Вы уже научились находить значения некоторых квадратных
корней. Например, таких как:
Но бывает так, что необходимо найти квадратный
корень из числа, который уже нельзя так сходу определить. Тогда приходят к
нахождению приближённых значений квадратного корня.
Например:
Надо найти .
До этого мы с вами уже говорили, что нет
такого целого числа, квадрат которого бы равнялся двум.
Обратимся к параболе.
Прямая пересекает
параболу в двух точках. Абсцисса первой точки расположена между числами -1 и -2,
абсцисса второй точки между числами 1 и 2.
А т.к. нас интересует арифметический
квадратный корень, то рассматриваем только точку в первой координатной четверти
(т.е. с положительной абсциссой). По рисунку можно лишь сказать, что значение
корня из двух расположено между числами 1 и 2.
Попробуем все же вычислить приближённое
значение с
двумя знаками после запятой. Будем рассуждать следующим образом:
Т.к. нужно вычислить с
точностью до двух знаков после запятой, то мы можем уже остановиться и не
продолжать вычисления дальше. Поэтому имеем
Это и будет ответом. Если бы необходимо было
вычислить ещё более точное значение, нужно было бы продолжать вычисления,
повторяя снова и снова цепочку рассуждений. Данный приём позволяет извлекать арифметический
квадратный корень с любой точностью.
Можно показать наши рассуждения относительно
значения на координатной прямой.
В первом шаге показано, что значение расположено между числами 1 и 2.
Во втором шаге нашли значение корня с
точностью до десятых. И пришли к выводу, что это значение заключено между
числами 1,4 и 1,5.
Затем, в третьем шаге показано, что значение расположено
между числами 1,41 и 1,42 с точностью до сотых. И т.д..
В практических расчётах для нахождения
приближённых значений квадратных корней используют специальные
таблицы или вычислительную технику.
Рассмотрим, как можно находить значения
квадратных корней с помощью калькулятора.
Для этого используют клавишу, на которой
изображён знак квадратного корня. Чтобы извлечь корень из некоторого числа,
нужно ввести это число в калькулятор. Пауза нажать клавишу со знаком корня. И
на экране высветится приближённое значение корня.
Убедимся в правильности работы калькулятора.
Сначала давайте попробуем найти значение корня, которого вы уже
помните наизусть.
Например:
Нужно найти значение .
Конечно, вы с ходу скажите, что оно равно 5. Проверим. Вводим в калькулятор
число 25, затем нажимаем волшебную клавишу со знаком корня и
видим… значение равно 5.
Проверим, правильно ли мы рассуждали
относительно значения .
Вводим число 2 в калькулятор, нажимаем клавишу с корнем и видим
такие цифры: 1, запятая, 4, 1 и дальше ещё много циферок. Обратите внимание, получили
бесконечную непериодическую дробь, т.е. значение –
иррациональное число. Но т.к. нам нужно было найти приближённое
значение с
точностью до сотых, то мы убедились, что .
Задание:
Сравните числа.
Решение:
Математика
Тема 6: Квадратные корни
Урок 4: Нахождение приближенных значений квадратного корня
- Видео
- Тренажер
- Теория
Заметили ошибку?
Нахождение приближенных значений квадратного корня.
Рассмотрим один из способов нахождения приближенного значения арифметического квадратного корня. Найдем, например, приближенное значение 2 с тремя знаками после запятой.
Так как 12 меньше 2, а 22 больше 2, то число 2 заключено между целыми числами 1 и 2. Значит, десятичная запись числа 2начинается так:
2 = 1,….
Найдем теперь цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3;…, пока не получим число, большее двух. Имеем
1,12 = 1,21
1,22 = 1,44
1,32 = 1,69
1,42 = 1,96
1,52 = 2,25
Так как 1,42 меньше 2, а 1,52 больше 2, то число 2 больше 1,4, но меньше 1,5.
Значит, 2 = 1,4…
Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби 1,41; 1,42; 1,43… Так как 1,412 = 1,9881, а 1,422 = 2,0164, то число 2 больше 1,41 и меньше 1,42.
Значит, 2 = 1,41…
Продолжая этот процесс, найдем, что десятичная запись числа 2 начинается так: 1,414…
Поэтому 2≈1,414.
Рассмотренный прием позволяет извлекать арифметический квадратный корень из числа с любой точностью. На практике для нахождения приближенных значений квадратного корня используют специальные таблицы или калькуляторы.
Для закрепления материала разберем извлечение квадратного корня из 5.
Очевидно, что значение разряда единиц равно 2, т.к. 22 = 4, а 32 = 9.
Переходим к нахождению разряда десятых, возводя в квадрат числа 2,1; 2,2; 2,3 и т.д., пока не получим число, превышающее 5.
2,12 = 4,41
2,22 = 4,84
2,32 = 5,29
Таким образом определили значение разряда десятых – 2.
Переходим к нахождению разряда сотых.
2,212 = 4,8841
2,222 = 4,8294
2,232 = 4,9729
2,242 = 5,0176
Итак, мы нашли приближенное значение корня из 5 с точностью до сотых. Оно равно 2,23.
Заметили ошибку?
Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.
Конспект
Рассмотрим, как можно найти приближённые значения арифметического квадратного корня.
х2 = 9; корни 3 и –3;
х2 = 3; корни ≈ 1,7 и ≈ –1,7;
Начнём с оценки целой части искомого корня. Будем последовательно возводить в квадрат целые числа.
Следовательно, цифра целой части: 2.
Чтобы найти цифру десятых долей в искомом корне, будем последовательно возводить в квадрат числа: 2,12 = 4,41; 2,22 = 4,84; 2,32 = 5,29.
Следовательно, 
.
Найдём цифру сотых. Будем последовательно возводить в квадрат числа: 2,212 = 4,8841; 2,222 = 4,9284; 2,232 = 4,9729; 2,242 = 5,0176.
Следовательно, 
.
Те из вас, кто будут изучать программирование, более подробно познакомятся со способами последовательных приближений.
Для извлечения квадратного корня удобно пользоваться калькулятором:
Можно округлить данное число до тысячных: 
.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. Ориентировано на работу с УМК Макарычев. Алгебра 8 класс. Просвещение. Глава 2. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ (19 ч). § 5. Арифметический квадратный корень (5 ч). Урок 28. Нахождение приближенных значений квадратного корня. Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.
Цель: сформировать представление о приближенном вычислении квадратного корня.
Планируемые результаты: научиться вычислять приближенное значение корня из числа.
Тип урока: урок–исследование.
Ход урока
I. Сообщение темы и цели урока
II. Повторение и закрепление пройденного материала
- Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
- Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
Вариант 1
- Решите уравнение: а) x2 – 0,04 = 0,6; б) (2х – З)2 = 16; в) (3х + а)2 = 81.
- Определите число корней уравнения x2 – 4х = а.
Вариант 2
- Решите уравнение: а) x2 + 0,05 = 0,3; б) (Зх + 2)2 = 36; в) (2х – а)2 = 49.
- Определите число корней уравнения –x2 + 6х = а.
III. Работа по теме урока
На предыдущих занятиях мы узнали, что √a может быть целым числом (например, √0 = 0, √9 = 3 и т. д.), обыкновенной дробью (например, 
десятичной дробью (например, 
и иррациональным числом (например, 
Так как иррациональное число является бесконечной десятичной непериодической дробью, то при практических вычислениях возникает вопрос о вычислении приближенного значения арифметического квадратного корня.
Пример 1. Найдем приближенное значение √3 с двумя знаками после запятой.
Оценим подкоренное выражение 3 сначала в целых числах. Так как 1 < 3 < 4, то √1 < √3 < √4 или 1 < √3 < 2. Поэтому десятичная запись числа √З начинается с цифры 1, т. е. √3 ≈ 1,… (рис. а).
Найдем теперь цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3… до тех пор, пока вновь не оценим такими числами подкоренное выражение 3. Имеем 1,12 = 1,21; 1,22 = 1,44; 1,32 = 1,69; 1,42 = 1,96; 1,52 = 2,25; 1,62 = 2,56; 1,72 = 2,89; 1,82 = 3,24. Так как 2,89 < 3 < 3,24 или 1,72 < 3 < 1,82, то 1,7 < √З < 1,8. Значит, √3 ≈ 1,7… (рис. б).
Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби 1,71; 1,72; 1,73…, вновь оценивая подкоренное выражение 3. Имеем: 1,712 = 2,9241; 1,722 = 2,9584; 1,732 = 2,9929; 1,742 = 3,0276. Так как 1,732 < 3 < 1,742, то 1,73 < √3 < 1,74 (рис. в). Поэтому √3 ≈ 1,73.
Аналогичным образом можно найти приближенное значение арифметического квадратного корня с любой заданной точностью.
При практических расчетах для нахождения приближенных значений квадратных корней используют специальные таблицы или вычислительную технику.
Пример 2. С помощью калькулятора найдем 
.
Введем в калькулятор число 27,4 и нажмем клавишу √. На экране появится число 5,234500931 — приближенное значение . Полученный результат округляют до требуемого количества знаков. Округлим, например, этот результат до сотых и получим ≈ 5,23.
IV. Задания на уроке
№ 336 (а, г); 338 (б); 339 (а); 340 (б); 344 (а, б); 345 (а); 348 (б, г).
V. Подведение итогов урока
Домашнее задание: № 336 (в, е); 338 (а); 339 (б); 340 (а); 344 (в, г); 345 (б); 348 (а, в).
Вы смотрели: Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. УМК Макарычев (Просвещение). Глава 2. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ (19 ч). § 5. Арифметический квадратный корень (5 ч). Урок 28. Нахождение приближенных значений квадратного корня.
Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.
Нахождение приближенного значения корня
Какому промежутку принадлежит число (sqrt{44})?
1) ([5;6]) (;;;) 2)([6;7]) (;;;) 3)([7;8]) (;;;) 4)([8;9])
Границы промежутков можно записать следующим образом:
(5 = sqrt{25}, 6 = sqrt{36}, 7 = sqrt{49}, 8 =sqrt{64}).
Число (sqrt{44}) попадает в промежуток ([5=sqrt{25};6=sqrt{36}]).
Ответ: 2
Одно из чисел (sqrt{27}, sqrt{32}, sqrt{38}, sqrt{45}) отмечено на координатной прямой. 
Какое это число?
1) (sqrt{27}) (;;;) 2)(sqrt{32}) (;;;) 3)(sqrt{38}) (;;;) 4)(sqrt{45})
Точка лежит между числами (5 = sqrt{25}) и (6 = sqrt{36}). В этом промежутке находятся точки (sqrt{27}) и (sqrt{32}). При этом (sqrt{27} < sqrt{30,5}) (середины отрезка [5;6]), а (sqrt{32} > sqrt{30,5}). Значит, искомая точка — (sqrt{27}).
Ответ: 1
На координатной прямой отмечены точка A, B, C и D. 
Какой точке соответствует число (sqrt{79})?
1) Точке A (;;;) 2)Точке B (;;;) 3)Точке С (;;;) 4)Точке D
Число (sqrt{79}) лежит на отрезке ([8 = sqrt{64}; 9 = sqrt{81}]) правее его середины ((sqrt{79} > sqrt{72,5})). Значит, числу (sqrt{79}) соответствует точка D.
Ответ: 4
На координатной прямой отмечены точка A, B, C и D.
Какой точке соответствует число (sqrt{69})?
1) Точке A (;;;) 2)Точке B (;;;) 3)Точке С (;;;) 4)Точке D
Число (sqrt{69}) лежит на отрезке ([8 = sqrt{64}; 9 = sqrt{81}]) левее его середины ((sqrt{69} < sqrt{72,5})). Значит, числу (sqrt{69}) соответствует точка C.
Ответ: 3
Какое из чисел принадлежит промежутку ([10;11])?
1) (sqrt{111}) (;;;) 2)(sqrt{125}) (;;;) 3)(sqrt{136}) (;;;) 4)(sqrt{140})
В промежуток ([10 = sqrt{100};11 = sqrt{121}]) попадает только число (sqrt{111}).
Ответ: 1
Между какими соседними целыми числами расположено число (5sqrt{2})?
В ответе запишите 2 числа подряд без пробелов.
Внесем число 5 под корень (5sqrt{2} = sqrt{25 cdot 2} = sqrt{50}).
Ближайшими полными квадратами к числу ( sqrt{50}) являются числа (7=sqrt{49}) и (8=sqrt{64}). Значит, данное число находится между 7 и 8.
Ответ: 78
Между какими соседними целыми числами расположено число (-6sqrt{7})?
В ответе запишите большее число.
Внесем число 6 под корень (-6sqrt{7} = -sqrt{36 cdot 7} = -sqrt{252}).
Ближайшими полными квадратами к числу ( sqrt{252}) являются числа (15=sqrt{225}) и (16=sqrt{256}). Значит, число ( -sqrt{252}) находится между (-15) и (-16). Большим из них является число (-15).
Ответ: -15