:

30 000 * (1 + 0,3)¹ (1 – 0,3)¹ = 27 300 рублей

Результат получился тот же.

Ответ: 27 300 рублей

В этой статье были разобраны достаточно простые примеры задач на проценты, чтобы максимально доступно продемонстрировать методы решения задач на проценты. В профильном ЕГЭ с процентами вы можете столкнуться в задаче с экономическим содержанием по вкладам и кредитам. Такие задачи гораздо сложнее и подробное их решение вы можете посмотреть на нашем сайте.

Итак, надеюсь, что данная статья помогла вам понять, как решать задачи на проценты. Мы увидели, что задачи на проценты можно решать тремя способами – с помощью формулы простого процента, методом пропорции и методом коэффициентов. Выбирайте тот, который вам наиболее понятен, и которым вам решать такие задачи проще.

Рассмотрим три основных типа задач на проценты.

Нахождение процента от числа

Разбор примера

Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых
60% имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества
изготовило предприятие?

Решение:

Ответ: 300 насосов высшей категории качества.

Нахождение числа по его проценту

Так как задачи «процент по числу» и «число по его проценту» очень похожи и часто
не сразу понятно какой тип задачи перед нами, старайтесь внимательно читать
текст. Если вам встречаются слова «который», «что составляет» и «который составляет»,
скорее всего перед вами задача «число по его проценту».

Разбор примера

Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23%
числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение:

Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге. Но мы знаем, что часть, которую
прочитал ученик (138 страниц) составляет 23% от общего количества
страниц в книге.

Так как 138 стр. — это всего лишь часть, само количество
страниц, естественно, будет больше 138. Это поможет нам при проверке.

Проверка: 600 > 138 (это означает, что 138 является частью 600).

Ответ: 600 (стр.) — общее количество страниц в книге.

Сколько процентов одно число составляет от другого

Разбор примера

Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми.
Сколько процентов всех арбузов составили незрелый арбузы?

Решение:

О чем спрашивают? О незрелых арбузах. Значит, 16
делим на общее количество арбузов и умножаем на 100%.

Ответ: 8% — составляют незрелые арбузы от всех арбузов.

Ваши комментарии

Оставить комментарий: