Как найти число обратное корню уравнения - AvtoShod.ru

Теорема Виета

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

то его корни равны:

где D = p 2 — 4q. Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

а теперь найдём их произведение:

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

называются формулами Виета.

Примечание: если дискриминант равен нулю (D = 0), то подразумевается, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня.

Обратная теорема

Теорема:

Если сумма двух чисел равна -p, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями приведённого квадратного уравнения:

Это доказывает, что число x₁ является корнем уравнения x 2 + px + q = 0. Точно так же можно доказать, что и число x₂ является корнем для этого уравнения.

Решение примеров

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения:

Решение: Так как

очевидно, что корни равны 1 и 2:

Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

1 2 — 3 · 1 + 2 = 0

2 2 — 3 · 2 + 2 = 0.

Пример 2. Найти корни уравнения:

Методом подбора находим, что корни равны -3 и -5:

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

Решение: Так как x₁ = -3, x₂ = 6 корни уравнения x 2 + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

Следовательно, искомое уравнение:

Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

Теорема Виета для квадратного уравнения

О чем эта статья:

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

не имеют корней;
имеют один корень;
имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:

если D 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

x₁ + x₂ = −b,
x₁ * x₂ = c.

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

Объединим числитель и знаменатель в правой части.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

Перемножаем числители и знаменатели между собой:

Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:

Далее произведем трансформации в числителе:

Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим:

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>

Неприведенное квадратное уравнение

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

Получилось следующее приведенное уравнение:

Получается, второй коэффициент при x равен

, свободный член —

. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.

Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен, а свободный член.

Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:

Метод подбора помогает найти корни: −1 и

Найти обратное число

Вводить можно целые(1, 2, 3, -7), десятичные(0.25, -1.15), дробные(-1/8, 32/9). Если необходимо ввести смешанное число, то целую часть от дробной необходимо отделить пробелом(1 4/5)

Определение взаимно обратных чисел

Взаимно обратными числами называются числа, произведение которых равно единице.

Две дроби называются обратными дробями если их произведение равно единице.

Примеры взаимно обратных чисел

1/3 и 3
0.25 и 4
5 и 1/5
2/3 и 3/2
1 целая 2/5 и 5/7

При умножении этих чисел получится 1

Как найти число обратное обыкновенной дроби

Для этого необходимо числитель и знаменатель поменять местами. Для проверки можно перемножить исходную дробь и перевернутую, получится 1. Например: 2/3 × 3/2 = 1

Как найти число обратное смешанному числу

Для начала необходимо смешанное число преобразовать в обыкновенную дробь. Затем числитель и знаменатель поменять местами. Например: 2 7/8 = 23/8 23/8 × 8/23 = 1

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-vieta-formula

http://calc-best.ru/matematicheskie/obratnye-chisla

Источник

Теорема Виета

Обратная теорема
Решение примеров

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x² + px + q = 0

равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену

x₁ + x₂ = -p, x₁ · x₂ = q.

Доказательство:

Если приведённое квадратное уравнение имеет вид

x² + px + q = 0,

то его корни равны:

где D = p² — 4q. Чтобы доказать теорему, сначала найдём сумму корней:

а теперь найдём их произведение:

Равенства, показывающие зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения:

x₁ + x₂ = —p,

x₁ · x₂ = q

называются формулами Виета.

Примечание: если дискриминант равен нулю (D = 0), то подразумевается, что уравнение имеет не один корень, а два равных корня.

Обратная теорема

Теорема:

x² + px + q = 0.

Доказательство:

Пусть дано x₁ + x₂ = —p, значит, x₂ = —p — x₁. Подставим это выражение в равенство x₁ · x₂ = q, получим:

x₁(-p — x₁) = q;

—px₁ — x₁² = q;

x₁² + px₁ + q = 0.

Это доказывает, что число x₁ является корнем уравнения x² + px + q = 0. Точно так же можно доказать, что и число x₂ является корнем для этого уравнения.

Решение примеров

Пример 1. Найти корни уравнения:

x² — 3x + 2 = 0.

Решение: Так как

x₁ + x₂ = -(-3) = 3;

x₁ · x₂ = 2;

очевидно, что корни равны 1 и 2:

1 + 2 = 3;

1 · 2 = 2.

Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

1² — 3 · 1 + 2 = 0

2² — 3 · 2 + 2 = 0.

Ответ: 1, 2.

Пример 2. Найти корни уравнения:

x² + 8x + 15 = 0.

Решение:

x₁ + x₂ = -8;

x₁ · x₂ = 15.

Методом подбора находим, что корни равны -3 и -5:

-3 + -5 = -8;

-3 · -5 = 15.

Ответ: -3, -5.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 1. Составить квадратное уравнение по его корням:

x₁ = -3, x₂ = 6.

Решение: Так как x₁ = -3, x₂ = 6 корни уравнения x² + px + q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

p = -(x₁ + x₂) = -(-3 + 6) = -3;

q = x₁ · x₂ = -3 · 6 = -18.

Следовательно, искомое уравнение:

x² — 3x — 18 = 0.

Ответ: x² — 3x — 18 = 0.

Пример 2. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни:

x₁ = 2, x₂ = 3.

Решение:

p = -(x₁ + x₂) = -(2 + 3) = -5;

q = x₁ · x₂ = 2 · 3 = 6.

Ответ: x² — 5x + 6 = 0.

Источник

Теорема Виета помогает решать квадратные уравнения путём подбора. В этой статье даны определения, доказательства, формулы и примеры решений квадратных уравнений для чайников.

Что такое теорема Виета

Франсуа Виет (1540-1603 гг) – математика, создатель знаменитых формул Виета

Теорема Виета нужна для быстрого решения квадратных уравнений (простыми словами).

Если более подробно, то теорема Виета – это сумма корней данного квадратного уравнения равняется второму коэффициенту, который взят с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.

При помощи теоремы Виета можно легко решать квадратные уравнения путём подбора, поэтому скажем “спасибо” этому математику с мечем в руках за наш счастливый 7 класс.

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Доказательство теоремы Виета

Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться известными формулами корней, благодаря которым составим сумму и произведение корней квадратного уравнения. Только после этого мы сможем убедиться, что они равны и, соответственно, .

Допустим у нас есть уравнение: . У этого уравнения есть такие корни: и . Докажем, что , .

По формулам корней квадратного уравнения:

${x_1} = {-p + sqrt{D}over{2a}}$ , ${x_2} = {p - sqrt{D}over{2a}}$ .

1. Найдём сумму корней:

${x_1 + x_2} = {-p + sqrt{D}over{2a}} + {-p - sqrt{D}over{2a}} = {-p + sqrt{D} - p - sqrt{D}over{2a}} = -p$ .

Разберём это уравнение, как оно у нас получилось именно таким:

= .

Шаг 1. Приводим дроби к общему знаменателю, получается:

= = .

Шаг 2. У нас получилась дробь, где нужно раскрыть скобки:

= = . Сокращаем дробь на 2 и получаем:

Мы доказали соотношение для суммы корней квадратного уравнения по теореме Виета.

2. Найдём произведение корней:

${x_1 * x_2} = {-p + sqrt{D}over{2}} * {-p - sqrt{D}over{2}} = {(-p + sqrt{D}) * (-p - sqrt{D})over{4}}$ =

= = ${p^2 - D}over{4}}$ = ${{p^2 - (p^2 - 4q)}over{4}}$ = ${p^2 - p^2 + 4q}over{4}}$ = .

Докажем это уравнение:

${x_1 * x_2} = {-p + sqrt{D}over{2a}} * {-p - sqrt{D}over{2a}}$ .

Шаг 1. Есть правило умножение дробей, по которому мы и умножаем данное уравнение:

${(-p + sqrt{D}) * (-p - sqrt{D})over{4a^2}}$ .

Шаг 2. Далее выполняется умножение скобку на скобку (в числителе). Можно воспользоваться формулой сокращённого умножения (ФСУ) – формула разности, откуда получается:

${(-p + sqrt{D} * (-p - sqrt{D})over{4a^2}} = {{(-p)^2 - (sqrt{D})^2}over{4a^2}}$ .

Теперь вспоминаем определение квадратного корня и считаем:

${{(-p){^2} - (sqrt{D})^2}over{4a^2}}$ = ${p^2 - Dover{4a^2}}$ .

Шаг 3. Вспоминаем дискриминант квадратного уравнения: . Поэтому в последнюю дробь вместо D (дискриминанта) мы подставляем , тогда получается:

${b^2 - D}over{4a^2}$ = ${b^2 - (b^2 - 4 * a * c)}over{4a^2}$ .

Шаг 4. Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые к дроби:

${4 * a * cover{4 * a^2}}$ .

Шаг 5. Сокращаем «4a» и получаем .

Вот мы и доказали соотношение для произведения корней по теореме Виета.

ВАЖНО! Если дискриминант равняется нулю, тогда у квадратного уравнения всего один корень.

Теорема, обратная теореме Виета

По теореме, обратной теореме Виета можно проверять, правильно ли решено наше уравнение. Чтобы понять саму теорему, нужно более подробно её рассмотреть.

Если числа и такие:

и , тогда они и есть корнями квадратного уравнения .

Доказательство обратной теоремы Виета

Шаг 1. Подставим в уравнение выражения для его коэффициентов:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_{1} * x_{2} = 0$

Шаг 2. Преобразуем левую часть уравнения:

$x^2 - x_1 * x - x_2 * x + x_{1} * x_{2} = 0$ ;

Шаг 3. Найдём Корни уравнения , а для этого используем свойство о равенстве произведения нулю:

или . Откуда и получается: или .

Примеры с решениями по теореме Виета

Задание

Найдите сумму, произведение и сумму квадратов корней квадратного уравнения , не находя корней уравнения.

Решение

Шаг 1. Вспомним формулу дискриминанта . Подставляем наши цифры под буквы. То есть, , – это заменяет , а . Отсюда следует:

. Получается:

. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение .

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:

Ответ

7; 12; 25.

Задание

Решите уравнение . При этом не применяйте формулы квадратного уравнения.

Решение

У данного уравнения есть корни, которые по дискриминанту (D) больше нуля. Соответственно, по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна 4, а произведение – 5. Сначала определяем делители числа , сумма которых равняется 4. Это числа «5» и «-1». Их произведение равно – 5, а сумма – 4. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного уравнения.

Ответ

Задание

Найдите, если это возможно, сумму и произведение корней уравнения:

Решение

. Так как дискриминант меньше нуля, значит у уравнения нет корней.

Ответ

Нет корней.

Задание

Составьте уравнение, каждый корень которого в два раза больше соответствующего корня уравнения:

Решение

По теореме Виета сумма корней данного уравнения равна 12, а произведение = 7. Значит, два корня положительны.

Сумма корней нового уравнения будет равна:

, а произведение .

По теореме, обратной теореме Виета, новое уравнение имеет вид:

Ответ

Получилось уравнение, каждый корень которого в два раза больше:

Итак, мы рассмотрели, как решать уравнение при помощи теоремы Виета. Очень удобно пользоваться данной теоремой, если решаются задания, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. То есть, если в формуле свободный член – число положительное, и если в квадратном уравнении имеются действительные корни, тогда они оба могут быть либо отрицательными, либо положительными.

А если свободный член – отрицательное число, и если в квадратном уравнении есть действительные корни, тогда оба знака будут разными. То есть, если один корень положительный, тогда другой корень будет только отрицательный.

Полезные источники:

Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2016 – 318 с.
Рубин А. Г., Чулков П. В. – учебник Алгебра 8 класс:Москва “Баласс”, 2015 – 237 с.
Никольский С. М., Потопав М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2014 – 300

Источник

Содержание:

Теорема Виета для квадратного трехчлена
Обратная теорема Виета
Общая формулировка теоремы Виета

Теорема Виета для квадратного трехчлена

Теорема

Сумма корней приведенного квадратного трехчлена $x^{2}+p x+q=0$ равна его второму коэффициенту $p$ с
противоположным знаком, а произведение — свободному члену $q$.

$x_{1}+x_{2}=-p, x_{1} x_{2}=q$

В случае неприведенного квадратного уравнения $a x^{2}+b x+c=0$ формулы
Виета имеют вид:

$x_{1}+x_{2}=-frac{b}{a}, x_{1} x_{2}=frac{c}{a}$

Значимость теоремы Виета заключается в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и
произведение, то есть простейшие симметричные многочлены от двух переменных
$x_{1}+x_{2}$ и
$x_{1} x_{2}$ . Теорема Виета позволяет угадывать целые корни
квадратного трехчлена.

Пример

Задание. Используя теорему Виета, найти корни уравнения
$x^{2}-5 x+6=0$

Решение. Согласно теореме Виета, имеем, что

$$x_{1}+x_{2}=5$$

$$x_{1} x_{2}=6$$

Подбираем значения $x_{1}$ и $x_{2}$, которые удовлетворяют этим равенствам.
Легко видеть, что им удовлетворяют значения

$x_{1}=2 $ и $ x_{2}=3$

Ответ. Корни уравнения $x_{1}=2, x_{2}=3$

Обратная теорема Виета

Теорема

Если числа $x_{1}$ и $x_{2}$ удовлетворяют соотношениям
$x_{1}+x_{2}=-p, x_{1} x_{2}=q$, то они удовлетворяют квадратному уравнению
$x^{2}+p x+q=0$, то есть являются его корнями.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Зная, что числа $x_{1}=3$ и $x_{2}=-1$ — корни некоторого квадратного уравнения,
составить само это уравнение.

Решение. Пусть искомое квадратное уравнение имеет вид:

$$x^{2}+p x+q=0$$

Тогда, согласно теореме Виета, его коэффициенты связаны с корнями следующими соотношениями:

$$x_{1}+x_{2}=-p, x_{1} x_{2}=q$$

Тогда

$$p=-left(x_{1}+x_{2}right)=-(3+(-1))=-2$$

$$q=x_{1} x_{2}=3 cdot(-1)=-3$$

То есть искомое уравнение

$$x^{2}-2 x-3=0$$

Ответ. $x^{2}-2 x-3=0$

Общая формулировка теоремы Виета

Теорема

Если $c_{1}, c_{2}, ldots, c_{n}$ — корни многочлена
$x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+ldots+a_{n}$ (каждый корень взят соответствующее его кратности число раз),
то коэффициенты $a_{1}, a_{2}, ldots, a_{n}$ выражаются в виде
симметрических многочленов от корней, а именно:

$$a_{1}=-left(c_{1}+c_{2}+ldots+c_{n}right)$$

$$a_{2}=c_{1} c_{2}+c_{1} c_{3}+ldots+c_{1} c_{n}+c_{2} c_{3}+ldots+c_{n-1} c_{n}$$

$$a_{3}=-left(c_{1} c_{2} c_{3}+c_{1} c_{2} c_{4}+ldots+c_{n-2} c_{n-1} c_{n}right)$$

$$ldots$$

$$a_{n-1}=(-1)^{n-1}left(c_{1} c_{2} ldots c_{n-1}+c_{1} c_{2} ldots c_{n-2} c_{n}+ldots+c_{2} c_{3} ldotsright.$$

$$a_{n}=(-1)^{n} c_{1} c_{2} ldots c_{n}$$

Иначе говоря, произведение $(-1)^{k} a_{k}$ равно сумме всех возможных произведений из $k$ корней.

Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.
Названы в честь французского математика Франсуа Виета (1540 — 1603).

Если старший коэффициент многочлена $a_{0} neq 1$, то есть многочлен
не является приведенным, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на $a_{0}$ (это не влияет на значение корней многочлена).
В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует,
что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для
составления многочлена по заданным корням.

Источник

18. Теорема Виета
(прямая и обратная).

Теорема Виета ( прямая ). Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна
второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней
равно свободному члену, т.е. если х₁ и х₂ – корни
уравнения , то

Теорема Виета ( обратная ). Если числа х₁ и х₂таковы,
что , то эти числа являются корнями уравнения .

При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать
соотношения:

х₁² + х₂²
= ( х₁ + х₂)² –2х₁х₂;

х₁³ + х₂³
= ( х₁ + х₂)( х₁²– х₁х₂ + х₂²) =( х₁ + х₂)( ( х₁
+ х₂)² — 3х₁х₂) .

Пример 1. Найти значение а такое, чтобы при нём уравнение х²— 3ах + 3а – 1 = 0 имело два корня, один из которых в два раза больше
другого?

Решение. По условию задачи корни х₁и х₂связаны равенством х₂=2х₁.
По теореме Виета имеем:

2а²= 3а – 1 , 3а²-5а+2=0, а₁= 1, а₂= 0,5.

Ответ: 0,5; 1.

Пример 2. Найти такое значение а, чтобы при нём уравнение х²-4ах+5а-2=0
имело два корня, один из которых в 3 раза больше другого.

Решение. По условию задачи корни х₁
и х₂ связаны равенством х₂=3х₁.
По теореме Виета имеем

3а²= 5а — 2, 3а²-5а + 2=0, а₁= 1, а₂= .

Ответ: ; 1.

Пример 3. Найти такое значение а, чтобы при нём уравнение х²-5ах+3а+1=0
имело два корня, один из которых в 4 раза меньше другого.

Решение. По условию задачи корни х₁ и х₂
связаны равенством х₁=4х₂. По теореме Виета имеем

4а²= 3а + 1, 4а²— 3а — 1=0, а₁=1, а₂=.

Ответ: , 1.

Пример 4. Найти такое значение а, чтобы при нём уравнение х²— 6ах + 3а
+2=0 имело два корня, один из которых в 5 раз меньше другого.

Ответ: , 1.

Пример 5. Найти сумму всех корней уравнения (х²— 7х + 2)²— 13(х²— 7х) – 26 = 0.

Решение. (х²— 7х + 2)²—
13( х²— 7х) – 26 = 0, пусть х²— 7х = y, тогда (у + 2)²— 13у – 26 = 0,

у²+ 4у + 4 — 13у – 26 = 0,

у²— 9у – 22 = 0, у₁= — 2, у₂= 11.

Возвращаясь
к переменной х, имеем:

х²— 7х = — 2 или х²— 7х = 11,

х²— 7х + 2 = 0, х²— 7х – 11 = 0,

х₁+ х₂= 7, х₃+ х₄=
7.

Находим
сумму корней х₁+ х₂+ х₃+ х₄= 7
+ 7 = 14.

Ответ: 14.

Пример 6. При каких значениях а сумма
квадратов корней уравнения х²— 3ах + а²= 0 равна 1,75?

Решение. Применяя теорему Виета для заданного
уравнения получаем:

По
условию х₁²+ х₂²=1,75.

Возводя
в квадрат равенство х₁+ х₂=3а, получаем: х₁²+ 2х₁х₂+ х₂²= 9а²,

1,75 + 2а²= 9а²,

а²= 0,25, а = ± 0,5.

Ответ: а= ± 0,5.

Пример 7. Не решая уравнения х²— 2х
– 2 = 0 найдите сумму кубов его корней.

Решение. Сначала отметим, что D= 4 + 8 = 12 > 0 и корни существуют. Уравнение приведённое, и по
теореме Виета для его корней х₁ и х₂ имеем:

По
формуле х₁³+ х₂³= ( х₁+
х₂)( х₁²+ х₁х₂+ х₂²).

Из равенства х₁+ х₂= 2 имеем х₁²+ 2х₁х₂+ х₂²= 4.

Учитывая, что х₁х₂= -2 получим х₁²+ х₂²= 4
-2(-2) = 8. Поэтому х₁³+х₂³=2(8+2)=20.

Ответ: 20.

Пример 8. При каких значениях а
уравнение 4х²+ (7а — 1)х — 3а(1 + 5а) = 0 имеет корни разных знаков?

Решение.
Сначала разделим данное уравнение на 4, чтобы получить приведённое квадратное
уравнение. Получим:

По теореме Виета произведение корней
( если они существуют) равно свободному члену, т.е.

х₁х₂= . Корни х₁ и х₂
имеют разные знаки тогда, когда х₁х₂<0. А это равносильно
условию <0 или а( 1+5а) >0. Последнее
неравенство справедливо для а>0 или .
Возвращаемся к условию существования корней уравнения . Для этого необходимо,
чтобы D ≥ 0, т.е.

D=(7а-1)²+ 4∙4∙3а(1 + 5а)
= 289а²+ 34а + 1 = (17а + 1)².

Значит, дискриминант неотрицателен
при всех значениях а.

Ответ:

Пример 9. Найти все значения параметра а, при
котором сумма квадратов корней квадратного уравнения х²— (2а + 1)х +
а²+ 2 = 0 будет наименьшей.

Решение. Итак, нужно найти все значения
параметра а, при которых выражение принимает наименьшее
значение( х₁, х₂ – корни исходного уравнения).

Квадратное
уравнение имеет корни, когда его дискриминант неотрицателен:

D ≥ 0, (2а + 1)²— 4(а²+ 2) ≥ 0, 4а – 7 ≥
0, а ≥ .

По
теореме Виета х₁+ х₂= 2а + 1, х₁∙х₂=
а²+ 2.

, то

Таким
образом, сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение, когда
значение выражения окажется наименьшим, т.е. при а
= -1.

Но
при а = -1 уравнение х²-(2а + 1)х + а²+ 2 = 0 не имеет
действительных корней. Это означает, что следует провести более тщательный
анализ поведения функции y(a)= . Парабола, задающая эту функцию,
направлена ветвями вверх и имеет вершину в точке с абсциссой а = -1. Значит,
при а функция y(а) возрастает и, следовательно, первое значение, которое ей разрешено
принимать, будет минимальным. Поскольку а ≥ ,
«первым» значением функции y(a)
оказывается то, которое достигается при а =.
Следовательно, сумма корней этого уравнения принимает наименьшее значение при а
=.

Ответ: а =.

Пример 10. Пусть
х₁ и х₂ – корни уравнения .
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа и .

Решение.
По теореме Виета имеем Для составления квадратного уравнения с заданными корнями и можно
воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета, для чего необходимо найти их
сумму и произведение:

+ =

==;

ּ =

Искомое уравнение имеет вид , или .

Ответ: .

Пример 11. При каких значениях параметра а уравнение имеет одно решение?

Решение.
Областью определения уравнения является множество действительных чисел, кроме
чисел 3 и –1. На указанном множестве данное уравнение равносильно уравнению ,
полученному умножением обеих частей на (х-3)(х+1): (х+а)(х-3)+(а-3х)(х+1)=2(х+1)(х-3).
После раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и сокращения на 2 получим
уравнение 2х²+х(1-а)+а-3=0. Замечая, что сумма коэффициентов
в уравнении равна 0, находим х₁=1. По теореме Виета х₂=0,5(а-3).

Таким образом, при любом значении параметра а исходное уравнение
имеет решение х=1. Для того, чтобы уравнение имело одно решение, необходимо
и достаточно, чтобы второй полученный корень х₂ не добавлял
бы новых решений. Это возможно в двух случаях: либо х₂ не
входит в область определения, т.е. х₂=3 или х₂=-1,
либо х₂ совпадает с х₁, т.е. х₂=1.
Отсюда находим соответствующие значения параметра а: х₂=3 при
а=9, х₂=-1 при а=1, х₂=1 при а=5.
Итак, искомые значения параметра равны 1; 5; 9.

Ответ: 1; 5; 9.

Задания для самостоятельного решения

Решите устно
уравнения ( 1 – 5):

1. а) б) в)
г)

2. а) б) в)

г)

3. а) б) в)

г)

4. а) б)

в) г)

5. а) б)

в) г)

Составьте
квадратное уравнение с заданными корнями ( 6 – 8 ):

6. а) –7 и –2; б) 8 и –3; в) и
2; г) –3,4 и 6.

7. а) и ; б) и
; в) и ; г) и .

8. а) и ; б) и ; в) и ; г) и

9. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если
известно, что один из корней уравнения равен: а) б) в) г)

10.
Найдите пары чисел (m;n),
удовлетворяющие условиям:

а)
m+n=4 и mn=4; б) m+n= -5 и mn= -18; в) m+n=2 и mn= -48; г) m+n= -3 и mn=-18.

11. Не вычисляя корней уравнения , найдите:

а)
б) в)
г)

12. Не вычисляя корней уравнения , найдите:

а)
б) в) г)

13. Не вычисляя корней уравнения , найдите разность
квадратов его корней.

14. Пусть х₁ и х₂– корни уравнения . Составьте квадратное уравнение, корнями
которого являются числа:

а)
х₁-2 и х₂-2; б) 2х₁+3
и 2х₁+3;

в) г) и

15. Пусть х₁ и х₂– корни уравнения . Составьте квадратное уравнение, корнями
которого являются числа:

а) и ;
б) ;

в) и г)
и

16. При каких значениях k произведение корней
квадратного уравнения равно нулю?

17. При каких значениях k сумма корней квадратного
уравнения равна нулю?

18. В уравнении сумма квадратов корней равна
16. Найдите а.

19. В уравнении квадрат разности корней равен
16. Найдите а.

20. При каких значениях а сумма корней уравнения равна
сумме квадратов его корней?

21. При каком значении параметра m сумма квадратов
уравнения наименьшая?

22. При каком значении параметра m сумма квадратов
уравнения наибольшая?

23. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения .

24. При каких значениях p и q
корни уравнения равны и
?

26. При каких значениях параметра а один из корней квадратного уравнения в два раза больше другого?

27. Известно, что корни уравнения на 1
меньше корней уравнения . Найдите а и корни
каждого из уравнений.

28. Известно, что корни уравнения равны
соответственно квадратам корней уравнения .
Найдите а и b и корни каждого из уравнений.

29. Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения х²+2kх+4=0. Найти все значения k, при которых справедливо неравенство: Ответ:

30. Не решая уравнения , найдите:

а)
; б) ; в) ; г) ; д) ;

е)
; ж) ; з)
; и) .

31. Составьте квадратное уравнение с корнями:

а) г)

б)
д)

в) е)

32.
Не решая уравнения ,
составьте новое уравнение, корни которого:

а) противоположны корням данного;

б) обратны корням данного;

в) в 5 раз больше корней данного.

33.
При каких значениях а разность корней уравнения
равна ?

34.
При каких значениях а частное корней уравнения равно 27?

35.
Найдите корни уравнения, применив теорему,
обратную теореме Виета:

а) б)

в) г)

Ответы: 5. г) –4,2; 2,2. Указание. Представив правую часть уравнения как легко видеть, что х₁=-4,2;
кроме того, по теореме Виета х₁+х₂=-2.

9. а) х²-6=0; в) х²-4х-1=0.

11.а) . Указание. По
теореме Виета х₁+х₂= Воспользуйтесь
равенством

12.г) Указание.

13. .

Решение. По теореме Виета

х₁+х₂= откуда .

14.в) х²+9х-9=0.

16. 3;4.
17. 1.   21. 1.   22. –1.   23.14. Решение.
Пусть   и ( по
теореме Виета) , D>0,
значит, уравнение t²-3t+1=0 имеет два положительных корня, следовательно, исходное уравнение
имеет четыре корня. Тогда     24. p=q=0.   26.    27. а=6; 2 и 3 – корни первого
уравнения, 3 и 4 – корни второго уравнения.   28. а=-5, b=36, корни первого уравнения равны 2; 3,
корни второго уравнения равны 4; 9 или а=5, b=36, корни первого уравнения равны –2;-3, корни второго уравнения
равны 4; 9.   33. а = — 4,25. 34. а = ±.