Предельная частота излучения
Из истории физики известно, что существование электромагнитных волн предсказал Д. Максвелл. По его же расчетам электромагнитные волны должны были распространяться в пустоте со скоростью света. Усилиями И.Риттера, Г.Герца, В.Рентгена и других ученых были открыты электромагнитные волны во всем диапазоне электромагнитного излучения от радиочастот до гамма излучения. Трудно выделить степень полезности того или иного излучения всего диапазона для нужд человека. Радиоволны (статья: «Никола Тесла» [1]), инфракрасный, красный, несомненно видимый диапазон электромагнитного излучения и далее по списку до γ-излучения. По поводу γ-излучения приведу один интересный факт. Цитата: «К счастью, чем выше энергия гамма-квантов, тем реже они встречаются. Самые энергичные кванты с энергией около 1020 эВ приходят примерно раз в сто лет на квадратный километр земной поверхности. Происхождение столь энергичных гамма-квантов пока не вполне ясно. Значительно большей энергией кванты обладать не могут, так как выше некоторого порога они начинают взаимодействовать с реликтовым микроволновым излучением, приводя к рождению заряженных частиц. Иначе говоря, Вселенная непрозрачна для излучения заметно более энергичного, чем 1021–1024 эВ» [2].
Процитирую еще одну фразу из известного источника по физике: «Вслед за экспериментами Герца были получены электромагнитные волны с все возрастающими частотами. В самом деле, оказалось, что можно генерировать волны любой частоты, если найти какой-то способ возбуждения электрических зарядов с соответствующей частотой колебаний. Именно это мы и наблюдаем сегодня: выясняется, что нет никаких физических пределов, ограничивающих частоту электромагнитных волн, — просто требуется подходящий источник колебаний» [3].
Я усомнился в справедливости сказанного по поводу беспредельности электромагнитного излучения, т.к. в природе все конечно и имеет свои размеры и границы.
Возникает вопрос: где заканчивается диапазон электромагнитного излучения и существует ли предел частоты электромагнитного излучения? Или не существует этого предела.
Попробуем вычислить максимальную частоту излучения вещества в природе. Попутно еще раз проверим значение максимальной температуры (Θmax=4,392365·1012 К). Для этого воспользуемся данными, полученными экспериментальной физикой. Известно, что желтый свет излучается при температуре равной около 3000 К с частотой 5·1014 Гц. Сопоставим эту температуру с максимальной и из пропорции найдем предельную частоту излучения. Перед расчетом сделаем оговорку, что не будем обращать внимание на «ультрафиолетовую катастрофу»[1] [4], предположив, что частота излучения линейно растет от повышения температуры, также как уменьшается длина волны.
5·1014 Гц~3000=х~4,392365·1012 К
Отсюда, максимальная частота излучения вещества в природе равна:
γ=7,32233·1023сек-1
Оценим данную частоту, для чего откроем книги и справочники по физике и увидим, что шкала электромагнитного излучения обрывается на частотах 1022–1023 Гц [5]. Данные цифры подтверждают мою мысль о том, что выше частоты γ=7,32233·1023сек-1 в природе быть не может. Также не может быть температуры выше Θmax=4,392365·1012 К.
Частота излучения определяется скоростью атомных переходов. В природе меньше атома нет источника генерации. Частота генерации определяется шириной спектральных линий. На каждый переход, из нормального состояния в возбужденное и обратно, требуется определенное время. Это явление описано в статье: «Эффект Мёссбауэра и сужение линий» [6]. В данном контексте можно сказать, что частота переходов не может иметь бесконечную величину. В природе все конечно! Критическая частота излучения определяется конечностью размеров осциллятора-генератора, в данном случае – размерами атомов и размерами их ядер.
Радиус ядра определяется формулой
r=1,3·10-13A1/3см=1,3A1/3 Ферми
А – массовое число ядра
Ферми – название применяемой в ядерной физике единицы длины, равной 10-13 см [7].
Максимальную температуру достичь невозможно, также как максимальную частоту излучения! Однако, некоторые авторы, в некоторых печатных источниках, говорят о температуре лазерного шнура в десятки триллионов градусов. Возможно ли это? Я думаю, что это ошибки в расчетах.
Как невозможно любой механической системе достичь скорости света, также невозможно достичь максимальной температуры!
Все варианты расчетов показывают, что максимальная температура, равная 4,3923 триллиона градусов – корректна, но на практике не достижима. То же самое можно сказать и предельной частоте электромагнитного излучения γ=7,32233·1023сек-1. Указанная частота замкнула шкалу, ограничив диапазон электромагнитного излучения атомов.
Назад Вперед
Источники
- Ершов Г.Д., Никола Тесла, Гравитация, http://gennady-ershov.ru/tungusskij-meteorit/nikola-tesla.html
- Диапазоны излучения и вещество, Элементы, http://elementy.ru/posters/spectrum/diapasons
- Мэрион Дж.Б., Общая физика с биологическими примерами (пер. с англ.), «Высшая школа», 1986, с.395.
- Ершов Г.Д., Эйнштейн Альберт и Макс Планк http://gennady-ershov.ru/zemlya-i-fiziki/ejnshtejn-albert-i-maks-plank.html
- Яворский Б.М., Детлаф А.А., Справочник по физике, «Наука», М. 1979, с. 570
- Ершов Г.Д., Эффект Мёссбауэра и сужение линий, http://gennady-ershov.ru/effekt-myossbauera/effekt-myossbauera-i-suzhenie-linij.html
- Савельев И.В., Курс общей физики в 5-ти книгах, «Астрель•АСТ», М. 2004, т. 5, с.280.
[1] Данное явление описано в статье: «Эйнштейн Альберт и Макс Планк», http://gennady-ershov.ru/zemlya-i-fiziki/ejnshtejn-albert-i-maks-plank.html.
Фотон
Фотон — это частица света или квант света; частица с которой можно делать расчёты.
Фотоны всегда находятся в движении и в вакууме движутся с постоянной скоростью 2,998 x 10^8 м/с (это называется скоростью света и обозначается буквой c).
В марте 1905 года Эйнштейн создал квантовую теорию света, это была идея о том, что свет существует в виде крошечных частиц, которые он назвал фотонами.
Позже в том же году была расширена специальная теория относительности, в которой Эйнштейн доказал, что энергия (E) и материя (масса – m) связаны, и это соотношение стало самым знаменитым в физике: E=mc²; (напомним: c — скорость света).
Формулы фотона
Эти формулы являются наиболее важными.
Формула энергии кванта/фотона (формула Планка или Энергия кванта)
Энергия — это постоянная Планка, умноженная на частоту колебаний
Где:
- E — энергия фотона/кванта (в Дж – джоуль),
- h = 6,6.10^(–34) (постоянная Планка, в Дж.с – джоуль в секунду),
- ν — частота колебаний света (в Гц – герц).
Масса фотона
Где:
- m — масса фотона (в кг),
- h = 6,6.10^(–34) (постоянная Планка, в Дж.с – джоуль в секунду),
- ν — частота колебаний света (в Гц – герц),
- c = 3.10^8 (это скорость света в м/с),
- λ — длина световой волны (в метрах).
Фотоны всегда движутся со скоростью света. В состоянии покоя фотоны не существуют (т.е. можно сказать, что масса покоя равна нулю).
Формула массы фотона (m = h/cλ) была выведена из формулы эквивалентности массы и энергии (E = mc²), при этом было использовано также равенство с энергией Кванта (E = h×v).
Импульс фотона
Где:
- p — импульс фотона (в Н•с – ньютон-секунда),
- h = 6,6.10^(–34) (постоянная Планка, в Дж.с – джоуль в секунду),
- ν — частота колебаний света (в Гц – герц),
- c = 3.10^8 (это скорость света в м/с),
- λ — длина световой волны (в метрах).
Длина волны света, период и частота
Это ещё одно соотношение, которое может быть полезным в расчётах.
Где:
- λ — длина световой волны (в метрах),
- c = 3.10^8 (это скорость света в м/с),
- T — период световых колебаний (в секундах),
- ν — частота колебаний света (в Гц – герц).
Пример решения задачи с данными формулами
Определите энергию фотонов красного (λк = 0,76 мкм) света.
λк = 0,76 мкм = 0,76 × 10^(–6) м
Формула энергии фотонов: E = h×v
h — постоянная Планка,
v — частота света; из равенства λ = c/v выходит, что v = с/λ.
Таким образом, составляем равенство:
E = h × (с/λ) = hc / λ
Вспоминаем другие данные:
c = 3.10^8 (это скорость света в м/с)
h = 6,6.10^(–34) (постоянная Планка, в Дж.с – джоуль в секунду)
E = hc / λ = ((6,6.10^(–34) Дж.с) × (3.10^8 м/с)) / (0,76 × 10^(–6) м) = 2,6 × 10^(–19) Дж
Фотон является волной?
Фотон является одновременно частицей и волной. Согласно квантовой теории света Эйнштейна, энергия фотонов (E) равняется их частоте колебаний (v), умноженной на постоянную Планка (h); т.е. эта формула выглядит так: E = h×v.
Так он доказал, что:
- свет — это поток фотонов,
- энергия этих фотонов — это высота их частоты колебаний,
- интенсивность света соответствует количеству фотонов.
Таким образом, учёный объяснил, что поток фотонов действует и как волна, и как частица.
Видимый свет: свойства, диапазон, спектр, источники
Видимый свет – это видимая часть электромагнитного излучения, т.е. видимое излучение, воспринимаемое сетчаткой человеческого глаза.
Видимый свет – единственный тип электромагнитных волн, известный людям с незапамятных времен, хотя его природа была неизвестна до 1860-х годов. Люди были очарованы оптическими явлениями, такими как радуга, видимая на фотографии. На протяжении веков спорили о том, имеет ли свет конечную скорость или распространяется мгновенно.
Из этой статьи вы узнаете, как стала понятна природа света и почему мы видим мир в цветах.
В 1861 году Джеймс Максвелл опубликовал уравнения, в которых доказал, что электричество и магнетизм являются двумя видами одного и того же явления – электромагнетизма. Уравнения Максвелла не только связно объяснили все электрические и магнитные явления, но и предсказали существование электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света c = 3 * 10 8 м / с. Естественным выводом было предположить, что свет – это электромагнитная волна.
Свойства
Электромагнитная волна характеризуется:
- частотой ν, которая представляет собой число полных циклов изменения магнитного или электрического поля в секунду, выраженное в герцах (Гц), 1 Гц = 1 с -1 .
- длиной волны λ, которая является расстоянием между ближайшими точками, где электрическое или магнитное поле находится в одной и той же фазе цикла.
Эти величины связаны между собой: чем выше частота, тем короче длина волны: ν = c / λ , где где c – скорость света.
Диапазон.
Видимый свет охватывает очень узкий диапазон в спектре электромагнитных волн, от 380 до 780 нм. Излучение меньшей длины волны является ультрафиолетовым, а излучение большей длины волны – инфракрасным.
Поэтому мы видим только очень ограниченную часть электромагнитного спектра, для остальной части электромагнитного спектра у нас нет сенсорных клеток, и мы вынуждены прибегать к техническим средствам. Часто информация, которую мы регистрируем с помощью технических средств, таких как инфракрасные камеры, затем “переводится” в цвета, которые мы видим.
Спектр
Человеческий глаз воспринимает свет разной длины волны как впечатление различных цветов (рис. 1).
- фиолетовый от 380 нм до 436 нм;
- синий от 436 нм до 495 нм;
- зеленый от 495 нм до 566 нм;
- желтый, от 566 нм до 589 нм;
- оранжевый 589 нм – 627 нм;
- красный от 627 нм до 780 нм.
Белый свет – это смесь всех цветов. Вы можете увидеть это, разложив свет в призме или посмотрев на радугу, которая возникает в результате дисперсии белого света на капельках воды в облаках.
Как получается, что мы видим мир в красках? Когда белый свет падает на тело, часть излучения поглощается, а часть отражается от его поверхности. Если тело поглощает свет от красного до зеленого и отражает синий и фиолетовый свет, то при рассмотрении в белом свете оно будет иметь оттенок синего или фиолетового, в зависимости от соотношения этих цветов в отраженном свете.
Видимый свет лишь слегка поглощается как атмосферой Земли, так и водой. Эта особенность чрезвычайно важна для жизни на Земле. Ему мы обязаны не только способностью видеть окружающее нас пространство, но и самим происхождением жизни на Земле. Жизнь не могла бы существовать без фотосинтеза, для которого необходим свет.
Свет имеет волновую природу, т.е. он подвержен различным физическим явлениям, характерным для волн, таким как дифракция или интерференция. Но в то же время он имеет корпускулярную природу – он состоит из фотонов, элементарных частиц с нулевым зарядом и массой покоя. Отсутствие массы покоя означает, что фотон не существует в состоянии покоя, он может двигаться только со скоростью света.
Энергия фотона прямо пропорциональна частоте волны и обратно пропорциональна длине электромагнитной волны:
E = h * ν = ( h * c ) / λ, где
где ν – частота волны, λ – длина волны, c = 3 * 10 8 – скорость света, h – постоянная Планка, h = 6,63*10- 34 Дж*с = 4,14*10 -15 эВ·c.
Смешивая вместе красные, синие и зеленые лучи света, можно получить любой цвет. Смешивание света равной интенсивности этих трех цветов дает белый свет (рис. 2). Изменяя пропорцию каждого цвета, можно получить другой цвет. Явление создания новых цветов путем наложения лучей видимого света разной длины называется аддитивным синтезом.
Рис. 2. Аддитивный синтез цвета
Чувствительность человеческого глаза к цветам обусловлена наличием в сетчатке трех типов фоторецепторов, называемых колбочками. Каждый тип колбочек чувствителен к разным цветам света: красному, зеленому и синему. В зависимости от соотношения этих трех цветов, регистрируемых колбочками, в мозге формируется впечатление о полученном цвете.
Центр области видимого света находится на длине волны около 555 нм, что соответствует желто-зеленому цвету. К свету этого цвета чувствительность глаза наиболее высока. Кривая чувствительности глаза стремится к нулю как на длинноволновой, так и на коротковолновой стороне (рис. 3).
Рис. 3. Чувствительность глаз к свету разной длины волны
Все современные мониторы, телевизоры, цифровые камеры и подобные устройства работают по принципу аддитивного смешивания цветов. Комбинируя цвета RGB (красный, зеленый, синий) в любом количестве комбинаций, можно получить широкий спектр производных цветов на экране.
Источники.
Источником видимого света может быть пламя свечи, газ в люминесцентной лампе или зажженная лампочка, а также отражающий солнечный свет объект.
Спектр частот света или спектр волн света?
Прежде чем читать и разбираться с этой статьёй, необходимо ознакомиться со статьёй ”Что такое волна?“.
http://samlib.ru/n/nikolaew_s_a/chtotakoewolna.shtml
Эта статья Ссылки находятся внизу в разделе РЕЦЕНЗИИ
А теперь давайте разбираться, что такое частотный спектр света и как в данном вопросе нас специально дурачат? В астрономии от светящегося объекта наблюдатель принимает спектр частот. Вот пример. Солнечный луч света – это множество цветных линий, которые мы наблюдаем как радугу. Каждая тоненькая линия – это монохроматическая частота (одна частота). Каждую монохроматическую частоту приносят частицы фотоны, обладающие этой одной частотой. Вы заметили, что наблюдать можно только линии частот (радуга), а наблюдать длину волны невозможно потому, что её у фотонов просто нет. Фотоны – это частицы, а у частиц волн нет. Частицы могут только совершать колебания. А это не одно и тоже. У фотонов нет также и характеристики длина волны. У фотонов речь может идти только о частотах или спектрах частот.
Необходимо понимать, что эффект зрения основан на частотах, которые переносятся частицами фотонами и которые колеблются, а не волнуются.
Но везде, где речь заходит о частотах света или спектрах частот, то обязательно сразу в качестве единиц измерения применяют единицы длины волны.
Например. Для человека видимый спектр: от 380нм — фиолетовый цвет до 760нм — красный цвет. Вне этого диапазона наше зрение не видит. Но задумайтесь, ведь глаза видят частоты в виде монохроматических частот, либо смеси частот в виде спектра. А никаких длин волн глаза не видят.
Вот ещё пример. Везде, где графики со спектрами частот, размерность должна быть в Гц. Однако Вас везде обманывают и специально вместо частот всегда пишут размерность длины волны, которой на самом деле у фотонов нет. Например, график солнечного спектра частот, а по оси абсцисс пишут размерность длин волн. Кроме того, одна из главных характеристик солнечного спектра специально называется максимальная длина волны (л) излучения (формула Вина л = b/T) вместо максимальной частоты излучения.
ПРИМЕЧАНИЕ. Назовите прибор, который измеряет длину волны? Таких приборов нет, даже для акустических измерений. В акустике и электромеханике измеряется только частота. Затем все обязаны по акустической формуле V=лv рассчитать длину волны и для акустики и для электромеханики, где V — скорость звука, а л — длина волны. Применение формулы С=лv для излучения, где C — скорость света. Это обман и просто невежественно. Сжимается только акустическая волна V=лv. Фотон – это частица с поперечными колебаниями, и сжать фотон невозможно.
Фотон – частица света. Характеристиками фотонов являются: масса, частота, амплитуда и инерция (энергия).
На рисунке изображена спектральная кривая солнечного излучения. Рисунок взят из справочника. Во всех остальных справочниках и учебниках то же самое. Вы нигде не найдёте рисунок спектра с единицами измерения частоты в Гц, везде по оси абсцисс будут единицы измерения в единицах длины.
Этот обман нужен для того, чтобы подтверждались математические теории Эйнштейна, в которых свет (фотоны) является волной. И, чтобы Вы не забывали, везде Вас обманывают. Где только можно. Везде, где излучение упоминание о частотах будет исключено. Например, микроволновка и так далее.
ПРИМЕЧАНИЕ. На всех графиках, где изображаются частотные спектры, в данном случае, частотный спектр Солнца, по оси абсцисс пишут вместо частот размерность длины волны, которой на самом деле у фотонов нет. Это делается всегда и везде (с 1905 года, года вы-хода в свет СТО Эйнштейна) и специально, чтобы этим подтверждались математические теории Эйнштейна, в которых свет (фотоны) является волной. А свет не волна и пересчитывать всегда частоту в длину волны по акустической формуле С=лv просто обман. Спектр частотный, а не волновой. Спектр частот, но не волн.
Посмотрите на частоты видимого света от 750 ТГц (380нм) до 385 ТГц (760нм). Некоторые видят их впервые потому, что негласно их писать запрещено. Зато в единицах длины все помнят. Как это делается. В утверждённой программе образования можно писать только длины волн и это обязательно для всех. Подумайте, нужна Вам такая утверждённая про-грамма образования?
Не разрешайте себя зомбировать утверждённой программой образования, думайте о том, что Вас заставляют заучивать. Там очень много ошибочного, специально для Вас под-сунутого.
Об ошибках в физике здесь более 100 статей
http://samlib.ru/n/nikolaew_s_a/
Документы по борьбе с инакомыслием в науке.
1. Постановление ЦК ВКП(б) от 25.01.1931г.
Запрещение рассмотрения проблем физических взаимодействий на механической, ма-териалистической основе.
2. Специальное постановление ЦК ВКП(б) от 1934г.
О дискуссии о релятивизме.
Жертвами этого постановления стали Н.А.Козырев и Н.П.Бронштейн.
3. Постановление ЦК ВКП(б) от 05.12.1942г.
4. Постановление Президиума АН от 1964г.
В этом постановлении предписывалось объявлять параноиками всех, кто критикует теории относительности Эйнштейна.
Сразу было выявлено 24 параноика среди учёных.
5. Постановление Президиума РАН от 1998г.
О создании комиссии по борьбе с лженаукой и фальсификации научных исследований во главе с академиком Э.П.Кругляковым.
Комиссия исправно функционирует.
Комиссия не скрывает, что следует принципу: ”Всё, что противоречит теориям Эйнштейна и теории ”Большого Взрыва“, является лженаукой“.
Главные идеологи этого мракобесия С.И.Вавилов, А.Ф.Иоффе, В.Л.Гинзбург.
ДОПОЛНЕНИЕ. Кроме того, частоту собственных колебаний фотонов невозможно экспериментально измерить ни в одном диапазоне.
Во-первых, нет эффектов, позволяющих измерить собственную частоту фотонов (света).
Во-вторых, нет таких частотомеров, которые могли бы измерить, например, собственную частоту фотонов видимого света, которая равна 10 в 15 степени Гц.
Есть только прибор пирометр, который определяет электрическим способом цвет, а да-лее по цвету и выдуманной фальшивой формуле Вина, пожалуйста, Вам и частота.
Все частоты в шкале электромагнитных излучений фальшивые. Например, в радиодиапазоне вместо собственной частоты радиофотонов подсунута частота следования фотонов. Однако это не одно и то же.
Это очень ёмкий вопрос и он изложен в книге С.А.Николаева «Ложь об электромагнит-ной волне и шкале электромагнитных излучений», СПб, 2014г.
А также в 8 издании книги С.А.Николаева «Эволюционный круговорот материи во Вселенной», СПб, 2015г.
Есть ли верхний предел у электромагнитного спектра
На одном конце электромагнитного спектра находятся радиоволны, а на другом — гамма-излучение. Но существует ли верхний предел длины волны? Что это тогда за волны?
nonstopengineering.blogspot.com
Самое мощное излучение генерируется огромными астрофизическими объектами, но до нас доходят сильно ослабленные фотоны. Ученые пока не знают, насколько мощными может быть природное излучение — на этот вопрос только предстоит ответить
Исторически сложилось так, что все частицы с частотами более 1019 герц (или с энергией более 50 000 электрон-вольт) называются гамма-лучами. В теории нет жесткого предела энергии, которую может иметь гамма-луч. Однако на практике есть целый ряд фактов, которые необходимо принимать во внимание, включая как астрофизические источники излучения, так и фундаментальные физические эксперименты.
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
Однако для начала давайте обратимся к вопросу о наиболее высокоэнергетических гамма-лучах, обнаруженных до сих пор. Излучение с такими энергиями регистрируются при помощи наземных приборов и исходят от огромных астрофизических объектов. Примером таких источников является пара активных галактик и Крабовидная туманность: оттуда к Земле приходят волны с энергиями до 1027 Гц (5•1012 эВ).
Помимо этих отдельных источников, существует также мощное диффузное гамма-излучение — наиболее мощные волны имели частоту 1024 Гц (109 эВ), но ожидается, что этот вид лучей может иметь частоту до 1030 Гц (1015 эВ). Измерять волны таких высоких энергий крайне трудно, так как фотоны такого диапазона очень редки и физикам приходится просеивать огромный массив данных, чтобы попытаться найти нужный сигнал.
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
Возможно, никогда не узнаем, насколько высокоэнергетичными могут быть гамма-лучи в природе. Этот вид излучения доходит до наших телескопов, но перед этим проходит через пространство, частично рассеиваясь на частицах пыли и интерферируя с другими волнами. Поэтому даже фотоны самых высоких энергий рискуют потерять значительную часть своей интенсивности в пути до Земли. Кроме того, многие источники могут производить очень высокоэнергетические гамма-лучи, которые затем поглощаются его же атомами и переизлучаются в пространство.
В результате при самых экстремальных энергиях мы будем видеть только те гамма-лучи, которые генерируются относительно близкими источниками. Тем не менее, из наблюдаемого распределения энергий гамма-лучей мы знаем, что должны быть в состоянии обнаружить волны с более высокими энергиями, чем известно на данный момент. В настоящее время разрабатывается ряд проектов, которые будут собирать гамма-лучи сверхвысокой энергии из космических источников. Только такие эксперименты позволят нам установить верхний предел электромагнитного спектра, если он существует.
По материалам NASA.
Читайте главные новости дня на ленте «TechInsider» в Telegram
Тип 32 № 3245
i
На сколько надо изменить частоту падающего на поверхность металла излучения, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов увеличилась от 500 км/с до 800 км/с?
Спрятать решение
Решение.
Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта для каждого случая:
Решая систему, находим разность частот падающего излучения
Ответ: Увеличить на 2,7 · 1014 Гц.
Источник: Гельфгат И. М. Сборник задач по физике для 11 класса, Х.: «Гимназия», 2004 (№ 10.20)
2018-07-01
Показать с помощью формулы Вина, что
а) наиболее вероятная частота излучения $omega_{вер} sim T$;
б) максимальная спектральная плотность теплового излучения $(u_{ omega} )_{max} sim T^{3}$
в) энергетическая светимость $M_{э} sim T^{4}$.
Решение:
(a) Наиболее вероятной частотой излучения $omega_{pr}$ является частота, для которой
$frac{d}{d omega} u_{ omega} = 2 omega^{2} F( omega /T) + frac{ omega^{3} }{T} F^{ prime} ( omega /T) = 0$
Максимальная частота — это корень, отличный от $omega = 0$ этого уравнения. Тогда
$omega = — frac{3TF ( omega /T)}{F^{ prime}( omega /T) }$
или $omega_{pr} = x_{0}T$, где $x_{0}$ — решение трансцендентного уравнения
$2F (x_{0} ) + x_{0} F^{ prime}(x_{0} ) = 0$
(б) Максимальная спектральная плотность — это плотность, соответствующая наиболее вероятной частоте. Тогда
$( u_{ omega} )_{max} = x_{0}^{3} F(x_{0} ) T^{3} alpha T^{3}$
где $x_{0}$ определено выше.
(в) Светимость
$M_{e} = frac{c}{4} int_{0}^{ infty} omega^{3} F left ( frac{ omega }{T} right ) d omega = T^{4} left ( frac{c}{4} int_{0}^{ infty} x^{3} F(x)dx right ) alpha T^{4}$