Как найти базисный вектор матрицы

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Определение . Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A , если оператор A переводит x в коллинеарный ему вектор, то есть A· x = λ· x . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору x .
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов x ₁, x ₂, . x _m оператора A , отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы x ₁, x ₂, . x _m оператора A с попарно различными собственными числами λ₁, λ₂, …, λ_m линейно независимы.
3. Если собственные числа λ₁=λ₂= λ_m= λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов x ₁, x ₂, . x _n, соответствующих различным собственным числам λ₁, λ₂, …, λ_n, то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R_n. Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе < ε _i> (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса — собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

Пример №1 . Линейный оператор A действует в R₃ по закону A· x =(x₁-3x₂+4x₃, 4x₁-7x₂+8x₃, 6x₁-7x₂+7x₃), где x₁, x₂, . x_n — координаты вектора x в базисе e ₁=(1,0,0), e ₂=(0,1,0), e ₃=(0,0,1). Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение. Строим матрицу этого оператора:
A· e ₁=(1,4,6)
A· e ₂=(-3,-7,-7)
A· e ₃=(4,8,7)
.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(1-λ)x₁-3x₂+4x₃=0
x₁-(7+λ)x₂+8x₃=0
x₁-7x₂+(7-λ)x₃=0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

Пример №2 . Дана матрица .
1. Доказать, что вектор x =(1,8,-1) является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.
2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.

Решение находим с помощью калькулятора.
1. Если A· x =λ· x , то x — собственный вектор

Определение . Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой a_i k =a_k i .

Замечания .

1. Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
2. Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.

В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.

Алгоритм нахождения векторов жорданова базиса

Собственные векторы и собственные значения

Пусть A – матрица некоторого линейного преобразования порядка n.

Определение. Многочлен n-ой степени

P(l)=det(A-lЕ) (1.1)

называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы.

Определение. Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию

А(х)=lх, (1.2)

называется собственным вектором преобразования A. Число l называется собственным значением.

Замечание. Если в пространстве V задан базис, то это условие можно переписать следующим образом:

Ах=lх, (1.3)

где A – матрица преобразования, x – координатный столбец.

Определение. Алгебраической кратностью собственного значения l_j называется кратность корня l_j характеристического многочлена.

Определение. Совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы.

Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов

1. Найти собственные значения матрицы:

· записать характеристическое уравнение:

det(A-lЕ)=0; (1.4)

· найти его корни l _j, j=1. n и их кратности.

2. Найти собственные векторы матрицы:

· для каждого l _j решить уравнение

· найденный вектор х и будет собственным вектором, отвечающим собственному значению l _j.

Пример1

Найдем собственные значения и собственные векторы, если известна матрица преобразования:

Записываем характеристический многочлен (1.1) и решаем характеристическое уравнение (1.4):

Получаем два собственных значения: l₁=1 кратности m₁=2 и l₂=-1 кратности m₂=1.

Далее с помощью соотношения (1.5) находим собственные векторы. Сначала ищем ФСР для l₁=1:

Очевидно, что rang=1, следовательно, число собственных векторов для l₁=1 равно n-rang=2. Найдем их:

Аналогичным образом находим собственные векторы для l₂=-1. В данном случае будет один вектор:

Понятие жордановой клетки и жордановой матрицы

Определение. Жордановой клеткой порядка m, отвечающей собственному значению l, называется матрица вида:

(2.1)

Иными словами, на главной диагонали такой матрицы располагается собственное значение l, диагональ, ближайшая к главной, сплошь занята единицами, а все остальные элементы матрицы равны нулю. Ниже даны примеры жордановых клеток соответственно первого, второго и третьего порядков:

Определение. Блочно-диагональная матрица, на диагонали которой стоят жордановы клетки, называется жордановой матрицей:

(2.2)

Пример

Ниже представлена жорданова матрица, состоящая из трех жордановых клеток:

— размера 1, отвечающая собственному значению l₁=3;

— размера 2, отвечающая собственному значению l₂=4;

— размера 3, отвечающая собственному значению l₃=5.

Количество и размер жордановых клеток

Пусть А — матрица, которую нужно привести к жордановой форме, l_j (k=1. m_j) — собственные значения этой матрицы.

Количество жордановых клеток размера k, отвечающих собственному значению l_j, определяется следующим образом:

(3.1)
(3.2)

Пример

Пусть дана матрица преобразования:

Найдем количество и размер жордановых клеток, соответствующих каждому собственному значению этого преобразования.

Как искать собственные значения, было подробно рассказано в первом параграфе учебника. Поэтому опустим все расчеты, а сразу укажем собственные числа матрицы А: l₁=0 кратности m₁=1 и l₂=-1 кратности m₂=2.

Используя соотношения (3.1) и (3.2), найдем количество и размер жордановых клеток, соответствующих l₁=0, m₁=1.

Очевидно, что rang(A-l₁E)=2 и, соответственно, r 1 =r 2 =rang(A-l₁E) 1 =2, r 0 =n=3.

Количество жордановых клеток размера 1 будет равно: r 0 -2r 1 +r 2 =3-2*2+2=1.

Ясно, что других клеток для этого собственного значения нет. Т.о., для l₁=0, m₁=1 мы имеем единственную жорданову клетку вида J₁(0)=(0).

Далее аналогичным образом определяем клетки для второго собственного значения l₂=-1 кратности m₂=2.

Очевидно, что rang(A-l₂E)=2 и, соответственно, r 1 =r 2 =rang(A-l₂E) 1 =2.

Т.е. rang(A-l₁E) 2 =1 и, соответственно, r 1 =r 2 =rang(A-l₁E) 2 =1.

Теперь можно определить количество и размер жордановых клеток для второго собственного значения:

— размера 1: r 0 -2r 1 +r 2 =3-2*2+1=0;

— размера 2: r 1 -2r 2 +r 3 =2-2*1+1=1.

Таким образом, для l₂=-1 мы получили одну клетку размера 2:

Соответственно, жорданова форма для исходной матрицы А будет иметь вид:

Жорданов базис

Пусть матрица А приведена к жордановой форме J. Рассмотрим систему HJ=AH, где

— матрица перехода от исходного базиса (e) к жорданову базису (h). Это система матричных n 2 уравнений с n 2 неизвестными.

Определение. Пусть e – собственный вектор преобразования А, т.е. имеет место равенство А(e) = le. Вектор e1, удовлетворяющий равенству

называется присоединенным вектором первого порядка;

вектор e₂, удовлетворяющий равенству

— присоединенным вектором второго порядка;

вектор e_n, удовлетворяющий равенству

— присоединенным вектором n-ого порядка.

Заметим также, что

(А-lе) k e_k=e. (4.5)

Алгоритм нахождения векторов жорданова базиса

Чтобы найти жорданов базис, необходимо проделать следующие действия для каждой жордановой клетки.

Рассмотрим жорданову клетку порядка k, отвечающую собственному значению l. Для нее ищутся вектора жорданова базиса:

h, h 1 , h 2 , . h k-1 , где:

h — собственный вектор, отвечающий собственному значению l;

h 1 — присоединенный вектор 1-ого порядка;

h 2 — присоединенный вектор 2-ого порядка;

h k-1 — присоединенный вектор (k-1)-ого порядка;

Эта совокупность векторов ищется, используя следующую систему:

(4.6)

В результате применения этих операций ко всем жордановым клеткам, получим векторы, составляющие жорданов базис:

h, h 1 , h 2 , . h k-1 , f, f 1 , f 2 , . f p-1 .

Векторам h соответствует жорданова клетка размера k, векторам f – размера p и т.д.
ex3

Пример

Вернемся к примеру, рассмотренному в прошлом разделе. Там нами были получены две жордановы клетки:

J₁(0)=(0) и

Рассмотрим первую, J₁(0).

С помощью соотношения (1.5) из первого параграфа найдем собственный вектор, отвечающий собственному значению l₁=0:

Присоединенных векторов для данной жордановой клетки, очевидно, нет.

Теперь рассмотрим вторую жорданову клетку, J₂(-1). Очевидно, что для нее надо найти один собственный вектор и один присоединенный.

Используя систему (4.6), получим эти векторы:

— собственный вектор, отвечающий l₂=-1;

— присоединенный вектор.

Мы получили все векторы, составляющие матрицу Н. Таким образом, матрица перехода к жорданову базису будет иметь следующий вид:

Векторное пространство: размерность и базис, разложение вектора по базису

В статье о n -мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n -мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Рассмотрим некое пространство n -векторов. Размерность его соответственно равна n . Возьмем систему из n -единичных векторов:

e ( 1 ) = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) e ( 2 ) = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) e ( n ) = ( 0 , 0 , . . . , 1 )

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A : она будет являться единичной с размерностью n на n . Ранг этой матрицы равен n . Следовательно, векторная система e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Так как число векторов в системе равно n , то размерность пространства n -мерных векторов равна n , а единичные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом указанного пространства.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n -мерных векторов, в которой число векторов меньше n , не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) . Она также будет являться базисом n -мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n . Система e ( 2 ) , e ( 1 ) , . . . , e ( n ) линейно независима и является базисом n -мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n -мерного векторного пространства.

Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n -мерных векторов числом n.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 )

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

A = 3 2 3 — 2 1 — 1 1 2 — 2 A = 3 — 2 1 2 1 2 3 — 1 — 2 = 3 · 1 · ( — 2 ) + ( — 2 ) · 2 · 3 + 1 · 2 · ( — 1 ) — 1 · 1 · 3 — ( — 2 ) · 2 · ( — 2 ) — 3 · 2 · ( — 1 ) = = — 25 ≠ 0 ⇒ R a n k ( A ) = 3

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Исходные данные: векторы

a = ( 3 , — 2 , 1 ) b = ( 2 , 1 , 2 ) c = ( 3 , — 1 , — 2 ) d = ( 0 , 1 , 2 )

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a = ( 3 , — 2 , 1 ) , b = ( 2 , 1 , 2 ) , c = ( 3 , — 1 , — 2 ) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Исходные данные: векторы

a = ( 1 , 2 , 3 , 3 ) b = ( 2 , 5 , 6 , 8 ) c = ( 1 , 3 , 2 , 4 ) d = ( 2 , 5 , 4 , 7 )

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 — 1 1 0 1 — 2 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 — 2 — 1

1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 — 1 — 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k ( A ) = 4

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Исходные данные: векторы

a ( 1 ) = ( 1 , 2 , — 1 , — 2 ) a ( 2 ) = ( 0 , 2 , 1 , — 3 ) a ( 3 ) = ( 1 , 0 , 0 , 5 )

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n -мерный вектор x → : полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Любой вектор n -мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Докажем эту теорему:

зададим базис n -мерного векторного пространства — e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) . Сделаем систему линейно зависимой, добавив к ней n -мерный вектор x → . Этот вектор может быть линейно выражен через исходные векторы e :

x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) , где x 1 , x 2 , . . . , x n — некоторые числа.

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

Отнимем от левой и правой частей этого равенства соответственно левую и правую части равенства x = x 1 · e ( 1 ) + x 2 · e ( 2 ) + . . . + x n · e ( n ) . Получим:

1 — x 1 ) · e ( 1 ) + ( x

2 — x 2 ) · e ( 2 ) + . . . ( x

Система базисных векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) линейно независима; по определению линейной независимости системы векторов равенство выше возможно только тогда, когда все коэффициенты ( x

2 — x 2 ) , . . . , ( x

n — x n ) будут равны нулю. Из чего справедливым будет: x 1 = x

n . И это доказывает единственный вариант разложения вектора по базису.

При этом коэффициенты x 1 , x 2 , . . . , x n называются координатами вектора x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( n ) .

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n -мерный вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) »: рассматривается вектор x → n -мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n -мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n -мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

а также задан вектор x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) .

Векторы e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) , обозначаемые как x

Вектор x → будет представлен следующим образом:

2 · e ( 2 ) + . . . + x

Запишем это выражение в координатной форме:

( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x

1 · ( e ( 1 ) 1 , e ( 1 ) 2 , . . . , e ( 1 ) n ) + x

2 · ( e ( 2 ) 1 , e ( 2 ) 2 , . . . , e ( 2 ) n ) + . . . + + x

n · ( e ( n ) 1 , e ( n ) 2 , . . . , e ( n ) n ) = = ( x

2 e 1 ( 2 ) + . . . + x

2 e 2 ( 2 ) + + . . . + x

n e 2 ( n ) , . . . , x

2 e n ( 2 ) + . . . + x

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x

n e 2 n ⋮ x n = x

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e 1 ( 1 ) e 1 ( 2 ) ⋯ e 1 ( n ) e 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e 2 ( n ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n ( 1 ) e n ( 2 ) ⋯ e n ( n )

Пусть это будет матрица A , и ее столбцы – векторы линейно независимой системы векторов e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) . Ранг матрицы – n , и ее определитель отличен от нуля. Это свидетельствует о том, что система уравнений имеет единственное решение, определяемое любым удобным способом: к примеру, методом Крамера или матричным методом. Таким образом мы сможем определить координаты x

n вектора x → в базисе e 1 ( 1 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( n ) .

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e ( 1 ) = ( 1 , — 1 , 1 ) e ( 2 ) = ( 3 , 2 , — 5 ) e ( 3 ) = ( 2 , 1 , — 3 ) x = ( 6 , 2 , — 7 )

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) будет являться базисом трехмерного пространства, если она линейно независима. Выясним эту возможность, определив ранг матрицы A , строки которой – заданные векторы e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) .

Используем метод Гаусса:

A = 1 — 1 1 3 2 — 5 2 1 — 3

1 — 1 1 0 5 — 8 0 3 — 5

1 — 1 1 0 5 — 8 0 0 — 1 5

R a n k ( A ) = 3 . Таким образом, система векторов e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x → имеет координаты x

3 . Связь этих координат определяется уравнением:

3 e 1 ( 3 ) x 2 = x

3 e 2 ( 3 ) x 3 = x

Применим значения согласно условиям задачи:

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆ = 1 3 2 — 1 2 1 1 — 5 — 3 = — 1 ∆ x

1 = 6 3 2 2 2 1 — 7 — 5 — 3 = — 1 , x

1 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x

2 = 1 6 2 — 1 2 1 1 — 7 — 3 = — 1 , x

2 ∆ = — 1 — 1 = 1 ∆ x

3 = 1 3 6 — 1 2 2 1 — 5 — 7 = — 1 , x

Так, вектор x → в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , e ( 3 ) имеет координаты x

Ответ: x = ( 1 , 1 , 1 )

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

c ( 1 ) = ( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) c ( 2 ) = ( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) ⋮ c ( n ) = ( c 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) )

e ( 1 ) = ( e 1 ( 1 ) , e 2 ( 1 ) , . . . , e n ( 1 ) ) e ( 2 ) = ( e 1 ( 2 ) , e 2 ( 2 ) , . . . , e n ( 2 ) ) ⋮ e ( n ) = ( e 1 ( n ) , e 2 ( n ) , . . . , e n ( n ) )

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

n ( 1 ) — координаты вектора c ( 1 ) в базисе e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) , тогда связь координат будет задаваться системой линейных уравнений:

1 ( 1 ) e 1 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 1 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 1 ( n ) с 2 ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) + . . . + c

n ( 1 ) e 2 ( n ) ⋮ с n ( 1 ) = c

1 ( 1 ) e n ( 1 ) + c

2 ( 1 ) e n ( 2 ) + . . . + c

В виде матрицы систему можно отобразить так:

( c 1 ( 1 ) , c 2 ( 1 ) , . . . , c n ( 1 ) ) = ( c

n ( 1 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c ( 2 ) :

( c 1 ( 2 ) , c 2 ( 2 ) , . . . , c n ( 2 ) ) = ( c

n ( 2 ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

И, далее действуя по тому же принципу, получаем:

( c 1 ( n ) , c 2 ( n ) , . . . , c n ( n ) ) = ( c

n ( n ) ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) … e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) … e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) … e n ( n )

Матричные равенства объединим в одно выражение:

c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n ) = c

n ( n ) · e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n )

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) через базис c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) :

e 1 ( 1 ) e 2 ( 1 ) ⋯ e n ( 1 ) e 1 ( 2 ) e 2 ( 2 ) ⋯ e n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 ( n ) e 2 ( n ) ⋯ e n ( n ) = e

n ( n ) · c 1 ( 1 ) c 2 ( 1 ) ⋯ c n ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ( 2 ) ⋯ c n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 ( n ) c 2 ( n ) ⋯ c n ( n )

Дадим следующие определения:

n ( n ) является матрицей перехода от базиса e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 )

к базису c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n ) .

n ( n ) является матрицей перехода от базиса c ( 1 ) , c ( 2 ) , . . . , c ( n )

к базису e ( 1 ) , e ( 2 ) , . . . , e ( 3 ) .

Фундаментальным
вопросом теории линейных пространств
является вопрос о том, можно ли, а если
можно, то как, произвольный вектор
пространства представить в виде линейной
комбинации фиксированного набора
векторов из этого пространства. Далее
мы получим ответ на этот вопрос.

Система
линейно независимых векторов
векторного пространстваназываетсябазисом
этого пространства, если любой вектор
из
может быть представлен в виде линейной
комбинации векторов этой системы, т.е.
для каждого векторасуществуют вещественные числатакие, что имеет место равенство

.

Это
равенство называется разложением
вектора

по базису
,
а числаназываютсякоординатами
вектора
относительно базиса
(или в базисе)
.

Утверждение

Базисом
линейного пространства решений
одно­родной системы является ее
фундаментальная система реше­ний.

ТЕОРЕМА
(о единственности разложения по базису).
Каждый вектор
пространстваможет быть разложен по базису
единственным
образом, т.е. координаты каждого вектора
в базисе

определяются однозначно.

Главное
значение базиса заключается в том, что
операции сложения векторов и умножения
их на числа при задании базиса превращаются
в соответствующие операции над числами
– координатами этих векторов. А именно,
справедлива следующая

ТЕОРЕМА.
При сложении
двух любых векторов линейного пространства
их координаты (относительно любого
базиса пространства) складываются; при
умножении
произвольного вектора на любое число
все координаты этого вектора умножаются
на.

Типовой
пример

Исследуем
вопрос о базисе пространства
,
введенного ранее при рассмотрении
Типовой примеров векторных пространств.
Покажем, чтоэлементовуказанного пространства образуют базис.

►Во-первых,
эти векторы линейно независимы. Проверка
линейной независимости набора
состоит в определении значений,
при которых возможно равенство

.

Но в
силу только что доказанной теоремы

,

а
последний вектор является нулевым лишь
при условии
.
Во-вторых, всякий векторзаведомо представим в виде линейной
комбинации векторов:и, значит, наборобразует базис. ◄

Векторное
пространство
называется
-мерным,
если в нем существуютлинейно независимых векторов, а любыевекторов уже являются линейно зависимыми.
При этом числоназываетсяразмерностьюпространства.

Размерность
векторного пространства, состоящего
из одного нулевого вектора, принимается
равной нулю.

Размерность
пространства
обычно обозначают символом.

Векторное
пространство
называетсябесконечномерным, если
в нем существует любое число линейно
независимых векторов. В этом случае
пишут.

Выясним
связь между понятиями базиса и размерности
пространства.

ТЕОРЕМА.Если
– векторное пространство размерности,
то любыелинейно независимых векторов этого
пространства образуют его базис.

ТЕОРЕМА.Если векторное пространство
имеет базис, состоящий извекторов, то.

Утверждение

Rⁿ=n.

Типовые примеры

1. Образуют
   ли базис в пространстве R³
   векторы
   ?

►По
определению базис составляют линейно
независимые векторы. Линейная зависимость
(или независимость) определяется исходя
из анализа равенства нулю линейной
комбинации этих векторов:

.

Последнее
векторное уравнение после записи его
по компонентам представляет собой
систему трёх однородных уравнений
относительно
.
Согласно схеме исследования линейной
зависимости векторов вычислим
определитель матрицы, составленной из
координат векторов

Определитель
системы равен нулю, следовательно, она
имеет нетривиальное решение и это
означает, что исходная группа векторов
линейно зависима и не образует базис в
R³. ◄

2.Найти
размерность и один из базисов линейного
пространства решений однородной системы:

►Представленная
система состоит из трёх уравнений и
содержит 5 неизвестных. Выпишем матрицу
системы и упростим её с помощью
элементарных преобразований, сначала
поменяв местами строки 1 и 2, а затем
вычитая новую первую строку, умноженную
на 3 и 4, соответственно из второй и
третьей строк :

Видно,
что ранг матрицы
равен 2. Следовательно, две неизвестные
являются главными, а три — свободными.
Значит ФСР системы содержит 5-2=3 линейно
независимых решения. Выберем в качестве
главных.
Это можно сделать, т.к. минор 2-го порядка,
составленный из коэффициентов при этих
неизвестных, отличен от нуля. Система,
соответствующая преобразованной
матрице, имеет вид

Отсюда,
выражая главные неизвестные через
свободные, получим общее решение

Или иначе:

.

Фундаментальная
совокупность решений является базисом
линейного пространства решений исходной
системы и в данном случае имеет вид

Размерность
искомого пространства равна 3.◄

Матрицей
переходаот базисак базисуназывается матрица вида

где
для каждого
в
-ом
столбце стоят координатывекторав базисе.

Утверждение

Координаты
векторав базисеи координатыэтого же вектора в базисесвязаны равенством

где
— матрица перехода от базисак базису.

Утверждение.
Матрица перехода
от базисак бази­суи матрица обратного переходаот базисак базисусвязаны равенством=.

Типовые
примеры

1.Найти координаты векторав базисе,
если известно

►В
соответствии с определением матрица
перехода от базиса
к базисуесть

.

Обозначим
координаты вектора
в базисечерез,
а в базисечерез.
Искомые координатысвязаны с известными координатамиследующим соотношением:

.

Видно,
что для получения координат
необходимо вычислить матрицу, обратную.
Используя стандартную процедуру, имеем

.

Вычислим теперь координаты
:

.
◄

1. Найти матрицу
   перехода от базиса
   к базисупо данным разложениям этих векторов
   в базисе:

.

►Чтобы
построить матрицу
перехода
от базисак базису,
необходимо найти разложение векторовпо базису.
Сделаем это, представивв виде разложения пос неизвестными координатами, которые
требуется определить:

,

или с
учётом вида этих векторов в базисе

.

Откуда для координат
имеем

Теперь,
зная разложение
по,
выпишем матрицу:

.◄

5. Линейные оболочки
и подпространства

Подпространством линейного пространстваназывается множество векторов изтакое, что для любых двух векторовиизи любых двух вещественных чиселилинейная комбинациятакже принадлежит.

Утверждение. Подпространство само
является линейным про­странством.

Линейной оболочкойсистемы векторовназывается множество всех линейных
комбинаций векторов.
Обозначается.

Утверждение. Линейная оболочка системы
векторов является подпространством.

Пересечениемдвух подпространстви
на­зывается множество всех векторов,
принадлежащих одновре­менно и,
и
.
Обозначается
.

Суммой двух подпространстви
называется множество всех векторов,
представимых в виде,
где,
.
Обозначается
.

Утверждение. Сумма и пересечение
подпространств
и

являются линейными пространствами, и
их размерности связаны равенством

+=+.

Сумма
двух подпространств называется прямой
суммой, если
пересечение этих подпространств состо­ит
только из нулевого вектора.

Типовой пример

Найти размерность и какой-нибудь базис
суммы и пересечения подпространств,
порождённых векторами
.

►Вычислим вначале размерность
подпространств. С этой целью установим,
являются ли линейно независимыми
векторы, порождающие данные подпространства.
Для подпространства
,
порождённого векторами,
равенство нулю линейной комбинации,
эквивалентное системе уравнений,
достигается лишь при условии.
Следовательно, векторылинейно независимы и размерность
подпространстваравна 2:.
Для подпространства,
порождённого векторами,
проводя аналогичный анализ, получим.

Вычислим теперь размерность пересечения
подпространств
и.
По определению векторы, составляющие
пересечение, принадлежат одновременно
обоим подпространствам. Произвольный
векторподпространстваявляется линейной комбинацией базисных
векторов:.
Аналогично для подпространстваимеем,
тогда условие принадлежности пересечению
естьили.

Это условие представляет собой систему
уравнений относительно коэффициентов
.
Составим матрицу системы и упростим её
с помощью элементарных преобразований:

Как видно ранг системы равен 3. Значит
ФСР состоит из одного линейно независимого
вектора. Найдём его, решив систему
уравнений, соответствующих последней
матрице, получим
,

откуда
.

Полагая свободное неизвестное
,
для остальных имеем

.
Итак, пересечение подпространствимеет
один базисный вектор

.

Размерность пересечения
.
Следовательно, в соответствии с равенством

размерность суммы подпространств
.
В качестве базиса суммы подпространств
можно взять, например, векторы,
дополненные вектором.
В линейной независимости векторовубедиться нетрудно.◄

Содержание:

Векторы на плоскости и в пространстве:

Обобщим некоторые сведения о векторах, известные в основном из школьного курса геометрии.

Вектором называется направленный отрезок

Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой, либо выделяться жирным шрифтом, например:

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коминеарными.

Если начало и конец вектора совпадают, например , то такой вектор называют нулевым и обозначают . Длина нулевого вектора равна нулю: . Так как направление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любому вектору.

Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если (рис. 3.2).

Противоположным вектором называется произведение вектора на число

Рис. 32

Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (рис. 3.3) (правило треугольника).

Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 3.3) (правило параллелограмма).

Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Так, например, сумма четырех векторов (рис. 3.4а) есть вектор начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора (правило многоугольника) (рис. 3.4 б).

Нетрудно убедиться. что вектор определяемый таким образом, представляет диагональ параллелепипеда, построенного на векторах ,и , не лежащих в одной плоскости или в параллельных плоскостях (правило параллелепипеда) (рис. 3.5).

Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора , противоположного (рис. 3.6).

Легко убедиться в том, что в параллелограмме, построенном на векторах и одна диагональ — вектор —представляет сумму векторов и , а другая диагональ — вектор — их разность (рис. 3.7).

Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Координатами вектора называются координаты его конечной точки. Так, вектор на плоскости являются два числа и ( — рис. 3.8.), а в пространстве — три числа и — рис. 3.9).

В соответствии с определениями, приведенными выше, нетрудно показать, что суммой и разностью векторов и являются соответственно векторы

,

а произведение вектора на число есть вектор На рис. 3.8 и 3.9 видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

или

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Выразим скалярное произведение через координаты векторов и .

Из треугольника (рис. 3.7), сторонами которого являются векторы и по теореме косинусов следует, что

, откуда

Учитывая формулу длины вектора (3.1) найдем

и после преобразования выражения (3.2) получим

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Заметим, что при угол и

т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

В частности, расстояние между двумя точками плоскости можно рассматривать как длину вектора

Поэтому

Угол между векторами и определяется по формуле

Пример:

Даны векторы

Найти: а)векторы б)длины векторов и ; в) скалярный квадрат вектора ; г) скалярное произведение векторов д)угол между векторами

Решение:

а) По определению

б) По формуле (3.1) найдем длины векторов

в) По формуле (3.4) скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора, т.е.

г) По формуле (3.3) скалярное произведение

д) По формуле (3.6) угол между векторами определяется равенством:

>мерный вектор и векторное пространство

Множества всех плоских или пространственных векторов, рассмотренных выше, в которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Ниже обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства.

Определение.-мерным вектором называется упорядоченная совокупность действительных чисел, записываемых в виде где — -я компонента вектора .

Понятие -мерного вектора широко используется в экономике, например некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором , а соответствующие цены — вектором

Два -мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. если

Суммой двух векторов одинаковой размерности п называется вектор компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е.

Произведением вектора на действительное число называется вектор , компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора , т.е.

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1. — коммутативное (переместительное) свойство суммы:
2. — ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;
3. — ассоциативное относительно числового множителя свойство;
4. — дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;
5. —дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;
6. Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора);
7. Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что
8. для любого вектора (особая роль числового множителя 1).

Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

Следует отметить, что под можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

Линейным пространством является, например, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа Легко убедиться, что если х и у — многочлены степени не выше п, то они будут обладать свойствами 1—8. Заметим для сравнения, что, например, множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу , не является линейным пространством, так как в нем не определена операция сложения элементов, ибо сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени ниже . А множество многочленов степени не выше , но с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку в этом множестве не определена операция умножения элемента на число: такие многочлены нельзя умножать на отрицательные числа.

Из определения векторного (линейного) пространства, в частности из аксиом 1-8, вытекает существование единственного нулевого вектора, равного произведению произвольного вектора на действительное число 0 и существование для каждого вектора единственного противоположного вектора (—), равного произведению этого вектора на действительное число (- 1).

Размерность и базис векторного пространства

Понятия линейной комбинации, линейной зависимости и независимости векторов вводятся аналогично тому, как это было сделано в § 1.6 для строк матрицы.

Определение. Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

где — какие угодно действительные числа.

Определение. Векторы векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не равные одновременно нулю, что

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы линейно независимы, если равенство (3.8) справедливо лишь при и линейно зависимы, если это равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Можно показать (аналогично § 1.6), что если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Примером линейно независимых векторов являются два не-коллинеарных, т.е. не параллельных одной прямой, вектора и на плоскости. Действительно, условие (3.8) будет выполняться лишь в случае, когда , ибо если, например, , то , и векторы коллинеарны. Однако любые три вектора плоскости линейно зависимы.

Отметим некоторые свойства векторов линейного пространства:

1. Если среди векторов имеется нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы. В самом деле, если, например, то равенство (3.8) справедливо при
2. Если часть векторов являются линейно зависимыми, то и все эти векторы — линейно зависимые. Действительно, если, например, векторы линейно зависимы, то справедливо равенство в котором не все числа равны нулю. Но тогда с теми же числами и будет справедливо равенство (3.8).

Пример:

Выяснить, являются ли векторы и линейно зависимыми.

Решение:

Составим векторное равенство Записывая в виде вектор-столбцов, получим

Задача свелась таким образом к решению системы:

Решая систему методом Гаусса (см. § 2.3), приведем ее к виду:

откуда найдем, бесконечное множество ее решений , где с — произвольное действительное число.

Итак, для ‘данных векторов условие (3.8) выполняется не только при (а, например, при при и т.д.), следовательно, эти векторы — линейно зависимые. ►

Определение. Линейное пространство называется -мерным, если в нем существует я линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число называется размерностью пространства и обозначается

Определение. Совокупность линейно независимых векторов -мерного пространства называется базисом. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Каждый вектор линейного пространства можно представить притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса.

Пусть векторы образуют произвольный базис -мерного пространства . Так как любые из ( +1) векторов -мерного пространства R зависимы, то будут зависимы, в частности, векторы и рассматриваемый вектор . Тогда существуют такие не равные одновременно нулю числачто

При этом , ибо в противном случае, если и хотя бы одно из чисел было бы отлично от нуля, то векторы были бы линейно зависимы. Следовательно,

или

где

Это выражение через единственное, так как если допустить какое-либо другое выражение, например,

то, вычитая из него почленно (3.9), получим

откуда из условия линейной независимости векторов следует, что ‘

или

Равенство (3.9) называется разложением вектора по базису , а числа — координатами вектора относительно этого базиса. В силу единственности разложения (3.9) каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе.

Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые координаты, а вектор, противоположный данному, — противоположные по знаку координаты.

Важное значение имеет следующая теорема.

Теорема. Если — система линейно независимых векторов пространства и любой вектор линейно выражается через , то пространство является n-мерным, а векторы — его базисом.

Возьмем произвольные векторов пространства , где По условию каждый из них можно линейно выразить через :

Рассмотрим матрицу

Ранг этой матрицы не превосходит , следовательно, среди ее строк не более линейно независимых. Так как , то строк этой матрицы, а значит, и векторов линейно зависимы. Таким образом, пространство -мерно и — его базис. ■

Пример:

В базисе заданы векторы и Показать, что векторы образуют базис.

Решение:

Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство: Решая его аналогично примеру 3.2, можно убедиться в единственном нулевом его решении: , т.е. векторы образуют систему линейно независимых векторов и, следовательно, составляют базис. ►

Переход к новому базису

Пусть в пространстве имеются два базиса: старый и новый Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Полученная система означает, что переход от старого базиса кновому задается матрицей перехода и тд.

причем коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы.

Матрица — неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы .

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е.

Подставив значения из системы (3.10) в левую часть равенства (3.11), получим после преобразований:

т.е. в матричной форме

Пример:

По условию примера 3.3 вектор заданный в базисе , выразить в базисе .

Решение:

Выразим связь между базисами:

Матрица перехода от базиса к базису имеет вид Вычисляем Теперь по (3.12)

т.е. новые координаты вектора в базисе есть 0,5; 2 и -0,5 и вектор может быть представлен в виде:

Евклидово пространство

Выше мы определили линейное (векторное) пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на числа, ввели понятие размерности и базиса, а теперь в данном пространстве введем метрику, т.е. способ измерять длины и углы. Это можно, например, сделать, если ввести понятие скалярного произведения.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число

Скалярное произведение имеет экономический смысл. Если есть вектор объемов различных товаров, а вектор их цен, то скалярное произведение выражает суммарную стоимость этих товаров.

Скалярное произведение имеет следующие свойства:

1. — коммутативное свойство;
2. — дистрибутивное свойство;
3. — для любого действительного числа;
4. если — ненулевой вектор; , если — нулевой вектор.

Определение. Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством.

Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:

Имеют место следующие свойства длины вектора:

1. тогда и только тогда, когда ;

2. , где — действительное число;

3.

(неравенство Коши—Буняковского);

4. (неравенство треугольника).

Угол между двумя векторами и определяется равенством

где

Такое определение вполне корректно, так как согласно неравенству Коши—Буняковского (3.15) , т.е.

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, что нулевой вектор ортогонален любому другому вектору. Из определения следует, что если два ненулевых вектора ортогональны, то угол между ними равен (ибо ).

Векторы-мерного евклидова пространства образуют ортогональный базис, если эти векторы попарно ортогональны, и ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е. если при и | при

Для установления корректности приведенного определения необходимо убедиться в том, что входящие в него векторы образуют один из базисов рассматриваемого -мерного пространства (т.е. ). Для этого достаточно показать, что векторы линейно независимы, т.е. равенство

справедливо лишь при

Действительно, умножая скалярно равенство (3.17) на любой вектор , получим

откуда, учитывая, что при и при всех , вытекает, что при всех

Сформулируем теперь (без доказательства) основную теорему.

Теорема. Во всяком -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Примером ортонормированного базиса является система единичных векторов у которых -я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю:

Линейные операторы

Одно из фундаментальных понятий матричной алгебры — понятие линейного оператора.

Рассмотрим два линейных пространства: размерности и размерности

Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору пространства ставится в соответствие единственный вектор у пространства , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) действующий из в , и записывают

Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов и пространства и любого числа выполнился соотношения:

Вектор называется образом вектора , а сам вектор — прообразом вектора .

Если пространства и совпадают, то оператор отображает пространство в себя. Именно такие операторы мы будем рассматривать в дальнейшем.

Выберем в пространстве базис eh и, учитывая (3.9), запишем разложение произвольного вектора по данному базису:

В силу линейности оператора получаем

Поскольку — также вектор из , то его можно разложить по базис. Пусть

Тогда

С другой стороны, вектор, имеющий в том же базисе координаты , можно записать так:

Ввиду единственности разложения вектора по базису равны правые части равенства (3.19) и (3.20), откуда

Матрица называется матрицей оператора в базисе , а ранг матрицы — рангом оператора .

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице -го порядка соответствует линейный оператор -мерного пространства.

Связь между вектором и его образом можно выразить в матричной форме уравнением

где — матрица линейного оператора, — матрицы-столбцы из координат векторов и

Пример:

Пусть в пространстве линейный оператор в базисе задан матрицей Найти образ вектора

Решение:

По формуле (3.21) имеем

Следовательно, ►

Определим действия над линейными операторами.

Суммой двух линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством:

Произведением линейного оператора на число называется оператор , определяемый равенством

Произведением линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством:

Можно убедиться в том, что операторы, полученные в результате этих действий, удовлетворяют отмеченным выше свойствам аддитивности и однородности, т.е. являются линейными.

Определим нулевой оператор , переводящий все векторы пространства в нулевые векторы , и тождественный оператор , действующий по правилу:

Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах выражается теоремой.

Теорема. Матрицы и линейного оператора в базисах и связаны соотношением

где — матрица перехода от старого базиса к новому.

При воздействии линейного оператора вектор пространства переводится в вектор этого пространства, т.е. справедливо равенство (3.21) (в старом базисе) и равенство

(в новом базисе). Так как — матрица перехода от старого базиса к новому, то в соответствии с (3.12)

Умножим равенство (3.24) слева на матрицу , получим или с учетом (3.21) . Заменив левую часть полученного выражения в соответствии с (3.25), имеем: или . Сравнивая найденное выражение с (3.23), мы получим доказываемую формулу (3.22).

Пример:

В базисе оператор (преобразование) имеет матрицу . Найти матрицу оператора в базисе

Решение:

Матрица перехода здесь , а обратная к ней матрица Следовательно, по (3.22)

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Определение. Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что

Число называется собственным значением оператора (матрицы ), соответствующим вектору .

Из определения следует, что собственный вектор под действием линейного оператора переходит в вектор, коллинеарный самому себе, т.е. просто умножается на некоторое число. В то же время несобственные векторы преобразуются более сложным образом. В связи с этим понятие собственного вектора является очень полезным и удобным при изучении многих вопросов матричной алгебры и ее приложений.

Равенство (3.26) можно записать в матричной форме:

где вектор представлен в виде вектора-столбца, или в развернутом виде

Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:

или в матричном виде

Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение Для существования ненулевого решения (см. § 2.5) необходимо и достаточно, чтобы определитель системы

Определитель является многочленом -й степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы , а уравнение (3.28) — характеристическим уравнением оператора или матрицы .

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса. В самом деле, преобразуем характеристический многочлен полученный в новом базисе , если известна матрица перехода от старого базиса к новому. С учетом (3.22) получим

Учитывая, что определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц (см. §1.4), получим

независимо от выбора базиса.

Пример:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей

Решение:

Составляем характеристическое уравнение

откуда собственные значения линейного оператора

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению. Для этого решаем матричное уравнение

откуда находим . Положив , получим, что векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением

Аналогично можно убедиться в том, что векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением

Наиболее простой вид принимает матрица линейного оператора , имеющего линейно независимых собственных векторов с собственными значениями, соответственно равными Векторы примем за базисные. Тогда или с учетом (3.18)

откуда если , и ,если . Таким образом, матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

Верно и обратное: если матрица линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса — собственные векторы оператора .

Можно доказать, что если линейный оператор имеет попарно различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду.

Решение:

В примере 3.7 были найдены собственные значения матрицы и соответствующие им собственные векторы и Так как координаты векторов не пропорциональны, то векторы линейно независимы. Поэтому в базисе, состоящем из любых пар собственных векторов и (т.е. при любых например при из векторов и т.д.), матрица будет иметь диагональный вид: Это легко проверить, взяв, например, в качестве нового базиса линейно независимые собственные векторы и . Действительно, матрица перехода от старого базиса к новому в этом случае будет иметь вид Тогда в соответствии с (3.22) матрица в новом базисе примет вид:

или после вычислений (которые мы опускаем)

т.е. получим ту же диагональную матрицу, элементы которой по главной диагонали равны собственным значениям матрицы . ►

Квадратичные формы

При решении различных прикладных задач часто приходится исследовать квадратичные формы.

Определение. Квадратичной формой от переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы — действительные числа, причем . Матрица , составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы. В матричной записи квадратичная форма имеет вид:

где — матрица-столбец переменных. В самом деле :

и эквивалентность формул (3.29) и (3.30) установлена.

Пример:

Дана квадратичная форма Записать ее в матричном виде.

Решение:

Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 4, 1, -3, а другие элементы — половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных.

Пусть матрицы-столбцы переменных и связаны линейным соотношением , где, есть некоторая невырожденная матрица -го порядка. Тогда квадратичная форма

, Итак, при невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы принимает вид:

Пример:

Дана квадратичная форма Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием

Решение:

Матрица данной квадратичной формы , а матрица линейного преобразования

Следовательно, по (3.31) матрица искомой квадратичной формы а квадратичная форма имеет вид

Следует отметить, что при некоторых удачно выбранных линейных преобразованиях вид квадратичной формы можно существенно упростить.

Квадратичная форма , называется канонической (или имеет канонический вид), если все ее коэффициенты

а ее матрица является диагональной. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Пример:

Привести к каноническому виду квадратичную форму

Решение:

Вначале вьделим полный квадрат при переменной , коэффициент при квадрате которой отличен от нуля:

Теперь выделяем полный квадрат при переменной , коэффициент при которой отличен от нуля:

Итак, невырожденное линейное преобразование

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде теоремы.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Например, квадратичную форму в примере 3.10 можно было привести к виду

применив невырожденное линейное преобразование

Как видим, число положительных и отрицательных коэффициентов (соответственно два и один) сохранилось.

Следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля,

Так, например, квадратичная форма является положительно определенной, а форма — отрицательно определенной.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы были положительны (отрицательны).

В ряде случаев для установления знакоопределенности квадратичной формы удобнее бывает применить критерий Сильвестра.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительны, т.е. где

Следует отметить, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака «минус» для минора первого порядка. ‘

Пример:

Доказать, что квадратичная форма является положительно определенной.

Решение:

Первый способ. Матрица квадратичной формы имеет вид Для матрицы характеристическое

Решая уравнение, найдем Так как корни характеристического уравнения матрицы положительны, то на основании приведенной теоремы квадратичная форма — положительно определенная.

Второй способ. Так как главные миноры матрицы положительны, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма положительно определенная. ►

Линейная модель обмена

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящейся к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть имеется стран , национальный доход каждой из которых равен соответственно Обозначим коэффициентами долю национального дохода, которую страна тратит на покупку товаров у страны . Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

Рассмотрим матрицу

которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с (3.32) сумма элементов любого столбца матрицы равна 1.

Для любой страны выручка от внутренней и внешней торговли составит:

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны , т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:

Если считать, что , то получаем систему неравенств

Сложив все неравенства системы (3.33), получим после группировки

Учитывая (3.32), выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству

Таким образом, неравенство невозможно, и условие, принимает вид (С экономической точки зрения это понятно, так как все страны не могут одновременно получать прибыль.)

Вводя вектор национальных доходов стран, получим матричное уравнение

В котором вектор х записан в виде вектор-столбца, т.е. задача свелась к отысканию собственного вектора матрицы отвечающего собственному значению

Пример:

Структурная матрица торговли трех стран имеет вид:

Найти соотношение национальных доходов стран для сбалансированной торговли.

Решение:

Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению , решив уравнение или систему

методом Гаусса. Найдем т.е. Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при векторе национальных доходов

т.е. при соотношении национальных доходов стран

Характеристическое уравнение линейного оператора А: L → L, действующего в n-мерном линейном пространстве L, — это алгебраическое уравнение n-й степени с действительными коэффициентами. Среди его корней могут быть комплексные числа, но эти корни не относят к собственным значениям линейного оператора, так как, согласно определению, собственное значение линейного оператора — действительное число. Чтобы комплексные корни характеристического уравнения можно было рассматривать как собственные значения линейного оператора, в линейном пространстве должно быть определено умножение вектора на любые комплексные числа.

Как следует из доказательства теоремы 5.3, чтобы вычислить собственные значения линейного оператора А и найти его собственные векторы, нужно выполнить следующие операции:

— выбрать в линейном пространстве базис и сопоставить А матрицу А этого линейного оператора в выбранном базисе;

— составить характеристическое уравнение det (А — λЕ) = 0 и найти все его действительные корни λ_k, которые и будут собственными значениями линейного оператора;

— для каждого собственного значения λ_k найти фундаментальную систему решений
для однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (А — λ_kЕ)х = 0. Столбцы фундаментальной системы решений представляют собой координаты векторов некоторого базиса в собственном подпространстве £(А, λ_k) линейного оператора А.

Любой собственный вектор с собственным значением λ_k принадлежит подпространству £(А,λ_k), и, следовательно, найденный базис в этом подпространстве позволяет представить любой собственный вектор с собственным значением λ_k.

Пример 5.4. Найдем собственные векторы и собственные значения линейного оператора А, имеющего в некотором базисе матрицу

В соответствии с описанной процедурой необходимо выполнить три действия. Первое действие можно опустить, так как оператор уже представлен своей матрицей в некотором базисе. Выполняем дальнейшие действия.

2) Находим собственные значения, решая характеристическое уравнение матрицы:

откуда λ₁ = -3, λ₂ = 1, λ₃ = 3.

3) Находим столбцы координат собственных векторов, ре-шая для каждого из трех собственных значений однородную СЛАУ

3а) Для λ = λ₁ = -3 система (5.5) имеет вид

или

Ранг матрицы этой системы равен 2:

Поэтому размерность линейного пространства решений систе-мы равна 3 — 2 = 1. Фундаментальная система решений содер-жит одно решение, например

Все множество собственных векторов линейного оператора с собственным значением λ₁ = -3 в координатной форме имеет вид

где α — произвольное ненулевое действительное число.

3б) При λ = λ₂ = 1 система (5.5) имеет вид

Как и в предыдущем случае, размерность линейного простран-ства решений равна 2 — 1 = 1 и фундаментальная система решений содержит одно решение. Выберем следующее:

Все множество собственных векторов с собственным значением λ = -1 в координатной форме имеет вид

где β — произвольное ненулевое действительное число.

3в) Для λ = λ₃ = 3 аналогично предыдущим двум случаям находим столбец координат одного из собственных векторов, например

который порождает собственное подпространство линейного оператора А, отвечающее собственному значению λ = 3.

Пример 5.5. Найдем собственные значения линейного оператора А, действующего в n-мерном линейном пространстве, матрица А которого в некотором базисе является верхней треугольной порядка n:

причем все ее диагональные элементы а_ii попарно различны, т.е. а_ii ≠ a_jj при i ≠ j.

Составляем характеристическое уравнение матрицы А:

det(А — λЕ) = (а₁₁ — λ)(а₂₂ — λ) … (а_nn — λ) = 0

(определитель верхней треугольной матрицы равен произведе-нию ее диагональных элементов). Находим все действительные корни этого уравнения:

λ_k = a_kk, k = 1,n

Как видим, линейный оператор А имеет n попарно различных собственных значений.

Отметим, что пересечение любых двух собственных подпространств линейного оператора содержит лишь нулевой вектор, так как собственный вектор не может отвечать двум различным собственным значениям. Поэтому собственные подпространства линейного оператора образуют прямую сумму, а размерность прямой суммы линейных подпространств, согласно следствию из теоремы 2.5, равна сумме их размерностей. Из этих соображений следует, что каждое из n собственных подпространств рассматриваемого линейного оператора является одномерным, так как их размерность не может быть меньше, но если бы одно из подпространств имело размерность больше единицы, то суммарная их размерность превышала бы размерность самого линейного пространства.

Итак, все собственные подпространства линейного операто-ра в нашем случае одномерны. Рассмотрим то из них, которое отвечает собственному значению λ_r = а_rr, где 1 ≤ r ≤ n. Соответствующий собственный вектор имеет столбец координат, который является ненулевым решением однородной СЛАУ

(А — a_rrЕ)х = 0. (5.6)

Достаточно очевидно, что ранг матрицы системы (5.6) равен n — 1, а базисный минор для этой матрицы получается вычер-киванием r-й строки и r-го столбца.

Наиболее просто решение системы (5.6) выглядит для r = 1. В этом случае собственным является вектор x₁ со столбцом координат (1 0 … 0)^T . При r = 2 все координаты собственного вектора, начиная с третьей, будут равны нулю, так как они удовлетворяют системе

получающейся выбрасыванием первых двух уравнений. Второе уравнение вытекает из всех последующих и может быть опуще-но, а первое уравнение определяет связь между первыми двумя координатами. Мы получаем, что собственному значению а₂₂ отвечает вектор x₂ со столбцом координат (-a₁₂ a₁₁ 0 … 0)^T . Собственному значению a₃₃ отвечает вектор x₃ со столбцом координат (x₁₃ x₂₃ x₃₃ 0 … 0)^T , у которого лишь первые три координаты отличны от нуля. Эти три координаты удовлетворяют однородной системе из двух уравнений

Эти рассуждения можно продолжить.

Пример 5.6. Преобразование поворота в V₃ на заданный острый угол вокруг некоторой оси — это линейный оператор. Его собственными векторами являются векторы, коллинеарные оси поворота. Например, если поворот выполняется вокруг оси Оz, то матрица оператора в базисе i, j, k будет иметь вид

а его собственными векторами будут векторы со столбцами координат вида λ(0 0 1)^T , λ ≠ 0.

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ

Собственные векторы и собственные значения матрицы

Пусть — числовая квадратная матрица n-го порядка. Матрица называется характеристической для , а ее определитель характеристическим многочленом матрицы

Характеристическая матрица — это λ-матрица. Ее можно представить в виде регулярного многочлена первой степени с матричными коэффициентами. Нетрудно заметить, что степень характеристического многочлена равна порядку характеристической матрицы.

Пусть — числовая квадратная матрица n-го порядка. Ненулевой столбец , удовлетворяющий условию

называется собственным вектором матрицы . Число в равенстве (7.13) называется собственным значением матрицы . Говорят, что собственный вектор соответствует {принадлежит) собственному значению .

Поставим задачу нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы. Определение (7.13) можно записать в виде , где — единичная матрица n-го порядка. Таким образом, условие (7.13) представляет собой однородную систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными

Поскольку нас интересуют только нетривиальные решения однородной системы, то определитель матрицы системы должен быть равен нулю:

В противном случае по теореме 5.1 система имеет единственное тривиальное решение. Таким образом, задача нахождения собственных значений матрицы свелась к решению уравнения (7.15), т.е. к отысканию корней характеристического многочлена матрицы . Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы . Так как характеристический многочлен имеет n-ю степень, то характеристическое уравнение — это алгебраическое уравнение n-го порядка. Согласно следствию 1 основной теоремы алгебры, характеристический многочлен можно представить в виде

где — корни многочлена кратности соответственно, причем . Другими словами, характеристический многочлен имеет п корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Теорема 7.4 о собственных значениях матрицы. Все корни характеристического многочлена (характеристического уравнения (7-15)) и только они являются собственными значениями матрицы.

Действительно, если число — собственное значение матрицы , которому соответствует собственный вектор , то однородная система (7.14) имеет нетривиальное решение, следовательно, матрица системы вырожденная, т.е. число удовлетворяет характеристическому уравнению (7.15). Наоборот, если — корень характеристического многочлена, то определитель (7.15) матрицы однородной системы (7.14) равен нулю, т.е. .В этом случае система имеет бесконечное множество решений, включая ненулевые решения. Поэтому найдется столбец , удовлетворяющий условию (7.14). Значит, — собственное значение матрицы .

Свойства собственных векторов

Пусть — квадратная матрица n-го порядка.

1. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

В самом деле, пусть и — собственные векторы, соответствующие собственным значениям и , причем . Составим произвольную линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому столбцу:

Надо показать, что это равенство возможно только в тривиальном случае, когда . Действительно, умножая обе части на матрицу и подставляя и имеем

Прибавляя к последнему равенству равенство (7.16), умноженное на , получаем

Так как и , делаем вывод, что . Тогда из (7.16) следует, что и (поскольку ). Таким образом, собственные векторы и линейно независимы. Доказательство для любого конечного числа собственных векторов проводится по индукции.

2. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному собственному значению, является собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению.

Действительно, если собственному значению соответствуют собственные векторы , то из равенств , следует, что вектор также собственный, поскольку:

3. Пусть — присоединенная матрица для характеристической матрицы . Если — собственное значение матрицы , то любой ненулевой столбец матрицы является собственным вектором, соответствующим собственному значению .

В самом деле, применяя формулу (7.7) имеем . Подставляя корень , получаем . Если — ненулевой столбец матрицы , то . Значит, — собственный вектор матрицы .

Замечания 7.5

1. По основной теореме алгебры характеристическое уравнение имеет п в общем случае комплексных корней (с учетом их кратностей). Поэтому собственные значения и собственные векторы имеются у любой квадратной матрицы. Причем собственные значения матрицы определяются однозначно (с учетом их кратности), а собственные векторы — неоднозначно.

2. Чтобы из множества собственных векторов выделить максимальную линейно независимую систему собственных векторов, нужно для всех раз личных собственных значений записать одну за другой системы линейно независимых собственных векторов, в частности, одну за другой фундаментальные системы решений однородных систем

Полученная система собственных векторов будет линейно независимой в силу свойства 1 собственных векторов.

3. Совокупность всех собственных значений матрицы (с учетом их кратностей) называют ее спектром.

4. Спектр матрицы называется простым, если собственные значения матрицы попарно различные (все корни характеристического уравнения простые).

5. Для простого корня характеристического уравнения соответствующий собственный вектор можно найти, раскладывая определитель матрицы по одной из строк. Тогда ненулевой вектор, компоненты которого равны алгебраическим дополнениям элементов одной из строк матрицы , является собственным вектором.

Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы

Для нахождения собственных векторов и собственных значений квадратной матрицы n-го порядка надо выполнить следующие действия.

1. Составить характеристический многочлен матрицы .

2. Найти все различные корни характеристического уравнения (кратности корней определять не нужно).

3. Для корня найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений

, где

Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы (см. пункт 3 замечаний 5.3, пункт 1 замечаний 5.5).

4. Записать линейно независимые собственные векторы матрицы , отвечающие собственному значению

где — отличные от нуля произвольные постоянные. Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образуют ненулевые столбцы вида . Здесь и далее собственные векторы матрицы будем обозначать буквой .

Повторить пункты 3,4 для остальных собственных значений .

Пример 7.8. Найти собственные значения и собственные векторы матриц:

Решение. Матрица . 1. Составляем характеристический многочлен матрицы

2. Решаем характеристическое уравнение: .

3(1). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

Ранг матрицы системы равен 1 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем решение .

4(1). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов второй строки матрицы , то есть . Умножив этот столбец на (-1), получим .

3(2). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

Ранг матрицы системы равен 1 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем решение .

4(2). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы , т.е. . Поделив его на (- 3), получим .

Матрица . 1. Составляем характеристический многочлен матрицы

2. Решаем характеристическое уравнение: .

3(1). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

Ранг матрицы системы равен 1 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем решение .

4(1). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы , то есть . Умножив этот столбец на (-1), получим .

3(2). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду

Ранг матрицы системы равен 1 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем решение .

4(2). Записываем собственные векторы, соответствующие собственному значению , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы , т.е. . Умножив его на (-1), получим .

Матрица 1. Составляем характеристический многочлен матрицы

2. Решаем характеристическое уравнение: .

3(1). Для корня составляем однородную систему уравнений

Решаем эту систему методом Гаусса, приводя расширенную матрицу системы к упрощенному виду (ведущие элементы выделены полужирным курсивом):

Ранг матрицы системы равен 2 , число неизвестных , следовательно, фундаментальная система решений состоит из решения. Выражаем базисные переменные через свободную и, полагая , получаем решение .

4(1). Все собственные векторы, соответствующие собственному значению , вычисляются по формуле , где — отличная от нуля произвольная постоянная.

Заметим, что, согласно пункту 5 замечаний 7.5, в качестве собственного вектора можно выбрать вектор, составленный из алгебраических дополнений элементов первой строки матрицы , то есть , так как

Разделив его на 3, получим .

3(2). Для собственного значения имеем однородную систему . Решаем ее методом Гаусса:

Ранг матрицы системы равен единице , следовательно, фундаментальная система решений состоит из двух решений . Базисную переменную , выражаем через свободные: . Задавая стандартные наборы свободных переменных и , получаем два решения

4(2). Записываем множество собственных векторов, соответствующих собственному значению , где — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно. В частности, при получаем ; при . Присоединяя к этим собственным векторам собственный вектор , соответствующий собственному значению (см. пункт 4(1) при ), находим три линейно независимых собственных вектора матрицы

Заметим, что для корня собственный вектор нельзя найти, применяя пункт 5 замечаний 7.5, так как алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы равно нулю.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.