Как найти базис суммы данных подпространств

Пусть
заданы два подпространства R₁
и R₂
n-мерного
пространства R.

Определение:
Если каждый вектор x
пространства R
можно, и притом единственным образом,
представить как сумму двух векторов:

x
=
x₁
+
x₂,

где

, то говорят, что пространство R
разложено в прямую сумму подпространств
R₁
и R₂.
Это записывают так:

R
= R₁
+ R₂,

Теорема. Для
того, чтобы пространствоR
разлагалось в прямую сумму подпространств
R₁
и R₂,достаточно,
чтобы:

1. Подпространства
   
   R₁
   и R₂
   
   имели только один общий вектор x
   =
   0 (нулевой вектор).

2. Сума
   размерностей этих подпространств была
   равна размерности пространства R.

Пусть
имеем два произвольных подпространства
R₁
и R₂
линейного пространства R.
Подпространство пересечения
R₁
и R₂
— это совокупность векторов, принадлежащих
обоим подпространствам R₁
и R₂:

☺ Пример
124. Пусть
R₁
и R₂
– два двумерных подпространства
трехмерного прос-транства (две плоскости,
проходящие через начало координат).
Тогда их пересечение

есть одномерное подпространство (прямая,
по которой эти плоскости пересекаются).

По
двум подпространствам
R₁
и R₂

можно построить еще одно подпространство,
которое называют суммой:
векторами этого подпространства являются
всевозможные суммы вида:

x
=
x₁
+
x₂, (*)

где

,
его обозначают:
(в
отличие от прямой суммы двух подпрос-транств,
запись (*) элемента из R
может быть неоднозначной. Легко проверить,
что построенные элементы (*) образуют
подпространство.

Теорема. Сумма
размерностей
R₁
и R₂,
равна размерности их суммы плюс
размерность пересечения.

☺ Пример
125. Найдем
базис пересечения подпространств

, если R₁
натянут на векторы a₁
и
a₂,
а R₂
– на векторы b₁
и
b₂:

, ,

, .

Решение:
Нетрудно заметить, что векторы a₁
и
a₂,
b₁
и
b₂:
— линейно независимы. Согласно
вышеприведенной теореме запишем
размерность пересечения

в виде d
= k+r-s,
где k
= 2 – число независимых векторов,
порождающих подпространство R₁;
r
= 2 – число независи-мых векторов,
порождающих подпространство R₂;
s
– число независимых векторов, порождающих
подпространство

(его предстоим вычислить).

Применяя
один из способов вычисления ранга
системы векторов, получаем: s
= 3. В таком случае размерность пересечения
d
= 2 + 2 — 3 = 1/

Найдем базис из
условия:

c
= x₁
a₁+
x₂
a₂ =
x₃
b₁+
x₄
b₂

или

Решая
эту систему одним из способов, изложенных
в Гл.5, получим: x₁
=
-s;
x₂
=
4s;
x₃
=
-3s;
x₄
=
s,
где s
– произвольная постоянная. Принимая
s
= -1, получим:

c
= a₁—
4 a₂
= 3
b₁—
b₂
= (5, -2, -3, -4).

Ответ:
базис пересечения подпространств: c
=
a₁—
4
a₂
=
3
b₁—
b₂
= (5, -2, -3, -4).

☻Решите
примеры:

Пример
126. Найдем
базис пересечения подпространств

, если R₁
натянут на векторы a₁
и
a₂,
а R₂
– на векторы b₁
и
b₂:

, ,

, .

Ответ:
базис пересечения подпространств: c
=
-4a₁
+
13a₂
=
8 b₁+
3b₂
= (5, 9, -13, 27).

Пример
127. Найдем
базис пересечения подпространств

, если R₁
натянут на векторы a₁
и
a₂,
а R₂
– на векторы b₁
и
b₂:

, ,

, .

Ответ:
базис пересечения подпространств: c
=
2a₁—
3
a₂
=
—
b₁+
b₂
= (1, 3, -1, 1).

Соседние файлы в папке СРС

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Пересечение и сумма подпространств линейного пространства

Пусть и — подпространства линейного пространства .

Пересечением подпространств и называется множество векторов, каждый из которых принадлежит и одновременно, т.е. пересечение подпространств определяется как обычное пересечение двух множеств.

Алгебраической суммой подпространств и называется множество векторов вида , где . Алгебраическая сумма (короче просто сумма) подпространств обозначается

Представление вектора в виде , где , называется разложением вектора no подпространствам и .

Замечания 8.8

1. Пересечение подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к пересечениям.

2. Сумма подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к суммам.

Действительно, нужно показать замкнутость линейных операций в множестве . Пусть два вектора и принадлежат сумме , т.е. каждый из них раскладывается по подпространствам:

Найдем сумму: . Так как , а , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции сложения. Найдем произведение: . Так как , a , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции умножения на число. Таким образом, — линейное подпространство.

3. Операция пересечения определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Пересечение любого семейства подпространств V является линейным подпространством, причем скобки в выражении — можно расставлять произвольно или вообще не ставить.

4. Минимальным линейным подпространством, содержащим подмножество конечномерного линейного пространства , называется пересечение всех подпространств , содержащих , т.е. . Если , то указанное пересечение совпадает с нулевым подпространством , поскольку оно содержится в любом из подпространств . Если — линейное подпространство , то указанное пересечение совпадает с , поскольку содержится в каждом из пересекаемых подпространств (и является одним из них: ).

Минимальное свойство линейной оболочки: линейная оболочка любого подмножества конечномерного линейного пространства является минимальным линейным подпространством, содержащим , т.е. .

Действительно, обозначим . Надо доказать равенство двух множеств: . Так как (см. пункт 6 замечаний 8.7), то . Докажем включение . Произвольный элемент имеет вид , где . Пусть — любое подпространство, содержащее . Оно содержит все векторы и любую их линейную комбинацию (см. пункт 7 замечаний 8.7), в частности, вектор . Поэтому вектор принадлежит любому подпространству , содержащему . Значит, принадлежит пересечению таких подпространств. Таким образом, . Из двух включений и следует равенство .

5. Операция сложения подпространств определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Поэтому в суммах конечного числа подпространств скобки можно расставлять произвольно или вообще не ставить.

6. Можно определить объединение подпространств и как множество векторов, каждый из которых принадлежит пространству или пространству (или обоим подпространствам). Однако, объединение подпространств в общем случае не является подпространством (оно будет подпространством только при дополнительном условии или ).

7. Сумма подпространств совпадает с линейной оболочкой их объединения . Действительно, включение следует из определения. Любой элемент множества имеет вид , т.е. представляет собой линейную комбинацию двух векторов из множества . Докажем противоположное включение . Любой элемент имеет вид , где . Разобьем эту сумму на две, относя к первой сумме все слагаемые , у которых . Остальные слагаемые составят вторую сумму:

Первая сумма — это некоторый вектор , вторая сумма — это некоторый вектор . Следовательно, . Значит, . Полученные два включения говорят о равенстве рассматриваемых множеств.

Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если и подпространства конечномерного линейного пространства , то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана):

В самом деле, пусть — базис пересечения . Дополним его упорядоченным набором векторов до базиса подпространства и упорядоченным набором векторов до базиса подпространства . Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства . Действительно, любой вектор этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора

Следовательно, . Докажем, что образующие линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства . Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору:

Первые две суммы обозначим — это некоторый вектор из , последнюю сумму обозначим — это некоторый вектор из . Равенство (8.14): означает, что вектор принадлежит также и пространству . Значит, . Раскладывая этот вектор по базису , находим . Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем

Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису подпространства . Все коэффициенты такого разложения нулевые: и . Подставляя в (8.14), получаем . Это возможно только в тривиальном случае и , так как система векторов линейно независима (это базис подпространства ). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов линейно независима, т.е. является базисом пространства . Подсчитаем размерность суммы подпространств:

что и требовалось доказать.

Пример 8.6. В пространстве радиус-векторов с общим началом в точке заданы подпространства: и — три множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся в точке прямым и соответственно; и — два множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся плоскостям и соответственно; прямая , при надлежит плоскости , прямая принадлежит плоскости , плоскости и пересекаются по прямой (рис. 8.2). Найти суммы и пересечения каждых двух из указанных пяти подпространств.

Решение. Найдем сумму . Складывая два вектора, принадлежащих и соответственно, получаем вектор, принадлежащий плоскости . На оборот, любой вектор (см. рис.8.2), принадлежащий , можно представить в виде , построив проекции и вектора на прямые и соответственно. Значит, любой радиус-вектор плоскости раскладывается по подпространствам и , т.е. . Аналогично получаем, что , а — множество радиус-векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через прямые и .

Найдем сумму . Любой вектор пространства можно разложить по подпространствам и . В самом деле, через конец радиус-вектора проводим прямую, параллельную прямой (см. рис. 8.2), т.е. строим проекцию вектора на плоскость . Затем на откладываем вектор так, чтобы . Следовательно, . Так как , то . Аналогично получаем, что . Остальные суммы находятся просто: . Заметим, что .

Используя теорему 8.4, проверим, например, равенство по размерности. Подставляя и в формулу Грассмана, получаем , что и следовало ожидать, так как .

Пересечения подпространств находим по рис. 8.2, как пересечение геометрических фигур:

где — нулевой радиус-вектор .

Прямая сумма подпространств

Алгебраическая сумма подпространств и линейного пространства называется прямой суммой, если пересечение подпространств состоит из одного нулевого вектора. Прямая сумма подпространств обозначается и обладает следующим свойством: если , то для каждого вектора существует единственное представление в виде , где .

Действительно, если предположить противное, а именно существование двух разных разложений: , где , то получим противоречие: из равенства следует, что ненулевой вектор принадлежит обоим подпространствам и одновременно, значит, принадлежит их пересечению, а по определению их пересечение состоит из одного нулевого вектора.

Признаки прямых сумм подпространств

Сумма является прямой суммой, если:

– существует вектор , который однозначно представляется в виде , где ;

– базис пространства является объединением базисов подпространств и ;

– справедливо равенство .

Замечания 8.9

1. Понятие прямой суммы распространяется на любое конечное число слагаемых. Сумма называется прямой суммой подпространств, если пересечение каждого из них с суммой остальных равно одному нулевому вектору:

2. Свойства и признаки, указанные для прямой суммы двух подпространств, справедливы и для любого конечного числа слагаемых. Отметим еще одно свойство: если — базис пространства , то .

Пример 8.7. В примере 8.6 найдены алгебраические суммы подпространств. Какие суммы являются прямыми?

Решение. Так как , то сумма — прямая. Аналогично полу чаем, что суммы

— прямые.

Остальные суммы подпространств, найденные в примере 8.6, не являются прямыми:

поскольку их пересечение содержит не только нулевой вектор. Например, пересечение .

Алгебраические дополнения подпространств

Пусть — подпространство конечномерного линейного пространства . Подпространство называется алгебраическим дополнением подпространства в пространстве , если . Говорят, что дополняет (алгебраически) подпространство до .

Рассмотрим свойства алгебраических дополнений подпространств.

1. Для любого подпространства существует алгебраическое дополнение .

Действительно, если , то . Если , то . В остальных случаях базис подпространства можно дополнить по теореме 8.2 до базиса пространства . Тогда . В примере 8.7 получено равенство , т.е. подпространства и дополняют друг друга до всего пространства.

2. Базис любого подпространства дополняется базисом алгебраического дополнения до базиса всего пространства.

3. Алгебраическое дополнение подпространства , кроме случаев или , определяется неоднозначно.

В примере 8.7 дополнением плоскости в пространстве служит множество радиус-векторов, принадлежащих любой прямой, пересекающей плоскость в точке , в частности, подпространство .

4. Для любого подпространства .

Это равенство следует непосредственно из определения. Заметим, что равенство в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливо.

5. Если и — подпространства пространства , то пересечение их алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением суммы подпространств, и, наоборот, сумма алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением пересечения подпространств:

Заметим, что равенства и в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливы.

Докажем последнее свойство. Как при доказательстве теоремы 8.4 по строим базис суммы подпространств из трех наборов векторов: . Дополним теперь этот базис (по теореме 8.2) век торами до базиса пространства . Так как базис , то по свойству 2 алгебраических дополнений заключаем, что — базис . Аналогично получаем, что — базис . Следовательно, — базис пересечения . Таким образом, базис всего пространства получается объединением базиса суммы и базиса пересечения . Используя признак 2 прямой суммы подпространств, получаем . Равенство следует аналогично из структуры базиса пространства .

Линейная зависимость и линейная независимость векторов над подпространством

Говорят, что система векторов пространства линейно зависима над подпространством , если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, принадлежащая подпространству , т.е. найдутся такие числа , неравные нулю одновременно, что

Если последнее включение возможно только в тривиальном случае, т.е при , то векторы называют линейно независимы ми над подпространством .

Понятие линейной зависимости или независимости над подпространством обобщает обычное, рассмотренное ранее, понятие линейной зависимости или независимости векторов, и совпадает с ним, если в качестве подпространства взять нулевое .

Следующие свойства прямых сумм подпространств можно сформулировать при помощи понятия линейной зависимости и линейной независимости над подпространством.

1. Если пространство представлено в виде прямой суммы подпространств , то любая линейно независимая система векторов подпространства будет линейно независимой над подпространством .

2. Базисом алгебраического дополнения подпространства является максимальная совокупность векторов пространства , линейно независимая над подпространством (см. свойство 2 алгебраических дополнений подпространств).

Пусть имеется цепочка подпространств . Подпространство называется алгебраическим дополнением подпространства относительно подпространства (или относительным дополнением до подпространства ). Базисом относительного дополнения служит максимальная система векторов , линейно независимая над .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)